(Triết Học của Toán Học)
Stewart Shapiro
2
MỘT HỖN HỢP NHỮNG HỎI VÀ ĐÁP
Mục đích của chương
này là để vẽ phác những vấn
đề lớn quan trọng và
một số những lập trường chính quan trọng trong dự án diễn giải khó
khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ của triết học của toán học. Những câu hỏi một triết học của toán học phải trả lời để làm
sáng tỏ vị trí của toán
học trong toàn bộ dự
án trí tuệ – trong con
tàu của Neurath – là gì?
Đã từng
được nêu lên những trả lời thuộc loại nào?
1. Tất Yếu và Kiến thức Tiên nghiệm
Một khảo sát bình thường
về những ngành khoa học cho thấy toán học thì bao gồm trong nhiều
những cố gắng nhất của chúng ta để đạt kiến thức.
Thế nên,
triết học của toán học, trong phần
lớn, là một nhánh của tri thức học – phần
của triết học vốn giải quyết vơi việc
nhận
thức và kiến thức. Tuy nhiên, toán học ít nhất hiện ra là khác biệt với những nỗ lực tri thức học khác, và đặc biệt, với những phương diện khác của sự theo đuổi của khoa học. Những mệnh đề toán học cơ bản xem
dường như không có dự trù cho sự kiện
hoặc hoàn cảnh không lường trước được. của những mệnh đề khoa học.
Theo trực giác, mặt trời không nhất thiết phải
có chín hành tinh. Có thể có bảy, hay không có hành tinh nào. Lực hấp dẫn không nhất
thiết phải tuân theo luật bình phương nghịch đảo, ngay cả xấp xỉ gần đúng. Ngược lại, những mệnh đề toán học,
như 7 + 5 = 12, đôi
khi được nêu như mô thức của những đúng thật tất yếu.
Mọi sự vật việc chỉ không
thể là khác.
Nhà khoa học sẵn sàng nhìn nhận rằng những luận đề nền tảng hơn của mình có thể là sai. Tính khiêm
tốn này được một lịch
sử của những cách mạng khoa học hỗ trợ bằng chứng, trong đó những tin tưởng nắm giữ sâu xa, lâu đời đã bị bác
bỏ. Có thể nào người
ta thành thực giữ
cùng một sự khiêm
tốn cho toán học không?
Có thể nào người ta hoài nghi rằng nguyên lý quy nạp giữ đúng với những số
tự nhiên không?
Có thể nào người ta hoài nghi rằng 7 + 5 = 12? Đã từng có những cách mạng toán
học đi đến kết quả là sự bác bỏ của những tin tưởng toán
học lâu đời giữ ở
trung tâm? Ngược lại, phương pháp luận của toán học không có vẻ là có tính xác suất như cách
thức trong khoa
học. Ngay cả không biết
có phải đã có một
khái niệm mạch lạc, chặt chẽ của tính xác suất của một phát biểu
toán học không? Ít nhất thoạt
nhìn, cơ sở tri thức của nguyên lý quy nạp, hay ‘7 + 5 = 12’, hay số lượng vô hạn của những số nguyên tố, thì vững chắc hơn và khác biệt trong cùng loại, hơn là với
nguyên lý của lực hấp
dẫn. Không giống khoa học, toán học tiến hành qua chứng minh. Một chứng minh đúng, thành công, loại bỏ tất cả những hoài
nghi lý trí,
không chỉ tất cả những hoài nghi lý trí có thể có. Một chứng minh toán học sẽ cho thấy
rằng những tiền đề của
nó theo lôgích dẫn
đến kết luận của nó. Những tiền đề thì đúng
nhưng kết luận thì sai là điều không thể xảy ra được.
Trong mọi trường hợp, hầu hết những nhà tư tưởng đồng
ý rằng những mệnh đề toán học cơ bản hưởng được một mức độ cao của tính chắc chắn. Làm sao chúng có thể là sai? Làm sao chúng có thể bị nghi ngờ bởi bất kỳ hữu thể có lý trí nào – không đến mức của một người hoài nghi tổng quát,
người chủ trương rằng
mọi sự vật việc đều nên bị nghi ngờ? Toán học xem dường thiết yếu cho bất kỳ loại suy luận
nào. Nếu, như phần của một thí
nghiệm triết học trong tưởng tượng,
chúng ta thử có những
hoài nghi về toán học cơ bản, không phải
rõ
ràng là chúng ta hoàn toàn không có
thể tiếp tục suy nghĩ được nữa?
Cụm từ ‘a
priori’ có
nghĩa một gì đó giống như ‘trước
kinh
nghiệm’ hay ‘độc lập với kinh nghiệm’. Đó là một khái niệm trong tri thức học. Định nghĩa một mệnh đề được
biết tiên nghiệm nếu
kiến thức không dựa trên bất kỳ kinh nghiệm nào của diễn tiến cụ thể của những sự kiện của thế
giới thực (Blackburn 1994: 21). Người ta có thể cần kinh nghiệm ngõ hầu để nắm vững những khái niệm gồm trong mệnh
đề, nhưng không có kinh nghiệm đặc biệt
nào
khác với thế giới. Một mệnh đề được biết là hậu nghiệm (a
posteriori) hay theo kinh nghiệm
(empirically) nếu
nó không được biết được biết tiên nghiệm. Đó là, một mệnh đề được biết là hậu
nghiệm nếu kiến thức dựa trên kinh nghiệm về cách thế giới mở ra như thế nào. Một mệnh đề đúng thì tự thân nó là tiên nghiệm nếu nó có thể trở
thành được biết tiên nghiệm, và một mệnh đề đúng là hậu nghiệm nếu nó
không thể (biết
tiên nghiệm) –
nếu kinh nghiệm với thế giới (ngoài những gì cần thiết để thấu hiểu những khái niệm) thì cần thiết để đi đến hiểu mệnh đề. [1]
Những thí dụ điển hình của
một mệnh
đề hậu nghiệm là “con mèo thì ở trên tấm thảm” và “lực hấp dẫn xấp xỉ tuân theo một luật bình phương nghịch đảo”. Như chúng ta sẽ thấy
(ch. 4, §3; ch. 8, §2), một số triết gia chủ
trương rằng
không có kiến thức tiên nghiệm, nhưng cho phần
còn lại, những mệnh đề tiên nghiệm
điển hình gồm
‘tất
cả những đối tượng màu
đỏ đều có màu sắc’ và
‘không
gì có màu đỏ khắp tất cả và
đồng thời màu xanh lá cây khắp tất
cả’.
Có lẽ những thí dụ được trích dẫn nhiều nhất là những mệnh đề của lôgích và
toán học, trọng tâm hiện tại của chúng ta. Toán học xem dường như không dựa
trên quan sát theo lối vốn khoa học dựa
trên.
Lại nữa, toán
học dựa trên chứng minh.
Do
đó, nó là phận sự với bất kỳ triết học hoàn chỉnh nào của
toán học ít nhất để giải thích cho tính
tất yếu hiển
nhiên và
tiên nghiệm của
toán học. Có lẽ, lựa chọn không quanh co sẽ
là nói rõ
ràng những
khái niệm của tất yếu và
tiên nghiệm, sau đó cho thấy áp dụng vào toán học
theo cách
thức thế nào.
Chúng ta hãy gọi
đây là ‘đường lối truyền thống’. Nó theo châm ngôn rằng mọi sự vật
việc đều là như chúng xem có vẻ là. Gánh nặng với đường lối truyền thống là phải cho thấy chính
xác điều gì là cái biết tất yếu và
tiên nghiệm. Trong phát triển hiẹn nay,
không ai có thể chính đáng tuyên bố rằng
những khái niệm
này là đủ
rõ ràng và phân biệt.
Nếu triết gia muốn gợi lên hai
khái niệm sinh đôi của tất yếu và
tiên nghiệm, thì người ấy phải nói những gì được gợi lên
là gì.
Có
một căng thẳng quan trọng trong bức tranh truyền thống. Trên cái
nhìn đó,
toán học thì tất yếu
và biết được tiên
nghiệm, nhưng toán học có một gì đó để
làm với
thế giới vật lý. Như đã ghi nhận.
toán học thì thiết yếu
cho sự tiếp cận khoa học với thế giới, và
khoa học thì theo kinh
nghiệm, nếu
có bất
cứ gì là thế –
thuyết duy lý không kể.
Vì vậy, kiến thức tiên nghiệm về những đúng thật tất yếu
hiện ra thế nào trong sự thu thập kiến thức thực nghiệm thông thường? Luận điểm của Immanuel Kant rằng
số học và hình học là ‘tiên
nghiệm tổng hợp’
là một cố gắng hào hùng để
dung hòa những đặc điểm này của toán học (xem chương 4, §2 1. Theo Kant, toán học
liên quan đến những dạng của nhận
thức. Nó liên quan đến những cách vốn chúng ta nhận thức thế giới vật lý. Hình
học Euclid liên quan đến những dạng của trực giác không gian và số học liên
quan đến những dạng của trực giác không gian và thời gian. Vì vậy, toán học thì tất yếu
vì chúng ta không
thể cấu trúc thế giới theo bất kỳ cách nào khác. Chúng ta phải nhận thức thế giới qua những dạng này
của trực
giác. Không có hình thức nào khác có sẵn cho chúng ta. Kiến thức
toán học thì tiên
nghiệm vì chúng ta không cần bất kỳ kinh nghiệm đặc biệt nào
khác với
thế giới để nắm bắt những hình thức của trực
giác về nhận
thức.
Đó
là một trình bày khá thô
thiển đã làm giảm
đi nhiều giá trị cái
nhìn của của
Kant vốn đã
và vẫn có nhiều ảnh
hưởng, nhưng cái nhìn của
ông về toán học đã được xem
là khó khăn
rắc rối, hầu như ngay từ đầu. Phái
theo Kant
có thể đã ‘vướng tội’
đổi chác một
số vấn đề khó khăn và
những khái niệm mù mờ như tiên nghiệm và
tất yếu với
một số vấn đề lại còn còn
khó khăn hơn, liên quan đến trực giác. Alberto
Coffa (1991) cho thấy rằng một đề mục
chính trong chương trình bàn luận của
triết học phương Tây trong suốt thế kỷ XIX là
giải thích cho (ít
nhất) tính tất yếu hiển nhiên và
bản chất tiên nghiệm của toán học, và những ứng dụng của toán học, nhưng không viện dẫn trực giác theo như
Kant. Đề mục
trong chương
trình bàn luận này ngày
nay vẫn sống động.
Một
lựa chọn khác là cho triết
gia để biện luận rằng những nguyên lý toán học đều không tất yếu
hay không biết được
tiên nghiệm,
có lẽ vì không có những mệnh đề
nào hưởng được những
vinh dự này. Một số người theo thuyết duy nghiệm nhận thấy lựa chọn không-truyền thống này hấp dẫn, phủ nhận
hay hạn chế chặt chẽ
tính tiên nghiệm.
Ngày nay quan điểm này phổ thông hơn bao giờ hết, chủ yếu ở Bắc America dưới ảnh
hưởng của thuyết duy nhiên / thuyết duy nghiệm của W V. O. Quine (xem ch. 1, §3
và ch. 8, §3). Một gánh nặng với một triết gia theo đuổi lựa chọn không-truyền thống này là phải cho thấy lý
do toán học xem dường như xuất hiện là tất yếu
và tiên nghiệm.
