CHUYỆN ĐÂU ĐÂU: Russell – Đưa vào Triết học Toán học

INTRODUCTION TO MATHEMATICAL PHILOSOPHY

Đưa vào Triết học Toán học

BERTRAND RUSSELL

Lời giới thiệu của người dịch

Trong thế kỷ 20, nghiên cứu triết học toán học chủ yếu xoay quanh bản chất của những đối tượng toán học, những định luật cơ bản chi phối chúng và cách thức chúng ta thu nhận kiến thức toán học về chúng. Đây là những quan tâm nền tảng có tương quan mật thiết với những vấn đề trong siêu hình học và tri thức học truyền thống. Thế kỷ 20 cũng xuất hiện quan điểm cho rằng toán học và logic ký hiệu là đồng nhất (“Sự kiện rằng tất cả Toán học là Logich Ký hiệu là một trong những khám phá vĩ đại nhất của thời đại chúng ta”). Quan điểm nổi tiếng này, nay là Logicism, đầu tiên được Russell trình bày đầy đủ trong Principles of Mathematics (1903) của ông. Logicism – Chủ thuyết Lôgích Toán học – chủ trương rằng tất cả những khái niệm toán học có thể được định nghĩa dưới dạng những khái niệm lôgích và tất cả những đúng-thực toán học có thể được suy diễn từ những đúng-thực lôgích, toán học là không là gì khác hơn lôgích học. Tiếp đến, Principia Mathematica (1910–13), công trình lớn lao về lôgích toán học của Bertrand Russell cùng Alfred North Whitehead, thày học của ông ở Cambridge, cho thấy rằng nguồn gốc thực sự của toán học là từ logic và chứng minh rằng toán học chỉ là lôgích. Principia Mathematica đã đóng góp rất lớn vào sự phát triển và phổ biến lôgích toán học thời nay, như một động lực quan trọng trong việc nghiên cứu những nền tảng của toán học trong suốt thế kỷ 20. Cùng với Organon của Aristotle và Basic Laws of Arithmetic của Gottlob Frege, Principia Mathematica là một trong ba quyển sách lôgích học ảnh hưởng nhất trong lịch sử triết học toán học.

Năm 1918, đương khi bị tù ở London về ‘tội phản chiến’, Russell viết Introduction to Mathematical Philosophy, tập sách mỏng này, đây có thể xem như một giản lược của chính Russell về những gì đã được trình bày chi tiết hơn nhiều trong Principia Mathematica, và theo ông, có ý định hướng tới lớp người đọc với chỉ kiến thức toán học phổ thông.

Trên những thành tựu của những nhà toán học trọng yếu (Frege, Peano, Dedekind, Cantor, Gödel) cuối thế kỷ 19, Russell trình bày triết học toán học mới của ông. Ông chú trọng vào một số vấn đề của lôgích toán học vốn ông suy nghĩ đã giảm thiểu giá trị của triết học truyền thống và toán học đương thời. Sau những mô tả những cơ sở lôgích và định nghĩa số tự nhiên, số thực và số phức, thứ bậc, quan hệ, giới hạn và tính liên tục, hàm số mệnh đề, đi đến thuyết về mô tả và lớp, đặc biệt với lý thuyết của những mô tả, như ông nói tuy ‘trình bày ngắn’ nhưng ‘cực kỳ quan trọng trong lôgích học và tri thức học’, và giới thiệu logicism, (trong đó nhấn mạnh quan điểm rằng tất cả những đúng-thực toán học đều là những đúng-thực lôgích). Chúng ta thấy ông nghiêng sang tri thức học nhiều hơn lôgích học. Russell cũng cho thấy sự cần thiết và quan trọng của một học thuyết của những loại, sự đúng-thực của logicism, và sự chặt chẽ trong sáng và chính xác thấu đáo như thành tựu mang đến cho triết học toán học bằng phương pháp của phân tích lôgích. Tất cả là nỗ lực của ông trong logicism – nỗ lực thu giảm toán học về lôgích học – là tham vọng đặt định lôgích như nền tảng vững chắc cho toán học

Russell thường được nhìn nhận như một trong những người sáng lập Triết Học Phân Tích (Analytic Philosophy), gồm cả một số nhánh của nó. Ở đầu thế kỷ 20, triết học phân tích ra đời như một nổi dậy đối lập với Hegel và F.H. Bradley. Cùng với G.E. Moore, Russell là những chủ đạo trong “nổi dậy chống lại chủ nghĩa duy ý”. Nổi dậy này đã gây tiếng vang 30 năm sau trong một “nổi dậy chống lại siêu hình học” ở Vienna của những người theo chủ nghĩa thực chứng lôgích. Russell đặc biệt phê phán một học thuyết mà ông gán cho chủ nghĩa duy ý và thuyết mạch lạc (coherentism) trong tri thức học, phê phán này ông đặt tên là học thuyết của những quan hệ bên trong, theo Russell đề xuất, chủ trương rằng để biết bất kỳ sự vật việc cụ thể nào, chúng ta phải biết tất cả những quan hệ của nó. Dựa trên điều này, Russell đã cố gắng để cho thấy rằng điều này sẽ làm không gian, thời gian, khoa học và khái niệm số, không có thể hoàn toàn hiểu được. Công trình lôgích của Russell với Whitehead đã tiếp tục dự án này.

Russell và Moore cố gắng để loại bỏ những gì họ đã thấy như những khẳng định vô nghĩa và thiếu mạch lạc trong triết học, và hai người đã tìm kiếm sự rõ ràng và chính xác trong lập luận qua việc dùng ngôn ngữ chính xác và bằng phá vỡ những mệnh đề triết học vào trong những thành phần ngữ pháp đơn giản nhất của chúng. Đặc biệt, Russell xem lôgích hình thức và khoa học như những dụng cụ chính của nhà triết học. Thật vậy, không giống như hầu hết những triết gia trước và cùng thời của ông, Russell không tin rằng có một phương pháp riêng cho triết học. Ông tin rằng nhiệm vụ chính của nhà triết học là làm sáng tỏ những mệnh đề tổng quát nhất về thế giới và loại bỏ sự nhầm lẫn. Đặc biệt, ông muốn chấm dứt những gì ông coi như sự thái quá của siêu hình học. Russell đã áp dụng nguyên lý của William of Ockham chống lại việc nhân lên nhiều những thực thể không cần thiết, luật ‘tiện tặn’ của Occam này, như một phần trung tâm của phương pháp phân tích.

Sau thành tựu trong tạo dựng và phát triển logic hiện đại về những quan hệ – một bước tiến lớn nhất duy nhất trong lôgích kể từ Aristotle. Lôgích mới này đã dùng như cơ bản cho triết học toán học, Dùng những dạng phân tích để phân tích những từ định lượng trong logic (những từ như “tất cả” và “một số”) và những con số trong toán học, Russell cũng sớm dùng những dạng phân tích này để phân tích những điểm trong không gian, khoảnh khắc thời gian, vật chất, tâm trí, đạo đức, tri thức, và bản thân ngôn ngữ, tất cả những gì ngày nay xem như ban đầu của Triết Học Phân Tích.

Russell có ảnh hưởng rất lớn với lôgích toán học thời nay. Quyển sách toán học đầu tiên của Russell, An Essay on the Foundations of Geometry (Một Luận Văn Về Nền Tảng Của Hình Học) xuất bản năm 1897. Tác phẩm này chịu nhiều ảnh hưởng của Immanuel Kant. Sau đó, Russell sớm nhận được rằng quan niệm luận văn này đặt ra sẽ khiến lược đồ không-thời gian của Albert Einstein thành không thể được, vốn ông hiểu lược đồ này vượt trội hệ thống của chính ông. Từ đó, ông phủ nhận toàn bộ chương trình theo-Kant như nó liên quan với toán học và hình học, và ông khẳng định rằng tác phẩm đầu tiên của ông về đề tài này hầu như không giá trị.

Quan tâm trong việc tìm định nghĩa lôgich của những con số, Russell đã nghiên cứu công trình của George Boole, Georg Cantor và Augustus De Morgan, và cả Charles S. Peirce và Ernst Schröder. Ông trở nên tin rằng những nền tảng của toán học gắn buộc với lôgích học, và đi theo Gottlob Frege, ông đã thực hiện một cách tiếp cận mở rộng, trong đó lôgích quay ra lại dựa trên thuyết tập hợp. Năm 1900, dự Đại hội Triết học Quốc tế thứ nhất ở Paris, Russell nghe thảo luận về sự công thức hóa số học của Peano bằng những kỹ thuật lôgích mới. Bản thân Peano đã không tìm để đem lại một nền tảng thuần lôgích cho toán học; ông không cho những định nghĩa lôgích của những khái niệm “0,” “số tiếp sau” và “số”, ... trong những tiên đề của ông. Nhưng, sau khi nghe Peano, Russell đã nhảy đến giả thuyết rằng những định nghĩa lôgích của loại này có thể thực hiện được, và như thế toán học cuối cùng cũng chỉ là lôgích học. Thực hiện bước nhảy này Russell cũng đã dựa trên nghiên cứu gần đây của ông về Leibniz, Russell nhận ra rằng Leibniz cũng đã hình thành giả thuyết này nhưng không đi đến được chứng minh cho nó, phần lớn là do những giới hạn trong logic truyền thống Leibniz đã tuân theo. Nhưng với những nguồn lôgích phong phú hơn do Peano đã dung (Russell cũng đã đem dùng ngay trong việc phát triển một lôgích mới về những quan hệ), Russell cho rằng giả thuyết về lôgích của Leibniz bây giờ có thể chứng minh được. Russell tự nhận lấy việc tìm ra những định nghĩa lôgích cho: 0, số, số tiếp sau. số ít, vốn Peano bỏ dở (trong Chương1 & 2 của tập sách này)

Lôgích của Russell gồm lý thuyết tập hợp. Lý do là lôgích của ông chứa những vị từ và mọi vị từ đều xác định một tập hợp. Ví dụ, vị từ “x là con người” xác định set của tất cả những gì có thể thay thế cho x, khiến “x là con người” thì đúng, tức là nó xác định một lớp của những con người. Tiên đề bao hàm (comprehension axiom) là giả định rằng tất cả những vị ngữ xác định một lớp. Đó là một giả định trong lôgích của Russell. Russell cũng gọi những tập hợp là “những lớp” và lý thuyết tập hợp như “lý thuyết của những lớp”.

Russell cuối cùng đã tìm ra rằng Gottlob Frege đã độc lập đi đến những định nghĩa tương đương cho 0, số tiếp sau, và số, và định nghĩa của số hiện nay thường được xem như định nghĩa Frege-Russell. Russell là người đã mang Frege ra ánh sáng của thế giới toán học, đặc biệt thế giới tiếng England. Ông đã làm điều này năm 1903, khi xuất bản The Principles of Mathematics (Những Nguyên lý của Toán học), trong đó khái niệm lớp thì gắn buộc chặt chẽ với định nghĩa của số. Phụ lục của tác phẩm này trình bày chi tiết một nghịch lý nảy sinh trong công trình của Frege, khi áp dụng những hàm số bậc hai và bậc cao hơn, lấy những hàm số bậc nhất làm đối số của chúng, và ông đã đưa ra nỗ lực đầu tiên để giải quyết những gì sau này, nổi tiếng gọi là Nghịch lý Russell. Trong khi viết The Principles of Mathematics, Russell cũng bắt gặp chứng minh không có số đếm lớn nhất của Cantor, vốn Russell tin là nhầm lẫn. Sau đó, Nghịch lý Cantor được Crossley cho thấy là một trường hợp đặc biệt cũng của Nghịch lý Russell. Điều này khiến Russell phân tích những lớp, vì đã được biết rằng đem cho bất kỳ số của những phần tử nào, số của những lớp mà chúng tạo ra thì lớn hơn số của chúng. Đến lượt, điều này dẫn đến việc tìm ra một lớp rất đặc biệt chú ý, đó là lớp của tất cả những lớp, vốn gồm hai loại của những lớp: những lớp như những phần tử của chính chúng và những lớp vốn đều không là những phần tử của chính chúng, điều này cũng lại đã dẫn Russell đến tìm thấy rằng những gì gọi là Nguyên Lý Bao Hàm (principle of comprehension), vẫn được những nhà lôgích học thời đó mặc nhiên chấp nhận, đã sai lầm nghiêm trọng, và nó dẫn đến mâu thuẫn, theo đó Y là một phần tử của Y, nếu và chỉ nếu, Y không phải là một phần tử của Y. Điều này trở thành đã được biết như nghịch lý của Russell. Giải pháp cho nghịch lý này đã khái lược trong một phụ lục của The Principles of Mathematics, sau đó ông phát triển nó thành một lý thuyết hoàn chỉnh, Theory of Types (lý thuyết về những loại). Russell lập luận rằng vấn đề trong nghịch lý là chúng ta nhầm lẫn giữa (a) một mô tả của những tập hợp của những số với (b) một mô tả của những tập hợp của những tập hợp của những số. Vì vậy, Russell đã đưa ra một hệ thống phân cấp những đối tượng này: những số, những tập hợp của những số, những tập hợp của những tập hợp của những số, v.v ... Lý thuyết này hạn chế Nguyên Lý Bao Hàm, khiến những tập hợp chỉ có thể gồm những phần tử của một loại thấp hơn bản thân những tập hợp, nhờ đó tránh được nghịch lý. Hệ thống này được dùng như một phương tiện cho những hình thức hóa đầu tiên của những cơ sở của toán học; nó cũng được dùng trong một số nghiên cứu triết học và trong những ngành của khoa học máy tính. Nghịch lý Russell, ngoài việc cho thấy sự bất toàn chính yếu trong thuyết tập hợp ngây thơ (naive set theory), cũng đã trực tiếp dẫn đến lý thuyết tập hợp tiên đề Zermelo-Fraenkel thời nay.

