Monday, January 10, 2022

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (01)

Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học Toán Học)

 Stewart Shapiro


Nxb Đại Học Oxford

 

 


Lời nói đầu

Triết học Toán học [1]

 

Đây là một quyển sách (giáo khoa) triết học về toán học. Trước hết, có những vấn đề của siêu hình học: Toán học tất cả là về những gì? Nó có một chủ đề-nội dung không? Chủ đề-nội dung này là gì? Những số, tập hợp, điểm, đường thẳng, hàm số, và v.v. là gì? Sau đó là những vấn đề ngữ nghĩa: những phát biểu toán học có nghĩa gì? Bản chất của sự đúng thực toán học là gì? Và tri thức học: Toán học được biết đến như thế nào? Phương pháp luận của nó là gì? Có phải nó gồm trong sự quan sát thường nghiệm, hay nó thuần túy là một thực tập tinh thần? Tranh luận giữa những nhà toán học được phân xử điều chỉnh như thế nào? Một chứng minh là gì? Có phải những chứng minh là chắc chắn tuyệt đối, không bị nghi ngờ về mặt lý trí không? Lôgích của toán học là gì? Có hay không những sự đúng thực toán học không thể biết được?

 

Toán học có tiếng là một môn học khô cứng, đến mức như có thể tưởng tượng được, về phương diện này, so với triết học. Ở đây, mọi sự vật việc dường như được giải quyết, dứt khoát và vĩnh viễn, trên một cơ sở thường xuyên không đổi. Có phải là thế không? Đã từng có bất kỳ những cách mạng nào trong toán học, nơi những tin tưởng lâu đời đã bị buông bỏ? Xem xét bề sâu độ dày của toán học đã dùngvà đòi hỏi – trong khoa học tự nhiên và xã hội. Làm thế nào toán học, vốn chủ yếu là một hoạt động trí óc, lại làm sáng tỏ thế giới vật chất, con người và xã hội được nghiên cứu trong khoa học? Tại sao chúng ta không thể tiến được rất xa trong việc hiểu biết thế giới (trong những thuật ngữ khoa học) nếu chúng ta không hiểu nhiều về toán học? Điều này nói gì về toán học? Điều này nói gì về thế giới vật chất, con người và xã hội?

 

Triết học toán học thuộc một thể loại gồm triết học về vật lý học, triết học về sinh học, triết học về tâm lý học, triết học về ngôn ngữ học, triết học về lôgích học, và ngay cả triết học học về triết học. Chủ đề là để giải quyết những câu hỏi triết học vốn liên quan đến một ngành học, những vấn đề về siêu hình, tri thức, ngữ nghĩa, lôgích và phương pháp của ngành học. Điển hình, triết lý về X được những người quan tâm với X theo đuổi, và muốn thắp sáng vị trí của nó trong một dự án khó khăn đòi hỏi nhiều cố gắng trí tuệ toàn diện. Lý tưởng, một ai thực hành X sẽ đạt được một gì đó bằng việc áp dụng một triết học về X: một ngưỡng mộ tán thành ngành học ấy, một đổi hướng tới nó, và một cái nhìn xa hơn về vai trò của nó trong việc hiểu biết thế giới. Triết gia về toán học cần nói một gì đó về bản thân toán học, một gì đó về người toán học, và một gì đó về thế giới trong đó toán học được ứng dụng.Một đòi hỏi khó thực hiện:

 

Quyển sách có bốn phần. Phần thứ nhất, ‘Viễn cảnh’, đem cho một cái nhìn tổng thể về triết lý toán học. Chương 1 liên quan đến vị trí của toán học trong lịch sử triết học, và quan hệ giữa toán học và triết học toán học. Chương 2 đem cho một cái nhìn bao quát về những vấn đề trong triết học toán học, và những lập trường chính, hay những phân loại của những lập trường, với những vấn đề này.