Người ta không thể đơn giản gạt bỏ tin
tưởng lâu đời liên quan đến địa vị đặc
biệt của toán học. Đó là,
ngay cả nếu những
tin tưởng truyền thống đã nhầm
lẫn, phải có một gì đó về toán học vốn đã
đưa dẫn nhiều
người tin rằng nó là tất yếu và
biết được tiên nghiệm
2. Những Vấn Đề Toàn Bộ: Những Đối Tượng
Và Tính Khách Quan
Như đã ghi nhận
trong chương trước, triết gia của toán học ngay lập tức gặp phải những vấn đề
sâu rộng. Toán học, nếu là bất cứ
gì, là về
gì? Toán học được theo đuổi như thế nào? Chúng ta biết toán học thế nào? Phương pháp luận của toán học là
gì, và phương pháp luận này đáng tin cậy đến mức
độ nào? Những khẳng định toán học có nghĩa là gì?
Có phải chúng
ta có những sự khái niệm
hóa xác định và không hàm hồ về những khái niệm và ý tưởng toán học
cơ bản hay không? Có phải đúng thật toán học là có hai giá trị, trong ý hướng rằng mọi câu phát biểu đã hình
thành rõ ràng và không hàm hồ đều
hoặc tất định đúng hoặc tất định sai không? lôgích thích hợp cho toán
học là gì? Những nguyên lý toán học khách quan và độc lập với não thức, ngôn ngữ
và cấu trúc xã hội của những nhà toán học đến mức
độ nào? Có phải mọi đúng thật toán học đều có thể biết được? Liên quan giữa toán học và khoa học là gì khiến có thể có sự ứng
dụng?
Tất nhiên, một số câu hỏi này không giới hạn chỉ với toán
học. Ngay từ buổi đầu của lịch sử đã ghi
chép, vấn đề siêu hình cơ bản đã là
để xác định (nếu có) ngôn ngữ thông thường,
hay ngôn ngữ khoa học, là về
những gì, và những triết gia luôn tự hỏi liệu sự đúng thật thông thường có độc lập với não thức con người hay không. Gần đây, ngữ nghĩa đúng cách và lôgích đúng cách cho bàn luận thông thường
đã trở thành một đề tài quan
trọng trong triết học, với triết gia mạo hiểm vào trong ngôn ngữ học. Như đã ghi nhận trong ch. 1, chúng ta phải học bài học
của thuyết duy lý và cẩn thận khi mở rộng những kết luận liên quan với toán học cho phần còn lại
của ngôn ngữ và phần còn lại của dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ. Và ngược
lại: chúng ta phải cẩn thận khi
mở rộng những kết luận về ngôn ngữ và khoa học thông thường sang toán học.
2.1. Đối tượng
Một vấn đề toàn bộ liên quan đến chủ đề-nội dung của toán học. Nói viết truyền
thông toán học có những dấu hiệu của viện dẫn những loại đối tượng đặc
biệt, chẳng hạn như những số,
điểm, hàm số và set. Xét định lý thời cổ rằng với mọi số tự nhiên n, có
một số nguyên tố m >
n.
Điều này dẫn đến kết quả là
không có số nguyên tố lớn nhất và do đó có vô hạn những số nguyên tố. Ít nhất trên bề mặt, định
lý này xem dường như quan tâm đến
những con số. Những sự vật việc này
là gì? Có phải chúng
ta dùng ngôn ngữ của toán
học với giá trị thấy mặt ngoài, và kết luận rằng những số,
điểm, hàm số và set đều hiện
hữu
không? Nếu chúng hiện hữu, chúng có độc lập với nhà toán học, não thức, ngôn ngữ
của nhà toán học, v.v. không? Định nghĩa thuyết duy thực trong bản thể học
là quan điểm rằng ít nhất một số đối tượng toán học hiện hữu khách quan, độc lập
với nhà toán học.
Thuyết duy thực trong bản thể học đứng đối lập với những quan điểm như thuyết
duy ý và thuyết duy danh. Người theo thuyết duy ý đồng ý rằng những đối
tượng toán học hiện hữu, nhưng chủ
trương rằng
chúng tùy thuộc vào não thức (con
người). Người này có
thể nêu lên rằng
những đối tượng toán học là những xây dựng xuất hiện
từ
hoạt động trí óc của những cá nhân nhà
toán học. Đây sẽ là một thuyết duy ý chủ quan, tương tự như một cái nhìn về những đối tượng vật lý thông thường. Nói chính xác, từ cái nhìn này, mỗi nhà toán học đều
có những số tự nhiên, những mặt phẳng Euclid, và v.v.
của riêng mỗi người. Những
người theo thuyết duy ý khác coi những đối tượng toán học là phần của cấu trúc
tinh thần được tất cả loài người chia
sẻ. Có lẽ toán học liên quan đến tính khả hữu của
sự xây
dựng vốn vẫn từng có.
Đây thuộc vào loại, là một
thuyết duy ý liên
chủ quan [2],.
Tất cả những người theo thuyết duy ý đều đồng ý về điều ngược lại rằng nếu
không có não thức, tất sẽ
không có những đối tượng toán học. Những người theo thuyết duy thực về bản thể học phủ nhận điều ngược lại, nhấn
mạnh rằng những đối tượng toán học độc lập với não thức.
Thuyết duy danh
là một phủ nhận triệt để hơn về sự hiện hữu khách quan của những đối tượng
toán học. Một dạng cụ thể chủ
trương rằng
những đối tượng toán học chỉ là những xây dựng ngôn ngữ. Trong nói viết truyền thông
thông thường, chúng ta phân biệt một đề mục
đem cho,
chẳng hạn như tác giả của quyển sách này, với một tên
gọi của đề mục
đó. Stewart Shapiro không giống như ‘Stewart
Shapiro’.
Một là một người và một là một đôi gồm hai từ. Một số người theo thuyết duy danh
phủ nhận sự khác biệt gồm những
đối tượng toán học này,
nêu lên rằng số chín, chẳng hạn, chỉ là chữ số ‘9’ tương
ứng (hay ‘chín’, ‘IX’,
v.v.).[3] Đây là một biến thể của một thuyết duy danh truyền thống hơn liên
quan đến những gì gọi
là ‘những phổ
quát’, như những màu sắc và những hình dạng. Quan điểm đó, phổ thông trong
thời kỳ trung cổ, đã cho rằng chỉ những tên gọi là phổ quát. với một đối tượng có
màu đỏ thì không có gì hơn ngoài việc
có
từ ‘màu đỏ’ áp dụng chính xác cho (một tên gọi
của) đối tượng đó.
Ngày nay, một người
hoài nghi phủ nhận sự hiện hữu của những đối
tượng toán học là phổ
thông hơn xây dựng chúng từ ngôn ngữ. Thuyết hư vô về toán học này cũng gọi là ‘thuyết duy danh’ (xem chương 9).
Một số triết gia chủ trương rằng những số, những điểm,
những hàm số và
những set là những thuộc tính hay những khái niệm,
phân biệt chúng với những đối tượng trên một số cơ sở siêu hình hay ngữ nghĩa.
Tôi sẽ phân loại những triết gia này theo
những gì họ nói về những thuộc tính hay những khái niệm. Thí dụ, nếu một triết
gia có chủ trương rằng những
thuộc tính hiện hữu độc lập với ngôn ngữ và não thức – một thuyết duy thực liên quan đến
những thuộc tính – khi đó tôi
sẽ phân loại người ấy như một người theo thuyết duy thực trong bản thể học liên
quan đến toán học, vì người ấy chủ trương rằng toán học có một chủ đề-nội dung đặc biệt và chủ đề-nội dung này thì độc lập với ngôn ngữ và não thức của nhà toán học. Tương tự, nếu một triết gia chủ trương rằng những
con số, thí dụ,
là những khái niệm và rằng những
khái niệm đều là tinh
thần, vậy người này là một người theo thuyết duy ý liên quan đến
toán học, và nếu người này là
một người theo thuyết duy danh truyền thống liên quan đến những tính chất hay
khái niệm, thì người ấy là một người theo thuyết duy danh liên quan đến toán học.
Thuyết duy thực trong bản thể học tự nó không có bất kỳ
hệ quả phức tạp bất ngờ nào liên quan đến
bản chất của những đối tượng toán học (hay những thuộc tính hay khái niệm),
ngoài luận điểm xuông rằng
chúng hiện hữu một cách khách
quan, Những con số thì giống gì?
Chúng liên quan hơn thế nào với những đối tượng trong thế giới này như tảng đá
và con người?
Trong số những người theo thuyết duy thực về bản
thể học, quan điểm phổ thông nhất chủ trương rằng những đối tượng toán học là
không-nguyên nhân, vĩnh cửu, không thể phá hủy, và không là phần của không-thời
gian. Theo một khuynh hướng phổ biến, thực hành toán học và
khoa học tán trợ điều
này, một khi sự hiện hữu của những đối tượng toán học được thừa nhận. Những tài liệu khoa học không dẫn nhắc đến vị trí của những con số hay tác động nhân quả của chúng trong những hiện tượng tự nhiên, hay người ta có thể thực hiện việc tạo nên hay phá hủy một con số như thế nào. Không có viện dẫn những
thí nghiệm để khám phá sự
hiện diện của những con số,
hay xác định những thuộc tính
toán học của chúng. Nói chuyện
như vậy sẽ bị gán cho lá nhãn phi lý. Thuyết duy thực
trong bản thể học đôi
khi được gọi là ‘thuyết
Plato’[4] ,
vì những Thể Dạng của Plato cũng là không-nguyên nhân, vĩnh cửu, không
thể phá hủy, và không là một phần
của không-thời gian (xem chương 3, §1).
Những dạng cụ thể phổ thông của thuyết duy thực trong
bản thể học giải thích tốt đẹp
cho
tính tất yếu của toán học: nếu chủ đề-nội dung của toán học giống như những
người theo thuyết duy thực này nói, khi dó những đúng thật của toán học đều độc lập với bất
cứ gì thay đổi về vũ
trụ vật lý và bất kỳ gì thay đổi về não thức con người, về cộng đồng những nhà toán học, và v.v. Đến đây, không có vấn đề gì.
Thuộc một
kiến thức
tiên nghiệm là gì? Sự liên
hệ với Plato có thể gợi nhắc sự
hiện hữu của một liên hệ gần như huyền bí
giữa con người và sự trừu
tượng và lĩnh vực toán học tách biệt. Khả năng này, đôi khi đã gọi là ‘trực giác toán học’, đã giả định dẫn đến kiến thức của những mệnh đề toán học cơ bản, loại như những tiên đề của những lý thuyết khác nhau. Tương tự với nhận thức giác quan vốn dẫn đến kiến thức của thế giới bên ngoài. Kurt Gödel (1964) xem dường như đã có một gì đó giống điều này trong suy nghĩ, với đề nghị của ông rằng một số những nguyên lý của
thuyết về set ‘tự ép đẩy chúng vào
chúng ta như đúng
thật’ (xem chương 8,
§1). Vì, có lẽ giả định rằng sự liên
hệ giữa não thức và
lĩnh vực toán học thì độc lập với bất
kỳ kinh nghiệm giác quan nào, sự điều
động gần
như huyền bí sẽ làm kiến thức
toán học thành tiên nghiệm xuất sắc hơn cả. Tuy nhiên, bất chấp uy tín của Godel, hầu hết những triết
gia thời nay đều ít nhiều trực tiếp bác bỏ trực giác toán học này. Khả năng hoàn toàn bị loại trừ dựa trên luận điểm theo thuyết duy nhiên, coi ‘người biết’ như một
cấu trúc vật chất của một dạng sống [5] trong thế giới tự nhiên (xem chương 1,
§3). Theo người theo thuyết duy nhiên, bất kỳ
khả năng tri
thức nào triết gia đã tuyên bố phải đặt dưới sự xem sét kỷ lưỡng thường
lệ của khoa
học. Có nghĩa là, một triết gia / nhà khoa học không thể dẫn nhắc một liên hệ trực tiếp giữa não thức và vũ trụ toán học cho đến khi người này đã tìm thấy một cơ sở khoa học, tự nhiên cho nó. Cơ sở như vậy có vẻ rất khó xảy ra nếu những con số, những điểm,
và v.v. đều vĩnh
cửu và không-nguyên nhân như những người theo thuyết duy thực điển hình đã nói.
