Suy Nghĩ Về Toán
Học
(Triết Học Toán
Học)
Stewart
Shapiro
THUYẾT
HÌNH THỨC: NHỮNG PHÁT BIỂU TOÁN HỌC CÓ NGHĨA GÌ KHÔNG?
Quan sát dễ dãi
cho
thấy, hay có vẻ như
vén mở lên cho
thấy, rằng nhiều hoạt động toán học bao gồm
sự vận dụng của những ký hiệu ngôn ngữ theo những luật nhất định. Nếu một người nào đó làm toán số học thiết lập một câu trong dạng a x b = c,
sau đó người ấy có thể viết câu tương ứng b x a = c. Nếu người ấy cũng có được một câu như a ≠ 0,
sau đó người ấy được quyền viết c / a = b.
Những phần sơ đẳng
và
cao cấp của toán học đều như nhau, có chung đặc điểm này, ít nhất xuất hiện như như sự
vận dụng theo quy luật-điều khiển.
Ý nghĩa quan trọng của nhận xét này về sự thực hành của toán học là gì? Những triết lý khác nhau mang tên thuyết hình thức
[1] theo đuổi một tuyên xưng rằng yếu tính của toán học là sự vận dụng
của những ký tự. Một danh sách của những
ký tự và những quy luật cho phép, tất cả nhưng trừ những gì để nói về một nhánh nhất định của toán học. Theo như người theo thuyết hình thức toán học, khi đó, toán học thì không, hay không cần là, về bất cứ gì, hay bất cứ gì ngoài những
ký hiêu chữ viết và
những luật cho sự vận
dụng chúng.
Thuyết hình thức nắm giữ một phương diện của toán học, có lẽ bỏ qua hay coi nhẹ tất
cả gì khác. Dù tốt hay xấu, phần lớn số học cơ bản
được dạy như một loạt những
kỹ thuật ‘nhắm mắt mà làm’,
với rất ít hay không có chỉ dẫn
nào về những gì những kỹ thuật này làm gì, hay tại sao chúng làm thế. Có bao nhiêu những thày giáo dạy toán có thể giải thích những
luật về phép tính chia
số nhiều,
chưa nói đến algorithm lấy
căn bậc hai, trong những
thuật ngữ khác hơn sự thực
hành một thủ tục? Nhưng có lẽ đây là một phê bình về một
số phương pháp sư phạm nào đó, hơn là một cố gắng để biện minh một triết lý.[2]
Thuyết hình thức có một liên hệ tiếp nối giữa những nhà toán học rõ hơn so với giữa những triết gia về toán học. Qua suốt lịch sử, những nhà toán học đã có dịp
để giới thiệu những ký hiệu, vốn vào thời điểm đó, đã dường như không có giải thích rõ ràng.
Chính những tên gọi ‘những số
âm’, ‘số vô tỉ’, ‘số
siêu việt’,
‘số ảo/tưởng tượng’ và ‘những điểm lý tưởng ở vô cực’ cho thấy sự mơ hồ, không rõ nghĩa. May mắn; giới chuyên môn toán học cũng có những đầu óc táo bạo có tâm lý giàu tưởng tượng, nhưng có vẻ rằng những người đem cho những tên gọi là những người hoài nghi nhất. Mặc dù những
‘thực thể’ mới đã đưa vào tỏ ra có ích cho những ứng dụng bên trong toán học và khoa học, nhưng trong những
khoảnh khắc triết học của
họ, một số nhà toán học đã không
biết phải hiểu nghĩa của chúng
là gì. Những số ảo,
chúng thực sự là gì? Một phản ứng phổ thông với những dilemma như vậy là rút lui về thuyết hình thức.
Nhà toán học khẳng định
rằng những ký hiệu cho những số phức, thí dụ, đều là để được vận dụng theo như (hầu hết) cùng những quy luật như những số thực, và đó là tất cả những gì có với nó.
Tuy nhiên, bản thân những nhà toán học không luôn luôn đào sâu vào trong những quan điểm triết học
của họ. Một trong những
trình bày mạch lạc chi tiết nhất
trong những dạng cụ thể cơ bản của thuyết hình
thức được thấy trong phê bình mạnh mẽ của Gottlob Frege (1893: §86-137) về cái nhìn này.
1. Những Cái Nhìn Cơ Bản; Tấn Công Dữ Dội Của Frege
Ít nhất, có hai lập trường tổng quát khác nhau vốn có một số tuyên bố trong lịch sử cho danh hiệu ‘thuyết hình thức’. Mặc dù những triết học đứng đối
lập nhau trong những đường lối quan trọng, nhưng cả hai, những chống đối
và những bảo vệ của thuyết
hình thức đôi khi hợp lẫn với nhau.
