(Triết Học của Toán
Học)
Stewart
Shapiro
PHẦN II.
LỊCH SỬ
3
THUYẾT DUY
LÝ CỦA PLATO
VÀ ARISTOTLE
Hãy bắt đầu ở chính từ đầu. Một nơi rất
tốt để bắt đầu.
(The Sound of Music)
Là điều tự nhiên để bắt đầu bản vẽ phác lịch sử của chúng ta trong Greece thời cổ, vì đã đồng ý rộng rãi rằng cả toán học và triết học; như chúng ta biết chúng ngày nay, đều đã sinh ra ở đó. Rõ ràng; toán học trước Greece đã chủ yếu là gồm những kỹ thuật tính toán và những hệ thống số đếm, liên quan hoặc với tôn giáo hoặc với những vấn đề thực tiễn như việc chia đất. Cho dù sau đó là tốt hơn hay tệ đi, những nhà toán học Greece đã đưa trọng tâm chú ý vào sự chính xác và chứng minh chặt chẽ.
Theo truyền
thuyết, có lần người tiên tri của Apollo đã nói rằng một bệnh dịch sẽ chấm dứt nếu một điện thờ nhất định nào đó được tăng kích thước lên gấp đôi nhưng vẫn giữ nguyên hình dạng của nó. Nếu những công dân lo lắng đã tăng mỗi chiều của điện thờ lên một phần ba, kết
quả sẽ là một vật thể khoảng 2,37
lần kích thước ban
đầu của nó. Người ta đã nghĩ
rằng vị thần sẽ hài lòng với sự tăng thêm 37% này, nhưng truyền thuyết kể rằng bệnh dịch vẫn tiếp tục sau khi họ đã gấp đôi
mỗi cạnh của điện thờ,
tăng kích thước của nó lên gấp
tám.
Nếu những công dân tăng lên 26% những
cạnh ban đầu,
điện thờ sẽ gấp lên khoảng 2.0004 lần thể tích ban đầu.
Chắc chắn, điều đó sẽ làm vị thần
hài lòng. Sự khác biệt giữa gấp đôi (2.0000) và gấp 2.0004
của kích thước thì không thể tìm ra được bằng thử nghiệm;
ít nhất nếu từ con người. Tuy nhiên, những nhà toán học
Greece đã xem việc này như
một bài toán nhân của tăng chính xác lên gấp đôi (thể
tích) điện thờ. Họ không màng tới một giá trị gần đúng nào, cho dù nó có thể gần đúng đến đâu. Vấn đề ‘thực hành’ này của việc tránh tai họa được cho là đã dẫn đến bài toán hình học của nhân đôi hình lập phương: đem cho một đoạn thẳng và dùng chỉ compa và thước kẻ không khắc dấu, để tạo
một đoạn thẳng vốn hình lập phương của nó thì gấp đôi chính xác với hình ban đầu. Những nhà toán học muốn nó chính
xác và họ muốn nó được chứng minh. Hai bài toán tương tự là chia ba một góc, và tạo một đoạn thẳng vốn hình lập
phương của nó có
cùng diện tích như của một
hình tròn đã cho. Đã có sẵn những giá
trị gần đúng từ sự chọn lựa ngẫu
nhiên,
không được kể. Những bài toán này đã làm bận rôn những nhà toán học hàng trăm năm,
hơn 2.000 năm sau, lên đến cao điểm
phát triển nhất, với kết quả là không có những giải đáp –
những việc đều là không thể nào làm được.[1]
Structure of Scientific Revolutions
(1970) của Thomas Kuhn, một quyển sách có ảnh hưởng rất lớn, nói về những cách mạng và ‘sự thay đổi mô thức [2]
khiến việc tìm hiểu
những công trình khoa học trong quá khứ thành khó khăn. Theo Kuhn, để hiểu được công trình trước đây, chúng ta phải quên những gì đã học về khoa
học hiện tại của chúng ta, và
cố gắng đắm mình trong thế giới quan đã đảo ngược. Những cách mạng
chen vào lịch sử đã
mãi mãi thay đổi những khái niệm và dụng cụ của một thời, làm công trình trong
quá khứ trở nên không thể phán
đoán được
bằng cùng những tiêu chuẩn tương tự của chúng ta ngày nay. Toán học là gì? Nếu triết học và biên soạn lịch sử của khoa học của Kuhn áp dụng vào toán học,
thì những cách mạng và thay đổi mô thức còn
tinh vi hơn nhiều. Một nhà
toán học thời nay không phải thay đổi lại khái niệm gì cho nhiều (nếu có) để đọc và thán phục Elements của Euclid. Những kỹ thuật
lôgích thời nay đã tìm ra được một vài lỗ hổng trong lý luận, nhưng quan tâm của
Euclid xem giống như của
chúng ta, và những chứng minh và cấu trúc của ông cũng thế. Tuy có những khoảng trống lôgích, Elements là một khuôn mẫu của sự chặt chẽ toán học. Đã được tin tưởng rộng rài rằng Elements là
một tột đỉnh của một chương trình khảo cứu vốn đã đang tiến hành trong thời của Plato.[3]
Greece thời cổ cũng là sinh quán của triết
học thế tục phương Tây. Chúng ta thấy Socrates, Plato và Aristotle (cũng như một
số triết gia thời trước-Socrates)
phấn đấu chật vật với
nhiều những vấn đề vốn những
triết gia ngày nay cũng bận tâm, gồm một số vấn đề nghiên cứu trong quyển sách này. Plato đứng đầu
một truyền thống lâu đời trong triết học,
đôi khi gọi là thuyết duy lý,
hay thuyết Plato (hay ‘thuyết theo plato’, [4]
nếu người ta muốn có một một chút khoảng cách với vị thầy). Phần tiếp theo là một trình bày ngắn
gọn về triết học tổng quát của Plato, hay lý thuyết về Thể Dạng. Tiếp theo là
thảo luận về quan điểm của Plato về toán học – đặc biệt số học và hình học. Phần
tiếp theo đổi hướng, và nói về ảnh hưởng của toán học với sự phát triển
triết học của Plato. Phần cuối cùng của chương này là về Aristotle, học trò và
là người đối lập chính của Plato. Nó dùng như một chuyển tiếp sang việc nghiên cứu thuyết duy nghiệm sau này trong
quyển sách (thí dụ: ch. 4, §3; ch. 8, §2).
1. Thế Giới Của Hữu Thể
Động lực
cho Plato
là một khoảng cách giữa những ý tưởng chúng
ta có thể thai nghén trong tưởng tượng và thế giới vật lý quanh
chúng ta. Thí dụ, mặc dù chúng ta có những bức tranh tinh thần phải chăng về công lý, nhưng mọi sự vật việc
chúng ta thấy và nghe đều thấp kém hơn so với công lý toàn hảo. Chúng
ta có một cái nhìn tưởng tượng về cái đẹp nhưng chưa có gì là đẹp hoàn toàn. Không có gì là
hoàn toàn ngoan đạo, đức hạnh, vân vân. Mọi sự vật việc trong thế giới vật chất đều có những thiếu
sót. Tất nhiên, việc đặt câu hỏi theo kiểu Socrate chắc chắn sẽ mở ra cho thấy
rằng quan niệm của chúng ta về công bằng, cái đẹp và những sự vật việc tương tự
đều không rõ ràng như dạng ngoài của chúng đôi khi có vẻ là thế, nhưng điều này không làm giảm đi
giá trị của những
quan sát hiện tại liên quan đến những thiếu xót trong lĩnh vực vật lý. Chúng ta
có một số hiểu biết về những lý tưởng toàn hảo, nhưng chúng ta không bao
giờ tìm thấy chúng. Tại sao có điều này?
Trả lời của Plato là có một ‘vương quốc’ của những Thể dạng, nơi chứa đựng những sự
vật việc toàn hảo như cái Đẹp,
Công lý, và Đạo đức.
Ông đôi khi nói về cái đẹp tự thân, công lý tự thân, và đạo đức tự thân. Một đối tượng vật lý, chẳng hạn
như một bức tranh, đẹp đến mức nó ‘giống như’, ‘dự phần vào’,
hay ‘có một phần’ của chính cái Đẹp’.
Một người thì công chính ở
mức độ nào đó người ấy giống
như tự thân Công
lý. Plato gọi vương quốc vật chất là thế giới của Trở
thành, [5] vì những đối tượng vật lý có thể thay đổi và hư hỏng. Chúng trở thành tốt đẹp hơn và chúng trở
thành xấu tệ hơn. Những gì đẹp
đẽ đều có thể trở thành xấu xí. Những gì là đức hạnh có
thể trở thành xấu xa. Ngược lại, những Thể Dạng đều là vĩnh cửu và bất biến. Vẻ đẹp tự nó đã,
đang, và sẽ luôn luôn là như
vậy; những sự vật việc riêng lẻ đều
đẹp
cho đến chừng nào chúng
phù hợp với tiêu chuẩn bất biến, vượt thời gian này. Rõ ràng, Plato khi đó sẽ không đứng dưới khẩu hiệu rằng ‘cái đẹp là ở trong mắt của người nhìn’. Tương tự với công lý và những Thể dạng khác. Không có gì chủ quan, hay qui ước, hay tương đối-trong-văn hóa về chúng.
Vắn tắt,
đó là bản thể học của Plato về những Thể
Dạng. Tri thức học của ông là gì? Làm thế nào để chúng ta biết hay nắm bắt những
Thể Dạng này? Chúng ta hiểu thế giới vật lý – thế giới của Sự trở thành – qua
những giác quan. Ông gọi đây là ‘vương
quốc’ của
những ‘cảnh sắc và âm thanh’. Ngược lại, chúng ta thấu hiểu những Thể Dạng chỉ qua sự suy tư của
tinh thần. Chúng ta thấy và
nghe những sự vật việc đẹp
đẽ và con người công chính,
nhưng chúng ta phải nghĩ cách thức
của chúng ta tới Cái đẹp và Công lý. Đoạn văn sau đây từ Quyển 6 của
Republic là điển hình:
Hãy để tôi nhắc bạn về sự
khác biệt vốn chúng ta đã rút ra
trước đó và thường rút ra trong những dịp khác, giữa vô số những sự vật việc vốn
chúng ta gọi là tốt hay đẹp hay bất cứ gì nó có
thể là, về mặt khác, và tự
thân cái Tốt hay tự thân cái Đẹp, v.v. Tương ứng với mỗi của những tập hợp này của nhiều những sự vật việc
này, chúng ta mặc định một Thể Dạng duy nhất hay yếu tính thực như chúng ta gọi nó ... Hơn nữa, nhiều những sự vật việc,
chúng ta nói, có thể được nhìn thấy, nhưng không là những đối tượng của tư tưởng duy lý; trong
khi những Thể Dạng là những đối
tượng của tư tưởng, nhưng
vô hình. [6]
Meno đưa ra một tri thức
học khác. Trong đó,
Plato có Socrates dẫn một đứa bé nô lệ đến định lý nói rằng hình vuông nằm trên đường chéo của một hình vuông nhất định thì có diện tích gấp đôi hình vuông ban đầu.
