Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (05)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 Stewart Shapiro

( ←...tiếp theo) 

PHẦN III.

BA ĐẠI THỤ

 

5

THUYẾT LÔGÍCH TOÁN HỌC: CÓ PHẢI TOÁN HỌC CHỈ LÀ LÔGÍCH?

Toán học và lôgích học, nói về mặt lịch sử, đã từng là những môn học hoàn toàn biệt lập ... Nhưng cả hai đã phát triển trong thời nay: lôgích học đã thành toán học hơn và toán học đã thành lôgích hơn. Hệ quả là bây giờ thành hoàn toàn không thể nào vẽ được một đường ranh giữa hai; thực sự, cả hai là một ... Dĩ nhiên, bằng chứng của đặc điểm định tính của chúng là một vấn đề của chi tiết: (Russell 1919: ch. 18) [1]

 

Chương trước đã trình bày những quan điểm của Immanuel Kant rằng (1) toán học thì có thể biết độc lập với kinh nghiệm giác quan – toán học là tiên nghiệm – và (2) những đúng thật của toán học không thể được xác định bởi việc phân tích những khái niệm – chúng là tổng hợp. Mặc dù người ta khó có thể đề cao thêm nữa ảnh hưởng của Kant, những triết gia đi sau đã gặp khó khăn trong việc ứng hợp những quan điểm này với những phát triển trong toán học và khoa học. Như đã nói ở trên, Alberto Coffa (1991) biện luận rằng bận tâm chính của triết học thế kỷ 19 là giải thích tính tất yếu và bản chất tiên nghiệm, thoạt nhìn lần đầu như hiển nhiên, của toán học và lôgích, nhưng không gọi đến trực giác theo Kant, hay một số nhắc dẫn khác với những dạng tiên nghiệm của không gian và thời gian. Hai lựa chọn thay thế cho quan điểm của Kant có vẻ là toán học là thực nghiệm (và do đó là hậu nghiệm) và toán học là phân tích. Phần 3 của chương trước phác họa cố gắng táo bạo của John Stuart Mill với lựa chọn thay thế trước. Bây giờ chúng ta tiến lên một vài mười năm, đến gần đầu thế kỷ XX, và xem xét những cái nhìn rằng toán học là phân tích (hay tất cả trừ phân tích). Một số tác giả xem xét trong chương này chủ trương rằng ít nhất một phần của toán học là lôgích, hay có thể được thu giảm về lôgích. Ý tưởng là những khái niệm và những đối tượng của toán học, chẳng hạn như ‘số’, có thể được định nghĩa từ những thuật ngữ lôgích; và với những định nghĩa này, những định lý toán học có thể được suy ra từ những nguyên lý lôgích. Quan điểm này gọi là thuyết lôgích.[2] Chúng ta bắt đầu với Gottlob Frege, nhà toán học lỗi lạc đầu tiên chúng ta gặp trong khảo sát lịch sử của chúng ta (ngoài việc nhắc qua những nhà duy lý Descartes và Leibniz).

 

1. Frege

 

Chúng ta phải vắn tắt hướng chú ý về những khái niệm thay đổi của tính phân tích và kiến thức tiên nghiệm. Những điều này mang những nghĩa khác nhau với những nhà tư tưởng khác nhau. Nhớ lại rằng với Kant, nếu một mệnh đề trong hình thức chủ ngữ-vị ngữ, khi đó nó là phân tích nếu khái niệm chủ ngữ của nó chứa đựng khái niệm vị ngữ của nó.[3] Ý tưởng trung tâm là tính phân tích khởi động trên siêu hình học của những khái niệm. Người ta xác định xem một mệnh đề là phân tích hay không bằng việc phân tích những khái niệm của nó.

 

Frege đã dùng một sự phân biệt khác, nhưng có lẽ liên quan. Ông đã chủ trương rằng tính phân tích thì giống như một ưu tiên trong tư thế một khái niệm nhận thức, khởi động một mệnh đề đem cho thì được biết (hay có thể biết) thế nào:

Những phân biệt này giữa tiên nghiệm và hậu nghiệm, tổng hợp và phân tích, như tôi thấy, không về nội dung của phán đoán nhưng về sự biện minh cho việc đưa ra phán đoán. Ở chỗ không có sự biện minh, sự có thể có của việc rút ra những khác biệt biến mất. Khi ... một mệnh đề được gọi là hậu nghiệm hay phân tích, trong nghĩa của tôi, ... nó là một phán đoán về nền tảng cuối cùng vốn sự biện minh cho chủ trương để nó là đúng nằm trên đó. ... Vấn đề trở thành ... là của việc tìm chứng minh của mệnh đề, và của việc đi đúng theo nó ngược về những đúng thật ban đầu. Nếu, trong việc thực hiện tiến trình này, chúng ta đi đến chỉ những luật lôgích tổng quát và những định nghĩa, khi đó sự đúng thật là một đúng thật phân tích. . . Tuy nhiên, nếu không thể đem cho chứng minh với không dùng những đúng thật vốn không thuộc một bản chất lôgích tổng quát, nhưng thuộc về lĩnh vực của một số khoa học tổng quát, khi đó mệnh đề là một mệnh đề tổng hợp. Cho một đúng thật là hậu nghiệm, phải là không thể nào để xây dựng một chứng minh của nó với không một kêu gọi đến những sự kiện, tức là, đến những đúng thật vốn không thể được chứng minh và không tổng quát. . . Nhưng ngược lại, nếu chứng minh của nó có thể được suy ra hoàn toàn từ những luật tổng quát, vốn tự thân chúng không cần cũng không chấp nhận của chứng minh, khi đó đúng thật là tiên nghiệm. (Frege 1884: §3)

 

Mặc dù Frege tin rằng mọi mệnh đề có thể biết được đều có một ‘nền tảng cuối cùng’, một gì đó giống như một chứng minh hợp với quy tắc tiêu chuẩn [4], những định nghĩa triết học quan trọng có thể được hình thành nhưng không phải giả định-trước điều này. Một mệnh đề là tiên nghiệm, nếu hoặc nó là một ‘luật tổng quát’ không thể chứng minh được, hoặc nó có một bằng chứng-biện minh vốn chỉ dựa trên những luật lôgích tổng quát và những định nghĩa không thể chứng minh được như vậy. Một mệnh đề có tính phân tích nếu nó là ‘định luật hoặc định nghĩa lôgích tổng quát’ hoặc nó có một chứng minh chỉ dựa trên những định luật và lôgích tổng quát’ đó [5]. Có một nguồn lôgích đặc biệt của kiến thức và những đúng thật phân tích được biết trên cơ sở đó.

 

Đoạn văn trên cho thấy Frege chủ trương rằng chỉ những mệnh đề có thể biết được hay biện minh được có thể là phân tích hay tiên nghiệm. Vì ông cũng chủ trương rằng số học và phân tích số thực đều là phân tích, ông tin rằng mọi đúng thật về những số tự nhiên và mọi đúng thật về những số thực thì có thể biết được. Có nghĩa là, mọi sự đúng thật như vậy hoặc có thể chứng minh được, hoặc là một luật hay định nghĩa lôgích tổng quát không chứng minh được. Frege đã gắn buộc với quan điểm rằng với mọi mệnh đề về những số tự nhiên hay những số thực, hoặc nó hay phủ định của nó đều có thể biết được.

 

Để cho thấy rằng những mệnh đề số học là phân tích, Frege phải cho thấy suy diễn chúng từ những định nghĩa và luật lôgích tổng quát như thế nào. Chương trình về lôgích của ông đã là một cố gắng để làm chỉ điều đó, ít nhất cho những nguyên tắc cơ bản của lĩnh vực này.

 

Frege bắt đầu với một sự kiện tổng quát về việc đếm. Một người nào đó có thể xác định nếu hai sưu tập là như nhau hay không, bằng việc đặt chúng trong tương ứng 1-1. Chúng ta hãy nói rằng hai khái niệm thì có số lượng bằng nhau [6] nếu có sự tương ứng một-một giữa những đối tượng trong một này và những đối tượng trong một kia. Thí dụ, trên bàn ăn đã đặt, những khăn ăn có số lượng bằng những đĩa ăn, nếu có đúng một khăn tương ứng với mỗi đĩa. Trong xã hội một vợ một chồng, có số lượng những người chồng bằng với của những người vợ (theo định nghĩa). Mặc dù có tên gọi (danh động từ) là ‘có nhiều/số lượng’ [7], Frege đã cho thấy định nghĩa ‘tính có số lượng bằng nhau về lôgic’ chỉ bằng việc dựa vào phương pháp của lôgích (những gì gọi là ‘lôgích bậc cao’), với không giả định-trước có những số tự nhiên, hay khái niệm số tổng quát. Ông (1884: §63) đưa ra luận điểm sau, bây giờ được biết như ‘nguyên lý của Hume’: [8]

 

Cho bất kỳ những khái niệm F nào, G, số của F thì đồng nhất với số của G, nếu và chỉ nếu F và G thì có số lượng bằng nhau.

 

Như Frege chủ ý, cụm từ ‘số của F’ là một hình thức ngữ pháp để biểu thị một đối tượng. Đó là, ‘số của F’ là một tên riêng (nói rộng rãi), hay những gì ngày nay được gọi là một ‘thuật ngữ số ít’. Theo thuật ngữ của Chương 2, §2.1 ở trên, Frege là một người theo thuyết duy thực trong bản thể học, tin tưởng vào sự hiện hữu độc lập của những số tự nhiên. Ông cũng là một người theo thuyết duy thực trong giá trị-đúng thật, sau khi chủ trương rằng những phát biểu của toán học có những giá trị-đúng thật khách quan.

 

Gọi Z là khái niệm ‘không đồng nhất với chính nó’. Vì mọi đối tượng thì đồng nhất với chính nó, không đối tượng nào có khái niệm Z. Đó là, cho mọi đối tượng a, Za thì sai. Frege đã định nghĩa số zero là số của khái niệm Z.

 

Frege (Frege 1884: §76) sau đó đã định nghĩa quan hệ tiếp theo [9] giữa những số. ‘Số n đứng sau trong chuỗi những số tự nhiên, trực tiếp sau m’ nếu và chỉ nếu

 

có một khái niệm F, và một đối tượng x nằm dưới phân loại như nó, sao cho số thuộc khái niệm F là n và số thuộc khái niệm ‘nằm dưới phân loại như F nhưng không đồng nhất với x’ là m.

 

Nói cách khác, n là một số tiếp theo của m nếu có một khái niệm vốn nó áp dụng với chính xác những n đối tượng, và khi chúng ta loại bỏ một trong những đối tượng đó,những m đối tượng vẫn còn. Ngôn ngữ chính xác của Frege thì được đặt ra để nói điều này bằng dùng chỉ những thuật ngữ lôgích như ‘đối tượng’, ‘khái niệm’ và ‘đồng nhất’.

 

Gọi T là khái niệm ‘đồng nhất với zero’, như thế khiến cho bất kỳ đối tượng b nào, Tb giữ đúng nếu và chỉ nếu b = 0. Đó là, T giữ đúng một điều, số zero. Frege định nghĩa số một là số của khái niệm T. Ông đã cho thấy rằng số một ‘theo sau số zero trong chuỗi những số tự nhiên’, theo như định nghĩa của riêng ông.

 

Frege nhắc người đọc rằng ‘định nghĩa này của số 1 không giả định-trước, vì tính chính đáng khách quan của nó, bất kỳ quan sát thực tế dù loại nào’. Nói cách khác, những mệnh đề nền tảng là tiên nghiệm và khách quan.

 

Bước tiếp theo là để định nghĩa số 2 là số của khái niệm ‘hoặc đồng nhất với zero hoặc đồng nhất với một’, và tiếp tục như thế cho phần còn lại của những số tự nhiên. Tổng quát, gọi n là một số bất kỳ trong chuỗi những số tự nhiên. Hãy xét khái niệm S_n, ‘phần tử trong chuỗi những số tự nhiên tận cùng với n’. Đó là, cho bất kỳ đối tượng a nào, S_n a giữ đúng nếu và chỉ nếu a là một số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n. Frege đã cho thấy rằng số của khái niệm S_n là một số tiếp theo của n: số của S_n là n + 1. Điều này thiết lập rằng có vô hạn những số tự nhiên.

 

Điều vẫn còn là để đem cho một định nghĩa của số tự nhiên. Người ta muốn nói rằng n là một số tự nhiên nếu n thì có được từ số 0, sau hữu hạn những áp dụng của phép toán (tính) số tiếp theo. Tuy nhiên, như một định nghĩa, điều này sẽ là đi vòng quanh, vì nó dẫn gợi khái niệm của ‘nhiều hữu hạn’. Frege đã nghĩ ra một cách để hoàn tất định nghĩa bằng dùng chỉ những nguồn lôgích. Để diễn giải, n là số tự nhiên nếu và chỉ nếu

 

Cho bất kỳ khái niệm F nào, nếu F giữ đúng của số zero và nếu cho mọi đối tượng d, từ mệnh đề d nằm dưới phân loại F, theo đó mọi số tiếp theo của d đều nằm dưới phân loại F, khi đó n nằm dưới phân loại F.

 

Trong những thuật ngữ thời nay hơn, n là một số tự nhiên nếu n nằm dưới phân loại mọi khái niệm vốn giữ đúng giá trị bằng 0 và thì khép kín trong quan hệ tiếp theo. Trong những ký hiệu:

 

Nn ≡ ∀ F [(FO & ∀ d ∀ d' ((Fd & 'd' là một số tiếp theo của d’) → Fd')) → Fn].

 

Frege sau đó đã cho thấy những mệnh đề số học phổ thông, chẳng hạn như nguyên lý quy nạp, tuân theo những định nghĩa này như thế nào. Sự suy diễn những nguyên lý cơ bản của số học từ nguyên lý của Hume ngày nay được biết như định lý của Frege.

 

Frege đã không hài lòng với khai triển này. Nguyên tắc của Hume xác định những bản chất định tính của dạng ‘số của F = số của G’, trong đó F và G là những khái niệm bất kỳ, nhưng nó không xác định giá trị-đúng thật của những câu trong dạng ‘số của F = t’, trong đó t là một số đơn lẻ tùy tiện. Đặc biệt, nguyên lý của Hume không xác định xem số 2 có đồng nhất với một set đã cho, hay với (hoàng đế) Julius Caesar hay không. Tôi giả định rằng không ai sẽ nhầm lẫn số 2 với vị hoàng đế, nhưng tự thân nguyên lý của Hume không giải quyết ổn thỏa câu hỏi.

 

Tóm lại, cho đến giờ Frege đã (xuất sắc) xác định những quan hệ giữa những số tự nhiên, và đã đem cho những định nghĩa thỏa đáng của những kích thước của những set khác nhau, tất cả từ nguyên lý của Hume, nhưng ông vẫn đã không định nghĩa những số tự nhiên. Rốt cuộc, số 2 là gì? Ý tưởng ẩn chìm là chúng ta đã không thành công trong việc mô tả đặc điểm những số tự nhiên như những đối tượng trừ khi và cho đến khi chúng ta có thể xác định thế nào và tại sao số tự nhiên bất kỳ đã cho nào thì giống như hay khác với đối tượng bất kỳ nào. Để mượn một cụm từ nổi bật dễ nhớ từ W.V.O. Quine, ‘không thực thể nào với không bản chất định tính’. Trong nội dung của thuyết lôgích theo như Frege, vấn đề của việc định nghĩa những số tự nhiên đã trở nên được biết như ‘vấn đề Caesar’ (xem Heck 1997a).

 

Lưu ý rằng cho đến giờ sự phát triển lấy nguyên tắc của Frege như một điểm khởi đầu không biện minh. Nó là phần của phương pháp học của Frege vốn người ta nên cố gắng để chứng minh những gì người ta có thể, và như thế mở ra cho thấy nền tảng tri thức học của nó. Ông đã cố gắng như thế cho nguyên lý của Hume.

 

Mở rộng của một khái niệm là lớp của tất cả những đối tượng vốn khái niệm áp dụng với chúng. Thí dụ, phần mở rộng của ‘ghế’ là lớp của tất cả những cái ghế. Frege (Frege 1884: §68) đã định nghĩa những số tự nhiên theo những khái niệm và mở rộng của chúng:

 

Số vốn nó thuộc khái niệm F là mở rộng của khái niệm có số lượng bằng với số khái niệm F.

 

Thí dụ, số hai là mở rộng (hay sưu tập) chứa tất cả những khái niệm vốn gồm chính xác hai đối tượng [10]. Vì vậy, khái niệm của là cha mẹ của Aviva Shapiro là một phần tử của số hai, cũng như khái niệm của là một chiếc giày trên một người mặc quần áo đầy đủ nhất định và khái niệm của là một số nguyên tố nhỏ hơn năm. Số ba là mở rộng (hay sư tập) chứa tất cả những khái niệm vốn chứa chính xác ba đối tượng, v.v.

