Hành Trình Của
Một Câu Hỏi: Có Gì Hiện Hữu Và Hiện Hữu Là Gì?
(Từ Hy Lạp Cổ
Đại Đến Những Câu Hỏi Về Thực Tại Ngày Nay)
11. Russell: Phân Tích Lôgíc Và Vấn Đề Hiện
Hữu (tiếp)
11.3. Logicism: Địa Vị Bản Thể Học
Của Các Thực Thể Toán Học
Câu hỏi — Các số
và những thực thể toán học có phải là những đối tượng tồn tại độc lập, hay có
thể giải thích chúng bằng lôgích?
Russell không chỉ
đưa lôgích vào việc phân tích ngôn ngữ. Ông còn muốn dùng lôgích để giải quyết
một vấn đề nằm sâu hơn: nền tảng của toán học.
Khi chúng ta viết:
1 + 1 = 2
chúng ta thường
coi 1, 2, + và = là những khái niệm đã có sẵn. Toán học thông thường có thể bắt
đầu từ đó. Nhưng nếu hỏi về nền tảng của toán học, chúng ta phải đặt câu hỏi
trước đó:
“1 là gì?”
“2 là gì?”
“Một số có địa vị
như thế nào?”
“Những mệnh đề số học
dựa trên những nguyên lý nào?”
Đây là nơi
Logicism — Thuyết Lôgích Toán học của Russell xuất hiện.
Logicism là
chương trình nhằm thu giảm toán học về lôgích học: tìm cách cho thấy rằng những
khái niệm cơ bản của toán học có thể được định nghĩa bằng những khái niệm
lôgích, và những đúng-thật toán học có thể được suy diễn từ những đúng-thật
lôgích. Mục tiêu này đã được Russell trình bày rõ trong The Principles of
Mathematics (1903), rồi được ông cùng Alfred North Whitehead phát triển
thành một hệ thống đồ sộ trong Principia Mathematica (1910–1913). [1]
Cần hiểu đúng chữ
“thu giảm” ở đây. Russell không nói rằng toán học chỉ là một trò chơi ký hiệu,
càng không nói rằng các số chỉ là những ký hiệu do chúng ta đặt ra. Ông muốn
tìm một cách giải thích trong đó địa vị của các khái niệm toán học có thể được
xác định từ những khái niệm lôgích cơ bản hơn.
Nói cách khác,
thay vì đưa số vào hệ thống như những đối tượng nguyên thủy rồi xây dựng toán học
trên chúng, Logicism hỏi liệu chúng ta có thể xây dựng hoặc định nghĩa số từ những
nguyên lý đã có trong lôgích hay không.
Từ số học quen
thuộc đến câu hỏi về nền tảng
Hãy lấy số 2 làm
ví dụ.
Chúng ta có:
- hai quả táo;
- hai cuốn sách;
- hai người;
- hai cái ghế.
Những đối tượng này
hoàn toàn khác nhau. Quả táo không giống cuốn sách; cuốn sách không giống con
người. Thế nhưng chúng ta đều nói rằng mỗi nhóm có hai thành viên.
Vậy “hai” nằm ở đâu?
Không có một vật thể
tên là 2 nằm bên cạnh hai quả táo. Cũng không có một vật thể trừu tượng nào cần
phải xuất hiện bên cạnh hai cuốn sách để làm cho chúng trở thành “hai”.
Điểm chung nằm ở cấu
trúc của các lớp.
Nếu có hai quả táo:
quả táo A, quả táo B
và hai cuốn
sách:
cuốn sách A, cuốn sách B,
chúng ta có
thể thiết lập một tương ứng một-một:
quả táo A ↔ cuốn sách A
quả táo B ↔ cuốn sách B.
Không cần biết những
đối tượng ấy có tính chất vật lý gì, chỉ cần có thể ghép từng thành viên của lớp
thứ nhất với đúng một thành viên của lớp thứ hai và ngược lại, chúng ta biết
hai lớp có cùng lực lượng.
Đây là cơ sở để
Russell phân tích khái niệm số.
Trong The
Principles of Mathematics, ông viết:
“Mathematically, a
number is nothing but a class of similar classes.”
Có thể dịch theo hệ
thuật ngữ đang sử dụng:
“Về mặt toán học, một
số chẳng qua là một lớp của những lớp tương tự nhau.”
Ở đây “tương tự” không
có nghĩa là giống nhau về hình dạng, màu sắc hay bất kỳ tính chất vật lý nào.