Socrates nhấn mạnh rằng ông đã
không,
và không một bất
kỳ ai khác, đã dạy định lý này cho đứa bé nô lệ. Qua việc đặt những câu hỏi được lựa chọn kỹ lưỡng,
và chỉ vào những phương diện của
một sơ đồ đã vẽ, Socrates khiến đứa bé nô
lệ này
tự mình tìm ra được định lý. Plato dùng thí nghiệm để hỗ trợ một học thuyết rằng
khi nói đến hình học – hay thế giới của Hữu thể – thường thường những gì được gọi là ‘học tập’ thì thực sự là sự nhớ lại
từ một kiếp trước, giả định-trước có một thời
điểm vốn hồn người đã tiếp
cận trực tiếp với thế giới của Hữu thể.
[7]
Những học giả không đồng ý về bản chất và vai trò của ‘sự nhớ lại’ này trong tri
thức học của Plato, và hầu hết những người theo thuyết Plato sau đó đều tránh né nó. Bất kỳ trường hợp nào đi nữa, Plato đã chủ trương rằng
hồn người thuộc phạm trù bản thể học thứ ba, với khả năng hiểu được cả thế giới
của Hữu thể và
thế giới của Trở thành.
Dù có hay không những yếu tố ‘huyền bí’ của tri thức học, người ta có ấn tượng từ
những đàm thoại Plato rằng thế giới vật lý được cấu tạo như nó thì đúng là như thế, khiến chúng
ta sẽ bị thúc đẩy vượt quá những giác quan của
chúng ta để
thăm dò thế
giới của Hữu thể.
Với Plato, toán học là một bước then chốt
trong
tiến trình này. Nó nâng hồn người
lên,
vượt khỏi thế
giới vật chất, đến
thế giới vĩnh cửu của
Hữu thể.
2. Plato với Toán học
Toán học, hay ít nhất hình
học, đem cho một thí dụ không phức tạp và rõ ràng dễ hiểu của khoảng cách giữa thế giới vật chất không toàn hảo xung quanh chúng ta và thế giới trong sáng, lý tưởng, toàn hảo của tư
tưởng. Từ trước thời của Plato
cho đến ngày nay, chúng ta đã có những định nghĩa hoàn toàn đầy đủ kỹ lưỡng về đường thẳng, đường tròn, v.v., nhưng thế
giới vật lý không chứa đựng những
đường
thẳng hoàn toàn không có bề dày,
và không có đường tròn toàn hảo, hay ít nhất là không có đường nào vốn chúng ta
có thể nhìn thấy. Có lẽ những đường thẳng không có bề dày, và những đường tròn toàn
hảo, và những hình tương
tự, là phần của không gian vật lý (hay của chiều không-thời)
vốn chúng ta tất cả đều cư ngụ,
nhưng ngay cả như vậy, chúng ta không gặp chúng, loại như thế, trong bất kỳ cách thức vật chất nào. Vậy chúng ta học gì
trong hình học, và chúng ta học hỏi
nó
như thế nào?
Để làm
rõ ràng,
Plato đã tin rằng những mệnh đề của hình học đều đúng hoặc sai
khách quan, độc lập với trí
óc, ngôn ngữ, v.v. của những nhà toán học. Theo thuật ngữ của Chương 2, ông là
một người theo thuyết duy thực về giá trị đúng thật. Thuyết duy thực này ít nhiều
được giả định, và không được biện
minh,
qua suốt những đàm thoại. Có lẽ không có lựa
chọn thay thế quan trọng nào. Nhưng hình học là gì? Bản thể học của
nó là gì? Hình học được biết như thế nào? Plato chủ trương rằng chủ đề-nội dung của hình học là một lĩnh vực của những
đối tượng hiện hữu độc lập với não thức con
người, ngôn ngữ, v.v. Ông lập luận từ thuyết duy thực về giá trị-đúng thật đến
thuyết duy thực trong bản thể học, một chủ đề có tiếng vang trong suốt lịch sử sau đó. Những
tuyên bố gây tranh luận chính của Plato liên quan đến bản chất của những
đối tượng hình học và nguồn gốc của kiến thức hình học. Ông tin rằng những
đối tượng hình học đều không
là vật chất, và chúng thì vĩnh
cửu và bất biến. Theo nghĩa này, ít nhất, những đối tượng hình học giống như những
Thể Dạng và đều trong
thế giới của Hữu thể.
Do đó, ông sẽ bác bỏ đề nghị ở
trên rằng những đối tượng hình học hiện hữu trong không gian vật lý.
Ở cuối quyển 6 của Republic, Plato đem cho một ẩn dụ của một Đường thẳng Phân Đoạn (xem Hình 3 .1). Thế giới của Trở thành ở dưới cùng và thế giới của Hữu thể ở trên cùng (với Thể Dạng cúa sự Tốt Lành (Thiện) ở trên tất cả). Mỗi phần của đường thẳng lại được phân chia. Thế giới của Trở thành thì chia thành vương quốc của những đối tượng vật chất ở trên cùng và những hình ảnh phản chiếu của những đối tượng (thí dụ như trong nước) ở dưới đáy. Thế giới của Hữu thể thì chia thành những Thể Dạng ở trên cùng và những đối tượng của toán học ở dưới. cùng [8]. Điều này cho thấy rằng những đối tượng vật lý đều là ‘những phản ảnh’ của những đối tượng toán học, vốn đến phiên, chúng đều là những ‘phản ảnh’ của những Thể Dạng.
Hình 3.1. Đường thẳng Phân Đoạn
Tuy nhiên, có bằng chứng,
gồm một số đóng góp của
Aristotle, rằng Plato đã lấy ít nhất một số đối tượng toán học để là những Thể
Dạng. Có những dấu hiệu rằng
trong thời kỳ Pythagoras-mới
sau
này của ông, Plato đã coi tất cả những Thể Dạng là về toán học. Có những tường thuật về một bài
giảng trước công chúng về sự Tốt Lành, ở đó, trước sự thất vọng của một số người nghe ông, Plato đã chỉ nói về những vấn đề toán học.
Chúng ta không cần đồng ý về những chi tiết chú giải này. Một mối chỉ nối chung, của tất cả những thời kỳ và tất cả những diễn giải, là thế giới hình học của Plato
thì ly dị với
thế giới vật lý và quan trọng hơn, kiến thức hình học thì ly dị với sự quan
sát giác quan. Kiến thức hình học thì có
được bằng suy tưởng thuần
túy, hay bằng việc nhớ lại quá khứ quen thuộc của
chúng ta với vương quốc hình
học, như nói trên.
Liên quan đến bản thể học, và ít nhất là mặt phủ định của tri thức học, lập luận của Plato
được thì đơn giản, nhưng cho một ấn tượng sai lệch.
Những mệnh đề hình học liên quan đến những điểm không kích thước, những đường
thẳng không có bề dày, và những đường tròn hoàn toàn. Thế giới vật lý không chứa những điều như vậy, và chúng ta không nhìn thấy những
điểm, đường và những vòng tròn như
trong Euclid.
Thế nên,
hình học thì không là về bất cứ gì trong thế giới vật lý, thế giới
của Trở Thành, và chúng ta không nắm bắt những đối tượng hình học qua những
giác quan. Tất nhiên, một số đối tượng vật lý gần đúng với những hình dạng theo như Euclid. Chu vi của một quả
cam và một hình tròn được vẽ tỉ mỉ kỹ
lưỡng trên giấy,
ít nhiều giống với hình tròn Euclid, ít giống quả cam hơn, giống hình tròn vẽ nhiều hơn. Nhưng những định lý hình học
không áp dụng cho những gần đúng này. Thí dụ, hãy xem xét định lý nói rằng một tiếp tuyến của một đường tròn cắt
đường tròn tại một điểm duy nhất. Ngay cả khi người ta cẩn thận vẽ một đường tròn và một đường thẳng tiếp
tuyến, dùng những dụng cụ khéo tạo
cầu kỳ, đắt tiền hay bút chì rất nhọn (hay máy in có nhiều chi tiết hình ảnh hơn), người ta vẫn sẽ thấy
rằng đường thẳng chồng lên ranh giới của vòng tròn trong một vùng nhỏ, nhung không phải một điểm duy nhất (xem Hình
3.2). Nếu một người dùng phấn vẽ
trên bảng, hay gậy vẽ trên cát để thực hành, thì phần chồng lên nhau sẽ lớn hơn đáng kể. Tất nhiên, không
gì của sự việc này phủ nhận định lý phổ thông rằng giao điểm của một đường tròn và
một tiếp tuyến là một điểm duy nhất. Giải thích của Plato thì đơn giản, không quanh co. Những đường tròn
Hình 3.2. Tiếp tuyến với vòng tròn
và đường thẳng được vẽ chỉ là những xấp xỉ nghèo nàn thấp kém của Đường Tròn thực
và Đường Thẳng thực vốn chúng ta nắm bắt được
chỉ bằng não thức (hay trí nhớ). Ranh giới nhỏ chồng lên nhau trong những hình vẽ là một gần đúng nghèo nàn của một
điểm.
Chúng ta trong
vị trí để hiểu rõ hơn nhận xét của Plato trong đoạn văn, từ Quyển 7 của Republic, đã trích dẫn trong chương 1:
Khoa học [về hình học] thì trong mâu thuẫn trực tiếp với ngôn ngữ được những người thông thạo nó đã dùng ... Ngôn ngữ của họ thì rất mực ngớ ngẩn buồn cười ... vì họ nói như thể họ
đang làm một gì và như thể tất cả những lời
của họ đều hướng tới hành động. ... [Họ nói] về việc bình phương và việc ứng dụng
và việc đem cộng và
những tương tự ... trong khi trong thực
tế, đối tượng thực của toàn bộ môn học
là
... kiến thức ... về những gì hiện hữu vĩnh viễn, không về bất cứ gì vốn trở thành cái này hay cái kia trong một
lúc nào đó và rồi thôi không hiện hữu nữa. (Plato, 1961, 527a)
Nếu Plato thì đúng
rằng hình học liên quan đến những đề mục
vĩnh cửu và bất biến trong thế giới của Hữu thể, khi đó sẽ không
có ngôn ngữ động nào trong hình học. Để thấy được ý nghĩa của những cấu trúc
trong Elements của Euclid, là
điều khó khăn cho một người theo thuyết Plato. Theo Proclus [9] triết gia phái Plato-mới, thế kỷ thứ năm, vấn đề của ‘như thế nào chúng ta có thể đưa chuyển
động vào những vật thể hình học bất động’
đã làm bận rộn nhiều nhữn đầu óc lỗi lạc
nhất tại Academy của
Plato trong nhiều thế hệ tiếp sau.
