Saturday, May 21, 2022

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (05)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học Toán Học)

 Stewart Shapiro

←...tiếp theo) 




PHẦN III.

BA ĐẠI THỤ

 

5

THUYẾT LÔGÍCH TOÁN HỌC: CÓ PHẢI TOÁN HỌC CHỈ LÀ LÔGÍCH?

 

Toán học và lôgích học, nói về mặt lịch sử, đã từng là những môn học hoàn toàn biệt lập ... Nhưng cả hai đã phát triển trong thời nay: lôgích học đã thành toán học hơn và toán học đã thành lôgích hơn. Hệ quả là bây giờ thành hoàn toàn không thể nào vẽ được một đường ranh giữa hai; thực sự, cả hai là một ... Dĩ nhiên, bằng chứng của đặc điểm định tính của chúng là một vấn đề của chi tiết: (Russell 1919: ch. 18) [1]

 

 

Chương trước đã trình bày những quan điểm của Immanuel Kant rằng (1) toán học thì có thể biết độc lập với kinh nghiệm giác quan – toán học là tiên nghiệm – và (2) những đúng thực của toán học không thể được xác định bởi việc phân tích những khái niệm – chúng là tổng hợp. Mặc dù người ta khó có thể đề cao thêm hơn nữa ảnh hưởng của Kant, những triết gia sau đó đã gặp khó khăn trong việc ứng hợp những quan điểm này với những phát triển trong toán học và khoa học. Như đã nói ở trên, Alberto Coffa (1991) biện luận rằng bận tâm chính của triết học thế kỷ 19 là giải thích tính tất yếu và bản chất tiên nghiệm, thoạt nhìn lần đầu như hiển nhiên, của toán học và lôgích nhưng không gọi đến trực giác theo Kant, hay một số nhắc dẫn khác với những dạng tiên nghiệm của không gianthời gian. Hai lựa chọn thay thế cho quan điểm của Kant có vẻ là toán học là thực nghiệm (và do đó là hậu nghiệm) và toán học là phân tích. Phần 3 của chương trước phác họa cố gắng táo bạo của John Stuart Mill với lựa chọn thay thế trước. Bây giờ chúng ta tiến lên một vài mười năm, đến gần đầu thế kỷ XX, và xem xét những cái nhìn rằng toán học là phân tích (hay tất cả trừ phân tích). Một số tác giả xem xét trong chương này chủ trương rằng ít nhất một phần của toán học là lôgích, hay có thể được thu giảm về lôgích. Ý tưởng là những khái niệm và những đối tượng của toán học, chẳng hạn như số, có thể được định nghĩa từ những thuật ngữ lôgích; và với những định nghĩa này, những định lý toán học có thể được suy ra từ những nguyên lý lôgích. Quan điểm này gọi là thuyết lôgích.[2] Chúng ta bắt đầu với Gottlob Frege, nhà toán học lỗi lạc đầu tiên chúng ta gặp trong khảo sát lịch sử của chúng ta (ngoài việc nhắc qua những nhà duy lý Descartes và Leibniz).

 

1. Frege

 

Chúng ta phải vắn tắt hướng chú ý đến những khái niệm thay đổi của tính phân tích và kiến thức tiên nghiệm. Những điều này mang những nghĩa khác nhau với những nhà tư tưởng khác nhau. Nhớ lại rằng với Kant, nếu một mệnh đề trong hình thức chủ ngữ-vị ngữ, khi đó nó là phân tích nếu khái niệm chủ ngữ của chứa đựng khái niệm vị ngữ của nó.[3] Ý tưởng trung tâm là tính phân tích khởi động siêu hình học của những khái niệm. Người ta xác định xem một mệnh đề là phân tích hay không bằng việc phân tích những khái niệm của nó.

 

Frege đã dùng một sự phân biệt khác, nhưng có lẽ liên quan. Ông đã chủ trương rằng tính phân tích thì giống như một ưu tiên trong tư cách một khái niệm nhận thức, khởi động một mệnh đề đem cho thì được biết (hay có thể biết) thế nào:

Những phân biệt này giữa tiên nghiệm và hậu nghiệm, tổng hợp và phân tích, như tôi thấy, không là về nội dung của phán đoán nhưng về sự biện minh cho việc đưa ra phán đoán. Ở chỗ không có sự biện minh, sự có thể có của việc vẽ lên những khác biệt biến mất. Khi ... một mệnh đề được gọi là hậu nghiệm hay phân tích, trong nghĩa của tôi, ... nó là một phán đoán về nền đứng cuối cùng vốn sự biện minh cho chủ trương nó là đúng thì dựa trên đó. ... Vấn đề trở thành ... là của việc tìm chứng minh của mệnh đề, và của việc đi đúng theo nó ngược về những đúng thực ban đầu. Nếu, trong việc thực hiện tiến trình này, chúng ta đi đến chỉ những luật lôgích tổng quát và những định nghĩa, khi đó sự đúng thực là một đúng thực phân tích. . . Tuy nhiên, nếu không thể đem cho chứng minh với không dùng những đúng thực vốn không thuộc một bản chất lôgích tổng quát, nhưng thuộc về lĩnh vực của một số khoa học tổng quát, khi đó mệnh đề là một mệnh đề tổng hợp. Cho một đúng thực là hậu nghiệm, phải là không thể nào để xây dựng một chứng minh của nó với không một kêu gọi đến những sự kiện, tức là, đến những đúng thực vốn không thể được chứng minh và không tổng quát. . . Nhưng ngược lại, nếu chứng minh của nó có thể được suy ra hoàn toàn từ những luật tổng quát, vốn tự thân chúng không cần cũng không chấp nhận của chứng minh, khi đó đúng thực là tiên nghiệm. (Frege 1884: §3)

 

Mặc dù Frege tin rằng mọi mệnh đề có thể biết được đều có một nền đứng cuối cùng, một gì đó giống như một chứng minh kinh điển, những định nghĩa triết học quan trọng có thể được phát biểu nhưng không phải giả định trước điều này. Một mệnh đề là tiên nghiệm nếu hoặc nó là một luật tổng quát không thể chứng minh được, hoặc nó có một bằng chứng-biện minh vốn chỉ dựa trên những luật lôgích tổng quát và những định nghĩa không thể chứng minh được như vậy [4]. Có một nguồn lôgích đặc biệt của kiến thức và những đúng thực phân tích được biết trên sở đó.

 

Đoạn văn trên cho thấy Frege chủ trương rằng chỉ những mệnh đề có thể biết được hay biện minh được có thể là phân tích hay tiên nghiệm. Vì ông cũng chủ trương rằng số học và phân tích số thực đềuphân tích, ông tin rằng mọi đúng thực về những số tự nhiên và mọi đúng thực về những số thực thì có thể biết được. Có nghĩa là, mọi sự đúng thực như vậy hoặc có thể chứng minh được, hoặc là một luật hay định nghĩa lôgích tổng quát không chứng minh được. Frege đã gắn buộc với quan điểm rằng với mọi mệnh đề về những số tự nhiên hay những số thực, hoặc nó hay phủ định của nó đều có thể biết được.

 

Để cho thấy rằng những mệnh đề số học là phân tích, Frege phải cho thấy suy diễn chúng từ những định nghĩa và luật lôgích tổng quát như thế nào. Chương trình về lôgích của ông đã là một cố gắng để làm chỉ điều đó, ít nhất cho những nguyên tắc cơ bản của lĩnh vực này.

 

Frege bắt đầu với một sự kiện tổng quát về việc đếm. Một người nào đó có thể xác định nếu hai sưu tập là như nhau hay không, bằng việc đặt chúng trong tương ứng 1-1. Chúng ta hãy nói rằng hai khái niệm thì số lượng bằng nhau [5] nếu có sự tương ứng một-một giữa những đối tượng trong một này và những đối tượng trong một kia. Thí dụ, trên bàn ăn đã đặt, những khăn ăn có số lượng bằng những đĩa ăn, nếu có đúng một khăn tương ứng với mỗi đĩa. Trong xã hội một vợ một chồng, có số lượng những người chồng bằng với của những người vợ (theo định nghĩa). Mặc dù có tên gọi (danh động từ) nhiều/số lượng’ [6], Frege đã cho thấy định nghĩa ‘tính có số lượng bằng nhau về lôgic’ chỉ bằng việc dựa vào năng lực của lôgích (gọi là lôgích bậc cao hơn), với không giả định trước những số tự nhiên, hay khái niệm số tổng quát. Ông (1884: §63) đưa ra luận điểm sau, bây giờ được biết như ‘nguyên lý của Hume: [7]

 

Cho bất kỳ những khái niệm F nào, G, số của F thì đồng nhất với số của G, nếu và chỉ nếu F và G thì bằng nhau trong số lượng.

 

Như Frege chủ ý, cụm từ số của Flà một dạng ngữ pháp để biểu thị một đối tượng. Đó là, số của Flà một tên riêng (nói rộng rãi), hay những gì ngày nay được gọi là mộtthuật ngữ số ít. Theo thuật ngữ của Chương 2, §2.1 ở trên, Frege là một người theo thuyết duy thực trong bản thể học, tin vào sự hiện hữu độc lập của những số tự nhiên. Ông cũng là một người theo thuyết duy thực trong giá trị-đúng thực, sau khi chủ trương rằng những phát biểu của toán học có những giá trị-đúng thực khách quan.

 

Gọi Z là khái niệm không đồng nhất với chính nó. Vì mọi đối tượng thì đồng nhất với chính nó, không đối tượng nào có khái niệm Z. Đó là, cho mọi đối tượng a, Za thì sai. Frege đã định nghĩa số zero là số của khái niệm Z.

 

Frege (Frege 1884: §76) sau đó đã định nghĩa quan hệ tiếp theo [8] giữa những số. Số n đứng sau trong chuỗi những số tự nhiên, trực tiếp sau m nếu và chỉ nếu

 

một khái niệm F, và một đối tượng x nằm dưới phân loại như nó, sao cho số thuộc khái niệm F là n và số thuộc khái niệm nằm dưới phân loại như F nhưng không đồng nhất với xm.