“Tương tự” có nghĩa lôgích: hai lớp tương tự nhau khi có thể thiết lập một
tương ứng một-một giữa các thành viên của chúng.
Vì vậy, lớp gồm hai quả
táo và lớp gồm hai cuốn sách có thể thuộc cùng một lớp rộng hơn, bởi cả hai đều
có cùng lực lượng.
Theo cách này, số 2
không cần được xem như một vật thể trừu tượng tồn tại độc lập với mọi lớp cụ thể.
Nó có thể được xác định thông qua quan hệ lôgích giữa những lớp có cùng lực lượng.
Đây là điểm cốt lõi của
Logicism.
Russell muốn thay đổi
câu hỏi từ:
“Số 2 tồn tại ở đâu?”
sang:
“Số 2 có thể được định nghĩa như thế nào bằng những quan hệ và khái niệm
lôgích?”
Sự thay đổi này rất
quan trọng. Nếu một khái niệm toán học có thể được định nghĩa bằng những khái
niệm lôgích cơ bản hơn, thì chúng ta không cần đưa khái niệm ấy vào nền tảng của
toán học như một thực thể nguyên thủy chưa được giải thích.
Vì sao phải xây dựng cả
một hệ thống?
Một người đọc không
chuyên có thể hỏi: nếu ý tưởng về số 2 đơn giản như vậy, tại sao Principia
Mathematica lại cần đến ba tập sách và hàng nghìn trang?
Bởi Russell và
Whitehead không muốn giải thích riêng số 2. Họ muốn xây dựng một nền tảng
lôgích cho toán học.
Muốn làm được như vậy,
họ phải đi từ những nguyên lý rất cơ bản của lôgích, rồi từng bước xây dựng những
khái niệm cần thiết cho toán học. Không thể đơn giản nói:
“Số 2 là lớp của những
lớp có hai thành viên”
rồi coi toàn bộ vấn đề
đã được giải quyết. Chính những từ như “lớp”, “thành viên”, “có cùng lực lượng”,
“tương ứng”, cũng phải được xác định trong một hệ thống có những quy tắc rõ
ràng.
Vì thế, Principia
Mathematica phải xây dựng một ngôn ngữ hình thức và một hệ thống suy diễn
trong đó các mệnh đề có thể được chứng minh theo những quy tắc xác định.
Có thể hình dung
Logicism như một quá trình đi ngược từ toán học quen thuộc về nền tảng của nó:
toán học → số học → số → lớp và quan hệ → lôgích
rồi từ nền tảng ấy xây
dựng trở lại:
lôgích → định nghĩa → số → số học → toán học.
Đây không phải là hai
ngành riêng biệt được đặt cạnh nhau. Đó là một chương trình xây dựng nền tảng:
Russell muốn chứng minh rằng những gì chúng ta gọi là toán học có thể được phát
triển từ một nền tảng lôgích đủ chặt chẽ.
Vì sao Nghịch lý
Russell trở thành một vấn đề?
Chính tại đây xuất hiện
một khó khăn rất lớn. [2]
Nếu chúng ta nói
về những lớp, chúng ta phải quy định rất chặt chẽ những lớp nào được phép hình
thành.
Nếu không, có thể
xuất hiện những lớp dẫn đến mâu thuẫn.
Nghịch lý Russell
có thể được diễn đạt bằng một câu hỏi đơn giản:
Có một lớp gồm tất
cả những lớp không là thành viên của chính chúng. Lớp ấy có là thành viên của
chính nó không?
Nếu trả lời có,
thì nó không thể là thành viên của chính nó, bởi nó được định nghĩa là lớp của
những lớp không là thành viên của chính chúng.
Nếu trả lời
không, thì nó lại thỏa mãn điều kiện để thuộc vào lớp ấy, bởi nó là một lớp
không là thành viên của chính nó.
Cả hai câu trả lời
đều dẫn đến mâu thuẫn.
Đối với Logicism,
đây không phải một vấn đề bên lề. Nếu Russell muốn xây dựng toán học từ lôgích,
thì chính hệ thống nền tảng ấy phải tránh được những mâu thuẫn như vậy.
Vì thế, Principia
Mathematica phải đưa ra những giới hạn nghiêm ngặt về cách hình thành các
biểu thức và các lớp. Từ đây có thuyết về những loại (Theory of Types),
trong đó những đối tượng, những lớp và những cấu trúc lôgích được phân biệt
theo những loại và cấp độ khác nhau.