 

Phần II, ‘Lịch sử’, phác họa những quan điểm của một số triết gia trong lịch sử có quan tâm với toán học, và cho thấy sự quan trọng của toán học trong sự phát triển triết học tổng quát của họ. Chương 3 trình bày Plato và Aristotle trong thế giới thời cổ, và Chương 4 tiến tới nhữnggọi là ‘thời kỳ ngày nay’, và chủ yếu xem xét Immanuel Kant và John Stuart Mill. Ý tưởng đằng sau phần sách này là minh họa một nhà duy lý kiên quyết (Plato) – một triết gia chủ trương rằng trí óc con người không được giúp đỡ thì không có khả năng để có hiểu biết quan trọng thực sư,về thế giới – và một triết gia theo thuyết duy nghiệm kiên quyết (Mill) – một triết gia đặt nền tảng tất cả, hay gần như tất cả kiến thức trên kinh nghiệm quan sát. Kant đã cố gắng một tổng hợp đáng thán phục giữa thuyết duy lý và thuyết duy nghiệm, nhận những điểm mạnh và tránh những điểm yếu của mỗi thuyết. Những triết gia này là những người mở đường đi trước của phần lớn suy nghĩ thời nay về toán học.

 

Phần tiếp, ‘Ba Đại Thụ’, gồm những lập trường triết học chính vốn thống trị những tranh luận đầu thế kỷ này, và vẫn đem cho nhiều chiến tuyếntrong văn học thời nay. Chương 5 liên quan đến thuyết lôgích, quan điểm rằng toán học là, hay có thể, là được rút gọn thành lôgích. Chương 6 liên quan đến thuyết hình thức, một quan điểm tập trung vào thực tế là phần lớn toán học gồm những vận dụng theo quy luật của những ký tự ngôn ngữ. Chương 7 liên quan đến thuyết trực giác, một quan điểm cho rằng toán học gồm sự cấu tạo tinh thần. Mỗi trong số ba đại thụ đều có những ủng hộ ngày nay, một số họ đã được đưa vào giới thiệu trong phần sách này.

 

Phần IV, tựa đề ‘Cảnh tượng thời nay’. Chương 8 nói về những quan điểm vốn nhận ngôn ngữ toán học theo nghĩa đen, với giá trị như xem đọc thấy, và chủ trương rằng phần lớn những khẳng định của những nhà toán học đều đúng. những triết gia này chủ trương rằng những con số, hàm số, điểm, và v.v. đều hiện hữu độc lập với nhà toán học. Sau đó, họ cố gắng cho thấy chúng ta có thể có kiến thức về những thứ đó như thế nào, và toán học đã giải thích thế nào nhìn theo tương quan với thế giới vật lý. Chương 9 liên quan đến những triết gia phủ nhận sự hiện hữu của những đối tượng toán học cụ thể. Những tác giả được nói đến ở đây hay là diễn giải lại những khẳng định toán học để chúng trở thành đúng thực nhưng không cần giả định trước về sự hiện hữu của những đối tượng toán học, hay nếu không, họ định giới hạn một vai trò quan trọng cho toán học ngoài việc khẳng định sự đúng thực và phủ nhận sự sai lầm. Chương 10 là về thuyết cấu trúc, quan điểm cho rằng toán học là về những mô thức của toàn thể thaynhững đối tượng riêng biệt. Đây là lập trường của tôi (Shapiro 1997), vì vậy người ta có thể nói rằng tôi đã dành những gì hay nhất cho sau cùng. Ngoại trừ quá-tự tin nhất thời này, tôi đã cố gắng đểngười không phe phái trong suốt quyển sách.

 

Chương trình từ đầu là cố gắng viết một quyển sách sẽ đem đến một gì đó cho những người quan tâm với toán học, nhưng có ít kiến thức triết học, cũng như những người quan tâm với triết học nhưng có ít kiến thức toán học. Đối với hầu hết những phần trong sách, một vài quen thuộc với toán học bậc trung học phổ thông hay năm đầu đại học, và có lẽ một hiểu biết đại cương về triết học là đủ. Tôi tránh việc hiệu hóa quá mức và cố gắng giải thích những ký hiệu tôi dùng. Ở một vài chỗ, tôi có thể đã giả định quá nhiều đối với những người chưa bắt đầu học toán ở những năm đầu đại học, và ở những chỗ khác quá nhiều đối với những người không quen thuộc với thuật ngữ triết học, nhưng tôi hy vọng những chỗ đó ít và rất thưa thớt, và không làm gián đoạn dòng chảy của quyển sách. The Oxford Dictionary of Philosophy (Blackburn 1994) có thể chứng tỏ là một nguồn tiện lợi cho những người còn ngỡ ngàng với lý thuyết triết học trừu tượng.