 

Frege (1884: §73) đã cho thấy nguyên lý của Hume đi theo từ những định nghĩa này và một số thuộc tính tổng quát của những mở rộng như thế nào. Với định lý của Frege, điều này hoàn tất sự duy diễn số học, và sự thiết lập của thuyết lôgích cho những số tự nhiên – với điều kiện là những định nghĩa trên là đúng. Dưới những giả định này, Frege đã thành công trong việc cho thấy rằng số học là phân tích. Giải thích lý do đã tiến hành qua một giải thích nghiêm ngặt chính xác và xuất xắc hợp lý của sự áp dụng của số học vào việc đếm của những khái niệm và những sưu tập của những đối tượng.

 

Người ta không thể đề cao hơn thêm nữa thành tựu của Frege. Ai đã có thể nghĩ rằng có thể suy diễn được nhiều như thế từ quá ít như thế và đặc biệt là từ những sự kiện hiển nhiên và đơn giản như vậy về những khái niệm, những mở rộng và phép đếm? Tuy nhiên, số học chỉ là một phần ban đầu của toán học. Những chương trình của Frege để mở rộng thuyết lôgích sang phân tích số thực đã không phát triển vào thành một chương trình chi tiết (thí dụ, xem Simons 1987 và Dummett 1991: ch. 22). Người ta chỉ có thể suy đoán trên mức độ với nó thuyết lôgích Frege có thể đáp ứng một số nhánh của toán học thời nay, chẳng hạn như giải tích phức, cấu trúc liên kết [11] và thuyết tập hợp.

 

Một người đọc quen thuộc với lôgích thời nay có thể ghi nhận một không-thuận hợp trong thuyết lôgích của Frege. Luận điểm chủ trương rằng những nguyên tắc của số học có thể suy diễn được từ những luật của lôgích đi ngược lại quan điểm phổ thông hiện nay rằng tự thân lôgích không có bản thể học. Không có những đối tượng lôgích đặc biệt [12]. Từ viễn tượng này, thuyết lôgích là một gì không hữu hiệu, ít nhất cho một người theo thuyết duy thực về bản thể như Frege, người chủ trương rằng những số tự nhiên hiện hữu như những đối tượng độc lập. Có nhiều vô hạn của những số tự nhiên, và như thế nếu lôgích không nói gì về có bao nhiêu đối tượng, khi đó người ta không thể định nghĩa những số tự nhiên trong lôgích.

 

Frege, tuy nhiên, đã theo một truyền thống rằng những khái niệm đều trong phạm vi hiệu lực của lôgích, và với Frege, những mở rộng đều gắn với những khái niệm. Vì vậy, lôgích thực có một bản thể học. Những đối tượng lôgích gồm những mở rộng của một số khái niệm vốn hiện hữu tất yếu. Do đó, những đối tượng lôgích hiện hữu thì tất yếu, và do đó, tính tất yếu của lôgích được duy trì.

 

Như đã cho thấy từ đoạn trích dẫn đầu tiên ở trên, Frege đã phân biệt rõ ràng lôgích học với những khoa học đặc biệt, chẳng hạn như vật lý. lôgích học là môn học-trung lập vì nó áp dụng được phổ quát; những đúng thật lôgích là tuyệt đối tổng quát. Việc dùng những khái niệm – và những mở rộng của chúng – không làm suy yếu tính trung lập này. Người ta cần giải quyết với những khái niệm ngõ hầu để suy nghĩ dù gì đi nữa. Đối với bất kỳ loại đối tượng nào, đều có những khái niệm của những đối tượng đó và những mở rộng của những khái niệm đó. Frege đã cho thấy xây dựng những số tự nhiên từ bản thể học lôgích này như thế nào. Ông cũng nhận định rằng số học nhận được lợi ích khả năng ứng dụng phổ quát của lôgích. Bất kỳ chủ đề-nội dung nào cũng có một bản thể học, và nếu một chủ đề-nội dung có những đối tượng dù gì đi nữa, người ta có thể đếm chúng và áp dụng số học.

 

Chúng ta nên ghi nhận rằng Frege đã không mở rộng thuyết lôgích của ông sang hình học. Về điểm đó, ông là một người theo Kant, chủ trương rằng những nguyên lý của hình học Euclid là tổng hợp tiên nghiệm (với những khái niệm đó được hiểu trong một nghĩa theo Frege, như ở trên). Frege đã chủ trương rằng hình học quả thực có một chủ thể-vật chất đặc biệt, không phổ quát – không gian. Chúng ta không cần tiếp tục theo đuổi những vấn đề này liên quan đến những ranh giới của lôgích (xem Shapiro 1991: chs. 1-2). Có những vấn đề lớn hơn ở phía chân trời.

 

Ngay cả đã giới hạn với số học – và không đòi hỏi những vấn đề về ranh giới – thật đáng buồn khi kể lại rằng câu chuyện của chúng ta không có một kết thúc đáng lẽ phải có và gọn gàng. Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1903) của Frege sau này chứa đựng một phát triển đầy đủ của một lý thuyết của những khái niệm và những mở rộng của chúng. Cho những mục đích lúc này, cương lĩnh quan trọng là Luật cơ bản V tai tiếng hiện nay, được diễn giải như sau:

 

Cho bất kỳ những khái niệm F, G nào, mở rộng của F thì đồng nhất với mở rộng của G, nếu và chỉ nếu cho mọi đối tượng a, Fa nếu và chỉ nếu Ga.

 

Nói cách khác, mở rộng của F thì đồng nhất với mở rộng của G nếu và chỉ nếu F và G có đúng cùng những đối tượng.

 

Một lá thư của Bertrand Russell năm 1902 (xem van Heijenoort 1967: 124-5) mở ra cho thấy rằng Luật Cơ bản V thì không nhất quán. [13] Gọi R là khái niệm vốn áp dụng cho một đối tượng x, chỉ trong trường hợp có một khái niệm F sao cho x là mở rộng của F và Fx thì sai.

 

Gọi r là mở rộng của R. Giả định rằng Rr thì đúng. Khi đó, có một khái niệm F sao cho r là mở rộng của F và Fr thì sai. Theo Luật cơ bản V thì Rr cũng sai (vì r cũng là mở rộng của R). Vì vậy, nếu Rr thì đúng, thì Rr thì sai. Vì vậy, Rr thì sai. Khi đó, có một khái niệm F (cụ thể là R) sao cho r là mở rộng của F và Fr thì sai. Như thế, theo định nghĩa, R giữ đúng của r, và vì vậy Rr thì đúng. Đây là một mâu thuẫn, và vì vậy Luật Cơ bản V thì không nhất quán. Điều này bây giờ được biết như nghịch lý của Russell.

 

Frege đã hiểu nghịch lý này gây tổn hại rất lớn cho dự án lôgích của ông. Tuy nhiên, ông đã gửi Russell một lá thư cám ơn nhã thiệp, gần như lập tức:

 

Việc ông tìm ra mâu thuẫn đã làm tôi rất đỗi ngạc nhiên, và tôi muốn nói, gần như là rụng rời, vì nó đã làm lung lay cơ bản trên đó tôi đã có ý định để xây dựng số học ... [Vấn đề thì] tất cả càng nghiêm trọng hơn, vì với sự mất đi luât cơ bản V của tôi, không chỉ những nền tảng của số học của tôi, những cũng những nền tảng có thể có duy nhất của số học, xem dường như biến mất ... Trong bất kỳ trường hợp nào đi nữa, khám phá của ông thì xuất sắc nổi bật, rất đáng ghi nhận, và có lẽ sẽ làm xảy ra một bước tiến lớn trong lôgích học, dù có thể nó có vẻ không được chào đón như thoạt nhìn lúc đầu. (van Heijenoort 1967: 127-8)

 

Trong cùng lá thư, Frege đã cho một công thức trình bày nghịch lý rõ ràng hơn. Sau một vài cố gắng để gượng lại sau thất bại, Frege đã bỏ rơi dự án lôgích của ông trong những đổ nát. Chúng ta quay sang những người khác đã chấp nhận công việc quan trọng của thuyết lôgích, bắt đầu với chính Russell.

 

2. Russell

 

Russell (1919: ch. 2) đã chủ trương rằng giải thích của Frege về những số tự nhiên về thực chất thì chính xác: [14]

 

Câu hỏi ‘Số là gì?’ là một câu hỏi vốn đã thường hỏi, nhưng đã chỉ được trả lời chính xác trong thời của chúng ta. Trả lời Frege đã đem cho năm 1884, trong Grundlagen der Arithmetik của ông. Mặc dù quyển sách này khá ngắn, không khó và thuộc vào hàng quan trọng bậc nhất, nó hầu như đã không thu hút được chú ý, và định nghĩa về số vốn nó chứa đưng, đã vẫn không được biết đến trong thực tế, cho đến khi nó được tác giả này (Russell) lại tìm ra trong năm 1901.

 

Russell thêm một chú thích rằng cùng những định nghĩa tương tự ‘đã đem cho đầy đủ hơn và với phát triển hơn’ trong Frege (1893) và (1903). Chúng ta có thể kết luận rằng Russell đã không chấp nhận thẩm định của Frege rằng ‘những nền tảng duy nhất có thể có của số học xem dường như biến mất’ trong sự mâu thuẫn với Định luật Cơ bản V.

 

Trong thực tế, Russell đã chủ trương rằng một khi nó được hiểu đúng mức, thì Định luật Cơ bản V thì chính xác như một định nghĩa của ‘mở rộng’ hay ‘lớp’. Dò tìm của ông đã là nguồn gốc của mâu thuẫn từ Định luật cơ bản V gọi ra một thất bại trong lập luận khiến luận chứng thành vô hiệu [15]. Nhắc lại (từ chương 1, §2) rằng một định nghĩa của một thực thể toán học thì không khẳng định [16], nếu nó nhắc dẫn đến một sưu tập vốn chứa đựng thực thể được định nghĩa. Định nghĩa thông thường của ‘giới hạn trên nhỏ nhất’ thì không khẳng định vì nó nhắc dẫn đến một set gồm những những giới hạn trên và mô tả đặc điểm một phần tử của set này.

 

Russell (1919: ch. 17) biện luận rằng những định nghĩa loại như vậy là không chính đáng, vì chúng là lý luận vòng quanh:

 

Bất cứ khi nào, bởi những phát biểu về “tất cả” hay “một số” [17] của những giá trị vốn một biến số có thể nhận ý nghĩa rõ ràng đáng kể, chúng ta tạo một đối tượng mới, đối tượng mới này phải không là giữa những giá trị vốn biến số trước đó của chúng ta có thể nhận, vì nếu nó đã là thế, tính toàn bộ của những giá trị trên đó biến số có thể nằm trong phạm vi sẽ chỉ định nghĩa được trong những thuật ngữ của chính nó, và chúng ta sẽ vướng trong một vòng oái oăm. Thí dụ, nếu tôi nói “Napoléon đã có tất cả những phẩm tính vốn làm nên một vị tướng vĩ đại”, tôi phải định nghĩa “những phẩm tính” trong một cách khiến nó sẽ không gồm những gì tôi đang nói, tức là “có tất cả những phẩm tính làm nên một vị tướng vĩ đại” phải không tự nó là một phẩm tính trong ý hướng đã được giả định.

 

Thuyết minh của nghịch lý của Russell bất đồng nghiêm trọng với nguyên tắc ‘vòng oái oăm’. Để tạo nghịch lý, chúng ta định nghĩa một khái niệm R vốn ‘áp dụng cho một đối tượng x đúng trong trường hợp có một khái niệm F sao cho x là mở rộng của F và Fx thì sai’. Định nghĩa của R viện dẫn tất cả những khái niệm F, và R thì đúng là một khái niệm F như thế. Do đó, định nghĩa của R thì không khẳng định. Chúng ta nhận được một mâu thuẫn từ giả định rằng định nghĩa R giữ đúng cho mở rộng của nó. Ngăn cấm trên những định nghĩa không khẳng định loại trừ ngay cả việc tạo giả định này.

 

Lúc này, chúng ta hãy đặt những khái niệm sang một bên và chỉ nói về những mở rộng, hay những lớp. Russell lập luận, từ nguyên tắc vòng luẩn quẩn oái oăm, rằng nó ‘phải trong mọi trường hợp là vô nghĩa (nhưng không sai) để giả định [rằng] một lớp [là] một phần tử của chính nó, hay không là một phần tử của chính nó’. Thế nên, không thể có một lớp bao hàm-tất cả vốn gồm tất cả những lớp trong vũ trụ, vì miền này sẽ (lại) là một phần tử của chính nó. Cũng không thể có một lớp của tất cả những lớp vốn không chứa chính chúng như những phần tử. Với Russell, để nói (hay ngay cả giả định) rằng có một lớp loại như vậy là vô nghĩa. Ông đưa ra một thuyết về loại, vốn phân chia vũ trụ. Định nghĩa một ‘cá thể’ là một đối tượng vốn không là một lớp. Những cá thể đều là loại 0, và những lớp của những cá thể đều là loại 1. Những lớp của những lớp của những cá thể đều là loại 2, v.v. Vì vậy, thí dụ, những người vốn làm thành một đội bóng baseball là từng những cá thể và như thế đều là những đối tượng loại 0. Đội bóng, được coi như một lớp của những cầu thủ của nó, là đối tượng loại 1; và liên đoàn những đội bóng, được coi là một lớp của những đội bóng, là loại 2. Một sưu tập của những liên đoàn sẽ là loại 3. [18]

 

Chuyển sang những lớp cho phép một sự đơn giản hóa những định nghĩa của Frege về những số tự nhiên. Cho bất kỳ lớp C nào, định nghĩa số của C là ‘lớp của tất cả những lớp đó vốn có số lượng bằng nhau với C (xem Russell 1919: ch. 2). Cho A là lớp của ba đứa con của tôi; sao cho A là loại 1. Số của A là lớp của tất cả những lớp loại 1 có ba phần tử. Số của những đứa con của tôi như vậy là một lớp loại 2. Tương tự, số của một lớp loại 2 là một lớp loại 3, v.v. Với Russell, một ‘số là bất cứ một gì vốn là số của một số lớp nào đó’. Ông định nghĩa số zero là lớp của tất cả những lớp loại 1 không có phần tử nào. Vì vậy, số zero là một lớp loại 2 vốn có chính xác một phần tử – set rỗng loại 1. Số 1 là lớp của tất cả những lớp loại 1 có một phần tử duy nhất. Số 1 cũng là một đối tượng loại 2 và nó có cũng nhiều phần tử như có thể có những cá thể (nếu phát biểu này pha trộn những loại được cho phép).[19] Tiếp tục, số 2 là lớp của tất cả những lớp loại 1 có hai phần tử. Vì vậy, số 2 là lớp của tất cả những cặp của những cá thể. Số 3 là lớp của tất cả những bộ ba của những cá thể, v.v. Như dự doán, số của lớp A nói trên của những con tôi là 3.

 

Russell đã phỏng theo một định nghĩa trung tâm khác của Frege cho nội dung với những lớp: ‘số tiếp theo của số của ... [a] lớp a là số của ... lớp gồm a cùng với x, trong đó x là (bất kỳ cá thể nào] không thuộc [a] (1919: ch. 3). Cho đến giờ, đều ổn thỏa.

 

Nhớ lại rằng, với Frege, số zero là số của khái niệm ‘không đồng nhất với chính nó’. Điều này phù hợp với chương trình của Russell, trong đó zero là một lớp loại 2. Tuy nhiên, cách trình bày của Frege về những số tự nhiên khác và chứng minh của ông (qua nguyên lý của Hume) rằng có vô hạn của những số tự nhiên, vi phạm những hạn chế về loại của Russell (và nguyên tắc vòng oái oăm). Nhớ lại rằng Frege đã đưa ra rằng số 1 là số của khái niệm ‘đồng nhất với zero’. Dùng những lớp thay vì những khái niệm, số 1 sẽ là số của lớp vốn có phần tử duy nhất là zero. Đó là, số 1 của Frege là số của {0}. Nhưng {0} thuộc loại 3 và do đó số của lớp này thuộc loại 4. Chú ý rằng mặc dù số zero có một phần tử duy nhất (tức là set rỗng loại 1), 0 không là một phần tử của số 1 của Russell, vì cái sau chỉ chứa những lớp loại 1 – theo những hạn chế về loại. Vì số zero thuộc loại 2, nên nó là một phần tử của lớp loại 3 gồm tất cả những lớp loại 2 có một phần tử duy nhất (xem chú thích 8).

 

Để tránh nhầm lẫn hay pha trộn những loại, chúng ta hãy tạm thời định nghĩa 1_R , Russell-1, là lớp loại 2 gồm tất cả những lớp loại 1 với một phần tử duy nhất; và định nghĩa 1¹ là lớp loại 3 gồm tất cả những lớp loại 2 có một phần tử duy nhất. Vì vậy, số zero của Russell là phần tử của 1¹ nhưng không là phần tử của 1_R . Với Frege, số 2 là con số của khái niệm ‘hoặc giống với 0 hay đồng nhất với 1’ . Chuyển điều này sang nội dung hiện tại (liên quan đến những lớp thay vì những khái niệm), số 2 của Frege sẽ là số của lớp {0, 1}. Số 1, 1_R hay 1¹ nào? Nó không hoạt động theo cả hai cách. Với Russell, lớp {0, 1¹ } không hiện hữu, vì nó chứa một lớp loại 2 và một lớp loại 3.[20] Lớp {0, 1_R } chứa một cặp lớp loại 2 và do đó nó thuộc loại 3 Do đó, số {0, lR} thuộc loại 4. Tổng quát, kế hoạch của Frege để định nghĩa một số n như số của những đứng trước của n: {O, 1, ... n – 1} gặp khó khăn. Hoặc chúng ta vi phạm trực tiếp những hạn chế về loại (nếu 0, 1, v.v. đều không tất cả thuộc cùng một loại) hoặc nếu không, chúng ta tạo ra một lớp của loại không đúng.