Người đọc không cần
nắm toàn bộ kỹ thuật của thuyết này để hiểu Logicism. Điểm cần nhớ là:
Không phải mọi biểu
thức đều có thể được hình thành theo mọi cách; những quy tắc của hệ thống phải
ngăn một cấu trúc quay trở lại và chứa chính cấu trúc đã được dùng để xác định
nó.
Do đó, Principia
Mathematica không chỉ tìm cách thu giảm toán học về lôgích học. Công trình
còn phải xây dựng một cấu trúc lôgích đủ chặt chẽ để chương trình thu giảm ấy
không tự dẫn đến mâu thuẫn.
Từ “1 + 1 = 2”
Đến Toàn Bộ Toán Học
Một cách tốt để
hiểu tham vọng của Principia Mathematica là nhìn vào mệnh đề quen thuộc:
1 + 1 = 2.
Đối với người học
toán, đây là một mệnh đề quá đơn giản để cần giải thích. Nhưng đối với Russell
và Whitehead, nếu mục tiêu là xây dựng nền tảng cho toán học, thì chính những
khái niệm làm nên mệnh đề ấy phải được giải thích.
“1” là gì?
“2” là gì?
“+” là gì?
“=” biểu thị quan hệ nào?
Những quy tắc nào cho phép suy ra mệnh đề này?
Vì vậy, việc Principia
Mathematica chỉ đi đến một mệnh đề tương đương với 1 + 1 = 2 sau một chuỗi
xây dựng rất dài không phải là một sự kỳ quặc. Nó cho thấy chính xác mục tiêu của
công trình: không coi những khái niệm sơ cấp của toán học là những điểm xuất
phát không cần giải thích, mà tìm cách truy chúng về những nguyên lý cơ bản
hơn.
Đối với toán học
thông thường, 1 + 1 = 2 là điểm xuất phát gần như hiển nhiên.
Đối với chương
trình của Russell và Whitehead, nó là một kết quả phải được xây dựng trong hệ
thống.
Sự khác biệt ấy
cho thấy Logicism không chỉ quan tâm đến việc chứng minh một mệnh đề đúng. Nó
quan tâm đến cơ sở làm cho mệnh đề ấy có thể được phát biểu, định nghĩa và chứng
minh.
Ý nghĩa bản thể học
của Logicism
Đến đây mới thấy
rõ tại sao Logicism có vị trí trong bản thể học.
Nếu chúng ta coi
số 2 là một đối tượng tồn tại độc lập, chúng ta phải đưa số vào danh mục những
gì thuyết của mình thừa nhận là tồn tại.
Nhưng nếu có thể
xác định số 2 bằng một cấu trúc lôgích, thì tình hình thay đổi. Chúng ta không
còn phải bắt đầu bằng một đối tượng nguyên thủy gọi là “2”. Ta có thể giải
thích địa vị của số thông qua những quan hệ và cấu trúc mà hệ thống lôgích đã
xác định.
Vì vậy, Logicism
không đơn giản nói:
“Các số không tồn tại.”
Luận điểm tinh tế
hơn:
“Không nhất thiết phải xem các số như những thực thể nguyên thủy mà nền tảng
toán học phải giả định ngay từ đầu.”
Đây là một khác
biệt quan trọng.
Russell không phủ
nhận rằng chúng ta có thể nói về số, chứng minh các mệnh đề về số và sử dụng số
trong toán học. Ông muốn biết chúng ta cần giả định gì để làm được tất cả những
việc ấy.
Nếu có thể xây dựng
số từ những khái niệm lôgích cơ bản hơn, thì một phần gánh nặng bản thể học của
toán học được giảm xuống.
Theo nghĩa này,
Logicism đưa ra một nguyên tắc có ý nghĩa rộng đối với triết học:
Trước khi thừa nhận
một loại thực thể mới, hãy xem liệu địa vị của nó có thể được giải thích bằng
những cấu trúc cơ bản hơn hay không.
Đây chính là lý
do Principia Mathematica quan trọng đối với dự án triết học của Russell.
Công trình không chỉ tìm cách đặt toán học trên một nền tảng lôgích chặt chẽ;
nó còn cho thấy phân tích lôgích có thể làm thay đổi cách chúng ta xác định những
gì một thuyết phải thừa nhận là tồn tại.