 

Trong dự án này, tôi mang nợ rất nhiều người. Trước tiên, xin cảm ơn [ ...] Quyển sách được thương yêu dành tặng cho những con tôi, Rachel, Yonah và Aviva. Nếu không có chúng, ngay cả một đời sống giàu tính triết học cũng sẽ là trống rỗng.

 

Stewart Shapiro (1951-)

Giáo Sư Triết Học Đại Học Ohio StateNewark, US, Và Đại Học St. Andrews, Scotland, UK

 

 

NỘI DUNG

 

Phần I. Viễn Cảnh

1 Quá Quan Tâm Về Toán Học (Đối Với Một Triết Gia) Gì Vây?

               1. Sự Thu hút – của những đối nghịch?         

2. Triết Học Và Toán Học: Con Gà Hay Quả Trứng?

3. Thuyết Tự Nhiên Và Toán Học

 

2 Một Hỗn hợp Những Hỏi Và Đáp Thử

1. Tất Yếu Và Kiến thức Tiên nghiệm

2. Những Vấn đề toàn bộ: Đối Tượng Và Tính Khách Quan

2.1. Đối Tượng

2.2. Đúng thực

3. Thuộc Toán Học Và Thuộc Vật Lý

4. Những Vấn Đề Cục Bộ: Những Định Lý, Những Lý Thuyết Và Những Khái Niệm

 

Phần II. Lịch Sử

3 Thuyết Duy Lý Của Plato Và Aristotle

1. Thế Giới của Hiện Hữu

2. Plato Về Toán Học

3. Toán Học về Plato

4. Aristotle, Đối Thủ Xứng Đáng

5. Đọc Thêm

 

4 Những Đối Nghịch Gần: Kant Và Mill

1. Định Hướng Lại

2. Kant

3. Mill

4. Đọc Thêm

 

Phần III. Ba Đại Thụ

5 Thuyết Lôgích Toán học: Có Phải Toán Học Chỉ Là Lôgích?

1. Frege

2. Russell

3. Carnap Và Thuyết Thực Chứng Lôgích

4. Những Quan Điểm Thời nay

5. Đọc Thêm

 

6 Thuyết Hình thức: Những Phát Biểu Toán Học Có Nghĩa Gì Không?

1. Những Quan Điểm Cơ Bản; Tấn công dữ dội của Frege

1.1. Thuật ngữ

1.2. Trò Chơi

2. Thuyết Diễn dịch: Grundlagen Der Geometrie Của Hilbert

3. Thuyết Fininism: Chương Trình Hilbert

4. Tính Bất toàn

5. Haskell Curry 

6. Đọc Thêm

 

7 Thuyết Trực Giác: Có gì Sai Lầm Với Lôgích Của Chúng Ta Không?

1. Sửa Đổi Lôgích Cổ Điển

2. Giáo sư, Brouwer

3. Sinh Viên, Heyting

4. Dummett

5. Đọc Thêm

 

Phần IV Quan Cảnh Thời Nay

8 Những Con Số Hiện Hữu

1. Gödel

2. Mạng lưới của Tin tưởng

3. Tập hợp - Thuyết duy thực trong lý thuyết

4. Đọc Thêm

 

9 Không, Chúng Không Hiện Hữu

1. Thuyết Hư Cấu

2. Xây Dựng Phương Thức

3. Chúng Ta Nên hiểu thế nào về Tất Cả Những Điều Này?

4. Phụ Lục: Những người trẻ háo hức thay đổi

5. Đọc Thêm

 

10 Thuyết Cấu Trúc

1. Ý Tưởng Cơ Bản

2. Cấu Trúc Và Đối Tượng Ante Rem

3. Thuyết Cấu Trúc với Không Cấu Trúc

4. Kiến Thức Về Cấu Trúc

4.1. Nhận Dạng Mẫu thức Và Trừu Tượng Khác

4.2. Định Nghĩa Tiềm ẩn

5. Đọc Thêm

 

Sách Tham Khảo

Mục Lục

 

 

SUY NGHĨ VỀ TOÁN HỌC

 

PHẦN I.