1.1. Những Thuật Ngữ
Thuật ngữ thuyết hình thức [3] là cái nhìn rằng toán học là về những ký tự hay
những ký hiệu [4]
– hệ thống của những chữ
số và những dạng khác của ngôn
ngữ. Đó là, người theo thuyết hình
thức định nghĩa những
thực thể của toán học bằng tên gọi của
chúng. Số phức 8 + 2i thì chỉ
là ký hiệu ‘8
+ 2i’.
Một người theo thuyết hình
thức thông suốt sẽ
cũng xác định số tự nhiên 2 với chữ số ‘2’, nhưng có lẽ một người có thể là một người theo thuyết hình
thức về một nhánh nào đó của toán học nhưng không những nhánh khác.Một người có thể theo thuyết hình thức chỉ với những
nhánh vốn người ấy có ít nhiều lo lắng về chúng.
Theo thuyết
hình thức về thuật ngữ, khi
đó, toán
học có một chủ đề-nội dung,
và những mệnh đề toán học thì hoặc đúng hoặc sai.
Cái nhìn này
đề nghị những
trả lời đơn giản cho những
vấn đề (xem dường) khó khăn về siêu hình học và tri thức học với toán học. Toán học là về những gì? Những số, những set,
v.v. Những con số, những set,
v.v. này là gì? và vân
vân tương tự? Chúng là
những ký tự ngôn ngữ. Toán học thì được
biết thế nào? Kiến thức toán học là gì? Có phải nó là kiến thức của những ký tự liên quan với nhau như thế nào, và chúng thì được vận dụng trong thực hành toán học như thế nào.
Hãy xem phương
trình đơn giản nhất có
thể có:
0 = 0.
Giả định-trước
là nó cuối
cùng là đúng thực. Người theo thuyết hình
thức thuật ngữ diễn dịch nó thế nào? Người ấy không thể nói rằng
phương trình nói rằng vạch mực
ngoài cùng bên trái (hay đốm mực đen) có hình bầu dục thì đồng nhất với đốm mực
ngoài cùng bên phải,
cũng hình bầu dục. Rõ ràng, đó là hai vạch mực
khác nhau.
Người theo thuyết hình thức thuật ngữ có thể lấy phương
trình để xác định rằng hai vạch mực đó có cùng dạng. Nhưng điều này dường như giả định-trước sự hiện hữu của những thực thể gọi
là ‘những dạng’. Khi thảo luận về những đề mục ngôn ngữ như những chữ cái và những câu, những triết gia thời nay phân biệt những
loại với những biểu hiện [5].
Biểu hiện
là những đối tượng vật
lý đã tạo thành mực, bút chì, vết phấn, bột mực
đen, v.v. Là những đối tượng vật chất, chúng có thể được tạo ra và phá hủy
tùy ý. Những loại là những dạng trừu tượng
của những biểu hiện. Từ ‘concatenation’ có hai trường hợp của một loại c.
Loại c thì được tất cả những
ký tự có biểu hiên-chữ-cái, của dạng đó, phân phát đồng đều.
Khi chúng ta nói rằng bảng chữ cái Roma có
26 chữ cái, chúng ta nói về những loại chứ không những biểu hiện.
Phát biểu sẽ
vẫn giữ đúng nếu mọi biểu hiện của ký tự ‘a’ bị
phá hủy. Từ viễn tượng này,
người theo thuyết hình thức thuật ngữ có thể khẳng định rằng toán học là
về những loại. Do đó, phương trình nói trên
sẽ là một thí dụ đơn giản, dễ hiểu của luật
đồng nhất. Phương trình nói rằng loại ‘0’ thì đồng nhất với chính nó.
Chúng ta hiểu những hình dạng hay những loại này thế nào? Lưu ý rằng những hình dạng và những loại là
những đối tượng trừu tượng, giống nhiều như
những con số. Vậy thì, ưu điểm của thuyết hình thức trong thuật ngữ so với thuyết duy thực
trong bản thể học vốn ngay lập tức khẳng định sự
hiện hữu của những con số là gì? Có lẽ người theo thuyết hình thức thuật ngữ có thể
duy trì rằng, không giống như những số, những loại có những trường hợp đơn giản. những biểu hiện đơn giản của chúng và chúng ta tìm hiểu những sự việc về chúng qua những biểu hiện của
chúng.
Một thuật ngữ ban đầu của thuyết hình thức đã do hai nhà toán học, E. Heine và Johannes
Thomae [6] đưa ra (ít nhất là tạm thời) vào khoảng đầu
thế kỷ XX. Heine (1872: 173) đã viết, ‘tôi
đặt tên những con số
cho những dấu
hiệu hữu hình nhất định, như thế
khiến sự
hiện hữu của những con số này thì
không chất vấn (hoài nghi) gì được’. Thomae (1898: §§1- 11) đã tuyên bố rằng ‘quan điểm hình thức loại sạch tất cả những khó khăn siêu hình cho chúng ta; đây là lợi
thế nó có thể cho
chúng ta’.
