Sunday, February 27, 2022

Shapiro – Suy Nghĩ Về Toán Học (02)

 Suy Nghĩ Về Toán Học

(Triết Học của Toán Học)

 Stewart Shapiro

 ( ←...tiếp theo)


2

MỘT HỖN HỢP NHỮNG HỎI VÀ ĐÁP

 

Mục đích của chương này là để vẽ phác những vấn đề lớn quan trọng và một số những lập trường chính quan trọng trong dự án diễn giải khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ của triết học của toán học. Những câu hỏi một triết học của toán học phải trả lời để làm sáng tỏ vị trí của toán học trong toàn bộ dự án trí tuệ – trong con tàu của Neurath ?

Đã từng được nêu lên những trả lời thuộc loại nào?

 

1. Tất Yếu và Kiến thức Tiên nghiệm

 

Một khảo sát bình thường về những ngành khoa học cho thấy toán học thì bao gồm trong nhiều những cố gắng nhất của chúng ta để đạt kiến thức. Thế nên, triết học của toán học, trong phần lớn, là một nhánh của tri thức học – phần của triết học vốn giải quyết vơi việc nhận thức và kiến thức. Tuy nhiên, toán học ít nhất hiện ra là khác biệt với những nỗ lực tri thức học khác, và đặc biệt, với những phương diện khác của sự theo đuổi của khoa học. Những mệnh đề toán học cơ bản xem dường như không có dự trù cho sự kiện hoặc hoàn cảnh không lường trước được. của những mệnh đề khoa học. Theo trực giác, mặt trời không nhất thiết phải có chín hành tinh. Có thể có bảy, hay không có hành tinh nào. Lực hấp dẫn không nhất thiết phải tuân theo luật bình phương nghịch đảo, ngay cả xấp xỉ gần đúng. Ngược lại, những mệnh đề toán học, như 7 + 5 = 12, đôi khi được nêu như thức của những đúng thật tất yếu. Mọi sự vật việc chỉ không thể khác.

 

Nhà khoa học sẵn sàng nhìn nhận rằng những luận đề nền tảng hơn của mình có thể sai. Tính khiêm tốn này được một lịch sử của những cách mạng khoa học hỗ trợ bằng chứng, trong đó những tin tưởng nắm giữ sâu xa, lâu đời đã bị bác bỏ. Có thể nào người ta thành thực giữ cùng một sự khiêm tốn cho toán học không? Có thể nào người ta hoài nghi rằng nguyên lý quy nạp giữ đúng với những số tự nhiên không? Có thể nào người ta hoài nghi rằng 7 + 5 = 12? Đã từng có những cách mạng toán học đi đến kết quả là sự bác bỏ của những tin tưởng toán học lâu đời giữ ở trung tâm? Ngược lại, phương pháp luận của toán học không có vẻ tính xác suất như cách thức trong khoa học. Ngay cả không biết có phải đã có một khái niệm mạch lạc, chặt chẽ của tính xác suất của một phát biểu toán học không? Ít nhất thoạt nhìn, cơ sở tri thức của nguyên lý quy nạp, hay 7 + 5 = 12, hay số lượng vô hạn của những số nguyên tố, thì vững chắc hơn và khác biệt trong cùng loại, hơn là với nguyên lý của lực hấp dẫn. Không giống khoa học, toán học tiến hành qua chứng minhMột chứng minh đúngthành công, loại bỏ tất cả những hoài nghi lý trí, không chỉ tất cả những hoài nghi lý trí có thể có. Một chứng minh toán học sẽ cho thấy rằng những tiền đề của nó theo lôgích dẫn đến kết luận của nó. Những tiền đề thì đúng nhưng kết luận thì sai là điều không thể xảy ra được.

 

Trong mọi trường hợp, hầu hết những nhà tư tưởng đồng ý rằng những mệnh đề toán học cơ bản hưởng được một mức độ cao của tính chắc chắn. Làm sao chúng có thể là sai? Làm sao chúng có thể bị nghi ngờ bởi bất kỳ hữu thể có lý trí nào – không đến mức của một người hoài nghi tổng quát, người chủ trương rằng mọi sự vật việc đều nên bị nghi ngờ? Toán học xem dường thiết yếu cho bất kỳ loại suy luận nào. Nếu, như phần của một thí nghiệm triết học trong tưởng tượng, chúng ta thửnhững hoài nghi về toán học cơ bản, không phải rõ ràng là chúng ta hoàn toàn không có thể tiếp tục suy nghĩ được nữa?

 

Cụm từ a prioricó nghĩa một gì đó giống như ‘trước kinh nghiệm hay độc lập với kinh nghiệm. Đó là một khái niệm trong tri thức học. Định nghĩa một mệnh đề được biết tiên nghiệm nếu kiến thức không dựa trên bất kỳ kinh nghiệm nào của diễn tiến cụ thể của những sự kiện của thế giới thực (Blackburn 1994: 21). Người ta có thể cần kinh nghiệm ngõ hầu để nắm vững những khái niệm gồm trong mệnh đề, nhưng không có kinh nghiệm đặc biệt nào khác với thế giới. Một mệnh đề được biết là hậu nghiệm (a posteriori) hay theo kinh nghiệm (empirically) nếu nó không được biết được biết tiên nghiệm. Đó là, một mệnh đề được biết là hậu nghiệm nếu kiến thức dựa trên kinh nghiệm về cách thế giới mở ra như thế nào. Một mệnh đề đúng thì tự thân nó là tiên nghiệm nếu nó có thể trở thành được biết tiên nghiệm, và một mệnh đề đúng là hậu nghiệm nếu nó không thể (biết tiên nghiệm) – nếu kinh nghiệm với thế giới (ngoài những gì cần thiết để thấu hiểu những khái niệm) thì cần thiết để đi đến hiểu mệnh đề. [1]

 

Những thí dụ điển hình của một mệnh đề hậu nghiệm là “con mèo thì trên tấm thảm” và “lực hấp dẫn xấp xỉ tuân theo một luật bình phương nghịch đảo”. Như chúng ta sẽ thấy (ch. 4, §3; ch. 8, §2), một số triết gia chủ trương rằng không có kiến thức tiên nghiệm, nhưng cho phần còn lại, những mệnh đề tiên nghiệm điển hình gồm tất cả những đối tượng màu đỏ đều có màu sắckhông gì có màu đỏ khắp tất cả và đồng thời màu xanh lá cây khắp tất cả’. Có lẽ những thí dụ được trích dẫn nhiều nhất là những mệnh đề của lôgích và toán học, trọng tâm hiện tại của chúng ta. Toán học xem dường như không dựa trên quan sát theo lối vốn khoa học dựa trên. Lại nữa, toán học dựa trên chứng minh.

 

Do đó, nó là phận sự với bất kỳ triết học hoàn chỉnh nào của toán học ít nhất để giải thích cho tính tất yếu hiển nhiên và tiên nghiệm của toán học. Có lẽ, lựa chọn không quanh co sẽ là nói rõ ràng những khái niệm của tất yếu và tiên nghiệm, sau đó cho thấy áp dụng vào toán học theo cách thức thế nào. Chúng ta hãy gọi đây là đường lối truyền thống. Nó theo châm ngôn rằng mọi sự vật việc đều như chúng xem có vẻ. Gánh nặng với đường lối truyền thống là phải cho thấy chính xác điều gì là cái biết tất yếu và tiên nghiệm. Trong phát triển hiẹn nay, không ai có thể chính đáng tuyên bố rằng những khái niệm này là đủ rõ ràng và phân biệt. Nếu triết gia muốn gợi lên hai khái niệm sinh đôi của tất yếu và tiên nghiệm, thì người ấy phải nói nhữngđược gợi lên .

 

Có một căng thẳng quan trọng trong bức tranh truyền thống. Trên cái nhìn đó, toán học thì tất yếu và biết được tiên nghiệm, nhưng toán học có một gì đó để làm với thế giới vật lý. Như đã ghi nhận. toán học thì thiết yếu cho sự tiếp cận khoa học với thế giới, và khoa học thì theo kinh nghiệm, nếu có bất cứ gì là thế – thuyết duy lý không kể. Vì vậy, kiến thức tiên nghiệm về những đúng thật tất yếu hiện ra thế nào trong sự thu thập kiến thức thực nghiệm thông thường? Luận điểm của Immanuel Kant rằng số học và hình học là tiên nghiệm tổng hợp là một cố gắng hào hùng để dung hòa những đặc điểm này của toán học (xem chương 4, §2 1. Theo Kant, toán học liên quan đến những dạng của nhận thức. Nó liên quan đến những cách vốn chúng ta nhận thức thế giới vật lý. Hình học Euclid liên quan đến những dạng của trực giác không gian và số học liên quan đến những dạng của trực giác không gian và thời gian. Vì vậy, toán học thì tất yếu vì chúng ta không thể cấu trúc thế giới theo bất kỳ cách nào khác. Chúng ta phải nhận thức thế giới qua những dạng này của trực giác. Khônghình thức nào khác có sẵn cho chúng ta. Kiến thức toán học thì tiên nghiệm vì chúng ta không cần bất kỳ kinh nghiệm đặc biệt nào khác với thế giới để nắm bắt những hình thức của trực giác về nhận thức.

 

Đó là một trình bày khá thô thiển đã làm giảm đi nhiều giá trị cái nhìn của của Kant vốn đã và vẫn có nhiều ảnh hưởng, nhưng cái nhìn của ông về toán học đã được xem khó khăn rắc rối, hầu như ngay từ đầu. Phái theo Kant có thể đãvướng tội’ đổi chác một số vấn đề khó khăn và những khái niệm mù mờ như tiên nghiệm và tất yếu với một số vấn đề lại còn còn khó khăn hơn, liên quan đến trực giác. Alberto Coffa (1991) cho thấy rằng một đề mục chính trong chương trình bàn luận của triết học phương Tây trong suốt thế kỷ XIX là giải thích cho (ít nhất) tính tất yếu hiển nhiên và bản chất tiên nghiệm của toán học, và những ứng dụng của toán học, nhưng không viện dẫn trực giác theo như Kant. Đề mục trong chương trình bàn luận này ngày nay vẫn sống động.

