Russell - Đưa vào Triết học Toán học (04)

  

 Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell 

 (←...tiếp theo)

 

CHƯƠNG X

Những Giới Hạn Và Tính Liên Tục

 

Khái niệm của một “giới hạn” là một khái niệm vốn với nó sự quan trọng trong toán học đã tiếp tục được tìm thấy lớn hơn đã từng nghĩ. Thực vậy, toàn bộ của calculus vi phân và tích phân, trong thực hành, gần như tất cả mọi sự việc trong toán học cao cấp, đều tùy thuộc trên những giới hạn. Trước đây, đã giả định rằng những cực nhỏ [1] đều đã liên quan trong những nền tảng của những môn học này, nhưng Weierstrass [2] đã cho thấy rằng đây là một sai lầm: bất cứ nơi nào những cực nhỏ đã nghĩ để xảy ra, những gì thực sự xảy ra là một set của những lượng hữu hạn có 0 làm giới hạn dưới của chúng. Đã thường nghĩ rằng “giới hạn” là một ý niệm yếu tính số lượng, đó là nói rằng ý niệm của một lượng vốn với nó những lượng khác đến gần và gần hơn, như thế khiến cho giữa những lượng khác đó sẽ có một vài khác biệt ít hơn nào đó so với lượng bất kỳ đã chỉ định nào. Nhưng thực ra, ý niệm “giới hạn” là một ý niệm thuần túy về thứ bậc, không liên quan gì cả với số lượng (ngoại trừ do tình cờ khi chuỗi trong xem xét xảy ra là số lượng). Một điểm đem cho trên một đoạn thẳng có thể là giới hạn của một set của những điểm trên đoạn thẳng, với không là cần thiết của nó để đem vào những tọa độ hay đo lường hay bất kỳ số lượng nào. Số đếm ℵ₀ là giới hạn (theo thứ bậc của độ lớn) của những số đếm 1, 2, 3, … n, …, mặc dù hiệu số giữa ℵ₀ và một số đếm hữu hạn là hằng số và vô hạn: từ một quan điểm số lượng , những số hữu hạn tiến không tiến gần đến ℵ₀ khi chúng tăng lớn hơn. Những gì làm ℵ₀ là giới hạn của những số hữu hạn là sự kiện rằng, trong chuỗi, nó đến trực tiếp ngay sau chúng, vốn đó là một sự kiện thứ bậc, không là một sự kiện số lượng.

Russell - Đưa vào Triết học Toán học (03)

Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell 

 (←...tiếp theo)

 

 

CHƯƠNG VII:

Những số Hữu tỉ, số Thực và số Phức

 

Bây giờ chúng ta đã thấy cách định nghĩa những số thứ tự, và cũng cả những số-quan hệ, trong đó những gì thường được gọi là những số thứ tự là một loài đặc biệt [1]. Sẽ thấy rằng mỗi loại này của số có thể là vô hạn cũng như hữu hạn. Nhưng cả hai, trong điều kiện hiện tại của chúng, đều không có khả năng của những mở rộng quen thuộc hơn của ý tưởng về số, đó là muốn nói, những mở rộng đến những số âm, phân số, số vô tỉ và số phức. Trong chương này, chúng ta sẽ vắn tắt cung cấp những định nghĩa lôgích của những mở rộng khác nhau này.

Russell - Đưa vào Triết học Toán học (02)

Introduction to Mathematical Philosophy

Đưa vào Triết học Toán học

 Bertrand Russell 

(←...tiếp theo)

 

 

CHƯƠNG IV:

Định Nghĩa Của Thứ Bậc

 

Bây giờ chúng ta đã thực hiện phân tích của chúng ta về chuỗi của những số tự nhiên đến điểm ở đó chúng ta đã có được những định nghĩa lôgích về những phần tử của chuỗi này, của lớp toàn bộ của những phần tử của nó và của sự liên quan của một số với số tiếp sau trực tiếp của nó. Bây giờ chúng ta phải xem xét đặc tính nối tiếp [1] của những số tự nhiên trong thứ bậc 0, 1, 2, 3, … Thông thường, chúng ta nghĩ về những số theo thứ bậc [2] này và đó là một phần thiết yếu của công việc phân tích dữ liệu của chúng ta để tìm một định nghĩa về “thứ bậc” hay “chuỗi” theo những thuật ngữ lôgích.[3]

Russell - Đưa vào Triết học Toán học

Introduction to Mathematical Philosophy

Đưa vào Triết học Toán học

 

BERTRAND RUSSELL 

 

 

 

 

Lời Giới thiệu từ áo bìa sách (1919)

 

Quyển sách này có ý định dành cho những ai là người không quen biết sẵn với những đề tài nó giải quyết, và không có nhiều kiến ​​thức về toán học hơn những gì có thể đã nhận được ở một trường tiểu học phổ thông hay ngay cả ở trường Eton. Nó mô tả trong hình thức cơ bản định nghĩa lôgích về số, phân tích khái niệm về thứ bậc, học thuyết hiện đại về vô hạn, và lý thuyết về những mô tả và những lớp như là những ký hiệu tưởng tượng. Những phương diện còn tranh luận và không chắc chắn hơn của đề tài đều tùy thuộc trên những sự việc đó, vốn bây giờ có thể được xem như kiến ​​thức đã nhận được từ khoa học. Những sự việc này được giải thích không dùng những ký hiệu, nhưng trong một cách thức để cho những người đọc một hiểu biết tổng quát về những phương pháp và những mục đích của lôgích toán học, vốn đã hy vọng nó sẽ không chỉ là quan tâm của những người mong tiến tới một nghiên cứu nghiêm chỉnh hơn về ngành học này, nhưng cũng với giới rộng hơn, gồm những người thấy có một ước muốn để biết những vòng bi quay của khoa học hiện đại quan trọng này.

Hume – Những Đàm Thoại Về Tôn Giáo Tự Nhiên (03)

 Những Đàm thoại về Tôn giáo Tự nhiên

Dialogues on Natural Religion

David Hume

(←...tiếp theo)

Phần II

Tóm lược

 

Bây giờ Demea chen vào câu chuyện và hỏi không biết có phải chỉ bản chất của Gót đang là đối tượng hoài nghi hay sự là-có của Gót là đối tượng hoài nghi? Những người bạn ông đoan chắc với ông đó là trường hợp thứ hai. Chà, ông nói tiếp, liên quan đến vấn đề thứ hai, để tuyên bố rằng chúng ta thực sự có thể hiểu được bản chất của Gót thì bất kính cũng gần như tuyên bố rằng hoàn toàn không có Gót gì cả. Gót, ông tuyên bố, vốn vượt quá mức hiểu biết của con người, và nhất thiết phải là bí ẩn với chúng ta.