(Introduction to Mathematical
Philosophy)
Bertrand Russell
Những Giới Hạn Và Tính Liên Tục
Khái niệm của một “giới hạn” là một
khái niệm vốn sự quan trọng của nó trong toán học đã liên tục được thấy lớn hơn đã được nghĩ. Thực vậy, toàn bộ
của calculus vi phân và tích phân,
về thực hành, tất cả mọi sự vật việc trong toán học cao cấp tùy thuộc trên những giới hạn. Trước đây, đã giả định rằng những cực nhỏ [1] đã liên quan trong những
nền tảng của những môn học này, nhưng
Weierstrass [2] đã cho thấy rằng đây là một sai lầm: bất cứ nơi nào đã nghĩ những cực nhỏ đã xảy ra, những gì thực sự xảy ra là một
set của những số lượng hữu hạn có zero làm giới hạn dưới của chúng. Đã thường
nghĩ rằng “giới hạn” là một ý niệm thiết
yếu định lượng, đó là nói rằng ý niệm của một số lượng vốn những số lượng khác
tiến đến với nó dần càng gần hơn, như
thế khiến cho giữa những số lượng khác đó sẽ có một vài khác biệt
ít hơn nào đó so với bất kỳ số
lượng đã chỉ định nào. Nhưng thực ra, ý niệm “giới hạn” là một ý niệm thuần túy về thứ bậc, không
liên quan gì cả với số lượng (ngoại trừ do tình cờ khi chuỗi trong xem xét xảy
ra là số lượng). Một điểm đem cho trên một đoạn thẳng có thể là giới hạn của
một set của những điểm trên đoạn thẳng, với không là cần thiết để đem vào trong những tọa độ hay đo lường
hay bất kỳ định lượng nào của nó. Số đếm ℵ0 là giới hạn (theo thứ bậc
của độ lớn) của những số đếm 1, 2, 3, … n, …, mặc dù hiệu số giữa ℵ0 và một số đếm hữu hạn là
hằng số và vô hạn: từ một quan điểm định lượng, những số hữu hạn không gần đến ℵ0 hơn khi chúng tăng lớn hơn. Những gì làm ℵ0 là giới hạn của những số
hữu hạn là sự kiện rằng, trong chuỗi, nó đến trực tiếp ngay sau chúng, vốn là một sự
kiện thứ bậc, không là một sự kiện định lượng.
Có nhiều dạng khác nhau của ý niệm “giới hạn”, theo
mức độ tăng dần phức tạp. Dạng đơn giản nhất và nền tảng nhất, từ nó những
gì còn lại đều được suy diễn, đã được định nghĩa rồi, nhưng
ở đây chúng ta sẽ lập lại những định nghĩa vốn dẫn đến nó, trong một dạng tổng
quát trong đó chúng không đòi hỏi rằng quan hệ được
quan tâm sẽ là nối tiếp. Những định nghĩa là như sau: −
Những “cực tiểu” của một lớp α đối với một quan hệ P là những phần tử
đó của α và trường của P (nếu có) vốn không
phần tử nào của α có quan hệ P với nó,
Những “cực đại” đối với P đều là những cực tiểu đối với nghịch đảo
của P.
“Những “dãy” của một lớp α đối với một quan hệ P là những cực
tiểu của những “những tiếp sau” của α,
và “những tiếp sau” của α là những phần tử đó của trường của P
vốn mọi phần tử của phần chung của α. và trường của P có quan hệ P với nó.
Những “tiền lệ” đối với P là những dãy đối với nghịch đảo của P.
Những “giới hạn trên” của α đối với P là những dãy với điều kiện α không có cực đại; nhưng nếu α có cực đại, nó không có những giới hạn
trên.
Những “giới hạn dưới” [3] đối với P là những giới hạn trên đối
với nghịch đảo của P.
Mỗi khi nào P có tính liên kết, một lớp có
thể có nhiều nhất một cực đại , một cực tiểu, một dãy, v.v. Vì vậy, trong những
trường hợp chúng ta quan tâm trong thực hành, chúng ta có thể nói về “điểm giới
hạn” (nếu có).