 

Một lựa chọn khác là cho triết gia để biện luận rằng những nguyên lý toán học đều không tất yếu hay không biết được tiên nghiệm, có lẽ vì không có những mệnh đề nào hưởng được những vinh dự này. Một số người theo thuyết duy nghiệm nhận thấy lựa chọn không-truyền thống này hấp dẫn, phủ nhận hay hạn chế chặt chẽ tính tiên nghiệm. Ngày nay quan điểm này phổ thông hơn bao giờ hết, chủ yếu ở Bắc America dưới ảnh hưởng của thuyết duy nhiên / thuyết duy nghiệm của W V. O. Quine (xem ch. 1, §3 và ch. 8, §3). Một gánh nặng với một triết gia theo đuổi lựa chọn không-truyền thống này là phải cho thấy lý do toán học xem dường như xuất hiện là tất yếu và tiên nghiệm. Người ta không thể đơn giản gạt bỏ tin tưởng lâu đời liên quan đến địa vị đặc biệt của toán học. Đó là, ngay cả nếu những tin tưởng truyền thống đã nhầm lẫn, phải có một gì đó về toán học vốn đã đưa dẫn nhiều người tin rằng nó là tất yếu và biết được tiên nghiệm

 

2. Những Vấn Đề Toàn Bộ: Những Đối Tượng Và Tính Khách Quan

 

Như đã ghi nhận trong chương trước, triết gia của toán học ngay lập tức gặp phải những vấn đề sâu rộng. Toán học, nếu là bất cứ gì, là về gì? Toán học được theo đuổi như thế nào? Chúng ta biết toán học thế nào? Phương pháp luận của toán học là gì, và phương pháp luận này đáng tin cậy đến mức độ nào? Những khẳng định toán học có nghĩa là gì? Có phải chúng ta có những sự khái niệm hóa xác định và không hàm hồ về những khái niệm và ý tưởng toán học cơ bản hay không? Có phải đúng thật toán học là có hai giá trị, trong ý hướng rằng mọi câu phát biểu đã hình thành rõ ràng và không hàm hồ đều hoặc tất định đúng hoặc tất định sai không? lôgích thích hợp cho toán học là gì? Những nguyên lý toán học khách quan và độc lập với não thức, ngôn ngữ và cấu trúc xã hội của những nhà toán học đến mức độ nào? Có phải mọi đúng thật toán học đều có thể biết được? Liên quan giữa toán học và khoa học là gì khiến thể có sự ứng dụng?

 

Tất nhiên, một số câu hỏi này không giới hạn chỉ với toán học. Ngay từ buổi đầu của lịch sử đã ghi chép, vấn đề siêu hình cơ bản đã là để xác định (nếu có) ngôn ngữ thông thường, hay ngôn ngữ khoa học, là về những gì, và những triết gia luôn tự hỏi liệu sự đúng thật thông thường có độc lập với não thức con người hay không. Gần đây, ngữ nghĩa đúng cách và lôgích đúng cách cho bàn luận thông thường đã trở thành một đề tài quan trọng trong triết học, với triết gia mạo hiểm vào trong ngôn ngữ học. Như đã ghi nhận trong ch. 1, chúng ta phải học bài học của thuyết duy lý và cẩn thận khi mở rộng những kết luận liên quan với toán học cho phần còn lại của ngôn ngữ và phần còn lại của dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ. Và ngược lại: chúng ta phải cẩn thận khi mở rộng những kết luận về ngôn ngữ và khoa học thông thường sang toán học.

 

2.1. Đối tượng

 

Một vấn đề toàn bộ liên quan đến chủ đề-nội dung của toán học. Nói viết truyền thông toán học có những dấu hiệu của viện dẫn những loại đối tượng đặc biệt, chẳng hạn như những số, điểm, hàm số và set. Xét định lý thời cổ rằng với mọi số tự nhiên n, có một số nguyên tố m > n. Điều này dẫn đến kết quả là không có số nguyên tố lớn nhất và do đó có vô hạn những số nguyên tố. Ít nhất trên bề mặt, định lý này xem dường như quan tâm đến những con số. Những sự vật việc này là gì? Có phải chúng ta dùng ngôn ngữ của toán học với giá trị thấy mặt ngoài, và kết luận rằng những số, điểm, hàm số và set đều hiện hữu không? Nếu chúng hiện hữu, chúng có độc lập với nhà toán học, não thức, ngôn ngữ của nhà toán học, v.v. không? Định nghĩa thuyết duy thực trong bản thể học là quan điểm rằng ít nhất một số đối tượng toán học hiện hữu khách quan, độc lập với nhà toán học.

 

Thuyết duy thực trong bản thể học đứng đối lập với những quan điểm như thuyết duy ý và thuyết duy danh. Người theo thuyết duy ý đồng ý rằng những đối tượng toán học hiện hữu, nhưng chủ trương rằng chúng tùy thuộc vào não thức (con người). Người này có thể nêu lên rằng những đối tượng toán học là những xây dựng xuất hiện từ hoạt động trí óc của những cá nhân nhà toán học. Đây sẽ là một thuyết duy ý chủ quan, tương tự như một cái nhìn về những đối tượng vật lý thông thường. Nói chính xác, từ cái nhìn này, mỗi nhà toán học đều có những số tự nhiên, những mặt phẳng Euclid, và v.v. của riêng mỗi người. Những người theo thuyết duy ý khác coi những đối tượng toán học là phần của cấu trúc tinh thần được tất cả loài người chia sẻ. Có lẽ toán học liên quan đến tính khả hữu của sự xây dựng vốn vẫn từng có. Đây thuộc vào loại, là một thuyết duy ý liên chủ quan [2],. Tất cả những người theo thuyết duy ý đều đồng ý về điều ngược lại rằng nếu không có não thức, tất sẽ không có những đối tượng toán học. Những người theo thuyết duy thực về bản thể học phủ nhận điều ngược lại, nhấn mạnh rằng những đối tượng toán học độc lập với não thức.

 

Thuyết duy danh là một phủ nhận triệt để hơn về sự hiện hữu khách quan của những đối tượng toán học. Một dạng cụ thể chủ trương rằng những đối tượng toán học chỉ là những xây dựng ngôn ngữ. Trong nói viết truyền thông thông thường, chúng ta phân biệt một đề mục đem cho, chẳng hạn như tác giả của quyển sách này, với một tên gọi của đề mục đó. Stewart Shapiro không giống như Stewart Shapiro. Một là một người và một là một đôi gồm hai từ. Một số người theo thuyết duy danh phủ nhận sự khác biệt gồm những đối tượng toán học này, nêu lên rằng số chín, chẳng hạn, chỉ là chữ số 9tương ứng (hay chín,IX, v.v.).[3] Đây là một biến thể của một thuyết duy danh truyền thống hơn liên quan đến nhữnggọi là ‘những phổ quát, như những màu sắc và những hình dạng. Quan điểm đó, phổ thông trong thời kỳ trung cổ, đã cho rằng chỉ những tên gọi là phổ quát. với một đối tượng có màu đỏ thì không có gì hơn ngoài việc có từ ‘màu đỏ áp dụng chính xác cho (một tên gọi của) đối tượng đó.

 

Ngày nay, một người hoài nghi phủ nhận sự hiện hữu của những đối tượng toán học là phổ thông hơn xây dựng chúng từ ngôn ngữ. Thuyết hư vô về toán học này cũng gọi là thuyết duy danh (xem chương 9).

 

Một số triết gia chủ trương rằng những số, những điểm, những hàm số và những set là những thuộc tính hay những khái niệm, phân biệt chúng với những đối tượng trên một số cơ sở siêu hình hay ngữ nghĩa. Tôi sẽ phân loại những triết gia này theo những gì họ nói về những thuộc tính hay những khái niệm. Thí dụ, nếu một triết gia chủ trương rằng những thuộc tính hiện hữu độc lập với ngôn ngữ và não thức – một thuyết duy thực liên quan đến những thuộc tính – khi đó tôi sẽ phân loại người ấy như một người theo thuyết duy thực trong bản thể học liên quan đến toán học, vì người ấy chủ trương rằng toán học có một chủ đề-nội dung đặc biệt và chủ đề-nội dung này thì độc lập với ngôn ngữ và não thức của nhà toán học. Tương tự, nếu một triết gia chủ trương rằng những con số, thí dụ, là những khái niệm và rằng những khái niệm đềutinh thần, vậy người này là một người theo thuyết duy ý liên quan đến toán học, và nếu người này là một người theo thuyết duy danh truyền thống liên quan đến những tính chất hay khái niệm, thì người ấy là một người theo thuyết duy danh liên quan đến toán học.

 

Thuyết duy thực trong bản thể học tự nó không có bất kỳ hệ quả phức tạp bất ngờ nào liên quan đến bản chất của những đối tượng toán học (hay những thuộc tính hay khái niệm), ngoài luận điểm xuông rằng chúng hiện hữu một cách khách quan, Những con số thì giống gì? Chúng liên quan hơn thế nào với những đối tượng trong thế giới này như tảng đá và con người? Trong số những người theo thuyết duy thực về bản thể học, quan điểm phổ thông nhất chủ trương rằng những đối tượng toán học là không-nguyên nhân, vĩnh cửu, không thể phá hủy, và không là phần của không-thời gian. Theo một khuynh hướng phổ biến, thực hành toán học và khoa học tán trợ điều này, một khi sự hiện hữu của những đối tượng toán học được thừa nhận. Những tài liệu khoa học không dẫn nhắc đến vị trí của những con số hay tác động nhân quả của chúng trong những hiện tượng tự nhiên, hay người ta có thể thực hiện việc tạo nên hay phá hủy một con số như thế nào. Không có viện dẫn những thí nghiệm để khám phá sự hiện diện của những con số, hay xác định những thuộc tính toán học của chúng. Nói chuyện như vậy sẽ bị gán cho lá nhãn phi lý. Thuyết duy thực trong bản thể học đôi khi được gọi là thuyết Plato[4] , vì những Thể Dạng của Plato cũng là không-nguyên nhân, vĩnh cửu, không thể phá hủy, và không là một phần của không-thời gian (xem chương 3, §1).

 

Những dạng cụ thể phổ thông của thuyết duy thực trong bản thể học giải thích tốt đẹp cho tính tất yếu của toán học: nếu chủ đề-nội dung của toán học giống như những người theo thuyết duy thực này nói, khinhững đúng thật của toán học đều độc lập với bất cứ gì thay đổi về vũ trụ vật lý và bất kỳ gì thay đổi về não thức con người, về cộng đồng những nhà toán học, và v.v. Đến đây, không có vấn đề gì.