Tuy nhiên, không
nên diễn đạt kết quả của Logicism bằng công thức đơn giản “toán học = lôgích”. Principia
Mathematica là một chương trình phức tạp, phải sử dụng một hệ thống lôgích
rất tinh vi và phải đối mặt với những vấn đề liên quan đến các nguyên lý cần
thiết cho việc xây dựng toán học. Đặc biệt, tiên đề vô hạn và tiên đề khả quy
trở thành những điểm khó khăn đối với tham vọng thu giảm toán học về lôgích học
theo nghĩa hoàn toàn thuần túy.
Do đó, điều quan
trọng cần giữ lại không phải là khẩu hiệu “toán học chỉ là lôgích”, mà là tham
vọng của Russell và Whitehead: tìm một nền tảng trong đó những khái niệm và
đúng-thật toán học có thể được giải thích và suy diễn từ những nguyên lý lôgích
cơ bản, qua đó giảm nhu cầu phải giả định những thực thể toán học như những
thành phần nguyên thủy của nền tảng toán học.
Ở đây, câu hỏi về
địa vị bản thể học của số gặp trực tiếp câu hỏi về nền tảng của toán học. Và
chính tại điểm gặp ấy, Logicism trở thành một phần quan trọng trong bản thể học
của Russell.
Lê Dọn Bàn tổng
hợp – bản nháp thứ nhất
(Aug/2026)
(Còn tiếp. . .
→)
http://chuyendaudau.
blogspot. com/
http://chuyendaudau.
wordpress. com
[1] Logicism — Thuyết Lôgích Toán học và Principia
Mathematica
Chính lựa chọn thứ
hai — tìm cách giải thích những khái niệm toán học bằng những khái niệm lôgích
thay vì mặc nhiên giả định một lĩnh vực riêng gồm những thực thể toán học — nằm
ở trung tâm của Logicism, hay Thuyết Lôgích Toán học của Russell.
Để hiểu chương
trình này, trước hết cần thấy rằng Russell không đặt câu hỏi về toán học chỉ
theo nghĩa thông thường: “Những mệnh đề toán học có đúng hay không?” Ông đặt một
câu hỏi nền tảng hơn:
“Những đúng-thật
toán học dựa trên đâu?”
Chẳng hạn, khi
chúng ta nói:
1 + 1 = 2
chúng ta thường dùng
những khái niệm 1, 2, + mà không đặt câu hỏi chúng từ đâu mà có. Trong toán học
thông thường, chúng có thể được dùng như những khái niệm cơ bản. Nhưng đối với
Russell, một triết gia đang tìm nền tảng cho toán học, đây chưa phải điểm kết
thúc. Ông muốn hỏi: những khái niệm ấy có thể được phân tích và định nghĩa từ
những khái niệm nào đơn giản hơn? Những đúng-thật toán học có thể được suy diễn
từ những nguyên lý nào?
Từ đây xuất hiện
chương trình thu giảm toán học về lôgích học.
Theo Logicism, những
khái niệm toán học có thể được định nghĩa bằng những khái niệm lôgích, còn những
đúng-thật toán học có thể được suy diễn từ những đúng-thật lôgích. Nếu chương
trình này thành công, toán học không cần bắt đầu bằng việc giả định sẵn một thế
giới gồm những số và những thực thể toán học khác. Thay vào đó, có thể xây dựng
những khái niệm toán học từ những nguyên lý lôgích cơ bản hơn.
Russell đã theo
đuổi chương trình này trước khi Principia Mathematica ra đời. Trong The
Principles of Mathematics (1903), ông đã đặt mục tiêu xây dựng toán học từ
một số rất nhỏ những khái niệm và nguyên lý cơ bản. Đến Principia
Mathematica, ông cùng Alfred North Whitehead tìm cách thực hiện chương
trình ấy bằng một hệ thống lôgích hình thức có quy mô rất lớn.
Principia
Mathematica được Russell
và Whitehead xuất bản trong ba tập, từ 1910 đến 1913. Đây là một trong những công trình lớn nhất của
lôgích học đầu thế kỷ XX.
Tên sách có
thể hiểu là “Những nguyên lý của toán học”. Nhưng người đọc không nên hình dung
đây là một cuốn sách trình bày toán học theo cách thông thường. Russell và
Whitehead không bắt đầu bằng những phép tính quen thuộc rồi giải thích cách thực
hiện chúng. Họ đi theo hướng ngược lại: xây dựng những nền tảng lôgích mà từ đó
những khái niệm và mệnh đề toán học có thể được phát triển.
Nói đơn giản,
toán học thông thường có thể bắt đầu bằng:
1, 2, 3, 4...
rồi dùng những
số ấy để xây dựng những phép tính ngày càng phức tạp.
