Russell – Đưa vào Triết học Toán học (08)

Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell

( ←...tiếp theo)

 

 

CHƯƠNG XVIII:

Toán Học Và Lôgích học

 

Toán học và lôgích học, nói về mặt lịch sử, từng là những môn học hoàn toàn biệt lập. Toán học đã từng liên kết với khoa học, lôgích học với người Greece. Nhưng cả hai đã phát triển trong thời hiện đại: lôgích học đã trở thành toán học hơn và toán học trở thành lôgích hơn. Hệ quả là bây giờ đã trở thành hoàn toàn không thể nào để vẽ được một đường ranh giữa hai; thực ra, cả hai là một. Chúng khác nhau như đứa trẻ và người lớn: lôgích học là tuổi trẻ của toán học và toán học là tuổi trưởng thành của lôgích học. Quan điểm này gây phẫn uất cho những nhà lôgích học, những người sau khi đã dành thì giờ của họ trong sự nghiên cứu những bản văn cổ điển, không có khả năng theo dõi một mảnh của lý luận ký hiệu, ​​và cho những nhà toán học, những người đã học một kỹ thuật nhưng không chịu khó khăn để tra cứu trong ý nghĩa hay biện minh của nó. Cả hai týp bây giờ may mắn là ngày càng hiếm. Quá nhiều của công trình toán học hiện đại thì rõ ràng là trên đường phân ranh của lôgích học, quá nhiều lôgích học hiện đại là ký hiệu và hình thức, khiến chính sự liên hệ chặt chẽ của lôgích học và toán học đã thành hiển nhiên với mọi sinh viên theo học. Dĩ nhiên, bằng chứng của đặc điểm định tính của chúng là một vấn đề của chi tiết: sau khi bắt đầu với những tiền đề vốn sẽ được phổ quát chấp nhận thuộc về lôgích học, và sau khi đi đến bằng diễn dịch ở những kết quả vốn cũng rõ ràng thuộc về toán học, chúng ta thấy rằng không có điểm nào ở đó một đường rõ rệt có thể vẽ được, với lôgích học ở bên trái và toán học ở bên phải. Nếu vẫn còn những ai là người không chấp nhận đặc điểm định tính của lôgích học và toán học, chúng ta có thể thách thức họ để chỉ ra cho thấy ở điểm nào, trong những định nghĩa liên tục và những diễn dịch của Principia Mathematica, họ có ý kiến rằng lôgích học kết thúc và toán học bắt đầu. Khi đó sẽ là rõ ràng rằng trả lời bất kỳ nào phải là hoàn toàn tùy tiện.

 

Russell – Đưa vào Triết học Toán học (07)

Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell

 (←...tiếp theo)

 

 

 

CHƯƠNG XVII:

Những Lớp

 

Trong chương này, chúng ta sẽ quan tâm với từ ‘the’ (những cái/con/người) trong số nhiều: những cư dân của London, những người con trai của những người giàu có, v.v. Nói cách khác, chúng ta sẽ quan tâm với những lớp. Chúng ta đã thấy trong Chương II. rằng một số đếm thì được định nghĩa như một lớp của những lớp và trong Chương III. rằng số 1 thì được định nghĩa như lớp của tất cả những lớp đơn vị, tức là của tất cả những lớp vốn có chỉ đúng một phần tử, như chúng ta sẽ nói, ngoại trừ cái vòng luẩn quẩn. Dĩ nhiên, khi số 1 được định nghĩa như lớp của tất cả những lớp đơn vị, thì “những lớp đơn vị” phải được định nghĩa ngõ hầu để không giả định rằng chúng ta biết “một” nghĩa là gì; thực ra, chúng được định nghĩa trong một cách tương tự gần như với cách đã dùng cho những mô tả, cụ thể là: Một lớp α thì nói để là một lớp “đơn vị” nếu hàm số mệnh đề “‘x là một α’ thì luôn luôn tương đương với ‘x là c ‘“(Được coi như một hàm số của c) thì không luôn luôn sai, tức là, trong ngôn ngữ thông thường hơn, nếu có một số hạng c sao cho x sẽ là một phần tử của α khi x là c nhưng không trong trường hợp nào khác. Điều này cho chúng ta một định nghĩa của một lớp đơn vị nếu chúng ta đã biết trong tổng quát một lớp là gì. Cho đến giờ, trong sự nghiên cứu số học, chúng ta đã xem “lớp” như một ý tưởng nguyên thủy. Nhưng, vì những lý do đưa ra trong Chương XIII., nếu không có những lý do khác, chúng ta không thể chấp nhận “lớp” như một ý niệm nguyên thủy. Chúng ta phải tìm một định nghĩa cùng cách nói tương tự như định nghĩa của những mô tả, tức là một định nghĩa vốn sẽ gán một ý nghĩa cho những mệnh đề mà trong đó có những lời nói hay những từ diễn đạt biểu tượng hay những ký hiệu rõ ràng đại diện những lớp xảy ra, nhưng nó sẽ gán cho một nghĩa khiến hoàn toàn loại bỏ tất cả những nhắc dẫn của những lớp từ một phân tích đúng của những mệnh đề loại như vậy. Sau đó, chúng ta sẽ có khả năng để nói rằng những ký hiệu cho những lớp đều đơn thuần là những tiện lợi, không đại diện cho những đối tượng gọi là “những lớp” và rằng những lớp trong thực tế, giống như những mô tả, là những hư cấu lôgích, hay (như chúng ta nói) “những ký hiệu không hoàn chỉnh”.