 

Thuộc một kiến thức tiên nghiệm là gì? Sự liên hệ với Plato có thể gợi nhắc sự hiện hữu của một liên hệ gần như huyền bí giữa con người và sự trừu tượng và lĩnh vực toán học tách biệt. Khả năng này, đôi khi đã gọi là trực giác toán học’, đã giả định dẫn đến kiến thức của những mệnh đề toán học cơ bản, loại như những tiên đề của những lý thuyết khác nhau. Tương tự với nhận thức giác quan vốn dẫn đến kiến thức của thế giới bên ngoài. Kurt Gödel (1964) xem dường như đãmột gì đó giống điều này trong suy nghĩ, với đề nghị của ông rằng một số những nguyên lý của thuyết về settự ép đẩy chúng vào chúng ta như đúng thật (xem chương 8, §1). Vì, có lẽ giả định rằng sự liên hệ giữa não thức và lĩnh vực toán học thì độc lập với bất kỳ kinh nghiệm giác quan nào, sự điều động gần như huyền bí sẽ làm kiến thức toán học thành tiên nghiệm xuất sắc hơn cả. Tuy nhiên, bất chấp uy tín của Godel, hầu hết những triết gia thời nay đều ít nhiều trực tiếp bác bỏ trực giác toán học này. Khả năng hoàn toàn bị loại trừ dựa trên luận điểm theo thuyết duy nhiên, coi người biết’ như một cấu trúc vật chất của một dạng sống [5] trong thế giới tự nhiên (xem chương 1, §3). Theo người theo thuyết duy nhiên, bất kỳ khả năng tri thức nào triết gia đã tuyên bố phải đặt dưới sự xem sét kỷ lưỡng thường lệ của khoa học. Có nghĩa là, một triết gia / nhà khoa học không thể dẫn nhắc một liên hệ trực tiếp giữa não thức và vũ trụ toán học cho đến khi người này đã tìm thấy một cơ sở khoa học, tự nhiên cho nó. Cơ sở như vậy có vẻ rất khó xảy ra nếu những con số, những điểm, và v.v. đều vĩnh cửu và không-nguyên nhân như những người theo thuyết duy thực điển hình đã nói. Người ta làm xảy ra một liên kết với những đối tượng loại như vậy như thế nào? Vì vậy, có lẽ người theo thuyết Plato đã đi quá xa với liên hệ não thức và toán học này qua đường trực giác toán học. Đôi khi, ‘thuyết plato’ của thuyết duy thực trong bản thể học được viết với chữ p viết thường, để làm nhẹ đi liên hệ với Plato. Người theo thuyết duy thực điển hình trong bản thể học bảo vệ một gì đó giống như một bản thể học theo Plato cho toán học, nhưng không với một tri thức học theo Plato.

 

Tuy nhiên, với việc bác bỏ một kết nối gần như thần bí, người theo thuyết duy thực về bản thể học bị bỏ lại với một bí ẩn tri thức học sâu xa. Nếu những đối tượng toán học là phần của một ‘vương quốc’ toán học tách biệt, vĩnh cửu và không- nhân quả, con người có thể được kiến thức của chúng như thế nào? Nó thì gần giống với một mảnh của dữ liệu không thể sửa chữa (vì không thể sai lầm) vốn ít nhất chúng ta quả thực một số kiến thức toán học, chokiến thức này xảy ra là gì. Nếu thuyết duy thực trong bản thể học là đúng, thì kiến thức toán học là kiến thức của một ‘vương quốc’ toán học trừu tượng, không nhân quả. Kiến thức này có thể có được như thế nào? Làm thế nào chúng ta có thể biết bất cứ gì về vũ trụ toán học được giả định là tách biệt? Nếu người theo thuyết duy thực của chúng ta cũng là một người theo thuyết duy nhiên, thì thách thức là phải cho thấy cách nào một hữu thể vật chất trong một vũ trụ vật chất có thể đi đến biết được bất cứ gì về những đối tượng trừu tượng như những số, những điểm và những set.

 

Chúng ta hãy quay sang những thuyết chống-duy thực. Nếu những con số, chẳng hạn, là những sáng tạo của não thức con người, hay thừa hưởng sẵn trong tư tưởng con người, như những người theo thuyết duy ý tranh luận, khi đó kiến thức toán học, theo một ý hướng nào đó, là kiến thức của riêng não thức chúng ta. Toán học sẽ là tiên nghiệm cho đến chừng mức vốn kiến thức tự biết này thì độc lập với kinh nghiệm giác quan. Tương tự, những đúng thật toán học sẽ tất yếu cho đến chừng mức vốn cấu trúc của tư tưởng con người là tất yếu. Trên những cái nhìn như thế này, vấn đề sâu xa hơn là để ‘làm thuận hợp’ bức tranh đã đưa lên về những đối tượng toán học và kiến thức toán học với trọn vẹn lĩnh vực của toán học như đã thực hành. Có nhiều vô hạn những số tự nhiên và ngay cả nhiều những số thực hơn những số tự nhiên. Người theo thuyết duy ý phải làm thuận hợp kiến thức của chúng ta về những số tự nhiên và những số thực với sự hữu hạn hiển nhiên của não thức.

 

Nếu những đối tượng toán học được xây dựng từ những đề mục ngôn ngữ, khi đó kiến thức toán học là kiến thức của ngôn ngữ. Những luận điểm này sẽ trở thành những thì không rõ ràng, rằng những đúng thật toán học là tất yếu và biết được tiên nghiệm. Điều đó sẽ tùy thuộc trên cái nhìn của những người theo thuyết duy danh về ngôn ngữ. Kiến thức toán học sẽ là biết được tiên nghiệm cho đến chừng mức vốn kiến thức về ngôn ngữ của chúng ta là tiên nghiệm. Ở đây lại nữa, vấn đề chính là một trong những giải pháp hòa hợp cái nhìn với toàn bộ phạm vi của toán học. Cuối cùng, nếu không có đối tượng toán học, như một số người theo thuyết duy danh tranh luận, khi đó triết gia phải phân tích những mệnh đề toán học như không bao gồm viện dẫn những đối tượng toán học, hay nếu không, người theo thuyết duy danh sẽ chủ trương rằng những mệnh đề toán học thì sai toàn hệ thống (và vì vậy không tất yếu) hay ngớ ngẩn trống rỗng. Tương tự như vậy, người theo thuyết duy danh của chúng ta sẽ phải phân tích toán học trong những điều kiện khác hơn kiến thức của những đối tượng toán học, hay biện luận rằng hoàn toàn không có kiến thức toán học (và do đó không có một kiến thức toán học tiên nghiệm) hết tất cả!

 

2.2. Sự Đúng Thật

 

Nhìn theo bản chất diễn dịch của triết học của toán học, và chiều hướng tổng quát của triết học phân tích là điều tự nhiên để chuyển sự chú ý của chúng ta sang ngôn ngữ của toán học. Sự khẳng định toán học nghĩa là gì? Hình thức lôgích của chúng là gì? Ngữ nghĩa học tốt nhất cho ngôn ngữ toán học là gì? Georg Kreisel thường được cho là đã có công trong việc chuyển trọng tâm từ sự hiện hữu của những đối tượng toán học sang tính khách quan của nói viết truyền thông toán học. Định nghĩa thuyết duy thực về giá trị-đúng thậtcái nhìn rằng những phát biểu toán học có những giá trị-đúng thật khách quan, độc lập với những não thức, những ngôn ngữ, những quy ước, và v.v. của những nhà toán học.

 

Phía đối lập là thuyết chống-duy thực về giá trị-đúng thật, luận điểm rằng nếu những phát biểu toán học có những giá trị-đúng thật nào tất cả đi nữa, thì những giá trị-đúng thật này tùy thuộc vào nhà toán học. Một dạng cụ thể của thuyết chống lại giá trị đúng thật là rằng những phát biểu toán học không hàm hồ được giá trị-đúng thật của chúng nhờ vào khả năng của não thức con người, hay nhờ vào hoạt động thực sự, hay hoạt động tâmcó thể có của con người. Trong cái nhìn này, chúng ta làm một số những mệnh đề đúng hay sai, trong ý hướng rằng cấu trúc của não thức con người thì một cách nào đó cấu thành (phần) sự đúng thật toán học. Cái nhìn ở đây là một thuyết duy ý về giá trị-đúng thật, thuộc loại nào đó. Nó không có nghĩa rằng chúng ta quyết định liệu một mệnh đề đem cho là đúng hay sai, cũng giống như một người theo thuyết duy ý về những đối tượng vật lý chủ trương rằng chúng ta không quyết định để có những nhận thức nào.

 

Phần của những gì nó cho những phát biểu toán học khách quan là sự có thể có rằng sự đúng thật của một số câu thì vượt ngoài những khả năng của con người để biết sự đúng thật này. Đó là, người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng thật tán thành sự có thể có rằng có lẽ có những đúng thật toán học không thể biết được. Theo quan điểm đó, đúng thật là một việc, khả năng biết được là một việc khác. Người chống lại duy thực về giá trị đúng thật có thể lấy lập trường đối nghịch, sau khi biện luận rằng tất cả những sự đúng thật toán học đều có thể biết được. Nếu, trong một ý hướng nào đó, những phát biểu toán học có được giá trị-đúng thật của chúng nhờ vào khả năng của não thức, khi đó sẽ hợp lý để khẳng định rằng không có đúng thật toán học nào nằm ngoài khả năng để hiểu biết của con người: cho bất kỳ mệnh đề toán học Φ nào, nếu Φ thì đúng, sau đó ít nhất là trên nguyên tắc, Φ có thể thành là biết được.

 

Có một chiến tuyến tương tự dọc theo mặt trận ngữ nghĩa học. Người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng thật giả định chủ trương rằng ngôn ngữ toán học thìhai-giá-trị [6] theo nghĩa rằng mỗi câu rõ ràng, không hàm hồ thì hoăc xác định là đúng hoặc xác định là sai. Hai-giá-trị nhìn vẻ như là phần cơ bản và cần thiết của tính khách quan (miễn là sự mơ hồ hay hàm hồ không là phần của bức tranh). Nhiều người theo thuyết chống-duy thực do dự trước hai-giá-trị, chủ trương rằng não thứcvà / hay thế giới có thể không xác định được mọi câu toán học không-hàm hồ, không biết hoặc nó đúng hay sai. Như đã đưa ra ở trên, nếu những người theo thuyết chống-duy thực chủ trương rằng tất cả sự đúng thật đều có thể biết được, thì sự khiêm tốn sẽ khuyên nên chống lại hai-giá-trị. Là kiêu ngạo để nghĩ rằng bộ óc con người có khả năng xác định mọi câu toán học phát biểu rõ ràng, rằng liệu nó đúng hay sai. Một số người theo thuyết chống-duy thực nhìn quan điểm của họ như tuân theo hệ quả tất yếu rằng lôgích trực giác phải thay thế lôgích cổ điển, vốn dẫn đến một đòi hỏi, dựa trên triết học, cho những sửa đổi trong toán học (xem ch.1, §2 và ch. 7).

