Suy Nghĩ Về Toán Học
(Triết
Học của Toán Học)
Stewart
Shapiro
Triết
học của toán học
Đây
là một quyển sách (giáo khoa) triết học của toán học. Trước hết, có những vấn đề của siêu hình học: Toán học tất
cả là về
những gì? Nó có một chủ đề-nội dung không? Chủ đề-nội
dung này
là gì? Những số,
set, điểm, đường thẳng, hàm số, và v.v. là gì? Sau đó là những vấn đề ngữ
nghĩa học:
những phát biểu toán học có nghĩa gì? Bản chất của sự đúng thật toán học là gì?
Và tri thức học: Toán học được biết như thế nào? Phương pháp luận của nó là gì?
Có phải nó gồm sự quan sát thường
nghiệm,
hay nó thuần túy là một thực tập tinh thần? Tranh luận giữa những nhà toán học đã phân giải
thế
nào? Một chứng minh là gì? Có phải
những
chứng minh là chắc
chắn tuyệt đối, miễn nhiễm
khỏi hoài
nghi lý trí không? lôgích của toán học là gì? Có hay
không những đúng
thật toán
học không thể biết được?
Toán
học có tiếng là một môn học khô khan, đến
mức như
có thể tưởng tượng được (về phương diện này) so với triết học. Ở đây, mọi sự vật việc xem dường được giải quyết, dứt khoát và
vĩnh viễn, trên một cơ sở thường
xuyên không đổi. Có
phải như thế không? Đã từng có chưa, bất kỳ những cách mạng nào trong toán học, ở đó những tin
tưởng lâu đời
đã bị bỏ rơi?
Xem xét chiều sâu
của toán học đã dùng – và đã đòi hỏi
– trong
những khoa
học tự nhiên và xã hội. Làm thế nào toán học, vốn chủ yếu hiện ra chính
yếu là
một hoạt động tinh thần,
chiếu sáng
trên thế
giới vật lý, nhân văn và
xã hội được nghiên cứu trong khoa học? Tại sao chúng ta không thể tiến được
rất xa trong việc hiểu
biết thế
giới (trong những thuật ngữ khoa học) nếu chúng ta không hiểu biết nhiều về toán học? Điều này nói gì về
toán học? Điều này nói gì về thế giới vật lý, con người và xã hội?
Triết học của toán học thuộc một thể
loại vốn gồm
triết học của vật
lý học,
triết học của sinh
học, triết học của tâm
lý học, triết học của ngôn
ngữ học,
triết học của lôgích học, và ngay cả triết học của triết học. Chủ đề bàn luận là để giải quyết những câu hỏi triết học vốn liên quan với một ngành học lý thuyết,
những vấn đề về siêu hình học,
tri thức học,
ngữ nghĩa học,
lôgích học
và phương pháp học
của ngành học. Điển
hình, triết học của X được những người quan tâm với X theo đuổi, và muốn làm sáng rõ vị trí của nó trong dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toàn diện.
Lý tưởng,
một ai
là người
thực hành X sẽ đạt được một gì đó bằng
việc áp dụng một triết
học của
X: một tán thành ngưỡng phục với ngành học của người ấy,
một hướng đi xác định đến nó, và
một cái
nhìn xa hơn về vai trò của nó trong việc hiểu biết thế giới. Triết
gia của toán
học cần nói một gì đó về tự thân toán học, một gì đó về con người toán học, và một
gì đó về thế giới trong đó toán
học được ứng dụng. Một
đòi hỏi
cao, khó thực hiện.
Quyển sách gồm bốn phần. Phần thứ nhất, ‘Viễn cảnh’, đem cho một khái quát của triết học của toán học. Chương 1 liên
quan đến chỗ đứng
vốn toán học đã giữ trong lịch sử triết học,
và sự liên hệ giữa
toán học và triết học của toán học. Chương 2 đem cho một cái nhìn mở rộng về những vấn đề
trong triết học của toán học, và những lập trường chính, hay những
phân loại
của những lập trường, về những vấn đề này.
Phần II, ‘Lịch sử’, phác họa những cái nhìn của một số triết
gia trong lịch
sử bận
tâm với toán học, và định rõ sự quan trọng của toán học trong sự
phát triển triết học tổng quát của họ. Chương 3 trình bày Plato và Aristotle trong thế giới thời
cổ, và Chương 4 tiến tới những gì gọi là ‘giai đoạn mới hiệnnay’, và chính yếu xem xét Immanuel Kant và John Stuart
Mill. Ý tưởng đằng sau phần sách này là để minh họa một người theo thuyết duy lý
kiên quyết (Plato) – một triết gia chủ trương rằng trí óc con
người không cần trợ
giúp thì có khả năng của sự hiểu biết có thực chất về
thế giới – và một triết gia theo thuyết duy nghiệm kiên quyết (Mill) – một triết
gia đặt nền
tảng tất cả, hay gần như tất cả, sự hiểu biết trong sự quan sát. Kant đã cố gắng một tổng hợp đáng thán phục giữa
thuyết duy lý và thuyết duy nghiệm, nhận những điểm mạnh và tránh những điểm yếu
của mỗi thuyết. Những triết gia này là những người đi trước mở đường cho phần lớn suy nghĩ thời nay về toán học.
Phần tiếp, ‘Ba Đại Thụ’, gồm những lập trường triết học chính vốn đã chi phối những tranh luận đầu
thế kỷ này, và vẫn đem cho nhiều chiến tuyến trong văn học toán học thời nay. Chương 5 liên quan đến thuyết
lôgích, quan
điểm rằng toán học là, hay có thể, được thu giảm về lôgích. Chương 6 liên quan đến thuyết
hình thức, một
quan điểm tập trung trên sự
kiện rằng rất nhiều của toán học gồm những
vận dụng
theo quy luật của những ký tự ngôn ngữ. Chương 7
liên quan đến thuyết trực giác, một quan điểm rằng toán học được tạo thành từ những ý tưởng và tin tưởng vốn tinh thần
chúng ta nắm giữ. Mỗi người trong số ‘ba đại thụ’ đều
có những ủng
hộ ngày nay, một số những người
này đã được đưa vào giới thiệu trong
phần sách này.
Phần IV, tựa đề ‘Cảnh tượng thời nay’. Chương 8 là về những cái nhìn vốn nhận ngôn ngữ toán học
theo nghĩa đen, với giá trị trực tiếp thấy ngoài mặt,
và chủ
trương rằng khối lớn của những khẳng định của những nhà toán học đều đúng. Những triết gia này chủ trương rằng những con số,
những hàm số, những điểm, và v.v. đều hiện hữu độc lập với nhà toán học.
Sau đó, họ cố gắng cho thấy chúng ta có thể có kiến thức về những sự vật việc
đó như thế nào, và toán học đã giải thích như thế, tương quan
thế nào
với thế giới vật lý. Chương 9 gồm những triết gia phủ nhận sự hiện hữu
của những đối tượng toán học đặc biệt. Những tác giả được
nói đến ở đây hoặc là
diễn giải lại những khẳng định toán học để chúng trở thành đúng nhưng không cần giả định-trước về sự hiện hữu của những đối tượng
toán học, hoặc nếu
không, họ ấn định
giới hạn một vai trò quan trọng cho toán học khác hơn là sự khẳng định những đúng thật và phủ nhận những trạng thái sai lầm. Chương 10
là về thuyết cấu trúc, cái nhìn rằng toán học là về
những mẫu
thức hơn là những đối tượng riêng biệt. Đây là lập trường của riêng tôi (Shapiro 1997), như thế người ta có thể nói rằng tôi đã giữ một gì đó thích thú lôi cuốn nhất đến cuối cùng. Ngoại trừ sự quá-tự tin nhất thời này, tôi đã cố gắng để là người không phe phái trong suốt quyển sách.
Chương trình từ đầu đến cuối đã là
cố gắng để viết
một quyển sách vốn sẽ đem đến một gì đó cho những người quan tâm với
toán học, nhưng
có ít kiến thức triết học, cũng như
những người quan tâm với triết học nhưng có ít kiến thức
toán học. Với hầu hết những phần trong sách, một vài quen thuộc với toán học bậc trung học phổ thông hay năm đầu đại học, và có lẽ
một hiểu biết đại cương về triết học là đủ.
Tôi tránh việc ký hiệu hóa quá mức và cố gắng giải thích những
ký hiệu tôi dùng. Ở một vài chỗ,
tôi có thể đã giả định quá nhiều với những người chưa bắt đầu học toán ở những năm đầu đại học, và ở những
chỗ khác
quá nhiều với những người không quen thuộc với thuật ngữ triết học, nhưng tôi
hy vọng những chỗ đó ít và rất thưa thớt, và không làm
gián đoạn dòng chảy của quyển sách. The Oxford Dictionary of Philosophy
(Blackburn 1994) có thể tỏ ra
là một nguồn tham khảo tiện lợi cho những người còn ngỡ ngàng với triết học lý thuyết trừu tượng.
Trong
dự án này, tôi mang nợ rất nhiều người. Trước tiên, xin cảm ơn [ ...] . Quyển
sách được thương yêu dành tặng cho những
con tôi, Rachel, Yonah và Aviva. Không có chúng, ngay cả một đời sống giàu có về triết
học sẽ là trống rỗng.
Stewart Shapiro
NỘI DUNG
Phần I. Viễn Cảnh
1
Quá Quan Tâm Về Toán Học (Đối Với Một Triết Gia) Là Gì Vây?
1.
Sự Thu Hút – Của Những Đối Nghịch?
2. Triết Học Và Toán Học: Con Gà Hay
Quả Trứng?