Khi P là một quan hệ nối tiếp, chúng ta có thể làm
đơn giản rất nhiều định nghĩa trên của một giới hạn. Trong trường hợp đó, chúng ta
trước hết có thể định nghĩa “ranh giới” của một lớp α, tức là giới hạn của nó hay cực đại,
và sau đó tiến tới phân biệt trường hợp chỗ nào ranh giới là giới hạn khác với
trường hợp chỗ nào nó là một cực đại. Cho mục đích này, tốt nhất là dùng khái
niệm của “phân đoạn”.[4]
Chúng ta sẽ nói về “phân đoạn của P được xác định bởi một lớp α” như tất cả những số hạng đó vốn có
quan hệ P với một số hay nhiều hơn của những phần tử của α. Đây sẽ là một phân đoạn trong ý hướng
đã định nghĩa trong Chương VII .; thực sự, mọi phân đoạn trong ý hướng đã định
nghĩa ở đó là phân đoạn được định nghĩa bởi một vài lớp α nào đó. Nếu P là nối tiếp, phân đoạn
được định nghĩa bởi α gồm tất cả những số hạng vốn đứng trước một vài số hạng nào đó hay
một nào khác của α. Nếu α có một cực đại, phân đoạn sẽ là tất cả
những tiếp trước của cực đại. Nhưng nếu α không có cực đại, thì mọi phần từ của α đứng trước một số phần từ khác nào đó
của α, và toàn bộ của α thì
do đó đã gồm trong phân đoạn được định nghĩa bởi α. Lấy thí dụ, lớp gồm những phân số
1/2, 3/4, 7/8, 15/16, …,
tức là của tất cả những phân số có dạng 1 – 1/2n cho những giá trị hữu hạn khác nhau của n.
Chuỗi này của những phân số không có cực đại,
và là điều rõ ràng rằng phân đoạn nó định nghĩa (trong chuỗi
toàn bộ của những phân số theo thứ bậc của độ lớn) là lớp của tất cả những phân
số thực sự [5]. Hoặc, lại nữa, hãy xem xét những số
nguyên tố, được coi như một lựa chọn từ những số đếm (hữu hạn và vô hạn) theo
thứ bậc của độ lớn. Trong trường hợp này, phân đoạn đã định nghĩa gồm tất cả
những số nguyên hữu hạn.
Giả định rằng P thì nối tiếp, “ranh giới” của một lớp α sẽ là số hạng x (nếu nó có) vốn những tiếp trước của nó là đoạn được định nghĩa
bởi α.
Một “cực đại” của α là một ranh giới vốn là một phần tử
của α.
Một “giới hạn trên” của α là một ranh giới không là phần tử của α.
Nếu một lớp không có ranh giới, nó không có những cực đại cũng
không có giới hạn. Đây là trường hợp của một đường cắt Dedekind “vô tỉ”, hay của
gì gọi là một “khoảng trống”.
Thế nên, “giới hạn trên” của một set của những số hạng α đối với một chuỗi P là số hạng x (nếu nó là-có) đó vốn đến sau tất cả
những phần tử của α, nhưng sao cho mọi số hạng trước đó
đều đến trước một số phần tử nào đó của α.