 

Thêm nữa, với Russell, mỗi số n là lớp loại 2 gồm tất cả những lớp có n-phần tử của những cá thể (loại 0) – tức là tất cả những lớp có n-phần tử của những lớp không-là-những-lớp. Ông đã không thể chấp nhận chứng minh của Frege rằng có vô hạn những số tự nhiên, vì điều đó bao gồm việc coi những số tự nhiên như thể chúng là những cá thể. Giống như Định luật cơ bản V, Frege coi nguyên tắc của Hume là không khẳng định. Định lý Frege, gồm cả chứng minh rằng có vô hạn số tự nhiên, tùy thuộc trên tính không khẳng định này.

 

Đối với Russell, liệu một số tự nhiên nhất định có hiện hữu hay không tùy thuộc trên số lượng có bao nhiêu những cá thể (tức là những không-lớp) có trong vũ trụ. Thí dụ, giả định rằng thế giới có đúng 612 cá thể. Khi đó, số 612 của Russell sẽ là lớp của tất cả những lớp-có-612 của những cá thể. Sẽ chỉ có một lớp như vậy, lớp của tất cả những cá thể. Theo định nghĩa, số tiếp theo của 612 là số của ‘lớp gồm vũ trụ cùng với x, trong đó x là [bất kỳ cá thể nào] không thuộc’ vào vũ trụ. Vậy, theo giả định về kích thước của vũ trụ, không có x như vậy và vì vậy không có số nào là số tiếp theo của 612. Sau 612, chỉ đơn giản là hết những con số – không có số 613.

 

Để tránh sự rắc rối này, Russell và Whitehead đưa ra một tiên đề về vô hạn, trong đó nói rằng có vô hạn những cá thể. Russell thừa nhận rằng nguyên tắc này không được hưởng trạng thái nhận thức của những nguyên tắc cơ bản khác vốn ông dùng (chẳng hạn như những định nghĩa). Tiên đề về vô hạn không thể được chứng minh, cũng như không thể phân tích, tiên nghiệm, đúng với tính tất yếu. Tuy nhiên, nó xem dường như rất cần thiết cho số học, vì vậy Russell chấp nhận nó như một định đề. Sự hiện hữu của mỗi số tự nhiên, và số kế tiếp của nó, sau đó theo sau.

 

Với Frege thì hoàn toàn ngược lại. Frege đã chứng minh rằng mỗi số tự nhiên đều hiện hữu, nhưng chứng minh của ông thì không khẳng định, vi phạm những hạn chế về loại. Russell đã phải giả định sự hiện hữu của đủ những cá thể cho mỗi số tự nhiên để hiện hữu. Điều này đặt một kềm chế cho thuyết lôgích. Nếu chúng ta tiếp tục để chứng minh một định lý số học Φ, tất cả những gì chúng ta có thể nói là phát biểu

 

nếu có vô hạn nhiều những cá thể (loại 0), thì Φ

 

là một định lý của lôgích. Hầu hết số học có một trạng thái giả thiết ngượng ngạo không xuôi.

 

Với tiên đề về vô hạn thêm vào, bước kế tiếp là để định nghĩa ý niệm tổng quát của số tự nhiên. Ở đây lại nữa, Russell cố gắng để chuyển vị đề nghị của Frege đến nội dung của những lớp: n là một số tự nhiên nếu n thuộc mọi lớp (loại 3) chứa số 0, và cũng chứa một tiếp theo của mỗi phần tử của chúng. Tuy nhiên, theo nguyên tắc, định nghĩa này thì không khẳng định, trong một cách hiển nhiên nhất. Lớp của những số tự nhiên là một lớp loại 3 đã định nghĩa bằng viện dẫn ‘mọi lớp’ của loại đó. Để giữ trọn vẹn nguyên tắc vòng oái oăm, Russell (và Whitehead) đã nhấn mạnh trên cấu trúc thêm nữa trong hệ thống phân cấp của những loại. Một lớp loại 1 là ‘xác định’, hay thuộc cấp 0, nếu nó có thể được định nghĩa nhưng không cần viện dẫn những lớp. Một lớp loại 1 thì thuộc cấp 1 nếu nó thì không khẳng định, nhưng chỉ có thể được định nghĩa với viện dẫn những lớp xác định. Một lớp loại 1 là thì thuộc cấp 2 nếu nó không thuộc cấp 1 nhưng chỉ có thể được định nghĩa với viện dẫn những lớp thuộc cấp 1. Có một cấu trúc cấp tương tự cho mọi loại. Lý thuyết nói chung đôi khi gọi là ‘thuyết về loại phân cấp’.[21]

 

Trong định nghĩa ở trên của ‘số tự nhiên’, cách nói ‘mọi lớp’ sẽ phải bị giới hạn vào một cấp [22] nhất định trong hệ thống phân cấp chia nhỏ của những lớp loại 2. Người ta sẽ nói rằng n là số tự nhiên loại 2, cấp 1 nếu n thuộc mọi lớp xác định vốn chứa số 0, và cũng chứa một số tiếp theo của mỗi của những phần tử của nó; n là số tự nhiên loại 2, cấp 2 nếu n thuộc vào mọi lớp cấp 1, vốn chứa số 0, và cũng chứa một số tiếp theo của mỗi của những phần tử của nó; và tiếp tục như thế. Tuy nhiên, bây giờ chúng ta không có lý do gì để nghĩ rằng chúng ta nhận được cùng một lớp của ‘những số tự nhiên’ ở mỗi cấp. Russell và Whitehead đã nhận ra rằng họ không thể phát triển toán học đầy đủ với những hạn chế về cấp, vì một số định nghĩa quan trọng xem dường như đòi hỏi những định nghĩa không khẳng định. Thí dụ, chứng minh của Frege về nguyên lý quy nạp cho những số tự nhiên từ những định nghĩa này không được chấp nhận. Khi được hình thành trong hệ thống của Russell, nguyên lý quy nạp thì không khẳng định, hay có vẻ không khẳng định và nhiều những phát triển toán học quan trọng đều không khẳng định.

 

Đáp ứng với khó khăn này, Russell và Whitehead đã đưa ra một tiên đề khác, một nguyên tắc của tính thu giảm [23] trong đó nói rằng ở mỗi loại, cho mỗi lớp c, có một lớp xác định c (cấp 0) có những phần tử cũng giống như c. Nguyên tắc thu giảm nói rằng không có những lớp mới nào được tạo ra ngoài cấp đầu tiên. Điều này cho phép Russell và Whitehead hạn chế cách nói “tất cả những lớp” thành “tất cả những lớp xác định”, và sau đó tiến hành suy ra những nguyên tắc cơ bản của số học. Hiệu quả của nguyên tắc thu giảm là cho phép nhà lôgích học bỏ qua hệ thống phân cấp và tiến hành như thể những định nghĩa không khẳng định đều chấp nhận được và vòng oái oăm luẩn quẩn thì không thực sự là một khó khăn. Một hợp đồng tốt đẹp, nếu bạn có thể có được nó.

 

Nhưng tư thế của nguyên tắc thu giảm là gì? Nó có là phân tích không? Nó có là biết được tiên nghiệm không? Ngay cả nó có đúng thật không? Những nhà phê bình cho rằng rằng nguyên tắc này là đặc biệt, được sắp đặt trước cho mục đích đó. Phản ứng của Russell cũng giống như với tiên đề vô hạn. Tuy nhiên, ông tuyên bố rằng nó thì thiết yếu cho sự phát triển của toán học, và vì vậy ông đã nêu nó lên như một định đề. Ông đã thừa nhận rằng tiên đề của tính thu giảm là một lỗ hổng trong thuyết lôgích của ông.[24]

 

Dùng những nguyên lý của tính vô hạn và tính thu giảm, Russell và Whitehead đã thiết lập những tiên đề Peano tiêu chuẩn cho số học, và do đó tất cả những định lý thông thường liên quan đến những số tự nhiên. Sau đó, họ mở rộng sư phát triển sang một số những nhánh toán học tiến bộ hơn, đưa ra những loại toán học ngay cả cao hơn . Cho m là một số tự nhiên. Russell (1919: ch. 7) đã định nghĩa số nguyên + m là ‘quan hệ nhị phân của n + m với n (với bất kỳ n nào) trên những số tự nhiên. Do đó, thí dụ, +4 là quan hệ chứa những cặp sau: (4,0), (5,1), (6,2), ... Tương tự, số nguyên –m là nghịch đảo của + m, ‘quan hệ của n với n + m, sao cho –4 thì giữ đúng của (0,4), (1,5), (2,6), .... Sau đó người ta có thể định nghĩa phép cộng và phép nhân trên những ‘số nguyên’ này sao cho những thuộc tính thông thường được giữ đúng.

 

Đã thường nghĩ và giảng dạy rộng rãi rằng những số nguyên là một mở rộng của những số tự nhiên. Chúng ta đi từ những số tự nhiên sang những số nguyên bằng việc cộng vào những số nguyên âm, sao cho số tự nhiên 2, chẳng hạn, thì đồng nhất với số nguyên +2. Russell nhấn mạnh rằng theo những định nghĩa của ông, những số tự nhiên và những số nguyên đều khác biệt với nhau. Số tự nhiên 2 là một lớp của những lớp (tức là một lớp loại 2) trong khi số nguyên +2 là một quan hệ trên những số tự nhiên. Nó sẽ vi phạm những hạn chế về loại để xác định số tự nhiên này với số nguyên này: ‘. . . + m trong mọi trường hợp không có khả năng được xác định với m, vốn đó không là một quan hệ, nhưng là một lớp của những lớp. Thật vậy, + m thì mọi mặt cũng phân biệt với m như – m’.

 

Tiếp theo, những số hữu tỉ được định nghĩa như những quan hệ vốn nắm giữ những tỷ lệ giữa những số nguyên: Chúng ta sẽ định nghĩa phân số m/in như quan hệ giữ vốn giữ đúng giữa hai [số] x, y khi xn = ym’. Vì vậy, thí dụ, phân số 3/4 là quan hệ vốn giữ đúng của những cặp: (3,4), (6,8), ... Trực giác, quan hệ 3/4 giữ đúng giữa x và y chỉ trong trường hợp phân số x/y giảm xuống thành 3/4. Cũng lưu ý rằng số hữu tỉ m/1 thì không cùng quan hệ với số nguyên + m. Vậy số hữu tỉ 2 khác số nguyên 2 và số tự nhiên 2. Người ta có thể định nghĩa quan hệ ‘lớn hơn’ và những phép toán cộng và nhân, trên những số hữu tỉ này, để lấy lại số học của những số hữu tỉ.

 

Đối với những số thực, Russell đi theo một nhà lôgích học khác, Richard Dedekind (1872). Định nghĩa ‘một phần’[25] là một lớp không-rỗng c của những số hữu tỉ sao cho (1) với mọi số hữu tỉ x, y, nếu x thì trong c và nếu y < x, thì y trong c; (2) Có một số hữu tỉ z sao cho với mọi số hữu tỉ x, nếu x trong c, thì x < z; và (3) với mọi số hữu tỉ x nếu x trong c thì có số hữu tỉ y trong c sao cho x < y. Nói cách khác, một phần là một lớp liên kết, có giới hạn của những số hữu tỉ vốn không có phần tử lớn nhất. Những phần tương ứng với những gì được gọi là những [khoảng] ‘cắt Dedekind’ trong những số hữu tỉ. Russell định nghĩa những số thực với những phần. Số thực 2 là lớp của những số hữu tỉ nhỏ hơn 2 (tức là 2/1), và căn bậc hai của 2 là lớp của tất cả những số hữu tỉ âm cùng với những số hữu tỉ không âm có bình phương nhỏ hơn 2. Người ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trên những số thực và những phép toán cộng và nhân, sau đó cho thấy rằng những số thực là một trường có thứ tự hoàn chỉnh. Đặc biệt, người ta có thể thiết lập nguyên tắc hoàn chỉnh [26] rằng mọi lớp có giới hạn của những số thực đều có một giới hạn trên nhỏ nhất.

 

Chú ý rằng theo định nghĩa này, những số thực là những lớp của những số hữu tỉ. Tiên đề về tính thu giảm – hay việc dùng những định nghĩa không khẳng định – do đó đóng một vai trò lớn trong sự phát triển của Russell về giải tích thực [27] . Nó trở thành khó khăn đến không thể để giữ cho những cấp đừng lẫn lôn. Thí dụ, sẽ không có được một cấp 0 cho căn bậc hai của 2, một cấp 1 cho căn bậc hai của 2, và v.v. Cho giải tích thực, Russell cũng cần một tiên đề lựa chọn, [28] phát biểu rằng với bất kỳ set c nào của những lớp không-rỗng, không có hai lớp nào trong số đó có cùng một phần tử, thì có ít nhất một lớp chứa chính xác một phần tử của mỗi phần tử của c (Russell 1919 : ch 12, xem Moore 1982 cho một khai triển đầy đủ về vai trò của những nguyên tắc lựa chọn trong sự phát triển của toán học).. Như tiên đề vô hạn và tính có thể thu giảm, tiên đề này có thể được thành hình bằng việc dùng thuật ngữ lôgích, nhưng có lẽ không được thiết lập đơn thuần từ những nguyên tắc lôgích.

 

Cuối cùng, Russell đã định nghĩa một số phức là một cặp thứ-tự [29] của những số thực. Vì vậy, số phức 3 – 2i được định nghĩa với cặp thứ-tự có phần tử đầu tiên là số thực 3 và phần tử thứ hai là số thực – 2.

 

Điều này ít nhiều hoàn tất sự phát triển của thuyết lôgích Russell. Russell (1919: ch. 18) đặt một câu hỏi có phần tu từ: ‘Môn học này là gì, vốn nó có thể được gọi khác đi, hoặc toán học hoặc lôgích học? . . . Một số đặc điểm của chủ đề là rõ ràng. Để bắt đầu, trong chủ đề này, chúng ta không giải quyết với những sự vật việc cụ thể hay những thuộc tính đặc biệt: chúng ta giải quyết chính thức với những gì có thể nói về bất cứ một gì hay bất kỳ thuộc tính nào. Lôgích thì hoàn toàn tổng quát và có thể được áp dụng phổ quát.

 

Đến mở rộng vốn hình học bao gồm không gian vật lý, nó nằm ngoài phạm vi của thuyết lôgích Russell. Tuy nhiên, người ta có thể coi một dạng ‘thuần túy’ của hình học, vốn gồm việc theo đuổi những hệ quả của những hệ tiên đề khác nhau. Điều này phần lớn có thể được đưa vào vừa vặn trong khung cấu trúc hỗ trợ lôgích, với sự ra đời của thuyết mô hình và khái niệm chặt chẽ của hệ quả lôgích. Với những nguyên lý về tính vô hạn, tính thu giảm và lựa chọn, lý thuyết loại của Whitehead và Russell nắm giữ được hầu hết những nhánh của toán học thuần túy ngắn gọn của thuyết tập hợp.

 

Nhưng toán học là về những gì? Những số, hàm số, v.v. thực sự là gì? Vì Russell đã lấy nhiều những loại khác nhau của những số để là những lớp, những quan hệ trên những lớp, những quan hệ trên những quan hệ trên những lớp, v.v., những trạng thái của những số bật khởi những trạng thái của những lớp. Những bài viết thời trưởng thành của ông phủ nhận sự hiện hữu độc lập của những lớp. Trong Introduction to Mathematical Philosophy (1919: Ch 18), ông đã viết rằng ‘những ký hiệu cho những lớp đều chỉ đơn thuần là những tiện lợi, không đại diện cho những đối tượng gọi là ‘những lớp’ ... [Những] lớp trong thực tế ... là những tưởng tượng lôgích ... [Chúng] không thể được coi như phần của ‘đồ đạc cuối cùng’ của thế giới’. Russell đã chỉ rõ (hay cố gắng cho thấy) diễn giải thế nào về bất kỳ phát biểu về những lớp như một phát biểu về những khái niệm và những thuộc tính (những gì ông gọi là ‘những hàm số mệnh đề’). Kết quả sau cùng là những gì ông gọi là thuyết ‘không có lớp’. Nói về những lớp chỉ là một ‘cách để nói’, và bị loại bỏ trong thực hành.[30]

 

Vì những con số của Russell đều là những lớp (hay được xây dựng từ những lớp), chúng cũng là những tưởng tượng lôgích, và do đó không là phần của ‘đồ đạc sau cùng của thế giới’. Như thế, vào thời kỳ này, Russell đã bỏ rất xa thuyết duy thực của Frege trong bản thể học. Trong thời kỳ trưởng thành ‘không có lớp’ của ông, ông đã chủ trương rằng bất kỳ phát biểu nào trong bất kỳ nhánh nào của toán học (thuần túy) đều có thể được viết lại đúng cách như một phát biểu phức tạp về những thuộc tính và những khái niệm, không phải viện dẫn những số, hàm số, điểm, lớp, v.v...