3. Thuyết Duy Nhiên Và Toán Học
2 Một Hỗn Hợp Những Hỏi Và Đáp
1. Tất Yếu Và Kiến Thức Tiên Nghiệm
2. Những Vấn Đề Toàn Bộ: Những Đối Tượng
Và Tính Khách Quan
2.1. Đối Tượng
2.2. Đúng thật
3. Thuộc Toán Học Và Thuộc Vật Lý
4. Những Vấn Đề Nội Bộ: Những Định
Lý, Những Lý Thuyết Và Những Khái Niệm
Phần II. Lịch Sử
3 Thuyết Duy Lý Của Plato Và
Aristotle
1. Thế Giới Của Hiện hữu
2. Plato Với Toán Học
3. Toán Học Với Plato
4. Aristotle, Người Đối Lập Tương Xứng
5. Đọc Thêm
4 Những Đối Lập Gần: Kant Và Mill
1. Định Hướng Lại
2. Kant
3. Mill
4. Đọc Thêm
Phần III. Ba Đại Thụ
5 Thuyết lôgích Toán Học: Có Phải
Toán Học Chỉ Là lôgích?
1. Frege
2. Russell
3. Carnap Và Thuyết Thực Chứng Lôgích
4. Những Quan Điểm Thời Nay
5. Đọc Thêm
6 Thuyết Hình Thức: Những Phát Biểu
Toán Học Có Nghĩa Gì Không?
1. Những Quan Điểm Cơ Bản; Tấn Công Dữ Dội Của Frege
1.1. Thuật Ngữ
1.2. Trò Chơi
2. Thuyết Suy Diễn: Grundlagen Der
Geometrie Của Hilbert
3. Thuyết Hữu Hạn: Chương Trình
Hilbert
4. Tính Bất Toàn
5. Haskell Curry
6. Đọc Thêm
7 Thuyết Trực Giác: Có Gì Sai Lầm Với lôgích Của Chúng Ta
Không?
1. Sửa Đổi lôgích Cổ Điển
2. Tháy, Brouwer
3. Trò, Heyting
4. Dummett
5. Đọc Thêm
Phần IV Quang Cảnh Thời Nay
8 Những Con Số Hiện hữu
1. Gödel
2. Mạng Lưới Của Tin Tưởng
3. Thuyết Duy Thực về Set-Lý Thuyết
4. Đọc Thêm
9 Không, Chúng
Không Hiện hữu
1. Thuyết Tưởng Tượng
2. Xây Dựng Mốt
3. Chúng Ta Nên Hiểu Thế Nào Về Tất Cả Những Điều Này?
4. Phụ Lục: Những Người Trẻ Háo Hức Thay Đổi
5. Đọc Thêm
10 Thuyết Cấu Trúc
1. Ý Tưởng Cơ Bản
2. Cấu Trúc Ante Rem, Và Đối Tượng
3. Thuyết Cấu Trúc Với Không Cấu Trúc
4. Kiến Thức Về Những Cấu Trúc
4.1. Nhận Dạng Mẫu Thức Và Trừu Tượng
Khác
4.2. Định Nghĩa Ẩn Giấu
5. Đọc Thêm
Sách Tham Khảo
Mục Lục
PHẦN I.
VIỄN CẢNH
1
QUÁ QUAN TÂM VỀ TOÁN HỌC (ĐỐI VỚI MỘT
TRIẾT GIA) LÀ GÌ VÂY?
1. Sự Thu
Hút – Của Những Đối Nghịch?
Trong lịch
sử, những triết gia đã có một quan tâm đặc biệt gần như như thu hút với toán
học. Cổng vào Academy của Plato đã nói
được ghi dấu với câu ‘Hãy
đừng để một
ai không biết gì về hình học vào đây’.
Theo trường
phái Plato, toán học là huấn luyện xứng hợp cho
sự hiểu
biết vũ trụ bao la như nó vốn là,
như ngược
lại với nó như thấy bên
ngoài. Plato đã đi đến quan
điểm của ông bằng suy ngẫm về chỗ đứng của
toán học trong sự thu thập-kiến
thức duy lý (xem chương 3, §§2-3). Trước khi có sự phân chia chuyên biệt của những lĩnh vực bao quát trong những
học viện
hàn lâm, nhiều nhà toán học cũng là những triết
gia. Những tên
tuổi của
Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz và Blaise Pascal đều dễ
được nhắc
đến, và gần ngày nay hơn, có
Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert,
Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel và Alfred Tarski. Cho đến gần đây, hầu
như mọi triết gia đều có ý thức về tình trạng cụ thể của
toán học và có một quan tâm
chuyên
môn về nó.
Thuyết duy lý là
nội
dung của một trường phái triết học lâu đời vốn có
thể mô tả đặc tính của nó như
một cố gắng để mở rộng phương pháp luận đã hiểu của toán
học với tất
cả kiến
thức. Những người theo thuyết duy lý đã thấu hiểu nền
tảng xem dường không thể
lay chuyển được,
vốn toán
học được
hưởng lợi, và cơ sở của nó trong lý tính
thuần túy. Họ đã cố gắng để đặt
tất cả kiến thức trên cùng chỗ đứng.
Khoa học, đạo đức học và tương tự cũng sẽ được tiến
hành bằng việc đem cho những chứng minh
chặt chẽ của những
mệnh đề của chúng, chỉ
từ một
mình lý trí. Thuyết duy lý truy nguồn về Plato,
và đã phát
triển mạnh trong thế kỷ XVII và đầu thế kỷ XVIII trong những tác phẩm của
Descartes, Baruch Spinoza và Leibniz. Đối lập chính với thuyết duy lý là thuyết
duy nghiệm, cái nhìn chủ
trương rằng kinh nghiệm giác quan,
không phải lý trí thuần túy, là nguồn gốc của kiến thức. Cái nhìn này
truy nguồn về Aristotle
và đã phát
triển qua những tác giả ở Britain như
John Locke, George Berkeley, David Hume, và John Stuart Mill (xem ch. 4, §1).
Truyền thống duy
nghiệm đã truyền xuống những
người
theo thuyết Thực Chứng lôgích và Nhóm Vienna, gồm
Moritz Schlick, Rudolf Carnap, và A.J. Ayer, và ngày nay còn
sống trong
tác phẩm
của Bas van Fraassen và W V. O.
Quine. Vì kiến thức toán học xem dường như dựa trên chứng minh, không
dựa trên quan
sát, rõ
ràng toán học là một
phản-thí
dụ với luận thuyết chính của phái duy
nghiệm. Thật vậy, toán học đôi khi được đưa lên như một
mô hình
của kiến thức tiên nghiệm, kiến thức có trước và
độc lập với kinh nghiệm. Hầu như mọi người theo thuyết duy
nghiệm đã rất
nghiệm trọng tiếp nhận thách
thức của toán
học,
và một số họ đã đi những bước rất lớn để thích ứng toán
học, đôi khi bóp méo nó đến khó nhận (xem Parsons 1983: Tiểu luận 1).
Ngày nay, chúng ta thấy sự chuyên môn
hóa sâu rộng bên
trong tất cả những lĩnh vực của nghiên cứu giảng dạy.
Cá
nhân những nhà toán học và triết gia thường
có khó
khăn về hiểu
biết nghiên cứu của những đồng nghiệp
trong chính những
ngành học của
họ. Những nhà đại số học không
thể hiểu những
phát triển
trong triết học phân
tích; tác phẩm
trong triết học của vật lý thì khó hiểu với
hầu hết những nhà đạo đức học. Hệ quả là không
có nhiều liên hệ trực tiếp và nhận thức
giữa toán học chủ đạo thông thường và
triết học chủ đạo
thông thường.
Tuy nhiên, toán học không nằm ở xa với những
quan tâm của những lĩnh vực triết học như tri thức học, siêu hình học, lôgích học,
khoa học nhận thức, triết học ngôn ngữ và triết học của khoa
học tự nhiên và xã hội. Và triết học thì không
xa với những
quan tâm chính của những lĩnh vực toán học như lôgích học,
thuyết về set,
lý thuyết phân loại [2] ,
khả
năng tính toán bằng máy tính [3],
và ngay cả giải tích học
và hình học. Lôgích được dạy trong cả hai, những phân khoa toán
học và triết học trên toàn thế giới.
Đôi khi, cho dù tốt hay xấu,
nhiều kỹ thuật và dụng cụ dùng
trong triết học thời nay đã được phát triển và tôi luyện với toán
học –
chỉ-toán
học –
trong não
thức. Lôgích học
lớn mạnh thành
một lĩnh vực sống động qua
những
nhà toán học có đầu óc thiên về đại số học, như
George Boole, Ernst Schroder, Balzano, Frege, và Hilbert. Sự tập
trung rõ ràng của họ đã
là lôgích và những nền tảng của toán học. Từ
lôgích, chúng ta có ngữ nghĩa học mô
hình-lý thuyết, và từ những thế
giới có thể có đó những những
phân
tích của mô thức nói
viết truyền thông và tri thức học nói
viết truyền thông. Không quá lời khi nói rằng ngữ nghĩa học và
những hệ
thống diễn dịch cho lôgích hình thức đã trở thành lingua
franca qua suốt
những vấn đề và những quan tâm của triết học thời nay. [4] Trong một
ý hướng
nào đó, phần lớn của triết
học phân tích là một cố gắng để mở rộng sự thành công của lôgích từ ngôn ngữ của toán
học đến ngôn ngữ tự nhiên và tri thức học tổng quát. Đây
có thể là một di
sản của thuyết duy lý.