Chúng ta có thể định nghĩa tất cả những “điểm-giới hạn trên” của một set
của những số hạng β như tất cả những
điểm đó vốn đều là những giới hạn trên của những set của những số hạng đã chọn
ra từ β. Dĩ nhiên, chúng ta sẽ phải phân biệt
những điểm-giới hạn trên với những điểm-giới hạn dưới. Thí dụ, nếu chúng ta xem
xét chuỗi của những số thứ tự:
1, 2, 3, … ω, ω + 1, … 2ω, 2ω + 1, …
3ω, … ω2, … ω3, …,
những điểm-giới hạn trên của trường của chuỗi này là những điểm không có
những liền trước trực tiếp, tức là
1, ω, 2ω, 3ω, … ω2, ω2 + ω, … 2 ω2, … ω3…
Những điểm-giới hạn trên của trường của chuỗi mới này sẽ là
1, ω2, 2 ω2, … ω3, ω3+ ω2…
Mặt khác, chuỗi của những số thứ tự
– và thực sự là mọi chuỗi đã sắp xếp tốt
– không có những điểm-giới hạn dưới, vì không có những số hạng nào ngoại
trừ số cuối cùng vốn không có những tiếp sau trực tiếp. Nhưng nếu chúng ta coi
một chuỗi loại như vậy như chuỗi của những tỉ số, thì mọi phần tử của chuỗi này
đều vừa là điểm-giới hạn trên và dưới cho những set đã chọn thích ứng. Nếu
chúng ta xem xét chuỗi của những số thực và chọn ra từ nó những số thực hữu tỉ,
thì set này (những số hữu tỉ) sẽ có tất cả những số thực như những điểm-giới
hạn trên và dưới. Những điểm-giới hạn của một set gọi là “đạo hàm cấp một” và
những điểm-giới hạn của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai, v.v.
Nhìn về phần những giới hạn, chúng ta có thể phân biệt những cấp độ khác
nhau của những gì có thể gọi là “tính liên tục” trong một chuỗi. Từ “liên tục”
đã được dùng từ lâu, nhưng đã vẫn chưa có bất kỳ định nghĩa chính xác nào cho
đến thời của Dedekind và Cantor. Hai vị này, mỗi người đã đem cho một ý nghĩa
chính xác cho số hạng, nhưng định nghĩa của Cantor thì hẹp hơn của Dedekind:
một chuỗi có tính liên tục theo-Cantor phải có tính liên tục theo-Dedekind,
nhưng ngược lại thì không.
Định nghĩa đầu tiên vốn thông
thường có thể xảy ra với một người đang tìm một nghĩa chính xác cho tính liên
tục của chuỗi sẽ là để định nghĩa nó bằng việc gồm trong những gì vốn chúng ta
gọi là “tính dày đặc”, tức là trong sự kiện rằng giữa hai số hạng bất kỳ nào
của chuỗi, có những số hạng khác. Nhưng đây sẽ là một định nghĩa không thich
đáng, vì sự hiện hữu của những “khoảng trống” trong chuỗi, loại như chuỗi của
những tỉ số. Chúng ta đã thấy trong Chương VII rằng có vô số cách trong đó
chuỗi của những tỉ số có thể được chia vào thành hai phần, trong đó một phần
hoàn toàn đứng trước phần kia, và thuộc phần đầu tiên không có số hạng cuối
cùng, trong khi phần thứ hai không có số hạng đầu tiên. Một tình trạng loại như
vậy có vẻ trái ngược với cảm nghĩ mơ hồ vốn chúng ta có về những gì sẽ đặc
trưng cho “tính liên tục”, và hơn thế nữa, nó cho thấy rằng chuỗi của những tỉ
số không là loại chuỗi vốn là cần thiết cho nhiều mục đích toán học. Lấy thí dụ
về hình học: chúng ta muốn có thể nói rằng khi hai đường thẳng vắt ngang lẫn nhau,
chúng có một điểm chung, nhưng nếu chuỗi của những điểm trên một đường đã tương tự
với chuỗi của những tỉ số, thì hai đường thẳng có thể vắt ngang nhau trong một “khoảng cách” và không có
điểm chung. Đây là một thí dụ thô thiển, nhưng có thể đem cho nhiều thí dụ khác
để cho thấy rằng tính dày đặc thì không thỏa đáng như một định nghĩa toán
học của tính liên tục.