Người ta làm xảy ra một
liên kết với những đối tượng loại như vậy như thế nào? Vì vậy, có lẽ người theo thuyết Plato đã đi quá xa với liên hệ
não thức và toán học này qua đường trực giác toán học. Đôi khi, ‘thuyết plato’ của thuyết duy thực trong
bản thể học được viết với chữ p viết
thường, để làm nhẹ đi liên
hệ với Plato. Người theo thuyết duy thực điển hình trong bản thể học bảo vệ một gì
đó giống như một bản
thể học theo Plato cho toán học, nhưng không
với một tri
thức học theo Plato.
Tuy nhiên, với việc bác bỏ một kết nối gần như thần bí, người theo thuyết duy thực về bản thể học bị bỏ lại với một bí ẩn tri thức học sâu
xa. Nếu những đối tượng toán học
là phần của một ‘vương quốc’ toán
học tách biệt, vĩnh cửu và không- nhân quả, con người có thể có được
kiến thức của chúng như thế nào?
Nó thì gần giống với một mảnh của dữ liệu không
thể sửa chữa (vì không thể sai lầm) vốn ít nhất chúng ta quả thực có một số kiến thức toán học, cho dù kiến thức này xảy ra là gì. Nếu thuyết duy thực trong bản thể
học là đúng, thì kiến thức toán học là kiến thức của một ‘vương quốc’ toán học trừu tượng,
không nhân quả. Kiến thức này có thể có được như thế nào? Làm thế nào chúng ta có
thể biết bất cứ gì về vũ trụ toán học được giả định là tách biệt? Nếu người theo thuyết
duy thực của chúng ta cũng là một người theo thuyết duy nhiên, thì thách thức
là phải cho thấy cách nào một
hữu thể vật chất trong một vũ trụ vật chất có thể đi đến biết được bất cứ gì về những đối tượng trừu tượng
như những số, những điểm và những set.
Chúng ta hãy quay sang
những thuyết chống-duy thực. Nếu những con số, chẳng
hạn, là những sáng tạo của não thức con người, hay thừa hưởng sẵn trong tư tưởng con người,
như những người theo thuyết duy ý tranh luận, khi đó kiến
thức toán học, theo một ý hướng
nào đó, là kiến thức của riêng não thức chúng ta. Toán học sẽ là tiên nghiệm
cho đến chừng
mức vốn kiến thức tự biết này
thì độc lập với kinh nghiệm giác quan. Tương tự,
những đúng thật toán học sẽ là
tất yếu cho đến
chừng mức vốn cấu
trúc của tư tưởng con người là tất yếu. Trên những cái nhìn như thế
này, vấn đề sâu xa hơn là để
‘làm thuận hợp’ bức tranh đã đưa lên về những đối tượng toán học và kiến
thức toán học với trọn vẹn lĩnh
vực của toán học như đã thực hành. Có nhiều vô hạn những số tự nhiên và ngay cả nhiều những số thực hơn những số tự nhiên. Người theo thuyết duy ý
phải làm thuận hợp kiến
thức của chúng ta về những số tự nhiên và những số thực với sự hữu hạn hiển nhiên của não thức.
Nếu những đối tượng toán học được xây dựng từ những đề mục ngôn ngữ, khi đó kiến thức toán học là kiến thức của ngôn ngữ. Những luận điểm này sẽ trở thành
những gì thì không rõ ràng, rằng những đúng
thật toán học là tất yếu và
biết được tiên nghiệm. Điều đó sẽ tùy thuộc trên cái nhìn của những người theo thuyết
duy danh về ngôn ngữ. Kiến thức toán học sẽ là biết
được tiên nghiệm cho đến
chừng
mức vốn kiến
thức về ngôn ngữ của chúng ta là tiên nghiệm. Ở đây lại nữa, vấn đề chính là một
trong những giải pháp hòa hợp cái
nhìn với
toàn bộ phạm vi của toán
học. Cuối cùng, nếu không có đối tượng toán học, như một số người theo thuyết
duy danh tranh luận, khi đó triết gia phải phân tích những mệnh đề toán học như không bao gồm viện dẫn những đối tượng toán học,
hay nếu không, người theo thuyết duy danh sẽ chủ
trương rằng những mệnh đề toán học thì sai
toàn hệ thống (và vì vậy không tất yếu) hay ngớ ngẩn trống rỗng. Tương tự như vậy, người theo thuyết
duy danh của chúng ta sẽ phải phân
tích toán
học trong những điều kiện khác
hơn kiến thức của những đối tượng toán học, hay là biện luận rằng hoàn toàn không có kiến thức toán học (và do đó không có một
kiến thức toán học tiên nghiệm) gì hết tất cả!
2.2. Sự Đúng Thật
Nhìn
theo bản
chất diễn dịch của triết học của
toán học, và chiều hướng tổng quát của
triết học phân tích là điều tự nhiên để chuyển sự chú ý của chúng
ta sang ngôn ngữ của toán
học. Sự khẳng định toán học nghĩa là gì? Hình thức lôgích của chúng là gì? Ngữ nghĩa
học tốt nhất cho ngôn ngữ toán học là gì?
Georg Kreisel thường được cho là đã có công trong việc chuyển trọng tâm từ sự hiện hữu của những
đối tượng toán học sang tính khách quan của nói viết truyền thông toán học. Định
nghĩa thuyết duy thực về giá
trị-đúng
thật
là cái nhìn rằng
những phát biểu toán học có những giá
trị-đúng thật khách
quan, độc lập với những não thức, những ngôn ngữ, những quy ước, và v.v.
của những nhà toán học.
Phía đối lập là thuyết
chống-duy thực về giá trị-đúng thật, luận điểm rằng nếu những
phát biểu toán học có những giá
trị-đúng thật nào tất cả đi nữa, thì những giá trị-đúng thật này tùy
thuộc vào nhà toán học. Một dạng cụ thể của thuyết chống lại giá trị đúng thật
là rằng những phát biểu toán học không hàm hồ có được
giá trị-đúng thật của chúng nhờ vào
khả năng của não thức con
người, hay nhờ vào hoạt động thực sự, hay hoạt động tâm lý có thể có của con người. Trong cái nhìn này, chúng ta làm một số những mệnh đề đúng hay sai, trong ý hướng rằng cấu
trúc của não thức con
người thì một cách nào đó cấu thành (phần) sự đúng thật toán học. Cái nhìn ở đây là một thuyết duy ý về giá trị-đúng
thật, thuộc loại nào đó.
Nó không có nghĩa rằng chúng
ta quyết định liệu một
mệnh đề đem cho là đúng hay
sai, cũng giống như một người theo thuyết duy ý về những đối tượng vật lý chủ trương rằng chúng ta không quyết định
để có những nhận thức nào.
Phần của những
gì nó cho những phát biểu toán học là khách quan là sự có thể có rằng sự đúng thật của một số câu thì vượt ngoài
những khả năng của con người để biết
sự đúng thật này. Đó là, người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng
thật tán thành sự có thể có rằng có lẽ có những đúng thật
toán học không thể biết được. Theo quan điểm đó, đúng thật là một việc, khả năng biết được là một việc khác. Người chống lại duy thực về giá trị đúng thật có thể lấy lập trường đối nghịch,
sau khi biện luận rằng tất cả những sự đúng thật toán học đều có thể biết được. Nếu, trong một ý hướng nào đó, những phát biểu
toán học có được giá trị-đúng
thật của chúng nhờ vào khả năng của não thức, khi đó sẽ hợp lý
để khẳng định rằng không
có đúng thật toán học nào nằm ngoài khả năng để hiểu biết của con người: cho bất kỳ mệnh đề toán học Φ nào, nếu Φ thì đúng, sau đó ít nhất là trên nguyên tắc, Φ có thể thành là biết được.
Có một chiến tuyến tương tự dọc theo mặt trận ngữ nghĩa học. Người theo thuyết duy thực về giá
trị-đúng thật giả định chủ
trương rằng ngôn ngữ toán học thì có hai-giá-trị [6] theo
nghĩa rằng mỗi câu rõ ràng, không hàm hồ thì hoăc xác định là đúng hoặc xác
định là sai.
Hai-giá-trị nhìn có vẻ như là phần cơ bản và cần thiết của
tính khách quan (miễn là sự mơ
hồ hay hàm hồ không
là phần của bức tranh). Nhiều người theo thuyết chống-duy thực do dự trước hai-giá-trị,
chủ trương rằng não thứcvà / hay thế giới có thể không xác định được mọi câu
toán học không-hàm hồ,
không biết hoặc nó
đúng hay sai. Như đã đưa ra ở trên, nếu
những
người theo thuyết chống-duy thực chủ trương rằng tất cả sự đúng thật đều có thể biết được, thì sự
khiêm tốn sẽ khuyên nên chống
lại hai-giá-trị. Là kiêu
ngạo để nghĩ rằng bộ óc con người có khả năng xác
định mọi câu toán học phát biểu
rõ
ràng, rằng
liệu nó đúng hay sai. Một số người theo thuyết
chống-duy thực nhìn quan
điểm của họ như tuân theo hệ quả tất yếu rằng lôgích trực giác phải
thay thế lôgích cổ điển, vốn dẫn
đến một đòi hỏi, dựa trên triết
học, cho những sửa đổi trong toán học (xem ch.1, §2
và ch. 7).
Một dạng cụ thể thứ hai, triệt để hơn của thuyết chống-duy
thực về giá trị-đúng thật là những khẳng định toán học hoàn toàn thiếu những giá trị-đúng thật
(không tầm thường, không trống rỗng).
Nói chính xác, nó dẫn đến rằng sẽ
không có kiến thức toán học nào cả, cho đến chững nào chúng ta đồng ý rằng Φ thì biết được ‘kéo theo’ Φ thì đúng.
Nếu người theo thuyết chống-duy thực này không muốn gán sai lầm lớn lao và lẫn lộn cho toàn thể cộng
đồng toán học và khoa học, khi đó người
này cần có một
giải thích của những gì đổi thành, chuyển sang kiến thức toán học.