VIỄN CẢNH

 

1

QUÁ QUAN TÂM VỀ TOÁN HỌC (ĐỐI VỚI MỘT TRIẾT GIA) GÌ VÂY?

 

1. Sự Thu hút – của những đối nghịch?

 

Trong lịch sử, những triết gia đã có một quan tâm đặc biệt gần như như thu hút với toán học. Cổng vào Academy của Plato đã nói có ghi ‘Hãy đừng để một ai không biết gì về hình học vào đây’. Theo trường phái Plato, toán học là huấn luyện xứng hợp cho sự hiểu biết Vũ trụ bao la như nó vốn là, trái với nó như thấy bên ngoài. Plato đã đi đến quan điểm của ông bằng suy ngẫm về chỗ đứng của toán học trong việc thu thập-kiến thức duy lý (xem chương 3, §§2-3). Trước khi có sự phân chia chuyên biệt của những lĩnh vực bao quát trong những học viện hàn lâm, nhiều nhà toán học cũng là những triết gia. Những tên tuổi của Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz và Blaise Pascal dễ dàng để nhắc nhớ, và gần hơn với ngày nay có Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel và Alfred Tarski. Cho đến gần đây, hầu như mọi triết gia đều có ý thức về tình trạng của toán học và dành cho nó một quan tâm có tính chuyên nghiệp.

 

Thuyết duy lý là nội dung của một trường phái triết học lâu đời có thể mô tả bản chất đặc biệt của nó như một cố gắng để mở rộng phương pháp luận đã nhìn nhận của toán học cho tất cả kiến thức. Những người theo thuyết duy lý rất ngưỡng phục nền tảng xem dường không thể lay chuyển, vốn toán học đã được và hưởng lợi, và cơ sở của nó trongtính thuần túy. Họ đã cố gắng để đặt tất cả kiến thức trên cùng nền tảng. Khoa học, đạo đức học và tương tự cũng sẽ tiến hành bằng việc đem cho những mệnh đề của chúng, những minh chứng chặt chẽ chỉ từ lý trí mà thôi. Thuyết duy lý truy nguồn về Plato, và đã phát triển mạnh trong thế kỷ XVII và đầu thế kỷ XVIII trong những tác phẩm của Descartes, Baruch Spinoza và Leibniz. Đối lập chính với thuyết duy lý là thuyết duy nghiệm, quan điểm cho rằng tri giác kinh nghiệm, không phải lý trí thuần túy, là nguồn gốc của kiến thức. Quan điểm này truy nguồn về Aristotle và đã phát triển qua những tác giả ở Britain như John Locke, George Berkeley, David Hume, và John Stuart Mill (xem ch. 4, §1). Truyền thống duy nghiệm đã truyền xuống những người theo thuyết Thực Chứng Lôgích và Nhóm Vienna, gồm Moritz Schlick, Rudolf Carnap, và A.J. Ayer, và ngày nay còn sống trong công trình của Bas van Fraassen và W V. O. Quine. Vì kiến thức toán học dường như dựa trên chứng minh, không trên quan sát, toán học rõ ràng là một phản-thí dụ với luận thuyết chính của những người duy nghiệm. Thật vậy, toán học đôi khi được chủ trương như một mô hình của kiến thức a priori, kiến thức có trước và độc lập với kinh nghiệm. Hầu như mọi người duy nghiệm đều nhận thách thức của toán học hết mức nghiêm nhặt và một số họ đã gắng đi rất xa để thích ứng với nhu cầu của toán học, đôi khi bóp méo nó đến khó nhận (xem Parsons 1983: Tiểu luận 1).