Có một vấn đề tương tự liên quan đến những sơ đồ thường đi kèm với những chứng minh với giải tích trong hình học. Một người
theo thuyết Plato chắc chắn sẽ lo ngại rằng
những đồ hình này
có thể làm người đọc lẫn lộn vào trong suy nghĩ rằng định lý là về sơ đồ
vật chất đã vẽ. Sau cùng, mục đích của những sơ đồ là gì? Giải thích của Plato
có thể là sơ đồ một cách nào
đó giúp đỡ trí óc trong việc thấu hiểu lĩnh vực hình học vĩnh cửu, bất biến,
hay giúp chúng ta nhớ lại thế giới của Hữu thể. Tuy nhiên, người ta có thể tự hỏi
có thể có được điều này như thế nào, vì thế giới của Hữu thể thì không thể không tiếp cận qua con đường của giác quan được. Trong Republic (510d), Plato viết:
Bạn ... biết những nhà hình học] đem dùng những hình ảnh hữu hình và
nói viết bàn luận về chúng như thế nào, mặc dù những gì họ thực có trong đầu là những bản gốc của những gì vốn những những hình vẽ này
là những hình ảnh (của chúng). Lấy thí dụ, họ không lý luận về hình vuông và
đường chéo cụ thể này vốn họ đã vẽ, nhưng là
về Hình Vuông và Đường Chéo
(trong thế giới những Thể dạng, những lý tưởng); và tương tự như vậy trong mọi trường hợp. Những sơ
đồ họ vẽ và những mô hình họ tạo đều là những sự vật việc thực tại, vốn có thể có có những hình bóng hay hình ảnh của chúng trong nước; nhưng bây giờ đến lượt chúng,
chúng đóng vai trò là những hình ảnh, trong khi người học trò thì đang
tìm để nhìn ngắm những
thực tại này vốn chỉ suy tưởng mới có thể thấu hiểu được.
Ở đây chúng ta có cùng một ẩn dụ như trong đường thẳng phân đoạn: những: phản chiếu và những hình ảnh. Tôi giả định nhà toán học giỏi sẽ không cần những sơ đồ, sau khi tiếp xúc trực tiếp hơn với vũ trụ
hình học. Plato không là triết gia cuối cùng thắc mắc về vai trò của những sơ đồ trong chứng minh hình học.
Mặc dù, như đã ghi nhận, những người theo thuyết Plato tiếp
theo đã không chấp nhận những khía cạnh huyền bí hơn trong tri thức học của Plato, hầu hết
họ đều chủ trương rằng kiến thức hình học là tiên nghiệm, độc lập với kinh nghiệm
giác quan. Có thể là một số kinh nghiệm giác quan là cần thiết để nắm bắt những
khái niệm liên quan, hay chúng ta có thể cần những sơ đồ đã vẽ như một phương tiện hỗ trợ thị giác cho não thức, hay có lẽ để làm thức tỉnh não thức của
chúng ta về lĩnh vực hình học vĩnh cửu và bất biến của không gian Euclid. Tuy
nhiên, điều cốt yếu là kiến thức toán học trên nguyên tắc thì độc lập với kinh nghiệm giác quan. Lý do
chính cho điều này xuất phát từ bản thể học Plato. Hình học không là về những đối
tượng vật lý trong không gian vật
lý.
Quan điểm này để lại một vấn đề của việc giải thích tại sao hình học áp dụng với thế giới vật lý, dù với sự gần đúng. Trong Timaeus Plato
đem cho một câu chuyện chi tiết, nhưng tưởng tượng về thế giới vật lý được xây dựng thế nào về hình
học, từ năm khối đa diện Plato:
khối 4 mặt tam giác (pyramid),
khối 6 mặt vuông (hình
lập phương), khối 8 mặt tam giác,
khối 12 mặt ngũ giác (dodecahedron), khối 20 mặt tam giác (icosahedron). [10]
Những chi tiết của quan
điểm của Plato liên quan đến số học và đại số học không
xuông sẻ như
giải thích về hình học của
ông, nhưng bức tranh tổng thể thì giống nhau. Ông là một người theo thuyết duy
thực không rắc rối khó khănvề
cả giá trị-đúng thật và bản thể học, chủ trương rằng những mệnh đề từ số học và
đại số là đúng hoặc sai,
độc lập với nhà
toán học, với thế giới vật lý và
ngay cả với não thức, và ông chủ trương rằng những mệnh đề
số học là về một lĩnh vực của
những
đối tượng trừu tượng được
gọi là ‘những số’. Trong Sophist (238a), Nhân vật Người Khách lạ nói rằng ‘giữa những
sự vật việc vốn hiện
hữu, chúng ta gồm vào con
số trong tổng quát, và Theaetetus trả lời, ‘Đúng, con số phải hiện hữu nếu một bất kỳ một gì hiện hữu’.[11]
Những đàm thoại
chứa một số đoạn văn trong đó áp
dụng những phân biệt của Plato cho những con số. Tất
nhiên, có những con số của những
đối
tượng vật chất, vốn chúng ta có thể gọi là ‘những con số vật lý’. Đây là những con số trong thế giới của Trở thành. Chúng được phân biệt với ‘những con số tự thân’, vốn chúng không được nắm bắt bởi những giác quan, nhưng bằng chỉ suy
nghĩ thuần túy.
Thí dụ, trong Philebus (56), Plato đã có Socrates phân biệt giữa ‘người thông thường’ và ‘triết
gia’ khi nói về số học.
Theo một ý hướng nào
đó, có hai số học khác nhau. Người đối thoại, Protarchus, hỏi ‘sự phân biệt
này ... dựa trên nguyên tắc nào?’
Socrates trả lời: ‘nhà
số học thông thường, chắc chắn,
hoạt động với những đơn vị không bằng nhau; “hai” của người ấy có thể là hai đội quân
hay hai con bò,
hay hai thứ bất kỳ gì từ
thứ nhỏ nhất đến thứ lớn nhất trên
thế giới, trong khi triết gia sẽ không có liên
quan gì với người ấy, trừ khi người ấy đồng ý để làm mọi mọi trường hợp đơn lẻ của đơn vị của người
ấy chính xác bằng với mọi trường hợp
đơn lẻ khác trong số vô hạn của những trường hợp’. Xem
thêm Theaetetus, 196, Republic, 525. Do đó, chúng ta thấy rằng số
học, giống như hình học, áp dụng chỉ xấp xỉ gần đúng với thế giới vật lý hay chỉ đến chừng mức những đối tượng có thể phân biệt được
với nhau. Số học của triết gia áp dụng chính xác và chặt chẽ cho chỉ thế giới của Hữu thể.
Không có sự đồng thuận về những ý kiến của Plato liên quan đến bản chất của
con số. Một diễn giải cho rằng Plato lấy những con số để là những tỷ lệ của những độ lớn hình học. [12]
Thí dụ, số bốn sẽ là tỷ số giữa chu vi của một hình vuông với một của những
cạnh của nó,
và cũng là tỷ lệ của diện
tích của một hình
vuông với diện tích của một
hình vuông có cạnh bằng nửa của cạnh
hình
vuông ban đầu. Cách tiếp cận này có ưu điểm là không chỉ gồm những số tự nhiên,
nhưng cũng những
số hữu tỉ (dương) và những số vô tỉ (như đã thảo luận trong những đàm thoại như
Theaetetus). Nhược điểm của giải thích này là nó không tính đến việc
dùng những con số trong những nội
dung khác
hơn hình học. Ngay cả khi chúng ta hạn chế sự
tập trung của chúng ta vào
thế giới của Hữu thể, chúng ta đếm những sự vật việc khác ngoài những độ
lớn hình học. Thí dụ, chúng ta nói rằng một phương trình đem cho có hai nghiệm số, rằng có năm khối đa diện Plato, và có bốn số nguyên tố nhỏ hơn mười.
Đoạn văn trên của Philebus nêu lên một giải
thích khác về số học của Plato. Khi một nhà số học thông thường đếm một đôi
giày, mỗi chiếc giày là một đơn vị, nhưng hai chiếc giày không cùng hình dạng
hay ngay cả không chính
xác cùng kích thước. Ngược lại, khi triết gia đếm ‘hai’,
người ấy nói đến một cặp hay
một đôi của những đơn vị vốn giống nhau trong
mọi cách. Với triết gia, những số tự nhiên là những sưu tập của những đơn vị thuần túy, vốn chúng không
thể phân biệt được với nhau (Republic, 425; Sophist, 245).
Ngẫu
nhiên lưu
ý rằng với cả người thông thường
và triết gia, ‘con số’ luôn là một con số của một gì đó hay một gì khác. Những con số của người thông thường là những con số của những sưu tập như những đội quân và những con bò. Những con số của triết gia là những
con số của những đơn vị thuần túy.
Nhiều những
nguồn cổ phân biệt lý thuyết về những
con số, được gọi là ‘số học’ với lý thuyết về tính toán, được gọi là ‘lôgistích’ [13].
Hầu hết những người viết coi
điều sau là
một ngành học thực
tiễn, liên quan đến đo lường và giao dịch kinh doanh (thí dụ: Proclus
1970: 20). Người ta sẽ nghĩ rằng sự phân biệt
này rất phù hợp với Plato, vì sự tương phản hoàn toàn của ông giữa thế giới Hiện
hữu và thế giới Trở thành. Số học sẽ bận tâm
với Hiện hữu, trong khi lôgistích sẽ bận tâm
với Trở thành. Tuy nhiên, Plato có cả
số học và lôgistích [14] tập trung vào thế giới của
Hữu thể. Sự khác biệt liên quan đến chính những
số tự nhiên là để nghiên
cứu như thế nào. Số học ‘giải
quyết với số chẵn và số lẻ, với liên quan đến việc mỗi số xảy ra là
bao nhiêu’
(Gorgias, 451). Nếu ‘một
người trở nên toàn hảo trong nghệ thuật số học’, khi đó người ấy cũng biết tất cả những con số
(Theaetetus, 198)..Lôgistích của Plato khác với số học ‘trong chừng mức nó nghiên cứu cái chẵn và
cái lẻ với viện dẫn mỗi chúng xảy ra
như thế nào chúng tạo ra với chính chúng và với lẫn nhau’ (Gorgias, 451). Do đó, số học giải quyết với những
số tự nhiên riêng lẻ và lôgistích giải quyết với những
quan
hệ giữa những con số.