 

Nói cách khác, n là một số tiếp theo của m nếu có một khái niệm vốnáp dụng với chính xác những n đối tượng, và khi chúng ta loại bỏ một trong những đối tượng đó,những m đối tượng vẫn còn. Ngôn ngữ chính xác của Frege thì được đặt ra để nói điều này bằng dùng chỉ những thuật ngữ lôgích như đối tượng, khái niệmđồng nhất’.

 

Gọi T là khái niệm ‘đồng nhất với zero, như thế khiên cho bất kỳ đối tượng b nào, Tb giữ đúng nếu và chỉ nếu b = 0. Đó là, T giữ đúng một điều, số zero. Frege định nghĩa số một là số của khái niệm T. Ông đã cho thấy rằng số một ‘theo sau số zero trong chuỗi những số tự nhiên, theo như định nghĩa của riêng ông.

 

Frege nhắc người đọc rằng định nghĩa này của số 1 không giả định trước, vì tính chính đáng khách quan của nó, bất kỳ quan sát thực tế loại nào. Nói cách khác, những mệnh đề nền tảng là tiên nghiệm và khách quan.

 

Bước tiếp theo là để định nghĩa số hai là số của khái niệm ‘hoặc đồng nhất với zero hoặc đồng nhất với một, và tiếp tục như thế cho phần còn lại của những số tự nhiên. Tổng quát, gọi n là một số bất kỳ trong chuỗi những số tự nhiên. Hãy xét khái niệm Sn, phần tử trong chuỗi những số tự nhiên tận cùng với n. Đó là, cho bất kỳ đối tượng a nào, Sn a giữ đúng nếu và chỉ nếu a là một số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n. Frege đã cho thấy rằng số của khái niệm Sn là một số tiếp theo của n: số của Sn n + 1. Điều này thiết lập rằng có hạn những số tự nhiên.

 

Điều vẫn còn là để đem cho một định nghĩa của số tự nhiên. Người ta muốn nói rằng n là một số tự nhiên nếu n thìđược từ số 0, sau hữu hạn những áp dụng của phép toán (tính) số tiếp theo. Tuy nhiên, như một định nghĩa, điều này sẽ là đi vòng quanh, vì nó dẫn gợi khái niệm của ‘nhiều hữu hạn’. Frege đã nghĩ ra một cách để hoàn tất định nghĩa bằng dùng chỉ những nguồn lôgích. Để diễn giải, n là số tự nhiên nếu và chỉ nếu

 

Cho bất kỳ khái niệm F nào, nếu F giữ đúng của số zero và nếu cho mọi đối tượng d, từ mệnh đề d nằm dưới phân loại F, theo đó mọi số tiếp theo của d đều nằm dưới phân loại F, khi đó n nằm dưới phân loại F.

 

Trong những thuật ngữ thời nay hơn, n là một số tự nhiên nếu n nằm dưới phân loại mọi khái niệm vốn giữ đúng giá trị bằng 0 và thì khép kín trong quan hệ tiếp theo. Trong những ký hiệu:

 

Nn F [(FO & d d' ((Fd & 'd' là một số tiếp theo của d’) → Fd')) Fn].

 

Frege sau đó đã cho thấy những mệnh đề số học phổ thông, chẳng hạn như nguyên lý quy nạp, tuân theo những định nghĩa này như thế nào. Sự suy diễn những nguyên lý cơ bản của số học từ nguyên lý của Hume ngày nay được biết như định lý của Frege.

 

Frege đã không hài lòng với khai triển này. Nguyên tắc của Hume xác định những bản chất định tính của dạng số của F = số của G, trong đó F và G là những khái niệm bất kỳ, nhưng nó không xác định giá trị-đúng thực của những câu trong dạng số của F = t, trong đó t là một số đơn lẻ tùy tiện. Đặc biệt, nguyên lý của Hume không xác định xem số 2 có đồng nhất với một set đã cho, hay với (hoàng đế) Julius Caesar hay không. Tôi giả định rằng không ai sẽ nhầm lẫn số 2 với vị hoàng đế, nhưng tự thân nguyên lý của Hume không giải quyết ổn thỏa câu hỏi.

 

Tóm lại, cho đến giờ Frege đã (xuất sắc) xác định những quan hệ giữa những số tự nhiên, và đã đem cho những định nghĩa thỏa đáng của những kích thước của những set khác nhau, tất cả từ nguyên lý của Hume, nhưng ông vẫn đã không định nghĩa những số tự nhiên. Rốt cuộc, số 2 là gì? Ý tưởng ẩn chìm là chúng ta đã không thành công trong việc mô tả đặc điểm những số tự nhiên như những đối tượng trừ khi và cho đến khi chúng ta có thể xác định thế nào và tại sao số tự nhiên bất kỳ đã cho nào thì giống như hay khác với đối tượng bất kỳ nào. Để mượn một cụm từ nổi bật dễ nhớ từ W.V.O. Quine, không thực thể nào với không bản chất định tính’. Trong nội dung của thuyết lôgích theo như Frege, vấn đề của việc định nghĩa những số tự nhiên đã trở nên được biết như vấn đề Caesar (xem Heck 1997a).

 

Lưu ý rằng cho đến giờ sự phát triển lấy nguyên tắc của Frege như một điểm khởi đầu không biện minh. Nó là phần của phương pháp học của Frege vốn người ta nên cố gắng để chứng minh những gì người ta có thể, và như thế mở ra cho thấy nền tảng tri thức học của nó. Ông đã cố gắng như thế cho nguyên lý của Hume.

 

Mở rộng của một khái niệm là lớp của tất cả những đối tượng vốn khái niệm áp dụng với chúng. Thí dụ, phần mở rộng của ghếlớp của tất cả những cái ghế. Frege (Frege 1884: §68) đã định nghĩa những số tự nhiên theo những khái niệm và mở rộng của chúng:

 

Số vốnthuộc khái niệm F là mở rộng của khái niệm có số lượng bằng với số khái niệm F.

 

Thí dụ, số hai là mở rộng (hay sưu tập) chứa tất cả những khái niệm vốn gồm chính xác hai đối tượng [9]. Vì vậy, khái niệm của cha mẹ của Aviva Shapiro là một phần tử của số hai, cũng như khái niệm của một chiếc giày trên một người mặc quần áo đầy đủ nhất định và khái niệm củamột số nguyên tố nhỏ hơn năm. Số ba là mở rộng (hay sư tập) chứa tất cả những khái niệm vốn chứa chính xác ba đối tượng, v.v.

 

Frege (1884: §73) đã cho thấy nguyên lý của Hume đi theo từ những định nghĩa này và một số thuộc tính tổng quát của những mở rộng như thế nào. Với định lý của Frege, điều này hoàn tất sự duy diễn số học, và sự thiết lập của thuyết lôgích cho những số tự nhiên – với điều kiện là những định nghĩa trên là đúng. Dưới những giả định này, Frege đã thành công trong việc cho thấy rằng số học là phân tích. Giải thích lý do đã tiến hành qua một giải thích nghiêm ngặt chính xác xuất xắc hợpcủa sự áp dụng của số học vào việc đếm của những khái niệm và những sưu tập của những đối tượng.

 

Người ta không thể đề cao hơn thêm nữa thành tựu của Frege. Ai đã có thể nghĩ rằng có thể suy diễn được nhiều như thế từ quá ít như thế và đặc biệt là từ những sự kiện hiển nhiên và đơn giản như vậy về những khái niệm, những mở rộng và phép đếm? Tuy nhiên, số học chỉ là một phần ban đầu của toán học. Những chương trình của Frege để mở rộng thuyết lôgích sang phân tích số thực đã không phát triển vào thành một chương trình chi tiết (thí dụ, xem Simons 1987 và Dummett 1991: ch. 22). Người ta chỉ có thể suy đoán trên mức độ vớithuyết lôgích Frege có thể đáp ứng một số nhánh của toán học thời nay, chẳng hạn như giải tích phức, cấu trúc liên kết [10] và thuyết tập hợp.

 

Một người đọc quen thuộc với lôgích thời nay có thể ghi nhận một không-thuận hợp trong thuyết lôgích của Frege. Luận điểm chủ trương rằng những nguyên tắc của số học có thể suy diễn được từ những luật của lôgích đi ngược lại quan điểm phổ thông hiện nay rằng tự thân lôgích không có bản thể học. Không có những đối tượng lôgích đặc biệt [11]. Từ viễn tượng này, thuyết lôgích là một không hữu hiệu, ít nhất cho một người theo thuyết duy thực về bản thể như Frege, người chủ trương rằng những số tự nhiên hiện hữu như những đối tượng độc lập. Có nhiều vô hạn của những số tự nhiên, và như thế nếu lôgích không nói gì về có bao nhiêu đối tượng, khi đó người ta không thể định nghĩa những số tự nhiên trong lôgích.

 

Frege, tuy nhiên, đã theo một truyền thống rằng những khái niệm đều trong phạm vi hiệu lực của lôgích, và với Frege, những mở rộng đều gắn với những khái niệm. Vì vậy, lôgích thực có một bản thể học. Những đối tượng lôgích gồm những mở rộng của một số khái niệm vốn hiện hữu tất yếu. Do đó, những đối tượng lôgích hiện hữu thì tất yếu, và do đó, tính tất yếu của lôgích được duy trì.

 

Như đã cho thấy từ đoạn trích dẫn đầu tiên ở trên, Frege đã phân biệt rõ ràng lôgích học với những khoa học đặc biệt, chẳng hạn như vật lý. lôgích học là môn học-trung lập vì nó áp dụng được phổ quát; những đúng thực lôgích là tuyệt đối tổng quát. Việc dùng những khái niệmvà những mở rộng của chúng – không làm suy yếu tính trung lập này. Người ta cần giải quyết với những khái niệm ngõ hầu để suy nghĩ dù gì đi nữa. Đối với bất kỳ loại đối tượng nào, đều có những khái niệm của những đối tượng đó và những mở rộng của những khái niệm đó. Frege đã cho thấy xây dựng những số tự nhiên từ bản thể học lôgích này như thế nào. Ông cũng nhận định rằng số học nhận được lợi ích khả năng ứng dụng phổ quát của lôgích. Bất kỳ chủ đề-nội dung nào cũng có một bản thể học, và nếu một chủ đề-nội dung có những đối tượng dù gì đi nữa, người ta có thể đếm chúng và áp dụng số học.