 

3. Carnap và Thuyết Thực Chứng Lôgích

 

Bây giờ chúng ta xem xét một trường phái duy nghiệm đã phát triển mạnh trong những mười năm đầu và giữa của thế kỷ XX. Thuyết Thực Chứng Lôgích bắt đầu từ thành công ngoạn mục của khoa học tự nhiên và sự phát triển của lôgích toán học. Như đã ghi nhận trước đó, toán học là một trường hợp khó khăn cho thuyết duy nghiệm. Trong chương trước, chúng ta đã xem xét quan điểm của Mill rằng những sự đúng thật của toán học tự chúng được biết đến theo kinh nghiệm, bởi những khái quát hóa về kinh nghiệm. Theo đó, toán học là tổng hợp và hậu nghiệm. Ngược lại, những người theo thuyết thực chứng lôgích đã được luận điểm lôgích học lôi cuốn, rằng những sự đúng thật của toán học là phân tích, và do đó tiên nghiệm. Như chúng ta đã thấy, những khái niệm này có những nghĩa khác nhau với những tác giả khác nhau. Chúng ta gặp một tiến hóa thêm xa hơn của khái niệm của tính phân tích.

 

Như đã ghi nhận ở mở đầu của chương này, Coffa (1991) đã nêu lên rằng nhiều phần của triết học thế kỷ 19 đã bận rộn với những cố gắng để giải thích cho tính tất yếu (ít nhất là mặt ngoài) và bản chất tiên nghiệm của toán học và lôgích với kêu gọi đến trực giác theo Kant. Coffa đã đề nghị rằng đường lối suy tưởng phản-Kant hiệu quả nhất là những gì ông gọi là ‘truyền thống ngữ nghĩa’, tràn ngập trong công trình của Bernard Bolzano, Ludwig Wittgenstein, Frege, và David Hilbert thời kỳ đầu, lên đỉnh cao với Moritz Schlick và Rudolf Carnap trong Nhóm Vienna. Những triết gia này đã phát triển và tôi luyện rất nhiều những dụng cụ và khái niệm vẫn còn dung ngày nay, cả trong lôgích toán học và triết học tổng quát phương Tây. Cái nhìn sâu xa chính đã là xác định nguồn gốc của tính tất yếu và kiến thức tiên nghiệm trong việc đem dùng ngôn ngữ. Những đúng thật tất yếu là đúng thật bởi định nghĩa; kiến thức tiên nghiệm là kiến thức của việc đem dùng ngôn ngữ. Michael Dummett gọi sự tiếp cận là bước ngoặt ngôn ngữ trong triết học. [31]

 

Trong nội dung hiện tại, luận điểm là rằng một khi chúng ta hiểu được những ý nghĩa của những thuật ngữ như ‘số tự nhiên’, ‘hàm số kế thừa’ [32], ‘phép cộng’ và ‘phép nhân’, do đó chúng ta sẽ có phương cách để thấy rằng những nguyên lý cơ bản của số học, chẳng hạn như nguyên lý qui nạp, đều là đúng. Điều này ít nhất là trong tinh thần của thuyết lôgích, ngay cả khi, nói chính xác, những đúng thật toán học là đúng cuối cùng không dựa trên chỉ những cơ sở lôgích mà thôi.

 

Trong số hai nhà lôgích học chính được xem xét ở trên, Frege đã duy trì rằng những con số hiện hữu, tất yếu, độc lập với nhà toán học, và Russell đã duy trì rằng những con số không hiện hữu (ít nhất là trong thời kỳ không-lớp của ông). Người ta có thể nghĩ rằng việc này dùng hết những lựa chọn, nhưng với tư cách là một người theo thuyết duy nghiệm, Carnap đã thấy toàn bộ câu hỏi siêu hình về sự hiện hữu của những con số vẫn là không ổn, khó hiểu. Vấn đề đó có thể được quyết định thế nào bởi sự quan sát? Carnap đã bác bỏ ý hướng của chính sự tranh luận trên sự hiện hữu của những đối tượng toán học.

 

Trên một mức độ, câu hỏi bản thể học có một trả lời khẳng định tầm thường đơn giản. ‘Có những số’ là một hệ quả lôgích của ‘có những số nguyên tố lớn hơn 10’. Nếu chúng ta chấp nhận phát biểu sau, vì chắc chắn chúng ta phải chấp nhận nó nếu chúng ta nghiêm chỉnh đón nhận toán học và khoa học, khi đó chúng ta chấp nhận phát biểu trước: một kết thúc gọn gàng cho một tranh chấp khắc khoải dài 2.000 năm. Frege và Plato thắng; Russell, Mill, và có lẽ cả Aristotle đều thua.

 

Tất nhiên, những người chống-duy thực bản thể học sẽ không bị suy luận lôgích đơn giản này lay chuyển, và nhiều nhà duy thực bản thể học đồng ý rằng vấn đề thì không đơn giản như vậy.[33] Vậy sự tranh luận truyền thống là về những gì? Carnap (1950: §2) nêu lên rằng những phe phái đều ‘có thể cố gắng để giải thích ý của họ bằng nói rằng đó là một câu hỏi của trạng thái bản thể học của những con số; câu hỏi không biết những con số có hay không một đặc tính siêu hình nào đó đã gọi là thực tại ... hay sự hiện hữu (trong không thời gian) [34] hay trạng thái của “những thực thể độc lập”. Carnap phàn nàn rằng những triết gia này, cho đến giờ, vẫn chưa đưa ra một công thức cho câu hỏi của họ trong những thuật ngữ của ngôn ngữ khoa học thông thường. Vì vậy phán đoán của chúng ta phải là họ đã không thành công trong việc đem cho những câu hỏi [bản thể học] . . . bất kỳ nội dung nhận thức nào. Trừ khi và cho đến khi họ cung ứng một diễn giải nhận thức rõ ràng, chúng ta được biện minh trong hoài nghi của chúng ta rằng câu hỏi của họ là một câu hỏi-giả ... Chúng ta thấy đây là một khuynh hướng thiên về thuyết duy nhiên, phổ thông trong những người theo thuyết duy nghiệm (xem ch. 1, §3 và ch. 4, §3). Ý tưởng là khoa học có thông tin tốt nhất, có lẽ là duy nhất, về sự đúng thật và vì vậy bất kỳ câu hỏi có ý nghĩa nào cũng phải được đưa ra theo những thuật ngữ khoa học. Những câu hỏi về bản thể học thì không là về lý thuyết hay về khoa học, và vì vậy nó là vô nghĩa.

 

Trả lời khẳng định tầm thường đơn giản, vsuy ra sự hiện hữu của những con số từ chứng minh rằng có những số nguyên tố lớn hơn 10 là gì? Carnap phác lược một phân biệt:

 

Có những thuộc tính, những lớp, những số, những mệnh đề hay không? Để hiểu rõ hơn bản chất của những điều này và những vấn đề liên quan này, đó là trên hết cần phải nhìn nhận một sự phân biệt nền tảng giữa hai loại câu hỏi liên quan đến sự hiện hữu hay thực tại của những thực thể. Nếu một người nào đó ước mong để nói chuyện trong ngôn ngữ của người này về một loại mới của những thực thể, người này phải giới thiệu một hệ thống của những cách mới của việc nói, tùy thuộc vào những luật mới; chúng ta sẽ gọi tiến trình này là sự xây dựng của một khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ cho những thực thể mới trong vấn đề. Và bây giờ chúng ta phải phân biệt hai loại câu hỏi về sự hiện hữu: thứ nhất, câu hỏi về sự hiện hữu của những thực thể nhất định của loại mới bên trong khung cấu trúc hỗ trợ; chúng ta gọi chúng là những câu hỏi bên trong; và thứ hai, câu hỏi liên quan về sự hiện hữu hay thực tại của hệ thống của những thực thể như một toàn bộ, được gọi là những câu hỏi bên ngoài. Những câu hỏi bên trong và những trả lời cho chúng có thể có, đều được hình thành với sự giúp đỡ của những hình thức mới của những biểu thức. Những trả lời có thể được tìm thấy hoặc bằng phương pháp thuần túy lôgích hoặc bằng những phương pháp thực nghiệm, tùy thuộc trên khung cấu trúc hỗ trợ vốn không biết liệu có là một khung cấu trúc hỗ trợ lôgích hay một khung cấu trúc hỗ trợ thực tế. Một câu hỏi bên ngoài thì thuộc một tính chất khó khăn cần sự xem xét chặt chẽ hơn. (Carnap 1950: §2)

 

Một khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ [35] là một cố gắng chính thức, phù hợp với những quy luật của quy ước hay nghi thức, để phân định một phần của nói viết truyền thông. Khung cấu trúc hỗ trợ sẽ gồm một ngữ pháp chính xác, chỉ định những biểu thức nào là những câu chính đáng trong khung cấu trúc, và nó sẽ gồm những quy luật cho việc đem dùng của những câu. Một số của những quy luật có thể là duy nghiệm, thí dụ, cho thấy rằng người ta có thể khẳng định một câu loại như vậy và giống như vậy, khi người ta có một loại kinh nghiệm nhất định nào đó. Những quy luật khác sẽ là lôgích, cho thấy những suy luận nào được cho phép và những câu nào có thể được khẳng định, bất kể người ta có kinh nghiệm nào chăng nữa. Carnap gọi những quy luật sau là những đúng thật phân tích.

 

Ở những nơi khác, Carnap đã trình bày một hệ thống lôgích học giống như của Russell (thí dụ, xem Carnap 1931), nhưng với một khác biệt quan trọng. Russell nhận nhiệm vụ của ông là một phân tích triết học của bản chất của những mệnh đề, những khái niệm, những lớp và những số (xem Goldfarb 1989), và do đó, ông nhấn mạnh trên nguyên tắc vòng luẩn quẩn, và do đó bác bỏ những định nghĩa không xác định. Như đã thấy ở trên, kết quả đã là một thuyết về loại phân cấp cồng kềnh, với tiên đề của tính thu giảm được sắp đặt đặc biệt cho mục đích đó. Carnap, mặt khác, coi hệ thống của ông như là một khung cấu trúc hỗ trợ – một khung cấu trúc ngôn ngữ giữa nhiều những khung cấu trúc hỗ trợ. Trong việc phát triển một khung cấu trúc hỗ trợ, người ta thì tự do để quy định những quy luật của hệ thống, đòi hỏi duy nhất là những quy luật là rõ ràng và minh bạch chi tiết. Carnap do đó chuộng lý thuyết đơn giản về những loại không xác định của Ramsey hơn, hoàn toàn tránh những nguyên tắc của tính thu giảm (xem chú thích 11 ở trên).

 

Carnap (1950) vắn tắt vẽ phác một khung cấu trúc ngôn ngữ gọi là ‘hệ thống của những con số’. Ngữ pháp của nó gồm những chữ số, những biến số, những từ định lượng [36] , loại như ‘có một số x sao cho ...,’ và những dấu hiệu cho những phép toán số học. Carnap cho thấy rằng khung cấu trúc này gồm ‘những quy tắc suy luận thông thường’ cho số học. Khung cấu trúc này xem dường như là một hệ thống suy diễn chính thức, giống như những hệ thống đã phát triển trong lôgích toán học.

 

Định nghĩa một khung cấu trúc số [37] là một hệ thống giống như hệ thống lôgích trước đây của Carnap hay ‘hệ thống những con số’ sau này của ông. Nhìn theo hướng bất kỳ một hệ thống nào như vậy, trước hết, có những câu hỏi từ bên trong, thí dụ, “Có số nguyên tố lớn hơn 100 không?” ... Những trả lời được tìm thấy, không bằng những điều tra thực nghiệm dựa trên những quan sát, nhưng bằng sự phân tích lôgích dựa trên những quy luât cho những biểu thức mới. Do đó, những trả lời ở đây là phân tích, tức là đúng về lôgích (Carnap 1950: §2). Sự hiện hữu của một số nguyên tố lớn hơn một trăm là một hệ quả tầm thường đơn giản của những quy luật và những định nghĩa của khung cấu trúc số đã cho. Sự hiện hữu của những con số là một hệ quả hoàn toàn tầm thường đơn giản của những quy luật và những định nghĩa đó. Nó tuân theo những quy định rằng 1 là một số. Vì vậy, không ai có ý hỏi câu hỏi “Có những con số hay không?” theo nghĩa từ bên trong, hoặc sẽ khẳng định hoặc cân nhắc xem xét một trả lời phủ định’.

 

Lại nữa, Carnap đã chủ trương rằng câu hỏi từ bên ngoài liên quan đến thực tại của những con số là vô nghĩa. Điều gần nhất với một câu hỏi thực là sự có thể khuyến khích được của việc áp dụng một khung cấu trúc số đã cho, nhưng đây là một vấn đề thực tiễn, không đòi hỏi một trả lời tuyệt đối ‘có’ hay ‘không’. Chúng ta – những thành viên của cộng đồng trí thức/ khoa học – đều tự do để lựa chọn để áp dụng một khung cấu trúc hỗ trợ, hay không, dựa trên nó đấy xa thế nào những mục tiêu chúng ta nhận giải quyết. Mục tiêu bao trùm của dự án theo đuổi nỗ lực hoạt động khoa học là để mô tả và đoán trước kinh nghiệm, và để điều khiển thế giới vật lý. Toán học xem dường như là phần của dự án theo đuổi nỗ lực hoạt động khoa học này. Câu hỏi thực tiễn là không biết một trong những khung cấu trúc số của Carnap có phục vụ những mục đích của khoa học tốt hơn hay tệ hơn những khung cấu trúc hỗ trợ khác, chẳng hạn như thuyết về loại phân cấp của Russell.

 

Carnap đã áp dụng và bảo vệ một nguyên tắc của khoan dung. Hãy để một ngàn bông hoa gắng nở rộ, ngay cả khi không phải tất cả chúng sẽ đều nở rộ:

 

Việc chấp nhận hay từ chối ... Những hình thức ngôn ngữ trong bất kỳ ngành khoa học nào, cuối cùng sẽ được quyết định bởi sự hiệu quả của chúng với tư cách là những dụng cụ, tỷ lệ của kết quả đạt được với lượng của cố gắng và mức độ phức tạp của những cố gắng đòi hỏi... Chúng ta hãy ban cho những người làm việc trong bất kỳ lĩnh vực điều tra đặc biệt nào sự tự do để dùng bất kỳ hình thức nào của diễn đạt nào vốn xem có vẻ có ích với họ; công việc trong lĩnh vực sớm muộn sẽ dẫn đến việc loại bỏ những hình thức không có chức năng hữu dụng. Chúng ta hãy thận trọng khi đưa ra những khẳng định và phê phán khi xem xét chúng, nhưng hãy khoan dung trong việc cho phép những hình thức ngôn ngữ. (Carnap 1950: §5)

 

Trong chương 1, §2 trên, chúng ta đã thấy rằng Gödel đã bênh vực những định nghĩa không khẳng định trên những nền tảng của thuyết duy thực về bản thể. Ramsey (xem chú thích 11 ở trên) cũng làm như thế. Từ viễn cảnh đó, một định nghĩa không khẳng định là một mô tả của một thực thể hiện hữu với viện dẫn những thực thể hiện hữu khác. Nhưng điều này đòi hỏi một trả lời tích cực cho câu hỏi ban đầu từ bên ngoài về sự hiện hữu của những con số, và vì vậy nó tiến hành bằng lối của siêu hình học. Theo Gödel và Ramsey, những định nghĩa không khẳng định đều chấp nhận được vì những số và những lớp có một hiện hữu độc lập. Ngược lại, Carnap bênh vực những định nghĩa không khẳng định trên những nền tảng thực tiễn. Khung cấu trúc số của ông thì thuận lợi hơn so rất nhiều so với thuyết về loại phân cấp cho những mục đích khoa học đang có sẵn. Không cần thiết, biện minh thêm, hay ngay cả không cần thiết chặt chẽ hơn. Đào sâu vào trạng thái siêu hình của những thuộc tính, những khái niệm, hay những số chỉ tạo ra những câu hỏi-giả

 

Không giống như Mill, Carnap và những nhà thực chứng lôgích khác chủ trương rằng sự đúng thật của toán học không được xác định bởi kinh nghiệm. Những đúng thật toán học là tiên nghiệm, bất kể chúng ta có kinh nghiệm gì đi chăng nữa. Tuy nhiên, là những người theo thuyết duy nghiệm, họ chủ trương rằng mọi vấn đề thực tế cuối cùng phải được kinh nghiệm quyết định. Vì vậy, những người theo thuyết thực chứng lôgích đã kết luận rằng những đúng thật toán học không có nội dung thực tế. Đối với Carnap, những đúng thật về những số tự nhiên có thể được gọi là ‘khung cấu trúc những nguyên tắc’ vì chúng xuất hiện từ những quy luật cho việc dùng một khung cấu trúc số.