Đã là những nhu cấu của hình học, cũng quan
trọng như bất kỳ yếu
tố nào khác, khiến đã dẫn đến định nghĩa của tính liên tục
“theo-Dedekind”. Cần nhớ rằng chúng ta đã định nghĩa một chuỗi như
theo-Dedekind khi mọi lớp-con của trường có một ranh giới. (Điều là đủ để giả
định rằng luôn luôn có một ranh giới trên, hay luôn luôn có một ranh
giới dưới. Nếu một trong những điều này được giả định, điều khác có thể là được suy
diễn). Đó là nói rằng, một chuỗi là theo-Dedekind khi không có những khoảng
trống. Sự vắng mặt của những khoảng trống có thể xảy ra hoặc qua những số hạng
có những tiếp sau, hoặc qua sự hiện hữu của những giới hạn trong trường hợp
vắng mặt của những cực đại. Thế nên, một chuỗi hữu hạn hay một chuỗi có thứ bậc
tốt là theo-Dedekind, và cũng như thế là chuỗi của những số thực. Loại kể trước của chuỗi theo-Dedekind
thì loại ra ngoài bởi giả định rằng những chuỗi của chúng ta là dày đặc; trong
trường hợp đó, chuỗi của chúng ta phải có một thuộc tính vốn có thể, cho nhiều
mục đích, là thich hợp gọi là tính liên tục. Vì vậy, chúng ta được dẫn đến định
nghĩa:
Một chuỗi có “tính liên tục theo-Dedekind” khi nó là theo-Dedekind và
dày đặc.
Nhưng định nghĩa này vẫn quá rộng cho nhiều mục đích. Thí dụ, giả định
rằng chúng ta mong muốn để có khả năng để gán những thuộc tính
loại như vậy cho không gian hình học khi vì sẽ làm nó chắc chắn rằng mọi điểm đều có thể được
xác định bởi phương tiện của những tọa độ vốn chúng là những số
thực: điều này thì không được bảo đảm với chỉ riêng tính liên tục theo-Dedekind. Chúng ta muốn là chắc chắn
rằng mọi điểm vốn không thể được xác định bởi những tọa độ hữu tỉ có thể
được xác định như giới hạn của một cấp số của những điểm, vốn có tọa độ
là hữu tỉ, và đây là them một thuộc tính khác nữa, vốn định nghĩa
của chúng ta không cho chúng ta có khả năng để suy diễn.
Như vậy, chúng ta được dẫn đến một điều tra kỹ hơn về chuỗi về phương
diện những giới hạn. Điều tra này Cantor đã thực hiện và đã hình thành cơ sở
của định nghĩa của ông về tính liên tục, mặc dù, trong dạng đơn giản nhất của
nó, định nghĩa này phần nào che dấu
những cân nhắc vốn đã làm nảy
sinh nó. Thế nên, trước tiên chúng ta sẽ duyệt qua một số những khái niệm của Cantor
trong đề tài này, trước khi đem cho định nghĩa về tính liên tục của ông.
Cantor định nghĩa một chuỗi như “toàn hảo” khi tất cả những điểm của nó
là những điểm-giới hạn và tất cả những điểm-giới hạn của nó đều thuộc về nó.
Nhưng định nghĩa này không diễn đạt hoàn toàn chính xác những gì ý ông nói.
Không đòi hỏi sửa chữa trong chừng mức liên quan với thuộc tính rằng tất cả
những điểm của nó đều là những điểm-giới hạn; đây là một thuộc tính thuộc chuỗi
dày đặc [6], và không thuộc về chuỗi khác nếu tất
cả những điểm đều là những giới hạn trên – hay tất cả những điểm-giới hạn dưới.
Nhưng nếu chỉ giả định rằng chúng đều là những điểm-giới hạn một chiều, nhưng
không rõ ràng chiều nào, thì sẽ có những chuỗi khác sẽ có thuộc tính trong câu
hỏi – thí dụ, chuỗi của những số thập
phân trong đó một số thập phân kết thúc bằng một lập lại số 9 thì được phân
biệt với những số thập phân kết thúc tương ứng và được đặt ngay trước nó. Một
chuỗi như vậy thì gần như rất dày đặc, nhưng có những số hạng đặc biệt liên
tiếp và trong đó chuỗi đầu tiên không có liền trước trực tiếp, trong khi thứ
hai không có tiếp sau trực tiếp. Ngoài những chuỗi như vậy, những chuỗi trong
đó mọi điểm đều là một điểm-giới hạn là những chuỗi dày đặc; và điều này thì
giữ giá trị với không điều kiện hợp cách nếu nó được chỉ định rằng mọi điểm
phải là điểm-giới hạn trên (hay mọi điểm phải là điểm-giới hạn dưới).