 

Chúng ta nên ghi nhận rằng Frege đã không mở rộng thuyết lôgích của ông sang hình học. Về điểm đó, ông là một người theo Kant, chủ trương rằng những nguyên lý của hình học Euclid là tổng hợp tiên nghiệm (với những khái niệm đó được hiểu trong một nghĩa theo Frege, như ở trên). Frege đã chủ trương rằng hình học quả thực có một chủ thể-vật chất đặc biệt, không phổ quát – không gian. Chúng ta không cần tiếp tục theo đuổi những vấn đề này liên quan đến những ranh giới của lôgích (xem Shapiro 1991: chs. 1-2). Có những vấn đề lớn hơn ở phía chân trời.

 

Ngay cả đã giới hạn với số học – và không đòi hỏi những vấn đề về ranh giới – thật đáng buồn khi kể lại rằng câu chuyện của chúng ta không có một kết thúc đáng lẽ phảivà gọn gàng. Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1903) của Frege sau này chứa đựng một phát triển đầy đủ của một lý thuyết của những khái niệm và những mở rộng của chúng. Cho những mục đích lúc này, cương lĩnh quan trọng là Luật cơ bản V tai tiếng hiện nay, được diễn giải như sau:

 

Cho bất kỳ những khái niệm F, G nào, mở rộng của F thì đồng nhất với mở rộng của G, nếu và chỉ nếu cho mọi đối tượng a, Fa nếu và chỉ nếu Ga.

 

Nói cách khác, mở rộng của F thì đồng nhất với mở rộng của G nếu và chỉ nếu F và G có đúng cùng những đối tượng.

 

Một lá thư của Bertrand Russell năm 1902 (xem van Heijenoort 1967: 124-5) mở ra cho thấy rằng Luật Cơ bản V thì không nhất quán. [12] Gọi R là khái niệm vốn áp dụng cho một đối tượng x, chỉ trong trường hợp có một khái niệm F sao cho x là mở rộng của F và Fx thì sai.

 

Gọi r là mở rộng của R. Giả định rằng Rr thì đúng. Khi đó, có một khái niệm F sao cho r là mở rộng của F và Fr thì sai. Theo Luật cơ bản V thì Rr cũng sai (vì r cũng là mở rộng của R). Vì vậy, nếu Rr thì đúng, thì Rr thì sai. Vì vậy, Rr thì sai. Khi đó, có một khái niệm F (cụ thể là R) sao cho r là mở rộng của F và Fr thì sai. Như thế, theo định nghĩa, R giữ đúng của r, và vì vậy Rr thì đúng. Đây là một mâu thuẫn, và vì vậy Luật Cơ bản V thì không nhất quán. Điều này bây giờ được biết như nghịch lý của Russell.

 

Frege đã hiểu nghịch lý này là sự phá hủy đối với dự án lôgích của ông. Tuy nhiên, ông đã gửi cho Russell một trả lời cám ơn lịch sự, gần như lập tức:

 

Việc ông tìm ra mâu thuẫn đã làm tôi rất đỗi ngạc nhiên, và tôi muốn nói, gần như là rụng rời, vì nó đã làm lung lay cơ bản trên đó tôi đã có ý định để xây dựng số học ... [Vấn đề thì] tất cả càng nghiêm trọng hơn, vì với sự mất đi luât cơ bản V của tôi, không chỉ những nền tảng của số học của tôi, những cũng những nền tảng có thể có duy nhất của số học, dường như biến mất ... Trong bất kỳ trường hợp nào đi nữa, khám phá của ông thì rất xuất sắc đáng ghi nhận, và có lẽ sẽ làm xảy ra một bước tiến lớn trong lôgích học, dù có thể nó có vẻ không được chào đón như thoạt nhìn lúc đầu. (van Heijenoort 1967: 127-8)

 

Trong cùng một lá thư, Frege đã đem cho một công thức trình bày nghịch lý rõ ràng hơn. Sau một vài cố gắng để gượng lại sau thất bại, Frege đã bỏ rơi dự án lôgích của ông trong những đổ nát. Chúng ta quay sang những người khác đã nắm được lớp ngoài của thuyết lôgích, bắt đầu với chính Russell.

 

2. Russell

 

Russell (1919: ch. 2) đã chủ trương rằng giải thích của Frege về những số tự nhiên về thực chất thì chính xác: [13]

 

Câu hỏi Số là gì? là một câu hỏi vốn đã thường hỏi, nhưng đã chỉ được trả lời chính xác trong thời của chúng ta. Trả lời Frege đã đem cho năm 1884, trong Grundlagen der Arithmetik của ông. Mặc dù quyển sách này khá ngắn, không khó và thuộc vào hàng quan trọng bậc nhất, nó hầu như đã không thu hút được chú ý, và định nghĩa về số vốn nó chứa đưng, đã vẫn không được biết đến trong thực tế, cho đến khi nó được tác giả này (Russell) lại tìm ra trong năm 1901.

 

Russell thêm một chú thích rằng cùng những định nghĩa tương tự ‘đã đem cho đầy đủ hơn và với phát triển hơn trong Frege (1893) và (1903). Chúng ta có thể kết luận rằng Russell đã không chấp nhận thẩm định của Frege rằngnhững nền tảng duy nhất có thể có của số học dường như biến mất trong sự mâu thuẫn với Định luật Cơ bản V.

 

Trong thực tế, Russell đã chủ trương rằng một khi nó được hiểu đúng mức, thì Định luật Cơ bản V thì chính xác như một định nghĩa củamở rộng hay lớp. Dò tìm của ông đãnguồn gốc của mâu thuẫn từ Định luật cơ bản V gọi ra một thất bại trong lập luận khiến luận chứng thành vô hiệu [14]. Nhắc lại (từ chương 1, §2) rằng một định nghĩa của một thực thể toán học thì không khẳng định [15], nếu nó nhắc dẫn đến một sưu tập vốn chứa đựng thực thể được định nghĩa. Định nghĩa thông thường của giới hạn trên nhỏ nhất thì không khẳng định vì nó nhắc dẫn đến một set gồm những những giới hạn trên và mô tả đặc điểm một phần tử của set này.

 

Russell (1919: ch. 17) biện luận rằng những định nghĩa loại như vậy là không chính đáng, vì chúng là lý luận vòng quanh:

 

Bất cứ khi nào, bởi những phát biểu về “tất cả” hay “một số” [16] của những giá trị vốn một biến số có thể nhận ý nghĩa rõ ràng đáng kể, chúng ta tạo một đối tượng mới, đối tượng mới này phải không là giữa những giá trị vốn biến số trước đó của chúng ta có thể nhận, vì nếu nó đã là thế, tính toàn bộ của những giá trị trên đó biến số có thể nằm trong phạm vi sẽ chỉ định nghĩa được trong những thuật ngữ của chính nó, và chúng ta sẽ vướng trong một vòng oái oăm. Thí dụ, nếu tôi nói “Napoléon đã có tất cả những phẩm tính vốn làm nên một vị tướng vĩ đại”, tôi phải định nghĩa “những phẩm tính” trong một cách khiến nó sẽ không gồm những gì tôi đang nói, tức là “có tất cả những phẩm tính làm nên một vị tướng vĩ đại” phải không tự nó là một phẩm tính trong ý hướng đã được giả định.

 

Thuyết minh của nghịch lý của Russell bất đồng nghiêm trọng với nguyên tắc ‘vòng oái oăm’. Để tạo nghịch lý, chúng ta định nghĩa một khái niệm R vốnáp dụng cho một đối tượng x đúng trong trường hợp có một khái niệm F sao cho x là mở rộng của F và Fx thì sai. Định nghĩa của R dẫn nhắc đến tất cả những khái niệm F, và R thì đúng là một khái niệm F như thế. Do đó, định nghĩa của R thì không khẳng định. Chúng ta nhận được một mâu thuẫn từ giả định rằng định nghĩa R giữ đúng cho mở rộng của nó. Ngăn cấm trên những định nghĩa không khẳng định loại trừ ngay cả việc tạo giả định này.

 

Lúc này, chúng ta hãy đặt những khái niệm sang một bên và chỉ nói về những mở rộng, hay những lớp. Russell lập luận, từ nguyên tắc vòng luẩn quẩn oái oăm, rằng nó phải trong mọi trường hợp là vô nghĩa (nhưng không sai) để giả định [rằng] một lớp [là] một phần tử của chính nó, hay không là một phần tử của chính nó. Thế nên, không thể có một lớp bao hàm-tất cả vốn gồm tất cả những lớp trong vũ trụ, vì miền này sẽ (lại) là một phần tử của chính nó. Cũng không thể có một lớp của tất cả những lớp vốn không chứa chính chúng như những phần tử. Với Russell, để nói (hay ngay cả giả định) rằng có một lớp loại như vậy vô nghĩa. Ông đưa ra một thuyết về loại, vốn phân chia vũ trụ. Định nghĩa một cá thểlà một đối tượng vốn không là một lớp. Những cá thể đều là loại 0, và những lớp của những cá thể đều là loại 1. Những lớp của những lớp của những cá thể đều loại 2, v.v. Vì vậy, thí dụ, những người vốn làm thành một đội bóng baseball từng những cá thể và như thế đều là những đối tượng loại 0. Đội bóng, được coi như một lớp của những cầu thủ của nó, là đối tượng loại 1; và liên đoàn những đội bóng, được coi là một lớp của những đội bóng, là loại 2. Một sưu tập của những liên đoàn sẽ là loại 3. [17]

 

Chuyển sang những lớp cho phép một sự đơn giản hóa những định nghĩa của Frege về những số tự nhiên. Cho bất kỳ lớp C nào, định nghĩa số của Clớp của tất cả những lớp đó vốn số lượng bằng nhau với C (xem Russell 1919: ch. 2). Cho A là lớp của ba đứa con của tôi; sao cho A là loại 1. Số của A là lớp của tất cả những lớp loại 1 có ba phần tử. Số của những đứa con của tôi như vậy là một lớp loại 2. Tương tự, số của một lớp loại 2 là một lớp loại 3, v.v. Với Russell, một số là bất cứ một vốn là số của một số lớp nào đó’. Ông định nghĩa số zero là lớp của tất cả những lớp loại 1 không có phần tử nào. Vì vậy, số zero là một lớp loại 2 vốn có chính xác một phần tử – set rỗng loại 1. Số 1 là lớp của tất cả những lớp loại 1 có một phần tử duy nhất. Số 1 cũng là một đối tượng loại 2 và nó có cũng nhiều phần tử như có thể có những cá thể (nếu phát biểu này pha trộn những loại được cho phép).[18] Tiếp tục, số 2 là lớp của tất cả những lớp loại 1 có hai phần tử. Vì vậy, số 2 là lớp của tất cả những cặp của những cá thể. Số 3 là lớp của tất cả những bộ ba của những cá thể, v.v. Như dự doán, số của lớp A nói trên của những con tôi là 3.