Introduction to Mathematical Philosophy là tác phẩm quan trọng cuối cùng của Russell về toán học và lôgích, phần lớn như giải thích công trình trước đây của ông đã lược kể trên, và ý nghĩa triết học của nó. Chúng ta sẽ thấy điều này qua nhièu những dẫn nhắc của ông trong nó về Principia Mathematica và The Principles of Mathematics,

Triết học toán học đóng một vai trò quan trọng trong triết học phân tích, vừa là một ngành học nghiên cứu theo đúng nghĩa của nó, vừa là một dấu mốc quan trọng trong bối cảnh triết học rộng lớn hơn. Kiến thức toán học từ lâu đã được coi như một mô hình mẫu mực của tri thức con người với những đúng-thực vừa tất yếu vừa chắc chắn, vì vậy đem cho một giải thích về tri thức toán học là phần quan trọng của tri thức học. Những đối tượng toán học như những số và những set là những thí dụ mẫu thức của những trừu tượng, vì chúng ta coi những đối tượng đó trong bàn luận của chúng ta như thể chúng độc lập với thời gian và không gian; tìm một vị trí cho những đối tượng như vậy trong một khuôn khổ rộng lớn hơn của tư tưởng là một nhiệm vụ trung tâm của bản thể học, hay siêu hình học. Tính chặt chẽ và chính xác của ngôn ngữ toán học phụ thuộc vào sự kiện là nó dựa trên một vốn từ vựng hạn chế và ngữ pháp có cấu trúc rất chặt chẽ, và những giải thích của ngữ nghĩa của bàn luận toán học thường đóng vai trò là điểm khởi đầu cho triết học ngôn ngữ.

Ảnh hưởng lớn lao của Russell trong những lĩnh vực lôgích toán học, triết học và nền tảng toán học được thấy qua sự quan tâm đặc biệt với quyển sách này của ông, vốn có thể xem như một nhập môn triết học toán học, Introduction to Mathematical Philosophy là bản văn cần thiết cho bất kỳ ai quan tâm đến những giao điểm của toán học và lôgích, cũng như sự phát triển của triết học phân tích trong thế kỷ 20.Tuy đòi hỏi chỉ kiến thức toán học phổ thông, nhưng Russell đã cho người đọc một thảo luận khúc triết, giải thích những vấn đề nền tảng lôgích của toán học, trong buổi bình minh triết học phân tích. Introduction to Mathematical Philosophy, một toát yếu của Principia Mathematica đã cùng góp phần vào sự khai dựng Logicism, tác động và chuyển hướng Triết Học Ngôn Ngữ, đưa đến Triết Học Máy Tính và Triết Học AI hiện nay.

Đặc biệt vời những ai muốn tìm hiểu Russell, qua tập sách mỏng này, sẽ được trực tiếp đọc những giòng ông viết về hai sự kiện thường gắn liền với tên tuổi nổi tiếng của ông. Nghich lý Rusell (Russell’s paradox, chương 13) và Thuyết về Những Mô tả (theory of descriptions, chương 16 & 17), và thấp thoáng là hình ảnh con người ông, qua những tự thuật:

“ ... Cùng mức đam mê, tôi săn tìm kiến thức. Tôi đã ước ao hiểu được lòng con người. Tôi đã ước ao biết được tại sao những vì sao long lanh sáng. Và tôi đã gắng thấu hiểu quyền năng của toán học, nơi những con số giữ vị chủ tể vượt trên mọi thường biến chao đảo. Những điều này, tôi đã thành tựu đươc một ít, nhưng không nhiều”. (Bertrand Russell – Những gì tôi đã sống – LDB tạm dich)

Những thành tựu ‘một ít’ đó, như ông khiêm tốn nói – đã có thể dẫn ông đến những khẳng định:

“..nếu p hàm ý q và q hàm ý r thì p hàm ý r, hay rằng, nếu tất cả α là những β và x là α thì x là một β. Những mệnh đề như vậy có thể xảy ra trong lôgích, và sự đúng thực của chúng thì độc lập với sự hiện hữu của vũ trụ’. (Chương cuối)

Tin tưởng như thế, vào sự đúng-thực từ một triết gia nhân bản như ông, đem cho tôi rất nhiều an ủi trong những năm qua.

Lê Dọn Bàn

(2021

Lời Giới thiệu của Russell từ áo bìa sách (1919)

Quyển sách này có ý định dành cho những ai là người không quen biết sẵn với những đề tài nó giải quyết, và không có nhiều kiến thức về toán học hơn những gì có thể đã nhận được trong một trường sơ học phổ thông hay ngay cả trong trường Eton. Nó đưa ra trong hình thức đơn giản và không phức tạp định nghĩa lôgích của số, phân tích của khái niệm của thứ bậc, học thuyết thời nay của vô hạn, và lý thuyết về những mô tả và những lớp như là những ký hiệu tưởng tượng. Những phương diện có ý kiến bất đồng và không chắc chắn hơn của đề tài đều phụ thuộc với những đề tài vốn bây giờ có thể được xem như kiến thức khoa học đã có được. Những điều này được giải thích không dùng những ký hiệu, nhưng trong một cách thức để đem cho những người đọc một hiểu biết tổng quát về những phương pháp và những mục đích của lôgích toán học, vốn đã hy vọng nó sẽ là quan tâm không chỉ của những người mong tiến tới một nghiên cứu nghiêm chỉnh hơn về ngành học này, nhưng cũng của giới rộng hơn, gồm những người cảm thấy một ước muốn để biết những nội dung ý nghĩa của khoa học thời nay quan trọng này.

Bertrand Russell

Nội Dung

Lời Nói Đầu

Chương I: Chuỗi Những Số Tự Nhiên

Chương II: Định Nghĩa của Số

Chương III: Tính hữu hạn Và Quy nạp Toán học

Chương IV: Định Nghĩa của Thứ Bậc

Chương V: Những Loại của những quan hệ

Chương VI: Sự Tương Đương Của những Quan hệ

Chương VII: Những số Hữu tỉ, số Thực và số Phức

Chương VIII: Những Số Đếm Vô hạn

Chương IX: Chuỗi Vô hạn và Những số Thứ tự

Chương X: Những Giới Hạn Và Tính Liên Tục

Chương XI: Những Giới Hạn Và Tính Liên Tục Của những Hàm số

Chương XII: Những Lựa Chọn Và Tiên đề Nhân

Chương XIII: Tiên đề của Vô hạn và những Loại Lôgích

Chương XIV: Không tương đồng và Lý Thuyết của Diễn dịch

Chương XV: Những Hàm số Mệnh đề

Chương XVI: Những Mô Tả

Chương XVII: Lớp

Chương XVIII: Toán Học Và Lôgích

Index

Lời Nói Đầu

Quyển sách này có ý định cơ bản như một “Dẫn nhập” và không nhằm đem cho một thảo luận thấu suốt của những vấn đề vốn nó giải quyết. Có vẻ là đáng mong muốn để đưa ra một số những kết quả nhất định, cho đến nay chỉ sẵn có với những ai là người đã thành thạo lôgích ký hiệu, trong một hình thức đem lại sự tối thiểu về khó khăn cho người bắt đầu. Nỗ lực tối đa đã làm để tránh tính giáo điều trên những câu hỏi thuộc loại vẫn còn mở ra với nghi ngờ chân thực, và nỗ lực này đã chi phối sự lựa chọn của những đề tài được xem xét đến một mức độ nào đó Những khởi đầu của lôgích toán học được biết ít hơn những phần sau của nó, nhưng ít nhất đều đáng quan tâm như nhau về triết học. Phần lớn những gì được phát biểu trong những chương sau không thực đúng để gọi là “triết học”, mặc dù những vấn đề liên quan đã gồm trong triết học cho đến chừng nào vẫn chưa có khoa học thỏa đáng nào về chúng hiện hữu. Thí dụ, bản chất của vô hạn và tính liên tục, ngày xưa thuộc về triết học, nhưng bây giờ thuộc về toán học. Triết học toán học, theo nghĩa chặt chẽ, có lẽ không thể được chủ trương để gồm những kết quả khoa học xác định loại như thế, như đã có được trong lĩnh vực này; triết học của toán học, một cách tự nhiên, sẽ được mong đợi để giải quyết những câu hỏi nằm ở biên cương của kiến thức, về phần chúng, tính chắc chắn tương đối thì vẫn chưa đạt được. Nhưng suy đoán trên những câu hỏi như vậy khó có thể là có kết quả trừ khi những phần khoa học hơn của những nguyên lý toán học thì biết được. Do đó, một quyển sách giải quyết với những phần đó có thể được coi là một giới thiệu về triết học toán học, mặc dù nó khó có thể tuyên bố, trừ nơi nào nó bước ra ngoài lĩnh vực của nó, để là thực sự giải quyết với một phần của triết học. Tuy nhiên, nó có giải quyết với một khối của kiến thức, với những người chấp nhận nó, có vẻ để làm mất giá trị nhiều triết học truyền thống, và ngay cả một phần lớn của những gì hiện hành trong ngày nay. Trong cách này, cũng như bởi sự tác dụng của nó trên những vấn đề vẫn chưa giải đáp, lôgích toán học thì liên quan với triết học. Vì lý do này, cũng như vì sư quan trọng nội tại của môn học, một số mục đích có thể được dùng bởi một giải thích cô đọng của những kết quả chính của lôgích toán học trong một hình thức không đòi hỏi kiến thức toán học lẫn một năng lực cho những ký hiệu toán học. Tuy nhiên, ở đây, cũng như những nơi khác, phương pháp thì quan trọng hơn những kết quả, từ quan điểm của nghiên cứu xa thêm hơn; và phương pháp không thể được giải thích rõ ràng bên trong khuôn khổ của một quyển sách loại như sau. Điêu để được hy vọng rằng một số người đọc có thể đủ quan tâm thích thú để tiến tới một nghiên cứu về phương pháp qua đó lôgích toán học có thể được làm hữu ích trong việc điều tra những vấn đề truyền thống của triết học. Nhưng đó là một chủ đề vốn những trang tiếp sau đã không cố gắng đề giải quyết.

Bertrand Russell. (1872 – 1970)

Ghi chú của người biên tập tùng thư Thư Viện Triết Học

Những người dựa trên sự phân biệt giữa Toán học Triết học và Triết học Toán học, nghĩ rằng quyển sách này không có chỗ trong Thư Viện Triết Học, có thể tham chiếu những gì chính tác giả nói về phần đầu này trong Lời Nói đầu. Không nhất thiết phải đồng ý với những gì ông đề nghị ở đó, về sự điều chỉnh của lĩnh vực của triết học bằng việc chuyển từ triết học sang toán học những vấn đề loại như những vấn đề của lớp, tính liên tục, vô hạn, ngõ hầu để nhận thức nội dung ý nghĩa của những định nghĩa và những thảo luận vốn theo đến từ công việc của “triết học truyền thống”. Nếu những triết gia không thể đồng thuận để chỉ định sự phê bình của những phân loại này cho bất kỳ khoa học đặc biệt nào, điều thiết yếu, ở bất kỳ mức độ nào, rằng họ nên biết ý nghĩa chính xác vốn khoa học toán học, trong đó những khái niệm này đóng một vai trò rất lớn, ấn định cho chúng. Mặt khác, nếu có những nhà toán học vốn những định nghĩa và thảo luận này dường như với họ là một khai triển và phức tạp hóa sự đơn giản, cũng có thể nhắc nhở họ từ phía của triết học vốn ở đây, cũng như ở những nơi khác, là sự đơn giản hiện ra bên ngoài có thể che giấu một sự phức tạp vốn là công việc của một tác giả nào đó, hoặc là triết gia hoặc nhà toán học, hay, giống như tác giả tập sách này, vừa là hai trong một, để tháo mở làm sáng tỏ.

J. H. Muirhead (1855 –1940)

Đưa vào Triết học Toán học [1]

CHƯƠNG I:

Chuỗi Những Số Tự Nhiên

Toán học là một môn học, khi chúng ta bắt đầu từ những phần quen thuộc nhất của nó, có thể được theo đuổi trong một của hai hướng đối nghịch. Hướng quen thuộc hơn là xây dựng, hướng đến việc tăng dần tính phức tạp: từ những số nguyên đến những phân số, những số thực, những số phức; từ phép cộng và phép nhân đến phép tính đạo hàm và nguyên hàm và tiếp đến những môn toán học cao hơn. Hướng kia, ít quen thuộc hơn, bằng phân tích, tiến hành đến trừu tượng và đơn giản lôgích càng nhiều hơn; thay vì hỏi những gì có thể được định nghĩa và được suy diễn từ những gì được giả định để bắt đầu, chúng ta hỏi, thay vào đó, những ý tưởng và nguyên lý tổng quát hơn nào có thể được tìm thấy, trong những điều kiện của nó những gì đã là điểm khởi đầu của chúng ta có thể được định nghĩa hay được diễn dịch. Đó là sự kiện của việc theo đuổi hướng ngược lại này vốn biểu thị đặc điểm triết học toán học như đối lập với toán học thông thường. Nhưng nên được hiểu rằng sự phân biệt là một phân biệt, không trong nội dung môn học, nhưng trong trạng thái của tinh thần của người nghiên cứu. Những nhà hình học thời kỳ đầu của Greece, chuyển từ những quy luật thực nghiệm của sự khảo sát đất đai của người Egypt sang những mệnh đề tổng quát qua đó những qui luật này được tìm thấy là minh chứng được, và từ đó dẫn đến những tiên đề và những định đề của Euclid, đã dự phần vào triết học toán học, theo như định nghĩa trên; nhưng một khi đã đạt được những tiên đề và những định đề, việc dùng diễn dịch của chúng, như chúng ta thấy trong Euclid, [2] đã thuộc về toán học trong nghĩa thông thường. Sự phân biệt giữa toán học và triết học toán học là một phân biệt vốn tùy thuộc trên sự thích thú gây hứng khởi cho khảo cứu và trên giai đoạn vốn khảo cứu đã đạt được; không trên những mệnh đề vốn với chúng khảo cứu đã bận tâm.