Với lôgistích, Plato đưa ra những nguyên tắc về cách những số tự nhiên được ‘tạo ra’ từ những số tự nhiên khác (qua gnomon) [15].
Đây là một gì đó giống như một sự giải
quyết về tiên đề của nguồn
gốc của bản thể học.
Plato nói rằng người ta nên theo đuổi cả số học và
lôgistích vì lợi ích của sự hiểu
biết. Đó là qua
việc nghiên cứu chính những
con số, và những liên hệ
giữa những con số, khiến hồn
người (tâm lý/tinh thần) có
thể thấu hiểu được
bản chất của những con số như chúng trong tự thân chúng. Như Jacob Klein (1968:
23) nói, lôgistích lý thuyết ‘nâng
lên thành một khoa học rõ ràng khiến kiến
thức về liên hệ giữa những con
số ... có trước, và thực sự phải có trước, tất cả những phép tính toán’. Lôgistích của Plato là với sự tính
toán thực tiễn, như hình học của ông là với những hình vẽ trên giấy hay trên cát.
Người ta có thể tự hỏi, với Klein (1968: 20), điều gì
sẽ được nghiên cứu trong số học của Plato, như ngược lại với lôgistích của ông. Có lẽ, nghệ
thuật đếm-nhẩm những số – là
số học xuất sắc nhất. Tuy nhiên, ‘phép cộng và phép trừ chỉ là phần mở rộng
của phép đếm’.
Hơn nữa, tự thân việc đếm đã giả định-trước một liên
quan liên tục và phân biệt của những sự vật việc được đánh số cũng như của những
con số. Klein (1968: 24) nghiêng
sang kết
luận rằng lôgistích liên quan đến những tỷ lệ giữa những đơn vị thuần
túy, trong khi số học liên quan đến đếm, cộng và trừ. Phù hợp với những đàm thoại sau này, có lẽ tốt hơn nên nghĩ về
lôgistích của Plato như những gì vốn
chúng ta gọi là ‘số
học’, tức là nghiên cứu
toán học về những số tự nhiên. Số học của Plato là một phần của triết học cấp cao hơn, nơi người ta có thể thấu hiểu được bản chất siêu hình của chính con
số.
3. Toán học với Plato
Thán phục của
Plato cho những thành tựu phấn khởi của những nhà toán học thì rõ ràng rất nhiều, ngay cả với một
người đọc bình thường của những đàm thoại của Plato. Như Gregory Vlastos (1991:
107) nói điều này,
Plato ‘đã có
khả năng để kết hợp dễ
dàng với những nhà toán học giỏi nhất thời ông trong Academy, chia sẻ và tiếp tay với nhiệt tình của họ cho công việc của họ’. Một số học giả gần đây đã tập trung chú ý trên sự ảnh hưởng của sự phát triển của toán
học trên triết học của Plato. Một cách nổi bật, ánh sáng đã soi chiếu trên một số những tương
phản sắc cạnh giữa
Plato và Socrates, người
thầy của ông.
Trong những
gì chúng ta được biết,
quan tâm chính của
Socrates là đạo đức học và
chính trị học,
không là toán học và khoa học. Ông tự xem mình
là người có một
sứ mệnh thần linh để truyền bá triết học cho mọi người. Tất cả
chúng ta đều thích thú với hình ảnh Socrates loanh quanh trên những đường phố của thành Athens, thảo luận về công lý và đức hạnh với bất cứ người nào muốn nghe và nói chuyện. Bất cứ người nào. Ông đã sống với khẩu hiệu
rằng chiêm nghiệm suy tưởng triết
học là yếu tính của
đời sống. Chúng ta đã được sinh ra để suy nghĩ. Trong phiên tòa xử ông,
Socrates đã tuyên
bố rằng với ông nếu giữ im lặng
và chỉ bận tâm đến riêng mình sẽ là một sự bất kính, không tuân lời Gót (Apology, 38a): ‘Tôi nói với bạn rằng hãy đừng để ngày nào trôi qua nhưng không bàn luận
về sự tốt lành và
tất cả những đề tài khác
vốn bạn nghe tôi nói và tra hỏi chúng với cả chính tôi lẫn những người khác, thì thực sự là điều hay nhất một người có thể làm được, và rằng đời sống
không có loại tra hỏi này thì không
đáng sống’.
Điển
hình, Socrates
tiến hành bằng khơi gợi những tin
tưởng của một người nói chuyện và sau đó, qua việc hỏi han kỹ lưỡng, gắng để rút ra những hậu quả không ngờ và không mong muốn của những tin tưởng
đó. Trong hầu hết những trường
hợp, sự chạm trán không chấm dứt với sự đưa dẫn về phi lý của vị trí ban đầu của người nói chuyện. Thay vào đó, người nói chuyện bị thách
thức để xem xét lại những tin
tưởng của người này và để học hỏi bằng việc hình thành những
tin tưởng mới. Socrates còn theo đuổi việc này
ngay cả trong phiên tòa xử chính mình, chống lại những người lên án ông. [16]
Do đó, phương pháp Socrate là một kỹ thuật cho việc nhổ bỏ
những tin tưởng sai lầm. Nếu phương pháp có đưa đến đúng thật, thì nó chỉ là một tiến
trình của sự loại
trừ hay có lẽ của việc làm thử và tìm sai.
Socrates chưa bao giờ tuyên bố rằng ông có bất kỳ kiến thức chắc chắn đặc biệt nào về công lý, đức hạnh,
v.v. Hoàn toàn ngược lại. Ông coi sự khôn ngoan của ông là gồm trong sự kiện rằng ông biết
rằng ông không biết. Ông có lẽ đã đi đến kết luận tiêu cực này bằng
việc xem xét bản thân chính
mình.
Thêm nữa,
phương pháp Socrate không kết quả trong chắc
chắn. Nó có thể bảo chúng
ta rằng một số nhũng
tin tưởng của chúng ta thì sai hay không rõ ràng, nhưng nó không tất yếu chỉ ra tin tưởng nào thì sai hay
không rõ ràng.
Phương pháp thì có thể sai
lầm và mang tính giả thuyết, nhưng nó là một gì tốt nhất chúng ta có được.
Phương pháp luận của Plato trưởng thành không giống với của Socrates trong bất kỳ cách nào
của những lối này. Plato ghi chú tình cờ đó đây rằng toán học thì ‘hữu dụng phổ quát trong
tất cả những kỹ thuật đòi hỏi tài
khéo và
trong mọi hình thức của kiến thức và vận hành trí
tuệ – (toán học) là) điều
đầu tiên mọi
người đều phải học (Republic,
523). [17] Vào thời của Plato, một người cần dồn sức trong lâu dài vào việc nghiên cứu để thông thạo toán học. Một hiểu biết thông thường với nó sẽ không giúp bạn tiến xa được. Vì vậy, Plato đã nhìn nhận rằng người ta cần dồn sức trong lâu dài cho bất kỳ ‘dạng nào của kiến thức và hoạt động trí tuệ’. Đặc biệt là triết học.
Không giống người thầy của ông, Plato chủ trương rằng
triết học thì không là cho tất cả mọi người. Trong ‘khối thịnh vượng chung’ lý tưởng được
hình dung ở Republic, chỉ một số người giới lãnh đạo được lựa chọn kỹ lưỡng để tham dự vào sự suy tưởng triết
học, và chỉ sau một thời gian huấn luyện
kéo
dài cho đến khi họ ít nhất 50 tuổi. Đại đa số cư dân đều được khuyên bảo đề nhận
sự chỉ đạo từ những người lãnh đạo này và chú tâm
vào công việc riêng của chính họ. Người làm ruộng gắn bó với việc làm ruộng, và người đầu bếp gắn bó với việc nấu ăn. Mọi người làm chỉ những gì người ấy làm giỏi nhất. Triết học cũng thế, dành cho
những người chuyên môn – những
người Giám Hộ. Plato ngay cả còn chủ trương rằng sẽ rất nguy hiểm cho quần
chúng nếu họ tham
dự vào triết học. Ngay cả còn nguy hiểm cho những giám hộ tương lai sớm tham dự vào lĩnh vực triết học trước khi họ
được huấn luyện thích đáng.
Plato nhấn mạnh rằng với đa số mọi người, đời sống
không tự tra hỏi thì đáng
sống như thường.
Nếu Plato có được cách
của ông, đời sống tự tra hỏi sẽ bị cấm với hầu hết tất cả mọi người.
Về mặt này, khó có thể tưởng tượng được một tương
phản nào sâu đậm hơn nữa giữa
Socrates và người học
trò nổi tiếng nhất của ông.
Điều đáng
ghi nhận rằng với
Plato, trọn vẹn mười
năm huấn luyện của
những giám hộ thì dành
cho toán học. Họ làm rất ít
gì khác trong khoảng tuổi
20 đến 30. Điều này thì nhiều hơn
so với chúng ta mong
đợi từ những nhà toán học chuyên nghiệp tương lai ngày nay. Lý do của Plato cho
điều này thì rõ ràng. Để cai trị
giỏi, những giám hộ cần chuyển chú tâm của họ từ thế giới của Trở thành sang thế giới của Hữu thể. Do đó, một phần trọng yếu của sự giáo dục của họ phải ‘chuyển hồn người từ một ngày vốn cũng tối đen như
đêm sang ngày thực, hành trình đó đi lên thế
giới chân thực vốn chúng ta
sẽ gọi nó
là sự theo đuổi thực của sự
khôn ngoan’
(Republic, 521). Toán học ‘kéo
hồn người từ thế giới của thay
đổi đến thực tại’. Nó
‘tự nhiên đánh thức khả năng của suy tưởng... để kéo chúng ta hướng đến thực tại’ – ít nhất là cho một số ít hồn người có khả năng của sự đi lên như thế.
Việc Plato cắt đứt với người thầy của ông thì có thể hiểu được, nếu không nói là đáng phục.
Socrates đã không cho toán học chỗ đứng tự hào, trong khi Plato đã thấy toán học như cánh cổng vào trong thế giới của Hữu thể, một cánh cổng vốn phải đi qua nếu người ta có được một bất kỳ hy vọng nào của hiểu biết bất cứ một gì
thực. [18] Toán học, điều kiện tiên quyết để nghiên cứu
triết học, đòi hỏi một thời gian dài của học tập quyết liệt. Không có gì ngạc nhiên khi hầu hết
chúng ta phải sống đời sống
của chúng ta trong
thiếu hiểu biết về thực tại
chân thực,
và phải dựa vào những người giám
hộ để được hướng dẫn về phần để
sống thế nào cho tốt đẹp.