 

Một dạng cụ thể thứ hai, triệt để hơn của thuyết chống-duy thực về giá trị-đúng thật là những khẳng định toán học hoàn toàn thiếu những giá trị-đúng thật (không tầm thường, không trống rỗng). Nói chính xác, nó dẫn đến rằng sẽ không có kiến thức toán học nào cả, cho đến chững nào chúng ta đồng ý rằng Φ thì biết đượckéo theo Φ thì đúng. Nếu người theo thuyết chống-duy thực này không muốn gán sai lầm lớn lao và lẫn lộn cho toàn thể cộng đồng toán học và khoa học, khi đó người này cần có một giải thích của những gì đổi thành, chuyển sang kiến thức toán học. Nếu toán học không là một hoạt động thu thập kiến thức, vậy nó là gì? Có lẽ, người triệt để chống lại thuyết duy thực về giá trị-đúng thật này đồng ý rằng toán học là một phần có ý nghĩa đặc biệt và hết sức quan trọng của dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ, và do đó người này cần một giải thích về sự quan trọng này. Nếu toán học tốt thì không là toán học thực (vì những câu không những giá trị-đúng thật không-tầm thường, không-trống rỗng), sau đó những gì là toán học tốt? [7]

 

Dựa trên ấn tượng đầu tiên, có một liên minh giữa thuyết duy thực về giá trị-đúng thật và thuyết duy thực về bản thể học. Thuyết duy thực về giá trị-đúng thật là một cố gắng để phát triển một cái nhìn rằng toán học giải quyết với những đặc tính khách quan của thế giới. Cách đơn giản để diễn giải ngôn ngữ toán học là dùng nó theo giá trị như trông thấy bên ngoài, và không chọn cách diễn giải-lại toàn bộ của nói viết truyền thông. Dựa trên ấn tượng đầu tiên, những chữ số là những thuật ngữ đặc biệt số ít, những danh từ riêng. Chức năng ngôn ngữ của những thuật ngữ đặc biệt số ít là để biểu thị những đối tượng. Vì vậy, nếu ngôn ngữ được hiểu theo nghĩa đen, thì những thuật ngữ số ít của nó biểu thị một gì đó. Những chữ số biểu thị những số lượng. Nếu những câu không tầm thường chứa những chữ số là đúng, thì những con số hiện hữu. Người theo thuyết duy thực về giá trị đúng thật còn chủ trương rằng một số câu là đúng khách quan, độc lập với nhà toán học. Luận điểm bản thể học rằng những con số hiện hữu khách quan có thể không trực tiếp theo đến từ luận điểm ngữ nghĩa của thuyết duy thực về giá trị-sự đúng thật. Có thể có những đúng thật khách quan về những thực thể tùy thuộc-não thức. Tuy nhiên, sự hiện hữu khách quan của những đối tượng toán học thì ít nhất được đề nghị bởi sự đúng thật khách quan của những khẳng định toán học.

 

Triển vọng này tóm tắt một nửa của một đilemma đã đưa ra trong 'Mathmatical Truth của Paul Benacerraf (1973), một bài viết tiếp tục có ảnh hưởng lớn trên những thảo luận đương thời trong triết học của toán học. Một khao khát mạnh mẽ là những phát biểu toán học nên được hiểu trong cùng một cách  như những phát biểu thông thường, hay ít nhất là những tuyên bố khoa học đáng tôn trọng. Đó là, chúng ta nên cố gắng tạo ra một ngữ nghĩa thống nhất gồm ngôn ngữ thông thường / khoa học cũng như ngôn ngữ toán học. Nếu chúng ta giả định rằng một số loại thuyết duy thực về giá trị-đúng thật giữ đúng cho những ngành khoa học, thì chúng ta sẽ dẫn đến thuyết duy thực về giá trị-đúng thật cho toán học, và một cố gắng để hiểu những khẳng định toán học ở giá trị mặt ngoài – cùng một cách như những khẳng định khoa học thông thường được hiểu. Một động lực khác cho những cần và muốn đến từ sự kiện là ngôn ngữ khoa học thì kết hợp chặt chẽ với ngôn ngữ toán học. Sẽ rất khó xử và phản trực giác nếu đem cho những lý do giải thích ngữ nghĩa riêng biệt cho toán học và khoa học ngôn ngữ, và một giải thích khác về nói viết truyền thông tác động qua lại như thế nào.

 

Điều này dẫn đến hai thuyết duy thực của chúng ta, trong bản thể học và giá trị-đúng thật.Theo hai quan điểm, những nhà toán học có ý muốn nói rằng những gì họ nói và hầu hết những gì họ nói đều là đúng. Trong những tài liệu gần đây về triết học của toán học, Gödel (1944, 1964), Penelope Maddy (1990), Michael Resnik (1997), và tôi (Shapiro 1997) đều là những người theo thuyết duy thực triệt để, chủ trương cả thuyết duy thực trong bản thể học và thuyết duy thực về giá trị-đúng thật (xem chs. 8 và 10).

 

Bây giờ chúng ta nói đến một khó khăn khác của đilemma của Benacerraf. Những thuyết duy thực của chúng ta đi với những vấn đề về tri thức học xem dường khó giải quyết. Từ thuyết duy thực trong bản thể học, chúng ta có sự hiện hữu khách quan của những đối tượng toán học. Vì những đối tượng toán học xem dường trừu tượng và nằm ngoài kết nối nhân quả, chúng ta có thể biết bất cứ gì về chúng như thế nào? Chúng ta có thể có bất kỳ tin cậy nào trong những gì những nhà toán học nói về những đối tượng toán học như thế nào? Đây là động lực quan trọng đầu tiên để tìm một giải pháp thay thế cho một này hay một khác của những thuyết duy thực. Benacerraf lập luận rằng những triết học chống-duy thực của toán học có một đường dễ giải quyết hơn về tri thức học, nhưng sau đó, những gì cần và muốn về ngữ nghĩa thì trong nguy cơ. Đilemma khi đó là thế này: sự liên tục đã mong muốn giữa ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ khoa học và ngôn ngữ hàng ngày đề nghị hai thuyết duy thực, nhưng điều này để lại cho chúng ta những vấn đề về tri thức học xem dường khó giải quyết. Chúng ta hoặc là phải giải quyết vấn đề với thuyết duy thực, từ bỏ sự liên tục giữa nói viết truyền thông toán học và nói viết truyền thông hàng ngày, hay buông bỏ những giải thích ngữ nghĩa phổ biến của ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ khoa học.

 

Có một liên minh chặt chẽ khác giữa nhữngtôi gọi là thuyết duy ý trong bản thể học và thuyết duy ý về giá trị-đúng thật. Thuyết trước chủ trương rằng những con số, chẳng hạn, đều tùy thuộc vào não thức con người. Điều này ít nhất nêu lên rằng đúng thật toán học thì cũng tùy thuộc vào não thức. Điều tương tự cũng xảy ra với những loại thuyết chống-duy thực khác. Bất cứ gì người ta nói về những con số, ít nhất cũng nêu lên một gì đó tương tự về sự đúng thật toán học. Trong bối cảnh thời nay, Hartry Field (1980), Michael Dummett (1973, 1977), và những nhà theo thuyết trực giác truyền thống L. E. J. Brouwer và Arend Heyting, đều là những người trước sau vẫn chống-duy thực, gồm cả về bản thể học và về giá trị-đúng thật. Field chủ trương rằng những đối tượng toán học không hiện hữu và những mệnh đề toán học chỉ có những giá trị-đúng thật trống rỗng (xem chương 9, §1). Những người theo thuyết trực giác truyền thống là những người duy ý toán học (xem chương 7, §2).

 

Bất kể những liên minh tự nhiên, một khảo sát tài liệu cho thấy không có sự đồng thuận nào về bất kỳ liên hệ lôgích nào giữa hai luận điểm thuyết duy thực, hay những phủ định của chúng. Có lẽ đilemma của Benacerraf dẫn một số đến những cách giải quyết khác nhau. Mỗi trong bốn lập trường đều đã nêu rõ ràng và được những triết gia toán học lâu đời và có uy tín bảo vệ.

 

Một chương trình tương đối phổ thông ngày nay, được Charles Chihara (1990) và Geoffrey Hellman (1989) theo đuổi, là thuyết duy thực về giá trị-đúng thật kết hợp với thuyết chống-duy thực triệt để (theo thuyết duy danh) trong bản thể học (xem chương 9, §2, ch. 10, §3). Mục đích là giải thích tính khách quan của nói viết truyền thông toán học nhưng không nêu lên một bản thể học toán học theo cách thức đặc biệt. Những con số không hiện hữu (hay có thể không hiện hữu), nhưng một số những mệnh đề của số học thì đúng theo khách quan. Tất nhiên, những quan điểm này đòi hỏi rằng những phát biểu toán học thông thường không nên hiểu theo nghĩa đen, theo giá trị ngoài mặt. Những người ủng hộ quan điểm này đưa ra những cách giải thích khác nhau về nói viết truyền thông toán học, và sau đó chủ trương rằng, những phát biểu toán học được giải thích như vậy thì đúng khách quan hay sai khách quan. Tôi chỉ biết một thí dụ nổi bật về một người theo thuyết duy thực trong bản thể học, là một người chống-duy thực về giá trị-đúng thật, Neil Tennant (1987, 1997, 1997a). Cùng với Frege, ông chủ trương rằng một số đối tượng toán học hiện hữu khách quan (như một vấn đề của tất yếu), nhưng ông về cùng với Dummett, như một người theo thuyết chống-duy thực toàn bộ về giá trị-đúng thật, sau khi chủ trương rằng tất cả những đúng thật, và không chỉ tất cả những đúng thật toán học, đều có thể biết được.

 

Những người ủng hộ những quan điểm hỗn hợp này hiểuđược khó xử thứ nhất trong đilemma của Benacerraf, vì chúng đòi hỏi rằng nói viết truyền thông toán học không có cùng ngữ nghĩa học như nói viết truyền thông khoa học và nói viết truyền thông thông thường (giả định một số loại thuyết duy thực cho ngôn từ kể sau). Tất nhiên, không có việc phủ nhận những liên hệ sâu rộng giữa những nói viết truyền thông. Thí dụ, Hellman cho thấy nói viết truyền thông toán học, được diễn giải lại cho chính xác, thành vừa vặn thông xuốt với nói viết truyền thông khoa học, trong khi Tennant (1997) biện luận rằng những nói viết truyền thông này, trong những đường lối quan trọng, đều bổ sung nhau

 

3. Thuộc Toán học và thuộc Vật lý

 

Những tác động qua lại giữa toán học và khoa học rất sâu rộng, vượt rất xa ngoài một ít nhánh đôi khi gọi là toán học ứng dụng. Những con đường phong phú và nhiều loại khác nhau kết nối toán học và khoa học, chạy theo cả hai chiều. Như Nicolas Goodman (1979: 550) nói về nó:hầu hết những nhánh của toán học chiếu sáng hoàn toàn trực tiếp trên một số phần của tự nhiên. Hình học quan tâm về không gian. Tthuyết xác suất dạy cho chúng ta những tiến trình ngẫu nhiên. Lý thuyết nhóm soi sáng tính đối xứng. Lôgích mô tả suy luận duy lý. Nhiều phần của toán phân tích được tạo ra để nghiên cứu những tiến trình cụ thể và vẫn không thể thiếu cho sự nghiên cứu những tiến trình đó ... Đó là một thực tại thực tiễn khiến những định lý tốt nhất của chúng ta cho thông tin về thế giới thực. Xem Polya (1954, 1977) để biết thêm nhiều thí dụ.

 

Tất cả không ngoài đưa đến rằng một quan tâm trung tâm cho triết học của toán học là để hiểu sự quan hệ giữa toán học và phần còn lại của nói viết truyền thông khoa học và ngôn từ thông thường. Đem cho những tác động hỗ tương sâu rộng, triết gia ít nhất phải bắt đầu với giả thuyết rằng có một quan hệ giữa chủ đề-nội dung của toán học (chonó là gì) và chủ đề-nội dung của khoa học (cũng thế, chonó là gì), và rằng toán học ứng dụng với thực tại vật chất thì không là điều ngẫu nhiên. Bất kỳ triết học của toán học hay triết học khoa học nào không đem cho một giải thích về liên hệ này, dù lạc quan nhất, cũng thiếu xót. Những vấn đề liên quan với những ứng dụng của toán học đã trở nên cấp thiết hơn trong những mười năm gần đây.