Nếu toán học không là một hoạt
động thu thập kiến thức, vậy nó
là gì? Có lẽ, người triệt để chống lại thuyết duy thực về giá trị-đúng thật này
đồng ý rằng toán học là một phần có ý
nghĩa đặc biệt và hết sức quan trọng của dự án khó khăn
đòi hỏi nỗ lực trí tuệ, và do đó người
này cần một giải
thích về sự quan trọng này. Nếu toán học tốt
thì không là toán học thực (vì những câu không có những giá trị-đúng thật không-tầm thường, không-trống rỗng), sau đó những gì là toán học tốt? [7]
Dựa trên ấn tượng đầu tiên, có một liên minh giữa thuyết duy thực về
giá trị-đúng thật và thuyết duy thực về bản thể học. Thuyết duy thực về giá trị-đúng
thật là một cố gắng để phát triển một cái nhìn rằng toán học giải quyết với những đặc tính khách quan của thế giới. Cách đơn giản để
diễn giải ngôn ngữ toán học là dùng nó theo giá trị như trông thấy bên ngoài, và không chọn cách diễn
giải-lại toàn bộ của nói viết truyền thông. Dựa trên ấn tượng
đầu tiên, những chữ
số là những thuật ngữ đặc biệt số
ít,
những danh từ riêng.
Chức năng ngôn ngữ của những thuật
ngữ đặc biệt số ít là để biểu thị những đối tượng. Vì vậy, nếu
ngôn ngữ được hiểu theo nghĩa đen, thì những thuật ngữ số ít của nó biểu thị một
gì đó. Những chữ số
biểu thị những số lượng. Nếu những
câu không tầm thường chứa những chữ số là đúng, thì những con số hiện hữu. Người theo thuyết duy thực về giá trị đúng thật còn chủ trương rằng một
số câu là đúng khách quan, độc lập với nhà toán học. Luận điểm bản thể học rằng những con số hiện hữu khách quan có
thể không trực tiếp theo đến
từ luận
điểm ngữ nghĩa của thuyết duy thực về giá
trị-sự đúng thật. Có thể có những đúng
thật khách quan về những thực thể tùy thuộc-não thức. Tuy nhiên, sự hiện hữu khách
quan của những đối tượng toán học thì ít
nhất được đề nghị bởi
sự đúng thật khách quan của những khẳng định toán học.
Triển vọng
này
tóm tắt một nửa của một đilemma
đã đưa ra trong ‘'Mathmatical
Truth’ của Paul Benacerraf
(1973), một bài viết tiếp
tục có ảnh hưởng lớn trên những
thảo luận đương thời trong triết học của toán học. Một khao khát mạnh mẽ là
những phát biểu toán học nên được hiểu trong cùng một cách như những phát biểu thông
thường, hay ít nhất là những tuyên bố khoa học đáng tôn trọng. Đó là, chúng ta nên cố gắng tạo ra
một ngữ nghĩa thống nhất gồm ngôn ngữ thông thường / khoa học cũng như ngôn ngữ
toán học. Nếu chúng ta giả định rằng một số loại thuyết duy thực về giá trị-đúng
thật giữ đúng cho những ngành
khoa học, thì chúng ta sẽ dẫn đến thuyết duy thực về giá trị-đúng thật cho toán học, và một cố gắng để hiểu những khẳng định toán học ở giá
trị mặt ngoài – cùng một cách như những khẳng định khoa học
thông thường được hiểu.
Một động lực khác cho những cần và muốn đến
từ sự kiện là
ngôn ngữ khoa học thì kết
hợp chặt chẽ với ngôn ngữ toán học. Sẽ rất khó xử và phản trực giác nếu đem cho những lý do giải thích ngữ
nghĩa riêng biệt cho toán học và khoa học ngôn
ngữ, và một giải thích khác về nói viết truyền thông tác động qua lại như thế nào.
Điều này dẫn đến hai thuyết duy thực của chúng ta, trong bản
thể học và giá trị-đúng thật.Theo hai quan điểm, những nhà toán học có ý muốn nói rằng những gì họ nói và hầu hết những gì họ nói
đều là đúng. Trong những tài liệu gần đây về triết
học của toán học, Gödel (1944, 1964), Penelope Maddy (1990), Michael Resnik
(1997), và tôi (Shapiro 1997) đều là
những người theo thuyết duy thực triệt để, chủ trương cả thuyết duy thực trong bản thể học
và thuyết duy thực về giá trị-đúng thật (xem chs. 8 và 10).
Bây giờ chúng ta nói đến một khó khăn khác của đilemma của
Benacerraf. Những thuyết
duy thực của chúng ta đi với những vấn đề về tri
thức học xem dường khó giải quyết. Từ thuyết duy thực trong bản thể học,
chúng ta có sự hiện hữu khách quan của những đối tượng toán học. Vì những đối
tượng toán học xem dường
trừu tượng và nằm ngoài kết nối
nhân
quả, chúng ta có thể biết bất cứ gì về chúng như thế nào? Chúng ta có thể có bất kỳ tin cậy nào trong những
gì những nhà toán học nói về những đối tượng toán học như thế nào? Đây là động lực quan trọng đầu tiên để tìm một giải pháp thay thế cho một
này hay một khác của những thuyết duy thực. Benacerraf lập luận rằng
những triết học chống-duy thực của toán học có một đường dễ giải quyết hơn về tri thức học, nhưng sau đó, những gì cần và muốn về ngữ nghĩa thì trong nguy cơ. Đilemma khi đó là thế này: sự liên tục đã mong muốn giữa ngôn ngữ toán học và ngôn
ngữ khoa học và ngôn ngữ hàng ngày đề nghị hai thuyết duy
thực,
nhưng điều này để lại cho chúng ta những vấn đề về tri thức học xem dường khó giải quyết. Chúng ta hoặc là phải giải quyết vấn đề với thuyết duy
thực, từ bỏ sự liên tục giữa nói viết truyền thông toán học và nói viết truyền thông hàng ngày, hay buông bỏ những giải thích ngữ nghĩa phổ biến của ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ khoa học.
Có một liên minh chặt chẽ khác giữa những gì tôi gọi là thuyết duy ý trong bản thể
học và thuyết duy ý về giá trị-đúng thật. Thuyết trước
chủ trương rằng những con số, chẳng hạn, đều tùy
thuộc vào não thức con
người. Điều này ít nhất nêu lên
rằng
đúng thật toán học thì cũng
tùy thuộc vào não thức. Điều tương tự cũng xảy ra với những loại thuyết chống-duy thực khác. Bất cứ gì người ta
nói về những con số, ít
nhất cũng nêu lên một gì đó tương tự về sự đúng
thật toán học. Trong bối cảnh thời nay, Hartry Field (1980), Michael Dummett
(1973, 1977), và những nhà theo
thuyết trực
giác truyền thống L. E. J. Brouwer và Arend Heyting, đều là những người trước sau vẫn chống-duy thực, gồm cả về bản
thể học và về giá trị-đúng thật.
Field chủ trương rằng
những đối tượng toán học không hiện hữu và những mệnh đề toán học chỉ có những giá trị-đúng thật trống rỗng (xem chương
9, §1). Những người theo thuyết trực giác truyền thống là những người duy ý
toán học (xem chương 7, §2).
Bất kể những
liên minh tự nhiên, một khảo sát tài liệu cho thấy không có sự đồng thuận nào về bất kỳ liên hệ lôgích nào giữa hai luận điểm thuyết duy thực, hay những phủ định của chúng. Có lẽ
đilemma của Benacerraf dẫn một số đến những cách giải quyết khác nhau. Mỗi trong bốn lập trường đều đã nêu rõ ràng và được những
triết gia toán học lâu
đời và có uy tín bảo
vệ.
Một chương trình tương đối phổ thông ngày nay, được
Charles Chihara (1990) và Geoffrey Hellman (1989) theo
đuổi, là thuyết duy thực về giá trị-đúng thật kết hợp với thuyết chống-duy thực
triệt để (theo thuyết duy danh) trong bản thể học (xem chương 9, §2, ch. 10,
§3). Mục đích là giải thích tính khách quan của nói viết truyền thông toán học
nhưng không nêu lên một bản thể học toán học theo cách thức đặc biệt. Những con số không hiện hữu (hay có thể
không hiện hữu), nhưng một số những mệnh
đề của số học thì đúng
theo khách quan. Tất nhiên, những quan điểm này
đòi hỏi rằng
những phát biểu toán học thông thường không nên hiểu theo nghĩa đen, theo giá trị ngoài mặt. Những người ủng hộ quan điểm này đưa ra
những cách giải thích khác nhau về nói viết truyền thông toán học, và sau đó chủ
trương rằng, những phát biểu toán học được giải thích như vậy thì đúng khách quan hay sai khách quan. Tôi chỉ
biết một thí dụ nổi bật về một người theo thuyết duy thực trong bản thể học, là một người chống-duy thực về giá trị-đúng
thật, Neil Tennant (1987, 1997, 1997a). Cùng với Frege, ông chủ trương rằng một số đối
tượng toán học hiện hữu khách quan (như một vấn đề của tất yếu), nhưng ông về cùng với Dummett, như một người theo thuyết chống-duy thực toàn bộ về giá trị-đúng thật, sau khi chủ trương rằng tất cả những
đúng thật, và không chỉ tất cả
những đúng thật toán học, đều có thể biết được.
Những người ủng hộ những quan điểm’ hỗn hợp’ này hiểu rõ được khó xử thứ nhất trong đilemma của Benacerraf, vì chúng đòi hỏi rằng nói viết truyền thông toán học không có cùng ngữ
nghĩa học như nói viết truyền
thông khoa học và nói
viết truyền thông thông thường (giả định có một
số loại thuyết duy thực cho ngôn từ kể sau).
Tất nhiên, không có việc phủ
nhận những liên hệ sâu rộng
giữa những nói viết truyền thông. Thí dụ, Hellman cho thấy nói viết truyền
thông toán học, được diễn giải
lại cho chính xác, thành vừa vặn thông xuốt với nói viết truyền
thông khoa học, trong khi Tennant (1997) biện luận
rằng những nói viết truyền thông này, trong những đường lối quan trọng, đều bổ
sung nhau
3. Thuộc Toán học và thuộc Vật lý
Những tác
động qua lại giữa toán học và khoa học rất sâu rộng, vượt
rất xa ngoài
một ít nhánh đôi khi gọi là ‘toán học ứng dụng’. Những con đường phong phú và nhiều loại khác nhau kết nối toán học và khoa học, chạy theo cả hai chiều. Như Nicolas
Goodman (1979: 550) nói về nó: ‘hầu hết những nhánh của toán học chiếu sáng hoàn toàn trực tiếp trên một số phần
của tự nhiên. Hình học quan tâm
về không
gian. Tthuyết xác suất dạy
cho chúng ta những tiến trình ngẫu nhiên. Lý
thuyết nhóm soi sáng
tính đối xứng. Lôgích mô tả suy luận duy lý. Nhiều phần của toán phân
tích được tạo ra để nghiên cứu những tiến trình cụ thể và vẫn không thể thiếu
cho sự nghiên cứu những tiến trình đó ... Đó là một thực tại thực tiễn khiến những
định lý tốt nhất của chúng ta cho thông tin về thế giới thực’. Xem Polya (1954, 1977) để biết thêm nhiều
thí dụ.
Tất cả
không ngoài đưa đến rằng một quan tâm trung tâm cho triết
học của toán học là để hiểu
sự quan hệ giữa toán học và phần còn lại của
nói viết truyền thông khoa học và ngôn từ thông thường.
Đem cho những tác động hỗ tương sâu rộng, triết gia ít nhất
phải bắt đầu với giả thuyết rằng có một quan
hệ giữa chủ đề-nội dung của toán
học (cho dù nó
là gì) và chủ đề-nội dung của khoa
học (cũng thế, cho dù nó là gì), và rằng toán học ứng dụng với thực
tại vật chất thì không là điều
ngẫu nhiên. Bất kỳ triết học của toán học hay triết học
khoa học nào không đem cho một giải thích về liên hệ
này, dù lạc quan nhất, cũng là thiếu xót. Những vấn đề liên quan với những ứng dụng của toán học đã trở nên cấp
thiết hơn trong những mười năm gần đây.