Có nhiều lý do cho sự liên kết giữa
toán học và triết học Cả hai đều là một trong những cố gắng trí tuệ đầu tiên để
hiểu thế giới quanh chúng ta, và cả hai đều hoặc ra đời ở
Greece thời cổ, hoặc đã trải qua những thay đổi
sâu xa ở đó (tùy
thuộc vào những gì để kể như
toán học và những gì để kể như triết
học). Thứ hai, và trung tâm hơn,
toán học là một trường hợp nghiên
cứu quan trọng cho triết gia. Nhiều vấn đề trong chương
trình làm việc
của triết học thời nay có những trình
bày rõ ràng chính xác, phát biểu có hệ thống đáng ghi nhận khi
được tập
trung vào toán học. Chúng gồm những vấn đề về tri thức học, bản thể học, ngữ
nghĩa học
và lôgích học.
Chúng ta đã ghi nhận sự thành công của lôgích khi suy luận toán học trở thành
trung tâm tập trung chú ý.
Những triết gia đều có quan tâm trong những
vấn đề
của sự dẫn kể: một đơn vị từ
vựng đứng
thay, hay đại diện cho một đối
tượng, nó
là gì vây??
Chúng ta làm
cách nào để liên kết một tên gọi với
sự vật
việc gì vốn là tên gọi
của nó? những ngôn ngữ của toán
học đem cho một chú ý tập trung cho những
câu hỏi này. Những triết gia cũng có quan
tâm trong những
vấn đề
của tính chuẩn mực: để cho cá nhân A
buộc
phải làm hành
động B là
điều gì vậy? Ý của chúng ta là gì khi nói rằng một
người phải làm một gì đó, chẳng hạn như đem tiền cho từ
thiện? Toán học và lôgích toán học ít nhất đem
cho một
trường hợp quan trọng và có thể là đơn
giản. lôgích là chuẩn mực, nếu có một bất kỳ gì là thế.
Trong ý
hướng nào chúng ta phải tuân theo những quy
luật của
lý luận chính xác khi
làm toán? Plato khuyên những học trò của ông nên bắt đầu với những trường hợp
tương đối đơn giản và trực tiếp dễ
hiểu. [5]
Có lẽ tính chuẩn mực của
lôgích toán học là một trường hợp giống như
vậy.
Lý do thứ ba cho sự liên
kết giữa
toán học và triết học nằm trong tri
thức học – nghiên cứu về kiến
thức. Toán học
thì hết
sức quan trọng vì vai trò trung tâm của nó trong
hầu như mọi cố gắng khoa học nhằm vào việc tìm
hiểu thế giới vật lý. Thí dụ, hãy xem xét toán học được giả định-trước trong hầu
như bất kỳ khoa học tự nhiên hay xã hội nào. Nhìn lướt qua bất kỳ tập sách liệt kê chỉ dẫn ngành học của trường đại
học nào cũng
sẽ cho thấy rằng những chương trình
giáo dục của những
ngành khoa học và kỹ thuật đều đi theo sự dẫn đầu của Academy của
Plato và có những đòi hỏi trọng yếu tiên
quyết về toán học. Tuy nhiên, lý do cơ
bản cho
viêc này thì
khác với của Academy của
Plato. Với sự suy thoái của
thuyết duy lý, toán học thì không
là một mô hình hay một trường hợp nghiên
cứu cho những khoa học thực nghiệm. Đúng hơn, những ngành khoa học dùng
toán học. Do vai trò phục vụ này,
những bộ môn
toán học là một trong những bộ môn lớn
nhất trong hầu hết những trường đại học.
[6] Câu
hỏi không
biết toán học tự nó có là
một hoạt động thu thập kiến thức hay không là một vấn đề triết học quan trọng
(xem chương. 8 và 9). Tuy nhiên, rõ ràng toán học là dụng cụ chính trong
cố gắng lớn nhất của
chúng ta để hiểu biết thế giới. Điều này cho thấy triết học
của toán học là một nhánh của tri thức học, và toán học là một trường hợp quan
trọng với tri thức học tổng quát và siêu hình học. Điều gì về toán học khiến nó
trở nên cần thiết cho sự hiểu biết khoa học về vũ trụ vật chất và xã hội? Điều
gì về vũ trụ – hay về chúng ta – cho phép toán học đóng vai trò trung tâm trong
việc hiểu nó? Galileo đã viết rằng quyển sách về thiên nhiên được viết bằng
ngôn ngữ của toán học. Ẩn dụ sâu xa, khó hiểu này
làm nổi bật vị trí của toán học trong lĩnh vực khoa học / triết học trong dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ nhằm tìm hiểu
thế giới, nhưng nó ngay cả không hé mở
một giải pháp nào cho vấn
đề (xem chương 2, §3).
2.
Triết học và Toán học: Con gà hay Quả trứng?
Phần
này vắn tắt nói đến sự liên hệ giữa toán học và triết học của toán học
(xem Shapiro 1994 và 1997: Ch
1 cho một giải thích đầy đủ hơn). Đến
mức độ nào chúng
ta có thể trông mong
triết học để ấn định hay ngay cả đề nghị
sự thực
hành thích hợp của
toán học?
Ngược lại, đến mức độ nào chúng ta có thể trông mong sự thực
hành chủ động
của
toán học để ấn định triết học
chính xác của toán
học? Đây là một trường hợp thí dụ của một vấn đề tổng quát hơn, bao gồm
vị
trí của triết học giữa những ngành học
chuyên biệt khác loại, như những ‘con đẻ’ của nó. Những câu hỏi tương tự nổi
lên, lấy thí dụ, cho triết
học của vật
lý và triết học của tâm
lý học. Những trả
lời cho những câu hỏi này đem cho
thúc đẩy
và
hậu trường cho những vấn đề và
những câu hỏi của
triết học của toán học, một số chúng được phân định
trong
chương tiếp theo.
Đã
từ lâu, những triết gia và một số nhà toán học đã tin rằng những nội
dung triết
học, chẳng hạn như siêu hình học và bản thể học, ấn định sự thực hành thích hợp của
toán
học. Thí dụ, Plato đã chủ
trương rằng
chủ đề-nội dung của toán học là một ‘vương
quốc’ lý
tưởng vĩnh cửu, bất biến.
Những đối tượng toán học, như những con
số
và những đối
tượng hình học, đều
không được tạo ra và không bị phá hủy, và chúng không thể bị thay đổi (xem chương 2, §2). Trong
Quyển 7 của Republic,[7] ông phàn nàn rằng những nhà toán học
không biết về những gì họ đang nói, và vì lý do này khiến họ làm toán không đúng:
Khoa
học [về hình
học] thì trong mâu thuẫn trực tiếp với ngôn ngữ được những người
thông thạo nó đã
dùng
... Ngôn ngữ của họ thì rất mực ngớ ngẩn
buồn cười ...
vì họ nói như thể họ đang làm một gì và như thể tất cả những lời của họ đều
hướng
tới hành động. ... [Họ nói] về việc
bình
phương và việc ứng dụng và việc (làm
toán) cộng, và
những tương tự ... trong khi trong thực tế, đối tượng thực của toàn bộ
môn học là
... kiến thức ... về những gì hiện hữu vĩnh viễn, không về bất cứ gì vốn đi
đến thành là cái
này hay cái kia trong một lúc nào đó và thôi
không hiện
hữu nữa.
(Plato, 1961, 527a)
Hầu
như mọi nguồn của hình
học thời cổ, gồm Elements của Euclid [8], đều tận dụng
ngôn
ngữ động của xây dựng: những đường được vẽ, những
hình được đổi vị trí, những hàm số được áp dụng. Trong
phương diện này, sự thực hành đã không thay đổi nhiều cho đến
ngày
nay. Nếu triết học của Plato là đúng, ngôn ngữ động không có ý nghĩa gì
cả.
Những
đối tượng vĩnh cửu và không
thay đổi đều
không là đối tượng của tạo dựng và chuyển dịch. Người ta không thể vẽ một đường
thẳng hay vòng tròn
vốn đã vẫn luôn luôn hiện hữu. Người ta không thể lấy
một đoạn thẳng vĩnh cửu, không thay đổi và cắt nó làm đôi rồi di chuyển một phần
của nó lên
trên đầu một
hình khác.
Người
ta có thể nghĩ rằng tranh luận ở đây có liên quan một
chút đến
thuật ngữ hơn.
Euclid đã viết rằng giữa hai điểm bất kỳ người ta có thể vẽ một đường thẳng.
Theo những người theo thuyết Plato, người ta không thể làm điều đó, nhưng có lẽ
họ có thể giải thích lại nguyên tắc này. Grundlagen der Geometrie của
Hilbert (1899) có chứa một tiên đề đúng theo-Plato rằng giữa hai điểm bất kỳ có
một đường thẳng. Có lẽ Hilbert và Euclid đã nói cùng một
điều, một khi ngôn ngữ của họ được hiểu đúng mức. Tự thân Plato đã có chút khó khăn khi giải thích những nhà
hình học của
ông, trong những
thuật ngữ ít ‘lố
bịch’
hơn. Phàn nàn của ông liên quan với ngôn ngữ, không với hình học.
Tuy
nhiên, tình trạng thì không
là sự giản dị
này, trên
những nền tảng
toán
học hoặc triết
học. Thoạt nhìn,
những vấn đề có đã từ lâu của việc chia một góc bất kỳ thành ba góc bằng nhau, tạo
một
hình vuông có diện tích bằng một hình tròn đã
cho, nhân đôi hình lập phương, biết chiều dài của cạnh của nó, dựng một hình lập
phương mới nhưng có thể tích gấp đôi hình lập phương thứ nhất. Những dụng cụ
duy nhất được dùng là thước thẳng thời cổ (không phải thước kẻ có đánh dấu) và và compa. Chúng đều
không
là những câu hỏi của sự hiện hữu. Chẳng hạn, có phải
những nhà
hình học thời
cổ và thời nay đã tự hỏi, – liệu có một góc 20 °, – hay có phải
nó đã là
một câu hỏi của –
liệu một góc như vậy có thể vẽ được không – và nếu có, bằng những dụng cụ
nào?