 

Một thành viên sau này của trường phái, Alfred J. Ayer (1946: ch. 4), đã nói rõ điều này:

 

Vì trong khi một khái quát hóa khoa học thì sẵn sàng được chấp nhận là không thể sai lầm, những sự đúng thật của toán học và lôgích xem dường như với mọi người là tất yếu và chắc chắn. Nhưng nếu thuyết duy nghiệm là đúng thì không có mệnh đề vốn có một nội dung thực tế có thể là tất yếu và chắc chắn. Theo đó, người thuyết duy nghiệm phải đối phó với những đúng thật của toán học và lôgích theo một trong hai cách sau: người ấy phải nói rằng chúng không là những đúng thật tất yếu... hay người ấy phải nói rằng chúng không có nội dung thực tế, và sau đó người ấy phải giải thích như thế nào một mệnh đề vốn trống rỗng tất cả nội dung thực sự có thể là đúng và có ích và đáng ngạc nhiên. [38]

 

Ayer viết rằng, ngược với Mill, những đúng thật toán học là tất yếu, nhưng ông thêm rằng chúng không nói bất cứ gì về (trạng thái hay đường lối hiện hữu của) thế giới. Chúng ta không thể buông bỏ [những đúng thật của lôgích và toán học] với không mâu thuẫn với chính chúng ta, với không không vướng vào việc phản lại những quy luật vốn chi phối việc dùng ngôn ngữ. Đối với Carnap, ‘những quy luật vốn chi phối việc dùng ngôn ngữ.’ được tìm thấy trong những khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ khác nhau. Những nhà thực chứng lôgích như thế đã loại trừ chính khả năng của những mệnh đề tổng hợp vốn được biết tiên nghiệm. Một mệnh đề là phân tích ‘khi tính hợp thức của nó tùy thuộc hoàn toàn trên những định nghĩa của những ký hiệu nó chứa đựng’. Như Ayer nói về nó, một mệnh đề là tổng hợp, hay có nội dung thực tế, chỉ nếu sự đúng thật hay sai lầm của nó ‘được xác định bởi những sự kiện của kinh nghiệm’. Với Ayer, điều này kể ra hết những trường hợp có thể có. Ông thêm rằng mặc dù những mệnh đề phân tích ‘không cho chúng ta về bất kỳ thông tin nào về bất kỳ tình trạng duy nghiệm nào, chúng quả thực có soi sáng chúng ta qua việc minh họa cách thức trong đó chúng ta dùng những ký hiệu nhất định’.

 

Những nhà thực chứng lôgích đã đưa hình học vào cùng quan tâm. Thí dụ, những tiên đề hình học Euclid đều chỉ là ‘những định nghĩa đơn giản’ của những thuật ngữ nguyên thủy như ‘điểm’ và ‘đường thẳng’. Ayer đã viết: nếu những gì xảy ra là một tam giác Euclid được tìm thấy bằng đo lường không có tổng số những góc trong bằng 180 độ, chúng ta không nói rằng chúng ta đã gặp một trường hợp làm mất hiệu lực của mệnh đề toán học rằng tổng số ba góc trong của một tam giác Euclid là 180 độ. Chúng ta nói rằng có thể chúng ta đã đo sai, hoặc, nhiều có phần xảy ra hơn, rằng tam giác chúng ta đang đo không là một tam giác Euclid. Hình học Euclid, được xây dựng như một lý thuyết của toán học thuần túy, là một khung ngôn ngữ, theo kiểu Carnap. Định lý được cho thấy về những góc trong một tam giác là một nguyên tắc khung, và như thế là phân tích, biết được tiên nghiệm. Nó đúng theo/bởi định nghĩa. Có một vấn đề thực dụng riêng biệt hay vấn đề khoa học liên quan đến việc có thể khuyến khích được việc chấp nhận khung cấu trúc này, thay vì một trong những hình học không-Euclid, cho vật lý. Cuối cùng đây không là một câu hỏi toán học.

 

Ngoài Carnap và Ayer, những nhà thực chứng lôgích lớn gồm những thành viên khác của Nhóm Vienna, như Moritz Schlick, Gustav Bergmann, Herbert Feigl, Otto Neurath, và Friedrich Waismann. Ngoài Nhóm Vienna, có C. W Morris. và Ernest Nagel. Phong trào đã thịnh hành phần lớn trong những năm 1960, nếu không muốn nói trước đó, nhưng vị trí trong toán học đã không là lý do chính cho sự suy giảm của thuyết thực chứng lôgích. Thuyết thực chứng lôgích có cùng những vấn đề với thuyết duy nghiệm truyền thống (triệt để) trong việc mô tả cơ bản của kiến thức. Chúng ta có thể phân biệt được quan sát với lý thuyết hay không, và chúng ta có thể phân biệt rõ ràng toán học với phần còn lại của lý thuyết khoa học hay không? Sự thành công của lôgích toán học dẫn những nhà thực chứng lôgích đến gắng thử một lôgích học của khẳng định, Việc đó sẽ liên hệ sự quan sát thực nghiệm với lý thuyết khoa học và toán học Tuy nhiên, đã không đi đến sự quan tâm khó cưỡng và ngưỡng phục mạnh mẽ với khẳng định-lôgích. Những thất bại này dẫn đến khó khăn trong việc xây dựng những luận điểm trung tâm vốn mỗi tuyên bố thực tế (không phân tích) thì có thể kiểm chứng được. Là có thể kiểm chứng được thì chính xác là gì? Luận điểm về tính có thể kiểm chứng được đã chứng minh không đứng vững được, ngay cả trên những khái niệm luôn luôn yếu hơn của sự kiểm chứng.

 

Một số phê bình đã chỉ ra rằng chính phát biểu của thuyết thực chứng lôgích đã làm suy yếu quan điểm. Thí dụ, hãy xem xét mệnh đề rằng mọi phát biểu có ý nghĩa thì hoặc là phân tích hoặc có thể kiểm chứng được (trong một ý hướng nào đó) qua kinh nghiệm. Hiển nhiên, mệnh đề này thì không là phân tích, theo ý hướng là đúng thật trong giá trị của ý nghĩa của những từ nó bao gồm. Ngoài ra, mệnh đề này xem dường như không là đối tượng cho việc xác minh bằng kinh nghiệm, theo bất kỳ nghĩa nào của thuật ngữ. Do đó, thuyết thực chứng lôgích xem dường như đã tự dán nhãn hiệu như một học thuyết siêu hình đã loại trừ. Nhiều những phát biểu triết học của riêng Carnap, cần thiết để mô tả khái quát chương trình, xem dường như không được thực hiện bên trong một khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ cố định. Thật vậy, những tuyên bố của ông là về những khung cấu trúc hỗ trợ ngôn ngữ, và như vậy là từ ‘bên ngoài’ với bất kỳ khung cấu trúc hỗ trợ nhất định nào. Có phải điều này đã đẩy những công trình riêng của Carnap vào thành những tuyên bố-giả, vô nghĩa? [39]

 

Một phản bác có tác động mạnh mẽ chống thuyết thực chứng lôgích đã đến từ W. V. Quine, người học trò có ảnh hưởng nhất của Carnap. Quine đã biện luận rằng không có sự phân biệt giữa những phát biểu phân tích và tổng hợp, hay ít nhất không có sự phân biệt vốn phục vụ cho những mục đích của thuyết thực chứng lôgích. Theo Quine, không có sự phân biệt rõ ràng giữa vai trò của ngôn ngữ và vai trò của thế giới trong việc xác định sự đúng thật hay sai lầm của những phát biểu có ý nghĩa. Quine đã đề nghị một cách giải quyết toàn diện về ngôn ngữ khoa học, với quan sát, lý thuyết và những phát biểu toán học đã gắn bó chặt chẽ với nhau. Ông cùng ý tưởng duy nghiệm cơ bản rằng sự quan sát là cơ bản của tất cả kiến thức, và như thế Quine đã cùng có một nghi ngờ với nhiều siêu hình học truyền thống. Ông đã phát triển một thuyết duy nhiên và thuyết duy nghiệm gần hơn với của Mill trong những cách thức quan trọng. Những đúng thật toán học đều đúng trong cùng cách thức vốn những đúng thật khoa học và những tường thuật của những quan sát đều là đúng thật. Những đúng thật này không tất yếu, và không biết được tiên nghiệm. Chúng ta quay trở lại Quine trong chương 8, §2.

 

Luận điểm rằng những mệnh đề toán học đều là đúng hay sai dựa trên giá trị của ý nghĩa của thuật ngữ toán học không thể được giải quyết đầy đủ với không có một thảo luận mở rộng của ‘ý nghĩa’ là gì. Tuy nhiên, lưu ý rằng một hứa hẹn chính của luận đề là một giải thích về toán học thì được biết thế nào. Theo những nhà thực chứng lôgích, kiến thức về việc dùng đúng ngôn ngữ toán học là đủ cho kiến thức về những mệnh đề toán học, chẳng hạn như tiên đề quy nạp, định lý số nguyên tố, và ngay cả định lý cuối cùng của Fermat. Với Carnap, một khi chúng ta học những quy tắc của một khung ngôn ngữ nhất định, chẳng hạn như khung số học hay hình học Euclid, chúng ta có mọi sự vật việc chúng ta cần để có kiến thức về những mệnh đề toán học cần thiết. Điều này nêu lên rằng, về tri thức học, những mệnh đề toán học có thể được chia thành những nhóm tự bao hàm, độc lập. Mỗi mệnh đề p thì kết hợp với khung cấu trúc hỗ trợ P của nó. Kiến thức của những quy luật của P thì đúng là về tất cả ở đó có về kiến thức của đúng thật hay sai lầm của p.

 

Những phát triển trong toán học, gồm một số những kết quả trong lôgích toán học, gây hoài nghi trên luận điểm nhận thức đầy hứa hẹn này. Định lý Bất toàn của Gödel là nếu D là một hệ thống diễn dịch hiệu quả có chứa một số lượng nhất định của số học, thì có những câu trong ngôn ngữ của D vốn không được quyết định bởi những quy luật của D (thí dụ, xem Boolos và Jeffrey 1989: ch. 15). Những giá trị-đúng thật của nhiều những câu phát biểu này đều được quyết định bởi việc cấy ghép những số tự nhiên vào trong một cấu trúc giàu có hơn, chẳng hạn như những số thực hay hệ thống phân cấp thuyết tập hợp. Có nghĩa là, một số phát biểu trong ngôn ngữ số học thì không biết được (nếu) chỉ dựa trên những quy luật của khung cấu trúc số tự nhiên. Tình trạng này thì điển hình trong toán học. Thí dụ, giả định rằng một nhà toán học có quan tâm với một phát biểu toán học s nhất định nào đó về một cấu trúc S nhất định nào đó. Theo Carnap, nếu s thì đúng (của S), khi đó s là phân tích và đúng thật của nó có được là nhờ vào khung ngôn ngữ của cấu trúc S. Tuy nhiên, nhà toán học sẽ thường gọi đến những cấu trúc phong phú hơn S ngõ hầu định rõ những thuộc tính của S Không có lý thuyết toán học phong phú nào thì cũng tự bao hàm như những khung ngôn ngữ (toán học) của Carnap vốn được giả định là độc lập và khép kín.[40]

 

Chứng minh gần đây của định lý cuối cùng của Fermat là một trường hợp điển hình. Bất kỳ ai có hiểu biết cơ bản về những thuật ngữ đều có thể hiểu phát biểu rằng với bất kỳ số tự nhiên nào

 

a > 0, b > 0, c > 0

 n > 2,

 aⁿ + b^{n ≠} cⁿ.

 

Tuy nhiên, chứng minh vượt quá sự thấu hiểu của tất cả, chỉ trừ những nhà toán học thống thái nhất, vì nó dẫn đến những khái niệm và những cấu trúc vượt ngoài những khái niệm và những cấu trúc của những số tự nhiên. Trong trường hợp này, ít nhất một người có thể hiểu những nghĩa của những thuật ngữ như ‘số tự nhiên’, ‘hàm số kế tiếp’, ‘tính cộng’, ‘tính nhân’ và ‘lũy thừa’, ... vốn không cần phương tiện cần thiết để thấy rằng định lý cuối cùng của Fermat là đúng. Có thể có một chứng minh tự-bao hàm, độc lập cho định lý này – tức là, một chứng minh không phải đi ra ngoài những thuộc tính của những số tự nhiên. Có lẽ chính Fermat đã tìm ra được một chứng minh như vậy, nhưng những nhà toán học thời nay đã không học (và không biết) định lý qua con đường đó. Tuy nhiên, định lý thì rõ ràng là về những số tự nhiên. [41]

 

Một thoái lui sẽ là cho nhà thực chứng lôgích thừa nhận rằng chỉ có một số sự đúng thật, nói thí dụ; số học, là phân tích, hay khác hơn, đã xác định bằng những nghĩa của thuật ngữ số học. Có lẽ một ai đó có thể chủ trương rằng một cốt lõi cơ bản của những đúng thật số học là phân tích. Thế nhưng còn những mệnh đề khác, những mệnh đề không cốt lõi? chúng là gì? Chúng có là tổng hợp không? Nếu thế, chúng có thể được kiểm chứng cách nào đó trong quan sát không?

 

Một lựa chọn khác sẽ là cho người thuyết thực chứng lôgích để duy trì luận điểm rằng những phát biểu toán học đều là đúng bởi giá trị của ý nghĩa của chúng, và thừa nhận rằng người ta có thể có kiến thức tất yếu để hiểu một mệnh đề đúng đã cho nhưng không qua đó phải có những tài liệu để biết rằng nó thì đúng. Ý tưởng là khi chúng ta đặt những số tự nhiên vào trong một cấu trúc giàu có hơn, qua đó chúng ta có thể tìm hiểu thêm về những gì theo đến từ ý nghĩa của những thuật ngữ toán học nguyên thủy. Thế nên, nhà thực chứng lôgích cần một khái niệm giàu có và mở rộng của hệ quả lôgích và người ấy cần để giải thích khái niệm của hệ quả này trước khi tuyên bố một hiểu biết của kiến thức toán học. Cho đến khi khái niệm của hệ quả này được đem cho và định giá trị, một người có thể tuyên bố về tri thức học của toán học tiến bộ nhiều đến đâu, là điều không rõ ràng.

 

4. Những quan điểm thời nay

 

Ngày nay, những biến thể của tiếp cận của Frege với toán học đã được theo háo hức đuổi mạnh mẽ, trong công trình của Crispin Wright, bắt đầu với Khái Niệm của Những Số Như Những Đối Tượng của Frege (1983), và những người khác như Bob Hale (1987) và Neil Tennant (1997). Định nghĩa một nhà lôgích học mới [42] là người duy trì hai luận điểm sau: (1) Một cốt lõi quan trọng của những đúng thật toán học là biết được tiên nghiệm, bằng sự suy diễn từ những quy luật vốn đều (tất cả nhưng chỉ) là phân tích hay cấu thành-ý nghĩa; và (2) toán học này có quan tâm là một lĩnh vực lý tưởng của những đối tượng vốn chúng là khách quan, hay độc lập với não thức trong một ý hướng nào đó [43]. Sự kết hợp của những quan điểm này thì lôi cuốnt những ai là người có thiện cảm với quan điểm truyền thống của toán học như một tổng thể cấu trúc của những đúng thật tiên nghiệm, khách quan nhưng đã lo ngại về những vấn đề tri thức học tiêu chuẩn vốn thuyết duy thực trong bản thể học phải đối mặt. Làm thế nào chúng ta có thể biết bất cứ gì về một lĩnh vực của những đối tượng trừu tượng, không gây ra bất cứ gì.[44]? Nhà lôgích-mới trả lời: nhờ vào kiến thức của chúng ta về những gì chúng ta có ý muốn nói khi chúng ta dùng ngôn ngữ toán học – và vì vậy người ấy cố gắng để giải quyết những vấn đề đã thấy trong thuyết lôgích truyền thống. Nhà lôgích-mới có lẽ là người thừa kế thời nay gần nhất của ‘truyền thống ngữ nghĩa’ của Coffa.

 

Nhớ lại rằng hai khái niệm F, G, đều có số lượng bằng nhau., nếu có một tương ứng 1-1 giữa những đối tượng nằm dưới F và những đối tượng nằm dưới G. Thí dụ, nếu không có thẻ phạt đỏ nào đã đưa ra trong một trận đấu bóng đá, số những cầu thủ trong một đội thì bằng với số những những cầu thủ trong đội kia. Frege đã chỉ cách để xác định tính có số lượng bằng nhau.qua việc dùng những nguồn lôgích nhưng không cần giả định-trước rõ ràng về những số tự nhiên. Nhớ lại công thức (1884: §63) của ông về luận điểm ngày nay gọi là ‘nguyên lý của Hume’:

 

Cho bất kỳ những khái niệm F nào, G, số của F thì đồng nhất với số của G, nếu và chỉ nếu F và G thì có số lượng bằng nhau.