Russell và Whitehead
muốn hỏi:
“Trước khi có 1, 2, 3..., chúng ta phải có những gì?”
Vì vậy, họ phải làm rõ
trước những khái niệm và nguyên tắc của lôgích, sau đó xây dựng những khái niệm
toán học từ nền tảng ấy.
Đây là lý do Principia
Mathematica có hình thức rất khác với sách toán mà chúng ta thường đọc. Người
đọc phải đi qua một hệ thống ký hiệu, định nghĩa, nguyên tắc và chứng minh rất
dài trước khi gặp những kết quả mà toán học phổ thông xem là hiển nhiên.
Một ví dụ nổi tiếng là
mệnh đề:
1 + 1 = 2
chỉ xuất hiện sau một
chuỗi xây dựng rất dài. Điều này không có nghĩa Russell và Whitehead phải mất
nhiều trang để chứng minh một phép cộng đơn giản. Vấn đề là họ muốn xây dựng những
khái niệm làm cho chính mệnh đề ấy trở thành một mệnh đề có thể được phát biểu
và chứng minh trong hệ thống.
Nói cách khác, họ
không chỉ hỏi:
“1 + 1 bằng bao
nhiêu?”
mà hỏi:
“‘1’, ‘2’, ‘+’ và ‘=’
có thể được xác định như thế nào, và từ những nguyên lý nào có thể chứng minh rằng
1 + 1 = 2?”
Đó chính là tinh thần
nền tảng của Logicism.
Số là gì?
Vấn đề về số cho thấy
rõ nhất tham vọng của Russell.
Nếu nói rằng 2 tồn tại,
chúng ta phải giải thích “2” là gì. Nó không phải một vật thể cụ thể như một
cái bàn hay một quả táo. Nhưng nó cũng không phải một âm thanh hay một ký hiệu
đơn thuần. Ký hiệu “2” chỉ là cách chúng ta biểu thị số 2.
Vậy số 2 có địa vị
nào?
Russell tìm cách trả lời
câu hỏi ấy bằng cách phân tích lực lượng của những lớp.
Hãy xét hai lớp:
{quả táo A, quả táo B}
và:
{cuốn sách A, cuốn sách B}.
Các quả táo và những cuốn sách hoàn toàn khác nhau. Nhưng có thể thiết lập
một tương ứng một-một:
Không có thành viên
nào của lớp thứ nhất bị bỏ lại và không có thành viên nào của lớp thứ hai được
ghép với hai thành viên khác nhau. Hai lớp vì thế có cùng lực lượng.
Russell dùng cấu trúc
này để giải thích số. Trong The Principles of Mathematics, ông viết:
“Mathematically, a
number is nothing but a class of similar classes.”
Có thể dịch:
“Về mặt toán học, một
số chẳng qua là một lớp của những lớp tương tự nhau.”
“Lớp” ở đây không nên
hiểu như một vật thể. Một lớp là một tập hợp những đối tượng được xem xét cùng
nhau theo một điều kiện xác định. Hai lớp được gọi là tương tự khi có thể thiết
lập một tương ứng một-một giữa những thành viên của chúng.
Do đó, lớp gồm hai quả
táo và lớp gồm hai cuốn sách cùng thuộc về một lớp rộng hơn: lớp của tất cả những
lớp có cùng lực lượng với chúng.
Theo cách ấy, số 2
không cần được hình dung như một vật thể trừu tượng nằm ở đâu đó bên ngoài những
lớp cụ thể. Số được xác định thông qua một cấu trúc lôgích.
Đây là điểm quan trọng
nhất cần giữ lại đối với người đọc không chuyên:
Russell không giải
thích số bằng cách hỏi “số tồn tại ở đâu?”, mà bằng cách phân tích cấu trúc
lôgích qua đó khái niệm số được xác định.
Tại sao phải có một hệ
thống lôgích phức tạp đến vậy?
Nếu chỉ định nghĩa số
2 theo cách trên, vấn đề có vẻ khá đơn giản. Nhưng khi Russell cố gắng xây dựng
toàn bộ toán học từ lôgích, những khó khăn nghiêm trọng xuất hiện.
Một trong những khó
khăn lớn nhất liên quan đến những lớp.
Nếu chúng ta cho phép
tạo ra một lớp bất kỳ nào cũng được, chúng ta có thể hình thành những lớp dẫn đến
nghịch lý. Chính Russell đã phát hiện một nghịch lý nổi tiếng liên quan đến việc
một lớp có thể hay không thể là thành viên của chính nó.