 

Ngày nay, chúng ta thấy sự chuyên môn hóa sâu rộng trong tất cả những lĩnh vực học thuật. Cá nhân những nhà toán học và triết học thường có khó khăn khi tìm hiểu nghiên cứu của những đồng nghiệp trong chính ban hay ngành của họ. Những nhà đại số học không thể theo dõi những phát triển trong triết học phân tích; công việc trong triết học về vật lý thì không thể hiểu được với hầu hết những nhà đạo đức học. Do đó, không có nhiều liên hệ trực tiếp và nhận thức giữa toán học thông thường và triết học thông thường. Tuy nhiên, toán học không nằm xa với quan tâm của những lĩnh vực triết học như tri thức học, siêu hình học, lôgích học, khoa học nhận thức, triết học ngôn ngữ và triết học về khoa học tự nhiên và xã hội. Và triết học thì không xa với những quan tâm chính của những lĩnh vực toán học như lôgích học, thuyết tập hợp, lý thuyết phân loại [2] , khả năng tính toáng được bằng máy tính [3], và ngay cả giải tích học và hình học. Lôgích được dạy trong cả ban toán học và triết học trên toàn thế giới.

 

Đôi khi tốt hơn hay đôi khi tệ hơn, nhiều kỹ thuật và cơ chế dùng trong triết học thời nay đã được phát triển và mài dũa với toán học – chỉ-toán học trong não thức. Lôgích học lớn mạnh thành một lĩnh vực sống động qua những nhà toán học có đầu óc nghiêng về đại số học, như George Boole, Ernst Schroder, Balzano, Frege, và Hilbert. Sự tập trung rõ ràng của họ đã là lôgích và những nền tảng của toán học. Từ lôgích, chúng ta có mô hình-lý thuyết ngữ nghĩa, và từ đó phân tích những thế giới có thể có của diễn ngôn phương thức và nhận thức. Không quá lời khi nói rằng ngữ nghĩa và hệ thống diễn dịch cho lôgích hình thức đã trở thành lingua franca qua suốt những vấn đề và quan tâm của triết học thời nay. [4] Trong một ý hướng nào đó, phần lớn của triết học phân tích là một cố gắng để mở rộng sự thành công của lôgích từ ngôn ngữ toán học đến ngôn ngữ tự nhiên và tri thức học tổng quát. Đây có thể là một di sản của thuyết duy lý.

 

Có nhiều lý do về sự liên kết giữa toán học và triết học Cả hai đều là một trong những cố gắng trí tuệ đầu tiên để hiểu thế giới quanh chúng ta, và cả hai đều hoặc ra đời ở Greece thời cổ, hoặc đã biến đổi sâu xa đó (tùy thuộc vào những gì để tính như toán học và những gì để kể như triết học). Thứ hai, và chính yếu hơn, toán học là một trường hợp nghiên cứu quan trọng cho triết gia. Nhiều vấn đề trong chương trình làm việc của triết học thời nay có những công thức rõ ràng đáng ghi nhận khi đã tập trung vào toán học. Chúng gồm những vấn đề về tri thức học, bản thể luận, ngữ nghĩa và lôgích học. Chúng ta đã ghi nhận sự thành công của lôgích khi suy luận toán học trở thành trung tâm tập trung chú ý. Những triết gia đều chú ý với những vấn đề dẫn kể: Nó là gì khiến một đơn vị từ vựng đứng thay, hay đại diện, cho một đối tượng? Như thế nào chúng ta làm được việc liên kết một tên gọi với sự vật việc là tên gọi của nó? những ngôn ngữ của toán học đem cho một chú ý tập trung cho những câu hỏi này. Những triết gia cũng quan tâm với những vấn đề mang tính chuẩn mực: Nó là gì để cá nhân A thì buộc phải làm hành động Bì? Ý của chúng ta là gì khi nói rằng một người phải làm một gì đó, chẳng hạn như cho từ thiện? Toán học và lôgích toán học đem cho ít nhất một trường hợp quan trọng và có thể là đơn giản. Lôgích là quy chuẩn nếu không một bất kỳ nào khác là thế. Trong ý hướng nào chúng ta phải tuân theo những quy tắc lập luận đúng khi làm toán? Plato khuyên những học trò của ông nên bắt đầu với những trường hợp tương đối đơn giản và dễ hiểu. [5] Có lẽ tính quy chuẩn của lôgích toán học là một trường hợp như vậy.