Trong
thế kỷ 20, những tranh luận trên thuyết trực giác đem cho một thí dụ
khác, rõ
ràng và dễ hiểu, của một thách thức triết học với toán học
như đã thực
hành (xem
chương 7). Những người theo thuyết trực giác truyền thống đã là hoàn toàn đối nghịch
với Plato, sau khi
chủ
trương rằng những
đối tượng toán học đều là
những xây dựng tinh thần, và những phát biểu toán học phải dẫn nhắc nào đó về sự xây dựng tinh thần.
Thí
dụ, L. E. J. Brouwer (1948) đã viết: Toán học giải quyết
nghiêm nhặt
từ
[quan điểm] của sự diễn dịch những định lý hoàn
toàn bằng
những phương
tiện của xây
dựng nội suy,
gọi là toán học về trực
giác. . . [Nó] không đi lệch ra ngoài toán học cổ điển ... vì toán học cổ
điển tin vào sự hiện hữu của những đúng thật chưa biết’. Và Arend Heyting (1956): Chương trình
của Brouwer ... gồm trong sự điều tra của những xây dựng toán học tinh thần như vậy
... Trong sự điều
tra những xây
dựng toán học tinh thần, “để là hiện hữu” phải đồng nghĩa với “để là được xây dựng”.
... Trong thực tế, toán học, từ quan điểm trực giác, là một nghiên cứu của những chức năng nhất định của não thức con người. Những người theo thuyết trực
giác hài
lòng rằng triết học có những hệ quả liên quan đến sự thực hành thích hợp của toán
học. Đáng ghi nhận
nhất, họ phủ nhận tính hợp lệ của cái
gọi là luật loại trừ giữa [9] , một luận điểm rằng cho bất kỳ mệnh đề Φ, hoặc Φ thì đúng, hoặc nó thì không đúng – trong những ký hiệu Φ V ¬ Φ. Những
người theo thuyết trực giác biện luận rằng luật loại
trừ giữa và những nguyên tắc liên quan dựa trên nó, là triệu chứng của tin tưởng trong sự hiện hữu siêu việt của những đối
tượng toán học và / hay sự đúng thật siêu việt của những phát biểu toán học.
Tranh luận kéo dài suốt trong
toán học. Với một người theo thuyết trực giác, nội dung của một mệnh đề phát biểu rằng không phải tất
cả những số tự nhiên đều có
một thuộc tính P nào đó – được
ký hiệu ¬ ∀xPx – là rằng nó thì có thể bác bỏ được, rằng người ta có thể
tìm thấy một xây dựng
cho thấy rằng P của mỗi số thì giữ đúng.
Nội dung của một mệnh
đề rằng có một số vốn thiếu
P –
∃x ¬Px – là rằng người ta có thể xây dựng một số x và cho thấy rằng P của x thì không giữ đúng.
Những người theo thuyết trực giác đồng ý rằng mệnh đề thứ hai, ∃x ¬Px đến theo từ mệnh đề trước ¬∀xPx
– nhưng
họ ngại ngần
trao đổi ý kiến, vì có thể cho thấy rằng một thuộc
tính không thể giữ
đúng phổ quát không với việc xây
dựng một số vốn với nó (thuộc tính đó), nó
thì không
đúng. Heyting lưu ý rằng một người duy thực, một ai là người đã duy trì rằng những con số hiện
hữu độc lập với nhà toán học, sẽ chấp nhận luật loại trừ giữa và những suy luận liên quan. Từ viễn tượng của thuyết duy thực,
nội dung của ¬ ∀xPx thì đơn giản rằng nó thì sai rằng P
giữ
đúng phổ quát, và ∃x ¬Px có nghĩa rằng có một số vốn P không đúng với nó. Cả hai công thức
đều nói về tự
thân những con số; chúng không có bất cứ gì liên quan đến những khả năng thu thập
kiến thức của những nhà
toán học. Do đó, hai công thức là tương
đương. Một nào
trong hai cũng có thể được suy ra từ một kia trong những hệ thống lôgích tiêu
chuẩn, vốn luật lệ hóa hệ thống những gì đã gọi là lôgích cổ điển. Vì vậy,
có vẻ như tính chính xác
của lôgích học cổ điển khởi động ít nhiều một cân nhắc triết học truyền
thống. Nếu những con số đều độc
lập với não thức, khi đó lôgích cổ điển có vẻ phù hợp. Những
nhà trực giác nói ở trên
hài
lòng rằng vì những con số là tinh thần,
nên lôgích cổ điển phải nhường chỗ cho trực giác, hay những gì vốn đôi khi được gọi
là lôgích hoc
xây dựng. [10]
Chúng ta hãy xem xét một trận chiến
khác về phương pháp vốn đã
được nghĩ để khởi động những cân nhắc triết học, một
trận chiến sẽ nhiều
lần làm
bận rộn chúng ta trong sách này.[11] Một định nghĩa của một thực thể toán học là không khẳng định [12] nếu nó dẫn nhắc đến một sưu tập vốn chứa đựng thực thể được định nghĩa. Thí dụ: định nghĩa
thông thường của giới
hạn trên nhỏ nhất
là không khẳng định vì nó dẫn nhắc đến một set của những giới hạn trên và đặc tính của một phần tử của set này. Henri
Poincare đã đặt
căn cứ cho một tấn công hệ thống trên tính hợp lệ của những định nghĩa không khẳng định, trên ý tưởng rằng những đối tượng toán học
không hiện hữu độc lập với nhà toán học (thí dụ Poincare 1906; xem Goldfarb
1988 và Chihara 1973). Trong những thuật ngữ triết học truyền thống, Poincare bác
bỏ cái vô hạn thưc, sau khi nhấn mạnh rằng sự
thay thế hợp lý
duy nhất là cái vô
hạn tiềm năng.
Không có set tĩnh, chẳng hạn, gồm tất cả những số thực. được xác định
trước khi
có hoạt động toán học. Từ viễn tượng này, những định
nghĩa
không khẳng định đều là vòng lẩn quẩn nghiệt ngã.
Người ta không thể xây dựng một đối tượng bằng việc dùng một sưu tập vốn đã
có chứa
sẵn nó rồi.
Nhập
với phe đối lập, Gödel (1944) đã đưa ra một biện hộ rõ ràng cho định nghĩa không khẳng định,
dựa trên quan điểm triết học của ông liên quan đến sự hiện hữu của những đối tượng
toán học:
. . . vòng lẩn quẩn nghiệt ngã ...chỉ áp dụng nếu những thực thể được
xây dựng bởi chính chúng ta. Trong trường hợp này, phải rõ ràng hiện hữu một
định nghĩa ... vốn không
dẫn nhắc đến một toàn bộ vốn đối tượng được định nghĩa thuộc
về nó,
vì sự xây dựng của một sự vật việc có thể chắc chắn là không dựa trên một toàn bộ của những sự vật việc vốn những sự vật việc được xây dựng thuộc về nó. Tuy nhiên, nếu nó là một câu hỏi về những đối tượng vốn hiện hữu độc lập với những xây dựng của chúng ta, thì
ít nhất
không có gì phi lý trong sự hiện hữu của những toàn bộ chứa những phần tử, vốn có thể được mô tả (tức là đã nêu đặc tính duy
nhất) chỉ bằng việc dẫn nhắc đến toàn bộ này ... Những lớp và những khái niệm có thể
... được mường tượng
như những đối tượng thực ... hiện hữu
độc lập với chúng ta và những định nghĩa và xây dựng của chúng ta. Với
tôi, có vẻ như sự giả
định của những
vật thể như vậy thì cũng
hoàn
toàn chính đáng như sự giả định của những vật thể vật lý và cũng hoàn toàn có nhiều lý do để tin
vào sự hiện hữu của chúng.
Theo như thuyết duy thực này, một định nghĩa
không đại diện
một công thức cho việc xây dựng, hay nói
cách khác cho việc
tạo ra một đối tượng. Đúng hơn, nó là một cách để
mô tả đặc điểm hay trỏ vào
một sự vật việc
đã hiện hữu. Do đó, một định nghĩa không khẳng định
thì không là vòng lẩn quẩn nghiệt ngã. ‘Giới hạn trên nhỏ nhất’ thì không rắc rối gì hơn so với những định
nghĩa ‘không
khẳng định’
khác, chẳng hạn như việc dùng ‘gã ngốc trong làng’ để chỉ người ngu ngốc nhất trong
làng, hay ‘bợm rượu trong
thị trấn’
để chỉ người say rượu tồi tệ nhất trong thị trấn.
Chiều
hướng được những thí dụ này đề nghị là triết học đi trước thực
hành trong một ý hướng siêu hình sâu xa
nào đó. Ở mức có
sở cốt lõi, triết học ấn định
thực hành. Bức tranh là người
ta đầu tiên mô tả hay khám phá toán học là về tất cả những gì –
thí dụ, không biết
những thực thể toán học là khách quan
hay tùy thuộc-não
thức hay
không. Điều này ấn định đường lối toán học sẽ được thực hiện. Một người tin vào sự
hiện hữu độc lập của những đối tượng toán học sẽ chấp nhận luật loại trừ giữa và những định nghĩa không khẳng định.
Chúng ta hãy gọi viễn tượng
ở đây là nguyên tắc triết học-trước-tiên.
Ý tưởng là rằng
trước tiên chúng ta hình dung ra điều gì chúng
ta đang nói đến vốn nó
là gì, và
chỉ sau đó tìm ra những gì để nói về nó trong chính toán học. Vì vậy, triết học
có nhiệm vụ cao quí của việc ấn định toán học. Trong những thuật ngữ truyền
thống, cái
nhìn là trước tiên triết học cung ứng những
nguyên lý cho
những ngành khoa học đặc biệt giống như toán học.
