Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (06)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học Toán Học)

 Stewart Shapiro

( ←...tiếp theo) 

 

 

 

6

THUYẾT HÌNH THỨC: NHỮNG PHÁT BIỂU TOÁN HỌC CÓ NGHĨA GÌ KHÔNG?

 

Quan sát dễ dãi cho thấy, hay có vẻ như vén mở lên cho thấy, rằng nhiều hoạt động toán học bao gồm sự vận dụng của những ký hiệu ngôn ngữ theo những luật nhất định. Nếu một người nào đó làm toán số học thiết lập một câu trong dạng a x b = c, sau đó người ấy có thể viết câu tương ứng b x a = c. Nếu người ấy cũng có được một câu như a ≠ 0, sau đó người ấy được quyền viết c / a = b. Những phần sơ đẳng và cao cấp của toán học đều như nhau, có chung đặc điểm này, ít nhất xuất hiện như như sự vận dụng theo quy luật-điều khiển.

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (05)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 Stewart Shapiro

( ←...tiếp theo) 

PHẦN III.

BA ĐẠI THỤ

 

5

THUYẾT LÔGÍCH TOÁN HỌC: CÓ PHẢI TOÁN HỌC CHỈ LÀ LÔGÍCH?

Toán học và lôgích học, nói về mặt lịch sử, đã từng là những môn học hoàn toàn biệt lập ... Nhưng cả hai đã phát triển trong thời nay: lôgích học đã thành toán học hơn và toán học đã thành lôgích hơn. Hệ quả là bây giờ thành hoàn toàn không thể nào vẽ được một đường ranh giữa hai; thực sự, cả hai là một ... Dĩ nhiên, bằng chứng của đặc điểm định tính của chúng là một vấn đề của chi tiết: (Russell 1919: ch. 18) [1]

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (04)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 Stewart Shapiro

( ←...tiếp theo)

 

  

4

NHỮNG ĐỐI LẬP GẦN: KANT VÀ MILL

 

1. Định hướng lại

 

Chúng ta tiếp tục câu chuyện còn dở dang của chúng ta trong thế kỷ 18, với Immanuel Kant. Tất nhiên, đã có hoạt động triết học đáng kể trong thời Cổ, sau Aristotle và qua thời Trung cổ, nhưng nó đã không nhiều tập trung trực tiếp trên toán học.[1]

 

Thế kỷ 17 đã thấy những cách mạng lớn trong khoa học và toán học, qua những người như Rene Descartes, Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz. Kant đã trong một vị trí để nhận lấy sự đo lường triết học của những phát triển khoa học mới. Những đòi hỏi của vật lý đang nổi lên đã dẫn đến sự phát triển của những nhánh toán học mới và đến những khái niệm mới của những nhánh toán học truyền thống. Những sáng kiến chủ yếu gồm những phương pháp mới của toán phân tích liên kết hình học với đại số học và số học (Pierre Fermat và Descartes), và sự phát triển của calculus (Newton và Leibniz) cho sự nghiên cứu của lực hấp dẫn và chuyển động. Nghiên cứu vừa kể sau đòi hỏi những khái niệm về liên tục, đạo hàm và giới hạn, trong số đó không khái niệm nào đặt vừa vặn được vào trong những mô hình toán học trước đó. (Xem Mancosu 1996 cho một giải quyết minh bạch về toán học và triết học của nó trong thế kỷ 17).

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (03)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 Stewart Shapiro

 ( ←...tiếp theo)

 

 

PHẦN II.

LỊCH SỬ

3

THUYẾT DUY LÝ CỦA PLATO VÀ ARISTOTLE

 

Hãy bắt đầu ở chính từ đầu. Một nơi rất tốt để bắt đầu.

(The Sound of Music)

 

Là điều tự nhiên để bắt đầu bản vẽ phác lịch sử của chúng ta trong Greece thời cổ, vì đã đồng ý rộng rãi rằng cả toán học và triết học; như chúng ta biết chúng ngày nay, đều đã sinh ra ở đó. Rõ ràng; toán học trước Greece đã chủ yếu là gồm những kỹ thuật tính toán và những hệ thống số đếm, liên quan hoặc với tôn giáo hoặc với những vấn đề thực tiễn như việc chia đất. Cho dù sau đó là tốt hơn hay tệ đi, những nhà toán học Greece đã đưa trọng tâm chú ý vào sự chính xác và chứng minh chặt chẽ.

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (02)

 Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 Stewart Shapiro

 ( ←...tiếp theo)

2

MỘT HỖN HỢP NHỮNG HỎI VÀ ĐÁP

 

Mục đích của chương này là để vẽ phác những vấn đề lớn quan trọng và một số những lập trường chính quan trọng trong dự án diễn giải khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ của triết học của toán học. Những câu hỏi một triết học của toán học phải trả lời để làm sáng tỏ vị trí của toán học trong toàn bộ dự án trí tuệ – trong con tàu của Neurath – là gì?

Đã từng được nêu lên những trả lời thuộc loại nào?

 

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (01)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 

Stewart Shapiro

 

 

 

 

Lời nói đầu

Triết học của toán học

 

Đây là một quyển sách (giáo khoa) triết học của toán học. Trước hết, có những vấn đề của siêu hình học: Toán học tất cả là về những gì? Nó có một chủ đề-nội dung không? Chủ đề-nội dung này là gì? Những số, set, điểm, đường thẳng, hàm số, và v.v. là gì? Sau đó là những vấn đề ngữ nghĩa học: những phát biểu toán học có nghĩa gì? Bản chất của sự đúng thật toán học là gì? Và tri thức học: Toán học được biết như thế nào? Phương pháp luận của nó là gì? Có phải nó gồm sự quan sát thường nghiệm, hay nó thuần túy là một thực tập tinh thần? Tranh luận giữa những nhà toán học đã phân giải thế nào? Một chứng minh là gì? Có phải những chứng minh là chắc chắn tuyệt đối, miễn nhiễm khỏi hoài nghi lý trí không? lôgích của toán học là gì? Có hay không những đúng thật toán học không thể biết được?