 

Lý do thứ ba cho sự liên kết giữa toán học và triết học nằm trong tri thức học – nghiên cứu về kiến thức. Toán học thì cực kỳ quan trọng vì vai trò trung tâm của nó trong hầu như mọi cố gắng khoa học nhằm vào việc tìm hiểu thế giới vật chất. Thí dụ, hãy xem xét toán học được giả định trước trong hầu như bất kỳ khoa học tự nhiên hay xã hội nào. Nhìn lướt qua bất kỳ tập sách liệt kê chỉ dẫn của trường đại học nào cũng sẽ cho thấy rằng những chương trình giáo dục của những ngành khoa học và kỹ thuật đều đi theo tương tự như Academy của Plato và có những đòi hỏi tiên quyết đáng kể về toán học. Tuy nhiên, lý do cơ sở cho viêc này khác với của Academy của Plato. Với sự suy thoái của thuyết duy lý, toán học thì không là một mô hình hay một nghiên cứu điển hình cho những khoa học thực nghiệm. Đúng hơn, những ngành khoa học dùng toán học. Do vai trò phục vụ này, những ban toán học là một trong những ban lớn nhất trong hầu hết những trường đại học. [6] Câu hỏi không biết toán học tự nó có là một hoạt động thu thập kiến thức hay không là một vấn đề triết học quan trọng (xem chương. 8 và 9). Tuy nhiên, rõ ràng toán học là dụng cụ chính trong cố gắng nhất của chúng ta để hiểu biết thế giới. Điều này cho thấy triết học toán học là một nhánh của tri thức học, và toán học là một trường hợp quan trọng đối với tri thức học tổng quát và siêu hình học. Điều gì về toán học khiến nó trở nên cần thiết cho sự hiểu biết khoa học về vũ trụ vật chất và xã hội? Điều gì về vũ trụ – hay về chúng ta – cho phép toán học đóng vai trò trung tâm trong việc hiểu nó? Galileo đã viết rằng quyển sách về thiên nhiên được viết bằng ngôn ngữ của toán học. Ẩn dụ sâu xa, khó hiểu này làm nổi bật vị trí của toán học trong lĩnh vực khoa học / triết học trong hoạt động khó khăn nhằm tìm hiểu thế giới, nhưng nó ngay cả không hé mở một giải pháp nào cho vấn đề (xem chương 2, §3).

 

 

Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Jan/2022)

(Còn tiếp... )

 

 http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com

 

 

 



[1] Dịch theo Stewart Shapiro. Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press, Oxford, 2000.

Những chú thích trong ngoặc vuông [ ... ] dịch từ nguyên bản.

Những chú thích khác, với những sai lầm nếu có, là của tôi, sẽ tìm chữa sau

[2] category theory

[3] computability: tính có thể tính toán được thuần túy bằng máy tính

[4] [Một số sinh viên đã bị những gì gọi là ‘lo lắng về toán học’ nên tìm đến triết học, vì vị trí trong khoa học nhân văn của nó – xa với khoa học. Họ thất vọng khi thấy chương trình chuyên ngành B.A. trong hầu hết những trường đại học đều có đòi hỏi những khóa học logic toán học. Đòi hỏi này dễ dàng được minh chứng, vì vai trò của những ngôn ngữ hình thức ký hiệu trong phần lớn văn học triết học ngày nay. Từ phía bên kia, những sinh viên khoa học và kỹ thuật, có lẽ đang chịu khổ với những gì có thể gọi là ‘sự tránh né khoa học nhân văn’, rất vui khi biết rằng những khóa học về lôgic học đôi khi được tính kể trong những đòi hỏi trong những ngành nhân văn của họ]

[5] [Mùa hè 1967-9, tôi hân hạnh đã dự một Chương trình Mùa hè NSF về Toán cho học sinh trung học tại Đại học Ohio. Vị giám đốc, Arnold Ross, đã bảo chúng tôi rằng hãy suy nghĩ thật sâu về những điều đơn giản. Lời khuyên hay cho những nhà toán học cũng như triết học]

[6] [Trong những trường đại học US, chỉ ban tiếng/văn chương  England là thường lớn như vậy]