Bất chấp những
thí dụ trên, nguyên tắc triết học-trước-tiên thì không đúng với lịch sử của toán học. Mặc dù toán học trực giác
và tiên đoánvvẫn
còn được
thực hành nhiều
chỗ rải rác, vì thông thường lôgích cổ điển và
định nghĩa không khẳng
định đã cố thủ vững chắc trong toán học thời nay. Mặc dù một tranh luận tiếp tục giữa những triết
gia, nhưng trong
toán học những trận chiến
về cơ bản đã kết thúc. Theo như thuật kể ở trên,
người ta có thể nghĩ rằng đông
đảo những nhà toán học đã chọn một thuyết duy thực, giống như của Gödel. Tuy nhiên, không có
lúc nào cộng đồng toán học đã đội những cái mũ triết học
và quyết định rằng những đối tượng toán học, thí dụ như những con số, quả thực là hiện hữu, một cách độc
lập với những não
thức của
những nhà toán học, và vì lý do đó, họ quyết định rằng để tham dự vào những phương pháp luận trước đây đã có hoài nghi thì chắc chắn là
điều chấp nhận được
Nếu là gì đi nữa, nó là hướng vòng ngược lại.
Nửa đầu thế kỷ này đã thấy một
nghiên cứu sâu rộng của vai trò của lôgích cổ điển và định
nghĩa
không khẳng định, (cũng như những
nguyên tắc đã tranh luận khác) trong những lĩnh vực
trung tâm của
toán học: giải tích, đại số, topology, và v.v. Người ta học được rằng luật loại
trừ giữa và định
nghĩa không khẳng định là
thiết yếu cho sự thực hành của những nhánh (toán học) này
vì chúng đã phát triển vào thời gian đó. Văn tắt, những nguyên lý trong vấn đề đã không
được chấp nhận vì thuyết duy thực cấm đoán chúng, nhưng vì
chúng cần thiết cho sự thực
hành êm
thắm của toán học. Trong một ý hướng, những nhà toán học
không thể không dùng những nguyên lý, và với ngoảnh nhìn trở lại, chúng ta thấy không có chúng toán học sẽ là nghèo nàn như thế nào. Nhiều những phân biệt tinh vi tất đã phải thực hiện, những định nghĩa sẽ phải được kiểm
tra liên tục để kiểm
xoát xem là xây dựng hay có gốc ngầm ý khẳng định, và nhà toán học sẽ cần chú ý chặt chẽ với ngôn ngữ. Những phiền toái này đã chứng tỏ là nhân tạo và cằn cỗi, không kết quả. Điều quan trọng là sẽ phải buông bỏ nhiều kết quả quan trọng. Những nhà
toán học không thấy hệ thống kết quả là hấp dẫn. [13]
Đoạn mở đầu chuyên luận của Richard
Dedekind (1888) về những số tự nhiên rõ ràng bác bỏ cái nhìn theo thuyết xây dựng [14].
Sau đó, có một chú thích cuối trang: ‘Tôi nhắc điều này cho rõ ràng vì Kronecker cách
đây không lâu. . . đã cố gắng để áp đặt những hạn chế nhất định. . . trên toán học, vốn tôi không tin là chính đáng; nhưng xem dường như không có kêu gọi
nào để giải quyết vấn đề này với chi tiết hơn cho đến khi nhà toán học
nổi tiếng sẽ phải công bố những lý do của ông cho sự cần thiết hay
chỉ đơn
thuần là tính hiệu quả
của những hạn chế này’. Nhà toán học nổi tiếng Leopold
Kronecker có
nêu lý do của ông, nhưng chúng mang tính triết học. Dedekind xem dường như muốn
biết tại sao nhà toán học, giống như vậy, nên hạn chế những phương
pháp của ông. Rõ ràng ông đã chủ trương rằng triết học tự
nó không đem cho những lý do này. Do đó, Dedekind đã bác bỏ nguyên tắc triết học-trước-tiên.
Nguyên tắc triết học-trước-tiên thì không là chủ đề chính trong những bài
viết triết
học đã xuất bản của Gödel. Mục đích của Gödel (1944) là để phản ứng
với một tấn công những
nguyên lý toán học dựa trên triết học. Biện luận của ông là những phê bình về phương pháp đều dựa trên một triết học vốn người ta không cần chấp nhận. Những triết học khác hỗ trợ những nguyên lý khác. Gödel đã không biện luận cho thuyết duy thực trên những nền tảng của những
nguyên lý triết học-trước tiên, đi trước thực hành. Những bài báo triết
học của ông (1944 và 1964) chứa đựng những diễn tả minh bạch của thuyết duy thực, những lập luận rằng thuyết duy thực phù hợp tốt
với sự thực
hành của
toán học, và, có lẽ, những lập luận rằng
thuyết duy thực đem cho một hướng dẫn tốt cho thực hành này. Gödel thì nổi tiếng với quan điểm của ông rằng
trường hợp cho
sự hiện hữu của những đối tượng toán học thì chính xác là một trường hợp đi đôi cho trường hợp về sự hiện hữu của những đối tượng
vật lý (xem chương 8, §1). Tôi hiểu điều này, ý hướng của ông nêu lên, là chúng ta rút ra
cả hai kết luận trên cơ sở của những lý thuyết (toán học và vật lý) diễn tả minh bạch và thành công. Điều
này thì không,
hay không nhất thiết, là triết
học-trước-tiên.
Một số triết gia đã nghiêng sang làm ngơ sự kiện (nếu nó là một sự kiện) rằng triết học-trước-tiên thì không thuận hợp với lịch sử của toán học. Họ thừa
nhận ‘dữ
liệu’
của thực hành và
lịch sử, và
duy trì một tuyên bố rằng
trường
hợp chuẩn mực như thế toán
học phải chịu sự chi phối của triết học, và cùng với Plato, Brouwer,
Poincare, Kronecker, và những người khác,
họ chỉ trích những nhà toán học khi những người này lơ là, hay vi phạm những nguyên tắc triết học-trước
tiên chân chính. Một số triết gia này tuyên bố rằng những phần của toán học thời nay
là không mạch lạc, không thể biết được với những người thực hành, những người vui
vẻ tiếp tục sự thực
hành thiếu sót của họ. Để theo đuổi tuyên bố rằng trường hợp chuẩn mực như thế, một triết gia có
thể hình
thành một cứu cánh cối cùng [15] cho toán học, và sau đó biện luận rằng hoặc những nhà toán học không chấp nhận cứu cánh cối cùng này
nhưng nên (chấp
nhận), hoặc nếu không những nhà toán học mặc
nhiên chấp nhận cứu
cánh cối cùng nhưng không hành động trong những cách thức như theo đuổi nó. Chúng ta có thể bắt đầu một chuỗi bất tận những đi ngược trở lại,
hay có thể rơi vào
một tranh luận ngôn từ về những gì thì được gọi là toán học.
Những triết gia khác, có lẽ đa số,
bác bỏ triết học-trước-tiên
chỉ vì nó không đúng để thực
hành. Mục đích của triết học của toán học, họ tuyên bố, là để đem cho cho một
giải thích chặt chẽ của toán học, và dù muốn hay không, toán học là những gì những
nhà toán học thực hiện.
Định hướng của một người về vấn đề meta-triết học, toàn bộ này quyết định phản ứng của nó với một số văn học triết học thời nay – không chỉ là những
vấn đề nội bộ với toán học. Một đề mục trung tâm là mức độ với nó vốn toán học thời nay
(hay bất cứ gì khác) thì nhất
quán nội tại,
hay nếu không, thì mạch lạc, theo như những quan tâm suy ngẫm của triết gia về những gì là nhất quán hay mạch lạc. Những tiêu chuẩn của ai được kể? Như nhân vật Humpty Dumpty của Lewis Carroll có thể
nói, ai là người
có trách nhiệm?
Lấy một thí dụ, Michael Dummett (thí dụ. 1973) đem đến một loạt những cân nhắc liên quan đến
tính có
thể học được của ngôn ngữ và việc dùng ngôn ngữ như một
phương tiện của
truyền thông. Một hệ quả là luật loại trừ giữa thì không hợp lệ trong tổng quát, và vì vậy lôgích
trực giác nên thay thế lôgích cổ điển (xem chương 7, §3). Tất nhiên, Dummett ý thức rằng nếu ông là đúng về ngôn ngữ thì thực hành
toán học thời nay là thiếu sót – và ngay cả không mạch lạc. Những người nghiêng
về triết học-trước-tiên có thể nghiêm trọng tiếp nhận những lập luận của
Dummett liên quan đến ngôn ngữ. Đó là một có thể sống thực rằng Dummett thì đúng, và rằng đúng là về mọi nhà toán học
thì không
mạch lạc, hay ít nhất thì sai lầm tệ hại trên một cơ sở thường xuyên và hệ
thống. Mặt khác, những triết gia chống thuyết xét lại đã nghiên sang xa khỏi triết học-trước-tiên tất sẽ bác bỏ những cân nhắc của Dummett
về ngôn ngữ, có lẽ không cần
nghĩ ngợi. Họ biện luận rằng những lập luận của Dummett về
ngôn ngữ phải thì
sai,
nếu chúng đòi hỏi những sửa đổi trong toán học. Câu hỏi tu từ là thế này:
Cái nào
thì an toàn hơn và có lẽ đúng nhiều hơn, toán học như như đã thực hành, hay triết học của
ngôn ngữ của Dummett?
Để nói vấn
đề trung lập hơn, Dummett lập luận rằng toán học thời nay không được nhận hưởng một kiểu nhất định nào đó của biện minh.
Một người chống thuyết xét lại có thể đồng ý với điều này, nhưng sẽ nhanh chóng
nói thêm rằng toán học không cần sự biện minh này.