Chúng ta có thể phát biểu cùng một phân biệt trong một cách khác. Những điều hiển nhiên và dễ dàng nhất trong toán học không là những điều vốn đi đến về lôgích từ khởi đầu; chúng là những điều vốn từ quan điểm của diễn dịch lôgích, đi đến từ đâu đó trong khoảng giữa. Giống đúng như những vật thể dễ nhất để nhìn thấy là những vật thể vốn không rất gần cũng không rất xa, không rất nhỏ cũng không rất lớn, vì vậy những khái niệm dễ nắm bắt nhất là những khái niệm không rất phức tạp cũng không rất đơn giản (dùng “đơn giản” trong một nghĩa lôgích). Và như chúng ta cần hai loại dụng cụ, kính thiên văn và kính hiển vi, để mở rộng khả năng thị giác của chúng ta, vì vậy chúng ta cần hai loại dụng cụ để mở rộng khả năng lôgích của chúng ta, một loại để đưa chúng ta đến với toán học cao hơn, loại kia đưa chúng ta trở lại những nền tảng lôgích của những điều vốn chúng ta đã có khuynh hướng xem như đương nhiên trong toán học. Chúng ta sẽ thấy rằng bằng việc phân tích những ý niệm toán học thông thường của chúng ta, chúng ta có được sự hiểu biết sâu xa tươi sáng, sức mạnh mới và phương tiện đạt đến những môn học toán học hoàn toàn mới bằng tiếp nhận những đường tiến mới sau hành trình lạc hậu của chúng ta. Mục đích của quyển sách này là để giải thích triết học toán học một cách đơn giản và không-chuyên môn, nhưng không mở rộng trên những phần vốn là quá hoài nghi hay khó khăn khiến một giải quyết yếu lược thì hiếm khi có thể có được. Một giải quyết đầy đủ sẽ được tìm thấy trong Principia Mathematica; [3] giải quyết trong tập sách này có ý định chỉ đơn thuần như một dẫn nhập.

Với những người học thức trung bình ngày nay, điểm khởi đầu hiển nhiên của toán học sẽ là chuỗi của những số nguyên,

1, 2, 3, 4, … vv

Có lẽ chỉ một người có một số kiến thức toán học nào đó sẽ nghĩ đến việc bắt đầu bằng 0 thay vì bằng 1, nhưng chúng ta sẽ đánh bạo như ở mức độ kiến thức này; chúng ta sẽ lấy như điểm khởi đầu của chúng ta về chuỗi:

0, 1, 2, 3, … n, n + 1, …

và đó là chuỗi này vốn chúng ta sẽ có ý nói khi chúng ta nói về “chuỗi của những số tự nhiên”.

Đó là chỉ ở một giai đoạn cao của văn minh, khiến chúng ta có thể lấy chuỗi này như điểm khởi đầu của chúng ta. Chắc hẳn phải cần nhiều thời đại để tìm ra rằng một cặp gà lôi và một đôi ngày đều cả hai là những trường hợp của số 2: mức độ của trừu tượng gồm thì hoàn toàn không dễ dàng. Và việc tìm ra rằng 1 là một số phải đã là khó khăn. Về phần 0, nó là một thêm vào rất gần đây; người Greece và Roma không có con số như vậy. Nếu chúng ta đã bắt tay vào triết học toán học sớm hơn trong những ngày trước đó, chúng ta đã phải bắt đầu với một gì đó ít trừu tượng hơn chuỗi những số tự nhiên, vốn chúng ta sẽ đạt được như một giai đoạn trên hành trình ngược lại về sau của chúng ta. Khi những nền tảng lôgích của toán học đã phát triển quen thuộc hơn, chúng ta sẽ có thể bắt đầu lùi ngược lại về sau hơn, vào thời điểm bây giờ đã là giai đoạn muộn trong tiến trình phân tích của chúng ta. Nhưng lúc này, những số tự nhiên xem có vẻ đại diện những gì là dễ nhất và quen thuộc nhất trong toán học.

Nhưng dù quen thuộc, chúng đều đã không được hiểu. Rất ít người được sẵn sàng với một định nghĩa của những gì có nghĩa là “số” hay “0” hay “1”. Không quá khó để thấy rằng, bắt đầu từ 0, bất kỳ số tự nhiên nào khác đều có thể đạt được bằng lập lại những phép cộng của 1, nhưng chúng ta sẽ phải định nghĩa chúng ta nói “cộng 1” nghĩa là gì, và chúng ta nói “lập lại” nghĩa là gì Những câu hỏi này tuyệt đối đều không dễ dàng. Cho đến gần đây, người ta vẫn tin rằng, ít nhất, một số những khái niệm đầu tiên này của số học phải được chấp nhận như quá đơn giản và nguyên sơ để được định nghĩa. Vì tất cả những số hạng vốn được định nghĩa đều được định nghĩa bằng phương tiện của những số hạng khác, điều là rõ ràng rằng tri thức của con người phải luôn luôn bằng lòng để chấp nhận một vài số hạng nhất định như có thể hiểu được nhưng không cần định nghĩa, để có một điểm khởi đầu cho những định nghĩa của nó. Không là điều rõ ràng rằng phải có những số hạng vốn chúng không thể có được định nghĩa: có thể là, chúng ta dù đi lùi xa bao nhiêu trong việc định nghĩa, chúng ta luôn luôn vẫn có thể đi lùi xa xa hơn. Mặt khác, cũng có thể là, khi sự phân tích đã được đẩy đủ xa, chúng ta có thể đạt đến những số hạng vốn thực sự là đơn giản, và do đó về lôgích không thể có loại định nghĩa vốn gồm trong phân tích. Đây là một câu hỏi vốn nó không thiết yếu cho chúng ta để quyết định; Đối với những mục đích của chúng ta, là đủ để quan sát rằng, vì những khả năng con người đều hữu hạn, những định nghĩa chúng ta được biết phải luôn luôn bắt đầu ở đâu đó, với những số hạng không định nghĩa cho thời điểm này, mặc dù có lẽ không là vĩnh viễn.

Tất cả toán học thuần túy truyền thống, gồm hình học giải tích, có thể được xem như gồm toàn bộ những mệnh đề về những số tự nhiên. Có nghĩa là, những số hạng vốn xảy ra có thể được định nghĩa bằng phương tiện của những số tự nhiên, và những mệnh đề có thể được suy ra từ những thuộc tính của những số tự nhiên – với việc cộng thêm vào, trong mỗi trường hợp, của những ý tưởng và những mệnh đề của lôgích thuần túy.

Rằng tất cả toán học thuần túy truyền thống có thể suy diễn được từ những số tự nhiên là một khám phá khá gần đây, mặc dù đã ngờ vực về điều này từ lâu. Pythagoras [4], người tin rằng không chỉ toán học, nhưng tất cả mọi sự vật việc khác đều có thể được suy diễn từ những con số, ông là người tìm ra đầu tiên của trở ngại nghiêm trọng nhất trong cách của những gì đã gọi là “tính toán số học” của toán học. Chính Pythagoras là người đã tìm ra đầu tiên sự hiện hữu của những không thể đo lường được [5], và đặc biệt, tính không thể so sánh được với nhau của cạnh và đường chéo của một hình vuông. Nếu chiều dài của cạnh là 1 inch, số inch trong đường chéo là căn bậc hai của 2, vốn hiện ra như không là một con số nào cả. Như thế, bài toán đã nêu lên đã chỉ được giải quyết trong thời chúng ta, và đã chỉ được giải quyết hoàn toàn nhờ sự giúp đỡ của việc rút gọn số học thành lôgích học, vốn sẽ được giải thích trong những chương sau. Hiện tại, chúng ta sẽ coi phương pháp số học hóa [6]của toán học là mặc nhiên, mặc dù đây là một kỳ tích có sự quan trọng bậc nhất.

Sau khi thu giảm tất cả toán học thuần túy truyền thống thành lý thuyết của những số tự nhiên, bước tiếp theo trong phân tích đã là thu giảm chính lý thuyết này thành set nhỏ nhất gồm những tiền đề và số hạng không định nghĩa vốn từ đó nó có thể được suy ra. Công việc này được Peano [7] hoàn thành. Ông cho thấy rằng toàn bộ lý thuyết về những số tự nhiên có thể bắt nguồn từ ba ý tưởng nguyên thủy và năm mệnh đề nguyên thủy bên cạnh những ý tưởng và mệnh đề của lôgích thuần túy. Như thế, ba ý tưởng và năm mệnh đề này đã trở thành những con tin bảo đảm cho toàn bộ toán học thuần túy truyền thống. Nếu chúng có thể được định nghĩa và chứng minh trong những số hạng của những số hạng kia, thì tất cả toán học thuần túy cũng có thể như vậy. ”Sức nặng” lôgích của chúng, nếu người ta có thể dùng một diễn đạt như vậy, thì bằng với sức nặng lôgích của chuỗi toàn bộ của những khoa học vốn đã được suy ra từ lý thuyết về những số tự nhiên; Sự thực của chuỗi toàn bộ này được bảo đảm nếu sự thực của năm mệnh đề nguyên thủy được bảo đảm, Dĩ nhiên, miễn là không có gì sai sót trong guồng máy lôgích thuần túy vốn cũng liên quan. Công việc của sự phân tích toán học được công trình này của Peano đã làm thành hết sức dễ dàng.

Ba ý tưởng nguyên thủy trong số học của Peano là:

0, số, tiếp sau

Nói “tiếp sau”, [8] ông dùng với nghĩa là số tiếp theo trong thứ tự tự nhiên. Đó là để nói, tiếp sau của 0 là 1, tiếp sau của 1 là 2, v.v. Nói “số”, trong mạch lạc này, ông có nghĩa là lớp của những số tự nhiên. [9] Ông không giả định rằng chúng ta biết tất cả những phần tử của lớp này, nhưng chỉ rằng chúng ta biết chúng ta nói với nghĩa gì, khi chúng ta nói rằng cái này hay cái kia là một số, cũng đúng như chúng ta biết chúng ta nói với nghĩa gì, khi chúng ta nói: “Ất là một người”, mặc dù chúng ta không biết tất cả những người riêng lẻ.

Năm mệnh đề nguyên thủy vốn Peano giả định là:

(1) 0 là một số.

(2) tiếp sau của một số bất kỳ là một số.

(3) Không có hai số nào có cùng sô tiếp sau.

(4) 0 không là số tiếp sau của bất kỳ số nào.

(5) Bất kỳ thuộc tính nào vốn thuộc về 0, và cũng thuộc về số tiếp sau của mọi số vốn có thuộc tính, thuộc về tất cả những số.

Mệnh đề cuối trong số này là nguyên lý của quy nạp toán học. [10] Chúng ta sẽ có nhiều để nói liên quan với quy nạp toán học trong phần tiếp theo; hiện tại, chúng ta quan tâm đến nó, chỉ vì nó xuất hiện trong phân tích của số học của Peano.

Chúng ta hãy xem xét vắn tắt loại cách thức vốn trong đó lý thuyết về những số tự nhiên là kết quả từ ba ý tưởng và năm mệnh đề này. Để bắt đầu, chúng ta định nghĩa 1 là “tiếp sau của 0”, 2 là “tiếp sau của 1”, v.v. Rõ ràng là chúng ta có thể tiếp tục, cho đến chừng nào chúng ta thích, với những định nghĩa này, vì trên cơ sở của (2), mọi con số vốn chúng ta đạt được sẽ có một con số tiếp sau, và trên cơ sở của (3), đây không thể là bất kỳ những con số nào đã được định nghĩa, vì, nếu đã thế, hai số khác nhau sẽ có cùng một tiếp sau; và trên cơ sở của (4) không có số nào chúng ta đạt được trong chuỗi của những tiếp sau có thể là 0. Do đó, chuỗi của những tiếp sau cho chúng ta một chuỗi vô tận những số mới liên tục. Trên cơ sở của (5) tất cả những số đều thuộc trong chuỗi này, vốn bắt đầu bằng 0 và đi qua những chuỗi số tiếp sau nhau: vì (a) 0 thuộc chuỗi số này và (b) nếu một số n thuộc chuỗi số đó, thì chuỗi số tiếp sau của nó cũng vậy do đó, bằng quy nạp toán học, mọi số đều thuộc vào chuỗi.

Giả sử chúng ta muốn định nghĩa tổng số của hai số. Lấy bất kỳ số m nào, ta định nghĩa m + 0 là m và m + (n + 1) là tiếp sau của m + n. Trên cơ sở của (5), điều này cho một định nghĩa về tổng số của m và n, bất kể số n có thể là số nào. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa tích số của hai số bất kỳ. Người đọc có thể dễ dàng thuyết phục chính mình rằng bất kỳ mệnh đề cơ bản thông thường nào của số học đều có thể chứng minh được bằng năm tiền đề của chúng ta, và nếu gặp khó khăn, người này có thể tìm thấy chứng minh trong Peano.

Bây giờ là lúc để chuyển sang những cân nhắc vốn làm nó là cần thiết để vượt qua lập trường của Peano, người đại diện cho sự hoàn thiện cuối cùng của “số học hóa” toán học, để đi đến của Frege, [11] người đầu tiên đã thành công trong việc “lôgích hóa” toán học, nghĩa là thu giảm về lôgích những khái niệm số học vốn những người đi trước ông đã cho thấy ra là đủ cho toán học. Trong chương này, chúng ta sẽ không thực sự đưa ra định nghĩa của Frege về số và những số cụ thể, nhưng chúng ta sẽ đưa ra một số những lý do tại sao cách giải quyết của Peano kém quyết định hơn so với nó có vẻ dứt khoát.

Trước hết, ba ý tưởng nguyên thủy của Peano – đó là “0”, “số” và “tiếp sau” – đều có khả năng tạo ra vô số cách giải thích khác nhau, tất cả chúng đều sẽ thỏa mãn năm mệnh đề nguyên thủy. Chúng ta sẽ cho một vài thí dụ.

(1) Gọi “0” có nghĩa là 100, và gọi “số” có nghĩa là những số từ 100 trở đi trong chuỗi số tự nhiên. Sau đó, tất cả những mệnh đề nguyên thủy của chúng ta đều được thỏa mãn, ngay cả mệnh đề thứ tư, vì mặc dù 100 là số tiếp sau của 99, nhưng 99 không là một “số” theo nghĩa vốn chúng ta đang gán cho từ “số”. Rõ ràng là bất kỳ số nào có thể được thay thế cho 100 trong thí dụ này.

(2) Gọi “0” có nghĩa thông thường của nó, nhưng đặt “số” có nghĩa là những gì chúng ta thường gọi là “những số chẵn” và đặt “tiếp sau” của một số là những gì là kết quả của việc cộng hai vào nó. Sau đó “1” sẽ đứng thay cho số hai, “2” sẽ đứng thay cho số bốn, v.v. chuỗi “số” bây giờ sẽ là

0, hai, bốn, sáu, tám…

Tất cả năm tiền đề của Peano vẫn còn được thỏa mãn.