 

Russell đã phỏng theo một định nghĩa trung tâm khác của Frege cho nội dung với những lớp: ‘số tiếp theo của số của ... [a] lớp a là số của ... lớp gồm a cùng với x, trong đó x là (bất kỳ cá thể nào] không thuộc [a] (1919: ch. 3). Cho đến giờ, đều ổn thỏa.

 

Nhớ lại rằng, với Frege, số zero là số của khái niệm không đồng nhất với chính nó. Điều này phù hợp với chương trình của Russell, trong đó zero là một lớp loại 2. Tuy nhiên, cách trình bày của Frege về những số tự nhiên khác và chứng minh của ông (qua nguyên lý của Hume) rằng có vô hạn của những số tự nhiên, vi phạm những hạn chế về loại của Russell (và nguyên tắc vòng oái oăm). Nhớ lại rằng Frege đã đưa ra rằng số 1 là số của khái niệm ‘đồng nhất với zero. Dùng những lớp thay vì những khái niệm, số 1 sẽ là số của lớp vốn có phần tử duy nhất là zero. Đó là, số 1 của Frege là số của {0}. Nhưng {0} thuộc loại 3 và do đó số của lớp này thuộc loại 4. Chú ý rằng mặc dù số zero có một phần tử duy nhất (tức là set rỗng loại 1), 0 không là một phần tử của số 1 của Russell, vì cái sau chỉ chứa những lớp loại 1 – theo những hạn chế về loại. Vì số zero thuộc loại 2, nên nó là một phần tử của lớp loại 3 gồm tất cả những lớp loại 2 có một phần tử duy nhất (xem chú thích 8).

 

Để tránh nhầm lẫn hay pha trộn những loại, chúng ta hãy tạm thời định nghĩa 1R , Russell-1, là lớp loại 2 gồm tất cả những lớp loại 1 với một phần tử duy nhất; và định nghĩa 11 là lớp loại 3 gồm tất cả những lớp loại 2 có một phần tử duy nhất. Vì vậy, số zero của Russell là phần tử của 11 nhưng không là phần tử của 1R . Với Frege, số 2 là con số của khái niệm ‘hoặc giống với 0 hay đồng nhất với 1. Chuyển điều này sang nội dung hiện tại (liên quan đến những lớp thay vì những khái niệm), số 2 của Frege sẽ là số của lớp {0, 1}. Số 1, 1R hay 11 nào? Nó không hoạt động theo cả hai cách. Với Russell, lớp {0, 11 } không hiện hữu, vì nó chứa một lớp loại 2 và một lớp loại 3.[19] Lớp {0, 1R } chứa một cặp lớp loại 2 và do đó nó thuộc loại 3 Do đó, số {0, lR} thuộc loại 4. Tổng quát, kế hoạch của Frege để định nghĩa một số n như số của những đứng trước của n: {O, 1, ... n – 1} gặp khó khăn. Hoặc chúng ta vi phạm trực tiếp những hạn chế về loại (nếu 0, 1, v.v. đều không tất cả thuộc cùng một loại) hoặc nếu không, chúng ta tạo ra một lớp của loại không đúng.

 

Thêm nữa, với Russell, mỗi số n là lớp loại 2 gồm tất cả những lớpn-phần tử của những cá thể (loại 0) – tức là tất cả những lớpn-phần tử của những lớp không-là-những-lớp. Ông đã không thể chấp nhận chứng minh của Frege rằng có vô hạn những số tự nhiên, vì điều đó bao gồm việc coi những số tự nhiên như thể chúng là những cá thể. Giống như Định luật cơ bản V, Frege coi nguyên tắc của Hume là không khẳng định. Định lý Frege, gồm cả chứng minh rằng có vô hạn số tự nhiên, làm bật lên tính không khẳng định này.

 

Đối với Russell, liệu một số tự nhiên nhất định có hiện hữu hay không tùy thuộc trên số lượng có bao nhiêu những cá thể (tức là những không-lớp) có trong vũ trụ. Thí dụ, giả định rằng thế giới có đúng 612 cá thể. Khi đó, số 612 của Russell sẽ là lớp của tất cả những lớp-có-612 của những cá thể. Sẽ chỉ có một lớp như vậy, lớp của tất cả những cá thể. Theo định nghĩa, số tiếp theo của 612 là số củalớp gồm vũ trụ cùng với x, trong đó x là [bất kỳ cá thể nào] không thuộc’ vào vũ trụ. Vậy, theo giả định về kích thước của vũ trụ, không có x như vậy và vì vậy không có số nào là số tiếp theo của 612. Sau 612, chỉ đơn giản là hết những con số – không có số 613.

 

Để tránh sự rắc rối này, Russell và Whitehead đưa ra một tiên đề về vô hạn, trong đó nói rằng có vô hạn những cá thể. Russell thừa nhận rằng nguyên tắc này không được hưởng trạng thái nhận thức của những nguyên tắc cơ bản khác vốn ông dùng (chẳng hạn như những định nghĩa). Tiên đề về vô hạn không thể được chứng minh, cũng như không thể phân tích, tiên nghiệm, đúng với tính tất yếu. Tuy nhiên, nó dường như rất cần thiết cho số học, vì vậy Russell chấp nhận nó như một định đề. Sự hiện hữu của mỗi số tự nhiên, và số kế tiếp của nó, sau đó theo sau.

 

Với Frege thì hoàn toàn ngược lại. Frege đã chứng minh rằng mỗi số tự nhiên đều hiện hữu, nhưng chứng minh của ông thì không khẳng định, vi phạm những hạn chế về loại. Russell đã phải giả định sự hiện hữu của đủ những cá thể cho mỗi số tự nhiên để hiện hữu. Điều này đặt một kềm chế cho thuyết lôgích. Nếu chúng ta tiếp tục để chứng minh một định lý số học Φ, tất cả những gì chúng ta có thể nói là phát biểu

 

nếu có vô hạn nhiều những cá thể (loại 0), thì Φ

 

là một định lý của lôgích. Hầu hết số học có một trạng thái giả thiết ngượng ngạo không xuôi.

 

Với tiên đề về vô hạn thêm vào, bước kế tiếp là để định nghĩa ý niệm tổng quát của số tự nhiên. Ở đây lại nữa, Russell cố gắng để chuyển vị đề nghị của Frege đến nội dung của những lớp: n là một số tự nhiên nếu n thuộc mọi lớp (loại 3) chứa số 0, và cũng chứa một tiếp theo của mỗi phần tử của chúng. Tuy nhiên, theo nguyên tắc, định nghĩa này thì không khẳng định, trong một cách hiển nhiên nhất. Lớp của những số tự nhiên là một lớp loại 3 đã định nghĩa bằng dẫn nhắc đến mọi lớp của loại đó. Để giữ trọn vẹn nguyên tắc vòng oái oăm, Russell (và Whitehead) đã nhấn mạnh trên cấu trúc thêm nữa trong hệ thống phân cấp của những loại. Một lớp loại 1 là xác định’, hay thuộc cấp 0, nếu nó có thể được định nghĩa nhưng không cần dẫn nhắc đến những lớp. Một lớp loại 1 thì thuộc cấp 1 nếu nó thì không khẳng định, nhưng chỉ có thể được định nghĩa với dẫn nhắc đến những lớp xác định. Một lớp loại 1 là thì thuộc cấp 2 nếu nó không thuộc cấp 1 nhưng chỉ có thể được định nghĩa với dẫn nhắc đến những lớp thuộc cấp 1. Có một cấu trúc cấp tương tự cho mọi loại. Lý thuyết nói chung đôi khi gọi là thuyết về loại phân cấp’.[20]

 

Trong định nghĩa ở trên củasố tự nhiên, cách nói ‘mọi lớp sẽ phải bị giới hạn vào một cấp [21] nhất định trong hệ thống phân cấp chia nhỏ của những lớp loại 2. Người ta sẽ nói rằng n là số tự nhiên loại 2, cấp 1 nếu n thuộc mọi lớp xác định vốn chứa số 0, và cũng chứa một số tiếp theo của mỗi của những phần tử của nó; n là số tự nhiên loại 2, cấp 2 nếu n thuộc vào mọi lớp cấp 1, vốn chứa số 0, và cũng chứa một số tiếp theo của mỗi của những phần tử của nó; và tiếp tục như thế. Tuy nhiên, bây giờ chúng ta không có lý do gì để nghĩ rằng chúng ta nhận được cùng một lớp của ‘những số tự nhiên ở mỗi cấp. Russell và Whitehead đã nhận ra rằng họ không thể phát triển toán học đầy đủ với những hạn chế về cấp, vì một số định nghĩa quan trọng dường như đòi hỏi những định nghĩa không khẳng định. Thí dụ, chứng minh của Frege về nguyên lý quy nạp cho những số tự nhiên từ những định nghĩa này không được chấp nhận. Khi được hình thành trong hệ thống của Russell, nguyên lý quy nạp thì không khẳng định, hay có vẻ không khẳng định và nhiều những phát triển toán học quan trọng đều không khẳng định.