Chúng ta hãy nói tiếp vắn tắt về phía đối lập cực đoan của triết học-trước-tiên,
luận điểm rằng triết học thì không liên quan gì đến toán học. Về viễn tượng này, toán học có một
đời sống
của riêng nó, hoàn toàn độc lập với bất kỳ cân nhắc suy ngẫm triết học nào. Một
cái
nhìn triết học thì không có đóng góp gì cho
toán học và ở mức
tệ nhất là một sự ngụy biện vô nghĩa,
sự dông dài huyên
thiên, và (cố gắng) chen vào
của những người ngoài cuộc. Tốt nhất, triết học
của toán học là một người hầu gái không đáng cho toán học. Nếu như nó có một việc làm nào đó, đó là để đem cho một
giải
thích mạch lạc của toán học như đã thực
hành đến thời điểm đó. Triết gia phải sẵn sàng để ném bỏ việc làm của ông, không nghĩ ngợi, nếu những phát triển trong toán học đi
đến xung
đột với nó. Gọi đây là triết học-sau cùng-nếu-như-có đi nữa.
Trong sự biện hộ cho triết học-sau cùng, sự kiện (không may) là nhiều
nhà toán học, có lẽ hầu hết, đều không quan tâm, dù ít nhất, đến triết học, và
xét cho cùng, đó là những
nhà toán học, người thực hành và thành thạo thêm nữa trong lĩnh
vực của họ. Dù tốt hay xấu, ngành học này diễn ra hoàn toàn độc lập
với những đăm chiêu trầm ngâm của
những triết gia.
Có lẽ là điều trớ trêu rằng có tình cảm
dành cho triết học-sau-cùng từ những triết gia. Những bài viết của những thành
viên của Nhóm Vienna [16]
chứa đựng những tuyên bố chống lại những câu hỏi triết học truyền thống, đặc biệt
là những câu hỏi siêu hình học. Thí dụ, Rudolf Carnap lập luận rằng những câu hỏi
triết học liên quan đến sự hiện hữu thực của những đối tượng toán học là ‘bên ngoài’ với ngôn ngữ toán học và vì lý do
này, chỉ là ‘những câu hỏi-giả’ [17] (xem chương 5, §3).
Tôi giả định (hay ít nhất là hy
vọng) rằng những người chống thuyết xét lại không có nghĩa là để tôn thờ toán học và những nhà toán học.
Không có thực hành nào là thiêng liêng đến không thể thách thức.
Như những
con người có thể
sai lầm, những nhà toán học đôi khi
phạm sai
lầm, ngay cả những sai lầm có hệ thống; và một số thiếu sót có thể được tìm thấy bởi một gì đó có thể nhìn nhận được như triết học. Vì vậy, có lẽ một lập trường hợp lý chống
thuyết xét lại là bất kỳ nguyên tắc nhất định nào đem cho được dùng trong toán học đều được coi
là đúng vì
thiếu đối lập, nhưng không là không thể sửa chữa được.
Tính chính
xác của hầu hết toán học là một nguyên lý lý thuyết
cao cấp,
và được thiết lập vững chắc, khó
thách thức. Với sự thành công to lớn của toán học – gồm lôgích cổ điển, định
nghĩa không khẳng định, và v.v.,
sẽ cần rất nhiều để đẩy nó ra khỏi vị trí của nó.
Một vài suy ngẫm trên những tin tưởng trực giác của riêng một triết gia, hay sự tổng quát hóa những quan sát trên ngôn ngữ
thông thường,
sẽ không lật đổ
được toán học đã thiết lập, ít nhất là không
phải do bản thân
chúng. Ý tưởng tiềm ẩn
là những nhà khoa học và toán học thường
biết những gì họ đang làm, và những gì họ làm thì đáng chú ý và có giá trị xứng đáng.
Có lẽ triết học-trước tiên và triết học-sau cùng-nếu-như-có đi nữa làm thành một tương phản quá sắc cạnh. Như đã nói ở trên, một số nhà toán
học đã có quan
tâm với triết học, và ít nhất đã dùng nó như một hướng dẫn cho việc làm của họ. Ngay cả nếu không có những nguyên tắc triết học-trước-tiên,
triết học có thể đặt hướng cho nghiên cứu toán học. Thí dụ, Paul
Bernays (1935) có thể được xem như người bác bỏ triết học-sau-cùng, khi
ông viết rằng giá trị của những khái niệm toán học đã lấy hứng khởi từ
Plato là
chúng đem cho
những mô hình [vốn] nổi bật bởi tính
đơn giản và sức mạnh lôgích của chúng. Một số nhà quan sát tuyên bố rằng toán học đã trở thành một loạt những ngành học chuyên môn cao và không định hướng, với những
người chuyên môn ngay cả trong những lĩnh vực liên quan không thể hiểu được việc
làm của
nhau. Triết học có thể giúp đem cho phương hướng và định hướng, ngay cả khi nó
không đem cho những nguyên lý đầu tiên.
Lấy một thí dụ nổi bật, Gödel tuyên bố rằng
thuyết duy thực của ông là một thành tố quan trọng trong việc tìm ra cả tính hoàn chỉnh của lôgích bậc
nhất và tính bất toàn của số học [18].
Định lý tính hoàn
toàn là
hệ quả dễ hiểu của một số những kết quả của Thoralf Skolem. Tuy
nhiên, Skolem đã không đưa ra kết luận. Lý do có thể bắt nguồn từ những định hướng
khác nhau vốn Skolem và Gödel đã có với toán học, những định hướng có
thể được mô tả nhiều như thuộc triết học.[19]
Chúng ta sẽ không giải quyết vấn đề của triết học trước tiên, triết học-sau-cùng,
hay triết học ở giữa ở đây. Trong tất cả những gì có thể xảy ra,
những người nghiêng về một dạng cụ thể cực đoan của triết học-sau-cùng không thấy
chủ đề của quyển sách này thú vị. Có lẽ phần còn lại của chúng ta có thể đồng ý
rằng những triết gia có những quan tâm riêng của họ, ngoài những quan tâm của
những đồng nghiệp của họ ở những bộ môn khác, và việc theo đuổi những quan
tâm đó thì
đáng chú ý và có giá trị. Việc làm của triết gia về toán học nên hợp nhất với việc làm của nhà toán học, nhưng ít nhất một
phần của nó là việc làm khác nhau. Triết học và toán học đều có liên hệ mật thiết với nhau, nhưng không một nào thống trị một kia. Theo quan điểm này, cách làm
đúng của toán
học không là hệ quả trực tiếp của triết học đúng, cũng không phải triết học
đúng của
toán học là hệ quả tức thời của toán
học như đã thực
hành.
Công việc của triết gia là cho một giải thích của toán học và vị trí của nó trong đời sống
trí thức của
chúng ta. Chủ đề-nội
dung của toán học (bản thể học) là gì? Quan
hệ giữa chủ
đề-nội
dung của toán học và chủ đề-nội dung của khoa
học là gì? vốn nó chấp nhận sự ứng dụng bao quát và sự gieo giống vun trồng lẫn nhau như
vậy? Chúng ta giải quyết
thế nào để thực hành và hiểu biết toán học (tri thức học)? Toán học
có thể được dạy như thế nào? Ngôn ngữ toán học thì được hiểu như thế nào (ngữ nghĩa)?
Tóm lại, triết gia phải nói một gì đó về toán học, một gì đó về những ứng dụng
của toán học, một gì đó về ngôn ngữ toán học, và một gì đó về chính bản thân chúng ta. Một nhiệm vụ khó khăn,
ngay cả khi không có công việc nêu lên những nguyên tắc đầu tiên.
Như tôi hiểu nó, mục đích chính của triết
học của toán học là để diễn giải
toán học, và do đó làm sáng tỏ vị trí của toán học trong toàn bộ dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ.
Theo như
thuyết chống-xét lại [20],
đó là toán học vốn chúng
ta diễn giải,
không là những gì một lý thuyết triết học có trước nói rằng toán học nên là như vậy. Tổng quát, sự diễn giải có thể và nên bao gồm sự phê phán, nhưng theo thuyết chống xét lại, sự
phê phán không
đến từ bên ngoài – từ những nguyên tắc đầu tiên đã mang sẵn trước. Một người theo thuyết xét lại,
có lẽ là người chịu ảnh
hưởng của triết học, có thể biện luận rằng toán học, như được thực
hành, không có sự giải
thích nhất
quán. Ông đề nghị những sửa chữa hay những thay thế để đặt toán học trên một nền
tảng thích
đáng hơn, trong khi vẫn duy trì chức năng
thích hợp của nó. Chúng ta sẽ giữ trung lập về điểm này ở đây, ngõ hầu đem cho một bao quát những lập trường chính.
Có lẽ tất cả những phe đều có thể đồng ý rằng triết học của
toán học thì được
thực hiện bởi những người quan tâm với toán học và muốn hiểu vai trò của nó
trong dự
án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ. Một nhà toán học
đón nhận
một triết học của toán học sẽ đạt được một gì đó qua điều này, một định hướng về công việc, một số hiểu biết sâu xa về
viễn tượng
và vai trò của nó, và ít nhất là một
hướng dẫn dự kiến về phương hướng
của nó – những loại vấn đề nào là quan trọng, những câu hỏi nào nên được đặt
ra, phương pháp luận nào là hợp lý, phương pháp nào có khả năng để thành công, v.v.
3. Thuyết Duy Nhiên Và Toán Học
Quine (1981: 72) mô tả tính chất đặc biêt của thuyết
duy nhiên là sự từ bỏ của mục tiêu của triết học thứ nhất [21] và sự nhìn nhận rằng nó nằm bên trong tự thân khoa học ... rằng thực tại thì để được xác định và được
mô tả (xem thêm Quine 1969) [22].