Mặc dù Cantor không xem xét vấn đề một cách rõ ràng chi tiết, chúng ta
phải phân biệt những loại điểm-giới hạn khác nhau theo như bản chất của những
chuỗi − con nhỏ nhất nhờ đó chúng có thể được định nghĩa. Cantor giả định rằng
chúng phải là để được định nghĩa bởi những cấp số, hay bởi những hồi quy [7] (là những nghịch đảo của những cấp
số). Khi mọi phần tử của chuỗi của chúng ta là giới hạn của một cấp số hay hồi
quy, Cantor gọi chuỗi của chúng ta là “cô đọng trong chính nó” (insichdicht).
Bây giờ chúng ta đến với thuộc tính thứ
hai qua nó sự toàn hảo đã được định nghĩa, cụ thể là, thuộc tính vốn Cantor gọi
đó là “đóng” (abgeschlossen). Điều này, như chúng ta đã thấy, đã đầu
tiên định nghĩa như gồm trong sự kiện rằng tất cả những điểm-giới hạn của một
chuỗi thuộc về nó. Nhưng điều này chỉ có bất kỳ ý nghĩa tác dụng quan trọng nào nếu chuỗi của chúng ta được đem cho như đã chứa trong một số
chuỗi lớn hơn nào khác (thí dụ, như trường hợp, với một lựa chọn của những số
thực), và những điểm-giới hạn đã lấy trong liên quan với chuỗi lớn hơn. Không
thế, nếu một chuỗi được xem đơn giản trên lý do của chính nó, thì nó không thể
không chứa những điểm-giới hạn của nó. Những gì Cantor có ý muốn nói thì
không chính xác như những gì ông nói; thực sự, trong những dịp khác, ông nói
một gì đó có phần nào khá khác biệt, vốn đó là những gì ông có ý muốn
nói. Ý ông thực sự muốn nói là mọi chuỗi phụ thuộc vốn là thuộc loại nó có thể
mong đợi để có một giới hạn thì thực có một giới hạn trong chuỗi đã cho; tức là
mọi chuỗi phụ thuộc vốn không có cực đại đều có một giới hạn, tức là mọi chuỗi
phụ thuộc đều có một ranh giới. Nhưng Cantor không nói rõ điều này cho mọi
chuỗi phụ thuộc, nhưng chỉ cho những cấp số và những hồi qui. Không rõ ông nhận ra đến đâu rằng đây
là một sự giới hạn). Vậy nên, cuối cùng, chúng ta thấy rằng định nghĩa chúng ta
muốn là như sau: −
Một chuỗi được nói là “đóng” (abgeschlossen)
khi mọi cấp số hay hồi quy chứa trong chuỗi có một giới hạn trong chuỗi.
Sau đó, chúng ta có định nghĩa thêm
nữa: −
Một chuỗi là “toàn hảo” khi nó thì cô
đọng trong chính nó và đóng, tức là khi mọi số hạng là giới hạn của
một cấp số hay hồi quy, và mọi cấp số hay hồi quy chứa trong chuỗi có một giới
hạn trong chuỗi.
Trong việc đi tìm một định nghĩa của
tính liên tục, những gì Cantor có trong suy nghĩ là tìm kiếm một định nghĩa vốn
sẽ áp dụng cho chuỗi của những số thực và cho bất kỳ chuỗi nào tương tự như
vậy, nhưng không cho những chuỗi khác. Vì mục đích này, chúng ta phải cộng thêm
vào một thuộc tính nữa. Trong số những số thực, một số là hữu tỉ, một số là vô
tỉ; mặc dù số của những vô tỉ lớn hơn số của những hữu tỉ, nhưng vẫn có những
số hữu tỉ giữa bất kỳ hai số thực nào, cho dù hai số có thể khác nhau một chút.