Một giai thoại vốn tôi đã kể trước đây (Shapiro 1983a,
1997: ch. 8) minh họa một số vấn đề. Câu chuyện dựa trên trí nhớ không chắc chắn lắm của dăm người,
nhưng hoàn cảnh là điển hình.
Một lấn, người
bạn nói với tôi rằng trong khi thực
hiện một
thí nghiệm trong phòng thí nghiệm vật lý, ông ghi nhận một hiện tượng khó hiểu khiến ông bối
rối. Cả lớp đang xem một
máy hiện tần sóng và một hình
ngộ nghĩnh tiếp tục hình thành ở cuối màn hình. Mặc dù nó không liên quan gì đến
bài học ngày hôm đó, nhưng người bạn
tôi đã tìm một giải thích.
Người hướng dẫn phòng thí nghiệm đã viết một gì đó lên bảng (có thể là một
phương trình vi phân) và nói rằng hình ngộ nghĩnh này xảy ra vì một phương trình hàm số có trị số bằng 0 ở một điểm cụ
thể. Bạn tôi bảo tôi
rằng ông đã trở nên bối
rối khó hiểu hơn, rằng việc xảy ra của một trị số zero trong một
hàm số sẽ được tính như một giải thích của một sự kiện vật lý, nhưng ông đã không cảm thấy phải tìm hiểu thêm vấn đề này lúc đó.
Thí dụ này cho thấy rằng phần lớn những công trình lý thuyết và thực hành trong khoa học gồm trong việc xây dựng hay khám phá những mô hình
toán học của những
hiện tượng vật lý. Nhiều những vấn đề khoa học và kỹ thuật là những công việc của tìm kiếm một phương trình vi phân, một
công thức,
hay một hàm số liên quan đến một lớp /
loại hiện
tượng. Một giải thích khoa học về một sự kiện vật lý thường không gì nhiều
hơn một mô tả toán học về nó, nhưng điều đó có nghĩa là gì? Mô tả toán học
của một sự kiện vật lý là gì?
Một tập sách nhỏ của Crowell và Fox (1963), dẫn nhập về lý thuyết nút [8],
toán học về những nút thắt vòng của dây thừng. Ngay từ đầu, những tác giả
đã thảo luận về vấn đề dùng toán học để nghiên cứu những đối tượng vật lý này,
hoặc đúng hơn, những tác động có thể có với những đối tượng vật lý này:
Định nghĩa của một Nút Thắt: Hầu hết mọi người đều quen thuộc với những nút thắt
thông thường đơn giản nhất, thí
dụ như nút thắt đơn...
và nút thắt số tám ... Thực hành một một
lúc, với một đoạn dây, sẽ thuyết phục bất kỳ một ai rằng hai nút thắt này thì là khác nhau:
nút này không thể chuyển vào thành nút kia được, nếu không (làm việc) ... ‘buộc nút’ hay ‘gỡ nút’. Tuy nhiên, việc không thể chuyển nút thắt số 8 thành nút thắt đơn, dù qua hàng giờ kiên nhẫn vặn vẹo buộc gỡ nút, thì không
là chứng minh rằng điều đó
không thể thực hiện được. Vấn đề vốn chúng
ta sẽ xem xét là vấn đề của việc
cho
thấy bằng toán học rằng hai nút thắt này ... thì rõ ràng phân biệt với nhau.
Toán học không bao giờ chứng
minh bất cứ gì về bất cứ gì ngoại trừ toán học, và một đoạn dây thừng là
một đối tượng vật lý và không là một đối tượng toán học. Thế nên, trước khi lo lắng về những chứng minh, chúng ta phải có một định
nghĩa toán học của một
nút thắt là gì ... Vấn đề này ... phát sinh bất cứ
khi nào người ta áp
dụng toán học cho một tình
trạng vật lý.
Những định nghĩa nên định
nghĩa những đối
tượng toán học càng gần đúng với những đối tượng vật lý đang xem
xét càng tốt. (tr. 3)
Tuyên bố ở đây xem dường rằng những
liên hệ có
thể có và những kết nối lẫn nhau
của những đoạn dây thừng vào thành những nút thắt có thể được mô tả hay
được mô hình trong những liên hệ của một không gian hình học tôpô.
Tuyên bố này làm sáng rõ những
vấn đề của chúng ta.
Văn học
triết
học của giải thích khoa học thì
dài,
sâu và rắc rối, nhưng ở đây chúng ta có thể đứng ở
một mức cơ bản hơn. Một hoàn cảnh bất thường khó hiểu hay gây tò mò muốn biết sẽ đẩy đến một hỏi han để tìm giải thích. Theo New Twentieth Century Unabridged Dictionary của Webster, một giải thích
sẽ làm một gì đó sáng rõ khỏi
sự mờ mịt, và
khiến nó có thể hiểu được. Rõ ràng, một cấu trúc toán học, một mô tả, một mô hình hay một ý thuyết không thể dùng như một giải thích
cho một sự kiện không-toán học, với không một
vài giải thích về liên hệ
giữa tự thân toán
học và thực tại khoa
học. Thiếu một giải thích như vậy, làm thế nào những giải thích toán học / khoa
học có thể thành công trong việc loại bỏ bất kỳ sự tối tăm mờ mịt nào – đặc biệt là nếu những
mờ mịt mới, rắc rối khó khan hơn được đưa ra? [9] Ở mức độ tổng quát hơn,
người ta không thể bắt đầu để hiểu
khoa học đóng góp thế nào vào
kiến thức nếu không có một vài thấu hiểu về những gì toán
học có liên quan với thực
tại, vốn khoa
học đóng góp kiến thức của thực
tại,.
Ít nhất,
chúng
ta có hai câu hỏi: Toán học đã ứng
dụng thế nào trong những giải
thích và những mô tả khoa học? Giải
thích (triết học) cho tính ứng
dụng được
của toán học vào khoa học là gì? Chúng ta ứng dụng
những khái niệm toán học –
những số,
hàm số, tích phân, không gian Hilbert – trong
mô tả những hiện tượng không-toán học. Chúng ta cũng ứng dụng những định lý của toán học
trong việc xác định những dữ kiện về thế giới và cách nó hoạt động thế nào
Mark Steiner (1995) phân biệt nhiều những vấn đề triết học vốn nằm dưới đề mục của ‘toán học ứng dụng’. Một số chúng là những dạng tập trung của những vấn đề
chúng ta đã gặp trong phần trước.
Đầu tiên, có một vấn đề về ngữ nghĩa: những mô tả và giải thích khoa học
điển hình lấy dùng những thuật
ngữ toán học và vật lý. Điều này diễn ra cho những
phát biểu đơn giản,
như ‘Jupiter có
bốn vệ tinh’ và
nhiều những phương diện khảo cứu khác của khoa học thời nay. Vấn
đề là để tìm một diễn giải của ngôn ngữ vốn bao
hàm những nội dung viết nói ‘thuần
túy’ và ‘hỗn hợp’, khiến những
chứng minh bên trong
toán học có thể được dùng trực tiếp trong những những nội dung viết nói khoa học.
Nhóm vấn đề thứ hai là siêu hình. Những đối tượng
của toán học (nếu có loại như thế)
liên hệ thế nào
với thế giới vật lý, khiến những
ứng dụng đều là có
thể được? Thí dụ, Theo một thuyết
duy thực bản thể học điển hình, toán học thì là về một lĩnh vực nhân quả không-hoạt động của những đối tượng trừu
tượng. Theo một thuyết
duy ý điển hình, toán học là về hoạt động tinh thần. Trong cả hai trường hợp,
làm thế nào những ‘sự việc’ như
thế có thể cho chúng ta biết được bất
cứ gì về cách thức thế
giới vật lý hoạt động thế nào?
Nhóm vấn đề thứ ba liên quan đến tại sao những khái niệm
và những thuyết (ký hiệu) hình
thức cụ thể của toán
học thường rất hữu dụng trong việc mô tả thực tại kinh nghiệm.
Điều gì về thế giới vật lý khiến số
học thì ứng dụng
được như thế?
Điều gì về thế giới vật lý khiến lý thuyết nhóm và không gian Hilbert thành
trung tâm như thế để
mô tả nó? Steiner đề nghị rằng
chúng ta thực sự có một vấn đề khác biệt ở
đây cho mỗi khái niệm đã ứng dụng,
và như thế người
ta sẽ không
mong đợi một giải pháp đồng nhất.
Những vấn đề xảy ra trên nhiều trình độ. Đầu tiên, người ta có
thể tự hỏi – một
sự kiện toán học đặc biệt có
thể dùng như một giải thích cho một sự kiện không-toán học đặc biệt như thế
nào. Sự bối rối của bạn tôi đã ở
trình độ này. Một trị số zero của một hàm số giải thích một mẫu thức thấy trên máy hiện tần sóng như thế nào? Sự kiện toán học làm sự kiện
vật lý có thể hiểu được như thế nào? Trong trường hợp này, một đáp ứng
thỏa đáng có
thể gồm một mô tả chi tiết của lý thuyết khoa học liên quan vốn liên kết một loại nhất định nào đó của những hàm số với một loại hiện tượng vật lý. Sẽ là
hợp lý cho người hướng dẫn phòng thí nghiệm để đề nghị rằng nếu bạn tôi muốn một giải thích đầy đủ, ông nên theo học một vài khóa học.
Ludwig Wittgenstein đã viết rằng tất cả những giải
thích phải ‘cho ra hết’ ở một
điểm nào đó, ở đó sự
tò mò muốn biết của chúng ta được thỏa mãn, hoặc nếu
không, chúng ta nhận ra rằng
chúng ta nên
ngừng, đừng hỏi nữa, nhưng có lẽ
chúng ta đã chưa đạt đến điểm
đó. Cho dù chúng ta có theo học
những
khóa vật lý cao hơn hay không, chúng ta có thể tự hỏi một lớp về những đối tượng toán học, chẳng hạn như những
hàm số-có giá-tri-số thực [10],
có thể có liên quan gì với những hiện tượng vật lý. Điều này đưa tra hỏi lên một mức độ khác. Bây giờ chúng ta suy ngẫm về mức độ phù hợp của một lý thuyết
khoa học / toán học đã cho như một
tổng
thể. Tại sao nó hoạt động? Chắc chắn, đây là một vấn đề gây tò mò muốn biết khác, chờ được giải thích. Một trả lời có thể có cho câu hỏi thứ hai này sẽ là chỉ ra rằng những cách dùng tương tự của toán học có một
vai trò quan trọng trong phương pháp luận khoa học. Nếu những câu hỏi kiên quyết tiếp tục, người nói chuyện của chúng ta có thể ghi chú sự thành
công lớn rộng của phương pháp luận
này trong việc đoán trước và điều khiển thế giới.