Từ
viễn cảnh này,
câu hỏi tri thức học chủ yếu là để xác định con người, như những
sinh vật tự nhiên trong thế giới vật lý, xoay sở giải quyết
thế nào để
học hỏi bất
cứ gì về thế giới quanh họ. Người theo thuyết duy nhiên với Quine khẳng định
rằng khoa học có suy
luận hợp lý nhất về vấn đề này, và vì vậy tri
thức học phải là liên
tục (không đứt gãy) với
khoa học, cuối cùng là vật lý học. Một khẩu hiệu là tri thức học là một nhánh của
tâm lý học nhận thức. Bất kỳ kiến thức nào vốn con người chúng ta tuyên bố phải phù
hợp với giải thích tâm
lý học tốt
nhất của chúng ta về tự thân chúng ta như những
người hiểu biết.
Điều tương tự
xảy ra với
bản thể học và với bất
kỳ điều tra triết học chính đáng nào
khác: Triết gia theo thuyết duy nhiên bắt đầu lý luận của ông bên trong lý thuyết thế giới đã kế thừa như một quan tâm thường xuyên
... [Lý thuyết thế giới đã kế
thừa chủ yếu là một lý thuyết khoa học, sản phẩm hiện tại của nỗ lực hoạt động
khoa học (Quine 1981: 72).
Trong một
hình thức này hay
một hình
thức khác, thuyết duy nhiên đã trở nên phổ thông giữa những
triết gia, đặc biệt là ở Bắc America, nơi Quine
có ảnh
hưởng lớn nhất. Tôi kết thúc chương này với một ít lời
trên những phân
nhánh cho triết học của toán học. Đề mục
lập lại trong suốt
quyển sách.
Để
phát biểu lại
sự hiển
nhiên, thuyết duy nhiên của Quine kéo theo một phủ nhận
của những
gì tôi
gọi là triết
học trước tiên. Người theo thuyết duy nhiên nhìn vào
khoa học vật lý
như một điều tra vào trong thực tại,
có thể sai lầm và
có thể sửa chữa được,
nhưng không thể trả lời được với bất
kỳ tòa án siêu-khoa
học nào, và không cần bất kỳ sự biện minh nào ngoài sự quan sát và phương pháp
diễn dịch giả
thuyết (Quine 1981: 72). Người ta có thể giải thích những đoạn then chốt
như một hỗ trợ
của triết học-sau-cùng-nếu-như-có
đi nữa,
nhưng Quine không đi xa đến mức này. Ông nhìn khoa học và ít nhất là những phần của
triết học như một mạng lưới của tin tưởng liền
mạch, không đứt.
Một quan điểm triết học vốn là hoàn
toàn
tách rời khỏi khoa học như đã thực
hành sẽ bị
bác bỏ – thoát nợ!
– nhưng lưu thông dọc
và ngang một ranh giới
không rõ nét thì được
khuyến khích. Lời đề từ cho
Word and Object có ảnh hưởng của ông (1960) là một trích dẫn từ Otto Neurath (1932), Chúng ta giống
như những thủy thủ phải tái thiết con
tàu của họ đang khi trên
biển khơi, nhưng không
có khả năng để tháo
dỡ nó (như khi nó) trên cạn ở bến tàu và tái tạo nó từ những thành
phần tốt nhất. Quine không gồm câu tiếp theo trong bản văn của Neurath, đó là:
Chỉ siêu hình học mới có thể biến mất không dấu vết. Ít nhất một phần của siêu
hình học là một phần không thể thiếu của con tàu khoa học và không thể bị trục
xuất khỏi nó.
Nếu
ẩn dụ của Quine về con tàu của Neurath
được xem trọng, câu hỏi triết học-trước tiên và triết học-sau cùng mất đi nhiều sức mạnh của nó, nếu không nói là ý
nghĩa của nó. Trước khi chúng ta có thể xác định xem phần còn lại / chính đáng của triết học là trước tiên, sau cùng hay ở giữa (liên quan đến toán học hay
bất cứ gì khác),
chúng ta phải tách triết học ra khỏi mạng lưới của tin
tưởng,
và Quine lập luận nổi tiếng rằng chúng ta không thể làm điều như
thế (xem
thêm Resnik 1997: chs. 6-7). Đó là,
những phần
lớn của triết
học đều thiết yếu là
phần của nỗ lực hoạt động khoa học. Đây là tự nhiên hóa
triết học.
Liên
quan đến triết học của toán học, có một điều trớ trêu quan trọng trong sự tập trung vào khoa học của
Quine. với Quine,
người theo thuyết duy nghiệm thời nay, mục tiêu thúc đẩy của nỗ lực hoạt động
khoa học / triết học là để cung cấp
giải thích và
đoán trước kinh nghiệm giác quan (xem chương 8, §2 để biết thêm về thuyết duy
nghiệm của Quine). Ông khẳng định rằng
có suy luận hợp lý nhất về vấn đề này, và ông chấp nhận
toán học chỉ đến chừng
mức vốn là cần thiết cho nỗ lực hoạt động khoa học
/ triết học (có lẽ ném vào
thêm một
chút toán học nữa, để cho gọn mọi
sự vật việc). Ông không chấp nhận (như đúng) những phần của toán học, chẳng hạn
như thuyết tập hợp nâng cao [23], vốn đi quá
vai trò này của
việc giúp một
tay cho khoa học
thực nghiệm. Đó là, Quine chủ trương rằng
nếu một phần của toán học không đóng một vai trò suy luận (cho dù gián tiếp) trong những phần
của web khoa học vốn liên quan đến nhận thức giác quan,
khi đó
phần đó nên
bị vứt
bỏ, bằng luật tiện tặn
của Occam.
Do đó, Quine đưa ra những đề nghị với
những nhà toán học, dựa trên triết học tổng thể toán học và khoa học này. Thí dụ,
ông đề nghị rằng
những người theo thuyết
tập hợp áp dụng một nguyên tắc nhất định, được gọi là V = L, vì lý thuyết kết
quả thì hoàn
toàn,
và vì thế giả định
dễ áp dụng hơn.
Chúng ta bỏ qua sự kiện rằng
hầu hết những người theo thuyết
tập hợp đều hoài nghi nguyên tắc này. Lập luận của Quine ở đây là trong tinh thần của
triết học-trước
tiên với toán học, ngay cả nếu nó
là khoa học/ triết
học trước tiên
Diễn giải
thuyết duy nhiên của
Penelope Maddy (1997) [24] quy định một thái độ tôn trọng với những
nhà toán học giống như thái độ Quine thể hiện với những nhà khoa học. Lập luận,
một phần, là rằng mạng
lưới khoa học của tin tưởng –
như đã thực hành – không liền mạch như Quine lập luận. Không có một lý thuyết
quản lý duy nhất nào bao hàm tất cả những ngành của khoa học tự nhiên và toán học.
Toán học có phương pháp luận riêng của nó, vốn đã được chứng minh là thành công qua
nhiều thế kỷ. Sự thành công của toán học thì được đo lường trong những điều kiện
toán học, không
trong những
điều kiện khoa
học.
Chống
lại Quine, người ta có thể biện luận
rằng nếu những nhà toán học đã có theo
đuổi nghiêm trọng với chỉ những
ngành được biết là có ứng dụng trong khoa học tự nhiên, chúng ta sẽ không có
nhiều của những nhánh toán
học như chúng ta có ngày
nay, cũng như không có tất cả khoa học như chúng
ta có ngày nay. Lịch sử khoa học đầy rẫy những trường hợp những nhánh thuần túy toán học cuối cùng tìm thấy ứng dụng
trong khoa học. Nói cách khác, những mục tiêu tổng thể của nỗ lực hoạt động
khoa học đã được những nhà toán học theo đuổi chuyên ngành của họ phục vụ tốt với
phương pháp luận của riêng họ.
Lập
luận này có sức mạnh trong
khung cấu trúc hỗ trợ thuyết duy nghiệm toàn diện tổng thể của Quine. Ông chủ
trương rằng
toán học chỉ quan trọng hay chính đáng chỉ trong chừng mực rằng nó trợ giúp khoa học. Nếu chúng ta lấy một cái nhìn xa về ‘trợ giúp’, chúng ta thấy rằng khoa học đã được
phục vụ tốt bằng việc để những nhà toán học tiến hành theo tiêu chuẩn của riêng
họ, làm ngơ khoa
học nếu cần thiết. Thế nên,
chúng ta không cần một liên kết suy luận trực tiếp giữa một mảnh của
toán học và kinh
nghiệm giác quan trước khi chúng ta có thể chấp nhận toán học như một phần
chính đáng của
mạng lưới. Trong
bất kỳ trường
hợp nào,
Maddy không tán thành thuyết tổng thể bao quát của Quine. Bà coi trọng những liên hệ trong mạng lưới
của tin tưởng,
và chủ trương rằng
chúng ta không cần phải cho thấy rằng
có một liên
hệ cuối cùng nào với khoa học để biện minh cho toán học, dù tong nội bộ hay toàn thể. Toán học không nhìn vào khoa học hay triết học để chỉ
trích hay biện minh.
Do
đó, Maddy phản đối thuyết
duy nghiệm của Quine. những đường nối trong mạng lưới của tin tưởng – con tàu của Neurath – trỏ cho
thấy rằng
có những mục tiêu chính đáng nằm
ngoài đoán trước và kiểm soát của kinh nghiệm giác quan.
Một
người bênh vực
chiêm tinh học có thể tạo một tuyên
bố tương ứng rằng chiêm tinh học đã cho thấy thành công trong những điều kiện
riêng của nó (cho dù những điều kiện
đó là gì).[25] Nó có được hưởng cùng sự tự chủ và sự ủng hộ như toán học không? Thuyết duy nhiên
của Quine và Maddy sẽ khuyên rằng không có sự cần thiết để đem cho
sự biện minh hơn-thường
lệ-khoa
học và hơn-thường lệ-toán
học cho thái độ khác biệt với những tương tự giống như của
chiêm tinh học về một
mặt và toán
học và khoa học về một
mặt khác.