Điều này vẫn còn để chờ xem.
Frege (1893: §§86-137), trong một thời gian dài, đã phóng ra một phát biểu rõ ràng, tấn công gay gắt trên những cái nhìn của họ. Hãy xem xét
phương trình:
5 + 7 = 6 + 6.
Phương trình này có thể đi đến điều gì?
Có lẽ nó có nghĩa là ký hiệu ‘5
+ 7’ thì đồng nhất với ký hiệu ‘6 + 6’. Nhưng điều này thì phi lý. Ngay cả những loại đều khác nhau. Trong ‘5 + 7’ kể trước có xuất hiện của loại ‘5’ và
trong kể sau ‘6
+ 6’ thì không. Nó không mở ra cho người thuyết hình thức để tuyên bố rằng hai ký hiệu biểu thị
cùng một số, vì luận điểm trung tâm của thuyết hình thức thuật ngữ là
chúng ta không cần xem xét những thực thể ngoài-ngôn ngữ vốn những thuật ngữ đã giả định là biểu thị
chúng.
Tất cả những gì quan trọng là những ký tự (chữ hay số). Chúng biểu thị chính chúng. Vì vậy, người thuyết
hình thức thuật ngữ không thể giải thích dấu ‘=’ như đồng nhất
(bằng/như nhau). Nhân danh thuyết hình thức thuật ngữ, Frege đề nghị rằng phương trình thì được giải thích như nói rằng trong số học, ký hiệu ‘5 + 7’ có thể được thay thế ở bất kỳ chỗ nào cho ‘6 + 6’ nhưng không làm thay đổi trong giá trị-đúng thực. Đó là, một câu thuộc dạng A = B nói rằng ký hiệu tương ứng
với A thì thay thế lẫn nhau được với ký hiệu tương ứng với B trong bất kỳ nội dung toán học nào. Vì vậy, (đồng đẳng thức) đồng nhất ở trên ‘0 = 0’ khẳng định sự đúng thực rằng loại ‘Q’
có thể được thay thế cho chính nó nhưng không
làm thay đổi trong giá trị đúng
thực
Thuật ngữ thuyết hình thức (trong toán học) có thể có lẽ là được mở rộng cho những số nguyên và những
số hữu tỉ, nhưng những số thực được giả định là gì? Chúng ta không thể xác định chúng với những tên gọi của chúng, vì hầu hết những số thực
không có tên. Một người theo thuyết hình thức thuật
ngữ có thể cố gắng xác định số thực π bằng chữ cái Greece ‘(π)’, nhưng người ấy sẽ nói
gì về những số thực không có tên? Làm thế nào người ấy sẽ hiểu một tuyên bố về
tất cả những số thực? Một cố gắng đơn giản sẽ là xác định π với
chuỗi những số thập phân của nó: 3,14159... Tuy nhiên, mở rộng là đối tượng (một chuỗi số) vô hạn,
và không là một ký hiệu ngôn
ngữ. Người theo thuyết hình thức thuật
ngữ có thể đưa vào một lý
thuyết của ‘những
giới hạn’
của những số thập
phân hữu hạn,
và xác định
Giả định rằng người theo thuyết
hình thức thuật ngữ giải quyết
thành công vấn
đề này và đưa ra một ngôn
ngữ thay thế
có thể chấp nhận được cho những số thực. Tuy vậy, quan điểm chỉ tóm thu phép tính (số học) toán học. Thuyết thuật ngữ hình thức
có thể giải thích thế nào cho ý nghĩa
của những mệnh đề toán học, như định lý số nguyên tố hay định lý cơ bản
của calculus? Trong ý hướng nào
có thể nói những định lý đó là
về những ký hiệu?
1.2. Những Trò chơi
Dạng cụ thể cơ bản khác của thuyết hình thức mô tả việc thực hành của toán học tương tự như một trò chơi với những ký tự ngôn ngữ. Giống như, trong cờ chess, người ta có thể dùng một con tốt, đi theo đường chéo đến một hình vuông phía trước, để
bắt một con cờ khác,
vì vậy trong số học người ta có thể viết ‘x = 10’ nếu trước đó người ta đã được cho ‘x
=
8 + 2’ ·. Gọi đây là thuyết hình thức trò chơi trong
toán
học [7]
Những dạng cụ thể cực đoan của quan điểm này khẳng định thẳng thắn
rằng những ký hiệu của
toán học là vô nghĩa.