Có thể diễn đạt rất
đơn giản như sau.
Hãy xét:
lớp của tất cả những lớp
không phải là thành viên của chính chúng.
Bây giờ hỏi:
Lớp này có phải là
thành viên của chính nó không?
Nếu nó là thành viên của
chính nó, thì theo điều kiện dùng để xác định lớp, nó không được là thành viên
của chính nó.
Nhưng nếu nó không phải
là thành viên của chính nó, thì nó lại thỏa mãn điều kiện để thuộc về lớp ấy;
do đó nó phải là thành viên của chính nó.
Cả hai khả năng đều dẫn
đến mâu thuẫn.
Đây là Nghịch lý
Russell.
Nghịch lý này có
ý nghĩa đặc biệt đối với Logicism vì Russell và Whitehead không thể chỉ bỏ qua
nó. Nếu mục tiêu là xây dựng một nền tảng lôgích cho toán học, thì hệ thống nền
tảng ấy phải tránh những mâu thuẫn như vậy.
Từ đây xuất hiện thuyết
về những loại (Theory of Types).
Ý tưởng cơ bản là
không phải mọi biểu thức đều được phép đứng ở cùng một cấp độ và không phải mọi
lớp đều có thể được hình thành theo cùng một cách. Phải có sự phân biệt giữa những
loại khác nhau để ngăn những vòng quay lôgích dẫn đến nghịch lý.
Có thể hình dung
rất sơ lược:
- đối tượng thuộc một loại;
- những lớp gồm những đối tượng ấy thuộc
một loại cao hơn;
- những lớp của những lớp ấy lại thuộc
một loại khác;
- không thể tùy tiện để một cấu trúc
quay trở lại và chứa chính cấu trúc đã được dùng để xác định nó.
Đây chỉ là hình
dung sơ bộ. Thuyết về những loại trong Principia Mathematica phức tạp
hơn nhiều, nhưng đối với mục đích hiện tại, điểm cần hiểu là: Russell phải đặt
ra những giới hạn về cách hình thành những lớp và những mệnh đề để bảo đảm hệ
thống không tự dẫn đến mâu thuẫn.
Từ Logicism đến nền
tảng của toán học
Như vậy, Principia
Mathematica không chỉ nhằm chứng minh rằng một số mệnh đề toán học là đúng.
Russell và Whitehead muốn trả lời một câu hỏi sâu hơn:
Toán học có thể
được xây dựng trên một nền tảng lôgích chặt chẽ đến mức nào?
Để thực hiện mục
tiêu ấy, họ phải giải quyết đồng thời nhiều vấn đề: định nghĩa số, xác định những
quan hệ cơ bản giữa những lớp, xây dựng những phép toán lôgích, kiểm soát cách
hình thành những lớp và tránh những nghịch lý phát sinh từ tự quy chiếu.
Vì thế, Principia
Mathematica là một công trình có quy mô đặc biệt lớn. Nó không phải một bài
chứng minh duy nhất mà là một hệ thống nền tảng, trong đó Russell và Whitehead
cố gắng xây dựng những phần quan trọng của toán học từ những nguyên lý lôgích.
Tuy nhiên, cần
tránh một cách nói quá đơn giản rằng Principia Mathematica đã chứng minh
rằng “toán học chỉ là lôgích” mà không có thêm điều kiện nào. Chương trình thực
tế phức tạp hơn. Hệ thống của Russell và Whitehead cần đến những nguyên lý và
giả định mà địa vị của chúng trong một chương trình hoàn toàn thuần lôgích đã
trở thành vấn đề tranh luận. Đặc biệt, tiên đề vô hạn và tiên đề khả quy đặt ra
những khó khăn quan trọng cho tham vọng thu giảm toàn bộ toán học về lôgích học.
Vì vậy, nên hiểu
Logicism như một chương trình triết học về nền tảng của toán học, chứ không phải
như một khẩu hiệu rằng mọi toán học đều hiển nhiên đồng nhất với lôgích.
Điểm quan trọng đối
với bản thể học nằm ở sự thay đổi trong cách đặt câu hỏi.
Thay vì bắt đầu bằng:
“Có những số nào
tồn tại?”
Russell muốn
chúng ta hỏi:
“Những khái niệm
toán học có thể được định nghĩa từ những khái niệm nào cơ bản hơn?”