Hãy nhớ rằng không có tòa án hơn-thường lệ-khoa
học (hay hơn-thường lệ-toán
học) chính đáng. Những tiêu chuẩn khoa học thông thường là đủ để bác bỏ chiêm tinh học. Có lẽ
cũng không cần giải thích thái độ khác biệt, nhưng người ta có thể gọi đến
vai trò của toán học
trong tổng thể mạng lưới của tin
tưởng. Để đi theo Maddy
và dành sự tự
chủ cho toán học thì không
là để bỏ
qua những liên hệ sâu xa giữa toán học và khoa học (xem chương 2, §3).
Tóm
lại, với Maddy như với Quine, việc phủ nhận triết học-trước tiên thì chắc chắn. Triết học không phê bình toán học.
Triết học cũng không biện minh cho toán học. Chỉ có toán học làm điều đó. Như nói trên, triết học-sau
cùng-nếu-như-có đi nữa
không đến theo.
Maddy (1997: Ch 3) phân biệt những phần đó của triết học truyền thống vốn là ‘liên tục với toán học’, và những phần đó
vốn là
bên ngoài toán học nhưng ‘liên
tục với khoa học’,
và những phần đó vốn tất cả đều cùng nằm ngoài khoa học và toán học. Mặc
dù biên giới giữa những phần này không rõ nét,
nhưng chỉ những đề mục
trong nhóm đầu tiên mới có bất kỳ tác động
nào trên nhiệm vụ quan trọng nhất của sự phân
định (hay phê bình hay cải tiến) phương pháp toán học. Những đề mục trong nhóm cuối cùng ngoài toán học
và khoa học – là những phương diện của
triết học truyền thống bị bác bỏ như như triết
học-trước tiên. Đã đi mất còn không dấu vết. Nhóm giữa
– những phần của triết học bên ngoài của toán học
và liên tục
với khoa học – gồm ‘triết
học đã tự
nhiên hóa’ của Quine.
Vấn đề, như tôi hiểu, bận tâm về mức độ với nó một phần của triết học
được giả định để biện minh hay định nền cho toán học hay khoa học, và không quá nhiều với mức độ triết học là
khoa học, hay ‘liên tục’ với khoa học. Có lẽ đây là một chút của sở
thích dùng thuật ngữ, vì phần lớn gạt bỏ của Maddy và Quine là
nhằm vào triết học-trước tiên, ý tưởng rằng triết học cung ứng cho toán học sự biện minh uối cùng.
Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] Dịch theo Stewart Shapiro. Thinking about Mathematics: The
Philosophy of Mathematics. Oxford University Press, Oxford, 2000.
Stewart
Shapiro (1951-) là giáo sư triết học đại học Ohio State, Newark, US, và đại học St. Andrews, Scotland,
UK.
Những chú thích trong ngoặc vuông [ ... ] dịch từ nguyên bản.
Những chú thích khác, với những sai lầm nếu có, là của tôi, sẽ tìm chữa sau
[2] category theory.
[3] computability: tính có thể
tính toán được thuần túy bằng máy tính
[4] [Một số sinh viên đã bị
những gì gọi là lo lắng về toán học nên tìm đến triết học, vì vị trí trong khoa
học nhân văn của nó – xa với khoa học. Họ thất vọng khi thấy chương trình
chuyên ngành B.A. trong hầu hết những trường đại học đều có đòi hỏi những khóa
học logic toán học. Đòi hỏi này dễ dàng được minh chứng, vì vai trò của những
ngôn ngữ hình thức ký hiệu trong phần lớn văn học triết học ngày nay. Từ phía
bên kia, những sinh viên khoa học và kỹ thuật, có lẽ đang chịu khổ với những gì
có thể gọi là sự tránh né khoa học nhân văn, rất vui khi biết rằng những khóa học
về lôgic học đôi khi được tính kể trong những đòi hỏi trong những ngành nhân
văn của họ]
[5] [Mùa hè
1967-9, tôi hân hạnh đã dự một Chương trình Mùa hè NSF về Toán cho học sinh
trung học tại Đại học Ohio. Vị giám đốc, Arnold Ross, đã bảo chúng tôi rằng hãy
suy nghĩ thật sâu về những điều đơn giản. Lời khuyên hay cho những nhà toán học
cũng như triết học]
[6] [Trong
những trường đại học US, chỉ ban tiếng England là
thường lớn như vậy]
[7] xem bản dịch Plato. Republic, quyển 7 tôi
đã tạm dịch và giới thiệu trên blog này
[8] Elements của Euclid cho đến
nay là công trình toán học nổi tiếng nhất thời cổ và đặc biệt là quyển sách giáo
khoa toán được dung liên tục
lâu đời nhất trên thế giới. Chúng ta biết
được rất ít về thân thế tác giả, ngoài sự kiện là ông đã sống ở thành
Alexandria vào khoảng năm 300 TCN. Hầu hết những định lý xuất hiện trong Elements
không do chính Euclid tìm ra, nhưng là công
trình của những nhà toán học Greece trước đó
như Pythagoras (và trường phái của ông),
Hippocrates người thành Chios,
Theaetetus người thành Athens,
và Eudoxus
người thành Cnidus. Tuy nhiên, Euclid thường
được ghi nhận là người đã sắp xếp
những định lý này thuận lý, để lần lượt chứng minh (phải thừa nhận rằng không phải lúc nào
cũng tuân theo sự nghiêm ngặt của toán học hiện đại) rằng chúng tất yếu đều tuân theo năm tiên
đề đơn giản.
[9] law of excluded middle: cũng thường
dịch là ngyên lý triệt tam.
[10] constructive logic:
lôgích
hoc xây dựng
(đã có dịch là lôgic kiến thiết)
[11] [Những thí dụ khác gồm Tiên đề lựa chọn, và tính mở rộng tổng quát. Xem Shapiro 1997: ch.I]
[12] impredicative: không khẳng
định (khác với predicative: được khẳng định; với predicate), impredicative
definition: định nghĩa không khẳng định (a self-referring, or “impredicative,” definition,
định nghĩa tự dẫn nhắc, định nghĩa hàm ý). Từ do
Poincaré ghép đặt để chỉ một loại định nghĩa trong đó
một phần tử của một set thì được đinh nghĩa theo thức vốn đã có giả định trước
rằng set được xem như một tổng thể. Poincaré đã tin rằng những nghịch lý,
như người thợ cắt tóc của Russell là do những định nghĩa lại như
vậy và do đó đã đề nghi cấm những định nghĩa không khẳng định.
Nhưng trong toán học cổ điển đã đòi hỏi những định nghĩa như vậy ở quá nhiều điểm,
khiến cấm đoán này thành ra rất khó để có thể tuân theo. Vicious circle
principle: nguyên tắc vòng luẩn quẩn: một nguyên tắc trong logic: bất cứ gì được
định nghĩa trong những điều kiện của tất cả của một sưu tập hay của một tổng thể
không thể là phần tử của sưu tập hay tổng thể vừa nói.
[13] [Xem
Maddy 1993 để biết những cân nhắc tương tự liên quan đến tính xác
định]
[14] Constructivism: thuyết
xây dựng trong toán học, tuyên bố rằng một khẳng định về sự hiện hữu của một đối
tượng toán học nào đó bới chứng minh của nó sẽ cho chúng ta một phương pháp cho
việc xây dựng một đối tượng như vậy. Do đó, một chứng minh bằng mâu thuẫn bị phủ
nhận như một phương pháp chứng minh, vì đơn giản là nó không cho chúng ta biết
cách xây dựng một đối tượng, nhưng đơn thuần chỉ chứng minh nếu không thừa nhân
sự hiện hữu của đối tượng sẽ phải đưa đến mâu thuẫn.
[15] telos
[16] The Vienna Circle (of Logical Empiricism):
Nhóm Vienna – gồm M.
Schlick, Rudolf Carnap, H. Feigl, P. Frank, K. Gödel, H. Hahn, V. Kraft, O.
Neurath, F. Waismann.
[17] pseudo-questions
[18] Logic bậc nhất (First Order
Logic – FOL) và
the incompleteness of
arithmetic.
[19] [Xem những thư Gödel gửi Hao Wang,
1974, và phần giới thiệu của Burton Dreben và Jean van Heijenoort, về kết quả
hoàn chỉnh trong Gödel 1986. Xem thêm Gödel 1951.]
[20] anti-revisionism
[21] siêu hình học.
[22] naturalism: thuyết duy nhiên: quan điểm triết học
chủ trương mọi sự vật việc đều phát sinh từ những thuộc tính và những nguyên
nhân tự nhiên, và những giải thích siêu nhiên, hay tinh thần hoặc tôn giáo đều
bị gạt bỏ, xem như không giá trị.
[23] advanced set theory.
[24] triết gia Penelope Maddy, giáo sư triết
học toán học và lôgich, đại học California, Irvine nổi tiếng với việc theo đuổi ‘Triết học thứ hai’, một dạng của thuyết duy nhiên, coi những phương pháp triết học không thể
phân biệt được với những phương
pháp của khoa học thực nghiệm.
[25] [Nhìn bề ngoài, khoa học và chiêm tinh học
có cùng những mục tiêu giống nhau, cụ thể là dự
đoán, và vì vậy chúng có thể được so sánh bằng những tiêu chuẩn chung, ít nhất
trong nguyên tắc. Một người quan sát trung lập có thể đưa ra những dự
đoán chính xác và sau đó so sánh những hồ sơ theo dõi. Tất nhiên, những nhà
chiêm tinh học không đặt nhành học
chuyên môn của họ vào thử nghiệm khoa học tiêu chuẩn.]