Những công thức và những câu
toán học không biểu diễn những
mệnh đề đúng hay sai về bất kỳ vấn đề-nội dung nào. Cái
nhìn là những
ký tự toán học không có ý nghĩa gì hơn
những quân cờ trên một bàn
cờ chess. Nội dung của toán học được những
quy luật cho vận hành với ngôn
ngữ của nó đem dùng hết.
Những dạng cụ thể ôn hòa hơn của thuyết hình thức trò chơi trong toán học thừa nhận rằng những ngôn ngữ toán học có thể
có một vài loại ý
nghĩa, nhưng nếu vậy, ý nghĩa này không liên quan gì đến sự
thực hành của toán
học. Trong chừng mức quan tâm của nhà toán học làm việc, những ký hiệu
của ngôn ngữ toán học cũng có thể là vô
nghĩa.
Sự khác biệt giữa những dạng cụ thể cực đoan và ôn hòa của thuyết hình thức trò chơi trong
toán học có rất ít ý nghĩa với triết học toán học.
Hai cái nhìn đồng
ý về việc thiếu sự giải nghĩa toán
học cho những ký hiệu chữ của
một nhánh toán học. Chống
lại điều này, người theo thuyết hình thức thuật
ngữ chủ trương rằng toán học là về thuật ngữ của nó.
Giống như thuyết hình thức thuật ngữ, thuyết hình thức
trò chơi hoặc giải quyết hoặc tránh qua những vấn đề siêu hình và tri thức học
khó khăn với toán học. Toán học là về những gì? Không về
gì cả.
Những số, những set, và v.v.
là gì? Chúng không hiện hữu, hay chúng cũng có thể không hiện hữu. Toán học được
biết như thế nào? Kiến thức toán học là gì? Nó là
kiến thức về những quy luật của trò chơi, hay hiểu biết vốn một số nước cờ phù hợp với những quy luật này đã được thực
hiện. Phương trình ‘2 10 =
1024’ và định lý rằng với
mọi số tự nhiên x có một số nguyên tố y >
x (trong ký hiệu, ∀x∃y
(y >
x & y là số nguyên tố)) mỗi phương trình chỉ định kết quả của một lần chơi nhất định
phù hợp với quy luật số học.[8]
Trong nội
dung của
thuyết hình thức trò chơi trong toán học, những
cụm từ như ‘ngôn
ngữ’ và ‘ký hiệu’ đều gây hiểu lầm. Giống như trong bất kỳ nội dung nào khác, mục đích của ngôn ngữ, trước
hết và quan trọng nhất, là để truyền
thông.
Chúng ta dùng ngôn ngữ để nói về những sự vật việc, thường là những sự vật
việc khác với bản thân ngôn
ngữ. Trong cách dùng thông thường của
nó,
một ký hiệu là dấu hiệu để thay cho một gì đó. Từ ‘Stewart’ là đại diện, hay thay thế cho con-người
tên là Stewart. Như thế, người ta sẽ nghĩ rằng chữ số 2 là đại diện cho số 2. Đây thì đúng là điều vốn
nhà hình thức trò chơi phủ nhận, hay ngần ngại. Hoặc chữ số không đại diện cho bất cứ gì, hoặc
nếu không, nó cũng có thể không đại diện cho bất kỳ gì. Đối với toán học, tất cả những gì quan trọng
là chữ số và là vai
trò của chữ số trong trò chơi toán học.
Thật là trớ
trêu khi
chính công trình của Frege về lôgích (xem chương 5, §1) đã tạo động lực cho một
dạng cụ thể tinh vi của thuyết hình thức trò chơi trong toán học . Frege đã tuyên bố rằng một trong những mục đích của
lôgích học của ông là hệ thống hóa qua việc soạn thành luật lệ cho những suy luận đúng. Để xác định ý nghĩa tri thức của một khai triển diễn dịch [9] ,
không thể có khoảng trống trong lý luận; tất cả những tiền đề phải được làm rõ ràng. Vì mục đích này, Frege đã phát
triển một hệ thống hình thức,
hay nói chính xác, ông đã trình bày một hệ thống suy luận có thể hiểu về hình thức: ‘khái niệm về ghi chép của tôi ... được trù định để ... hoạt động giống như một calculus bằng những phương tiện của một số nhỏ gồm những bước đi tiêu chuẩn, sao cho không bước đi nào được phép nếu không tuân theo những quy
luật vốn đã được
đặt ra dứt khoát và vĩnh viễn?’
(Frege 1884: §91, nhấn mạnh của
tôi).