 

Một giai thoại vốn tôi đã kể trước đây (Shapiro 1983a, 1997: ch. 8) minh họa một số vấn đề. Câu chuyện dựa trên trí nhớ không chắc chắn lắm của dăm người, nhưng hoàn cảnh là điển hình. Một lấn, người bạn nói với tôi rằng trong khi thực hiện một thí nghiệm trong phòng thí nghiệm vật lý, ông ghi nhận một hiện tượng khó hiểu khiến ông bối rối. Cả lớp đang xem một máy hiện tần sóng và một hình ngộ nghĩnh tiếp tục hình thành ở cuối màn hình. Mặc dù nó không liên quan gì đến bài học ngày hôm đó, nhưng người bạn tôi đã tìm một giải thích. Người hướng dẫn phòng thí nghiệm đã viết một gì đó lên bảng (có thể là một phương trình vi phân) và nói rằng hình ngộ nghĩnh này xảy ra vì một phương trình hàm số có trị số bằng 0 ở một điểm cụ thể. Bạn tôi bảo tôi rằng ông đã trở nên bối rối khó hiểu hơn, rằng việc xảy ra của một trị số zero trong một hàm số sẽ được tính như một giải thích của một sự kiện vật lý, nhưng ông đã không cảm thấy phải tìm hiểu thêm vấn đề này lúc đó.

 

Thí dụ này cho thấy rằng phần lớn những công trình lý thuyết và thực hành trong khoa học gồm trong việc xây dựng hay khám phá những mô hình toán học của những hiện tượng vật lý. Nhiều những vấn đề khoa học và kỹ thuật là những công việc của tìm kiếm một phương trình vi phân, một công thức, hay một hàm số liên quan đến một lớp / loại hiện tượng. Một giải thích khoa học về một sự kiện vật lý thường không gì nhiều hơn một mô tả toán học về nó, nhưng điều đó có nghĩa là gì? Mô tả toán học của một sự kiện vật lý là gì?

 

Một tập sách nhỏ của Crowell và Fox (1963), dẫn nhập về lý thuyết nút [8], toán học về những nút thắt vòng của dây thừng. Ngay từ đầu, những tác giả đã thảo luận về vấn đề dùng toán học để nghiên cứu những đối tượng vật lý này, hoặc đúng hơn, những tác động có thể có với những đối tượng vật lý này:

 

Định nghĩa của một Nút Thắt: Hầu hết mọi người đều quen thuộc với những nút thắt thông thường đơn giản nhất, thí dụ như nút thắt đơn... và nút thắt số tám ... Thực hành một một lúc, với một đoạn dây, sẽ thuyết phục bất kỳ một ai rằng hai nút thắt này thì là khác nhau: nút này không thể chuyển vào thành nút kia được, nếu không (làm việc) ...buộc nút’ hay gỡ nút’. Tuy nhiên, việc không thể chuyển nút thắt số 8 thành nút thắt đơn, dù qua hàng giờ kiên nhẫn vặn vẹo buộc gỡ nút, thì không là chứng minh rằng điều đó không thể thực hiện được. Vấn đề vốn chúng ta sẽ xem xét là vấn đề của việc cho thấy bằng toán học rằng hai nút thắt này ... thì rõ ràng phân biệt với nhau.

 

Toán học không bao giờ chứng minh bất cứ gì về bất cứ gì ngoại trừ toán học, và một đoạn dây thừng là một đối tượng vật lý và không là một đối tượng toán học. Thế nên, trước khi lo lắng về những chứng minh, chúng ta phải có một định nghĩa toán học của một nút thắt ... Vấn đề này ... phát sinh bất cứ khi nào người ta áp dụng toán học cho một tình trạng vật lý. Những định nghĩa nên định nghĩa những đối tượng toán học càng gần đúng với những đối tượng vật lý đang xem xét càng tốt. (tr. 3)

 

Tuyên bố ở đây xem dường rằng những liên hệ có thể có và những kết nối lẫn nhau của những đoạn dây thừng vào thành những nút thắt có thể được mô tả hay được mô hình trong những liên hệ của một không gian hình học tôpô. Tuyên bố này làm sángnhững vấn đề của chúng ta.

 

Văn học triết học của giải thích khoa học thì dài, sâu và rắc rối, nhưng ở đây chúng ta có thể đứng ở một mức cơ bản hơn. Một hoàn cảnh bất thường khó hiểu hay gây tò mò muốn biết sẽ đẩy đến một hỏi han để tìm giải thích. Theo New Twentieth Century Unabridged Dictionary của Webster, một giải thích sẽ làm một gì đó sángkhỏi sự mờ mịt, và khiến nó có thể hiểu được. Rõ ràng, một cấu trúc toán học, một mô tả, một mô hình hay một ý thuyết không thể dùng như một giải thích cho một sự kiện không-toán học, với không một vài giải thích về liên hệ giữa tự thân toán học và thực tại khoa học. Thiếu một giải thích như vậy, làm thế nào những giải thích toán học / khoa học có thể thành công trong việc loại bỏ bất kỳ sự tối tăm mờ mịt nào – đặc biệt là nếu những mờ mịt mới, rắc rối khó khan hơn được đưa ra? [9] Ở mức độ tổng quát hơn, người ta không thể bắt đầu để hiểu khoa học đóng góp thế nào vào kiến thức nếu không có một vài thấu hiểu về những gì toán học có liên quan với thực tại, vốn khoa học đóng góp kiến thức của thực tại,.

 

Ít nhất, chúng ta có hai câu hỏi: Toán học đã ứng dụng thế nào trong những giải thích và những mô tả khoa học? Giải thích (triết học) cho tính ứng dụng được của toán học vào khoa học là gì? Chúng ta ứng dụng những khái niệm toán học – những số, hàm số, tích phân, không gian Hilberttrong mô tả những hiện tượng không-toán học. Chúng ta cũng ứng dụng những định lý của toán học trong việc xác định những dữ kiện về thế giới và cách nó hoạt động thế nào

 

Mark Steiner (1995) phân biệt nhiều những vấn đề triết học vốn nằm dưới đề mục của ‘toán học ứng dụng. Một số chúng là những dạng tập trung của những vấn đề chúng ta đã gặp trong phần trước. Đầu tiên, có một vấn đề về ngữ nghĩa: những mô tả và giải thích khoa học điển hình lấy dùng những thuật ngữ toán học và vật lý. Điều này diễn ra cho những phát biểu đơn giản, như ‘Jupiter có bốn vệ tinh’ và nhiều những phương diện khảo cứu khác của khoa học thời nay. Vấn đề là để tìm một diễn giải của ngôn ngữ vốn bao hàm những nội dung viết nói ‘thuần túyhỗn hợp, khiến những chứng minh bên trong toán học có thể được dùng trực tiếp trong những những nội dung viết nói khoa học.

 

Nhóm vấn đề thứ hai là siêu hình. Những đối tượng của toán học (nếu có loại như thế) liên hệ thế nào với thế giới vật lý, khiến những ứng dụng đều có thể được? Thí dụ, Theo một thuyết duy thực bản thể học điển hình, toán học thì về một lĩnh vực nhân quả không-hoạt động của những đối tượng trừu tượng. Theo một thuyết duy ý điển hình, toán học là về hoạt động tinh thần. Trong cả hai trường hợp, làm thế nào những sự việc’ như thế có thể cho chúng ta biết được bất cứ gì về cách thức thế giới vật lý hoạt động thế nào?

 

Nhóm vấn đề thứ ba liên quan đến tại sao những khái niệm và những thuyết (ký hiệu) hình thức cụ thể của toán học thường rất hữu dụng trong việc mô tả thực tại kinh nghiệm. Điều gì về thế giới vật lý khiến số học thì ứng dụng được như thế? Điều gì về thế giới vật lý khiến lý thuyết nhóm và không gian Hilbert thành trung tâm như thế để mô tả nó? Steiner đề nghị rằng chúng ta thực sự có một vấn đề khác biệt ở đây cho mỗi khái niệm đã ứng dụng, và như thế người ta sẽ không mong đợi một giải pháp đồng nhất.

 

Những vấn đề xảy ra trên nhiều trình độ. Đầu tiên, người ta có thể tự hỏi một sự kiện toán học đặc biệt có thể dùng như một giải thích cho một sự kiện không-toán học đặc biệt như thế nào. Sự bối rối của bạn tôi đã ở trình độ này. Một trị số zero của một hàm số giải thích một mẫu thức thấy trên máy hiện tần sóng như thế nào? Sự kiện toán học làm sự kiện vật lý có thể hiểu được như thế nào? Trong trường hợp này, một đáp ứng thỏa đáng có thể gồm một mô tả chi tiết của lý thuyết khoa học liên quan vốn liên kết một loại nhất định nào đó của những hàm số với một loại hiện tượng vật lý. Sẽ là hợpcho người hướng dẫn phòng thí nghiệm để đề nghị rằng nếu bạn tôi muốn một giải thích đầy đủ, ông nên theo học một vài khóa học.

 

Ludwig Wittgenstein đã viết rằng tất cả những giải thích phải ‘cho ra hết một điểm nào đó, ở đó sự tò mò muốn biết của chúng ta được thỏa mãn, hoặc nếu không, chúng ta nhận ra rằng chúng ta nên ngừng, đừng hỏi nữa, nhưng có lẽ chúng ta đã chưa đạt đến điểm đó. Cho dù chúng ta có theo học những khóa vật lý cao hơn hay không, chúng ta có thể tự hỏi một lớp về những đối tượng toán học, chẳng hạn như những hàm số-có giá-tri-số thực [10], có thể có liên quan gì với những hiện tượng vật lý. Điều này đưa tra hỏi lên một mức độ khác. Bây giờ chúng ta suy ngẫm về mức độ phù hợp của một lý thuyết khoa học / toán học đã cho như một tổng thể. Tại sao nó hoạt động? Chắc chắn, đây là một vấn đề gây tò mò muốn biết khác, chờ được giải thích. Một trả lời có thể có cho câu hỏi thứ hai này sẽ là chỉ ra rằng những cách dùng tương tự của toán học có một vai trò quan trọng trong phương pháp luận khoa học. Nếu những câu hỏi kiên quyết tiếp tục, người nói chuyện của chúng ta có thể ghi chú sự thành công lớn rộng của phương pháp luận này trong việc đoán trước và điều khiển thế giới.