 

Chương trình lôgích-mới là để tránh qua giải quyết về những mở rộng của Frege và để làm việc với nguyên lý của Hume, hay một gì đó tương tự. Một số tác giả, gồm cả Wright, đã cho thấy rằng phát triển số học của Frege (1884, 1893) chứa đựng những thiết yếu của một suy diễn của những tiên đề tiêu chuẩn của số học từ nguyên lý của Hume (trong những gì gọi là lôgích bậc hai – xem Shapiro 1991). Hơn nữa, nguyên lý của Hume là nhất quán nếu số học (bậc hai) là nhất quán. Trong trình bày của số học, chỉ việc dung đáng kể của những mở rộng của Frege, và Định luật cơ bản V (không-may mắn), đã là để suy ra nguyên lý của Hume. (Thí dụ, hãy xem Parsons 1965, Wright 1983, Hodes 1984 và Boolos 1987).

 

Như đã nói ở trên, sự khai triển của số học từ nguyên lý của Hume bây giờ gọi là định lý của Frege. Không ai nghi ngờ rằng đó là một thành tựu toán học có thực chất quan trọng, làm sáng tỏ những số tự nhiên và nền tảng của chúng. Nhà lôgích-mới biện luận rằng định lý Frege hỗ trợ những luận điểm triết học nói đã kể ở trên gồm những số tự nhiên.

 

Ý tưởng cơ bản là bên phải của nguyên lý của Hume cho những điều kiện đúng thật cho phía bên trái, nhưng phía bên trái có hình thức ngữ pháp và lôgích thích hợp. Đặc biệt, những cách phát biểu như ‘số của F’ là những thuật ngữ số ít chính cống, những hình thức ngữ pháp được dùng để biểu thị những đối tượng. Ít nhất, một số trường hợp của bên phải của nguyên lý của Hume đều đúng, chỉ dựa trên cơ sở lôgích mà thôi. Thí dụ, đó là một đúng thật lôgích rằng khái niệm ‘không đồng nhất với chính nó’ thì có số lượng bằng nhau với khái niệm ‘không đồng nhất với chính nó’. Như vậy, từ nguyên lý của Hume, chúng ta kết luận rằng số của những sự vật việc không tự đồng nhất thì đồng nhất với số của những sự vật việc không tự đồng nhất. Goi ‘0’ biểu thị số của những sự vật việc không tự đồng nhất, chúng ta kết luận rằng 0 = 0 và do đó số zero hiện hữu.

 

Đi theo Frege, nhà lôgích-mới sau đó định nghĩa số 1 để là con số của khái niệm ‘đồng nhất với 0’, định nghĩa số 2 như con số của khái niệm ‘hoặc đồng nhất với zero hoặc đồng nhất với một’, và tiếp tục từ đó trong cách thức của Frege. Nó đến theo từ nguyên lý của Hume, rằng những số tự nhiên này đều khác với nhau, và do đó nguyên lý của Hume không thể được thỏa mãn trong một miền hữu hạn.

 

Giống như sự phát triển riêng của Frege, nhà lôgích học mới đòi hỏi rằng nguyên lý của Hume là không khẳng định theo ý hướng rằng biến số F trong cách nói ‘số của F’ có thể được trình bày cụ thể với những khái niệm vốn tự thân chúng đều được định nghĩa trong những thuật ngữ của những con số. Nếu không có đặc tính này, chính định nghĩa của những số riêng lẻ sẽ thất bại, cùng với việc suy diễn của những tiên đề số học cơ bản từ nguyên lý của Hume. Tính không khẳng định này thì thuận hợp với thuyết duy thực bản thể học được chia sẻ bởi Frege và những người theo thuyết lôgích-mới của ông (xem Wright 1998).

 

Wright và Hale ngừng lại không đi đến tuyên bố rằng nguyên lý của Hume là một đúng thật lôgích hay, theo thuật ngữ của Frege, là một ‘quy luật lôgích tổng quát’. Nguyên lý của Hume không đúng trong giá trị của hình thức của nó, và xem dường như nó cũng không thể suy diễn được từ những định luật lôgích đã chấp nhận. Wright và Hale cũng không tuyên bố rằng nguyên lý của Hume là một định nghĩa của số thứ tự. Nhìn chung, người ta đồng ý rằng một định nghĩa của một thuật ngữ phải có thể loại bỏ được trong ý hướng rằng bất kỳ công thức nào chứa thuật ngữ đã xác định đều tương đương với một công thức không chứa nó. Nó theo sau từ nguyên lý của Hume rằng có một gì đó vốn là số của những sự vật việc không tự đồng nhất, trong ký hiệu ∃x (x = 0). Nguyên tắc của Hume không đem cho một câu tương đương thiếu thuật ngữ về số. Một định nghĩa thành công sẽ cũng là không-sáng tạo trong ý hướng là nó không có những hệ quả cho phần còn lại của ngôn ngữ và lý thuyết. Nguyên lý của Hume có những hệ quả như vậy, vì nó kéo theo rằng vũ trụ thì vô hạn. Vì vậy, nguyên tắc của Hume thì không loại bỏ cũng không-sáng tạo.

 

Thế nên, Wright và Hale không bảo vệ luận điểm lôgích truyền thống rằng đúng thật số học là một loại của đúng thật lôgích, hay mỗi sự đúng thật số học theo sau từ những định luật và định nghĩa lôgích tổng quát. Vì thế, có từ ‘mới’ trong thuyết lôgích mới. Tuy nhiên, họ biện luận rằng nguyên lý của Hume là ‘phân tích của khái niệm của số tự nhiên. Do đó, chương trình bảo tồn tính tất yếu của ít nhất những đúng thật số học cơ bản và nó cho thấy những đúng thật này có thể được biết trước tiên nghiệm như thế nào. Trong một tác phẩm sau này, Wright (1997: 210-11) đã viết:

 

Định lý của Frege sẽ ... bảo đảm ... rằng những luật cơ bản của số học có thể được suy diễn bên trong một hệ thống lôgích bậc hai được một nguyên tắc tăng cường, vốn nó có vai trò là để giải thích, nếu không chính xác là để định nghĩa, khái niệm tổng quát của sự nhận dạng số thứ tự, và giải thích này tiếp tục trong những thuật ngữ của một khái niệm vốn có thể được định nghĩa trong những thuật ngữ của lôgích bậc hai. Nếu một nguyên tắc giải thích như vậy ... có thể được xem như phân tích, thì điều đó cũng đủ ... để chứng minh tính phân tích của số học. Ngay cả khi thuật ngữ đó được tìm thấy là khó khăn, ... nó sẽ vẫn là nguyên lý của Hume – giống như bất kỳ nguyên lý ngầm phục vụ nào để định nghĩa một khái niệm nhất định – sẽ là sẵn sàng với không có sự giả định-trước quan trọng về tri thức học... Vì vậy, người ta dọn sạch một con đường tiên nghiệm vào trong một nhìn nhận của sự đúng thật của ... Những luật cơ bản của số học ... sẽ được tạo ra. Và thêm nữa, nếu [nguyên lý của Hume] có thể được nhìn như một giải thích hoàn chỉnh – như sau khi cho thấy khái niệm của số thứ tự có thể được hiểu đầy đủ như thế nào trên một cơ sở lôgích thuần túy – khi đó số học sẽ được nguyên lý của Hume cho thấy rõ ràng ... như lôgích siêu việt [45] chỉ trong chừng mực rằng nó dùng cho mục đích của một nguyên tắc trừu tượng lôgích – một [nguyên tắc vốn] triển khai chỉ những khái niệm lôgích. Vì vậy, ... sẽ có một con đường tiên nghiệm từ một thành thạo của lôgích bậc hai đến một hiểu biết đầy đủ và nắm bắt của sự đúng thật của những luật cơ bản của số học. Một con đường về tri thức học như vậy ... sẽ là một kết quả vẫn đáng được mô tả như thuyết lôgích. . .

 

Tuyên bố then chốt ở đây là nguyên lý của Hume không có những giả định-trước quan trọng đáng kể về tri thức học. Điều thiết yếu với dự án là khi cố gắng để thiết lập một đúng thật số học cơ bản, chúng ta không cần gọi đến trực giác theo như Kant, thành quả về thực nghiệm, và v.v.

 

Giống như thuyết lôgích Frege ban đầu, chương trình lôgích-mới chỉ có một hội thành công nếu lôgích bậc hai là lôgích thực sự. Nếu khá nhiều toán học đã được xây dựng trong lôgích rồi, khi đó theo như thuyết lôgích học truyền thống, định lý của Frege đặt câu hỏi vốn nó chưa giải quyết. Điều quan trọng với thuyết lôgích-mới là liệu những tiên đề và những quy tắc của lôgích bậc hai là phân tích, hay có ý nghĩa-cấu thành trong ý hướng đòi hỏi, hay đều là không cần có những giả định-trước quan trọng đáng kể về tri thức học Tình trạng của lôgích bậc hai là một vấn đề đang diễn ra trong triết học thời nay. Thí dụ, Quine (1986: ch. 5) tuyên bố rằng lôgích bậc hai là thuyết tập hợp trong ngụy trang, một ‘con sói đội lốt cừu’. Co một thí dụ của sự tranh luận, hãy xem Boolos 1975, 1984, Tharp 1975, Wagner 1987 và Shapiro 1991. Điều này nhắc lại điểm ở cuối phần trước rằng những nguyên tắc lôgích cơ bản phải được trình bày rõ ràng và tình trạng nhận thức của chúng được phân định rõ ràng trước khi người ta có thể tuyên bố về những giá trị của một chương trình lôgích học. Thiếu một kiểm tra của lôgích, những gì đã được thành tựu là điều không rõ ràng.

 

Như chúng ta đã thấy, chính Frege đã ngần ngại với việc lấy nguyên lý của Hume như nền tảng sau cùng cho số học vì nguyên lý của Hume chỉ xác định những hằng đẳng thức của dạng ‘số của F = số của G’. Nghĩa là, nguyên lý của Hume không xác định giá trị-đúng thật của những câu trong dạng ‘số của F = t’, trong đó nó là một thuật ngữ số ít tùy tiện. Nhà lôgích-mới không chấp nhận cách giải quyết của Frege liên quan đến những mở rộng, cũng như không theo Russell trong việc bác bỏ sự hiện hữu của những con số (cũng không gheo Carnap trong việc bác bỏ câu hỏi của hiện hữu). Do đó, ‘vấn đề Caesar’ là một vấn đề động và mở trong chương trình bàn luận lôgích-mới. Đó là, nhà lôgích-mới tìm để làm những gì vốn một mình nguyên lý của Hume không làm được, đó là giải quyết sự đồng nhất giữa những thuật ngữ biểu thị số tự nhiên và những thuật ngữ số ít khác (xem Hale 1994 và Sullivan và Potter 1997).

 

Nguyên lý của Hume là một sự trừu tượng hóa – từ liên hệ của tính có số lượng bằng nhau đến những phát biểu về những con số. Nó là một loại của những nguyên tắc trừu tượng thuộc dạng:

 

(ABS)    @ α = @ β nếu và chỉ nếu E (α, β).

 

trong đó E (α, β) là một loại liên hệ đặc biệt, gọi là một ‘tương đương’, và @ là một ký hiệu hàm số mới, như thế khiến ‘@ α’ và ‘@ β’ là những số hạng số ít. [46] Frege gọi đến hai nguyên tắc trừu tượng, đều trong dạng (ABS). Một thì ít nhất là tương đối vô thưởng vô phạt: hướng của l thì đồng nhất với hướng của l^’ nếu và chỉ nếu l song song với l^’. Thí dụ kia là Luật cơ bản V nổi tiếng và không nhất quán của ông:

 

Đối với bất kỳ khái niệm F, G nào, mở rộng của F thì giống như mở rộng của G nếu và chỉ nếu với mọi đối tượng a, Fa nếu và chỉ nếu Ga.

 

đã đưa vào như phần của lý thuyết của những mở rộng.

 

Chương trình lôgích-mới tùy thuộc trên tính chính đáng của ít nhất một số nguyên tắc trừu tượng. Wright thừa nhận rằng những đưa ra của riêng ông tùy thuộc trên điều khoản rằng ‘sự hình thành khái niệm bằng việc trừu tượng hóa’ được chấp nhận. George Boolos (thí dụ, 1997) đã biện luận chống lại việc hình thành khái niệm bằng sự trừu tượng hóa như là một thủ thuât chính đáng cho một nhà lôgích học tương lai. Thịnh hành nhất trong lập luận của ông là ‘phản đối nhóm xấu’[47]. Boolos nêu lên rằng không có cách không-đặc biệt nào để phân biệt những nguyên tắc trừu tượng tốt như nguyên lý của Hume, với những nguyên lý xấu như Định luật cơ bản V. Chắc chắn, nguyên lý của Hume là nhất quán trong khi Định luật cơ bản V thì không, nhưng sự phân biệt đó quá thô. Nguyên lý của Hume là một ‘tiên đề của vô hạn’theo nghĩa là nó chỉ có thể thỏa mãn trong những miền vô hạn. Boolos cho thấy rằng có những nguyên tắc trừu tượng nhất quán, có cùng dạng (ABS) với nguyên lý của Hume (và Định luật cơ bản V) chỉ có thể thỏa mãn trong những lĩnh vực hữu hạn. Nếu nguyên lý của Hume được chấp nhận, thì những nguyên lý khác cũng vậy. Tuy nhiên, những nguyên lý hữu hạn không tương đồng với nguyên lý của Hume. Vậy làm thế nào để phân biệt những nguyên lý trừu tượng chính đáng? Phản ứng của Wright (1997) là phân định và bảo vệ những nguyên tắc bảo tồn nhất định vốn loại trừ những nguyên tắc trừu tượng xấu, và cho phép những nguyên tắc tốt, đặc biệt là nguyên lý của Hume. Tranh luận vẫn tiếp tục, nhưng có lẽ bớt cường độ hơn sau cái chết bi thảm (cancer) của Boolos, năm 1996.

 

Dự án lôgích-mới, được phát triển cho đến nay, chỉ áp dụng với những số tự nhiên và số học cơ bản. Như điều này có thể có ý nghĩa quan trọng, số học chỉ là một phần nhỏ của toán học. Một đề mục chính khác trong chương trình làm việc của lôgích-mới là mở rộng phương pháp giải quyết gồm những lĩnh vực khác của toán học, như giải tích thực, giải tích hàm số, và có lẽ cả hình học và thuyết tập hợp. Chương trình gồm việc tìm kiếm những nguyên tắc trừu tượng đủ giàu có để mô tả những lý thuyết toán học nhiều khả năng hơn. Xem Wright 1997: 233-44 và Hale 2000 để biết những cố gắng theo hướng này.

 

Tóm lại, như vậy, thuyết lôgích thì chưa chết. Nó là một chương trình nghiên cứu tích cực có tiềm năng hiệu quả và đang tiếp diễn trong triết học của toán học.

 

 

5. Đọc thêm

 

Nhiều những nguồn chính đã dẫn ở trên có thể đọc được và sẵn có. Frege 1884 đã được dịch sang tiếng England (bởi J.L Austin), và Russell 1919 đã tái bản năm 1993 (sách bìa mềm giá rẻ Dover). Ayer 1946 vẫn là một tác phẩm kinh điển. Tuyển tập Benacerraf và Putnam 1983 chứa nhiều tài liệu gốc về thuyết lôgích (bản dịch tiếng England nếu cần), gồm cả Carnap 1931 và 1950, và những lựa chọn từ Frege 1884 (với bản dịch khác), Russell 1919 và Ayer 1946 (và một phần liên quan, Hempel 1945). Resnik 1980 và Dummett 1991 là những nguồn thứ cấp trong sáng, quan trọng về thuyết lôgích Frege. Xem thêm những khảo cứu đã thu thập trong Demopoulos 1995 và phần thứ hai của Boolos 1998. Nhiều những bài khảo cứu trong Heck 1997 giải quyết với thuyết lôgích-mới, và chủ đề thường xuất hiện trong Philosophia Mathematica. Cho những tiếp cận lôgích khác nhau, hãy xem Dedekind 1872, 1888 (đã cùng xuất bản bản dịch (sách bìa mềm giá rẻ Dover).) và Hodes 1984.

 

 

Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Jan/2022)

(Còn tiếp... →)

http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com

 

---

[1] Russell – Đưa vào Triết học Toán học bản tôi dịch trên blog này

[2] Logicism: thuyết lôgích: được Richard Dedekind (1831-1916) cổ vũ mở đầu, Gottlob Frege (1848-1925) phát triển và Bertrand Russell (1872-1970) cùng Alfred North Whitehead (1861-1947) mở rộng. Richard Dedekind là một trong những người đầu tiên khẳng định rằng số học là một nhánh của lôgích học. Frege đã phát triển thuyết lôgích qua ba tác phẩm. Quyển đầu tiên, Begriffsschrift (‘chữ viết-khái niệm hay ký hiệu-khái niệm; ‘một ngôn ngữ công thức, được mô phỏng theo chữ viết của số học, dành cho suy nghĩ thuần túy’), xuất bản lần đầu tiên vào năm 1879, là một tác phẩm kỹ thuật, giới thiệu cho người đọc một hệ thống lôgích hình thức. Quyển thứ hai, Grundlagen (Nền tảng của số học), xuất bản lần đầu năm 1884, là triết học. Quyển thứ ba, Grundgesetze der Arithmetik, xuất bản thành hai tập, năm 1893 và 1903. Nó cũng được dịch là Nền tảng của số học, nhưng đây là những nền tảng hình thức, không phải triết học. Whitehead và Russell tiếp tục dự án lôgích học, và xuất bản bộ sách 3 tập Principia Mathematica (1910–13). Đây là một công trình kỹ thuật phát triển một lý thuyết chính thức về những loại, mà theo họ, là lôgích thuần túy. Russell cũng xuất bản nhiều tác phẩm triết học khác: The Principles of Mathematics (1903) và Introduction to Mathematical Philosophy (1919).