Frege đã nhận thức được rằng đặc trưng này có thể cung cấp chất liệu cho một dạng cụ thể của thuyết
hình thức:
Bây giờ, hoàn toàn đúng
là chúng ta có thể đã đưa ra những quy luật của chúng ta và những luật khác của
Begriffsschrift [thí dụ Frege 1879] như những quy định tùy ý, với không nói đến ý nghĩa và ý định của những dấu hiệu. Sau đó chúng ta sẽ
coi những dấu hiệu như những (hình
vẽ) con
số. Những gì chúng ta coi là biểu hiện bên
ngoài của một suy luận sau đó sẽ được so sánh với một nước đi trong cờ chess,
chỉ đơn thuần là sự chuyển đổi từ phương hình xếp đặt này sang phương hình xếp đặt khác. Chúng ta có thể đem cho cho người nào đó [những tiên đề] và ... những định nghĩa của chúng ta ... – như chúng ta
có thể cho vị trí ban đầu của
những quân cờ trong cờ chess – nói cho người ấy biết những quy luật cho phép những chuyển đổi, và sau đó đặt cho người ấy vấn đề
của việc suy
diễn định lý của chúng ta ... tất cả điều này với việc người ấy không có một chút hiểu biết,nghi ngờ, hay gợi ý nào
về ý nghĩa và ý định của
những dấu hiệu này, hay về những suy nghĩ được biểu diễn bằng những công thức ... (Frege 1903:
§90)
Frege chỉ ra
cho thấy
rằng ý nghĩa vốn chúng ta gán cho những câu là những gì làm chúng trở nên đáng chú ý, và ý nghĩa này gợi lên những chiến lược cho những diễn dịch khai triển. Người theo thuyết hình thức trò chơi có thể
đồng ý với điều này, nhưng sẽ nói thêm rằng ý nghĩa của những biểu thức toán học
thì không liên quan đến chính toán học. Đúng cho đến một mức đô nào nào đó với
toán học, tất cả những gì quan trọng là những quy luật được tuân theo. có ý nghĩa thì đơn thuần chỉ là tự-tìm-hiểu, không hơn gì ngaoif một trợ giúp
tâm lý. Toán học không cần có chủ
đề-nội dung gì
cả.
Tuy nhiên, người theo thuyết hình thức trò chơi phải gánh một vấn đề rất khó khăn. Tại sao những trò chơi toán học
rất có ích trong những ngành khoa học? Rốt cuộc, ngay cả không ai tìm kiếm những
ứng dụng có ích của cờ chess. Tại sao nghĩ rằng trò chơi vô nghĩa của
toán học sẽ có bất kỳ những ứng dụng nào? Nó rõ ràng là có, và chúng
ta phải giải thích những ứng dụng đó. Một vấn đề tương tự nảy sinh cho những ứng dụng của toán học bên trong toán học. Tại sao trò chơi phân tích
số phức lại có ích trong trò chơi phân tích số thực [10]
hay số học? Vấn đề này càng trở nên rắc rối khó khăn hơn với một người theo thuyết trò chơi về giải tích phức, nhưng
không phải về giải tích thực hay số học.
Theo nghĩa này, thuyết hình thức trò chơi trong toán học
giống như một triết học khoa học được gọi
là thuyết công cụ [11],
đưa ra với ý định giảm
bớt những lo lắng về những thực thể lý thuyết không quan sát được, như những electron. Theo thuyết công
cụ, khoa học lý thuyết thì
không là gì hơn một dụng cụ phức tạp cho việc tạo những tiên đoán về thế giới vật lý quan sát được. Nhà khoa học không cần phải tin rằng những thực thể lý thuyết hiện hữu.
Do đó, người theo thuyết công cụ đã
tránh khỏi vấn đề về tri thức học của việc giải thích cho kiến thức của chúng ta về
những thực thể lý thuyết, nhưng người ấy bị bỏ lại với một khó khăn lớn của việc
giải thích chỉ tại sao dụng
cụ hoạt động tốt như vậy,
hay tại sao nó lại hoạt
động được tất cả.
Tương tự như vậy, nhà hình thức trò chơi đã tránh khỏi vấn đề của việc nói toán học là về những gì, và có lẽ người ấy có một giải
pháp rõ ràng cho vấn đề toán học được biết như thế
nào, nhưng vấn đề tại sao toán học thì có
ích bây giờ nhìn có
vẻ khó chữa.
Phê bình chính của Frege (1903: §91) về thuyết hình thức
trò chơi trong toán học đi theo những
dòng sau:
một số học với không suy nghĩ cung như nội dung của nó cũng sẽ là không có khả năng ứng dụng. Tại sao không ứng
dụng nào có thể tạo ra được từ
phương hình xếp đặt của những quân cờ? Hiển nhiên, vì nó không diễn tả suy nghĩ. Nếu nó đã như vậy và mỗi nước cờ tuân theo những quy
luật tương ứng với một chuyển
đổi từ một suy nghĩ
này sang một suy nghĩ khác, những
ứng dụng của cờ chess tất cũng
có thể hình dung được. Tại sao những phương
trình số học có thể áp dụng? Chỉ
vì chúng diễn tả suy
nghĩ. Chúng
ta có thể áp dụng thế nào một
phương trình không diễn tả gì
và là không gì hơn một là
một nhóm gồm những hình vẽ, để biến đổi sang một nhóm hình vẽ khác trong phù hợp với những quy luật nhất định? Đó là chỉ một
mình tính có thể ứng dụng được vốn nâng
số học từ một trò chơi lên hàng một
khoa học.