 

Đáp ứng với khó khăn này, Russell và Whitehead đã đưa ra một tiên đề khác, một nguyên tắc của tính thu giảm [22] trong đó nói rằng ở mỗi loại, cho mỗi lớp c, có một lớp xác định c (cấp 0) có những phần tử cũng giống như c. Nguyên tắc thu giảm nói rằng không có những lớp mới nào được tạo ra ngoài cấp đầu tiên. Điều này cho phép Russell và Whitehead hạn chế cách nói “tất cả những lớp” thành “tất cả những lớp xác định”, và sau đó tiến hành suy ra những nguyên tắc cơ bản của số học. Hiệu quả của nguyên tắc thu giảm là cho phép nhà lôgích học bỏ qua hệ thống phân cấp và tiến hành như thể những định nghĩa không khẳng định đều chấp nhận được và vòng oái oăm luẩn quẩn thì không thực sự là một khó khăn. Một hợp đồng tốt đẹp, nếu bạn có thể có được nó.

 

Nhưng tư thế của nguyên tắc thu giảm là gì? Nó có là phân tích không? Nó có là biết được tiên nghiệm không? Ngay cả nóđúng thực không? Những nhà phê bình cho rằng rằng nguyên tắc này là đặc biệt, được sắp đặt trước cho mục đích đó. Phản ứng của Russell cũng giống như với tiên đề vô hạn. Tuy nhiên, ông tuyên bố rằng nó thì thiết yếu cho sự phát triển của toán học, và vì vậy ông đã nêu nó lên như một định đề. Ông đã thừa nhận rằng tiên đề của tính thu giảm là một lỗ hổng trong thuyết lôgích của ông.[23]

 

Dùng những nguyên lý của tính vô hạn và tính thu giảm, Russell và Whitehead đã thiết lập những tiên đề Peano tiêu chuẩn cho số học, và do đó tất cả những định lý thông thường liên quan đến những số tự nhiên. Sau đó, họ mở rộng sư phát triển sang một số những nhánh toán học tiến bộ hơn, đưa ra những loại toán học ngay cả cao hơn . Cho m là một số tự nhiên. Russell (1919: ch. 7) đã định nghĩa số nguyên + mquan hệ nhị phân của n + m với n (với bất kỳ n nào) trên những số tự nhiên. Do đó, thí dụ, +4 là quan hệ chứa những cặp sau: (4,0), (5,1), (6,2), ... Tương tự, số nguyên –m là nghịch đảo của + m, quan hệ của n với n + m, sao cho –4 thì giữ đúng của (0,4), (1,5), (2,6), .... Sau đó người ta có thể định nghĩa phép cộng và phép nhân trên những số nguyên này sao cho những thuộc tính thông thường được giữ đúng.

 

Đã thường nghĩ và giảng dạy rộng rãi rằng những số nguyên là một mở rộng của những số tự nhiên. Chúng ta đi từ những số tự nhiên sang những số nguyên bằng việc cộng vào những số nguyên âm, sao cho số tự nhiên 2, chẳng hạn, thì đồng nhất với số nguyên +2. Russell nhấn mạnh rằng theo những định nghĩa của ông, những số tự nhiên và những số nguyên đều khác biệt với nhau. Số tự nhiên 2 là một lớp của những lớp (tức là một lớp loại 2) trong khi số nguyên +2 là một quan hệ trên những số tự nhiên. Nó sẽ vi phạm những hạn chế về loại để xác định số tự nhiên này với số nguyên này: . . . + m trong mọi trường hợp không có khả năng được xác định với m, vốn đó không là một quan hệ, nhưng là một lớp của những lớp. Thật vậy, + m thì mọi mặt cũng phân biệt với m nhưm.

 

Tiếp theo, những số hữu tỉ được định nghĩa như những quan hệ vốn nắm giữ những tỷ lệ giữa những số nguyên: Chúng ta sẽ định nghĩa phân số m/in như quan hệ giữ vốn giữ đúng giữa hai [số] x, y khi xn = ym. Vì vậy, thí dụ, phân số 3/4 là quan hệ vốn giữ đúng của những cặp: (3,4), (6,8), ... Trực giác, quan hệ 3/4 giữ đúng giữa x và y chỉ trong trường hợp phân số x/y giảm xuống thành 3/4. Cũng lưu ý rằng số hữu tỉ m/1 thì không cùng quan hệ với số nguyên + m. Vậy số hữu tỉ 2 khác số nguyên 2 và số tự nhiên 2. Người ta có thể định nghĩa quan hệ lớn hơn và những phép toán cộng và nhân, trên những số hữu tỉ này, để lấy lại số học của những số hữu tỉ.

 

Đối với những số thực, Russell đi theo một nhà lôgích học khác, Richard Dedekind (1872). Định nghĩa ‘một phần’[24] là một lớp không-rỗng c của những số hữu tỉ sao cho (1) với mọi số hữu tỉ x, y, nếu x thì trong c và nếu y < x, thì y trong c; (2) Có một số hữu tỉ z sao cho với mọi số hữu tỉ x, nếu x trong c, thì x < z; và (3) với mọi số hữu tỉ x nếu x trong c thì có số hữu tỉ y trong c sao cho x < y. Nói cách khác, một phần là một lớp liên kết, có giới hạn của những số hữu tỉ vốn không có phần tử lớn nhất. Những phần tương ứng với những gì được gọi là những [khoảng]cắt Dedekind trong những số hữu tỉ. Russell định nghĩa những số thực với những phần. Số thực 2 là lớp của những số hữu tỉ nhỏ hơn 2 (tức là 2/1), và căn bậc hai của 2 là lớp của tất cả những số hữu tỉ âm cùng với những số hữu tỉ không âm có bình phương nhỏ hơn 2. Người ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trên những số thực và những phép toán cộng và nhân, sau đó cho thấy rằng những số thực là một trường có thứ tự hoàn chỉnh. Đặc biệt, người ta có thể thiết lập nguyên tắc hoàn chỉnh [25] rằng mọi lớp có giới hạn của những số thực đều có một giới hạn trên nhỏ nhất.

 

Chú ý rằng theo định nghĩa này, những số thực là những lớp của những số hữu tỉ. Tiên đề về tính thu giảm – hay việc dùng những định nghĩa không khẳng định – do đó đóng một vai trò lớn trong sự phát triển của Russell về giải tích thực [26] . Nó trở thành khó khăn đến không thể để giữ cho những cấp đừng lẫn lôn. Thí dụ, sẽ không có được một cấp 0 cho căn bậc hai của 2, một cấp 1 cho căn bậc hai của 2, và v.v. Cho giải tích thực, Russell cũng cần một tiên đề lựa chọn, [27] phát biểu rằng với bất kỳ set c nào của những lớp không-rỗng, không có hai lớp nào trong số đó có cùng một phần tử, thì có ít nhất một lớp chứa chính xác một phần tử của mỗi phần tử của c (Russell 1919 : ch 12, xem Moore 1982 cho một khai triển đầy đủ về vai trò của những nguyên tắc lựa chọn trong sự phát triển của toán học).. Như tiên đề vô hạn tính có thể thu giảm, tiên đề này có thể được thành hình bằng việc dùng thuật ngữ lôgích, nhưng có lẽ không được thiết lập đơn thuần từ những nguyên tắc lôgích.

 

Cuối cùng, Russell đã định nghĩa một số phức là một cặp thứ-tự [28] của những số thực. Vì vậy, số phức 3 – 2i được định nghĩa với cặp thứ-tự có phần tử đầu tiên là số thực 3 và phần tử thứ hai là số thực – 2.

 

Điều này ít nhiều hoàn tất sự phát triển của thuyết lôgích Russell. Russell (1919: ch. 18) đặt một câu hỏi có phần tu từ: Môn học này là gì, vốncó thể được gọi khác đi, hoặc toán học hoặc lôgích học? . . . Một số đặc điểm của chủ đề là rõ ràng. Để bắt đầu, trong chủ đề này, chúng ta không giải quyết với những sự vật việc cụ thể hay những thuộc tính đặc biệt: chúng ta giải quyết chính thức với những gì có thể nói về bất cứ một hay bất kỳ thuộc tính nào. Lôgích thì hoàn toàn tổng quát và có thể được áp dụng phổ quát.

 

Đến mở rộng vốn hình học bao gồm không gian vật lý, nó nằm ngoài phạm vi của thuyết lôgích Russell. Tuy nhiên, người ta có thể coi một dạng thuần túy’ của hình học, vốn gồm việc theo đuổi những hệ quả của những hệ tiên đề khác nhau. Điều này phần lớn có thể được đưa vào vừa vặn trong khung cấu trúc hỗ trợ lôgích, với sự ra đời của thuyết mô hình và khái niệm chặt chẽ của hệ quả lôgích. Với những nguyên lý về tính vô hạn, tính thu giảm và lựa chọn, lý thuyết loại của Whitehead và Russell nắm giữ được hầu hết những nhánh của toán học thuần túy ngắn gọn của thuyết tập hợp.