Câu hỏi triết học chính nhà lôgích học cố gắng trả lời là: bản chất của toán học là gì? Như từ “nhà lôgích học” gợi ý, câu trả lời là toán học, hay một phần của nó, về cơ bản là lôgích. Tuyên bố của nhà lôgích học có hai phần: rằng kiến ​​thức của chúng ta về những định lý toán học thì hoàn toàn dựa trên những chứng minh lôgích từ những đúng thật cơ bản của logic; và rằng những khái niệm liên quan đến những định lý như vậy, và những đối tượng vốn hiện hữu của chúng có bao hàm, đều thuộc một bản chất lôgích thuần túy. Thế nên, Frege duy trì rằng số học không đòi hỏi những giả định nào ngoài của lôgích; rằng khái niệm số là một khái niệm lôgích thuần túy; và tự thân những con số đó, như ông nói, là những đối tượng lôgích. Quan điểm toán học này sẽ không thể thực hiện được nếu không có sự chuyển đổi sâu rộng của lôgích xảy ra vào cuối thế kỷ 19 – đặc biệt nhất là qua những công trình của Frege. Trước thời đó, lý luận toán học thực sự không thể thực hiện được dưới những hình thức lập luận lôgích đã công nhận: hoàn cảnh này đưa đến tính hợp lý với lý thuyết của Immanuel Kant rằng lý luận toán học thì không là ‘thuần túy biện luận’, nhưng dựa trên ‘những xây dựng’ đặt nền móng trên trực giác. Tuy nhiên, lôgich mới đã có thể trình bày suy luận toán học tiêu chuẩn trong dạng của những suy luận lôgích thuần túy – một mặt là Frege, và mặt khác là Russell, cùng Whitehead, thực hiện công trình để cho thấy trong chi tiết.

[3] [Một trong những sáng kiến của Frege là đánh bật những triết gia khỏi sự thống trị của hình thức chủ ngữ-vị ngữ của những mệnh đề. Thay vào đó, ông nghĩ rằng mỗi mệnh đề như có thể phân hủy thành hàm số và đối số trong nhiều cách khác nhau, một khái niệm vốn ông đã mượn từ toán học.]

[4] canonical proof 

[5] [Điều này đặt ra một câu hỏi về những định nghĩa và luật tổng quát (lôgích). Làm thế nào những người được biết đến? Chúng được tiên nghiệm ở mức độ nào? Có lẽ Frege coi những định luật và định nghĩa tổng quát là hiển nhiên, hay tự hiển nhiên là tiên nghiệm]

[6] equinumerous: có số lượng bằng nhau,có cùng kích thước: Trong toán học, hai tập hợp A và B là bằng nhau nếu có sự tương ứng 1-1 giữa chúng, tức là nếu có một hàm số từ A đến B sao cho mọi phần tử y của B có đúng một phần tử x của A với f (x) = y. Định nghĩa này có thể được áp dụng cho cả set hữu hạn và set vô hạn và cho phép người ta phát biểu rằng hai set có cùng kích thước ngay cả khi chúng là vô hạn. Nghiên cứu số lượng của nững phần tử trong tập hợp (cardinality) là tính equinumerosity – tính có cùng kích thước.

[7] numerosity

[8] [Tên gọi theo trích dẫn của Frege về một nguyên tắc tương tự của người theo thuyết duy nghiệm thế kỷ mười tám David Hume. những khái niệm của Frege hiện hữu khách quan, và do đó không là những thực thể tinh thần, nhưng chúng có thể được nắm bắt qua não thức. Theo thuật ngữ của triết học thời nay, ‘thuộc tính’ có thể là một thuật ngữ tốt hơn ‘khái niệm’ ở đây.]

[9] the successor relation

[10] [Đáng chú ý là Frege đã không nêu lên một vấn đề kiểu Caesar cho những mở rộng. Chẳng hạn, làm sao chúng ta biết có phải Caesar là mở rộng của những khái niệm chứa chính xác hai đối tượng hay không? Vì những mở rộng đều nối kết chặt chẽ với những khái niệm, có lẽ Frege đã coi chúng là đã được biết]

[11] topology

[12] [Như chúng ta đã thấy trong §2 của chương trước, lai lich của cái nhìn này truy ngược về Kant. Khi thảo luận về một lập luận cụ thể cho sự hiện hữu của Gót, Kant tuyên bố rằng việc phân tích những khái niệm không thể đòi hỏi sự hiện hữu của bất cứ thứ gì. Nếu Kant nói đúng về điều này, và nếu Lôgích học gồm phân tích khái niệm, thì không có đối tượng lô-gich nào đặc biệt]

[13] [Nhà toán học Ernst Zermelo đã tìm ra được nghịch lý khoảng một năm trước đó. Xem Rang và Thomas 1981]

[14] [Khi thảo luận về tác phẩm lôgích mở đường lớn lao của Frege, Begriffsschrift (1879), Russell (1919: ch. 3) nói rằng mặc dù giá trị lớn lao của tác phẩm này, tôi tin rằng, tôi đã là người độc nhất từng đọc nó – sau hơn hai mươi năm nó đã xuất bản]

[15] fallacy: vẫn thường dịch là ngụy biện

[16] impredicative: không khẳng định: Trong toán học, lôgích và triết học toán học, một gì ‘impredicative’ là một định nghĩa lại viện dẫn chính nó

[17] Nay là những ký hiệu: “∀x” & “∃x”

[18] thuyết về loại (theory of logical types, khác với lớp (classes)): do Russell đưa ra nhằm loại trừ sự tự viện dẫn ngõ hầu ngăn chặn sự xuất hiện của những mâu thuẫn và những nghịch lý trong logich. Nó tuyên bố rằng một lớp thì thuộc một loại logich cao hơn những phần tử của nó và vì phải không lẫn lộn những loại logich, nên không lớp nào có thể chứa chính nó như một phần tử. Ví dụ: nguyên lý triệt tam tuyên bố rằng ‘những mệnh đề có thể hoặc đúng hoặc sai’ là một mệnh đề và do đó phải hoặc đúng hoặc sai. Nhưng vì nó chỉ có thể là đúng (nếu không nó sẽ không là nguyên lý), nó bất chấp phát biểu của chính nó. Giải pháp của Russell là luật là một mệnh đề về những mệnh đề và không được nhầm lẫn với những mệnh đề vốn chính nó đề cập đến. Theo thuyết về loại, những phát biểu viện dẫn chính nó thì không đúng và cũng không sa,i nhưng chỉ là vô nghĩa.

[19] [Có những số tự nhiên khác nhau cho mỗi loại. Chúng ta có thể định nghĩa 0 là lớp của tất cả những lớp loại 2 vốn không có những phần tử’, và 1 là lớp của tất cả những lớp loại 2 với một phần tử duy nhất, vv... Như thế, 0 và 1 đều là loại 3.]

[20] [Với một vài cẩn thận, có thể xác định nhất quán những lớp của những loại hỗn hợp, chẳng hạn như lớp người chơi và đội (những người chơi). Thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel thời nay cho phép những lớp hỗn hợp và do đó nó có một lớp gồm tất cả những lớp của loại hữu hạn, và sau đó là những lớp con của những lớp đó, v.v. Cấu trúc kết quả đôi khi được gọi là ‘cấu trúc phân cấp tích lũy’. Cho phép những loại hỗn hợp tạo dễ dàng cho sự mở rộng của hệ thống phân cấp vượt ngoài những loại hữu hạn. Trong hệ thống phân cấp tích lũy. không có set của tất cả những set vốn không là phần tử của chính chúng. Không có set phổ quát, chứa tất cả những set như những phần tử, và không có set của tất cả những set chỉ có đúng một phần tử (singletons). Vì vậy, việc xây dựng theo Frege cũng bị chặn ở đó]

[21] ramified type theory: [Whitehead và Russell 1910. Xem Hazen 1983 để biết sự phát triển dễ đọc và thông cảm của lý thuyết kiểu những hệ quả phức tạp bất ngờ. Russell đã dùng từ trật tự cho cái vốn tôi gọi là cấp/mức độ ở đây. Trong văn học thời nay, một cụm từ như “bậc hai” hay “bậc cao” nói đến một thứ giống như một loại trong hệ thống phân cấp của Russell.]

[22] level

[23] principle of reducibility: nguyên tắc của tính thu giảm (hay nguyên lý thu giảm) Tiên đề do Russell và Whitehead đưa ra trong Principia Mathematica. Trong hệ thống đó, những hàm số mệnh đề được sắp xếp thành những cấp, như một phần của lý thuyết phân cấp về nhữngloại. Tiên đề nói rằng đối với bất kỳ hàm số nào ở cấp độ nào cũng tồn tại một hàm số tương đương về mặt hình thức ở cấp độ đầu tiên. Tiên đề thì cần thiết để cho phép việc xây dựng toán học sơ cấp, đặc biệt là để chứng nhận nguyên lý quy nạp toán học

[24] [F.P. Ramsey (1925) đã đưa ra một lý thuyết ‘loại đơn giản hay không khẳng định vốn không có giới hạn về mức độ, nhưng sau đó có lẽ người ta cần phải biện minh cho những vi phạm theo nguyên tắc vòng luẩn quẩn. Ramsey đã áp dụng một thuyết duy thực bản thể học với những lớp học, thuyết này loại bỏ Tất Yếu của một nguyên tắc vòng luẩn quẩn. Xem ch. 1, §2 trên. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này ngắn gọn ở phần sau của chương này.]

[25] section

[26] completeness principle: nguyên tắc hoàn chỉnh là một thuộc tính của nhữngsố thực và là một trong những nền tảng của giải tích thực. Công thức phổ biến nhất của nguyên tắc này là mọi tập hợp không rỗng có giới hạn trên, có một giá trị tối cao (supremum)

[27] real analysis: giải tích thực (bậc nhất)

[28] axiom of choice

[29] ordered pair:

[30] [Ở đây, tiên đề của thu giảm đóng một vai trò còn lớn hơn, vì một câu diễn đạt đơn lẻ có thể đòi hỏi người ta nói cùng một lúc tất cả những khái niệm trong toàn bộ hệ thống phân cấp. những đưa ra khác nhau về từng loại và / hay mức độ]

[31] [Dummett định vị trí ‘bước ngoặt ngôn ngữ’ với Frege, nhưng đây là điều còn bàn luận chưa ngã ngũ. Mặc dù Frege rõ ràng là một nhân vật quan trọng trong sự phát triển kết quả của truyền thống ngữ nghĩa, ông không chủ trương rằng tất cả đúng thật là đúng thật tất yếu bởi định nghĩa. Nhớ lại rằng, với Frege, sự đúng thật của hình học đều là tổng hợp, tiên nghiệm (xem §1 ở trên), và do đó không là đúng bởi định nghĩa. Với Frege, những đúng thật phân tích đều có thể suy diễn từ những luật lôgích tổng quát và những định nghĩa’. Do đó, trạng hái của những đúng thật phân tích theo Frege tùy thuộc trên bản chất của những ‘luật lôgích tổng quát’, nhưng Frege đã không nói nhiều về những điều này (xem chú thích 2 ở trên).]

[32] successor function: hàm số kế thừa hoặc phép toán kế tiếp gửi một số tự nhiên đến số tiếp theo. Hàm số kế thừa ký hiệu là S, do đó S (n) = n + 1. Thí dụ, S (1) = 2 và S (2) = 3.

[33] [Xem Hale 1987: 5-10, để có một thảo luận rõ ràng về vấn đề này.]

[34] Subsistence – Meinong (Gegenstandstheorie)

[35] linguistic framework

[36] quantifier

[37] a number framework

[38] Alfred Jules Ayer (1910–1989) triết gia người UK, chỉ mới 24 tuổi khi ông viết quyển sách làm nên tên tuổi triết học của ông, Language, Truth, and Logic, (Ngôn ngữ, Đúng Thưc, và Lôgích) xuất bản năm 1936. Trong đó, ông đưa ra những gì được hiểu là những luận điểm chính của chủ nghĩa thực chứng lôgic. Khi tán thành những quan điểm này, Ayer đang tiếp tục đi theo đường lối của chủ nghĩa duy nghiệm Anh do John Locke và David Hume thiết lập, một chủ nghĩa duy nghiệm mà người đại diện gần đây nhất là Bertrand Russell. Ông trung thành với chủ nghĩa duy nghiệm, tin chắc rằng tất cả kiến thức về thế giới đều bắt nguồn từ kinh nghiệm giác quan và không có gì trong kinh nghiệm biện minh cho tin tưởng vào Gót hoặc vào bất kỳ thực thể siêu việt nào khác. Chỉ riêng những quan điểm logic của ông, được thể hiện trong một văn xuôi tinh tế, tao nhã, đã đảm bảo cho ông một vị trí trong lịch sử triết học thời nay. Ông là một trong những triết gia người UK có ảnh hưởng nhất trong thế kỷ 20.

[39] Rudolf Carnap, W. V. Quine và Hilary Putnam có lẽ là ba nhân vật trung tâm nhất của triết học US giữa thế kỷ XX. Những tranh luận của họ về ý nghĩa, chuyển dịch và bản thể học đã chủ yếu đưa ra đề tài bàn luận cho những nhà triết học phân tích trong những mười năm đầu sau Thế chiến thứ hai. Hầu hết những nhà sử học tin rằng bên dưới những tranh luận triết học này là sự bất đồng cơ bản hơn về bản chất của khoa học, của triết học và của phương pháp điều tra của chúng ta. Quine thường được coi như người xóa bỏ sự phân biệt (được cho là) ​​của Carnap giữa khoa học và triết học, trong khi Putnam thường được hiểu là người bác bỏ cả thuyết thực chứng của Carnap và thuyết duy nhiên khoa học của Quine.

[40] [Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ thấy hiện tượng ‘tính bất toàn’ này làm suy yếu một triết học toán học từng nổi tiếng khác, thuyết hình thức.]

[41] Những nhận xét trên của tác giả nay (2022) không còn hợp thời nữa – tôi thêm một vài chi tiết về định lý nổi tiếng này – Fermat’s Last Theorem (FLT): Định lý cuối cùng của Fermat

a .

Nhắc lại định lý Pythagoras: a² + b² = c² trong đó a, b và c là chiều dài những cạnh của một tam giác vuông, với c là của cạnh huyền. Chúng ta có thể hỏi liệu có những số nguyên a, b và c nào thỏa mãn phương trình này hay không (như trường hợp nếu a = b, thì không). Định lý Pythagoras thì đúng với bất kỳ tam giác vuông nào. Những chiều dài đặc biệt này được gọi là bộ ba Pythagoras (Pythagoras an triples). Thí dụ, một số bộ ba Pythagoras : (3,4,5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) ...Lưu ý rằng nhân một bộ ba Pythagoras đã có với một hằng số sẽ được một bộ ba Pythagoras khác. Như thế, trong thực tế, có vô hạn những bộ ba Pythagoras Những bộ ba nào không có được qua việc nhân một bộ ba đã có với một hằng số được gọi là những bộ ba nguyên thủy. Diophantus (người thành Alexandria, khoảng 250 AD, tác giả của Arithmetica (Số học- một tuyển tập gồm 130 bài toán đại số, một tác phẩm lớn của toán học Hellas thời cổ) đã có một cách để tạo những bộ ba Pythagoras bằng xem xét những điểm hữu tỉ trên những đường tròn. Chia phương trình a² + b² = c² cho c² , được a / c² + b / c² = 1. Như thế , giải phương trình ban đầu trong những số nguyên thì tương đương với giải phương trình a² + b² = 1, trong những số hữu tỉ . Nhưng đây chính là phương trình của một đường tròn có bán kính = 1. Như vậy, việc tìm những bộ ba Pythagoras thì tương đương với việc tìm những điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị..Trên một đường tròn có bán kính số nguyên r = w ( u ² + v ²). Nếu chúng ta bỏ w, chúng ta có được tất cả những bộ ba Pythagoras nguyên thủy. (Euclid đã có một dạng tham số như thế này, khoảng 100 năm trước Diophantus). Một câu hỏi tự nhiên tiếp theo là liệu chúng ta có thể “chia một khối lập phương thành hai khối”, tức là liệu có những nghiệm số số nguyên cho x³ + y³ = z³ , hay ngay cả tổng quát hơn, không biết có những nghiệm số số nguyên cho xⁿ + yⁿ = zⁿ (n > 2) hay không. Trong Diophantus, phương trình Pythagoras a² + b² = c² có vô số nghiệm số, dẫn đến câu hỏi những trường hợp lũy thừa 2 được thay bằng lũy thừa 3, 4, 5, v.v. ; thí dụ, những phương trình a³ + b³ = c³ và a⁴ + b⁴ = c⁴ và a⁵ + b⁵ = c^{5 ,} ...., liệu chúng có những nghiệm số là những số nguyên a, b, c khác hay không? Pierre Fermat, khi đọc Arithmetica của Diophantus, bài toán 8 trong quyển II, có đòi một qui tắc để viết một hình vuông như tổng số của hai hình vuông. Đó chính là phương trình x ^{2 +} y ² = z ^2, cho những tam giác vuông có nghiệm số là những bộ ba Pythagoras. Trong mỗi trường hợp, bình phương của mỗi số nhỏ hơn bình phương của số lớn nhất. Fermat tuyên bố rằng thay vì dựng hình vuông (hai chiều) trên những cạnh của tam giác vuông, nếu dựng những khối ba chiều, hoặc khối tương tự bốn chiều,, hoặc những khối tương tự nhiều chiều hơn, thì sẽ không có những bộ ba Pythagoras tương đương. Tuyên bố này là sau đó là ‘định lý cuối cùng của Fermat’ nổi tiếng.

b.