(3) Gọi “0” có nghĩa là số một, gọi “số” có nghĩa là set

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

và gọi “tiếp sau” có nghĩa là “một nửa”. Sau đó, tất cả năm tiên đề của Peano sẽ đúng với set này.

Rõ ràng là những thí dụ như vậy có thể được nhân lên vô hạn. Thực ra, cho bất kỳ chuỗi

x₀, x₁, x₂, x₃, … x_n, …

vốn là vô tận, không có những lập lại, có một khởi đầu và không có số hạng nào không thể đạt đến được từ khởi đầu trong một số hữu hạn của những bước, chúng ta có một set của những số hạng kiểm nghiệm những tiên đề của Peano. Điều này có thể thấy dễ dàng, mặc dù chứng minh chính thức thì hơi dài. Đặt “0” có nghĩa là x₀, đặt “số” có nghĩa là toàn bộ set của những số hạng và đặt “tiếp sau” của x_n có nghĩa là x_n + 1.

Sau đó

(1) “0 là một số”, tức là x₀ là một phần tử của set.

(2) “Tiếp sau của một số bất kỳ là một số”, nghĩa là lấy bất kỳ số hạng x_n nào trong set, x_n _{+ 1}cũng nằm trong set đó.

(3) “Không có hai số nào có cùng số tiếp sau”, nghĩa là nếu x_m và x_n là hai phần tử khác nhau của set thì x_m+1và x_n+1là khác nhau; kết quả này là do (theo giả thuyết) không có sự lập lại nào trong set.

(4) “0 không là số tiếp sau của bất kỳ số nào”, tức là không có số hạng nào trong set đứng trước x₀.

(5) Điều này trở thành: Bất kỳ thuộc tính nào vốn thuộc về x₀, và thuộc về x_n+1miễn là nó thuộc về x_n,thuộc về tất cả những x’s.

Điều này đến từ thuộc tính tương ứng cho những số.

Một chuỗi thuộc dạng

x₀, x₁, x₂, x₃, … x_n, …

trong đó có một số hạng đầu tiên, một tiếp sau với mỗi số hạng (sao cho không có số hạng cuối cùng), không có những lập lại và mỗi số hạng đều có thể đạt đến được từ khởi đầu trong một số bước hữu hạn, gọi là một cấp số. Những cấp số đều có sự quan trọng lớn trong những nguyên lý của toán học. Như chúng ta vừa thấy, mỗi cấp số kiểm nghiệm năm tiên đề của Peano. Ngược lại, có thể chứng minh rằng mọi chuỗi vốn kiểm nghiệm năm tiên đề của Peano đều là một cấp số. Do đó, năm tiên đề này có thể được dùng để định nghĩa lớp của những cấp số: “những cấp số” là “những chuỗi vốn kiểm nghiệm năm tiên đề này”. Bất kỳ cấp số nào cũng có thể được lấy như cơ sở của toán học thuần túy: chúng ta có thể đặt tên “0” cho số hạng đầu tiên của nó, tên “số” cho toàn bộ set gồm những số hạng của nó và tên “tiếp sau” cho tiếp sau trong cấp số. Cấp số không nhất thiết phải gồm có những con số: nó có thể là gồm những điểm trong không gian, hay những khoảnh khắc của thời gian, hay bất kỳ điều khoản nào khác của nó có một nguồn cung cấp vô hạn. Mỗi cấp số khác nhau sẽ đưa đến một diễn dịch khác nhau về tất cả những mệnh đề của toán học thuần túy truyền thống; tất cả những diễn dịch có thể có sẽ là đúng như nhau.

Trong hệ thống của Peano, không có gì cho chúng ta khả năng để phân biệt giữa những diễn dịch khác nhau này của những ý tưởng nguyên thủy của ông. Được giả định rằng chúng ta biết “0” có nghĩa là gì và rằng chúng ta sẽ không giả định rằng ký hiệu này có nghĩa là 100 hay Cây kim của Cleopatra [12], hay bất kỳ sự việc gì khác vốn nó có thể có nghĩa.

Điểm này, rằng “0” và “số” và “tiếp sau” không thể được định nghĩa bằng năm tiên đề của Peano, nhưng phải được hiểu một cách độc lập, là sự việc quan trọng. Chúng ta muốn những con số của chúng ta không chỉ để kiểm nghiệm công thức toán học, nhưng để áp dụng đúng cách cho những đối tượng thông thường. Chúng ta muốn có mười ngón tay và hai mắt và một mũi. Một hệ thống trong đó “1” có nghĩa là 100, và “2” có nghĩa là 101, v.v., có thể thích hợp với toán học thuần túy, nhưng sẽ không thích hợp với cuộc sống hàng ngày. Chúng ta muốn “0” và “số” và “tiếp sau” có những nghĩa vốn cho chúng ta số lượng thích hợp cho phép của những ngón tay, mắt và mũi. Chúng ta đã có một số kiến thức (mặc dù không đủ chi tiết hay phân tích rõ ràng) về những gì chúng ta có nghĩa là “1” và “2”, v.v. và việc chúng ta dùng những con số trong số học phải thuận hợp với kiến thức này. Chúng ta không thể bảo đảm rằng đây sẽ là trường hợp theo phương pháp của Peano; tất cả những gì chúng ta có thể làm, nếu chúng ta áp dụng phương pháp của ông, là để nói “chúng ta biết ý của chúng ta khi nói ‘0’ và ‘số’ và ‘tiếp sau’, mặc dù chúng ta không thể giải thích ý của chúng ta bằng những khái niệm đơn giản hơn”. Điều là hoàn toàn hợp lô gích để nói điều này khi chúng ta phải nói thế, và tại một thời điểm nào đó tất cả chúng ta đều phải; nhưng nó là đối tượng của triết học toán học để trì hoãn việc nói nó càng lâu càng tốt. Bằng thuyết lôgích của số học, chúng ta có thể trì hoãn nó trong một thời gian rất dài.

Có thể nêu đề nghị rằng, thay vì đặt “0” và “số” và “tiếp sau” làm những số hạng vốn chúng ta biết ý nghĩa mặc dù chúng ta không thể định nghĩa chúng, chúng ta có thể để chúng đại diện cho bất kỳ ba số hạng nào kiểm nghiệm năm tiên đề của Peano. Sau đó, chúng sẽ thôi không là những số hạng vốn có một nghĩa vốn là xác định dù không được định nghĩa: chúng sẽ là những “biến số”, những số hạng liên quan vốn chúng ta tạo những giả thuyết nhất định, đó là những giả thuyết đã phát biểu trong năm tiên đề, nhưng nếu không,chúng đều không-xác định. Nếu chúng ta áp dụng dự định làm này, những định lý của chúng ta sẽ không được chứng minh gồm một set được xác định chắc chắn của những số hạng gọi là “những số tự nhiên”, nhưng gồm tất cả những set của những số hạng có những thuộc tính nhất định. Một tiến trình như vậy không là tin tưởng sai lầm ; thực sự cho những mục đích nhất định nó làm thành một sự tổng quát hóa có giá trị. Nhưng từ hai quan điểm, nó thất bại để đem cho một cơ sở thỏa đáng cho số học. Đầu tiên, nó không cho chúng ta khả năng để biết liệu có bất kỳ set của những số hạng nào kiểm nghiệm những tiên đề của Peano hay không; nó ngay cả không đưa ra gợi ý mờ nhạt nhất về bất kỳ cách nào để khám phá liệu có những set như vậy hay không. Thứ hai, như đã thấy, chúng ta muốn những con số của chúng ta là giống như có thể dùng để đếm những đối tượng thông thường, và điều này đòi hỏi rằng những con số của chúng ta phải có một nghĩa xác định, chứ không chỉ đơn thuần là chúng sẽ có một số thuộc tính chính thức nhất định. Nghĩa xác định này được định nghĩa bởi thuyết lôgích của số học.

CHƯƠNG II

Định Nghĩa Của Số

Câu hỏi “Số là gì?” là một câu thường hỏi, nhưng chỉ được trả lời chính xác trong thời chúng ta. Trả lời được Frege đem cho vào năm 1884, trong quyển Grundlagen der Arithmetik của ông. [13] Mặc dù quyển sách này khá ngắn, không khó và mang sự quan trọng rất cao vào bậc nhất, nhưng nó hầu như không thu hút được sự chú ý, và định nghĩa của số vốn chứa trong nó, thực ra vẫn chưa được biết đến. cho đến khi nó được tác giả sách này [14] lại đầu tiên tìm ra vào năm 1901.

Trong việc tìm một định nghĩa của số, việc đầu tiên cần phải làm rõ là những gì vốn chúng ta có thể gọi là những qui luật điều tra của chúng ta. Nhiều nhà triết học, khi cố gắng định nghĩa số, thực sự đều bắt đầu làm việc để định nghĩa số nhiều, vốn là một sự việc hoàn toàn khác. Số là những gì đặc thù của những con số, như người là đặc điểm của những người. Một số nhiều không là một trường hợp cá biệt của số, nhưng của một vài số cụ thể. Thí dụ, một bộ ba người là một trường hợp cá biệt của số 3, và số 3 là một trường hợp cá biệt của số; nhưng bộ ba không là một trường hợp cá biệt của số. Điểm này xem có vẻ sơ đẳng và hiếm khi đáng nhắc; thế nhưng nó đã chứng tỏ là quá tế nhị khó thấy đối với những triết gia, trừ một ít ngoại lệ.

Một số cụ thể thì không đồng nhất với bất kỳ sưu tập [15] nào của những số hạng vốn có số đó: số 3 không đồng nhất với bộ ba gồm Giáp, Ất và Bính. Số 3 là một gì đó vốn tất cả những bộ ba đều có chung và nó phân biệt chúng với những sưu tập khác. Một số là một gì đó đặc trưng cho những sưu tập nhất định, đó là những sưu tập có số đó.

Thay vì nói về một “sưu tập”, chúng ta sẽ như một qui luật nói về một “lớp” hay đôi khi một “set”. Những từ khác dùng trong toán học cho cùng một sự vật việc tương tự là “kết tập” và “đa tạp”. Chúng ta sẽ có nhiều để nói sau này, về những lớp. Còn hiện giờ, chúng ta sẽ nói càng ít càng tốt. Nhưng có một vài nhận xét phải nêu ngay lập tức.

Một lớp hay sưu tập có thể được định nghĩa trong hai cách vốn thoạt nhìn xem có vẻ khá khác biệt. Chúng ta có thể liệt kê những phần tử của nó, như khi chúng ta nói, “Sưu tập tôi muốn nói là Giáp, Ất và Bính”. Hay chúng ta có thể nhắc đến đến một thuộc tính xác định, như khi chúng ta nói về “loài người” hay “những người sống ở London”. Định nghĩa vốn liệt kê gọi là một định nghĩa bằng “mở rộng” và định nghĩa nhắc đến đến một thuộc tính xác định gọi là một định nghĩa bằng “nội hàm”[16]. Trong hai loại định nghĩa này, định nghĩa bằng nội hàm thì nèn tảng hơn về mặt lôgích. Điều này được cho thấy bằng hai suy xét: (1) rằng định nghĩa mở rộng có thể luôn luôn được rút gọn thành một định nghĩa nội hàm; (2) rằng một định nghĩa nội hàm thường ngay cả không thể được rút gọn về mặt lý thuyết thành một định nghĩa mở rộng. Mỗi điểm này cần một giải thích.

(1) Giáp, Ất và Bính, tất cả họ đều có được một thuộc tính nhất định vốn không một gì khác có được trong toàn vũ trụ, đó là thuộc tính là con người, hoặc Giáp hoặc Ất hoặc Bính. Thuộc tính này có thể được dùng để cho một định nghĩa bằng nội hàm của lớp gồm Giáp và Ất và Bính. Hãy xem xét một công thức loại như vậy, như “x là Giáp hay x là Ất hay x là Bính”. Công thức này sẽ đúng với chỉ ba x, đó là Giáp và Ất và Bính. Về mặt này, nó giống như một phương trình bậc ba với ba nghiệm số của nó. Nó có thể được xem như việc chỉ định một thuộc tính chung cho những phần tử của lớp gồm ba người này, và đặc biệt với họ. Một cách giải quyết tương tự có thể rõ ràng được áp dụng cho bất kỳ lớp nào khác được đem cho trong mở rộng.

(2) Điều rõ ràng rằng trong thực hành, chúng ta thường có thể biết rất nhiều về một lớp nhưng không có khả năng liệt kê những phần tử của nó. Không một người nào có thể thực sự liệt kê được tất cả những con người, hay ngay cả tất cả những người sống ở London, thế nhưng rất nhiều thì biết được về mỗi một của những lớp này. Điều này đủ để cho thấy rằng định nghĩa bằng mở rộng thì không tất yếu với kiến thức về một lớp. Nhưng khi chúng ta đi đến xem xét những lớp vô hạn, chúng ta thấy rằng việc liệt kê thì không thể làm được ngay cả về mặt lý thuyết, với những con người chỉ sống trong một thời gian hữu hạn. Chúng ta không thể liệt kê tất cả những số tự nhiên: chúng là: 0, 1, 2, 3, v.v. Tại một điểm nào đó, chúng ta phải tự bằng lòng với “và vân vân”. Chúng ta không thể liệt kê tất cả những phân số hay tất cả những số vô tỉ, hay tất cả bất kỳ sưu tập vô hạn nào khác. Do đó, kiến thức của chúng ta về tất cả những sưu tập như vậy chỉ có thể được rút ra từ một định nghĩa bằng nội hàm.