 

Nhưng toán học là về những ? Những số, hàm số, v.v. thực sự là gì? Vì Russell đã lấy nhiều những loại khác nhau của những số để là những lớp, những quan hệ trên những lớp, những quan hệ trên những quan hệ trên những lớp, v.v., những trạng thái của những số bật khởi những trạng thái của những lớp. Những bài viết thời trưởng thành của ông phủ nhận sự hiện hữu độc lập của những lớp. Trong Introduction to Mathematical Philosophy (1919: Ch 18), ông đã viết rằng những ký hiệu cho những lớp đều chỉ đơn thuần là những tiện lợi, không đại diện cho những đối tượng gọi là ‘những lớp ... [Những] lớp trong thực tế ... là những tưởng tượng lôgích ... [Chúng] không thể được coi như phần của đồ đạc cuối cùng của thế giới. Russell đã chỉ(hay cố gắng cho thấy) diễn giải thế nào về bất kỳ phát biểu về những lớp như một phát biểu về những khái niệm và những thuộc tính (những gì ông gọi là ‘những hàm số mệnh đề). Kết quả sau cùng là những gì ông gọi là thuyết không có lớp. Nói về những lớp chỉ là một cách để nói, và bị loại bỏ trong thực hành.[29]

 

Vì những con số của Russell đều là những lớp (hay được xây dựng từ những lớp), chúng cũng là những tưởng tượng lôgích, và do đó không là phần của đồ đạc sau cùng của thế giới. Như thế, vào thời kỳ này, Russell đã bỏ rất xa thuyết duy thực của Frege trong bản thể học. Trong thời kỳ trưởng thành không có lớpcủa ông, ông đã chủ trương rằng bất kỳ phát biểu nào trong bất kỳ nhánh nào của toán học (thuần túy) đều có thể được viết lại đúng cách như một phát biểu phức tạp về những thuộc tính và những khái niệm, không phải dẫn nhắc đến những số, hàm số, điểm, lớp, v.v...

 

 

3. Carnap và Thuyết Thực Chứng Lôgích

 

Bây giờ chúng ta xem xét một trường phái duy nghiệm đã phát triển mạnh trong những mười năm đầu và giữa của thế kỷ XX. Thuyết Thực Chứng Lôgích bắt đầu từ thành công ngoạn mục của khoa học tự nhiên và sự phát triển của lôgích toán học. Như đã ghi nhận trước đó, toán học là một trường hợp khó khăn cho thuyết duy nghiệm. Trong chương trước, chúng ta đã xem xét quan điểm của Mill rằng những sự đúng thực của toán học tự chúng được biết đến theo kinh nghiệm, bởi những khái quát hóa về kinh nghiệm. Theo đó, toán học là tổng hợp và hậu nghiệm. Ngược lại, những người theo thuyết thực chứng lôgích đã được luận điểm lôgích học thu hút, rằng những sự đúng thực của toán học là phân tích, và do đó tiên nghiệm. Như chúng ta đã thấy, những quan niệm này có ý nghĩa khác nhau với những tác giả khác nhau. Chúng ta gặp một tiến hóa xa thêm nữa của khái niệm của tính phân tích.

 

Như đã lưu ý ở mở đầu của chương này, Coffa (1991) đã nêu lên rằng phần lớn triết học thế kỷ 19 đã bận rộn với những cố gắng để giải thích tính tất yếu (ít nhất là mặt ngoài) và bản chất tiên nghiệm của toán học và lôgích với không gọi đến trực giác theo Kant. Coffa đã đề nghị rằng đường lối suy tưởng phản-Kant hiệu quả nhất là những gì ông gọi là truyền thống ngữ nghĩa, chạy qua công trình của Bernard Bolzano, Ludwig Wittgenstein, Frege, và David Hilbert thời kỳ đầu, lên đỉnh cao với Moritz Schlick và Rudolf Carnap trong Nhóm Vienna. Những triết gia này đã phát triển và rèn luyện rất nhiều những dụng cụ và khái niệm vẫn còn dung ngày nay, cả trong lôgích toán học và triết học phương Tây tổng quát. Cái nhìn sâu xa chính đã là xác định nguồn gốc của tính tất yếu và kiến thức tiên nghiệm trong việc đem dùng ngôn ngữ. Những đúng thực tất yếu là đúng thực bởi định nghĩa; kiến thức tiên nghiệm là kiến thức của việc đem dùng ngôn ngữ. Michael Dummett gọi sự tiếp cận là bước ngoặt ngôn ngữ trong triết học. [30]

 

Trong bối cảnh hiện tại, luận điểm là một khi chúng ta hiểu được ý nghĩa của những thuật ngữ như ‘số tự nhiên’, ‘hàm số kế thừa’, ‘phép cộng’ và ‘phép nhân’, do đó chúng ta sẽ có nguồn lực để thấy rằng những nguyên lý cơ bản của số học, chẳng hạn như nguyên lý qui nạp, đều là đúng. Điều này ít nhất là trong tinh thần của thuyết lôgích, ngay cả khi, nói chính xác, những đúng thực toán học cuối cùng không đúng chỉ dựa một mình trên những cơ sở lôgích.

 

Trong số hai nhà lôgích học chính được xem xét ở trên, Frege chủ trương rằng những con số hiện hữu, tất yếu, độc lập với nhà toán học, và Russell chủ trương rằng những con số không hiện hữu (ít nhất là trong thời kỳ không-lớp của ông). Người ta có thể nghĩ rằng điều này làm cạn kiệt những lựa chọn, nhưng với tư cách là một người theo thuyết duy nghiệm, Carnap đã thấy toàn bộ câu hỏi siêu hình về sự hiện hữu của những con số là vẫn trong băn khoăn khó hiểu. Vấn đề đó có thể được quyết định bằng sự quan sát như thế nào? Carnap bác bỏ ý hướng của chính sự tranh luận trên sự hiện hữu của những đối tượng toán học.

 

Trên một mức độ, câu hỏi bản thể học có một trả lời khẳng định dễ hiểu. Có những số là một hệ quả lôgích của có những số nguyên tố lớn hơn 10. Nếu chúng ta chấp nhận phát biểu sau, chắc chắn chúng ta phải chấp nhận nếu chúng ta nghiêm trọng đón nhận toán học và khoa học, khi đó chúng ta chấp nhận phát biểu trước: một kết thúc gọn gàng cho một tranh chấp khắc khoải dài 2.000 năm. Frege và Plato thắng; Russell, Mill, và có lẽ cả Aristotle đều thua.

 

Tất nhiên, những người chống-duy thực bản thể học sẽ không bị suy luận lôgích đơn giản này lay chuyển, và nhiều nhà duy thực bản thể học đồng ý rằng vấn đề thì không đơn giản như vậy.[31] Vậy sự tranh luận truyền thống là về những gì? Carnap (1950: §2) nêu lên rằng những phe phái đều ‘có thể cố gắng để giải thích ý của họ bằng nói rằng đó là một câu hỏi của trạng thái bản thể học của những con số; câu hỏi không biết những con số có hay không một đặc tính siêu hình nào đó đã gọi là thực tại ... hay sự hiện hữu (trong không thời gian) [32] hay trạng thái của “những thực thể độc lập”. Carnap phàn nàn rằng những triết gia này, cho đến giờ, vẫn chưa đưa ra một công thức cho câu hỏi của họ trong những thuật ngữ của ngôn ngữ khoa học thông thường. Vì vậy phán đoán của chúng ta phải là rằng họ đã không thành công trong việc đem cho những câu hỏi [bản thể học] . . . bất kỳ nội dung nhận thức nào. Trừ khi và cho đến khi họ cung ứng một diễn giải nhận thức rõ ràng, chúng ta được biện minh trong hoài nghi của chúng ta rằng câu hỏi của họ là một câu hỏi giả tưởng... Chúng ta thấy đây là một khuynh hướng thiên về thuyết duy nhiên, phổ thông trong những người theo thuyết duy nghiệm (xem ch. 1, §3 và ch. 4, §3). Ý tưởng là khoa học có thông tin tốt nhất, có lẽ là duy nhất, về sự đúng thực và vì vậy bất kỳ câu hỏi có ý nghĩa nào cũng phải được đưa ra theo những thuật ngữ khoa học. Những câu hỏi về bản thể học thì không là về lý thuyết hay về khoa học, và vì vậy nó là vô nghĩa.

 

Trả lời giản dị, khẳng định, việc suy ra sự hiện hữu của những con số từ chứng minh rằng có những số nguyên tố lớn hơn 10 là gì? Carnap vẽ phác một phân biệt:

 

Có những thuộc tính, những lớp, những số, những mệnh đề hay không? Để hiểu rõ hơn bản chất của những điều này và những vấn đề liên quan này, đó là trên hết cần phải nhìn nhận một sự phân biệt nền tảng giữa hai loại câu hỏi liên quan đến sự hiện hữu hay thực tại của những thực thể. Nếu một người nào đó ước mong để nói chuyện trong ngôn ngữ của người này về một loại mới của những thực thể, người này phải giới thiệu một hệ thống của những cách mới của việc nói, tùy thuộc vào những luật mới; chúng ta sẽ gọi tiến trình này là sự xây dựng của một khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ cho những thực thể mới trong vấn đề. Và bây giờ chúng ta phải phân biệt hai loại câu hỏi về sự hiện hữu: thứ nhất, câu hỏi về sự hiện hữu của những thực thể nhất định của loại mới bên trong khung cấu trúc hỗ trợ; chúng ta gọi chúng những câu hỏi bên trong; và thứ hai, câu hỏi liên quan về sự hiện hữu hay thực tại của hệ thống của những thực thể như một toàn bộ, được gọi là những câu hỏi bên ngoài. Những câu hỏi bên trong và những trả lời cho chúng có thể có, đều được hình thành với sự giúp đỡ của những hình thức mới của những biểu thức. Những trả lời có thể được tìm thấy hoặc bằng phương pháp thuần túy lôgích hoặc bằng những phương pháp thực nghiệm, tùy thuộc trên khung cấu trúc hỗ trợ vốn không biết liệulà một khung cấu trúc hỗ trợ lôgích hay một khung cấu trúc hỗ trợ thực tế. Một câu hỏi bên ngoài thì thuộc một tính chất khó khăn cần có xem xét chặt chẽ hơn. (Carnap 1950: §2)

 

Một khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ [33] là một cố gắng chính thức để phân định một phần của nói viết truyền thông. Khung cấu trúc hỗ trợ sẽ gồm một ngữ pháp chính xác, chỉ định những biểu thức nào là những câu chính đáng trong khung cấu trúc, và nó sẽ gồm những luật cho việc đem dùng của những câu. Một số của những luật có thể là duy nghiêm, thí dụ, chỉ định cho thấy rằng người ta có thể khẳng định một câu loại như vậy và giống như vậy, khi người ta có một loại kinh nghiệm nhất định nào đó. Những luật khác sẽ lôgích, cho thấy những suy luận nào được cho phép và những câu nào có thể được khẳng định, bất kể kinh nghiệm nào người ta có chăng nữa. Carnap gọi điều sau là những đúng thực phân tích.