Quan tâm mãnh liệt của
Plato với toán học có
thể cũng là nguyên nhân cho sự không ưa của ông với phương pháp luận dưa trên giả
thuyết và có thể sai lầm của Socrate. Toán học tiến hành (hay phải
tiến hành) qua chứng minh, không chỉ là làm thử và tìm sai.
Khi Plato trưởng thành, phương pháp Socrate dần dần được thay thế. Trong Meno, Plato dùng kiến thức hình học, và chứng minh hình học, như mô thức cho tất cả kiến
thức, gồm kiến thức đạo đức và siêu hình học. Trong đàm thoại đó, Plato muốn nói rõ về đạo đức học, và kiến thức của chúng ta về đạo đức học, và ông rõ ràng rút ra một sự tương
tự với kiến thức hình học. Đó là một chương trình hành động mẫu mực của Socrate và Plato để bắt đầu với những
trường hợp rõ ràng và
tiến hành những trường hợp rắc rối khó khan hơn,
bằng cách của loại
suy. Plato thấy mọi sự vật việc
không phức tạp và dễ làm hay dễ
hiểu khi đi đến
toán học và kiến thức toán học, và ông cố gắng để mở
rộng những tìm được ở đó
đến tất cả của kiến
thức. Trong đàm thoại, không ai đặt câu hỏi về sự tương tự giữa toán học và đạo
đức học hay siêu hình học. Thuyết duy lý dựa trên cùng một phép loại suy (xem
chương 4, §1).
Trong mười năm học hỏi toán học của họ, những giám hộ tương
lai tiến hành ‘giả
thuyết’, từ những định đề
và tiên đề. Họ phải đơn giản chấp
nhận những ‘giả
thuyết’ đó, và không biết
nền tảng cuối cùng của chúng là gì. Như được cho thấy bằng ẩn dụ đường thẳng phân đoạn, những nhà toán học
cũng dùng những sơ
đồ và những trợ giúp khác
từ thế giới của Trở
thành. Ở giai đoạn này, những giám hộ tương lai tiến từ thế giới của Trở thành đến thế giới của Hữu thể. Giai đoạn này là cần thiết, nhưng
nó không là một kết luận phù hợp cho những học tập của họ. Plato hé mở đến một phương pháp luận chắc
chắn và an toàn hơn cho triết học. Bắt đầu tuổi
sau-30, mười năm cho toán học – những người lãnh đạo tương
lai dành một số năm tham dự vào
phép ‘biện chứng’, ở đó họ
gặp và nắm bắt chính những Thể Dạng, độc lập với bất kỳ những trường
hợp ‘nhuốm nhơ bẩn’ nào trong thế giới vật lý, và họ đạt đến những – nguyên lý đầu
tiên không-giả
định, cơ sở sau cùng
cho tất cả kiến thức và sự hiểu biết. Những người giỏi nhất trong số
họ sau đó sẽ đi lên để chiêm nghiệm sự Tốt Lành.
Tóm tắt,
sau đó với
Plato, phương pháp lúng túng nhưng
thú vị và bình dân của Socrate
trước tiên nhường chỗ cho sự
chặt chẽ ưu tú của
chứng minh toán học Greece. Điều này sau đó được thay thế bằng một gặp gỡ biện
chứng ngay cả còn ưu tú hơn,
với những Thể Dạng.
4. Aristotle, người đối lập tương xứng
Hầu hết những gì Aristotle nói về toán học là một
tranh biện với những quan
điểm của Plato, và không có đồng thuận nhiều giữa
những học giả về những nhận xét tích cực rải rác vốn ông đã đưa ra. Tuy nhiên, ít nhất là có hướng chính của một giải thích (hay những giải thích) của toán học vốn báo hiệu một số những nhà tư tưởng thời nay. Triết học của Aristotle chứa đựng
những hạt giống của thuyết duy nghiệm
Như đã ghi nhận ở trên, triết học của toán học của Plato thì gắn buộc với giải thích của những Thể
Dạng của ông như
những thực thể vĩnh cửu, bất biến trong thế giới riêng biệt của Hữu thể. Tương tự như vậy, triết học của
toán học của Aristotle thì gắn
buộc với sự phủ nhận của ông với một thế giới riêng biệt của Hữu thể. Aristotle đã chấp nhận sự hiện
hữu của những Hình trạng,
hay những phổ quát, nhưng ông đã chủ
trương rằng chúng không tách rời khỏi những đối tượng đơn độc cụ thể vốn là những hình trạng của chúng. Chẳng hạn, cái Đẹp là
những gì tất
cả những sự vật việc đẹp
đẽ có cùng những tính chất,
không phải một gì ở trên và vượt ngoài những những sự vật việc đẹp đẽ đó. Nếu một ai đó cố gắng phá hủy tất cả những sự vật
việc đẹp đẽ,
người ấy sẽ phá hủy chính cái Đẹp – vì sẽ không còn gì để cái Đẹp hiện hữu trong đó. Tương tự như thế với Công lý, Đức hạnh, Con người và
những hình trạng khác.Nói tóm lại, với
Aristotle, mọi sự vật việc trong thế giới vật lý có những hình trạng, nhưng không có thế giới riêng
biệt để chứa những hình
trạng này. Hình trạng hiện hữu trong những đối tượng đơn độc cụ thể.
Đôi khi Aristotle nêu lên rằng câu hỏi quan trọng liên quan về bản chất
của những đối tượng toán học, không phải chỉ đơn thuần sự hiện hữu hay không hiện
hữu của chúng: ‘Nếu
những đối tượng toán học hiện hữu, chúng phải hiện hữu trong những đối tượng có
thể nhận biết được như một số người nói, hay tách biệt khỏi những đối tượng có
thể nhận biết được (cũng có một
số người nói như vậy), hoặc nếu
không, thì hoặc chúng
hoàn toàn không hiện hữu gì hết
tất cả, hay chúng hiện hữu trong một số cách thức nào
đó khác. Thế nên,
tranh luận của chúng ta sẽ không là liệu chúng có hiện
hữu hay không, nhưng là
chúng hiện hữu trong cách
nào (Metaphysics, Sách M, 1076a; bản dịch dùng ở đây và tiếp sau là của Annas
1976). Một khó khăn với
Aristotle là nếu chúng ta bác bỏ những Thể Dạng Plato, sau đó có lý do gì để tin vào những đối tượng
toán học? Bản chất của chúng là gì (nếu chúng hiện hữu), và quan trọng nhất,
chúng ta cần những đối tượng toán học để làm gì? Chúng giúp giải thích điều gì
hay làm sáng tỏ điều gì? Như chính ông
nói:
Người ta cũng có thể dồn chú ý vào câu hỏi này về những con
số: chúng ta tìm lý do ở đâu cho việc tin rằng chúng hiện hữu? Với người chấp nhận
những Hình trạng,
họ đem cho một số loại giải thích cho mọi sự vật việc, vì mỗi con số là một Hình trạng và
một Hình trạng là
một giải thích của sự
hiện hữu của những sự vật việc khác cách này
hay cách khác (chúng ta sẽ cho họ sự giả
định này). Nhưng còn người không chủ
trương loại quan điểm này qua việc nhìn thấy những khó khăn trên những Hình trạng ẩn
giấu trong nó, vì vậy đây không là lý do của người ấy để nhận là có những
con số ...? Tại sao chúng ta nên tin nhận người ấy khi người ấy nói rằng loại con số này hiện hữu, và nó thì dùng làm gì cho một bất kỳ gì khác?
Không có gì vốn người tin vào nó nói nó gây nên ... (Metaphysics Quyển N,
1090a)
Giải thích của Aristotle về những đối tượng toán học
theo sau giải thích của ông về những Hình trạng [19].
Như trong đoạn văn trích dẫn trước,
ông đã chủ trương rằng những đối tượng toán học ‘hiện hữu trong những đối tượng có thể nhận
biết được’,
không tách biệt với chúng. Tuy nhiên, không có đồng thuận nhiều về chính xác điều này rốt cuộc là gì. Một số nhận thức sâu xa đến từ một thảo luận trong Physics
B về những gì là đặc
biệt về phương pháp luận về toán học:
Điểm tiếp theo cần xem
xét là nhà toán học khác với nhà vật lý như thế nào. Rõ ràng những vật thể vật lý chứa
những bề mặt, những khối lượng, những đường thẳng và những điểm, và đây là chủ
đề nội dung của
toán học ... Bây giờ nhà toán học, mặc dù người ấy cũng giải quyết những sự vật
việc này (đó là, những
bề mặt, những khối lượng, những độ dài và những
điểm), không coi chúng như (với tư cách là) những giới hạn của một
vật thể vật chất; người ấy cũng không coi những
thuộc tính đã chỉ định là
những thuộc tính của những vật thể
đó. Đây là lý do người ấy tách chúng ra, vì trong suy tưởng, chúng có thể tách rời khỏi chuyển động,
và điều đó không tạo nên khác
biệt và cũng không làm sai kết
quả nếu chúng bị tách rời. . . Trong khi hình học nghiên cứu những độ dài vật lý, nhưng không như vật lý, quang học nghiên cứu những độ dài
toán học, không như toán
học. (193b-194a)
Quyển M của Metaphysics chứa đựng những tình cảm tương tự:
Có thể có những
phát biểu và những chứng minh về những độ lớn có thể nhận
biết được, nhưng không cũng
có
thể nhận biết được ngoại trừ
như hữu thể của một loại nhất định nào đó. Trong
trường hợp của những sự vật chuyển động sẽ có những phát biểu và những nhánh của kiến thức về chúng, không như sự chuyển động nhưng chỉ đơn thuần như những vật thể, và lại nữa chỉ đơn thuần như những mặt phẳng và chỉ đơn thuần như những độ
dài, có thể phân chia được và
không thể phân chia được, nhưng
với vị trí ... ... Những nhánh toán học của kiến thức sẽ không là về những đối tượng có thể nhận biết được
chỉ vì những đối tượng của chúng xảy ra
là có thể nhận biết được, ... nhưng chúng sẽ không là về
những đối tượng riêng biệt khác ở
trên và vượt
ngoài chúng ... Vì vậy, nếu người ta nêu lên những đối tượng tách biệt với những
gì là ngẫu nhiên với chúng và nghiên cứu chúng như vậy, người ta sẽ
không vì điều này nói sai lầm nhiều
hơn là nếu
một người vẽ một bàn chân trên mặt đất và gọi
nó là dài một bàn chân, khi nó thì không
là dài một bàn chân ... Một người là một (vật thể) và không thể phân chia được như một người, và nhà số học nêu lên người ấy như một không thể phân chia được và nghiên cứu những gì là ngẫu nhiên với con người như không thể phân chia được; mặt khác, nhà hình học nghiên cứu người ấy không
như một người, cũng không như không thể phân chia được, nhưng như một vật thể đặc hình khối... Đó là lý do nhà hình học nói chính xác: họ nói về những sự vật việc đang hiện hữu và
chúng thực sự có hiện
hữu ... (1077b-1078a:
Bây giờ,
hãy bám sát với hình học, ý tưởng ở đây xem dường là rằng những đối tượng vật lý cách nào
đó chứa những bề mặt, đường thẳng và điểm được nghiên cứu trong toán học theo
như nghĩa đen. Tuy nhiên, nhà hình học không
coi những bề mặt này như bề mặt của những đối tượng vật lý. Trong suy tưởng,
người ta có thể tách những bề mặt, đường thẳng và điểm ra khỏi những đối tượng
vật lý chứa chúng. Điều này chỉ có nghĩa là chúng ta có thể tập trung vào những bề mặt, đường thẳng và
mặt phẳng và làm ngơ sự kiện rằng chúng là những đối tượng vật lý.