Người theo thuyết hình thức có thể phản bác rằng những
ứng dụng không là phần của chính toán
học, chỉ trừ là có liên
quan với nó. Frege (1903: §88) trích dẫn Thomae
(1898: §§1-11):
Khái niệm chính thức về những con số chấp nhận
những hạn chế khiêm tốn hơn so với khái niệm
về lôgích. Nó không hỏi những con số là gì và
chúng làm gì, vốn là những gì đã đòi
hỏi về chúng trong số học. Với người theo thuyết
hình thức, số học là một trò chơi với những dấu hiệu vốn được gọi là trống rỗng. Điều đó có nghĩa là chúng không có
nội dung nào khác (trong trò chơi tính toán) ngoài việc chúng được chỉ định bởi
hành vi của chúng đối với
những quy luật nhất định của kết
hợp (những quy luật của trò chơi). Người chơi cờ chess đi nước cờ tương tự với những
quân cờ của người ấy;
người ấy gán cho những quân cờ những
tác động
nhất định xác định tác động của
chúng trong trò chơi. . . Chắc chắn là có một khác biệt quan trọng giữa số học
và cờ chess. Những quy luật của cờ chess là tùy tiện, hệ thống những quy luật số
học là sao cho bởi phương tiện của những tiên đề đơn giản,
những con số có thể được quy về nhiều những khác nhau, và do đó có thể làm những đóng góp quan trọng vào kiến thức của
chúng ta về tự nhiên.
Ở
đây, Thomae dường
như chấp nhận cái nhìn tôi gọi là ‘thuyết hình thức trò chơi ôn hòa’. Ý tưởng là nhà toán học xem ‘ngôn ngữ’ của ông như thể nó là một chùm những ký tự vô nghĩa. Những luật số học có
lẽ đã được chọn cho mục đích của một số ứng dụng, nhưng những ứng dụng này không là quan tâm như thế với nhà toán học. Như Frege nói về nó, thay cho nhà hình thức trò chơi này, ‘trong số học hình thức, chúng ta tự gỡ khỏi việc giải thích cho một lựa chọn những
quy luật này thay vì một
lựa chọn những qui luật khác
(Frege 1903: §89).
Frege đáp ứng rằng vấn đề của tính ứng
dụng không đi mất chỉ vì người
theo thuyết hình thức, hay ngay cả nhà toán học, từ chối để giải quyết nó. Frege mỉa mai hỏi né tránh thế thì nhận được gì: ‘Chắc
chắn, số học thì được giảm
bớt một số công việc, nhưng liệu điều này có gạt bỏ được vấn đề không? [Người thuyết hình thức] chuyển nó sang vai của những đồng nghiệp của người ấy, những nhà hình học,
những nhà vật lý và những nhà thiên văn học; nhưng họ cảm ơn và từ chối công việc giải quyết vấn đề; và như thế, nó rơi vào trong một khoảng trống giữa những khoa học. Một
sự tách biệt rõ ràng của những lĩnh vực của khoa học có thể là một
điều tốt, miễn là không có lĩnh vực nào không
ai có trách nhiệm’ (Frege 1903: §92). Frege sau đó cho thấy
rằng những ứng dụng trong vấn
đề đều rất
lớn rộng. Toán học áp dụng cho bất kỳ gì có thể
đếm được hay đo được. Cùng con
số ‘có thể hiện ra với những chiều dài,
những khoảng thời gian, những khối lượng, những mômen quán tính, v.v.’ Do đó, vấn đề của ‘sự hữu dụng’ của số học phải được giải quyết – một phần,
ít nhất – độc lập với những khoa học vốn nó sẽ được ứng dụng. Và như thế nó sẽ không làm để tránh vấn đề trong lối này [12].
Ngay cả nếu việc gạt
bỏ quá sớm thuyết hình thức của Frege, thì rõ ràng là người theo thuyết hình thức vẫn nợ chúng ta một giải thích về tính ứng dụng của toán học.