 

Trả lời cuối cùng này giải thích lý do người ta có thể tham dự vào nghiên cứu toán học / khoa học và nó đem cho sự bảo đảm rằng phương pháp luận sẽ tiếp tục để đoán trước và điều khiển, sau khi giả định chúng ta giải quyết hay bỏ qua những vấn đề tiêu chuẩn với quy nạp (và chúng ta cho phép lập luận vòng tròn). Tuy nhiên, nếu chúng ta chưa chạm đến điểm ‘cho ra hết’ theo như Wittgenstein, vẫn có một mức độ thứ ba cho vấn đề của chúng ta. Toàn bộ dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toán học / khoa học là gì, hay ít nhất là những phần toán học của nó’ là gì? Tại sao toán học lại thiết yếu với khoa học? Vai trò của nó là gì? Trong tinh thần của David Hume, tôi không mong muốn để hỏi toàn bộ dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toán học / khoa học, lại càng ít mong muốn hơn nhiều để nêu lên những hoài nghi về nó. Như Quine và những người theo thuyết duy nhiên khác tiếp tục hỏi, điều gì có thể là an toàn vững chắc hơn khoa học? Tuy nhiên, vấn đề của việc hiểu biết cách thức hoạt động của dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ, trong những điều kiện riêng của nó, có phải là một dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ chính đáng về mặt triết học hay không, và có phải vấn đề đó không được giải đáp bằng trả lời cuối cùng liên quan đến sự thành công của dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ nay không. Một lập luận phổ thông cho thuyết duy thực về giá trị-đúng thật cho toán học tập trung trên những liên quan giữa toán học và khoa học (xem chương 8, §2). Một giả thiết là rằng toán học thì không thể thiếu với khoa học và một giả thiết khác là những nguyên tắc cơ bản của khoa học đều đúng (ít hay nhiều). Từ thuyết toàn diện [11] theo Quine (hay khao khát ở trên từ Benacerraf 1973), lập luận đưa kết luận rằng toán học cũng đúng về khách quan – thuyết duy thực về giá trị-đúng thật. Tuy nhiên, ngay cả nếu những giả thiết đều đúng và ngay cả nếu biện luận về tính không thể thiếu thì thuyết phục, nóquá thuận tiện để bỏ lại mọi sự vật việc ở giai đoạn này. Để củng cố luận chứng, người theo thuyết duy thực phải đem cho một giải thích về chính xác thế nào toán học được ứng dụng trong khoa học. Điểm nêu lên của phần này là giả thiết đầu tiên của lập luận – tính không thể thiếu của toán học trong khoa học – thì tự thân nó cần có sự giải thích. Những tuyên bố về những số và những set có liên quan gì với thế giới vật lý đã nghiên cứu trong khoa học? Cách nào những tuyên bố như vậy có thể soi sáng về những electron, sự bền vững của cầu cống đường xá, và sự ổn định của thị trường kinh tế? Chúng ta không thể duy trì kết luận của lập luận về tính không thể thiếu cho đến khi chúng ta biết điều này. Chắc chắn triết gia sẽ không bằng lòng chỉ đơn giản là ghi chú tính không thể thiếu đã thấy rõ ràng, và sau đó lấy ra những kết luận vốn sinh ra cũng nhiều câu hỏi như chúng trả lời.

 

Gödel cũng đã nhận thấy sự quan trọng của những liên hệ giữa toán học và thực tại vật lý. Như đã ghi chú ở trên, với một người theo thuyết duy thực về giá trị đúng thật, những phát biểu toán học rõ ràng, không hàm hồ có những giá trị-đúng thật khách quan. Chúng ta xác định những giá trị-đúng thật đó thế nào khi trình độ của chứng minh toán học không xác định? Gödel (1964) đã đề nghị rằng một tiêu chuẩn của sự đúng thật về xác suất cho một mệnh đề toán học là ‘sự hiệu quả của nó trong toán học và ... cũng có thể trong vật lý(tôi nhấn mạnh). Rõ ràng, sự hiệu quả trong vật lý không thể là một tiêu chuẩn cho đúng thật toán học trừ khi lĩnh vực toán học có liên quan cách nào đó với lĩnh vực vật lý, trong một lối vén mở rõ lên cho thấy về tri thức học.

 

Những vấn đề của tính có thể ứng dụng được cũng có tiềm năng gây rắc rối khó khăn cho những người chống-duy thực khác loại. Thí dụ, người theo thuyết duy ý bản thể học chủ trương rằng những đối tượng toán học tùy thuộc vào não thức. Vậy làm thế nào để những cấu trúc tinh thần của toán học soi sáng trên vũ trụ vật lý, không-toán học (có thể đoán chừng là khách quan)? Điều gì về vũ trụ bên ngoài khiến chúng ta thấu hiểu nó qua ‘vương quốc’ toán học tinh thần? Nếu triết gia cũng là một người theo thuyết duy ý về thế giới vật chất, khi đó vấn đề của người này là để cho thấy thế giới toán học lý tưởng có quan hệ như thế nào với thế giới vật lý lý tưởng. Sự xây dựng của toán học tác động trên sư xây dựng của thế giới vật lý bên ngoài như thế nào?

 

Những triết gia phủ nhận rằng những mệnh đề toán học có giá trị-đúng thật (không trống rỗng) hay rằng hầu hết những mệnh đề toán học đều sai về mặt hệ thống xem dường như còn có một vấn đề khó giải quyết hơn. Làm thế nào những mệnh đề như thế có thể làm sáng tỏ cho bất cứ gì không-toán học?

 

Tôi để nó cho người đọc tự xác định xem những dạng cụ thể nào của vấn đề này là ít đáng ngại nhất. Chúng ta sẽ trở lại vấn đề này dọc trong quyển sách này, khi chúng ta khai triển chi tiết hơn những triết học khác nhau.

 

Steiner (1995, 1997) phân định một nhóm những vấn đề hấp dẫn liên quan, vốn chúng ta thường sẽ không xem lại chúng, phần lớn vì tôi không có gì để nói, và vấn đề không có giải pháp thẳng tuột đơn giản trên một bất kỳ nào của tổng quát của những triết học toàn bộ của toán học (theo như tôi biết). Đôi khi, những lĩnh vực của toán học thuần túy, chẳng hạn như đại số học trừu tượng và toán phân tích, tìm thấy những ứng dụng bất ngờ nhưng rất lâu sau khi toán học của chúng trưởng thành. Những nhà toán học có một khả năng kỳ lạ trong việc đưa ra những cấu trúc, những khái niệm và những ngành toán học chuyên môn vón tìm thấy những ứng dụng bất ngờ trong khoa học. Trong suốt lịch sử, cảnh tượng diễn ra sau đây được lập đi lập lại. Những nhà toán học nghiên cứu một cấu trúc đem cho, cho bất kỳ lý do nào dù là gì. Họ mở rộng nó sang một cấu trúc khác cho những mục đích của riêng họ (lấy thí dụ, bằng việc xem xét nhiều những chiều, đến vô hạn); và sau đó, cấu trúc mới được xác định tìm thấy ứng dụng ở chỗ nào khác trong khoa học. Như S. Weinberg (1986: 725) đã nói: Thật là kỳ dị khi nhà vật lý tìm thấy nhà toán học không biết thế nào nhưng đã từng đó trước người này rồi. Và Richard Feynman (1967: 171): Tôi thấy rất kinh ngạc rằng có thể đoán trước được sẽ xảy ra điều gì bằng toán học, vốnchỉ đơn giản tuân theo những quy luật vốn thực sự không có liên quan gì với sự vật việc lúc bắt đầu. Từ những người ủng hộ toán học, nhóm Bourbaki (1950: 231) cũng lập lại tình cảm tương tự: toán học xuất hiện ... như một kho chứa những dạng trừu tượng – những cấu trúc toán học; và nó cứ thế xảy ra – vốn chúng ta không biết tại sao – rằng một số khía cạnh nhất định của thực tại thường nghiệm lại tự chúng phù hợp với những dạng này, như thể qua một loại thích ứng-trước [12]

 

4. Những Vấn Đề Nội bộ: Những Định Lý, Những Lý Thuyết Và Những Khái Niệm

 

Những vấn đề và những câu hỏi bao quát sâu rộng của những phần trước liên quan đến tất cả toán học và ngay cả tất cả khoa học. Phần này vẽ phác một số vấn đề hạn hẹp hơn cho những triết gia của toán học. Điển hình, triết gia không tiến được rất xa với những vấn đề nội bộ này trước khi gặp những vấn đề toàn bộ.

 

Một nhóm của những vấn đề liên quan đến những cố gắng để giải thích những kết quả đặc biệt toán học hay khoa học. Đến một mức độ nào đó, những câu hỏi liên quan đến những ứng dụng của toán học đều trong nhóm này. Một định lý toán học có thể nói gì với chúng ta về thế giới tự nhiên khoa học đã nghiên cứu? Chúng ta có thể chứng minh những sự việc về những nút thắt, độ bền vững của những cầu đường, những ván thắng cờ chess, và những chiều hướng kinh tế, đến mức độ nào? Một số triết gia xem toán học là không gì hơn một trò chơi vô nghĩa, đã chơi với những ký hiệu (xem ch 6.), Nhưng có những người khác chủ trương rằng toán học có một loại nào đó về ý nghĩa. Ý nghĩa này là gì, và nó liên hệ thế nào với ý nghĩa của nói viết truyền thông không-toán học thông thường? Một định lý có thể nói cho chúng ta biết gì về thế giới vật lý, về khả năng hiểu biết của con người, về những khả năng trên nguyên tắc của những cômputơ được program, và v.v.?

 

Có tiềm năng là; một số những kết quả từ lôgích toán học có những hệ quả phức tạp bất ngờ về triết học. Gọi T là một lý thuyết toán học chính thức và gọi M là một cấu trúc toán học, giống như những số tự nhiên hay những số thực. Nếu lý thuyết T thì đúng với mô hình M, chúng ta nói rằng M là mô hình của T. Định lý Nén [13] và những định lý Lowenheim-Skolem là về một loại lý thuyết nhất định; gọi là ‘bậc nhất’ [14]. Những kết quả theo đến rằng nếu một lý thuyết loại như vậy có một mô hình vô hạn, sau đó với bất kỳ bản số vô hạn K nào tất cả, lý thuyết có một mô hình cùng kích thước chính xác của K. Theo đó, có những mô hình của giải tích thực bậc nhất và thuyết tập hợp bậc nhất [15]. vốn có kích thước của những số tự nhiên. Điều này bất chấp sự kiện rằng nó là một định lý của thuyết tập hợp, từ Georg Cantor, rằng có nhiều những set hơn và nhiều những số thực hơn, so với số của những số tự nhiên. Hơn nữa, lý thuyết bậc nhất của những số tự nhiên, đôi khi được gọi là số học bậc nhất, có những mô hình vốn lớn hơn set của những số tự nhiên. Có những mô hình của số học bậc nhất [16] có kích thước của những số thực. Tình trạng khó hiểu này được gọi là nghịch lý Skolem, gọi theo tên của nhà lôgích học Thoralf Skolem.[17] Nó không là một nghịch lý theo ý hướng của một mâu thuẫn thực sự bắt nguồn từ những giả thiết hợp lý. Về kỹ thuật, vẻ của nghịch lý được giải quyết khi chúng ta ghi nhận rằng những khái niệm như ‘là kích thước của những số tự nhiên đưa đến những sự vật việc khác nhau trong những cấu trúc khác nhau. Một cấu trúc đem cho có thể thỏa mãn công thức nói rằng một set nào đó thì lớn hơn những số tự nhiên, ngay cả nếu set (xét từ một cấu trúc khác) không có nhiều phần tử hơn set của những số tự nhiên.