Số của những hữu tỉ, như chúng ta đã thấy, là ℵ0. Điều này cho thêm một thuộc tính vốn đủ để hoàn toàn định rõ đặc điểm
tính liên tục, cụ thể là, thuộc tính của chứa một lớp của ℵ0 phần tử trong một cách vốn một số của lớp này xảy ra giữa hai số hạng
bất kỳ của chuỗi của chúng ta, dù cho gần nhau đến bao nhiêu. Thuộc tính này,
đã thêm vào cho sự toàn hảo, đủ để định nghĩa một lớp của chuỗi vốn đều tất cả
tương tự và thực ra là một chuỗi liên tục. Lớp này, Cantor định nghĩa như của
chuỗi liên tục.
Chúng ta có thể đơn giản hóa một chút
định nghĩa của ông. Để bắt đầu, chúng
ta nói:
Một “lớp ở-giữa” [8]của một chuỗi là một lớp-con của trường sao cho những phần tử của nó
được tìm thấy giữa hai số hạng bất kỳ của chuỗi.
Như thế, những số hữu tỉ là một lớp ở-giữa trong chuỗi của những
số thực. Rõ ràng là không thể có những lớp ở-giữa ngoại trừ trong chuỗi dày
đặc.
Sau đó, chúng ta thấy rằng định nghĩa
của Cantor tương đương với định nghĩa sau: −
Một chuỗi là “liên tục” khi (1) nó là
theo-Dedekind, (2) nó chứa một lớp ở-giữa có ℵ0 số hạng.
Để tránh lẫn lộn, chúng ta sẽ nói về
loại này là “tính liên tục theo-Cantor”. Người ta sẽ thấy rằng nó hàm ý tính
liên tục của theo-Dedekind, nhưng không là ngược lại. Tất cả những chuỗi có tính liên tục theo-Cantor là tương đương,
nhưng không phải tất cả những chuỗi có tính liên tục theo-Dedekind.
Những ý niệm của giới hạn và liên
tục vốn chúng ta đã định nghĩa phải đừng bị lẫn lộn với những ý niệm của
giới hạn của một hàm số cho những tiếp cận với một đối số nhất định đã cho, hay
tính liên tục của một hàm số trong vùng lân cận của một đối số nhất định. Đây
là những ý niệm khác nhau, rất quan trọng, nhưng kết quả từ dẫn trên và phức tạp hơn.
Tính liên tục của chuyển động (nếu chuyển động là liên tục) là một trường hợp
cá biệt của tính liên tục của một hàm số; mặt khác, tính liên
tục của không gian và thời gian (nếu chúng là liên tục) là một trường hợp cá
biệt của tính liên tục của chuỗi, hay (nói một cách thận trọng hơn) của một
kiểu liên tục vốn có thể, bằng vận dụng toán học đầy đủ, thì thu giảm về tính
liên tục của chuỗi. Nhìn
trong sự quan trọng nền tảng của chuyển động trong
toán học ứng dụng, cũng như vì những lý do khác, sẽ là điều hay để giải quyết ngắn gọn
với những ý niệm của những giới hạn và liên tục như đã áp dụng với những hàm số; nhưng
đề tài này sẽ
là tốt nhất dành cho một chương riêng
biệt.
Những định nghĩa của tính liên tục vốn
chúng ta đang xem xét, cụ
thể là những định nghĩa của Dedekind và
Cantor, không tương ứng chặt chẽ lắm với ý tưởng mơ hồ
vốn
được gắn liền với từ ngữ trong não thức của
người trung
bình hay nhà triết học. Họ mường tượng tính liên tục phần nào như vắng mặt của tính khác biệt, loại của tổng quát xóa
sạch những phân tách vốn đặc trưng một màn
sương mù dày đặc. Một màn sương mù cho một ấn tượng của
sự bao la không xác định sự nhân
lớn hay sự chia nhỏ. Nó là loại sự việc này khiến một nhà siêu hình học
hiểu nghĩa của “tính liên tục”,
rất chân thực khi tuyên bố nó để là đặc trưng của sinh
hoạt tinh thần [9] của ông và của những trẻ em và những loài vật.