Sự tách biệt này là tâm lý, hay có lẽ lôgích.
Nó liên quan đến cách chúng ta nghĩ về những đối tượng vật lý. Với Aristotle,
sai lầm của Plato đã là
kết luận rằng những đối tượng hình học đều tách
biệt siêu hình với những biểu hiện
vật
lý của chúng, chỉ vì những nhà toán học cố gắng làm ngơ những phương diện vật lý của chủ đề-nội dung của họ.
Có nhiều những
diễn giải
về Aristotle ở đây. Một là để nhận
việc nói về những đối tượng toán học là quan trọng và cần được chú ý,
và ít nhiều theo nghĩa đen. Theo đó, Aristotle đã nêu lên một khả năng của sự trừu tượng hóa, trong đó
những đối tượng được tạo ra, hay được nhận lấy hay được nắm bắt, bới việc suy ngẫm những đối tượng vật chất.
Chúng ta trừu tượng hóa đi [20] một
số đặc tính của chúng, thí dụ, xem Mueller 1970 và Giới thiệu về
Annas 1976):
Giả định, lấy
thí dụ, rằng chúng ta bắt đầu với một quả cầu bằng đồng. Nếu chúng
ta chọn làm ngơ (chất) đồng
và chỉ tập trung vào hình dạng của đối tượng, chúng ta sẽ có được
khối cầu của nhà hình học. Nếu chúng ta tập
trung vào bề mặt của một trong những mặt của một khối nước đá lập phương, chúng ta có một phần của
một mặt phẳng và nếu chúng ta tập trung vào một cạnh của mặt phẳng này, chúng
ta sẽ có một đoạn đường thẳng.
Vì vậy, những đối tượng hình học rất giống
như những hình trạng. Trong một
ý hướng,
những đối tượng hình học đều là những hình dạng của những đối tượng vật lý.
Nhưng, tất nhiên, chúng là những hình
dạng
theo Aristotle chứ không là những Thể Dạng theo Plato. Những đối tượng toán học có được bằng trừu tượng hóa không hiện hữu trước, hay độc lập với những đối tượng vật lý từ đó chúng đã trừu tượng hóa.
Theo cách giải thích này, những số tự nhiên đều có được qua sự trừu tượng hóa từ những
sưu tập của những
đối tượng vật lý. Chúng ta bắt đầu với một nhóm, thí dụ, của năm con cừu và chọn làm ngơ những khác
biệt giữa những con
cừu, hay ngay cả sự kiện rằng
chúng là những
con cừu. Chúng ta tập trung chỉ trên sự kiện rằng chúng
là những đối tượng khác nhau, và đi đến số 5, vốn là một dạng, thuộc những loại nào dó, của nhóm. Như thế, những con số hiện hữu, với như những hình trạng theo Aristotle,
trong những nhóm của những đối
tượng vốn chúng là những con số.
Lưu ý rằng số học và hình học xảy về nghĩa đen biết được là đúng trong một bài đọc như thế này, tùy thuộc một giải thích có thể chấp nhận được về sự trừu tượng hóa. Hình học là về những đối tượng hình
học, vốn có những đặc tính gán cho chúng trong
những chuyên luận hình học. Số học là về những số tự nhiên. [21] Đây là một thuyết duy thực làm hài lòng về
giá trị-đúng thật và một thuyết duy thực trong
bản thể học, thuận hợp với
những đoạn như ‘những nhà
hình học nói chính xác: họ nói
về những sự vật việc hiện hữu và
chúng thực sự hiện hữu ...’ (Metaphysics
M1078a).
Một số nhà giải thích đã cho Aristotle phân biệt ‘những khoa học’ dựa trên mức độ trừu tượng của chúng với vật chất. Theo đó, vật
lý quan tâm với vấn đề trong chuyển
động, việc trừu tượng hóa từ
loại vật chất nó
có thể có. Toán học quan tâm với vấn đề như đại lượng (về hình hay về số),
việc trừu tượng hóa từ chuyển động. Siêu hình học
là về hữu thể loại như vậy,
việc trừu tượng hóa từ mọi sự vật việc khác.
Loại trừu tượng hóa này
đã bị nhiều chỉ trích mạnh mẽ trong suốt lịch sử triết học. Nếu tôi
có thể được phép nhảy một khoảng
2.000 năm, một trong những tấn
công chỉ
trích sắc bén nhất chống lại sự trừu tượng đã được nhà lôgích học
Gottlob Frege phát động (viết về một số người cùng thời với ông). Frege (1971:
125) thảo luận về tiến trình được gọi là theo đó chúng ta lấy một nhóm ‘những khối đếm’ [22] và trừu tượng hóa đi sự khác biệt giữa chúng, như thế khiến những khối trở nên ‘bằng nhau’, rất giống
như những đơn vị lý tưởng của Plato. Giả định, sau đó chúng ta đi đến con số của chúng, như trong đoạn đang trích đọc Aristotle. Frege trả lời
rằng nếu, qua sự trừu tượng
hóa, ‘những
khối đếm trở nên giống hệt nhau, khi đó chúng
ta bây giờ chỉ có một khối để đếm;
việc đếm sẽ không tiến hành vượt
quá “một”. Ai là người không
phân biệt được giữa những
sự vật việc người ấy giả
định để đếm,
thì không thể đếm chúng được’. Có nghĩa là, nếu chúng ta cố gắng trừu
tượng hóa cho mất đi những khác
biệt giữa những khối, khi đó chúng
ta không thể phân biệt chúng, để có thể
đếm
chúng:
Nếu sự trừu tượng hóa đẫ gây nên tất cả những khác biệt để biến mất, nó sẽ làm mất đi sự có
thể xảy ra của việc đếm. Mặt khác, nếu từ ‘ngang bằng không được giả định để dùng chỉ định tính cá thể, thì những đối tượng giống nhau do đó sẽ khác biệt với một số thuộc tính và sẽ thuận hợp với những thuộc tính khác. Nhưng để biết
điều này, trước tiên chúng ta không cần phải trừu tượng hóa từ những khác biệt của chúng. . . [Trừu tượng hóa là không-phân biệt và không-nhìn thấy; nó không là một khả năng của sự nhìn thấu suốt hay của sự rõ
ràng, nhưng là một là
khả năng của
thuyết bôi đen kiến thức và
sự nhầm lẫn.
Frege (1980a: 84-85) đưa ra một quan điểm tương tự với nhiều mỉa mai hơn:
Không chú ý là một dung dịch
kiềm rất mạnh; nó phải không
được áp dụng ở một nồng
độ quá lớn, thế khiến mọi
sự vật việc không bị hòa tan, và tương tự cũng không được quá loãng, thế khiến nó tác động một thay đổi đủ cần thiết trong mọi sự vật việc. Thế nên, nó là một câu hỏi của việc có tính được đúng mức độ pha loãng hay không; điều này thì khó để đạt kết quả, và
tôi, dù ở bất kỳ mức độ nào, cũng
chưa bao giờ thành công ... [Trừu tượng hóa]
thì đặc biệt hiệu quả. Chúng ta bớt chú trọng đi một thuộc
tính,
và nó biến mất. Bằng việc làm cho hết đặc điểm này
đến đặc điểm khác biến mất, chúng ta càng có nhiều khái niệm trừu tượng hơn ...
Giả định rằng có một con mèo đen và một con mèo trắng ngồi cạnh nhau trước
chúng ta. Chúng ta ngừng chú trọng
đến màu sắc của chúng, và chúng trở nên không
màu, nhưng vẫn ngồi cạnh nhau. Chúng ta ngừng chú trọng đến tư thế của chúng, và chúng không
còn ngồi nữa (mặc dù chúng không ra vẻ
có tư
thế khác), nhưng mỗi con thì vẫn
ở trong chỗ của
nó. Chúng ta ngừng chú trọng vào
vị trí; chúng thội không
còn chỗ, nhưng vẫn khác biệt. Trong
cách này,
có lẽ, chúng ta có được từ mỗi con của chúng một
khái niệm tổng quát về
Mèo. Bằng sự tiếp tục áp dụng
cách tiến hành này,
chúng ta thu được từ mỗi đối tượng một bóng ma không-có-máu ngày càng nhiều hơn. Cuối cùng,
chúng ta thu được từ mỗi một, một
gì đó hoàn toàn bị tước đoạt mất nội dung; nhưng một gì đó thu được
từ một đối tượng thì khác biệt với một gì đó thu được từ đối
tượng khác – dù không là dễ dàng để
thấy thế nào.
Cũng xem
thêm
Frege 1884: §§13, 34. Để diễn đạt
lại Berkeley,
những đơn vị đã trừu tượng hóa xem xem dường như là những bóng ma của những đối tượng đã ra đi.
Một diễn
giải
thứ hai về nhận xét về toán học của
Aristotle là để do dự với sự
trừu tượng hóa về bản
thể học, và qua đó
phủ nhận thuyết
duy thực trong bản thể học. Chúng ta không có được
những đối tượng hình học hay số học qua bất kỳ tiến trình nào. Nói cho chặt chẽ, không có những đối tượng như vậy. Khéo léo là để duy trì thuyết duy thực về giá trị-đúng thật
và qua đó, tính khách quan của toán học. Jonathon
Lear (1982) giải thích nhà hình học của Aristotle như nghiên cứu những phương diện cụ thể của (một số) những đối tượng vật lý thông thường, có lẽ tương tự như Frege đã đưa ra. Lại nữa, hãy xem xét một quả cầu
làm bằng đồng thau. Nhà hình
học không trừu tượng hóa từ
đồng thau để đi đến một hình cầu hình học. Người ấy chỉ đơn giản là làm ngơ đồng thau và chỉ xem xét những thuộc
tính của vật thể vật lý vốn dẫn đến từ hình cầu của nó. Dù kết luận nào người
ấy rút ra cũng sẽ đúng với một
quả cầu bằng gỗ.