Trả lời cuối cùng này giải thích lý do người ta có thể
tham dự vào nghiên cứu toán học / khoa học và nó đem cho sự bảo đảm rằng phương
pháp luận sẽ tiếp tục để đoán
trước và điều khiển,
sau khi giả
định chúng ta giải quyết hay bỏ qua những vấn đề tiêu chuẩn với quy nạp (và chúng ta cho phép lập luận vòng tròn). Tuy nhiên, nếu chúng ta
chưa chạm đến điểm ‘cho ra hết’ theo như Wittgenstein, vẫn có một mức độ thứ ba cho vấn đề của chúng ta. Toàn bộ dự án khó
khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toán học / khoa học là gì, hay ít nhất là những phần ‘toán học của nó’ là gì? Tại sao toán học lại thiết yếu với
khoa học? Vai trò của nó là gì? Trong tinh thần của David Hume, tôi không mong muốn để hỏi
toàn bộ dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toán học / khoa học, lại càng ít mong muốn hơn nhiều để nêu lên những hoài
nghi về nó. Như Quine
và những người theo thuyết duy nhiên khác tiếp tục hỏi, điều gì có thể là an toàn vững chắc hơn khoa học? Tuy nhiên,
vấn đề của việc hiểu
biết cách thức hoạt động của dự án khó khăn đòi
hỏi nỗ lực trí tuệ, trong những
điều kiện riêng của nó, có phải là một dự án khó khăn đòi hỏi nỗ
lực trí tuệ chính đáng về mặt triết học hay không, và có phải vấn đề đó không được giải đáp bằng trả
lời cuối cùng liên quan đến sự thành công của dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí
tuệ nay không.
Một lập luận phổ thông cho thuyết duy thực về giá trị-đúng thật cho toán học tập trung trên những liên quan giữa toán học và khoa học (xem
chương 8, §2). Một giả thiết là rằng
toán học thì không thể thiếu với
khoa học và một giả thiết khác
là những nguyên tắc cơ bản của khoa học đều đúng
(ít hay nhiều). Từ thuyết toàn diện [11]
theo Quine (hay khao khát ở trên từ Benacerraf 1973), lập luận
đưa kết luận rằng toán học cũng đúng về khách
quan – thuyết duy thực về giá trị-đúng thật. Tuy nhiên, ngay cả nếu những giả thiết đều đúng
và ngay cả nếu biện luận về tính không thể thiếu thì thuyết phục, nó là quá thuận tiện để bỏ lại mọi sự vật việc ở giai đoạn này. Để củng cố
luận chứng,
người theo thuyết duy thực phải đem cho một giải thích về chính xác thế nào toán học được ứng dụng trong khoa học.
Điểm nêu lên của
phần này là giả thiết đầu
tiên của lập luận – tính không thể thiếu của toán học trong khoa học – thì tự thân nó cần có sự giải thích. Những tuyên bố về những số và những set
có liên quan gì với thế
giới vật lý đã nghiên cứu trong
khoa học? Cách nào những tuyên bố
như vậy có thể soi sáng
về những electron, sự bền vững của cầu cống đường xá, và sự ổn định của thị trường kinh tế?
Chúng ta không thể duy trì kết luận của lập luận về tính không thể thiếu
cho đến khi chúng ta biết điều này. Chắc chắn triết gia sẽ không bằng lòng chỉ đơn giản là ghi chú tính không
thể thiếu đã thấy rõ ràng,
và sau đó lấy ra những kết luận vốn sinh
ra cũng nhiều
câu hỏi như chúng trả
lời.
Gödel cũng đã nhận
thấy sự quan trọng của những liên hệ giữa toán học và thực tại vật lý.
Như đã ghi chú ở
trên, với một người theo thuyết
duy thực về giá trị đúng thật, những phát biểu toán học rõ ràng, không hàm hồ có những giá
trị-đúng thật khách quan. Chúng ta xác định những giá trị-đúng thật đó thế nào khi trình độ của chứng minh
toán học không xác định? Gödel (1964) đã đề nghị rằng một ‘tiêu
chuẩn của sự đúng thật’
về xác suất cho một mệnh đề toán học là ‘sự hiệu quả của nó trong toán học và ...
cũng có thể trong vật lý’ (tôi
nhấn mạnh). Rõ ràng, sự hiệu
quả trong vật lý không thể là một tiêu chuẩn cho đúng thật toán học trừ
khi lĩnh vực toán học có liên quan cách nào
đó với lĩnh vực vật lý, trong một
lối vén mở rõ lên cho thấy về tri thức học.
Những vấn đề của tính có thể ứng dụng được cũng có tiềm năng gây rắc rối khó khăn cho những người
chống-duy thực khác loại. Thí dụ, người theo thuyết duy ý bản thể học chủ
trương rằng những đối tượng toán học tùy thuộc vào não thức. Vậy làm thế nào để
những cấu trúc tinh thần của toán học soi sáng trên vũ trụ vật lý, không-toán học (có thể đoán
chừng là khách quan)? Điều gì về vũ trụ bên ngoài
khiến chúng ta thấu hiểu nó qua ‘vương quốc’ toán học tinh thần? Nếu
triết gia cũng là một người theo thuyết duy ý về thế giới vật chất, khi đó vấn đề của người này là để cho
thấy thế giới toán học lý tưởng có quan hệ như thế nào với thế giới vật lý lý
tưởng. Sự xây dựng của toán học tác động trên sư xây dựng của thế giới vật
lý bên ngoài như thế nào?
Những triết gia phủ nhận rằng những mệnh đề toán học
có giá trị-đúng thật (không trống rỗng)
hay
rằng hầu hết những mệnh đề toán học đều sai về mặt hệ thống xem dường như còn
có một vấn đề khó giải quyết hơn. Làm thế nào những mệnh đề như thế
có thể làm sáng tỏ cho bất
cứ gì không-toán học?
Tôi để nó cho người đọc tự xác định xem những dạng cụ thể nào của vấn đề này là ít đáng ngại nhất. Chúng ta sẽ trở lại vấn đề này
dọc trong quyển sách này, khi chúng ta khai triển chi tiết hơn những triết học khác
nhau.
Steiner (1995, 1997) phân định một nhóm những vấn đề hấp dẫn liên quan, vốn chúng
ta thường sẽ không xem lại
chúng, phần lớn vì
tôi không có gì để nói, và vấn đề không có giải pháp thẳng tuột đơn giản trên một bất kỳ nào của tổng quát của những triết
học toàn bộ của toán học (theo
như tôi biết). Đôi khi, những lĩnh vực của toán học thuần túy, chẳng hạn như đại số học trừu tượng và toán phân tích, tìm thấy những ứng dụng bất
ngờ nhưng rất
lâu sau khi toán học của chúng trưởng
thành. Những nhà toán học có một khả năng kỳ lạ trong việc đưa ra những cấu
trúc, những khái niệm và những ngành toán học chuyên môn vón tìm thấy những ứng
dụng bất ngờ trong khoa học. Trong suốt lịch sử, cảnh tượng diễn ra sau
đây được lập đi lập lại. Những nhà toán học nghiên
cứu một cấu trúc đem cho,
cho bất kỳ lý do nào dù là gì.
Họ mở rộng nó sang một cấu trúc khác cho những mục đích của riêng họ (lấy thí dụ, bằng việc xem xét nhiều những chiều, đến vô hạn); và sau đó, cấu trúc mới
được xác định tìm thấy ứng dụng ở chỗ nào khác trong khoa học. Như S. Weinberg (1986: 725) đã nói: Thật
là kỳ dị khi
nhà vật lý tìm thấy nhà toán học không biết thế nào nhưng đã từng ở đó trước người này rồi. Và Richard Feynman (1967: 171):
Tôi thấy rất kinh ngạc rằng có
thể đoán trước được sẽ
xảy ra điều gì bằng
toán học, vốn nó chỉ
đơn giản tuân theo những quy luật vốn
thực
sự không có liên quan gì với sự vật việc lúc bắt đầu. Từ những người ủng hộ toán học, nhóm Bourbaki (1950: 231) cũng lập lại tình cảm
tương tự: ‘toán
học xuất hiện ... như một kho chứa những dạng trừu tượng – những cấu trúc toán
học; và nó cứ thế xảy ra – vốn chúng ta không biết tại sao – rằng một số khía cạnh
nhất định của thực tại thường
nghiệm lại tự chúng phù
hợp với những dạng này,
như thể qua một loại thích ứng-trước
[12]
4. Những Vấn Đề Nội bộ: Những Định Lý, Những
Lý Thuyết Và Những Khái Niệm
Những vấn đề và những câu
hỏi bao quát sâu
rộng của những phần trước liên quan đến tất cả toán học và ngay cả tất cả khoa
học. Phần này vẽ phác một số vấn đề hạn hẹp
hơn cho những triết gia của toán học. Điển hình, triết gia không tiến được rất xa với những
vấn đề nội bộ này
trước khi gặp những vấn đề toàn bộ.
Một nhóm của những vấn đề liên quan đến những cố gắng để giải thích những kết quả đặc biệt toán học hay khoa học. Đến một mức độ nào đó, những câu hỏi liên quan
đến những ứng dụng của toán học đều
trong
nhóm này. Một định lý toán học có thể nói gì với chúng ta về thế giới tự nhiên khoa học đã nghiên cứu? Chúng ta có thể chứng minh
những sự việc về
những nút thắt, độ bền vững của những cầu đường, những ván
thắng cờ chess, và những chiều
hướng kinh tế, đến mức độ nào? Một số triết gia xem toán học là không gì hơn một trò chơi vô nghĩa, đã chơi với những ký hiệu (xem ch 6.), Nhưng có những người khác chủ trương rằng toán học
có một loại nào đó về ý
nghĩa. Ý nghĩa này là
gì, và nó liên hệ thế
nào với ý nghĩa của nói viết truyền thông
không-toán học thông thường? Một định lý có thể nói cho chúng ta biết gì về thế giới vật lý,
về khả năng hiểu biết của con người, về những khả năng trên nguyên tắc của những cômputơ được program, và v.v.?
Có tiềm
năng là;
một số những kết quả từ lôgích
toán học có những hệ quả phức tạp bất
ngờ về triết
học. Gọi T là một lý thuyết toán học chính thức và gọi M là một cấu trúc toán học,
giống như những số tự nhiên hay những số thực. Nếu lý thuyết T thì đúng với mô hình M, chúng ta nói rằng M là
mô hình của T. Định lý Nén [13]
và những định lý Lowenheim-Skolem là về một loại lý thuyết nhất định; gọi là ‘bậc nhất’ [14].
Những kết quả theo đến rằng nếu một lý thuyết
loại như vậy có một mô hình vô hạn, sau đó với bất kỳ bản số vô hạn K nào tất cả, lý thuyết có một mô hình cùng kích thước chính xác của K. Theo đó, có những mô hình của giải tích thực bậc nhất và thuyết tập hợp
bậc nhất [15].
vốn có kích thước của những số tự nhiên. Điều này bất chấp sự kiện rằng nó là một định lý của thuyết tập hợp, từ Georg Cantor, rằng có nhiều những set hơn và nhiều những số thực hơn, so với số của những số tự nhiên. Hơn nữa, lý
thuyết bậc nhất của những số tự nhiên, đôi khi được gọi là số học bậc nhất,
có những mô hình vốn lớn
hơn set của
những số tự nhiên. Có những mô hình của số học bậc nhất [16]
có kích thước của những số
thực. Tình trạng khó
hiểu này được gọi là ‘nghịch
lý Skolem’,
gọi theo tên của nhà lôgích học Thoralf Skolem.[17] Nó không là một nghịch lý theo ý hướng của một mâu thuẫn thực sự bắt nguồn từ những giả thiết hợp lý. Về kỹ thuật, vẻ của nghịch lý được giải quyết khi chúng
ta ghi nhận rằng những khái niệm như ‘là kích thước của những số tự nhiên’ đưa đến những sự vật
việc khác
nhau trong những cấu trúc khác nhau. Một cấu trúc đem cho có thể thỏa mãn công thức nói rằng một
set nào đó thì lớn hơn những số tự
nhiên, ngay cả nếu set (xét từ một cấu trúc khác) không có
nhiều phần tử hơn
set của những số tự nhiên.