Những nhận xét này có ý nghĩa, khi chúng ta đang tìm định nghĩa của số, trong ba cách khác nhau. Trước hết, những số đếm chúng tạo thành một set vô hạn, và do đó không thể được định nghĩa bằng liệt kê. Thứ hai, những set có một số hạng nhất định, bản thân chúng giả định tạo thành một set vô hạn: lấy thí dụ, có thể giả định rằng có một sưu tập vô hạn của những bộ ba trong thế giới, vì nếu đây không là trường hợp nói đến, con số tổng số của mọi sự vật việc trong thế giới tất sẽ hữu hạn, vốn mặc dù có thể, nhưng dường như khó xảy ra. Tthứ ba, chúng ta muốn định nghĩa “số” trong một cách vốn những số vô hạn có thể là có được; do đó, chúng ta phải có khả năng nói về số của những số hạng trong một sưu tập vô hạn, và một sưu tập như vậy phải được định nghĩa bởi nội hàm, tức là bởi một thuộc tính chung cho tất cả những phần tử của nó và đặc biệt đối với chúng.

Cho nhiều mục đích, một lớp và một đặc tính xác định của nó về thực tế đều có thể hoán đổi cho nhau. Sự khác biệt thiết yếu giữa hai lớp gồm trong sự kiện là chỉ có một lớp có một set nhất định gồm phần tử nhất định, trong khi luôn luôn có nhiều đặc điểm khác nhau qua đó vốn một lớp nhất định có thể được định nghĩa. Người ta có thể được định nghĩa là những động vật đi hai chân không có lông vũ, hay như những động vật có lý trí, hay (đúng hơn) theo những nét vốn Swift mô tả những Yahoos [17]. Đó là sự kiện rằng một đặc tính xác định thì không bao giờ là duy nhất vốn làm cho những lớp trở nên tiện lợi; nếu không, chúng ta có thể hài lòng với những thuộc tính chung và đặc biệt đối với những phần tử của chúng.[18] Bất kỳ một nào trong những thuộc tính này có thể được dùng thay cho lớp hễ khi nào tính duy nhất thì không quan trọng.

Bây giờ quay trở về định nghĩa của số, điều là rõ ràng rằng số là một cách của việc mang lại với nhau những sưu tập nhất định nào đó, đó là những sưu tập vốn có một số đem cho của những số hạng. Chúng ta có thể giả định tất cả những cặp trong một gói, tất cả những bộ ba trong một gói khác, v.v. Trong cách này, chúng ta có được những gói khác nhau của những sưu tập, mỗi gói gồm tất cả những sưu tập có một số nhất định của những số hạng. Mỗi gói là một lớp có những phần tử là những sưu tập, tức là những lớp; thế nên mỗi một là một lớp của những lớp. Thí dụ, gói gồm tất cả những cặp đôi là một lớp của những lớp: mỗi cặp là một lớp có hai phần tử và toàn bộ gói của những cặp là một lớp với một số vô hạn những phần tử, mỗi chúng là một lớp của hai phần tử.

Làm cách nào để chúng ta quyết định xem hai sưu tập có thuộc cùng một nhóm hay không? Trả lời tự nó đưa ra là: “Tìm xem mỗi nhóm có bao nhiêu phần tử và xếp chúng vào cùng một gói, nếu chúng có cùng một số của những phần tử”. Nhưng điều này giả định rằng chúng ta đã có những số xác định, và rằng chúng ta biết cách tìm ra một sưu tập có bao nhiêu số hạng. Chúng ta đã quá quen với phép đếm khiến nỗi một giả địnht như vậy có thể dễ dàng bỏ qua không được chú ý. Tuy nhiên, thực ra, phép đếm, mặc dù quen thuộc, về mặt lôgích là một phép toán rất phức tạp; hơn nữa nó chỉ có sẵn, như một phương tiện của việc tìm xem một sưu tập có bao nhiêu số hạng, khi sưu tập thì hữu hạn. Định nghĩa của chúng ta về số phải không được giả định trước rằng tất cả những số đều hữu hạn; và chúng ta không thể trong bất kỳ trường hợp nào, nếu không có một vòng luẩn quẩn, dùng phép đếm để định nghĩa những số, vì số được dùng trong phép đếm. Do đó, chúng ta cần một vài phương pháp khác để quyết định khi nào hai sưu tập có cùng số của những số hạng.

Thực ra thực ra, về lôgích, để tìm xem liệu hai sưu tập có cùng một số của những số hạng hay không thì đơn giản hơn để định nghĩa số đó là gì. Một minh họa sẽ làm rõ điều này. Nếu không có chế độ đa thê hay đa phu ở bất kỳ đâu trong thế giới, thì rõ ràng là số những người chồng sống ở bất kỳ thời điểm nào cũng sẽ là chính xác giống như số những người vợ. Chúng ta không cần một thống kê dân số để bảo đảm cho chúng ta điều này, cũng như chúng ta không cần biết số những người chồng và những người vợ thực sự là bao nhiêu. Chúng ta biết rằng số lượng phải là như nhau trong cả hai sưu tập, vì mỗi người chồng có một người vợ và mỗi người vợ có một người chồng. Quan hệ của vợ và chồng là những gì gọi là “một-một”.

Một quan hệ được nói là “một-một” khi, nếu x có quan hệ trong vấn đề đến y, không có số hạng x’ nào khác có cùng quan hệ với y, và x không có cùng quan hệ với bất kỳ số hạng y’ nào khác ngoài y. Khi chỉ điều thứ nhất của hai điều kiện này được đáp ứng, quan hệ gọi là “một-nhiều “; khi chỉ điều kiện thứ hai được đáp ứng, nó gọi là “nhiều một”. Cần lưu ý rằng số 1 không được dùng trong những định nghĩa này.

Trong những nước theo đạo Kitô, quan hệ của chồng với vợ là một-một; ở những nước theo đạo Islam, nó là một-nhiều; ở Tibet nó là nhiều-một. Quan hệ của cha với con là một-nhiều ; của con với cha là nhiều-một, nhưng của con trai cả với cha là một-một. Nếu n là một số bất kỳ thì quan hệ của n với n + 1 là một-một; Quan hệ của n với 2n hay 3n cũng vậy. Khi chúng ta xem xét chỉ những số dương, quan hệ của n với 2² là một-một; nhưng khi những số âm được chấp nhận, nó trở thành hai-một, vì n và −n có cùng một bình phương. Những trường hợp này sẽ là đủ để làm rõ những khái niệm của những quan hệ một-một, một-nhiều và nhiều-một, vốn đóng một vai trò lớn trong những nguyên lý của toán học, không chỉ liên quan với định nghĩa của những số, nhưng còn trong nhiều những liên hệ khác.

Hai lớp được nói là “tương đương” [19] khi có một quan hệ một-một, vốn tương quan những số hạng của một lớp mỗi số hạng với một số hạng của lớp kia, trong cùng một cách thức trong đó quan hệ của hôn nhân tương quan những người chồng với những người vợ. Một vài định nghĩa sơ bộ sẽ giúp chúng ta phát biểu định nghĩa này một cách chính xác hơn. Lớp của những số hạng vốn có một quan hệ đem cho với một gì đó hay gì khác gọi là miền của quan hệ đó: thế nên, những người cha là miền của quan hệ giữa cha với con, những người chồng là miền của quan hệ của chồng với vợ, những người vợ là miền của quan hệ của vợ với chồng, và những người chồng và những người vợ với nhau là miền của quan hệ của hôn nhân. Quan hệ của vợ với chồng gọi là nghich đảo của quan hệ của chồng với vợ. Tương tự, ít hơn là ngược lại của lớn hơn, muộn hơn là ngược lại của sớm hơn, v.v. Nói tổng quát, nghịch đảo của một quan hệ đã cho là quan hệ đó vốn giữ giá trị giữa y và x hễ khi nào quan hệ đã cho giữ giá trị giữa x và y. Miền nghịch đảo của một quan hệ là miền của nghịch đảo của nó: thế nên, lớp của những người vợ là miền nghịch đảo của quan hệ của chồng với vợ. Bây giờ chúng ta có thể phát biểu định nghĩa của chúng ta về tính tương đương như sau:

Một lớp được nói là “tương đương” với một lớp kia khi có một quan hệ một-một trong đó một lớp là miền, trong khi lớp kia là miền nghich đảo.

Dễ dàng chứng minh (1) rằng mọi lớp đều tương đương với chính nó, (2) rằng nếu một lớp α tương đương với một lớp β, thì β tương đương với α, (3) rằng nếu α tương đương với β và β với γ, thì α tương đương với γ. Một quan hệ được nói là phản xạ khi nó có được đặc tính đầu tiên trong số những thuộc tính này, đối xứng khi nó có được đặc tính thứ hai và bắc cầu khi nó có được đặc tính thứ ba. Rõ ràng là một quan hệ đối xứng và bắc cầu phải là phản xạ trong toàn bộ miền của nó. Những quan hệ có được những thuộc tính này đều là một loại quan trọng, và đáng lghi chú ý rằng tính tương đương là một của loại của những quan hệ này.

Điều là hiển nhiên với phán đoán thông thường là hai lớp hữu hạn có cùng số của những số hạng nếu chúng tương đương, nhưng không là khác. Hoạt động đếm gồm trong việc thiết lập một tương quan một-một giữa set của những đối tượng đếm được và những số tự nhiên (trừ 0) vốn đã được dùng hết trong tiến trình. Theo đó, phán đoán thông thường kết luận rằng có cùng những đối tượng trong set để được đếm như có những số lên đến số cuối cùng đã dùng trong phép đếm. Và chúng ta cũng biết rằng, cho đến chừng nào chúng ta giới hạn chúng ta trong những số hữu hạn, thì chỉ có n những số từ 1 đến n. Thế nên, dẫn đến rằng số cuối cùng dùng trong việc đếm một sưu tập là số của những số hạng trong sưu tập, miễn là sưu tập thì hữu hạn. Nhưng kết quả này, ngoài việc chỉ có thể áp dụng với những sưu tập hữu hạn, còn tùy thuộc và giả định trên sự kiện rằng hai lớp vốn là tương đương có cùng số của những số hạng; vì những gì chúng ta làm khi chúng ta đếm (hãy nói thí dụ) 10 đối tượng là để cho thấy rằng set của những đối tượng này thì tương đương với set của những số từ 1 đến 10. Khái niệm về tính tương đương được giả định về lôgích trong phép đếm và là đơn giản hơn về lôgích dù ít quen thuộc hơn. Khi đếm, cần phải lấy những đối tượng được đếm trong một thứ tự nhất định, như thứ nhất, thứ nhì, thứ ba, v.v., nhưng thứ tự không là bản chất của số: nó là một cộng thêm vào không liên quan, một sự phức tạp không cần thiết từ quan điểm lôgích. Khái niệm về tương đương không đòi hỏi một thứ tự: thí dụ, chúng ta đã thấy rằng số những người chồng bằng số những người vợ, vốn không cần phải thiết lập một thứ tự ưu tiên giữa chúng. Khái niệm tương đương cũng không đòi hỏi rằng những lớp vốn là tương đương sẽ là hữu hạn. Lấy thí dụ, một mặt là những số tự nhiên (không gồm 0) và mặt khác là những phân số có 1 cho tử số của chúng: rõ ràng là chúng ta có thể tương quan 2 với 1/2, 3 với 1/3, và như vậy, thế nên chứng minh rằng hai lớp là tương đương.

Như thế, chúng ta có thể dùng khái niệm “tương đương” để quyết định khi nào hai sưu tập đều thuộc về cùng một gói, trong nghĩa vốn trong đó chúng ta đã đặt câu hỏi này trước đó trong chương này. Chúng ta muốn tạo một gói chứa lớp vốn không có những phần tử: đây sẽ là cho số 0. Sau đó, chúng ta muốn một gói gồm tất cả những lớp vốn có một phần tử: đây sẽ là số 1. Sau đó, cho số 2, chúng ta muốn một gói gồm tất cả những cặp; sau đó là của tất cả những bộ ba; và tiếp tục như thế. Đem cho bất kỳ sưu tập nào, chúng ta có thể định nghĩa gói nó thuộc về như là lớp của tất cả những sưu tập đó vốn đều “tương đương” với nó. Điều là rất dễ dàng để thấy rằng nếu (thí dụ) một sưu tập có ba phần tử, lớp của tất cả những sưu tập đó vốn tương đương với nó sẽ là lớp của những bộ ba. Và bất kể số của những số hạng một sưu tập có thể có, những sưu tập đó vốn tương đương” với nó sẽ có cùng số của những số hạng. Chúng ta có thể lấy điều này như một định nghĩa của “có cùng một số của những số hạng”. Điều là hiển nhiên rằng nó cho những kết quả thích hợp với cách dùng cho đế chừng nào chúng ta giới hạn chúng ta với những sưu tập hữu hạn.

Cho đến giờ chúng ta đã không đưa ra bất cứ một gì nghịch lý dù trong mức độ không đáng kể nhất. Nhưng khi chúng ta đi đến định nghĩa thực sự của những con số, chúng ta không thể tránh khỏi điều vốn thoạt nhìn có vẻ là một nghịch lý, mặc dù ấn tượng này sẽ sớm mờ nhạt đi. Một cách tự nhiên, chúng ta nghĩ rằng hạng những cặp đôi (lấy thí dụ) là một gì đó khác với số 2. Nhưng không có nghi ngờ gì về lớp của những cặp đôi: nó thì không thể hoài nghi và không khó để định nghĩa, trong khi số 2, theo bất kỳ nghĩa nào khác, là một thực thể siêu hình về nó chúng ta không bao giờ có thể cảm thấy chắc chắn rằng nó tồn tại hay chúng ta đã lần mò tìm ra nó. Thế nên, nên thận trọng hơn để chúng ta tự hài lòng với lớp của những cặp đôi, vốn chúng ta chắc chắn, hơn là săn tìm một số 2 không chắc, mơ hồ luôn luôn lảng tránh, khó nắm bắt. Theo đó, chúng ta thiết lập định nghĩa sau:

Số của một lớp là lớp của tất cả những lớp đó vốn đều tương đương với nó.

Như vậy số của một cặp sẽ là lớp của tất cả những cặp. Thực ra, lớp của tất cả những cặp sẽ là số 2, theo như định nghĩa của chúng ta. Phải chịu một chút kỳ quặc, định nghĩa này bảo đảm tính xác định và không thể nghi ngờ; và nó thì không khó để chứng minh rằng những số được định nghĩa như vậy có tất cả những thuộc tính vốn chúng ta mong đợi những số đều có.

Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục để định nghĩa những số trong tổng quát như một bất kỳ của những gói vào trong bất cứ tương đương nào thu thập những lớp. Một số sẽ là một set của những lớp sao cho lớp bất kỳ hai (set) nào là đều tương đương với lẫn nhau và không một nào bên ngoài set là tương đương với bất kỳ nào bên trong set. Nói cách khác, một số (nói tổng quát) là bất kỳ sựu tập nào vốn là số của một của những phần tử của nó; hoặc, còn đơn giản hơn là:

Một số là bất cứ gì vốn là số của một lớp nào đó.

Định nghĩa như vậy bề ngoài có một vẻ của nói vòng quanh, nhưng thực tế không phải vậy. Chúng ta định nghĩa “số của một lớp nhất định” vốn không dùng khái niệm số trong tổng quát; thế nên, chúng ta có thể định nghĩa số trong tổng quát về mặt “số của một lớp nhất định” không mắc phải bất kỳ lỗi lôgích nào.

Thực ra, những định nghĩa kiểu này rất phổ thông. Lấy thí dụ, lớp của những người cha tất sẽ phải được định nghĩa trước hết bằng việc định nghĩa là cha của một ai đó nghĩa là gì; sau đó lớp của những người cha sẽ là tất cả những người là cha của một ai đó. Tương tự như vậy, nếu chúng ta muốn định nghĩa những số bình phương (hãy nói thí dụ), trước tiên chúng ta phải định nghĩa chúng ta nói rằng một số là bình phương của một số khác là gì, và sau đó định nghĩa những số bình phương như những số vốn là những bình phương của những số khác. Loại thủ tục này rất phổ thông, và là điều quan trọng để nhận ra rằng nó là hợp lôgích và ngay cả thường là cần thiết. [20]

Bây giờ, chúng ta đã cho một định nghĩa của những những số vốn chúng sẽ dùng cho những sưu tập hữu hạn. Vẫn còn để xem nó sẽ dùng thế nào cho những sưu tập vô hạn. Nhưng trước hết chúng ta phải quyết định xem chúng ta nói “hữu hạn” và “vô hạn” có nghĩa là gì, điều, này vốn không thể làm được trong giới hạn của chương này.

CHƯƠNG III:

Hữu hạn Và Quy nạp Toán học

Chuỗi của những số tự nhiên, như chúng ta đã thấy trong Chương I, có thể tất cả được định nghĩa nếu chúng ta biết qua ba số hạng “0”, “số” và “tiếp sau” chúng ta muốn nói với nghĩa gì. Nhưng chúng ta có thể đi một bước xa hơn: chúng ta có thể định nghĩa tất cả những số tự nhiên nếu chúng ta biết qua “0” và “tiếp sau” chúng ta muốn nói với nghĩa gì. Nó sẽ giúp chúng ta để hiểu sự khác biệt giữa hữu hạn và vô hạn để xem điều này có thể được thực hiện như thế nào, và tại sao phương pháp qua đó nó đã thực hiện không thể được kéo dài quá sự hữu hạn. Chúng ta vẫn chưa suy nghĩ “0” và “tiếp sau” sẽ được định nghĩa thế nào: tạm trong lúc này, chúng ta sẽ giả định rằng chúng ta biết những số hạng này nghĩa là gì và từ đó cho thấy có thể thu nhận được tất cả những số tự nhiên khác như thế nào..

Điều là dễ dàng để thấy rằng chúng ta có thể đạt đến được bất kỳ con số được ấn định nào, lấy thí dụ như 30.000. Đầu tiên chúng ta định nghĩa “1” là “tiếp sau của 0”, sau đó chúng ta định nghĩa “2” là “tiếp sau của 1”, và tiếp tuc như thế. Trong trường hợp một con số được chỉ định, lấy thí dụ như 30.000, minh minh rằng chúng ta có thể đạt đến nó bằng tiến hành dần từng bước một theo kiểu này, nếu chúng ta có kiên nhẫn, bằng thực sự thí nghiệm: chúng ta có thể tiếp tục đến khi chúng ta thực sự đi đến 30.000. Nhưng mặc dù phương pháp của thực nghiệm thì sẵn sàng để dùng cho mỗi số tự nhiên cụ thể, nó thì không sẵn sàng để dùng cho việc chứng minh mệnh đề tổng quát rằng tất cả những số loại như vậy đều có thể đạt đến được theo cách này, tức là bằng cách đi tới từ 0 từng bước một, từ mỗi số đến tiếp sau của nó. Có bất kỳ cách nào khác qua đó điều này có thể được chứng minh không?

Chúng ta hãy suy nghĩ câu hỏi theo cách khác ngược lại. Những con số có thể đạt được, đem cho những số hạng “0” và “tiếp sau” là những con số gì? Có bất kỳ cách nào qua đó chúng ta có thể định nghĩa lớp toàn bộ của những số loại như vậy không? Chúng ta đạt đến 1, như tiếp sau của 0; 2, như tiếp sau của 1; 3, như tiếp sau của 2; và như vậy. Đó là “và tương tự như vậy” này vốn chúng ta muốn thay thế bằng một gì đó ít mơ hồ hơn và không-bất định hơn. Chúng ta có thể bị lôi cuốn để nói rằng “và tương tự như vậy” có nghĩa rằng tiến trình của việc tiến tới đến số tiếp sau có thể được lập lại bất kỳ số lần hữu hạn nào; nhưng vấn đề trên đó chúng ta can dự vào là vấn đề của việc đinh nghĩa “số hữu hạn”, và do đó chúng ta phải không dùng khái niệm này trong định nghĩa của chúng ta. Định nghĩa của chúng ta phải không giả định rằng chúng ta biết một số hữu hạn là gì.

Chìa khóa cho vấn đề của chúng ta nằm trong phép quy nạp toán học. Chúng ta sẽ nhớ rằng, trong Chương I, đây là mệnh đề thứ năm trong số năm mệnh đề nguyên thủy vốn chúng ta đã đặt định về những số tự nhiên. Nó phát biểu rằng bất kỳ thuộc tính nào vốn thuộc về 0 và với tiếp sau của bất kỳ số nào vốn có thuộc tính, thuộc về tất cả những số tự nhiên. Điều này khi đó đã trình bày như một nguyên lý, nhưng bây giờ chúng ta sẽ chấp nhận nó như một định nghĩa. Không khó để thấy rằng những số hạng tuân theo nó đều cùng là những số số vốn có thể đạt được từ 0 bằng những bước liên tiếp, từ tiếp theo đến tiếp theo, nhưng vì điểm đang nói đây thì quan trọng, chúng ta sẽ bắt đầu trình bày vấn đề trong một vài chi tiết. [21]

Chúng ta sẽ có thành quả để bắt đầu với một vài định nghĩa, vốn cũng sẽ ích lợi trong những kết nối khác nữa.

Một thuộc tính được nói là “di truyền” trong chuỗi số tự nhiên nếu, hễ khi nào nó thuộc về một số n, nó cũng thuộc về n + 1, tiếp sau của n. Tương tự, một lớp được nói là “di truyền” nếu, hễ khi nào n là một phần tử của lớp, thì n + 1 cũng vậy. Có thể dễ dàng để thấy, mặc dù chúng ta còn chưa giả định để biết, rằng để nói một thuộc tính là di truyền thì tương đương với việc nói rằng nó thuộc về tất cả những số tự nhiên không ít hơn một số nào của chúng, thí dụ, nó phải thuộc về tất cả vốn đều không ít hơn 100, hay tất cả vốn đều không ít hơn 1000, hay điều có thể là rằng nó thuộc về tất cả vốn đều không ít hơn 0, tức là với tất cả không ngoại lệ.

Một thuộc tính được nói là “quy nạp” [22] khi nó là thuộc tính di truyền vốn thuộc về 0. Tương tự, một lớp thì “quy nạp” khi nó là một lớp di truyền trong đó 0 là một phần tử.

Cho một lớp di truyền trong đó 0 là một phần tử, dẫn đến kết quả rằng 1 là một phần tử của nó, vì một lớp di truyền chứa những tiếp sau của những phần tử của nó, và 1 là tiếp sau của 0. Tương tự, cho một lớp di truyền trong đó 1 là một phần tử, dẫn đến kết quả rằng 2 là một phần tử của nó; và tiếp tục như thế. Như thế, chúng ta có thể chứng minh bằng một quy trình từng bước một rằng bất kỳ số tự nhiên nào được đem cho, lấy thí dụ 30.000, đều là một phần tử của mọi lớp quy nạp.

Chúng ta sẽ định nghĩa “hậu duệ” [23] của một số tự nhiên cho sẵn đối với quan hệ “tiếp trước trực tiếp” (vốn là ngược lại của “tiếp sau”) như tất cả những số hạng đó vốn thuộc về mọi lớp di truyền vốn số cho sẵn thuộc về nó. Một lần nữa dễ dàng thấy rằng hậu duệ của một số tự nhiên gồm chính nó và tất cả những số tự nhiên lớn hơn; nhưng điều này chúng ta cũng chưa chính thức biết.

Theo những định nghĩa trên, hậu duệ của 0 sẽ gồm những số hạng đó vốn thuộc về mọi lớp quy nạp.

Bây giờ thì không khó để làm điều là hiển nhiên rằng hậu duệ của 0 là cùng một set như những số hạng đó vốn có thể đạt được từ 0 bằng những bước tiếp nối từ tiếp theo đến tiếp theo. Vì, ngay từ đầu, 0 thuộc về cả hai set này (theo nghĩa trong đó chúng ta đã định nghĩa những số hạng của chúng ta); thứ hai, nếu n thuộc về cả hai set, thì n + 1 cũng vậy. Điều có thể quan sát được rằng ở đây chúng ta đang giải quyết với một loại vấn đề vốn không thừa nhận của chứng minh chính xác, đó là sự so sánh giữa một ý tưởng tương đối mơ hồ với một ý tưởng tương đối chính xác. Khái niệm “những số hạng có thể đạt được từ 0 bằng những bước liên tiếp từ tiếp theo đến tiếp theo” thì mơ hồ, mặc dù nó có vẻ như truyền đạt một nghĩa xác định; mặt khác, “hậu duệ của 0” thì chính xác và rõ ràng đúng ở chỗ ý tưởng kia thì lờ mờ. Nó có thể được nhận như việc đem cho những gì là ý của chúng ta khi chúng ta đã nói về những số hạng vốn có thể đạt được từ 0 bằng những bước liên tiếp.

Bây giờ chúng ta xây dựng định nghĩa sau: −

“Những số tự nhiên” là hậu duệ của 0 đối với quan hệ “tiếp trước trực tiếp” (là nghịch đảo của “tiếp sau”).

Như thế, chúng ta đã đi đến một định nghĩa của một trong ba ý tưởng nguyên thủy của Peano về mặt hai ý tưởng kia. Như một kết quả của định nghĩa này, hai trong ba mệnh đề nguyên thủy của ông – cụ thể là, mệnh đề khẳng định rằng 0 là một số và mệnh đề khẳng định quy nạp toán học – trở nên không cần thiết, vì chúng là kết quả của định nghĩa. Mệnh đề khẳng định rằng tiếp sau của một số tự nhiên là một số tự nhiên chỉ cần trong dạng suy yếu “mọi số tự nhiên có một số tiếp sau”.

Dĩ nhiên, chúng ta có thể dễ dàng định nhĩa “0” và “tiếp sau” bằng phương tiện của định nghĩa của số trong tổng quát vốn chúng ta đã đi đến trong Chương II. Số 0 là số của những số hạng trong một lớp vốn không có phần tử, tức là trong lớp gọi là “lớp-rỗng”[24]. Theo định nghĩa tổng quát về số, số của những số hạng trong lớp-rỗng là set của tất cả những lớp tương đương với lớp-rỗng, tức là (như dễ dàng chứng minh) set gồm chỉ lớp-rỗng, tức là lớp có phần tử duy nhất của nó là lớp-rỗng. (Điều này không đồng nhất với lớp-rỗng: nó có một phần tử, cụ thể là, lớp-rỗng, trong khi bản thân lớp-rỗng thì không có phần tử nào. Một lớp có một phần tử thì không bao giờ đồng nhất với một phần tử đó, như chúng ta sẽ làm giải thích khi chúng ta đến với lý thuyết về những lớp). Thế nên, chúng ta có định nghĩa thuần túy lôgích sau đây: −

0 là lớp vốn có phần tử duy nhất là lớp-trống

Điều vẫn còn là để định nghĩa “tiếp sau”. Cho số n bất kỳ, gọi α là một lớp có n phần tử, và gọi x là một số hạng vốn không là một phần tử của α. Khi đó lớp gồm α với x cộng thêm vào sẽ có n + 1 phần tử. Thế nên chúng ta có định nghĩa sau: −

Số tiếp sau của con số của những số hạng trong lớp α là số của những số hạng trong lớp gồm α cùng với x, trong đó x là số hạng bất kỳ không thuộc vào lớp.

Đòi hỏi vài chi ly tinh tế nhất định nào đó để làm định nghĩa này toàn hảo, nhưng chúng không cần làm chúng ta bận tâm.[25] Điều sẽ được nhớ rằng chúng ta đã cho rồi (trong Chương II). một định nghĩa lôgích của con số của những số hạng trong một lớp, đó là, chúng ta đã định nghĩa nó như set của tất cả những lớp vốn tương đương với lớp đã cho.

Như thế, chúng ta đã thu giảm ba ý tưởng nguyên thủy của Peano thành những ý tưởng lôgích: chúng ta đã đem cho những định nghĩa của chúng vốn làm chúng xác định, không còn khả năng của một vô hạn của những nghĩa khác nhau, như chúng đã là khi chúng chỉ được định rõ đến mức độ của việc tuân theo năm tiên đề của Peano. Chúng ta đã loại bỏ chúng khỏi bộ máy nền tảng của những số hạng vốn phải chỉ đơn thuần được hiểu, và thế nên đã tăng lên khả năng mạch lạc diễn dịch của toán học.