 

Tuy thế, nghịch lý Skolem thì gợi tò mò muốn biết, và một số nhà triết học và lôgích học chủ trương rằng nó có những hệ quả phức tạp bất ngờ triết học bao gồm khả năng con người để mô tả đặc tính và truyền thông những khái niệm nhiều loại khác nhau, chẳng hạn như số tự nhiên, số thực, set và ngay cả bản số [18]. Có phải chúng ta có những khái niệm xác định và rõ ràng về những khái niệm này không? Nếu vậy, chúng ta đã nắm bắt được những khái niệm này như thế nào và chúng ta truyền thông chúng cho người khác như thế nào? Định lý Lowenheim-Skolem cho thấy rằng bất cứ gì chúng ta nói về những khái niệm và đối tượng này đều có thể được chuyển thành một lý thuyết có những giải thích không dự định. Vì vậy, làm thế nào chúng ta có thể chắc chắn rằng những người khác hiểu những gì chúng ta dự định để họ hiểu? Làm thế nào để biết rằng tự thân tôi có những khái niệm hàm hồ, không rõ ràng về những đề mục này? Chắc chắn, có những vấn đề triết học tổng quát liên quan đến sự hiểu biết và truyền thông, nhưng nghịch lý Skolem mang lại cho chúng sự chú ý tập trung đặc biệt khi đi đến toán học. Tự thân Skolem (thí dụ: 1922, 1941) đã nhận những kết quả để cho thấy rằng hầu như tất cả những ý niệm toán học đều hoàn toàn là tương đối. Có sự không chắc chắn về phần những gì ông muốn nói, nhưng ý tưởng xem dường như là không có ý niệm tuyệt đối, độc lập (hay khách quan), thí dụ, về số tự nhiên và bản số. Nói cách khác, Skolem đã chủ trương rằng không có set nào thì hữu hạn hay kích thước của những số tự nhiên tuyệt đối đơn giản hơn [19], nhưng chỉ hữu hạn hay kích thước của những số tự nhiên tương với miền hay mô hình nào đó. Gần đây hơn, Hilary Putnam (1980) biện luận cho một thuyết tương đối tương tự trên cơ bản của những điều này và những kết quả khác trong lôgích toán học. Thuyết tương đối Skolem-Putnam là một thuyết chống-duy thực về bản thể học có bao quát sâu rộng, vì cái nhìn dẫn đến rằng đem cho một lý thuyết toán học như số học hay giải tích thực không có một chủ đề-nội dung cố định. Theo đó, những thuật ngữ toán học không có dẫn nhắc cố định.

 

Hầu hết những triết gia cưỡng lại thuyết tương đối của Skolem, tuy nhiên điều đó thì để được hiểu. Một xem xét kỹ lưỡng của những định lý Lowenheim-Skolem vén mở lên cho thấy rằng chúng không gạt ra ngoài những ý niệm tuyệt đối, khách quan về số tự nhiên, tính hữu hạn, v.v. Tuy nhiên, những định lý có cho thấy rằng nếu có những ý niệm tuyệt đối như vậy, chúng không thể bị nắm giữ trong những lý thuyết hình thức bậc-nhất [20]. Bất kỳ lý thuyết bậc nhất nào về những khái niệm này, nếu như nó có những mô hình vô hạn chăng nữa, thì sẽ có những mô hình không chủ định, khiến những ý niệm thành sai. Một số triết gia trả lời rằng toán học phi-hình thức [21] thì truyền đạt ý nghĩa hơn và xác định hơn lý thuyết mô hình bậc nhất. Sự xoay sở này để lại một câu hỏi về cách những khái niệm không chính thức về số tự nhiên, tính hữu hạn, v.v. được hiểu và truyền đạt như thế nào. Vậy ngữ nghĩa học của nói viết truyền thông toán học không chính thức, ngôn ngữ vốnám chỉ rõ ràng những ý niệm tuyệt đối về tính hữu hạn, số tự nhiên, v.v. là gì? Dẫn nhắc này đã thành tưu thế nào? Những định lý Lowenheim-Skolem không giữ đúng cho nhữnggọi là ngôn ngữ chính thức và ngữ nghĩa học bậc-hai [22] , và vì vậy có lẽ chúng đem cho bức tranh đúng của sự hiểu biết và truyền thông. Tuy nhiên, một tranh luận nổ ra về việc liệu ngôn ngữ bậc-hai có thể được hiểu và truyền thông thế nào (xem Shapiro 1991: chs. 3-5). Thật khó tránh phải hỏi ngược lại về chính giả thiết.

 

Những thí dụ khác của những kết quả toán học giàu tính triết học là sự giàu có của những kết quả độc lập trong thuyết tập hợp. Thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với tiên đề chọn, gọi là ZFC, là một trong những lý thuyết toán học mạnh mẽ nhất vốn có một số đồng thuận về nó. Hầu như tất cả những phân tích cổ điển còn hiện hữu, giải tích thực, giải tích phức, phân tích hàm số, v.v. đều có thể được biểu hiện trong ngôn ngữ của thuyết tập hợp, và tất cả những định lý đã biết trong những lĩnh vực đó đều có thể được chứng minh trong ZFC. Tuy nhiên, những nhà lôgích học đã thiết lập được rằng nhiều câu hỏi toán học quan trọng rất đáng chú ý thì những tiên đề của ZFC không thể quyết định (đúng sai) được. Nổi tiếng nhất trong số này là giả thuyết liên tục của Cantor [23]. Như đã nhắc ở trên, đó là một định lý (trong ZFC) rằng có nhiều những số thực hơn những số tự nhiên. Giả thuyết liên tục là sự khẳng định rằng không có những bản số (số những phần tử) vô hạn hoàn toàn giữa hai kích thước đó. Nói cách khác, giả thuyết liên tục là không có set nào lớn hơn set những số tự nhiên và nhỏ hơn set những số thực. Cả giả thuyết liên tục lẫn phủ định của nó đều không thể được chứng minh trong một hệ thống thu giảm những tiên đề tiêu chuẩn của thuyết tập hợp.

 

Sự độc lập này nói gì về những khái niệm toán học? phải chúng ta có một loại khác của tính tương đối được đem cho không? Có phải chúng ta chỉ có thể nói kích thước của một set tương đối với một diễn giải hay mở rộng của thuyết tập hợp không? Một số triết gia chủ trương rằng những kết quả này cho thấy rằng không có sự kiện của vật chất quan đến giả thuyết liên tục, hay kích thước tương đối của set của những số thực. Tương tự như thế với những mệnh đề độc lập khác. Những triết gia này chủ trương rằng có một tính không xác định liên quan đến sự đúng thật toán học, và vì vậy họ là những người phản-hiện thực về giá trị-đúng thật.

 

Vấn đề có những hệ quả phức tạp bất ngờ liên quan đến sự thực hành toán học. Nếu một nhà toán học đứng về phía những người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng thật và chủ trương rằng giả thuyết liên tục có một giá trị-đúng thật xác định, người ấy có thể dành nhiều cố gắng để xác định giá trị-đúng thật này. Trong trường hợp này, một khó nghĩ triết học là để xác định phương pháp luận nào một nhà toán học như thế có thể dùng. Đem cho sức mạnh biểu hiện của ZFC, khó có thể xảy ra rằng có một chứng minh thuyết phục theo một trong hai cách, vì một chứng minh như thế sẽ phải gọi ra những khái niệm hay nguyên tắc vốn đã không được ZFC nắm bắt. Mặt khác, nếu một nhà toán học chủ trương rằng giả thuyết liên tục không có một giá trị-đúng thật xác định, thì người ấy thì tự do để hoặc chấp nhận hoặc phủ nhận nó, dựa trên những gì làm cho thuyết tập hợp thành thuận tiện nhất. Không rõ liệu tiêu chuẩn vốn người theo thuyết duy thực có thể áp dụng để quyết định giả thuyết liên tục thì có khác với tiêu chuẩn vốn người chống-duy thực sẽ dùng để xác định những gì làm cho lý thuyết thành thuận tiện nhất hay không. Một người theo thuyết duy nhiên, như Maddy (1988), bắt đầu công việc triết học ở đây với một sự xem xét của sự thực hành của những nhà thuyết tập hợp liên quan đến những kết quả độc lập.

 

Một thí dụ thứ ba là định lý bất toàn nổi tiếng, được ngưỡng phục  của Gödel [24]. Gọi T là một hệ thống những tiên đề của số học. Giả đinh rằng T thìhiệu quả (thành công trong việc tạo ra kết quả mong muốn hay dự định), theo nghĩa là có một phương cách tự động để xác định xem liệu một chuỗi những câu trong ngôn ngữ của T thì có một suy diễn đúng trong T hay không. Tổng quát, định lý bất toàn dẫn đến rằng nếu T thì đủ phong phú, sau đó có một câu Φ trong ngôn ngữ của T sao cho cả Φ lẫn phủ định của nó đều không thể suy diễn được trong T. Nói cách khác, T không quyết định Φ.

 

Một người chống-duy thực về giá trị-đúng thật có thể biện luận rằng kết quả có tính bất toàn xác nhận rằng ít nhất có một số những mệnh đề số học thiếu những giá trị-đúng thật xác định, nhưng lập luận sẽ giả định-trước rằng con đường duy nhất dẫn đến đúng thật thì qua chứng minh trong một hệ thống suy diễn hiệu quả cố định. Một người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng thật liên quan đến số học, giải thích định lý bất toàn như sự cho thấy rằng không có một hệ thống những tiên đề hiệu quả nào vốn những định lý của nó là tất cả và đều chỉ là những đúng thật của số học. Kết quả cho thấy rằng có nhiều đúng thật hơn là khả năng chứng minh trong bất kỳ hệ thống diễn dịch nhất định nào. Tất nhiên, với những người theo thuyết duy thực chỉ nói điều này thì không đủ. Gánh nặng của người ấy là phải cho thấy sự đúng thật số học gồm những gì, và sự đúng thật số học vượt ra ngoài khả năng diễn dịch hình thức như thế nào.

 

Ngẫu nhiên, một khảo sát của chứng minh của định lý bất toàn cho thấy rằng câu không thể quyết định Φ thì đúng với những số tự nhiên. Thoạt nhìn, chúng ta có một chứng minh không chính thức về sự đúng thật của câu không thể quyết định chính thức được. Vì vậy, người theo thuyết duy thực của chúng ta sẽ chủ trương rằng có nhiều tính chứng minh được với số học hơn là những gì có thể được suy ra trong bất kỳ hệ thống thu giảm những tiên đề hình thức cố định nào.