Tuy thế,
nghịch lý Skolem thì gợi tò mò muốn biết, và một số nhà triết học và
lôgích học chủ trương rằng nó có những hệ quả phức tạp bất ngờ triết học bao gồm khả năng con người để mô tả đặc tính và truyền thông những khái niệm nhiều loại khác nhau, chẳng hạn như số tự nhiên, số thực, set và
ngay cả bản số [18].
Có phải chúng
ta có những khái niệm xác định và rõ ràng về những khái niệm này không? Nếu vậy, chúng ta đã nắm bắt được những khái niệm này như thế
nào và chúng ta truyền thông chúng
cho người khác như thế nào? Định lý Lowenheim-Skolem cho thấy
rằng bất cứ gì chúng ta nói về những khái niệm và đối tượng này đều có
thể được chuyển thành một lý thuyết có những giải thích không dự định. Vì vậy, làm thế nào chúng ta có
thể chắc chắn rằng những người khác hiểu những gì chúng ta dự định để họ hiểu?
Làm thế nào để biết rằng tự thân tôi có những khái niệm hàm hồ, không rõ ràng về những đề mục này? Chắc chắn, có những vấn đề triết
học tổng quát liên
quan đến sự hiểu biết và truyền
thông,
nhưng nghịch lý Skolem mang lại cho chúng sự
chú ý tập trung đặc biệt
khi đi đến toán học. Tự thân Skolem (thí dụ:
1922, 1941) đã nhận những kết
quả để cho thấy rằng hầu như tất cả những ý niệm
toán học đều hoàn toàn là ‘tương đối’. Có sự không chắc chắn về phần những gì ông muốn nói, nhưng ý tưởng xem
dường như là không có ý niệm
tuyệt đối, độc lập (hay khách quan),
thí dụ, về
số tự nhiên và bản số.
Nói cách khác, Skolem đã chủ
trương rằng không có set nào thì hữu
hạn hay kích thước của những số tự
nhiên tuyệt đối đơn giản hơn [19],
nhưng chỉ hữu
hạn hay kích thước của những số tự nhiên tương với miền hay mô hình nào đó. Gần đây hơn,
Hilary Putnam (1980) biện luận
cho một thuyết tương đối tương tự trên cơ bản của
những điều này và những kết quả khác trong lôgích toán học. Thuyết tương đối Skolem-Putnam là một thuyết chống-duy
thực về bản thể học có bao quát sâu rộng, vì cái nhìn dẫn đến rằng đem cho một lý thuyết toán học như số học hay
giải tích thực không có một chủ đề-nội
dung cố
định. Theo đó, những thuật ngữ toán học không có dẫn nhắc cố định.
Hầu hết những triết gia cưỡng lại thuyết tương đối của Skolem, tuy nhiên điều đó thì để được hiểu. Một xem xét kỹ lưỡng của những định
lý Lowenheim-Skolem vén mở lên
cho thấy rằng chúng
không gạt ra ngoài những
ý niệm tuyệt đối, khách quan về số tự nhiên,
tính hữu hạn, v.v. Tuy nhiên, những định lý có cho
thấy rằng nếu có những ý niệm
tuyệt đối như vậy, chúng không thể bị nắm
giữ trong những lý thuyết hình thức bậc-nhất [20].
Bất kỳ lý thuyết bậc nhất nào về những khái niệm này, nếu như nó có những mô hình vô
hạn chăng nữa,
thì sẽ có những mô hình không chủ định,
khiến những
ý niệm thành sai.
Một số triết gia trả lời rằng
toán học phi-hình thức [21] thì truyền đạt ý nghĩa hơn và xác định
hơn lý thuyết mô hình bậc nhất. Sự
xoay sở này
để lại một
câu hỏi về cách những khái niệm không chính thức
về số tự nhiên, tính hữu hạn, v.v. được hiểu và truyền đạt như thế nào. Vậy ngữ
nghĩa học
của nói viết truyền thông toán học không chính thức, ngôn ngữ vốn có ám chỉ rõ ràng những ý niệm tuyệt đối về tính hữu hạn, số tự
nhiên, v.v. là gì? Dẫn nhắc này
đã thành tưu thế nào? Những định lý
Lowenheim-Skolem không giữ
đúng cho những gì gọi là ngôn ngữ chính thức và ngữ
nghĩa học bậc-hai [22] , và vì vậy có lẽ chúng đem cho bức tranh
đúng của sự hiểu biết và truyền thông. Tuy nhiên, một tranh luận nổ ra về
việc liệu ngôn ngữ bậc-hai có thể được hiểu và truyền thông thế nào
(xem Shapiro 1991: chs. 3-5). Thật khó tránh phải hỏi ngược lại về chính giả thiết.
Những thí dụ khác của những kết quả toán học giàu tính triết
học là sự giàu có của những
kết quả độc lập trong thuyết tập hợp. Thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với tiên đề chọn,
gọi là ZFC, là một trong những lý thuyết toán học mạnh mẽ nhất vốn có một số đồng thuận về nó. Hầu như tất cả những phân tích cổ
điển còn hiện hữu, giải tích thực, giải tích phức, phân tích hàm số, v.v. đều
có thể được biểu hiện trong ngôn ngữ của thuyết tập hợp, và tất cả những
định lý đã biết trong những lĩnh vực đó đều có thể được chứng minh trong ZFC.
Tuy nhiên, những nhà lôgích học đã thiết lập được rằng nhiều câu hỏi toán học quan trọng và rất đáng chú ý thì những tiên đề của ZFC không thể quyết định (đúng sai) được. Nổi tiếng nhất
trong số này là giả thuyết liên tục của Cantor [23].
Như đã nhắc ở trên, đó là một
định lý (trong ZFC) rằng có nhiều những số
thực hơn những số tự nhiên. Giả
thuyết liên tục là sự khẳng định rằng không có những
bản số (số những phần tử) vô hạn hoàn toàn giữa hai kích thước đó.
Nói cách khác, giả thuyết liên tục là không có set nào lớn hơn set những số tự
nhiên và nhỏ hơn set những số thực. Cả giả thuyết liên tục lẫn phủ định của nó
đều không thể được chứng minh trong một hệ thống thu giảm những tiên đề tiêu chuẩn của thuyết tập hợp.
Sự độc lập này nói gì về những khái niệm toán học? Có phải chúng ta có một loại khác của tính tương đối được đem cho không? Có phải chúng ta chỉ có thể nói rõ kích thước của một set tương đối với một diễn giải hay mở rộng của thuyết tập hợp không? Một số triết gia chủ
trương rằng những kết quả này cho thấy rằng không có sự kiện của vật chất quan
đến giả thuyết liên tục, hay ‘kích
thước’ tương đối của set
của những số thực. Tương tự như thế với những mệnh đề
độc lập khác. Những triết gia này chủ trương rằng có một tính không xác định liên quan đến sự đúng thật
toán học, và vì vậy họ là những người phản-hiện thực về giá trị-đúng thật.
Vấn đề có những hệ quả phức tạp bất ngờ liên quan đến sự thực hành toán học. Nếu một nhà toán học đứng
về phía những người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng thật và chủ trương rằng
giả thuyết liên tục có một giá
trị-đúng thật xác định, người ấy có thể dành nhiều cố gắng để xác định giá trị-đúng thật này.
Trong trường hợp này, một khó
nghĩ triết
học là để xác định phương
pháp luận nào một nhà toán học
như thế có
thể dùng. Đem cho sức
mạnh biểu hiện của ZFC, khó có thể xảy ra rằng có một chứng minh
thuyết phục theo một trong hai cách,
vì một chứng
minh như thế sẽ
phải gọi ra những khái niệm hay nguyên tắc vốn đã không được ZFC nắm bắt. Mặt khác, nếu
một nhà toán học chủ trương rằng giả thuyết liên tục không có một giá trị-đúng thật xác định, thì người ấy
thì tự do để hoặc chấp nhận hoặc phủ nhận nó, dựa trên những gì làm cho thuyết tập hợp thành thuận tiện nhất.
Không rõ liệu tiêu chuẩn vốn người
theo thuyết duy thực có thể áp dụng để quyết định giả thuyết liên tục thì có khác với tiêu chuẩn vốn người chống-duy thực sẽ dùng để xác định
những gì làm cho lý
thuyết thành thuận tiện nhất
hay không. Một người theo thuyết duy nhiên, như Maddy (1988), bắt đầu công việc triết học ở đây với một sự xem xét của sự thực hành của những nhà thuyết tập hợp
liên quan đến những kết
quả độc lập.
Một thí dụ thứ ba là định lý bất toàn nổi tiếng, được ngưỡng phục của Gödel [24].
Gọi T là một hệ thống những tiên
đề của số học. Giả đinh rằng T thì có hiệu quả (thành công trong việc tạo ra kết quả mong muốn hay dự định),
theo
nghĩa là có một phương cách tự động để
xác định xem liệu một
chuỗi những câu trong ngôn ngữ của T thì có
một suy diễn đúng trong
T hay không.
Tổng quát, định lý bất toàn dẫn đến rằng nếu T thì đủ phong phú, sau đó có một câu Φ trong ngôn
ngữ của T sao cho cả Φ lẫn phủ
định của nó đều không thể suy diễn
được
trong T. Nói cách khác, T không quyết định Φ.
Một người chống-duy thực về giá trị-đúng thật có thể biện luận rằng kết quả có tính bất toàn xác nhận rằng ít nhất có một số những mệnh
đề số học thiếu những giá
trị-đúng thật xác định, nhưng lập luận sẽ giả định-trước rằng con đường duy nhất dẫn đến đúng thật
thì qua chứng
minh trong một hệ thống suy diễn hiệu quả cố
định. Một người theo thuyết duy thực về giá trị-đúng thật liên quan đến số học, giải thích định lý bất toàn như sự cho thấy rằng không có một hệ thống những tiên đề hiệu quả nào vốn những định lý của nó là tất cả và đều chỉ là những đúng
thật của số học. Kết quả cho thấy rằng có nhiều đúng thật hơn là khả năng chứng
minh trong bất kỳ hệ thống diễn dịch
nhất
định nào. Tất nhiên, với những
người theo thuyết duy thực chỉ nói điều này thì không đủ.
Gánh nặng của người ấy là phải cho thấy sự đúng thật số học gồm những gì, và sự
đúng thật số học vượt ra
ngoài khả
năng diễn dịch hình
thức như thế nào.
Ngẫu
nhiên,
một khảo sát của chứng
minh của định lý bất toàn cho thấy rằng câu không
thể quyết định Φ thì đúng
với những số tự nhiên. Thoạt
nhìn,
chúng ta có một chứng minh không chính thức về sự đúng
thật của câu không thể quyết
định chính thức được.
Vì vậy, người theo thuyết duy thực của chúng ta sẽ chủ trương rằng có nhiều tính chứng minh được với số học hơn là những gì có thể được suy ra trong bất kỳ hệ thống thu giảm những tiên đề hình thức cố định nào.