Về phần năm mệnh đề nguyên thủy, chúng ta đã thành công rồi trong việc làm cho hai trong số chúng có thể chứng minh được bằng định nghĩa của chúng ta về “số tự nhiên”. Làm thế nào hợp nhất nó với ba mệnh đề còn lại? Rất dễ dàng để chứng minh rằng 0 không là tiếp sau của bất kỳ số nào và tiếp sau của bất kỳ số nào cũng là một số. Nhưng có một khó khăn về mệnh đề nguyên thủy còn lại, đó là, “không có hai số nào có cùng số tiếp sau”. Khó khăn không nảy sinh trừ khi số tổng số của những cá thể trong vũ trụ thì hữu hạn; đối với hai số m và n đã cho, không phải số nào trong chúng là số tổng số của những cá thể trong vũ trụ, dễ dàng chứng minh rằng chúng ta không thể có m + 1 = n + 1 trừ khi chúng ta có m = n. Nhưng chúng ta hãy giả định rằng số tổng số của những cá thể trong vũ trụ (hãy nói thí dụ) là 10; khi đó sẽ không có lớp của 11 cá thể, và số 11 sẽ là lớp-không. Cũng như vậy sẽ là số 12. Thế nên chúng ta sẽ có 11 = 12; do đó số tiếp sau của 10 sẽ cũng giống như số tiếp sau của 11, mặc dù 10 sẽ không giống như 11. Thế nên chúng ta sẽ có hai số khác nhau với cùng một số tiếp sau. Tuy nhiên, sự thất bại của tiên đề thứ ba này không thể nảy sinh, nếu số lượng cá thể trong thế giới không là hữu hạn. Chúng ta sẽ quay lại đề tài này ở giai đoạn sau.[26]

Giả định rằng số của những cá thể trong vũ trụ thì không hữu hạn, chúng ta bây giờ đã thành công không chỉ trong việc định nghĩa ba ý tưởng nguyên thủy của Peano, nhưng còn trong việc tìm cách chứng minh năm mệnh đề nguyên thủy của ông, bằng phương tiện của những ý tưởng nguyên thủy và những mệnh đề thuộc lôgích học. Nó dẫn đến kết quả rằng, tất cả toán học thuần túy, cho đến mức như nó có thể diễn dịch được từ lý thuyết của những số tự nhiên, chỉ là một sự kéo dài của lôgích học. Sự mở rộng của kết quả này đến những nhánh thời nay đó của toán học không thể diễn dịch được từ lý thuyết về những số tự nhiên không đem cho khó khăn về nguyên tắc, như chúng ta đã cho thấy ở chỗ khác.[27]

Tiến trình của quy nạp toán học, bằng những phương tiện qua đó chúng ta định nghĩa những số tự nhiên, thì có khả năng của tổng quát hóa. Chúng ta đã định nghĩa những số tự nhiên như “hậu duệ” của 0 đối với sự quan hệ của một số với số tiếp sau trực tiếp của nó. Nếu chúng ta gọi quan hệ này là N thì bất kỳ số m nào cũng có quan hệ này với m + 1. Một thuộc tính là “di truyền đối với N”, hay đơn giản là “N−di truyền”, nếu hễ khi nào thuộc tính đó thuộc về số m, thì nó cũng thuộc m + 1, tức là với số với nó vốn m có quan hệ N. Và một số n sẽ nói là thuộc về “hậu duệ” của m đối với quan hệ N nếu n có mọi thuộc tính N−di truyền thuộc về m. Tất cả những định nghĩa này đều có thể được áp dụng cho bất kỳ quan hệ nào khác cũng đúng như đối với N. Vì vậy, nếu R là bất kỳ quan hệ nào, chúng ta có thể đưa ra những định nghĩa sau: [28] —

Một thuộc tính gọi là “R−di truyền” khi, nếu nó thuộc về một số hạng x, và x có quan hệ R với y, thì nó thuộc về y.

Một lớp là R−di truyền khi thuộc tính định nghĩa của nó là R−di truyền.

Một số hạng x được nói là “R−tổ tiên” của số hạng y nếu y có mọi thuộc tính R−di truyền vốn x có, miễn là x là một số hạng vốn có quan hệ R với một gì hay với một gì có quan hệ R. (Điều này chỉ để loại trừ những trường hợp không quan trọng).

“R−Hậu duệ” của x là tất cả những số hạng vốn x là tổ tiên của R.

Chúng ta đã cấu trúc những định nghĩa trên để nếu một số hạng là tổ tiên của bất kỳ gì thì nó là tổ tiên của chính nó và thuộc về hậu duệ của chính nó. Đây chỉ đơn thuần cho sự thuận tiện.

Điều sẽ được quan sát rằng nếu chúng ta lấy cho R quan hệ “cha mẹ”, “tổ tiên” và “hậu duệ” sẽ có những ý nghĩa thông thường, ngoại trừ rằng một cá nhân sẽ được gồm trong tổ tiên và hậu duệ của chính mình. Đó là dĩ nhiên, hiển nhiên ngay lập tức rằng”tổ tiên” phải có khả năng của định nghĩa về mặt “cha mẹ”, nhưng cho đến khi Frege đã phát triển lý thuyết tổng quát về quy nạp của ông, không ai đã có thể định nghĩa chính xác “tổ tiên” về mặt “cha mẹ”. Một xem xét ngắn gọn về điểm này sẽ dùng để cho thấy sự quan trọng của lý thuyế nàyt. Một người lần đầu tiên đối mặt với vấn đề xác định “tổ tiên” về mặt “cha mẹ” sẽ tự nhiên nói rằng A là một tổ tiên của Z nếu, giữa A và Z, có một số người nào đó nhất định, B, C, …, Trong đó B là con của A, mỗi người là cha của người tiếp theo, cho đến người cuối cùng, ai là cha của Z. Nhưng định nghĩa này không đầy đủ trừ khi chúng ta thêm rằng số lượng những số hạng trung gian là hữu hạn. Lấy thí dụ, một chuỗi như sau: −

−1, −1/2, −1/4, −1/8, … 1/8, 1/4, 1/2, 1.

Ở đây, chúng ta có trước tiên một chuỗi của những phân số âm với không có kết thức, và sau đó là một chuỗi của những phân số dương không có bắt đầu. Chúng ta có sẽ nói rằng, trong chuỗi này, −1/8 là tổ tiên của 1/8 không? Nó sẽ là như vậy theo định nghĩa của người mới bắt đầu được nêu lên ở trên, nhưng sẽ không là như vậy theo như bất kỳ định nghĩa nào vốn sẽ đem cho loại ý tưởng vốn chúng ta muốn định nghĩa. Vì mục đích này, điều là thiết yếu rằng số của nhữngg trung gian phải là hữu hạn. Nhưng, như chúng ta đã thấy, “hữu hạn” thì được định nghĩa bằng phương tiện của quy nạp toán học, và để định nghĩa quan hệ tổ tiên một lần tổng quát sẽ đơn giản hơn là định nghĩa nó trước tiên chỉ đối với trường hợp quan hệ của n với n + 1, và sau đó mở rộng nó sang những trường hợp khác. Ở đây, cũng bất biến như ở những nơi khác, tính tổng quát từ đầu tiên, mặc dù nó có thể đòi nhiều suy nghĩ hơn lúc bắt đầu, về lâu dài sẽ thấy để tiết kiệm hóa tư tưởng và để tăng khả năng lôgích.

Trước đây, việc dùng quy nạp toán học trong những chứng minh đã là một gì đó của một sự bí ẩn. Dường như đã không có nghi ngờ lôgích rằng nó đã là một phương pháp chứng minh hợp lệ, nhưng không ai hoàn toàn biết tại sao nó lại hợp lệ. Một số người tin rằng nó thực sự là một trường hợp của phép quy nạp, theo nghĩa vốn từ đó được dùng trong lôgích học. Poincaré [29] coi đó là một nguyên tắc quan trọng tột bực, bằng phương tiện của nó, một số vô hạn của những tam đoạn luận có thể được cô đọng vào trong một luận chứng. Bây giờ chúng ta biết rằng tất cả những quan điểm như vậy là sai lầm, và quy nạp toán học là một định nghĩa, không là một nguyên lý. Có một số nhất định nào đó vốn nó có thể áp dụng được, và có những số khác (như chúng ta sẽ thấy trong Chương VIII). vốn nó không thể áp dụng được. Chúng ta định nghĩa “những số tự nhiên” như những số với chúng những chứng minh bằng quy nạp toán học, có thể áp dụng được, tức là như những số vốn có được tất cả những thuộc tính quy nạp. Dẫn đến hệ quả rằng những chứng minh như vậy có thể áp dụng được cho những số tự nhiên, không dựa trên một gì đặc biệt của bất kỳ trực giác, hay tiên đề, hay nguyên tắc bí ẩn nào, nhưng như một mệnh đề thuần túy bằng lời nói. Nếu “có bốn chân” được định nghĩa như những động vật có bốn chân, dẫn đến rằng những động vật vốn có bốn chân sẽ là những động vật có bốn chân; và trường hợp của những con số vốn tuân theo quy nạp toán học thì tương tự đúng như thế..

Chúng ta sẽ dùng cụm từ “những số quy nạp” với nghĩa là cùng một set như chúng ta cho đến giờ đã nói về chúng như “những số tự nhiên”. Cụm từ “những số quy nạp” thì được chộng hơn vì cho một nhắc nhở rằng định nghĩa của set này của những số đã có được từ quy nạp toán học.

Hơn bất cứ gì khác, quy nạp toán học đem cho đặc tính thiết yếu qua đó hữu hạn được phân biệt với vô hạn. Nguyên tắc của quy nạp toán học có thể được phát biểu phổ thông trong một số dạng giống như “những gì có thể được suy ra từ tiếp theo đến tiếp theo, có thể được suy ra từ đầu tiên đến cuối cùng”. Điều này thì đúng khi con số của những bước trung gian giữa đầu tiên và cuối cùng là hữu hạn, nhưng không đúng khi ngược lại. Bất cứ ai đã từng theo dõi một đoàn tàu chở hàng bắt đầu chuyển động sẽ nhận thấy xung lực được truyền đi như thế nào với một cú giật từ mỗi toa xe này sang toa xe tiếp sau, cho đến cuối cùng ngay cả toa xe sau cùng cũng chuyển động. Khi toa tàu rất dài, thì rất lâu toa xe cuối cùng mới chuyển động. Nếu đoàn tàu dài vô hạn, sẽ là có một vô hạn những số lần giật liên tiếp, và sẽ không bao giờ đi đến thời gian cả đoàn tàu chuyển động. Tuy nhiên, nếu có một chuỗi của những toa xe không dài hơn chuỗi của những số quy nạp (như chúng ta sẽ thấy, là một thí dụ về một trường hợp của nhỏ nhất của những vô hạn), sớm hay muộn mọi toa tàu sẽ bắt đầu chuyển động nếu động cơ vẫn hoạt động. Mặc dù luôn luôn sẽ có những toa tàu khác ở xa hơn tít cùng đằng sau vốn vẫn chưa bắt đầu chuyển động. Hình ảnh này sẽ giúp để làm sáng tỏ lập luận từ tiếp theo đến tiếp theo và liên hệ của nó với tính hữu hạn. Khi chúng ta đi đến những số vô hạn, ở đó những lập luận từ quy nạp toán học sẽ thôi không còn hợp lệ nữa, thì những thuộc tính của những số đó sẽ giúp làm rõ hơn, bằng sự tương phản, việc dùng gần như vô thức được tạo ra từ quy nạp toán học ở chỗ gồm những số hữu hạn.

Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Aug/2021)

(Còn tiếp... →)

http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com

[1] Bertrand Russell. Introduction to Mathematical Philosophy. Originally published by George Allen & Unwin, Ltd., London. May 1919.

(https://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf)

Những chú thích trong ngoặc vuông [ .. ] từ nguyên bản

Những chú thích khác là của người dịch bản tiếng Việt (LDB)

[2] Euclid of Alexandria – Eukleides (nổi tiếng khoảng 300 TCN, Alexandria, Egypt),

[3] Principia Mathematica [Cambridge University Press, vol. i., 1910; vol. ii., 1912; vol. iii., 1913. By Whitehead and Russell.]

[4] Pythagoras: (khoảng 570–490 TCN)

[5] incommensurables

[6] Arithmetization: Một phương pháp được sử dụng trong logic toán học để thay thế suy luận về những biểu thức của một số ngôn ngữ logic-toán bằng suy luận về số tự nhiên. Phương pháp số học hóa đầu tiên được K. Gödel xây dựng để chứng minh tính không-đầy đủ của số học hình thức (Định lý Bất toàn Gödel)

(a)

Một quan điểm triết học toán học, Logicism chủ trương rằng toán học có thể rút gọn thành những nguyên lý thuần túy lôgích. Những nhà toán học thế kỷ XX, trong quan điểm đó (gồm Frege, Peano, Whitehead và Russell) đi đến tìm một nền tảng vững chắc cho toán học trong chính lôgích học (logic-toán). Đặt định một set gồm những mệnh đề toán học cơ bản, những tiên đề, (hay định đề như trong hệ thống hình học Euclide) vốn đều nhất quán – trước sau không bao giờ dẫn đến những mâu thuẫn – và tự hoàn chỉnh; sau đó dùng chúng như những khối xây dựng nền tảng (như những viên gạch lego) cho tất cả những chân lý toán học (tiểu biểu cho tham vọng này là chương trình của David Hilbert, đưa ra năm 1920)

Từ thế kỷ XVII, Gottfried Leibniz đã giả định về một bộ máy có thể đọc bất kỳ mệnh đề toán học nào như input và xác định xem mệnh đề này là đúng hay sai, dựa chỉ trên những tiên đề/định đề đem cho của Toán học. Nhưng có phải mọi mệnh đề toán học (những định lý) đều có thế quyết định được như vậy không? Hay có những giới hạn nào đó với những gì chúng ta có thể biết? Câu hỏi này gọi là Entscheidungsproblem (vấn đề quyết định).

Hai thế kỷ sau, một nhà toán học người Germany khác, David Hilbert, đã tuyên bố lạc quan, rằng để trả lời cho Entscheidungsproblem phải là, Có, chúng ta có thể và sẽ biết câu trả lời cho bất kỳ câu hỏi toán học nào. Trong một diễn văn năm 1930 ở Königsberg, ông nổi tiếng đã nói: “Wir müssen wissen – wir werden wissen. (“Chúng ta phải biết – chúng ta sẽ biết”.)”