Ý tưởng tổng quát đã mơ hồ chỉ định
bằng từ “liên tục” khi dùng như vậy, hay bằng từ “tuôn chảy” [10], là một ý tưởng vốn là
chắc chắn hoàn toàn khác biệt với ý tưởng chúng ta đã đang định nghĩa. Lấy thí dụ, chuỗi của những số
thực. Mỗi một là những gì nó là, hoàn toàn xác định, và không thay đổi; nó thực không bị
nhầm
lẫn bới những mức độ không thể nhận biết vào thành một khác; nó là một đơn
vị chắc
chắn, riêng biệt và khoảng cách của nó với
mọi đơn vị khác là hữu hạn, mặc dù nó có thể được làm cho nhỏ hơn bất kỳ số lượng
hữu hạn nhất định nào được chỉ định trước. Câu hỏi về quan hệ giữa loại của tính liên tục hiện hữu giữa những số thực và
loại đã trưng bày, thí dụ, bởi những gì chúng ta thấy ở một thời điểm nhất
định, là một câu hỏi khó khăn và rắc rối phức tạp. Không là điều để chủ
trương rằng hai loại chỉ đơn giản đều là đồng nhất, nhưng
điều có thể, tôi nghĩ, là rất tốt đẻ chủ trương rằng ý niệm toán học vốn chúng ta đã đang xem xét trong
chương này đem lại một biểu đồ lôgích trừu tượng, vốn với nó phải là có thể được để mang đến vật liệu duy nghiệm bởi sự vận dụng thích hợp, nếu vật liệu đó thì để gọi là “liên tục” trong
bất kỳ ý hướng có thể định nghĩa
được chính xác nào. Sẽ là
điều hoàn toàn không thể được để biện minh luận
điểm này trong giới hạn của tập sách hiện tại. Người đọc nào quan tâm có thể đọc
một cố gắng biện minh cho nó, đặc biệt nhìn theo thời gian, của người viết này trong Monist,
năm 1914–5 [11], cũng như trong những phần của Kiến Thức Của Chúng Ta Về Thế Giới
Bên Ngoài [12]. Với những chỉ dẫn này, chúng ta phải
rời vấn đề này, dù nó là thú vị đáng chú ý, để quay lại với những đề tài liên hệ chặt chẽ hơn với
toán học.
CHƯƠNG XI:
Những Giới
Hạn Và Tính Liên Tục Của những Hàm số
Trong chương này, chúng ta sẽ bận tâm
với định nghĩa của giới hạn của một hàm số (nếu có) khi đối số tiến gần đến một
giá trị nhất định, và cũng với định nghĩa về ý nghĩa của một “hàm số liên tục” [13]. Cả hai ý tưởng này đều phần nào có tính kỹ thuật và sẽ hầu như không
đòi giải quyết trong chỉ một giới thiệu đơn thuần về triết
học toán học nhưng với sự kiện, đặc biệt qua những gì gọi là calculus
những cực
nhỏ
[14], là những quan điểm sai lầm về những đề tài hiện tại của chúng ta đã ăn sâu
vào não thức của những triết gia chuyên nghiệp khiến cần phải có một nỗ lực lâu
dài và đáng kể để nhổ bỏ chúng. Kể từ thời Leibniz, người ta đã nghĩ rằng giải
tích vi phân và tích phân đòi hỏi những số
cực
nhỏ [15]. Những nhà toán học (đặc biệt là Weierstrass) đã chứng minh rằng đây là
một sai lầm; nhưng những sai lầm đã đưa vào, thí dụ như trong những gì Hegel
phải nói về toán học, khó mất đi, và những triết gia đã có khuynh hướng làm ngơ
công trình của những người như Weierstrass.