2. Thuyết Suy Diễn: Grundlagen
Der Geometrie Của Hilbert
Một trong những phê bình của Frege về thuyết hình thức trò
chơi trong toán học nêu lên một trường hợp thay đổi trên biến dạng ôn hòa của quan điểm đó. Giả định rằng một ai đó – nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên
văn học – làm việc giải
thích những tiên đề cơ bản của số học khiến chúng
thành đúng thực. Điều này thì không
đủ để bảo đảm một ứng dụng cho số học, vì trong tự thân diễn giải này sẽ không bảo đảm
rằng những định lý đều đúng
trong cùng diễn giải. Làm thế nào chúng ta biết rằng những qui luật
của trò chơi-số
học đưa chúng ta từ những đúng
thực (được diễn giải như vậy) đến những đúng thực? Frege (1903: §91) đã viết:
Nhưng trái lại trong
một số học với những phương trình và những bất đẳng thức chấp nhận sẵn sàng là những nghĩa
lý biểu thị những suy nghĩ, trong số học hình thức, chúng đều so sánh được với những vị
trí của những quân cờ được, được chuyền đổi trong thuận hợp với những quy luật, với không cân nhắc nào về nghĩa lý. Vì nếu chúng được xem như có
nghĩa lý, thì những quy luật không thể được quy định tùy
tiện; chúng sẽ phải được lựa chọn
sao cho từ những công thức
biểu thị những mệnh đề đúng [người ta] có thể [suy ra] chỉ những công thức
tương tự biểu thị những mệnh đề đúng. Khi đó,
lập trường của
số học hình thức sẽ bị buông bỏ, vốn khẳng
định rằng những quy luật về sự vận
dụng của những dấu hiệu đều hầu hết đã quy định tùy tiện.
Trong những thuật ngữ thời nay,
cho sự ứng dụng của một
nhánh như số học được thành
công, những quy luật của trò chơi không thể là tùy
tiện, nhưng phải lập thành những hệ quả lôgích. Bất kể ngôn ngữ được giải thích như
thế nào, nếu những tiên đề thành
ra là đúng, khi đó những định lý sẽ là đúng trong cùng diễn giải.
Sự ra đời của những hệ thống suy luận chặt chẽ – phần
lớn nhờ Frege – nêu lên một
triết học thu hút, vốn có chung
một gì đó với thuyết hình thức trò chơi trong toán học , nhưng
tránh được vấp ngã cụ
thể này. Một người theo thuyết
suy diễn [13]
chấp
nhận lập trường của
Frege rằng những quy luật của suy
luận phải gìn giữ sự
đúng thực, nhưng người này nhấn mạnh rằng những tiên đề của những
lý thuyết toán học khác nhau được coi như nếu chúng
đã được quy định tùy tiện. Ý tưởng là sự thực hành của toán học gồm trong việc xác định những hệ quả lôgích của những
tiên đề không được giải thích về mặt
khác.
Nhà toán học thì tự
do để coi những tiên đề (và định lý) của toán học
như không-có-ý-nghĩa, hay đem cho chúng một giải
thích tùy ý
Để trình bày hoàn toàn chi tiết cái
nhìn này,
người ta sẽ phân biệt những thuật ngữ lôgích như ‘và’,
‘nếu ... thì’, ‘có hiện hữu’, và ‘cho tất cả’ với thuật ngữ không-lôgích, hay cụ thể toán học, chẳng hạn thuật
ngữ như ‘số’, ‘điểm’, ‘set’ và ‘đường’. Thuật ngữ lôgích được hiểu với nghĩa thông thường của
nó, trong khi thuật ngữ không-lôgích thì để không-diễn giải, hay được coi như thể nó không được diễn giải. [14] Gọi Φ là một định lý, thí dụ, của số học. Theo thuyết
diễn dịch, ‘nội
dung’ của Φ là rằng Φ tuân theo những tiên đề của số học. Thuyết
suy diễn đôi
khi được gọi là ‘thuyết nếu-thì-là’. [15]
Cấu trúc
giống nhau giữa thuyết hình thức trò chơi trong toán
học và thuyết suy diễn là kết quả của sự
phát triển của những hệ thống lôgích có thể được ‘hoạt động như một calculus’, như Frege đã nói. Thuyết suy diễn thì thuận hợp với khẩu hiệu rằng lôgích thì ‘chủ đề-trung lập’[16].
Từ quan điểm mô-hinh-lý
thuyết thời nay,
nếu một suy luận từ một set
những tiền đề r đến một kết luận Φ là hợp lệ, thì Φ là đúng
theo bất kỳ cách diễn giải nào vốn làm
tất cả những tiền đề r đúng. Ý tưởng
đằng sau thuyết suy diễn là để
bỏ
qua sự diễn giải và bám vào những lập luận.
Giống như người theo thuyết hình thức trò chơi trong toán học, người theo thuyết suy
diễn của chúng ta đưa ra những trả
lời không hàm hồ, rõ ràng dễ hiểu cho
những câu hỏi triết học. Toán học là về những gì? Là không-gì, hay nó có thể được coi như về không-gì cả. Kiến thức toán học
là gì? Nó là kiến thức của những gì đến theo
từ những gì. Kiến thức toán học là kiến thức lôgích. [17] Một nhánh của toán học thì được ứng dụng thế nào? Bằng việc tìm những
diễn giải khiến những
tiên đề của nó thành đúng thực.
Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Jan/2022)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] formalism: thuyết
hình thức, hay đúng hơn thuyết hình thức trong toán học, trường phái tư tưởng
do David Hilbert, nhà toán học người Germany, thế kỷ 20 đưa ra, cho rằng tất cả
toán học có thể được rút gọn thành những quy luật vận dụng công thức mà không cần
viện dẫn đến ý nghĩa của công thức. Những người theo chủ nghĩa hình thức cho rằng
chính những ký hiệu toán học, nhưng không phải bất kỳ ý nghĩa nào vốn có thể đã
gán cho chúng, mới là đối tượng cơ bản của suy tưởng (triết lý) toán học.
[2] [Sự ra đời của những máy tính có thể làm tăng lên khuynh hướng với thuyết hình
thức toán học.
Nếu có một câu hỏi về minh định, hay
tìm ý
nghĩa của những hoạt
động của máy tính, thì nó là cho một kỹ sư (hay một nhà vật lý), không là cho một thày giáo hay học trò của toán học sơ đẳng. Có một cần thiết thực để gán ‘ý nghĩa’ cho việc ‘bấm-nút’ không? Chúng ta nghe (hay đã từng nghe)
phàn nàn rằng những máy
tính làm hỏng khả năng suy nghĩ của thế hệ trẻ, hay ít nhất là khả năng làm
toán của họ. Với tôi, dường như nếu những algorithm và thủ tục cơ bản được dạy bằng học thuộc lòng, không
có cố gắng
giải thích những gì chúng làm
hay
tại sao chúng được việc,
thì trẻ con có dùng
những máy tính cũng là việc tốt. Thuyết hình thức cắt rất sâu.]
[3] Term formalism; thuyết
hình thức (trên những thuật ngữ trong) toán học
[4] characters, symbols: ký tự, ký hiệu. Thí dụ những
ký tự : những chữ viết,
thường là những cái
Roma và Greek, dùng như dấu
hiệu: Α, α,;
Β, β,; Γ, γ,; Δ, δ,; Ε, ε, ... , ...); những ký hiệu, những hình vẽ dùng như dấu
hiệu, thí dụ, trong toán: ≠, =, <, >, ≤, ≥, [ ], ( ),..., trong lôgích: ⇒, ⇔, ∀, ∃, ...
[5] token: biểu hiện: một
xuất hiện riêng lẻ của một đơn vị ngữ học trong nói hay viết, như
ngược lại với loại (type hay class) của một đơn vị ngữ học vốn nó là một trường hợp thí dụ.
[6] Heinrich
Eduard Heine (1821–1881), Carl Johannes Thomae (1840 - 1921): những nhà toán học
người Germany
[7] game formalism
[8] [Kể từ Wittgenstein 1953, đã có nhiều thảo
luận triết học về việc tuân theo quy tắc. Điều gì xảy ra với một người nào đó tuân theo một quy
tắc này, thay vì một quy tắc khác? Chúng ta có thể phân biệt việc đi theo sai của một quy tắc sai với đi theo đúng của một quy tắc khác? Thí
dụ, hãy xem Kripke 1982. Nếu có vấn đề ở đây, thì đó là vấn đề với bất kỳ triết
học toán học nào, không chỉ là thuyết hình thức toán học về trò chơi.]
[9] derivation
[10] game of complex analysis, game of real analysis
[11] instrumentalism: thuyết
công cụ
[12] [Tính ứng
dụng rộng rãi của những con số là một trong những cân nhắc của Frege trong sự ủng hộ thuyết lôgích. Giải thích
riêng của ông về những số tự
nhiên bắt đầu rõ ràng với một trong những ứng dụng của chúng: để đánh dấu số đếm (xem Chương 5, §1). Lý do giải thích của
Frege (1903) về những số thực đã tùy thuộc trên ứng dụng của chúng trong việc
đo lường những tỷ lệ của những đại lượng (xem Simons 1987 và Dummett 1991: ch.
22).]
[13] Deductivism: thuyết
Suy diễn (suy luận diễn dịch trong toán học). Suy luận suy diễn
là phương pháp rút ra kết luận trong những chứng minh hình học.
[14] [Cách tiếp cận này xa lạ với thuyết lôgích
của Frege. với Frege, mọi thuật ngữ toán học đều lôgích, và như vậy sẽ được giải
thích đầy đủ. Xem van Heijenoort 1967a và Goldfarb 1979.
[15] if-then-ism: thuyết
nếu-thì-là
[16] topic-neutral
[17] [Thuyết diễn dịch có nhiều điểm tổng quát với thuyết lôgích (xem chương 5).]