 

Ở những nơi khác, Carnap đã trình bày một hệ thống lôgích học giống như của Russell (thí dụ, xem Carnap 1931), nhưng với một khác biệt quan trọng. Russell nhận nhiệm vụ của ông là một phân tích triết học của bản chất của những mệnh đề, những khái niệm, những lớp và những số (xem Goldfarb 1989), và do đó, ông nhấn mạnh trên nguyên tắc vòng luẩn quẩn, và do đó bác bỏ những định nghĩa không xác định. Như đã thấy ở trên, kết quả đã là một thuyết về loại phân cấp cồng kềnh, với tiên đề của tính thu giảm cần thiết nhất thời. Carnap, mặt khác, coi hệ thống của ông như là một khung cấu trúc hỗ trợmột khung cấu trúc ngôn ngữ trong số rất nhiều. Trong việc phát triển một khung cấu trúc hỗ trợ, người ta thì tự do để quy định những quy luật của hệ thống, đòi hỏi duy nhất là những quy luậtrõ ràng và minh bạch chi tiết. Carnap do đó ưa thích lý thuyết đơn giản về những loại không xác định của Ramsey, hoàn toàn tránh những nguyên tắc của tính thu giảm (xem chú thích 11 ở trên).

 

Carnap (1950) vẽ phác ngắn gọn một khung cấu trúc ngôn ngữ gọi là hệ thống của những con số. Ngữ pháp của nó gồm những chữ số, những biến số, những từ định lượng [34] như có một số x sao cho ..., và những dấu hiệu cho những phép toán số học. Carnap cho thấy rằng khung cấu trúc này gồmnhững quy tắc suy luận thông thường cho số học. Khung cấu trúc này dường như là một hệ thống suy diễn chính thức, giống như những hệ thống đã phát triển trong lôgích toán học.

 

Định nghĩa một khung cấu trúc số [35] để là một hệ thống giống như hệ thống lôgích trước đây của Carnap hay hệ thống những con số sau này của ông. Nhìn theo hướn bất kỳ một hệ thống nào như vậy, trước hết, có những câu hỏi từ bên trong, thí dụ, “Có số nguyên tố lớn hơn 100 không?” ... Những trả lời được tìm thấy , không bằng những điều tra thực nghiệm dựa trên những quan sát, nhưng bằng sự phân tích lôgích dựa trên những quy luât cho những biểu thức mới. Do đó, những trả lời ở đây là phân tích, tức là đúng về lôgích (Carnap 1950: §2). Sự hiện hữu của một số nguyên tố lớn hơn một trăm là một hệ quả dễ dàng, đơn giản của những quy luật và những định nghĩa của khung cấu trúc số đã cho. Sự hiện hữu của những con số là một hệ quả hoàn toàn đơn giản của những quy luật và những định nghĩa đó. Nó tuân theo những quy định rằng 1 là một số. Vì vậy, không ai có ý hỏi câu hỏi “Có những con số hay không?” theo nghĩa từ bên trong, hoặc sẽ khẳng định hoặc cân nhắc xem xét một trả lời phủ định’.

 

Lại nữa, Carnap đã chủ trương rằng câu hỏi từ bên ngoài liên quan đến thực tại của những con số là vô nghĩa. Điều gần nhất với một câu hỏi chính đáng là việc có thể khuyến khích được của việc áp dụng một khung cấu trúc số đem cho, nhưng đây là một vấn đề thực tiễn, không đòi hỏi một trả lời tuyệt đối ‘có’ hay không. Chúng tanhững thành viên của cộng đồng trí thức/ khoa học – đều tự do để lựa chọn để áp dụng một khung cấu trúc hỗ trợ, hay không, dựa trên nó làm đấy xa thế nào những mục tiêu chúng ta nhận giải quyết. Mục tiêu bao trùm của dự án theo đuổi nỗ lực hoạt động khoa học là để mô tả và đoán trước kinh nghiệm, và để điều khiển thế giới vật lý. Toán học dường như là phần của dự án theo đuổi nỗ lực hoạt động khoa học này. Câu hỏi thực tiễn là cho dù một trong những khung cấu trúc số của Carnap phục vụ những mục đích của khoa học tốt hơn hay tồi tệ hơn những khung cấu trúc hỗ trợ khác, chẳng hạn như thuyết về loại phân cấp của Russell.

 

Carnap đã áp dụng và bảo vệ một nguyên tắc của khoan dung. Hãy để một ngàn bông hoa cố gắng để nở rộ, ngay cả khi không phải tất cả chúng đều nở rộ:

 

Việc chấp nhận hay từ chối ... những hình thức ngôn ngữ trong bất kỳ ngành khoa học nào, cuối cùng sẽ được quyết định bởi sự hiệu quả của chúng với tư cách là những dụng cụ, tỷ lệ của kết quả đạt được với lượng của cố gắng và mức độ phức tạp của những cố gắng đòi hỏi... Chúng ta hãy ban cho những người làm việc trong bất kỳ lĩnh vực điều tra đặc biệt nào sự tự do để dùng bất kỳ hình của thức diễn đạt nào vốn xem có vẻ hữu ích với họ; công việc trong lĩnh vực sớm muộn sẽ dẫn đến việc loại bỏ những hình thức không có chức năng hữu dụng. Chúng ta hãy thận trọng khi đưa ra những khẳng định và phê phán khi xem xét chúng, nhưng hãy khoan dung trong việc cho phép những hình thức ngôn ngữ. (Carnap 1950: §5)

 

Trong chương 1, §2 trên, chúng ta đã thấy rằng Gödel đã bênh vực những định nghĩa không khẳng định trên những nền tảng của thuyết duy thực về bản thể. Ramsey (xem chú thích 11 ở trên) cũng làm như thế. Từ viễn cảnh đó, một định nghĩa không khẳng định là một mô tả của một thực thể hiện hữu với dẫn nhắc đến những thực thể hiện hữu khác. Nhưng điều này đòi hỏi một trả lời tích cực cho câu hỏi ban đầu từ bên ngoài về sự hiện hữu của những con số, và vì vậy nó tiến hành bằng lối của siêu hình học. Theo Gödel và Ramsey, những định nghĩa không khẳng định đều chấp nhận được những số và những lớp có một hiện hữu độc lập. Ngược lại, Carnap bênh vực những định nghĩa không khẳng định trên những nền tảng thực tiễn. Khung cấu trúc số của ông thì thuận lợi hơn so rất nhiều so với thuyết về loại phân cấp cho những mục đích khoa học đang có sẵn. Không cần thiết, biện minh thêm, hay ngay cả không cần thiết chặt chẽ hơn. Đào sâu vào trạng thái siêu hình của những thuộc tính, những khái niệm, hay những số chỉ tạo ra những câu hỏi-giả mạo

 

Không giống như Mill, Carnap và những nhà thực chứng lôgích khác chủ trương rằng sự đúng thực của toán học không được xác định bởi kinh nghiệm. Những đúng thực toán học là tiên nghiệm, bất kể chúng ta có kinh nghiệm gì đi chăng nữa. Tuy nhiên, là những người theo thuyết duy nghiệm, họ chủ trương rằng mọi vấn đề thực tế cuối cùng phải được kinh nghiệm quyết định. Vì vậy, những người theo thuyết thực chứng lôgích đã kết luận rằng những đúng thực toán học không có nội dung thực tế. Đối với Carnap, những đúng thực về những số tự nhiên có thể được gọi là khung cấu trúc những nguyên tắcvì chúng xuất hiện từ những quy luật cho việc dùng một khung cấu trúc số.



Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Jan/2022)

(Còn tiếp... )

http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com





[1] Russell – Đưa vào Triết học Toán học bản tôi dịch trên blog này

[2] Logicism: thuyết lôgích: được Richard Dedekind (1831-1916) cổ vũ mở đầu, Gottlob Frege (1848-1925) phát triển và Bertrand Russell (1872-1970) cùng Alfred North Whitehead (1861-1947) mở rộng. Richard Dedekind là một trong những người đầu tiên khẳng định rằng số học là một nhánh của lôgích học. Frege đã phát triển thuyết lôgích qua ba tác phẩm. Quyển đầu tiên, Begriffsschrift (‘chữ viết-khái niệm hay ký hiệu-khái niệm; một ngôn ngữ công thức, được mô phỏng theo chữ viết của số học, dành cho suy nghĩ thuần túy’), xuất bản lần đầu tiên vào năm 1879, là một tác phẩm kỹ thuật, giới thiệu cho người đọc một hệ thống lôgích hình thức. Quyển thứ hai, Grundlagen (Nền tảng của số học), xuất bản lần đầu năm 1884, là triết học. Quyển thứ ba, Grundgesetze der Arithmetik, xuất bản thành hai tập, năm 1893 và 1903. Nó cũng được dịch là Nền tảng của số học, nhưng đây là những nền tảng hình thức, không phải triết học. Whitehead và Russell tiếp tục dự án lôgích học, và xuất bản bộ sách 3 tập Principia Mathematica (1910–13). Đây là một công trình kỹ thuật phát triển một lý thuyết chính thức về những loại, mà theo họ, là lôgích thuần túy. Russell cũng xuất bản nhiều tác phẩm triết học khác: The Principles of Mathematics (1903) và Introduction to Mathematical Philosophy (1919).