Như đã chỉ
ra trong
những đoạn văn trên, là điển
hình cho một nhà
hình học để giả định rằng có một đối tượng hình học vốn có tất cả và chỉ những thuộc tính vốn
chúng ta gán cho hình cầu. Đây là để nêu định đề những đối tượng hình học đặc biệt, phản lại sự giải
thích này của Aristotle. Tuy nhiên, Aristotle lưu ý rắng nêu định đề những đối tượng hình học
là vô hại, vì quả cầu vật lý thực
cũng có tất cả những thuộc tính vốn chúng ta gán cho quả cầu nêu định đề. Chính xác và theo nghĩa
đen, nhà hình học nói về chỉ những
đối tượng vật lý (mặc dầu ‘không
như vật lý’). Tuy nhiên, là vô hại để cho rằng rằng hình cầu hình học là tách biệt. Nói cách khác, những đối tượng của
hình học là những tưởng tượng có ích. Giả định một nhà hình học nói, ‘hãy cho A là một tam giác cân’. Sau đó người ấy gán cho A chỉ những
thuộc tính vốn như có từ một tam giác cân. Những nhà toán học
đôi khi nói rằng A là một tam giác cân ‘bất kỳ’, nhưng tất cả những gì họ muốn nói là A có thể là bất
kỳ một tam giác nào như vậy. Tương tự với giải thích hiện giờ, sẽ là một điều tưởng tượng
vô hại để thay vào đó nói
rằng A là một đối tượng đặc
biệt có tất cả những thuộc
tính tổng quát với tất
cả những tam giác cân.
Một giải thích tương tự về số học sẽ đến từ việc giải quyết một đối tượng cho sẵn trong một sưu tập như “không
thể phân chia” hay “như một đơn vị”. Thí dụ, trong sưu tập gồm năm con cừu, chúng ta coi mỗi con cừu như không thể phân chia. Tất nhiên, như những
người bán thịt biết, mỗi con cừu đều hoàn toàn có thể phân chia được, và vì vậy giả định của nhà toán
học thì sai. Ý tưởng là nhà toán học làm ngơ bất kỳ những thuộc tính nào của sưu tập vốn phát sinh từ tính có thể phân chia của con cừu cá thể.
Chúng ta cứ lấy cớ rằng
mỗi con cừu là không thể phân chia, và vì vậy chúng ta coi nó như không thể
phân chia.
Aristotle đồng ý với Plato rằng con số luôn là một con
số của một gì đó, nhưng với Aristotle, những con số là những con số của những sưu tập của những đối tượng thông thường.
Những số của Aristotle là những số
vật lý của Plato. Với hình học, sẽ vô hại nếu giới thiệu những con số như những tưởng tượng có ích, trong việc đưa ra những
phương pháp giải quyết vấn đề số
học.
Với cả
hai cách giải thích của triết học của toán học của Aristotle, tính áp dụng của toán học với thế giới vật lý
thì dễ hiểu, không phức tạp. Nhà toán học nghiên cứu những thuộc tính
thực của những đối tượng vật lý thực. Không có sự cần thiết để nêu định đề một liên
kết giữa lĩnh vực toán học và lĩnh vực vật lý,
vì chúng ta không giải quyết hai lĩnh vực riêng biệt. Đây là mầm mống của thuyết
duy nghiệm, hay ít nhất là một số hình thức nhất định của nó.
Không giống Plato, cả hai cách giải thích của
Aristotle đều có ý nghĩa về ngôn ngữ năng động
vốn là điển hình của
hình học. Vì hình học là về những
đối tượng vật lý hay những trừu
tượng hóa trực tiếp từ những đối tượng vật lý, nên việc nói về ‘bình phương và áp dụng và cộng vào và những sự việc tương tự’ là điều tự nhiên.
Chúng ta chắc chắn tạo ‘hình
vuông và áp dụng và cộng’ những
đối tượng vật lý và ăn nói
này gần như chuyển sang hình học theo nghĩa đen. Hãy xem xét nguyên lý Euclid rằng giữa hai điểm bất kỳ người
ta có thể vẽ một đường thẳng. Với Plato, đây là một phát biểu trá hình về sự hiện hữu của những Đường thẳng. Aristotle có thể coi
nguyên lý theo nghĩa đen,
như một phát biểu về
những cho phép chỉ ra những gì người ta có thể làm.
Có một vấn đề có thể xảy ra liên quan đến sự không tương ứng giữa
những đối tượng vật lý thực và những đối tượng hình học hay những thuộc tính hình học.
Tất nhiên, đây là một thí dụ xảy ra của sự
không tương ứng giữa
đối tượng và
Thể Dạng vốn làm động lực cho thuyết
Plato. Suy xét khối
cầu bằng đồng và mặt bên của khối nước đá lập phương. Khối cầu
thì nhất định có chứa
những không toàn hảo và mặt của khối lập
phương thì chắc chắn không
hoàn toàn phẳng. Nhớ lại
định lý rằng một tiếp tuyến của một đường tròn cắt đường tròn ở một điểm duy nhất (xem Hình 3.2 ở trên). Định
lý này thì sai liên quan đến
những đường tròn thực và những đường thẳng thực. Như thế chúng ta có ý kiến gì về tuyên bố của Aristotle rằng ‘những đối tượng toán học hiện hữu và chúng đều như
được nói để là (như thế)’, và phát biểu rằng ‘những nhà hình học nói chính xác’?
Với cách
giải thích theo trừu tượng hóa,
chúng ta muốn đi đến với
những đối tượng vốn đáp
ứng chính xác sự mô
tả toán học của những
hình cầu, những mặt phẳng và những
đường thẳng.
Để hoàn thành được
điều này, chúng ta phải trừu tượng
ra khỏi những không toàn hảo bất kỳ nào trong những mẫu xét nghiệm vật lý, chẳng hạn như những vết lồi
trên mặt của khối lập phương. Đó là,
chúng ta không chỉ trừu tượng ra khỏi
chất đồng
thau, chúng ta trừu tượng ra khỏi
những
không toàn hảo để đi đến một hình cầu toàn hảo. Nếu sự trừu tượng hóa thêm nữa này được cho phép, khi đó người ta có thể tự hỏi quan điểm của
Aristotle khác với của Plato thế nào. Trong ý hướng nào thì những hình vẽ trừu tượng
cuối cùng vẫn là phần của thế giới vật lý? Làm thế nào để những Thể Dạng toàn hảo hiện hữu trong những
đối tượng vật chất không toàn hảo? Chúng ta xem dường như đã lại đi vào thế giới Hữu thể của Plato, qua cửa
sau, hay ít nhất chúng ta gặp phải những vấn đề chính yếu với thế giới của Hữu thể. Điều động suy ngẫm cắt đứt kết buộc maatj thiết giữa toán học và thế giới vật lý đã
nêu ở trên.
Với cách
giải thích thứ hai (của người theo thuyết
tưởng tượng), nhà hình học nghiên cứu những hậu quả của một set đã giới
hạn nhất định nào đó gồm những thuộc tính của những đối tượng vật
lý. Để giải quyết vấn đề không tương ứng, Aristotle có thể chủ trương rằng có những
đối tượng vật lý vốn thiếu
sự không toàn hảo. Nói cách khác, có những hình cầu toàn hảo về mặt vật lý, những
hình khối có bề mặt phẳng toàn hảo và những cạnh thẳng toàn hảo, hình tam giác
toàn hảo, v.v. Aristotle đã chủ trương rằng những thiên thể là những khối cầu (toàn hảo) và quỹ đạo của chúng là
hình cầu. Tuy nhiên, vòm trời
không cho cho chúng ta đủ những đối
tượng cho một hình học phong phú, và đề nghị này không giải thích cho sự áp dụng của hình
học ở đây trong cõi nằm-dưới-mặt
trăng. Có thể là đủ
cho Aristotle để chủ
trương rằng là có
thể có những khối cầu,
đường thẳng, mặt phẳng toàn hảo và những sự vật tương tự như vậy ngay cả nếu không có lấy một (hay có ít) những đối tượng thực sự cho nhà
toán học để nghiên cứu. Phần lớn
những chứng minh hình
học tiến hành qua sự xây
dựng. Người đọc được yêu cầu tạo ra một đường thẳng hay đường tròn nhất định.
Trong cách giải thích thứ hai, Aristotle phải cho phép rằng sự xây dựng này là có thể được – trong thế giới vật lý
chỉ dùng những dụng cụ vật lý. Tương tự, trong
số học, nguyên tắc kế tục [23] được khẳng định khi chúng ta lưu ý rằng với
bất kỳ sưu tập của những đối tượng
vật
lý nào, có thể có một sưu tập
với
một đối tượng hơn thêm nữa. Việc chuyển sang phương thức này có
thể mang trở lại những vấn đề
tri thức học với
thuyết Plato. Aristotle có thể chỉ ra rằng
hình học có thể áp dụng cho thế giới vật lý đến mức
độ vốn những đối tượng của nó tương đương xấp
xỉ
với những đối tượng toàn hảo đã mô
tả trong những chuyên luận toán học, nhưng đáp ứng này thì cũng sẵn có cho cả Plato nữa.
Người ta có thể nghĩ về những đối tượng toàn hảo của
hình học (và số học) như những
phần của không gian vật lý, nhưng, như nói trên, điều này sẽ cắt đứt ràng buộc với những
đối tượng quan sát. Những đường tròn và đường thẳng lý tưởng sẽ không ‘trong’ những đối tượng vốn chúng ta nhìn thấy.