Năm 1931, Kurt Gödel (1906-1978) đưa ra tính không hoàn chỉnh nội tại của một hệ thống toán học. Hai định lý bất toàn của Gödel là hai định lý logich toán học liên quan đến những giới hạn của khả năng chứng minh trong những lý thuyết tiên đề/ định đề hình thức (axiomatic theories). Sáng kiến của Gödel là ánh xạ những phát biểu về một hệ thống gồm những tiên đề thành những phát biểu trong hệ thống – tức là vào thành những phát biểu về những con số. Ánh xạ này cho phép một hệ thống tiên đề nói thuận hợp lô gích về chính nó. Bước đầu tiên trong tiến trình này là ánh xạ bất kỳ phát biểu toán học nào có thể có, hoặc chuỗi những phát biểu thành một con số duy nhất gọi là “số Gödel”. Ánh xạ hoạt động vì không có hai công thức nào có cùng số Gödel. Số Gödel là số nguyên và những số nguyên chỉ tính thành số nguyên tố theo một cách duy nhất. Sau đó Gödel đã tiến thêm một bước nữa. Một chứng minh toán học bao gồm một chuỗi những công thức. Vì vậy, Gödel cũng cho mỗi dãy công thức là một số Gödel duy nhất. Lợi ích thực sự là ngay cả những phát biểu về công thức số học, được gọi là những phát biểu meta-toán học (metamathematical statements, những phát biểu toán học về chính những mệnh đề toán học), cũng có thể được chuyển thành những công thức với những số Gödel của riêng chúng. Bởi chúng ta có thể tạo ra số Gödel cho tất cả những công thức, ngay cả những công thức sai, chúng ta có thể nói một cách hợp lôgích về những công thức này bằng cách nói về những số Gödel của chúng. Như thế, bằng sự số học hóa toán học (những phát biểu toán học những những chuỗi số, tương tự như chính những dòng chữ này thành những chuỗi số theo code ASCII, hay EBCDIC), Gödel đã đưa ra hai định lý nổi tiếng trong logic toán học.

Định lý về tính không đầy đủ (bất toàn) đầu tiên nói rằng không có hệ thống suy luận hiệu quả nào cho toán học đủ mạnh để chứng minh một số dữ kiện cơ bản về những số tự nhiên có thể là đầy đủ; nói cách khác, giả định hệ thống thì nhất quán, sẽ có những phát biểu không thể chứng minh được cũng như không thể bác bỏ được trong hệ thống. Định lý bất toàn thứ hai cho thấy rằng không có hệ thống nào như vậy có thể chứng minh tính nhất quán của nó riêng; Hơn nữa, không thể chứng minh tính nhất quán của một hệ thống axiom dùng bất kỳ subset nào gồm những mệnh đề lôgich của nó. Định lý bất toàn thứ hai đã giết chết chương trình tìm kiếm một hệ thống toán học hoàn chỉnh và nhất quán, phá vỡ giấc mơ của Hilbert.

Những định lý bất toàn của Gödel, trước hết trong toán học (và triết học toán học cùng những khoa học khác) có nghĩa là không thể có một lý thuyết toán học về tất cả mọi sự vật việc ( a theory of everything) , không có sự thống nhất về những gì có thể chứng minh được và những gì là sự thực. Những gì những nhà toán học có thể chứng minh tùy thuộc trên những giả định ban đầu của họ, không tùy thuộc trên bất kỳ chân lý nền tảng cơ bản nào (nếu có) vốn giả định từ đó tất cả những câu trả lời đều xuất hiện.

(b)

Sau Gödel, những nhà toán học đã vấp phải những loại câu hỏi không thể trả lời được vốn những định lý của ông đã như báo trước. Ví dụ, chính Gödel đã giúp thiết lập rằng giả thuyết liên tục (the continuum hypothesis), liên quan đến kích thước của vô cực, là không thể quyết định được. Trong khoa học máy tính cũng gặp phải vấn đề dừng lại (the halting problem) vốn đặt ra câu hỏi liệu một program máy tính với input ngẫu nhiên sẽ chạy mãi mãi (loop) hay cuối cùng sẽ dừng lại, và vấn đề P và NP . Những câu hỏi loại này đã được Alan Turing (1912-1954) đưa ra, khi ông diễn dịch định lý Gödel trong dạng một algorithm cho máy Turing giả định của ông. Một máy Turing nhận input một chuỗi những bit, từng bit một ( 0 và 1) Turing cho thấy rằng sẽ có một số algorithm input nào đó không thể giải quyết được, không thể nào biết trước được rằng mô hình của ông (máy cômputơ ngày nay) có thể hoàn tất những tính toán trong algorithm input, trong một lượng thời gian hữu hạn hay không, và cũng không có một kiểm nghiệm tổng quát nào có thể cho chúng ta biết một algorihm nhất đinh sau cùng sẽ dẫn đến một quyết định hay không. Loại vấn đề không thể quyết định này thậm chí còn nảy sinh trong vật lý quantum. Tất cả cho thấy tính không hoàn chỉnh của Gödel không chỉ ảnh hưởng trong toán học, nhưng – theo một cách khó hiểu nào đó – cả thực tại.

(c)

Thế nên đã có những đi xa, và có lẽ đi lạc, đưa những định lý Gödel sang tôn giáo, cụ thể là gót học Kitô, hiển nhiên đây là một liều lĩnh và lạm dụng. Liều lĩnh vì đã ra ngoài lĩnh vực toán học/khoa học, vốn là khung tư tưởng suy luận trong đó Gödel đã xây dựng định lý toán học của ông. Lạm dụng vì khi đưa ra những tuyên bố – chúng sẽ là kết luận đến từ chỉ sự liều lĩnh này. Và những tuyên bố tương ứng đều có dạng của loại ngụy biệm lạm dụng thẩm quyền (ad verecundiam), loại ngụy biện gọi đến uy tín nổi tiếng, ở đây là của Gödel, để biện hộ và tìm sự chấp nhận cho một quan điểm tôn giáo.

Chính Gödel cũng có một lập trường tôn giáo riêng, nhưng chỉ lúc gần qua đời vào năm 1978, ông mới công bố, một lý thuyết dằn vặt như ông thường bị ám ảnh bới một hứa hẹn về một gì đó không thể đạt được. Chi tiết toán học liên quan đến chứng minh bản thể luận của Gödel phức tạp, nhưng trong cô đọng, Gödel đã lập luận qua những mệnh đề modal logic (về sự thực tất yếu và sự thực không chắc) – (trong hình thức của 3 định nghĩa + 6 tiên đề + 3 định lý và 1 hệ luận (theo Dana Scott) – rằng Gót hiện hữu là một sự thực tất yếu . Lập luận này không phải là một lập luận mới. Trong nhiều thế kỷ, nhiều người đã cố gắng dùng kiểu lý luận trừu tượng này để chứng minh sự khả hữu/là-có hay tất yếu/ phải-có của sự hiện hữu/tồn tại/là-có của Gót. Lập luận của Gödel thực sự là dạng toán học của luận chứng siêu hình về bản thể học của Anselm vốn đã có trong gót học Kitô từ thế kỷ XII.

Một gì có thể tiếp nhận trực tiếp từ Gödel là một hệ thống tư tưởng nếu khép kín nào cũng bất toàn, trước sau sẽ không thể trả lời được mọi câu hỏi nêu lên từ bên trong nó, chỉ dựa trên chính nó. Ông đã chứng minh trong Toán Lôgich, sau đó những nhà khoa hoc khác lần lượt gặp tính bất toàn này trong những khoa học liên hệ khác, như khoa học máy tính. Chúng ta cũng có thể đưa Gödel sang lĩnh vực tôn giáo theo chiều hướng này, khi đó chúng ta có thể nhìn, thí dụ, đạo Kitô như một hệ thống tư tưởng tôn giáo khép kín với những tiên đề tín ngưỡng gót học Kitô. Như thế, tôn giáo, điển hình là tôn giáo này, chính là một hệ thống tiêu biểu của Gödel, và như thế giải thích được sự thất bại của tôn giáo này trước những câu hỏi cơ bản của thế giới con người, vì những người theo nó chỉ tin biết những gì từ bên trong nó.

[7] Giuseppe Peano (1858-1932): là Giáo sư Toán tại Đại học Turin. Italy. Năm 1889, Peano xuất bản những tiên đề nổi tiếng của ông, gọi là những Định đề Peano, định nghĩa những số tự nhiên (set N), trong một tập sách nhỏ bằng Latin, Arithmetices Principia, nova methodo exposita.

[8] successor: tiếp sau

[9] [Chúng ta sẽ dùng “số” theo nghĩa này trong chương này. Sau đó từ này sẽ được dùng theo nghĩa tổng quát hơn.]

[10] mathematical induction: Khẳng định A (x), phụ thuộc vào số tự nhiên x, được coi là đã được chứng minh nếu A (1) đã được chứng minh và nếu với bất kỳ số tự nhiên n nào, giả thiết rằng A (n) là đúng nghĩa là A (n + 1) cũng đúng.

[11] Gottlob Frege (1848—1925): Nhà toán học, nhà lôgic học và triết gia người Germany, đã sáng lập logic toán học hiện đại. Làm việc trên ranh giới giữa triết học và toán học, đó là, trong triết học toán học và lôgic toán học (những lĩnh vực chưa có ai đi trước) — Frege đã tự mình khám phá ra những ý tưởng nền tảng tạo nên toàn bộ sự phát triển ngày nay của lôgic học và do đó đã phát minh một môn học mới hoàn toàn. Những tác phẩm của ông có ảnh hưởng sâu xa trên tư tưởng hiện đại. Lôgic học mới mang tính cách mạng của ông là nguồn gốc của lôgic toán học hiện đại – một lĩnh vực không chỉ du nhập vào toán học trừu tượng mà còn cả khoa học máy tính và triết học.

[12] cột đá, bốn mặt thường hình vuông hay chữ nhật và đỉnh hình chóp, dựng như một đài kỷ niệm hoặc cột mốc, đặc biệt của Egypt.

[13] [Cùng câu trả lời được đem cho đầy đủ hơn và nhiều khai triển hơn trong Grundgesetze der Arithmetik, vol. i., 1893.] Gottlob Frege (1848-1925) Die Grundlagen der Arithmetik, Những Nền tảng của Số học (1884).

[14] Bertrand Russell

[15] collection – sưu tập (thường đồng nghĩa với set/set ). Tất cả những set cũng là những sưu tập, nhưng không phải tất cả những sưu tập đều có thể gọi là những set. Một sưu tập những đối tương được đinh nghĩa rõ ràng mới gọi là một tâp hợp. class: lớp; aggregate: kết tập ; manifold: đa tạp.

[16] intension

[17] Jonathan Swift. Gulliver’s Travels (1726).

[18] [Như sẽ được giải thích ở phần sau, những lớp có thể được xem như những hư cấu lôgích, được tạo ra từ những đặc tính xác định. Nhưng cho lúc này, sẽ đơn giản hóa việc trình bày của chúng ta để xem những lớp như thể chúng là thực.]

[19] similar; tương đương

[20] Frege đã cố gắng để định nghĩa một số là “lớp của tất cả những lớp có thể được đưa vào tương ứng một-một với một lớp nhất định”. Cơ bản, những gì ông nghĩ là số 2 trừu tượng có thể được xem như là lớp của tất cả những cặp đối tượng: hai con cừu, hai quả táo, hai bất cứ sự vật việc gì. Gộp tất cả những cặp vào với nhau, và kết quả là một đối tượng duy nhất được xác định rõ ràng vốn nắm bắt được yếu tính của ‘2’. Những nhà toán học sẽ hoàn toàn hài lòng với định nghĩa này, giải quyết xong một vấn đề. Nhưng Bertrand Russell đã chỉ ra rằng phát biểu “lớp của tất cả những lớp vốn…” có thể không phải lúc nào cũng có một nghĩa hợp lôgích. Ông nêu ra nghịch lý nổi tiếng về “lớp của tất cả những lớp không tự bao gồm”. Tương tự, đó là nghịch lý về một người thợ cắt tóc duy nhất ở một làng quê, chỉ cắt tóc cho những ai trong làng không tự cắt tóc. Vậy ai cắt tóc cho người thợ cắt tóc này? Hoặc tưởng tượng một danh mục gồm tất cả lớp danh mục không tự liệt kê. Siêu danh mục này có liệt kê chính nó hay không? (theo Encyclopædia Britannica)

[21] Quy nạp toán học là một cách đặc biệt để chứng minh. Nó chỉ có 2 bước:

Bước 1. Cho thấy nó đúng với cái đầu tiên

Bước 2. Chứng tỏ rằng nếu cái nào là đúng thì cái tiếp theo là đúng

Vậy thì tất cả đều đúng

Tổng quát hơn, chúng ta có thể sử dụng quy nạp toán học để chứng minh rằng một hàm số mệnh đề P (n) đúng với mọi số nguyên n ≥1.

[22] inductive: quy nạp

[23] posterity

[24] null class: lớp không

[25] [Xem Principia Mathematica, vol. ii. * 110.]

[26] [Xem Chương XIII]

[27] [Đối với hình học, cho đến nay nó không là phân tích thuần túy, hãy xem Những Nguyên Lý Toán học, phần vi; cho rational dynamics (động lực học hữu tỉ), sđd., phần vii.]

Bertrand Russell. The Principles of Mathematics/ Những Nguyên Lý Toán học (1903): Đây là một trong những công trình nền tảng của Triết học Phân tích Thế kỷ 20, và là một đóng góp quan trọng cho lôgic học, siêu hình học và triết học toán học. Nó lập luận trên những khái niệm và mệnh đề toán học thu giảm về những khái niệm và nguyên lý logic.

[28] [Những định nghĩa này, và lý thuyết tổng quát hóa về quy nạp, là do công của Frege, trong quyển Begriffsschrift của ông đã xuất bản trước đây rất lâu, vào năm 1879. Mặc dù giá trị lớn lao của công trình này, tôi tin rằng tôi vẫn là người đầu tiên đọc nó — hơn hai mươi năm sau khi nó xuất bản.]

[29] Henri Poincaré (1854 – 1912) [Science and Method/ Khoa học và Phương pháp, chương. iv.]

Tuesday, August 31, 2021

Russell – Đưa vào Triết học Toán học