Câu hỏi triết học chính nhà lôgích học cố gắng trả lời là: bản chất của toán học là gì? Như từ “nhà lôgích học” gợi ý, câu trả lời là toán học, hay một phần của nó, về cơ bản là lôgích. Tuyên bố của nhà lôgích học có hai phần: rằng kiến ​​thức của chúng ta về những định lý toán học thì hoàn toàn dựa trên những chứng minh lôgích từ những đúng thực cơ bản của logic; và rằng những khái niệm liên quan đến những định lý như vậy, và những đối tượng vốn hiện hữu của chúng có bao hàm, đều thuộc một bản chất lôgích thuần túy. Thế nên, Frege duy trì rằng số học không đòi hỏi những giả định nào ngoài của lôgích; rằng khái niệm số là một khái niệm lôgích thuần túy; và tự thân những con số đó, như ông nói, là những đối tượng lôgích. Quan điểm toán học này sẽ không thể thực hiện được nếu không có sự chuyển đổi sâu rộng của lôgích xảy ra vào cuối thế kỷ 19 – đặc biệt nhất là qua những công trình của Frege. Trước thời đó, lý luận toán học thực sự không thể thực hiện được dưới những hình thức lập luận lôgích đã công nhận: hoàn cảnh này đưa đến tính hợp lý với lý thuyết của Immanuel Kant rằng lý luận toán học thì không là ‘thuần túy biện luận’, nhưng dựa trên ‘những xây dựng’ đặt nền móng trên trực giác. Tuy nhiên, lôgich mới đã có thể trình bày suy luận toán học tiêu chuẩn trong dạng của những suy luận lôgích thuần túy – một mặt là Frege, và mặt khác là Russell, cùng Whitehead, thực hiện công trình để cho thấy trong chi tiết.

[3] [Một trong những sáng kiến của Frege là đánh bật những triết gia khỏi sự thống trị của hình thức chủ ngữ-vị ngữ của những mệnh đề. Thay vào đó, ông nghĩ rằng mỗi mệnh đề như có thể phân hủy thành hàm số và đối số trong nhiều cách khác nhau, một khái niệm vốn ông đã mượn từ toán học.]

[4] [Điều này đặt ra một câu hỏi về những định nghĩa và luật tổng quát (lôgích). Làm thế nào những người được biết đến? Chúng được tiên nghiệm ở mức độ nào? Có lẽ Frege coi những định luật và định nghĩa tổng quát là hiển nhiên, hay tự hiển nhiên là tiên nghiệm]

[5] equinumerous

[6] numerosity

[7] [Tên gọi theo trích dẫn của Frege về một nguyên tắc tương tự của người theo thuyết duy nghiệm thế kỷ mười tám David Hume. những khái niệm của Frege hiện hữu khách quan, và do đó không là những thực thể tinh thần, nhưng chúng có thể được nắm bắt qua não thức. Theo thuật ngữ của triết học thời nay, ‘thuộc tính’ có thể là một thuật ngữ tốt hơn khái niệm ở đây.]

[8] the successor relation

[9] [Đáng chú ý là Frege đã không nêu lên một vấn đề kiểu Caesar cho những mở rộng. Chẳng hạn, làm sao chúng ta biết có phải Caesar là mở rộng của những khái niệm chứa chính xác hai đối tượng hay không? Vì những mở rộng đều nối kết chặt chẽ với những khái niệm, có lẽ Frege đã coi chúng là đã được biết]

[10] topology

[11] [Như chúng ta đã thấy trong §2 của chương trước, lai lich của cái nhìn này truy ngược về Kant. Khi thảo luận về một lập luận cụ thể cho sự hiện hữu của Gót, Kant tuyên bố rằng việc phân tích những khái niệm không thể đòi hỏi sự hiện hữu của bất cứ thứ gì. Nếu Kant nói đúng về điều này, và nếu Lôgích học gồm phân tích khái niệm, thì không có đối tượng lô-gic nào đặc biệt]

[12] [Nhà toán học Ernst Zermelo đã tìm ra được nghịch lý khoảng một năm trước đó. Xem Rang và Thomas 1981]

[13] [Khi thảo luận về tác phẩm lôgích mở đường lớn lao của Frege, Begriffsschrift (1879), Russell (1919: ch. 3) nói rằng mặc dù giá trị lớn lao của tác phẩm này, tôi tin rằng, tôi đã là người độc nhất từng đọc nó – sau hơn hai mươi năm nó đã xuất bản]

[14] fallacy: vẫn thường dịch là ngụy biện

[15] impredicative: không khẳng định: Trong toán học, lôgích và triết học toán học, một gì ‘impredicative là một định nghĩa lại viện dẫn chính nó

[16] Nay là những ký hiệux” & x

[17] thuyết về loại (theory of logical types, khác với lớp (classes)): do Russell đưa ra nhằm loại trừ sự tự viện dẫn ngõ hầu ngăn chặn sự xuất hiện của những mâu thuẫn và những nghịch lý trong logich. Nó tuyên bố rằng một lớp thì thuộc một loại logich cao hơn những phần tử của nó và vì phải không lẫn lộn những loại logich, nên không lớp nào có thể chứa chính nó như một phần tử. Ví dụ: nguyên lý triệt tam tuyên bố rằng những mệnh đề có thể hoặc đúng hoặc sai là một mệnh đề và do đó phải hoặc đúng hoặc sai. Nhưng vì nó chỉ có thể là đúng (nếu không nó sẽ không là nguyên), nó bất chấp phát biểu của chính nó. Giải pháp của Russell là luật là một mệnh đề về những mệnh đề và không được nhầm lẫn với những mệnh đề vốn chính nó đề cập đến. Theo thuyết về loại, những phát biểu viện dẫn chính nó thì không đúng và cũng không sa,i nhưng chỉvô nghĩa.

[18] [Có những số tự nhiên khác nhau cho mỗi loại. Chúng ta có thể định nghĩa 0 lớp của tất cả những lớp loại 2 vốn không có những phần tử’, và 1 lớp của tất cả những lớp loại 2 với một phần tử duy nhất, vv... Như thế, 0 và 1 đều loại 3.]

[19] [Với một vài cẩn thận, có thể xác định nhất quán những lớp của những loại hỗn hợp, chẳng hạn như lớp người chơi và đội (những người chơi). Thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel thời nay cho phép những lớp hỗn hợp và do đó nó có một lớp gồm tất cả những lớp của loại hữu hạn, và sau đó là những lớp con của những lớp đó, v.v. Cấu trúc kết quả đôi khi được gọi là cấu trúc phân cấp tích lũy. Cho phép những loại hỗn hợp tạo dễ dàng cho sự mở rộng của hệ thống phân cấp vượt ngoài những loại hữu hạn. Trong hệ thống phân cấp tích lũy. không có set của tất cả những set vốn không là phần tử của chính chúng. Không có set phổ quát, chứa tất cả những set như những phần tử, và không có set của tất cả những set chỉ có đúng một phần tử (singletons). Vì vậy, việc xây dựng theo Frege cũng bị chặn ở đó]

[20] ramified type theory: [Whitehead và Russell 1910. Xem Hazen 1983 để biết sự phát triển dễ đọc và thông cảm của lý thuyết kiểu những hệ quả phức tạp bất ngờ. Russell đã dùng từ trật tự cho cái vốn tôi gọi là cấp/mức độ ở đây. Trong văn học thời nay, một cụm từ như “bậc hai” hay “bậc cao” nói đến một thứ giống như một loại trong hệ thống phân cấp của Russell.]

[21] level

[22] principle of reducibility: nguyên tắc của tính thu giảm (hay nguyên lý thu giảm) Tiên đề do Russell và Whitehead đưa ra trong Principia Mathematica. Trong hệ thống đó, những hàm số mệnh đề được sắp xếp thành những cấp, như một phần của lý thuyết phân cấp về nhữngloại. Tiên đề nói rằng đối với bất kỳ hàm số nào ở cấp độ nào cũng tồn tại một hàm số tương đương về mặt hình thức ở cấp độ đầu tiên. Tiên đề thì cần thiết để cho phép việc xây dựng toán học sơ cấp, đặc biệt là để chứng nhận nguyên lý quy nạp toán học

[23] [FP Ramsey (1925) đã đưa ra một lý thuyết kiểu đơn giản hay kiểu hàm ý vốn không có giới hạn về mức độ, nhưng sau đó có lẽ người ta cần phải biện minh cho những vi phạm theo nguyên tắc vòng luẩn quẩn. Ramsey đã áp dụng một thuyết duy thực bản thể học với những lớp học, thuyết này loại bỏ Tất Yếu của một nguyên tắc vòng luẩn quẩn. Xem ch. 1, §2 trên. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này ngắn gọn ở phần sau của chương này.]

[24] section

[25] completeness principle: Nguyên tắc hoàn chỉnh là một thuộc tính của nhữngsố thực và là một trong những nền tảng của giải tích thực. Công thức phổ biến nhất của nguyên tắc này là mọi tập hợp không rỗng có giới hạn trên, có một giá trị tối cao (supremum)

[26] real analysis: giải tích thực (bậc nhất)

[27] axiom of choice

[28] ordered pair:

[29] [Ở đây, tiên đề của thu giảm đóng một vai trò còn lớn hơn, vì một câu diễn đạt đơn lẻ có thể đòi hỏi người ta nói cùng một lúc tất cả những khái niệm trong toàn bộ hệ thống phân cấp. những đưa ra khác nhau về từng loại và / hay mức độ]

[30] [Dummett đặtngã rẽ ngôn ngữ với Frege, nhưng điều này còn bàn luận chưa ngã ngũ. Mặc dù Frege rõ ràng là một nhân vật quan trọng trong sự phát triển cuối cùng của truyền thống ngữ nghĩa, ông không chủ trương rằng tất cả đúng thực là đúng thực tất yếu theo định nghĩa. Nhớ lại rằng, với Frege, sự đúng thực của hình học đều là tổng hợp, tiên nghiệm (xem §1 ở trên), và do đó không là đúng bởi định nghĩa. Với Frege, những đúng thực phân tích đều có thể suy diễn từ những luật lôgích tổng quát và những định nghĩa. Do đó, địa vị của những phân tích đúng thực theo Frege làm bật lên bản chất của những luật lôgích tổng quát’, nhưng Frege đã không nói nhiều về những điều này (xem chú thích 2 ở trên).]

[31] [Xem Hale 1987: 5-10, để có một thảo luận rõ ràng về vấn đề này.]

[32] SubsistenceMeinong (Gegenstandstheorie)

[33] linguistic framework'

[34] quantifier

[35] a number framework