Một số triết gia lấy định lý bất toàn để bác bỏ thuyết cơ giới [25], luận
điểm chủ trương rằng trí óc con người vận hành như một bộ máy. Nếu chúng ta xác định chính xác output
của một máy nhất định với
những định lý của một hệ thống diễn dịch hiệu
quả, và nếu chúng ta ý tưởng hóa (trừu
tượng) đầy
đủ, thì định lý bất toàn cho thấy rằng sự đúng thật số học và khả năng chứng
minh số học không hình thức
đều vượt xa những gì có thể được máy móc tạo ra (xem
Lucas 1961 và gần đây là Penrose 1994). Chính Gödel đã cẩn thận rút ra một kết luận
rằng hoặc não thức thì không là một bộ máy hoặc có
những câu hỏi số học thì hoàn
toàn không thể quyết định được [26] , những câu hỏi vốn con người chúng ta, ngay cả trên nguyên tắc, cũng không thể trả lời được. Tuy nhiên, lập
luận của những nhà tư tưởng này thường không được chấp nhận. Judson Webb (1980)
lấy những kết quả về tính bất
toàn để hỗ trợ thuyết cơ giới.
Một nhóm vấn đề khác gồm những cố gắng để trình
bày rành mạch và
diễn giải những lý thuyết và những khái
niệm toán học cụ thể. Một thí dụ là công trình nền tảng trong hình học, số học và toán phân tích. Đôi khi, loại hoạt động này có
những những hệ quả phức tạp bất ngờ với chính toán học, và do đó thách thức và
xóa nhòa ranh giới giữa toán học và triết học của nó. Những kỹ thuật nghiên cứu đáng chú ý và mạnh mẽ thường được đưa ra bởi những công trình nền tảng rèn đúc việc kết nối giữa những lĩnh vực
toán học. Thí dụ, hãy xem xét liên hệ giữa số thực và điểm trong không gian được
cho thấy trong hình học giải tích.
Điều này có nói gì - về
điểm là gì hay số là gì không? Ngoài ra cũng còn
có việc gắn sâu những số phức trong mặt phẳng và những số tự
nhiên trong mặt phẳng phức tạp, qua lý thuyết số giải tích. Loại hoạt động căn bản này sinh ra toàn bộ những chi nhánh của toán học,
ngoài việc làm sáng tỏ những câu hỏi bản thể học cơ bản .
Đôi khi những phát
triển bên trong toán học dẫn
đến những thiếu rõ ràng về
những gì là một khái
niệm nhất định. Nổi tiếng, công trình dẫn
đến nền tảng của toán phân
tích đã dẫn đến những thiếu rõ ràng về hàm số thì đúng là gì, cuối cùng dẫn đến khái niệm thời
nay về hàm số như một kết hợp ngẫu nhiên [27] (trái ngược với một công thức hay một quy tắc). Phương pháp luận thích hợp và
lôgích của toán học đã bị
đe dọa. Thí dụ khác, việc dựng lại
lịch
sử trong Lakatos (1976) [28]
cho thấy cách một chuỗi của những
‘chứng
minh và bác bỏ’
để lại những câu hỏi đáng chú
ý và
quan trọng về một khối đa diện [29]
là gì. It nhất, những câu hỏi là một phần bản thể học, liên quan đến yếu tính của những đối tượng và những khái niệm
toán học khác nhau.
Nhóm vấn đề này kéo chú ý đến bản chất diễn giải
của triết học của toán học. Việc làm
trong tay là để hình dung một khái niệm toán học đã cho là gì
và một đoạn của nói
viết truyền thông toán
học nói gì.
Thí dụ, nghiên cứu Lakatos bắt đầu với một chứng minh gồm một thí nghiệm tưởng tượng qua suy nghĩ trong
đó người ta loại bỏ một mặt của một khối đa diện đã cho, kéo phần còn lại ra trên một mặt phẳng,
sau đó vẽ những đường thẳng, cắt và loại bỏ những phần khác nhau, giữ những số đếm dọc theo tiến trình. Sự phát triển thì thuyết phục và mang tính chất của một chứng minh, nhưng hoàn toàn
không rõ ràng phải hiểu thế nào
về cách nói viết truyền thông công khai linh động. Ngôn ngữ không sẵn sàng đặt vừa vặn vào trong khuôn đúc của những luận thuyết lôgích thời nay.
Hình thức lôgích của nói viết
truyền thông là gì và lôgích của nó là gì? Bản thể
học của nó là gì? Phần lớn những công trình toán học / triết học tiếp sau giải quyết chỉ những câu hỏi này.
Quay sang
gần hơn với chiều hướng
chính, hãy xem xét ngôn ngữ cơ bản của toán giải
tích và giải tích thực. Ngữ pháp mặt ngoài sẽ
đề nghị rằng
biểu thức ‘dx’ là một thuật ngữ số ít, giống như một
đại từ hay một danh từ riêng, biểu thị một đối tượng. Tuy nhiên, đã cần sự phát triển toán học đáng kể để thấy
rằng ‘dx’ không biểu thị một bất cứ gì. Nó không có nghĩa độc lập. Tuy nhiên, biểu thức ‘dy / dx’ là một thuật ngữ số ít và biểu thị một
gì đó – một hàm số, không phải một thương số. Lịch
sử của toán phân
tích cho thấy việc cho thấy những biểu thức như
thế này có ý nghĩa như thế nào là một việc làm lâu dài và quanh co.
Tất nhiên, toán học thường có thể tạo tiến bộ khá tốt
với không có sự diễn giải
về triết học này, và đôi khi công việc diễn
giải thì quá sớm
và là một sự phân
tâm, tệ nhất.
Phê bình nổi tiếng và sắc bén về lôgích của George Berkeley về toán phân tích, phần lớn bị những nhà toán học bỏ qua – chừng
nào họ biết ‘để
tiếp tục thế nào’, như Wittgenstein có thể nói. Trong bối cảnh
hiện tại, câu hỏi đặt ra là liệu nhà toán học có phải ngừng toán học lại, cho đến khi người này có một ngữ nghĩa học cho
sự nói viết truyền thông của người này được thực hiện hoàn toàn đến mức hài lòng hay không. Chắc chắn
là không. Tuy nhiên, đôi khi, những căng thẳng trong toán học dẫn đến dự án khó khăn đòi hỏi nỗ lực trí tuệ toàn diện
về diễn giải
triết học / ngữ nghĩa. Đôi khi nhà toán học không chắc chắn làm thế nào để ‘tiếp tục như trước đây’, cũng như không chắc chắn về những khái
niệm thì đúng là
gì. Hơn nữa, chúng ta không bao giờ chắc chắn rằng chương trình diễn giải thì chính xác và hoàn thành, và rằng những vấn đề khác không rình rập ở phía trước.
Lê Dọn Bàn
tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Jan/2022)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1]
a priori (“từ cái có trước”)
và a posteriori: (“từ cái có sau”): tiên nghiệm và hậu nghiệm. Ít nhất
là từ thế kỷ 17, một sự phân biệt rõ
ràng đã được nêu lên giữa kiến
thức tiên nghiệm và kiến thức hậu nghiệm. Sự phân biệt đóng
một vai trò đặc biệt quan trọng trong công trình của David
Hume (1711–76) và Immanuel Kant (1724–1804).
[2] inter-subjective idealism
[3] [Có những vấn đề bản thể học liên quan đến
những đề mục ngôn ngữ như những chữ số. Một số triết gia cho rằng chúng là
những đối tượng trừu
tượng, vĩnh cửu, không-nhân
quả, giống như những gì người
theo thuyết duy thực về bản
thể học nói về những con số. Những chữ số theo nghĩa này gọi là những biểu hiên (tokesn). Ngược lại, những những biểu hiên chữ số là những đối tượng vật lý – như
mực, mực cháy, v.v. – minh họa cho những loại. Không giống như những loại, những
biểu hiên được
tạo và phá hủy tùy ý.
Để cho người
theo thuyết duy danh của chúng ta là một người phản-duy thực trong bản thể học liên quan đến
toán học, người này phải
phủ nhận sự hiện hữu khách quan của những loại. Vấn đề này lập lại nhiều lần dưới
đây.]
[4] Platonism: thuyết toán
học theo như triết học của Plato (thuyết những thể dạng)
[5] organism
[6] bivalent: Có thể nhận chỉ một trong hai giá
trị (đúng/sai): hai-giá-trị (lưỡng trị)
[7] good mathematics: hiểu
như không là toán học ‘thực’ – toán học ‘thực’ đem
cho kiến thức thực và do đó ứng dụng thành công trong những ngành học khác (vật
lý, xác xuất, máy tính, ...), tuy nhiên có thể nói: ‘toán học thực’ / ‘toán học
giả’
[8] Crowell, R. and Fox, R. (1963), Introduction
to Knot Theory (Boston, Ginn and Co.).
[9] [ Steiner (1978) phân biệt giữa giải thích
một hiện tượng vật lý qua việc dùng toán học và một giải thích toán học cụ thể.]
[10] real-valued functions
[11] holism: thuyết toàn diện
[12] preadaptation: một thích ứng
phục vụ mục đích khác với mục đích vốn từ đó nó đã phát triển
[13] compactness theorem: vắn tắt, định lý
nén phát biểu rằng một set cuả những công thức bậc nhất Φ có
chính xác một mô hình nếu và chỉ nếu mọi subset hữu hạn của Φ một mô hình (the compactness theorem states that a set of first-order
formulas Φ has a model precisely iff every finite subset of Φ has
a model)
[14] first order
[15] real analysis,
complex analysis, first-order
real analysis, first-order set theory
[16] first-order arithmetic
[17] Skolem Paradox: Nghịch
lý Skolem liên quan đến một mâu thuẫn có vẻ như xảy ra giữa hai định lý của
logich cổ điển. Định lý Löwenheim-Skolem nói rằng nếu một lý thuyết bậc nhất có
nhữg mô hình vô hạn, thì nó có những mô hình có những miền của nó chỉ có thể đếm
được. Định lý Cantor nói rằng có một số set thì không đếm được. Nghịch lý của
Skolem nảy sinh khi chúng ta nhận thấy rằng những nguyên tắc cơ bản của thuyết
tập hợp Cantor – tức là, chính những nguyên tắc được dùng để chứng minh định lý
Cantor về sự hiện hữu của những set không đếm được – chính chúng có thể được
hình thành như một sưu tập (collection) của những câu bậc nhất. Làm thế nào
chính những nguyên tắc vốn chứng minh sự hiện hữu của những set không đếm được
được thỏa mãn bởi một mô hình vốn tự thân nó chỉ có thể đếm được? Làm thế nào một
mô hình đếm được có thể thỏa mãn câu bậc nhất vốn nói rằng có nhiều đối tượng
toán học không đếm được — ví dụ: nhiều số thực không đếm được?
[18] cardinality: bản số hay lực
lượng: số đếm (chỉ
số lượng) những phần tử trong một set.
[19] simpliciter
[20] first-order formal theories
[21] informal
mathematics
[22] second order formal languages & semantics
[23] the continuum
hypothesis (CH): giả thuyết liên tục
[24] incompleteness theorem: đã
quen dịch là định lý bất toàn – cho dễ hiểu nên dịch là định lý không đầy đủ,
và có hai định lý về tính không đầy đủ.
[25] mechanism
[26] undecidable = không thể quyết đinh được là đúng hay sai
[27] arbitrary correspondence
[28] Proofs and Refutations: The Logic
of Mathematical Discovery (1976) của triết gia Imre Lakatos,
trình bày quan điểm của ông về sự tiến bộ của toán học
[29] polyhedron
