Russell – Đưa vào Triết học Toán học (06)

 Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell  

 (←...tiếp theo)

CHƯƠNG XVI:

Những Mô Tả                          

 

Chúng ta đã giải quyết trong chương trước với những từ tất cả và một số; trong chương này, chúng ta sẽ xem xét từ ‘the’ (cái/con/người) trong số ít, và trong chương tiếp, chúng ta sẽ xem xét từ ‘the’ trong số nhiều. Có thể đã nghĩ dành hai chương sách cho một từ thì quá đáng, nhưng với nhà toán học triết học, nó là một từ có sự quan trọng rất lớn: giống như nhà Ngữ pháp của Browning với tiền tố phát âm ‘δε’ [1], tôi sẽ đem cho học thuyết của từ này, ngay cả nếu như tôi đã “chết nửa người, từ thắt lưng trở xuống” [2] và không chỉ đơn thuần trong một nhà tù. [3]

Russell – Đưa vào Triết học Toán học (05)

Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell 

(←...tiếp theo)

 

CHƯƠNG XIII:

 

Tiên Đề của Vô Hạn và những Loại Lôgích

 

Tiên đề của vô hạn là một giả định vốn có thể được nói ra như sau: −

“Nếu n là bất kỳ số đếm quy nạp nào, thì có ít nhất một lớp của những cá thể [1] có n những số hạng”.

Russell – Đưa vào Triết học Toán học (04)

  

 Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell 

 (←...tiếp theo)

 

CHƯƠNG X

Những Giới Hạn Và Tính Liên Tục

 

Khái niệm của một “giới hạn” là một khái niệm vốn sự quan trọng của nó trong toán học đã liên tục được thấy lớn hơn đã được nghĩ. Thực vậy, toàn bộ của calculus vi phân và tích phân, về thực hành, tất cả mọi sự vật việc trong toán học cao cấp tùy thuộc trên những giới hạn. Trước đây, đã giả định rằng những cực nhỏ [1] đã liên quan trong những nền tảng của những môn học này, nhưng Weierstrass [2] đã cho thấy rằng đây là một sai lầm: bất cứ nơi nào đã nghĩ những cực nhỏ đã xảy ra, những gì thực sự xảy ra là một set của những số lượng hữu hạn có zero làm giới hạn dưới của chúng. Đã thường nghĩ rằng “giới hạn” là một ý niệm thiết yếu định lượng, đó là nói rằng ý niệm của một số lượng vốn những số lượng khác tiến đến với nó dần càng gần hơn, như thế khiến cho giữa những số lượng khác đó sẽ có một vài khác biệt ít hơn nào đó so với bất kỳ số lượng đã chỉ định nào. Nhưng thực ra, ý niệm “giới hạn” là một ý niệm thuần túy về thứ bậc, không liên quan gì cả với số lượng (ngoại trừ do tình cờ khi chuỗi trong xem xét xảy ra là số lượng). Một điểm đem cho trên một đoạn thẳng có thể là giới hạn của một set của những điểm trên đoạn thẳng, với không là cần thiết để đem vào trong những tọa độ hay đo lường hay bất kỳ định lượng nào của nó. Số đếm ℵ₀ là giới hạn (theo thứ bậc của độ lớn) của những số đếm 1, 2, 3, … n, …, mặc dù hiệu số giữa ℵ₀ và một số đếm hữu hạn là hằng số và vô hạn: từ một quan điểm định lượng, những số hữu hạn không gần đến ℵ_{0 hơn} khi chúng tăng lớn hơn. Những gì làm ℵ₀ là giới hạn của những số hữu hạn là sự kiện rằng, trong chuỗi, nó đến trực tiếp ngay sau chúng, vốn là một sự kiện thứ bậc, không là một sự kiện định  lượng.