Và thay vì mặc
nhiên xem số 2 như một thực thể nguyên thủy, ông tìm cách xác định nó bằng một
cấu trúc lôgích — lớp của những lớp tương tự nhau.
Theo nghĩa ấy,
Logicism làm thay đổi gánh nặng bản thể học của toán học. Một thực thể không nhất
thiết phải được đưa vào nền tảng như một thực thể nguyên thủy chỉ vì ngôn ngữ
toán học nói về nó. Trước hết, phải xem xét liệu địa vị của nó có thể được giải
thích bằng những cấu trúc lôgích cơ bản hơn hay không.
Đó là đóng góp
quan trọng của Principia Mathematica đối với câu hỏi bản thể học mà
Russell đang theo đuổi: phân tích lôgích không chỉ giúp chúng ta chứng minh những
mệnh đề toán học; nó còn cho phép chúng ta xem xét kỹ hơn những gì toán học thực
sự cần phải thừa nhận là tồn tại.
[2] NGHICH LÝ RUSELL (RUSSELL’S PARADOX)
I.
Phát biểu
chính thức:
Nghịch lý Russell
cho thấy rằng không thể tùy ý coi mọi điều kiện mô tả được là xác định một tập hợp. Nó tạo ra mâu thuẫn trong thuyết tập hợp “ngây thơ” (naive set
theory).
Dạng chuẩn
Xét tập hợp:
Tức
Bây giờ hỏi:
- Nếu
- Nếu
Do đó:
Đây là mâu thuẫn: một
mệnh đề không thể đồng thời đúng và sai theo cùng một nghĩa.
II
Phát biểu theo
thuyết tập hợp ngây thơ:
Trong ngôn ngữ của
thuyết tập hợp ngây thơ, nghịch lý Russell được phát biểu bằng cách xét “tập hợp
của mọi tập hợp không phải là phần tử của chính mình”:
Ở đây,
Suy diễn mâu thuẫn
Theo định nghĩa của
Thế riêng
Giờ xét hai khả
năng:
- Nếu
- Nếu
Vậy cả hai giả định
đều dẫn đến mệnh đề đối lập:
Do đó, nếu chấp nhận rằng
Đó là phát biểu tập hợp
luận cổ điển của nghịch lý Russell.
Tiền đề ẩn: nguyên lý tạo tập vô hạn chế
Bước then chốt không phải là suy luận sau khi đã có
Nghĩa là: với bất kỳ
điều kiện hay vị từ
Chọn
ta được ngay:
và mâu thuẫn xuất
hiện khi cho
Ý nghĩa
Nghịch lý không chứng minh rằng quan hệ thuộc
Trong những hệ
tiên đề hiện đại như ZF/ZFC, không được phép tạo
Vì không có một
“tập hợp của mọi tập hợp”
III
Thí dụ giải thích
quen thuộc:
Ví dụ dễ hiểu nhất
là nghịch lý người thợ cạo; nó mô phỏng đúng cấu trúc logic của
nghịch lý Russell, dù không phải là một tình huống đời thực có thể tồn tại. Một
phiên bản gần với công việc thư viện và văn bản hơn là “mục lục của những mục lục.
1. Người thợ cạo
Giả sử tại một ngôi làng có một người thợ cạo với quy tắc:
Ông cạo râu cho tất cả và chỉ những người đàn ông không tự cạo râu.
Hỏi: ông thợ cạo có tự cạo
râu không?
- Nếu ông tự cạo,
ông không thuộc nhóm “những người không tự cạo”; vậy theo quy tắc, ông
không được cạo cho chính mình.
- Nếu ông không tự cạo, ông thuộc đúng
nhóm những người không tự cạo; vậy theo quy tắc, ông phải cạo cho chính
mình.
Cả hai giải đáp đều
tự phủ định. Kết luận đúng không phải là “ông vừa cạo vừa không cạo”, mà là: không thể có một người thợ cạo thỏa đúng quy
tắc đã đặt ra.
Tương ứng với Russell:
|
Người thợ cạo |
Nghịch lý Russell |
|
Người đàn ông |
Tập hợp |
|
“Tự cạo râu” |
“Thuộc chính mình” |
|
Thợ cạo cạo những người không tự cạo |
|
|
Hỏi thợ cạo có cạo chính mình không |
Hỏi |
2. Mục
lục những mục lục
Hình dung một thư viện có nhiều mục lục; mỗi mục lục cũng là một cuốn sách
trong thư viện.