 

Một số triết gia lấy định lý bất toàn để bác bỏ thuyết cơ giới [25], luận điểm chủ trương rằng trí óc con người vận hành như một bộ máy. Nếu chúng ta xác định chính xác output của một máy nhất định với những định lý của một hệ thống diễn dịch hiệu quả, và nếu chúng ta ý tưởng hóa (trừu tượng) đầy đủ, thì định lý bất toàn cho thấy rằng sự đúng thật số học và khả năng chứng minh số học không hình thức đều vượt xa những gì có thể được máy móc tạo ra (xem Lucas 1961 và gần đây là Penrose 1994). Chính Gödel đã cẩn thận rút ra một kết luận rằng hoặc não thức thì không là một bộ máy hoặc có những câu hỏi số học thì hoàn toàn không thể quyết định được [26] , những câu hỏi vốn con người chúng ta, ngay cả trên nguyên tắc, cũng không thể trả lời được. Tuy nhiên, lập luận của những nhà tư tưởng này thường không được chấp nhận. Judson Webb (1980) lấy những kết quả về tính bất toàn để hỗ trợ thuyết cơ giới.

 

Một nhóm vấn đề khác gồm những cố gắng để trình bày rành mạch và diễn giải những lý thuyết và những khái niệm toán học cụ thể. Một thí dụ là công trình nền tảng trong hình học, số học và toán phân tích. Đôi khi, loại hoạt động này có những những hệ quả phức tạp bất ngờ với chính toán học, và do đó thách thức và xóa nhòa ranh giới giữa toán học và triết học của nó. Những kỹ thuật nghiên cứu đáng chú ý và mạnh mẽ thường được đưa ra bởi những công trình nền tảng rèn đúc việc kết nối giữa những lĩnh vực toán học. Thí dụ, hãy xem xét liên hệ giữa số thực và điểm trong không gian được cho thấy trong hình học giải tích. Điều này có nói gì - về điểm là gì hay số là gì không? Ngoài ra cũng còn có việc gắn sâu những số phức trong mặt phẳng và những số tự nhiên trong mặt phẳng phức tạp, qua lý thuyết số giải tích. Loại hoạt động căn bản này sinh ra toàn bộ những chi nhánh của toán học, ngoài việc làm sáng tỏ những câu hỏi bản thể học cơ bản .

 

Đôi khi những phát triển bên trong toán học dẫn đến những thiếu rõ ràng về những gì là một khái niệm nhất định. Nổi tiếng, công trình dẫn đến nền tảng của toán phân tích đã dẫn đến những thiếu rõ ràng về hàm số thì đúng là gì, cuối cùng dẫn đến khái niệm thời nay về hàm số như một kết hợp ngẫu nhiên [27] (trái ngược với một công thức hay một quy tắc). Phương pháp luận thích hợp và lôgích của toán học đã bị đe dọa. Thí dụ khác, việc dựng lại lịch sử trong Lakatos (1976) [28] cho thấy cách một chuỗi của những ‘chứng minh và bác bỏ để lại những câu hỏi đáng chú ý và quan trọng về một khối đa diện [29] là gì. It nhất, những câu hỏi là một phần bản thể học, liên quan đến yếu tính của những đối tượng và những khái niệm toán học khác nhau.

 

Nhóm vấn đề này kéo chú ý đến bản chất diễn giải của triết học của toán học. Việc làm trong tay là để hình dung một khái niệm toán học đã cho là gì và một đoạn của nói viết truyền thông toán học nói. Thí dụ, nghiên cứu Lakatos bắt đầu với một chứng minh gồm một thí nghiệm tưởng tượng qua suy nghĩ trong đó người ta loại bỏ một mặt của một khối đa diện đã cho, kéo phần còn lại ra trên một mặt phẳng, sau đó vẽ những đường thẳng, cắt và loại bỏ những phần khác nhau, giữ những số đếm dọc theo tiến trình. Sự phát triển thì thuyết phục và mang tính chất của một chứng minh, nhưng hoàn toàn không rõ ràng phải hiểu thế nào về cách nói viết truyền thông công khai linh động. Ngôn ngữ không sẵn sàng đặt vừa vặn vào trong khuôn đúc của những luận thuyết lôgích thời nay. Hình thức lôgích của nói viết truyền thông là gì và lôgích của nó là gì? Bản thể học của nó là gì? Phần lớn những công trình toán học / triết học tiếp sau giải quyết chỉ những câu hỏi này.

 

Quay sang gần hơn với chiều hướng chính, hãy xem xét ngôn ngữ cơ bản của toán giải tích và giải tích thực. Ngữ pháp mặt ngoài sẽ đề nghị rằng biểu thức ‘dx là một thuật ngữ số ít, giống như một đại từ hay một danh từ riêng, biểu thị một đối tượng. Tuy nhiên, đã cần sự phát triển toán học đáng kể để thấy rằng dx không biểu thị một bất cứ gì. Nó không có nghĩa độc lập. Tuy nhiên, biểu thức dy / dx là một thuật ngữ số ít và biểu thị một gì đó – một hàm số, không phải một thương số. Lịch sử của toán phân tích cho thấy việc cho thấy những biểu thức như thế này có ý nghĩa như thế nào là một việc làm lâu dài và quanh co.

 

Tất nhiên, toán học thường có thể tạo tiến bộ khá tốt với không có sự diễn giải về triết học này, và đôi khi công việc diễn giải thì quá sớm và là một sự phân tâm, tệ nhất. Phê bình nổi tiếng và sắc bén về lôgích của George Berkeley về toán phân tích, phần lớn bị những nhà toán học bỏ qua – chừng nào họ biết để tiếp tục thế nào, như Wittgenstein có thể nói. Trong bối cảnh hiện tại, câu hỏi đặt ra là liệu nhà toán học có phải ngừng toán học lại, cho đến khi người này một ngữ nghĩa học cho sự nói viết truyền thông của người này được thực hiện hoàn toàn đến mức hài lòng hay không. Chắc chắn là không. Tuy nhiên, đôi khi, những căng thẳng trong toán học dẫn đến dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toàn diện về diễn giải triết học / ngữ nghĩa. Đôi khi nhà toán học không chắc chắn làm thế nào để tiếp tục như trước đây, cũng như không chắc chắn về những khái niệm thì đúng là gì. Hơn nữa, chúng ta không bao giờ chắc chắn rằng chương trình diễn giải thì chính xác và hoàn thành, và rằng những vấn đề khác không rình rập ở phía trước.

 

 

 

Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Jan/2022)

(Còn tiếp... )

 http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com

 



[1] a priori (“từ cái có trước”) và a posteriori: (“từ cái có sau”): tiên nghiệm và hậu nghiệm. Ít nhất là từ thế kỷ 17, một sự phân biệt rõ ràng đã được nêu lên giữa kiến ​​thức tiên nghiệm và kiến ​​thức hậu nghiệm. Sự phân biệt đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong công trình của David Hume (1711–76) và Immanuel Kant (1724–1804).

[2] inter-subjective idealism

[3] [Có những vấn đề bản thể học liên quan đến những đề mục ngôn ngữ như những chữ số. Một số triết gia cho rằng chúng là những đối tượng trừu tượng, vĩnh cửu, không-nhân quả, giống như những gì người theo thuyết duy thực về bản thể học nói về những con số. Những chữ số theo nghĩa này gọi là những biểu hiên (tokesn). Ngược lại, những những biểu hiên chữ số là những đối tượng vật lý – như mực, mực cháy, v.v. – minh họa cho những loại. Không giống như những loại, những biểu hiên được tạo và phá hủy tùy ý. Để cho người theo thuyết duy danh của chúng ta là một người phản-duy thực trong bản thể học liên quan đến toán học, người này phải phủ nhận sự hiện hữu khách quan của những loại. Vấn đề này lập lại nhiều lần dưới đây.]

[4] Platonism: thuyết toán học theo như triết học của Plato (thuyết những thể dạng)

[5] organism

[6] bivalent: Có thể nhận chỉ một trong hai giá trị (đúng/sai): hai-giá-trị (lưỡng trị)

[7] good mathematics: hiểu như không là toán học thực – toán học thực đem cho kiến thức thực và do đó ứng dụng thành công trong những ngành học khác (vật lý, xác xuất, máy tính, ...), tuy nhiên có thể nói: ‘toán học thực’ / ‘toán học giả’

[8] Crowell, R. and Fox, R. (1963), Introduction to Knot Theory (Boston, Ginn and Co.).

[9] [ Steiner (1978) phân biệt giữa giải thích một hiện tượng vật lý qua việc dùng toán học và một giải thích toán học cụ thể.]

[10] real-valued functions

[11] holism: thuyết toàn diện

[12] preadaptation: một thích ứng phục vụ mục đích khác với mục đích vốn từ đó nó đã phát triển

[13] compactness theorem: vắn tắt, định lý nén phát biểu rằng một set cuả những công thức bậc nhất Φ có chính xác một mô hình nếu và chỉ nếu mọi subset hữu hạn của Φ một mô hình (the compactness theorem states that a set of first-order formulas Φ has a model precisely iff every finite subset of Φ has a model)

[14] first­ order

[15] real analysis, complex analysis, first-order real analysis, first-order set theory

[16] first-order arithmetic

[17] Skolem Paradox: Nghịch lý Skolem liên quan đến một mâu thuẫn có vẻ như xảy ra giữa hai định lý của logich cổ điển. Định lý Löwenheim-Skolem nói rằng nếu một lý thuyết bậc nhất có nhữg mô hình vô hạn, thì nó có những mô hình có những miền của nó chỉ có thể đếm được. Định lý Cantor nói rằng có một số set thì không đếm được. Nghịch lý của Skolem nảy sinh khi chúng ta nhận thấy rằng những nguyên tắc cơ bản của thuyết tập hợp Cantor – tức là, chính những nguyên tắc được dùng để chứng minh định lý Cantor về sự hiện hữu của những set không đếm được – chính chúng có thể được hình thành như một sưu tập (collection) của những câu bậc nhất. Làm thế nào chính những nguyên tắc vốn chứng minh sự hiện hữu của những set không đếm được được thỏa mãn bởi một mô hình vốn tự thân nó chỉ có thể đếm được? Làm thế nào một mô hình đếm được có thể thỏa mãn câu bậc nhất vốn nói rằng có nhiều đối tượng toán học không đếm được — ví dụ: nhiều số thực không đếm được?

[18] cardinality: bản số hay lực lượng: số đếm (chỉ số lượng) những phần tử trong một set.

[19] simpliciter

[20] first-order formal theories

[21] informal mathematics

[22] second­ order formal languages & semantics

[23] the continuum hypothesis (CH): giả thuyết liên tục

[24] incompleteness theorem: đã quen dịch là định lý bất toàn – cho dễ hiểu nên dịch là định lý không đầy đủ, và có hai định lý về tính không đầy đủ.

[25] mechanism

[26] undecidable = không thể quyết đinh được là đúng hay sai

[27] arbitrary correspondence

[28] Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery (1976) của triết gia Imre Lakatos, trình bày quan điểm của ông về sự tiến bộ của toán học

[29] polyhedron