Như đã ghi nhận,
Aristotle có cùng với
thuyết duy nghiệm một ràng
buộc chặt chẽ giữa chủ đề-nội
dung của
toán học và thế giới vật lý. Những quan
điểm như vậy sáng lập trên những
nhánh của toán học vốn không
có một liên kết trực
tiếp loại như thế với
vũ trụ vật chất. Aristotle chủ trương rằng những số hữu tỉ không là những con số, nhưng có liên hệ với những số tự nhiên như những tỷ
lệ. Có lẽ giải tích thực và
ngay cả phân tích duy lý [24] có
thể xuất hiện từ sự hiểu biết của Aristote về hình học. Đi theo Euclid, người ta hoặc có thể phát triển một lý thuyết về tỷ lệ của những đoạn thẳng
hoặc lấy lại những số thực qua những đoạn thẳng,
sau khi lấy
một đoạn thẳng tùy tiện như đơn
vị (theo những gì Aristotle nói về những đơn
vị số học). Tuy nhiên, ít nhất là thoạt nhìn, điều này
là về xa đến đâu một quan điểm
như
vậy có thể đi
đến. Một người theo thuyết Aristotle sẽ hiểu thế nào về phân tích số phức (lý
thuyết hàm biến phức), hay giải tích hàm, hay tôpô tập hợp điểm [25],
hay lý thuyết tập hợp tiên đề? Tất nhiên, không công bằng khi đổ lỗi cho
Aristotle về khoảng trống này,
nhưng bất kỳ người theo thuyết Aristotle thời nay nào cũng sẽ phải đối mặt với
vấn đề này.
5. Đọc thêm
Những nhận
xét của Plato về toán học nằm rải rác trong những đàm thoại, nhưng toán học được chú ý đặc biệt
trong Republic
và Theaetetus. Triết học của toán học của Aristotle được tìm thấy hầu hết
trong Metaphysics M
và N, đặc biệt chương 3 của M. Annas 1976 là một bản dịch có thể đọc được, và
nó chứa đựng một tài liệu minh bạch về triết học của toán học của Plato và
Aristotle. Một nguồn tiêu chuẩn cho Plato về toán học là Wedberg 1955; cũng xem thêm Vlastos 1991: ch. 4, Mueller 1992, và Turnbull
1998. Một nguồn tiêu chuẩn cho Aristotle về toán học là Apostle 1952; cũng xem thêm Lear 1982 và Mueller 1970.
Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Jan/2022)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] Có ba bài
toán cổ điển trong toán học Greek cực kỳ
quan trọng trong sự phát triển của hình học. Những bài toán này là những bài
toán: bình phương hình tròn, nhân đôi
khối lập phương (hay bài toán Delian, dựng một
hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một hình lập phương đã cho) và chia 3 một góc. Bài toán bình phương hình tròn đã trở nên nổi tiếng nhất thời nay, nhưng bài toán nhân đôi hình lập phương
chắc chắn nổi tiếng nhất vào thời
Hellas thời cổ. (a) Một
số góc có thể chia 3 được
bằng compa và thước thẳng. Ví
dụ, một góc 180 ° có thể chia được
bằng cách dựng một cặp tam giác đều. Một góc
90 ° có thể chia được
bằng cách tạo một góc 30 ° dựa trên
mỗi của hai đường. Nói chung, một góc có số đo là
2π / N có thể được chia ba, nếu
và chỉ khi N không chia hết cho
3. (b) Mãi đến năm 1882, Ferdinand
von Lindemann mới chứng minh được tính siêu việt của số π và do đó cho thấy
không thể nào làm được bài toán này. Tính siêu việt của số π hàm ý rằng không
thể ‘làm tròn’ hình vuông một cách chính xác, cũng như việc bình phương hình
tròn Vì diện tích hình tròn sẽ luôn là một số siêu việt (số thực hay số phức,
không là số đại số) và diện tích hình vuông phải là một số nguyên, điều này
không bao giờ có thể xảy ra trong một số bước hữu hạn (dùng compa và thước thẳng)
[2] paradigm
shifts
[3] Hình học là nhánh đầu tiên của toán học đã rất phát triển ở Greek thời
cổ. Những khái niệm về “định lý” và “chứng minh” bắt nguồn từ hình học, và hầu
hết những nhà toán học cho đến thời gian gần đây đã được giới thiệu về đề tài
của họ qua hình học trong Elements
của Euclid. Trong Elements, người ta
tìm thấy những cố gắng đầu tiên để suy diễn những định lý từ những phát biểu
được cho là tự hiển nhiên gọi là những tiên đề và những định đề (axioms &
postulates). Những tiên đề của Euclid không đủ để chứng minh tất cả
những định lý
đã tuyên bố
để chứng
minh. Định đề thứ năm về đường song song (parallel postulate) không thể chứng minh được như một
định lý, mặc dù nhiều người đã cố gắng.
Euclid chỉ sử dụng bốn định đề đầu tiên (‘hình học
tuyệt đối’) cho 28
mệnh đề toán học đầu tiên
của Elements, nhưng buộc phải đưa ra
định đề song song vào mệnh đề 29. Năm
1823, Janos Bolyai và Nicolai Lobachevsky đã bỏ định đề song song này, và tạo
ra ‘hình học
phi-Euclid’. Tuy nhiên, phải mất hơn 2000 năm để tạo ra một nền tảng rõ ràng hơn
cho hình học. Đỉnh cao của Elements
là sự điều tra về khối đa diện đều, năm hình đối xứng trong không gian ba chiều
(polyhedron – πολύεδρον). Năm khối đa diện đều xuất hiện nhiều lần trong lịch sử toán học, quan
trọng nhất là trong lý thuyết của đối xứng – lý thuyết nhóm. Elements không chỉ chứa những chứng minh
nhưng cũng nhiều những xây dựng, bằng thước kẻ và compa. Tuy nhiên, có ba xây
dựng nổi bật dễ thấy vì sự vắng mặt của chúng: nhân đôi hình lập phương, chia 3
một góc và bình phương hình tròn. Những vấn đề này đã không được hiểu đúng cho
đến thế kỷ 19, khi chúng được giải quyết (trong phủ định) bằng đại số và phân
tích. Những đường cong duy nhất trong Elements
là hình tròn, nhưng người Greek đã nghiên cứu nhiều đường cong khác, chẳng hạn
như những phần hình nón. Lại nữa, nhiều bài toán mà người Greek không thể giải,
sau đó đã được làm sáng tỏ bằng đại số.
[4] rationalism, Platonism=triết học của
chính Plato, ‘platonism’= triết
học Plato khai triển của những người theo triết học Plato.
[5] Being và
Becoming: Thế giới của Trở thành là thế giới vật chất mà chúng ta lĩnh hội được
qua giác quan. Thế giới này thì động, luôn luôn thay đổi. Thế giới của Hữu thể
là thế giới của những thể dạng, hay ý tưởng. Nó thì tuyệt đối, độc lập và siêu
việt
[6] xem
thêm Plato – Republic – Quyển 6 bản tôi dịch trên
blog này
[8] [những phân chia là không bằng nhau,
với những Thể Dạng nhận được không gian lớn
nhất. Tỷ lệ kép sau đây giữ nguyên: Thể Dạng đối với những đối tượng toán học
như những đối tượng vật lý đối với những phản
ảnh, như Hữu thể (tức là Thể Dạng
cộng với những đối tượng toán học). Trở
thành (tức là những đối tượng vật lý và những phản ảnh). Mặc dù Plato không nói đến điều này, nhưng
theo đó, phân đoạn những ‘đối
tượng toán học’
có cùng kích thước với phân đoạn những ‘đối
tượng vật lý’.]
[9] Proclus Lycius (412-485)
[10] Xem thêm Plato – Timaeus , bản tôi dịch trên
blog này.
[11]
Xem thêm Plato – Sophist
, bản tôi dịch trên blog này.
[12] [hiệu ứng m này, là cách Euclid đã tiến hành trong Elements, sách 10. Số học Euclid là một nhánh của hình học.]
[13] logistic: tiến trình tổng thể quản lý cách thu thập,
lưu trữ và vận chuyển tài nguyên đến đích cuối cùng của chúng
[14] tiếng Greek cổ: ‘λογιστικός’: logistikos, ‘số học thực hành’
[15] gnomon: gnomon là phần cần được thêm vào một
số tượng hình để biến đổi nó thành số lớn hơn tiếp theo
[16] [Nếu những người buộc tội, hay bồi thẩm
đoàn, đã nhận ra sự phi lý của những những giả định ẩn giấu của họ, thì mạng sống của Socrates sẽ được
tha. Nhưng rất thông thường, những vụ án không thắng hay bại trên cơ sở của lý do khôn ngoan sắc bén.]
[17] [Như đã ghi nhận trong chương I, không là cường điệu
khi nói rằng điều này vẫn còn tồn tại đến ngày nay. Xem xét một loạt những đòi hỏi phải có trước của toán học trong những
ngành khoa học tự nhiên và xã hội.]
[18] [Hãy nhớ lại tấm biển ở cổng trường Academy: ‘Hãy đừng để một ai không biết gì về hình học vào đây’]
[19] Form và matter: hình trạng và vật
chất; “form” của Aristotle có thể tạm dịch là “hình trạng” (形狀) – theo nghĩa: “hình”: hình thể, hình dáng + “trạng”: hình
dung ra, dáng, tình hình (như “trạng từ” – tiếng giúp thêm, để hình dung ra cho
rõ một động từ). Với Aristotle, “hình trạng” là dạng ngoài (ngoại mạo) có liên
hệ với bên trong (thực thể).
Aristotle chủ trương thuyết “hylomorphism” [vật chất (hylē,) + hình thức (morphē)] là học
thuyết trung tâm của triết học về tự nhiên của Aristotle. Theo Aristotle, vật chất và hình trạng không phải là những phần vật chất của những thực
thể, vật chất của một sư vật sẽ gồm những yếu tố đó của nó, khi sự vật đi vào
trong hiện hữu/hiện hữu, có thể nói là để trở thành nó; và hình trạng là sự sắp xếp
hay tổ chức của những yếu tố đó, vì kết quả của sắp xếp hay tổ chức thế đó,
chúng đã trở thành sự vật như chúng ta thấy.
Xem
thêm Bertrand Russell – Lịch sử
Triết học phương Tây (16) , bản
tôi dịch trên blog này.
[20] loại bỏ, hay
làm ngơ những chi tiết của một gì đó để khái quát hóa hoặc đơn giản hóa nó ở mức
độ khái niệm.
[21] [Một hậu quả đáng tiếc (nếu không muốn
nói là tai hại) của lý do giải thích này là một số tự nhiên không hiện hữu trừ
khi có một sưu tập những đối tượng vật chất có kích thước đó. Tương tự, một đối
tượng hình học, chẳng hạn như một đa giác đã cho, chỉ hiện hữu khi có một đối
tượng vật lý có hình dạng đó.]
[22] counting
block: khối (đơn vị) để đếm
[23] successor principle: nguyên tắc kế thừa = thêm một
đối tượng vào một set có nghĩa là set đó bây giờ chứa N + 1.
[24] real analysis:
phân tích số thực,
rational analysis: phân tích
duy lý.
[25] point set topology.