- Có mục lục tự ghi chính tên nó. Chẳng hạn, “Mục lục tất cả sách
trong thư viện” sẽ phải liệt kê cả chính nó.
- Có mục lục không ghi tên nó. Ví dụ, “Mục lục những tác phẩm của
Shakespeare” thường không phải chính nó là một tác phẩm của Shakespeare.
Bây giờ thủ thư lập cuốn
“Mục lục của tất cả
và chỉ những mục lục không ghi chính
chúng.”
Hỏi: cuốn
- Nếu
- Nếu
Vậy cuốn mục lục
Ý nghĩa
Nghịch lý không nói rằng mọi tập hợp đều “vô lý”; nó chỉ bác bỏ nguyên tắc vô hạn
chế: bất kỳ tính chất nào cũng tạo thành một tập hợp. những nền tảng
hiện đại của thuyết tập hợp, như ZF/ZFC, tránh nghịch lý bằng cách chỉ cho phép
lập tập theo những quy tắc bị giới hạn; chẳng hạn, không có “tập của mọi tập hợp
không thuộc chính nó” như
III.
Russell không để
lại một câu cảm thán nổi tiếng kiểu “tôi đã phát hiện nghịch lý này!”, nhưng
cách ông trình bày cho thấy ông xem đó là một khó khăn căn bản, đe dọa
cả dự án quy toán học về logic mà chính ông đang theo đuổi. Khoảng năm 1901 ông
nhận ra mâu thuẫn; đến ngày 16 tháng 6 năm 1902, ông viết thư báo cho Gottlob
Frege—người mà ông hết sức ngưỡng mộ—rằng hệ thống của Frege cũng chịu đúng vấn
đề ấy.plato.stanford+1
Lời Russell gửi Frege
Sau khi bày tỏ sự kính trọng đối với công trình của Frege, Russell viết rất dè dặt,
gần như “nhẹ nhàng báo tin dữ”:
“Chỉ có một điểm ở
đó tôi gặp một khó khăn.”
Ông đặt
“Trong một số
hoàn cảnh, một tập hợp có thể định nghĩa được không tạo thành một toàn thể.”
Nói ngắn gọn:
không phải cứ nêu được một điều kiện rõ ràng là ta có quyền gom mọi đối tượng
thỏa điều kiện ấy thành một lớp/tập hợp thực hữu như một “toàn thể”.plato.stanford+1
Điều Russell thực sự lo ngại
Phản ứng của Russell không chỉ là thích thú trước một trò nghịch biện. Nghịch lý
đánh thẳng vào nền móng của logicism: chương trình chứng minh rằng toán học, đặc
biệt số học, có thể được kiến tạo hoàn toàn từ những nguyên lý logic.
- Nó làm lung lay việc dùng tự do những
“lớp” hay “tập hợp” trong suy luận logic.
- Nó cũng đe dọa chính công trình
Russell đang hoàn thành, The Principles of Mathematics (1903), chứ
không riêng hệ thống Frege.plato.stanford+1
- Vì thế, Russell về sau tìm cách sửa
chữa nền tảng bằng thuyết kiểu (thuyết về những loại)): không phải đối tượng nào cũng
được phép thuộc về, hay được nói về, chính nó; những đối tượng, lớp của đối
tượng, lớp của lớp… phải được phân tầng. Đây là một trong những động cơ dẫn
đến Principia Mathematica cùng Alfred North Whitehead.
Một tương phản nổi tiếng
Điều thường được trích dẫn nhiều hơn lại là phản ứng của Frege. Khi nhận thư
Russell đúng lúc tập II của Grundgesetze der Arithmetik sắp in, Frege thừa
nhận phát hiện ấy đã làm “rung chuyển nền đất” mà ông định xây dựng số học trên
đó; ông tóm lược tình thế bằng câu: “Số
học đang lung lay” (Die Arithmetik ist ins Schwanken geraten).muse.jhu+1
Russell nhiều thập
niên sau đặc biệt ca ngợi Frege vì thái độ trí thức ấy: khi nền tảng của công
trình đời mình bị chỉ ra là có sai sót, Frege vẫn tiếp nhận lập luận một cách
ngay thẳng, nghiêm cẩn và đặt chân lý lên trên việc bảo vệ hệ thống của mình.
[Xem thêm trong -
Russell – Đưa vào Triết học Toán học- bản dịch của tôi trên blog này:
https://chuyendaudau.blogspot.com/2021/08/russell-gioi-thieu-triet-hoc-toan-hoc.html ]