Pierre Fermat (1601-1665) sinh quán ở Beaumont-de-Lomagne, vùng Languedoc, France. Cha là một thương gia giàu có, mẹ là con gái của một gia đình nổi tiếng (nhũ danh de Long). Vào cuối những năm 1620, ông học luật ở Orléans. sau khi tốt nghiệp, ông hành nghề luật sư, và là công chức trong chính quyền Toulouse, khoảng 1652, ông được thăng lên cấp cao nhất tại tòa án hình sự. Do địa vị công chức cao cấp, ông đã đổi tên thành Pierre de Fermat. Fermat được coi là người sáng lập lý thuyết số hiện đại. Hơn nữa, ông và đồng nghiệp đương thời của Blaise Pascal (1623 – 1662) đã đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất. Ngoài những thành tựu quan trọng này, ông cũng đã hỗ trợ đáng kể vào sự phát triển những lĩnh vực toán học khác nhau. Ông đã tìm được nguyên lý cơ bản của hình học giải tích, độc lập với Rene Descartes (1596 – 1650), và những nghiên cứu của ông về cực đại và cực tiểu của hàm số được coi như một bước tiến quan trọng cho sự phát triển của phép tính vi phân.

c

Định lý Cuối cùng của Fermat – hay nói đúng hơn là phỏng đoán cuối cùng của Fermat – ‘tương truyền’ ông đã viết tay nghêch ngoạc, như một ghi chú ngắn ở lề trang sách Arithmetica của Diophantus quyển II, trang có bài toán số 8, trong bản in song ngữ Greek-Latin (bản dịch Latin của Bachet), khi ông đang đọc, khoảng năm 1637. Ghi chú này viết: “Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet” (Không thể tách một khối lập phương thành hai khối lập phương, hay một khối tứ phương thành hai khối tứ phương, hay trong tổng quát, là bất kỳ lũy thừa nào lớn hơn lũy thừa hai thành những lũy thừa giống nhau; tôi đã tìm được một chứng minh thực sự tuyệt diệu, vốn lề trang sách này thì quá hẹp để ghi xuống). (hình chụp bản Diophantus, in năm 1670, của Samuel de Fermat).

 

Như kết quả của ghi chú này, phát biểu rằng phương trình Diophantus: x ⁿ +y ⁿ = z ⁿ, trong đó x, y, z và n là những số nguyên, không có nghiệm số không-zero nào với n > 2. Phát biểu sau đó là ‘định lý’ cuối cùng của Fermat. Gọi nó là ‘định lý’ (‘theorem’) thay vì ‘phỏng đoán’ (‘conjecture’ = một tuyên bố cho là đúng, nhưng không có chứng minh), dựa trên tin tưởng vào khả năng của Fermat, dù trong thực tế, không nhà toán học nào khác đã từng đưa ra một chứng minh cho nó, trong suốt thời gian 357 năm sau. Bản thân Fermat cũng chưa bao giờ công bố bằng chứng về tuyên bố này. Gọi là định lý Cuối Cùng của Fermat (FLT) – Le dernier théorème de Fermat, không vì nó là công trình cuối cùng hay lớn nhất của ông của ông, nhưng vì nó là tuyên bố cuối cùng còn sót lại trong danh sách những công trình trong di cảo của Fermat cần được chứng minh hay kiểm chứng độc lập. Tất cả những công trình khác hoặc đã xác nhận hoặc phủ nhận từ lâu. (Một trường hợp dẫn chứng là là Định Lý Nhỏ Fermat (Fermat’s little theorem), 1640 , trong lý thuyết số: ‘Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên bất kỳ. Khi đó a^p − a luôn chia hết cho p’. Dùng ký hiệu số học mô-đun, nó có thể được viết dưới dạng: ‘a ^p ≡ a mod p’. Cũng như nhiều định lý của Fermat khác, không chứng minh nào của ông được biết là tồn tại. Sau đó, chứng minh công bố đầu tiên về định lý này là của Leonhard Euler năm 1736, và trước đó, khoảng năm 1683 đã có một chứng minh khác của Gottfried Wilhelm Leibniz nhưng nó còn trong bản thảo).

Dù Fermat tuyên bố đã tìm ra một “chứng minh tuyệt diệu”, nhưng sau đó ông không bao giờ nhắc nhở gì đến chứng minh này nữa. Đặc biệt, ông (như thói quen của những nhà toán học thời đó) cũng không thách thức việc tìm ra nó với những người cùng thời. Fermat và những nhà toán học cùng thời ông thường xuyên trao đổi thư từ; ông thường gửi họ những định lý ông đã phát triển và yêu cầu họ chứng minh chúng, trong khi ông đã có những kết quả (hoặc ít nhất ông đã tuyên bố rằng ông đã có, để kiểm nghiệm, so sánh). Do đó, có vẻ như ông đã không có một chứng minh tổng quát cho FLT; có lẽ khi đó, ông nghĩ mình đã chứng minh được nó, nhưng sau này đã tự nhận rằng sai. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng có thể ông đã chứng minh phỏng đoán của ông với n = 4 và có lẽ ông cũng đã chứng minh nó với n = 3. Mặc dù có những trao đổi thư từ sống động giữa ông và những nhà toán học đương thời khác (với họ, ông chỉ là một nhà toán học “nghiệp dư”, dù nếu điều này nghe có vẻ không xuôi với chúng ta này nay; ông hành nghề luật sư, còn toán học chỉ là sở thích giải trí khi rảnh rỗi của ông), nhưng Fermat chưa bao giờ công bố bất kỳ một thành tựu nào của mình. Ngoại lệ là một phụ lục nhỏ nhưng ông đã phổ biến ẩn danh trong một quyển sách của một đồng nghiệp, năm 1660. Phản ứng trước việc ông từ chối xuất bản công trình của ông , nhiều người ngưỡng mộ đương thời đã lo lắng về việc có thể mất đi những khám phá toán học của ông. Sau khi ông qua đời, nhiều người tìm đọc những sách và những ghi chép của ông, nhưng bản in Arithmetica của ông, có ghi chú nói trên cũng bị thất lạc. Tuy nhiên, con trai ông, Samuel de Fermat, đã thu thập và xuất bản những thư từ, giấy tờ và sách vở cha mình để lại. Trong những xuất bản này, năm 1670 ở Toulouse, có một bản in Arithmetica mới, Samuel đã kết hợp tất cả những ghi chú ghi chép bên lề của cha mình vào trong ấn bản này, nhờ đó chúng ta biết được ghi chú sau thành FLT nổi tiếng nói trên. Như một ví dụ dẫn chứng khác, Fermat đã viết một ghi chú khác về những hệ số nhị thức (binomial coefficients), và cũng có tuyên bố tương tự: “Tôi không có đủ thì giờ, cũng không có đủ chỗ, để ghi chứng minh xuống lề sách”.

d

Trong nhiều thế kỷ, những nhà toán học đã bối rối trước tuyên bố của Fermat, vì không ai có thể chứng minh hay bác bỏ phỏng đoán của Fermat. Tìm kiếm nghiệm số cho phương trình Diophantus: x ⁿ +y ⁿ = z ⁿ, đi theo hai hướng với hai phương pháp: phương pháp thứ nhất tìm một giải đáp cho một giá trị cụ thể của lũy thừa n , và phương pháp thứ hai là tổng quát hơn, tìm một giải đáp cho mọi giá trị của lũy thừa n.Tuy nhiên, những cố gắng chứng minh với nhiều giá trị cụ thể của n đã được đưa ra. Như Euler, năm 1770, đã chứng minh định lý này cho n = 3, Dirichlet và Legendre đã chứng minh định lý này cho n = 5, năm 1825. Sophie Germain (1823) khái quát kết quả của Dirichlet cho số nguyên tố p nếu 2p + 1 là số nguyên tố: Cho p là số nguyên tố, x ^p + y ^p = z ^p không có nghiệm số là một số nguyên dương N nếu 2p + 1 là số nguyên tố (gọi là số nguyên tố Sophie Germain). Đến những năm 1990, với sự ra đời và sự trợ giúp của cômputơ, FLT đã được xác nhận là đúng cho tất cả những số nguyên tố n < 4.000.000.Tuy nhiên, đòi hỏi chứng minh của FLT là đúng với tất cả những lũy thừa, những chứng minh cho bất kỳ lũy thừa hữu hạn nào không được xem là tiến bộ đáng kể với chứng minh tổng quát của định lý (mặc dù sự kiện là không tìm thấy ví dụ phản chứng nào cho nhiều trường hợp này). Vào thời gian này, những nhà toán học cũng đã biết được rằng chứng minh một trường hợp đặc biệt của một kết quả từ hình học đại số và lý thuyết số, gọi là phỏng đoán Shimura-Taniyama-Weil sẽ là tương đương với việc chứng minh phỏng đoán của Fermat. Phỏng đoán Shimura-Taniyama-Weil, là phỏng đoán rất tổng quát và quan trọng (bây giờ là định lý) kết nối topology và lý thuyết số, liên quan đến những đường cong elliptic (phương trình bậc ba trong hai biến số của dạng y² = x³ + ax + b, trong đó a và b là những tỉ số) và những dạng mô-đun.

e.

Năm 1993, Andrew Wiles, nhà toán học người UK, nghiên cứu giảng dạy ở Princeton, đã trình bày chứng minh định lý tổng quát, một phần bằng chứng minh trường hợp semistable của giả thuyết Taniyama-Shimura trong một hội thảo toán học ở Cambridge. Tuy nhiên, ngay sau đó, một ‘lỗ hổng’ đã thấy trong chứng minh đã đưa ra, khi giải quyết của Wiles qua phỏng đoán Taniyama-Shimura trở thành quá vướng mắc trên những thuộc tính của nhóm Selmer (trong phỏng đoán Taniyama-Shimura này) bằng dùng một ‘dụng cụ’ là hệ thống Euler (cấu trúc toán học được Kolyvagin (1990) giới thiệu lần đầu tiên). Tuy nhiên, với trợ giúp của Richard Taylor, một sinh viên Princeton cũ của Wiles, khó khăn này đã vượt qua. Năm 1994, Wiles công bố hai báo cáo, Modular Elliptic Curves And Fermat's Last Theorem (Những đường cong elip mô-đun và FLT) của ông, và Ring Theoretic Properties Of Certain Hecke Algebras (Những thuộc tính lý thuyết Ring của số đại số Hecke nhất định), viết cùng với Richard Taylor. Báo cáo đầu tiên (dài) công bố, trong số những chứng minh khác, một chứng minh của FLT, dựa vào báo cáo thứ hai (ngắn) cho một bước quan trọng. Trong báo cáo thứ hai. Taylor đã cùng Wiles thiết lập những thuộc tính cần thiết của đại số Hecke. Hai báo cáo đã được công bố trong tạp chí Annals of Mathematics (tháng5/1995). Chứng minh của Wiles thành công bằng (1) thay thế những đường cong elliptic (elliptic curves) bằng những biểu diễn Galois (Galois representations), (2) giảm vấn đề thành một công thức số hạng (a class number formula), (3) chứng minh công thức đó và (4) chữa những những thiếu xót có nguyên nhân từ những thuyết hình thức thất bại trong những trường hợp thiếu một số thuộc tính, trật tự hoặc tính riêng biệt của cấu trúc đơn giản nhất.

 f.

Câu hỏi cuối cùng – Fermat có thực đã tìm được chứng minh tổng quát cho phương trình x ⁿ + y ⁿ ≠ z ⁿ (n > 2) hay không? Trả lời vắn tắt là không!

Sau hàng trăm năm nhưng không tìm được một chứng minh nào cho phỏng đoán này, khiến nhiều nhà toán học ngờ Fermat đã nhầm khi có tuyên bố nổi tiếng trên, dù có một số khác vẫn cho rằng có lẽ Fermat đã có chứng minh như ông nói, nhưng bị mất, khiến chúng ta đã không tìm ra. Tuy nhiên, nhiều người nghĩ rằng chúng ta có thể kết luận khá chắc chắn rằng thực sự thì không như vậy. Tất nhiên, bằng chứng đáng nói nhất là không ai đã từng tìm ra một chứng minh đã nói, và đó không phải vì thiếu cố gắng. Có những nhà toán học đã nghĩ rằng, nhiều phần có thể xảy ra là Fermat đã nghĩ rằng ông có một chứng minh, nhưng sau đó ông nhận ra rằng nó không thành công. Đây là lý do nhiều người nghiêng sang nhận xét này: (1) Fermat tuyên bố đã tìm ra chứng minh của định lý này ở giai đoạn đầu trong sự nghiệp của ông. Rất lâu sau đó, ông đã dành thời gian và công sức để chứng minh những trường hợp n = 3 và n = 4. Dù Fermat cũng chưa bao giờ công bố những kết quả của trường hợp n = 3 và n = 4. Tại sao ông vẫn bận tâm với những chững minh đó nếu ông đã có một chứng minh tổng quát cho mọi giá trị của n? (2) Ghi chú viết tay trên mép/lề trang sách trong một quyển sách đang đọc, và có lẽ chính người viết không bao giờ có ý định sẽ công bố nó dưới bất kỳ hình thức nào. Nhiều người thường viết những ghi chú ‘nhanh và vội’ trên lề trang sách đang đọc, nhưng không chắc có ai sẽ cẩn thận quay lại, tỉ mỉ tìm kiếm và sửa chữa một lỗi lầm bất kỳ và nhất thời nào đó, vốn đã có thể vướng phải đang khi ghi chú như vậy. Tại sao lại đây không là trường hợp xảy ra với Fermat? (3) Qua những chúng minh gần đây, điển hình qua chứng minh thành công của Andrew Wiles, cho thấy tất cả những phương pháp và kỹ thuật toán học cuối cùng được dùng để chứng minh bài toán này đã chưa được biết trong thời Fermat.

Chứng minh thành công FLT đánh dấu sự kết thúc của một kỷ nguyên toán học. Nhờ thành công của Andrew Wiles, chúng ta biết rằng FTL là đúng. Thành tựu này, cũng chứng tỏ rằng trong nhiều trường hợp, giá trị của một vấn đề toán học được thẩm định hay nhất bằng mức độ sâu và rộng của những phương pháp hay dụng cụ toán học đã được phát triển để giải quyết vấn đề. Cuối cùng, FLT tự nó vô dụng! Tất cả những ý tưởng toán học và những phương pháp được phát triển để giải quyết nó mới là giá trị và di sản thực sự. Trong lịch sử toán hoc, FLT đã đóng góp lớn vào việc thúc đẩy sự tiến bộ của toán học. FLT cuối cùng đại diện cho một câu chuyện dài của một gắng sức trí tuệ trong hơn ba trăm năm, một câu chuyện của thách thức và lôi cuốn của cái đẹp toán học, cái đẹp thấy trong sự hài hòa, những mô thức, và những cấu trúc của những số và những hình – những lý tưởng cổ điển Hellas của cân bằng và đối xứng.

[42] neo-logicist

[43] [Chính Frege đã nắm giữ rất chặt ý kiến thứ hai của luận điểm này. Xem chú thích 13 ở trên về mức độ vốn Frege đã nắm giữ một gì đó giống như luận điểm thứ nhất.]

[44] causally inert, abstract objects

[45] transcending logic

[46] [Quan hệ E là tương đương nếu (1) với mọi ß., E (α. α) (Phản xạ), (2) với mọi α, ß, nếu E (α, ß,) thì E (ß, α.) (đối xứng), và (3) với mọi α. ß, γ y nếu E (α. ß) và E (ß, γ), thì E (α, γ) (hoán chuyển).]

[47] bad company objection – ‘phản đối nhóm xấu’: sự kiện là Luật cơ bản V mang tai tiếng của Frege, sau khi đưa ra mô hình định nghĩa tổng quát của những nguyên tắc trừu tượng bậc cao là một lý do chính đáng để nghi ngờ tính đúng thật của loại định nghĩa này.