Những giới hạn và tính liên tục của
những hàm số, trong những công trình về toán học thông thường, được định nghĩa
trong những thuật ngữ liên quan với số. Điều này thì không tất yếu, như Tiến sĩ
Whitehead đã cho thấy.[16] Tuy nhiên, chúng ta sẽ bắt đầu với những định nghĩa trong sách giáo
khoa, và sau đó đi đến
cho thấy những định nghĩa này có thể
được tổng quát hóa thế nào về phần áp dụng với những chuỗi trong
tổng quát và không chỉ với loại như có thể đo lường được bằng số hay số.trị. [17]
Chúng ta hãy xem xét hàm số toán học
thông thường fx bất kỳ nào, trong đó x và fx đều là những số thực, và fx là một-giá trị – tức là,
khi đem cho x, chỉ có một giá trị vốn fx có thể có. Chúng ta gọi x là
“đối số” và fx là “giá trị của đối
số x”. Khi một hàm số là những gì vốn chúng ta gọi là “liên tục”, ý tưởng phỏng chừng với nó vốn chúng ta đang tìm một định nghĩa chính xác là rằng những khác biệt nhỏ
trong x sẽ tương ứng với những khác
biệt nhỏ trong fx và nếu chúng ta làm cho những khác biệt trong x đủ nhỏ, chúng ta có thể làm những khác biệt trong fx giảm xuống dưới một bất kỳ số lượng chỉ định nào. Chúng ta không muốn, nếu một hàm số
là liên tục, sẽ có những bước nhảy đột
ngột, thế nên, đối với một số giá trị của x, bất kỳ thay đổi nào, dù nhỏ đến đâu, sẽ tạo ra thay đổi trong fx vượt quá một số lượng hữu hạn được chỉ định. Những hàm số đơn giản
thông thường của toán học có thuộc tính này: thí dụ, nó thuộc về x2, x3, … log x, sin x, v.v. Nhưng để định nghĩa những hàm số không liên tục thì hoàn toàn không khó khăn gì cả. Lấy một thí dụ không-toán học “sinh quán của người trẻ tuổi nhất sống tại thời
điểm t”. Đây là một hàm số
của t; giá trị của nó là một hằng số từ thời điểm sinh của một người đến thời điểm sinh tiếp theo, và sau đó
giá trị thay đổi đột ngột từ sinh quán này sang sinh quán khác. Một thí dụ toán
học tương tự sẽ là “số nguyên kế bên dưới x”, trong đó x là một số thực. Hàm số này không đổi từ số
nguyên này sang số nguyên tiếp theo, và sau đó đem cho một bước nhảy đột ngột.
Sự
kiện thực sự là, mặc dù những hàm số liên tục quen
thuộc hơn, nhưng chúng là những ngoại lệ: có vô hạn những hàm số không liên tục hơn
những hàm số liên tục.
Nhiều hàm số không liên tục đối với một
hay nhiều giá trị của biến
số, nhưng liên tục đối với tất cả những
giá trị khác. Lấy thí dụ sin 1 / x. Hàm số sin θ đi qua tất cả những giá trị từ −1 đến 1 mỗi khi θ đi từ −π / 2 đến π / 2, hay từ π / 2 đến 3π / 2, hay trong tổng quát từ (2n − 1) π / 2 đến (2n + 1) π / 2, trong đó n là một số nguyên bất kỳ. Bây
giờ, nếu chúng ta xem xét 1 / x khi x rất nhỏ, chúng ta thấy rằng khi x giảm nhỏ đi, 1 / x tăng lên càng nhanh hơn, thế khiến nó càng đi nhanh hơn
qua chu kỳ của những giá trị từ một bội số của π / 2 đến
một bội số khác vì x trở nên dần càng nhỏ hơn. Hệ quả là sin 1 / x đi qua nhanh hơn và càng nhanh hơn từ −1 sang 1 và trở lại lần nữa, khi x nhỏ dần. Thực ra, nếu
chúng ta lấy bất kỳ khoảng nào chứa 0, thí dụ khoảng từ −ε đến + ε trong đó ε là một số rất nhỏ, sin 1 / x sẽ đi qua vô số dao động trong khoảng
này và chúng ta không thể làm
giảm bớt dao động. bằng việc làm cho khoảng nhỏ
hơn. Vì vậy, trog
vùng lân cận của đối số 0, hàm số thì không liên tục. Có
thể dễ dàng tạo những hàm
số không liên tục trong nhiều vị trí, hay trong những vị trí ℵ0, hay ở khắp mọi nơi. Những thí dụ sẽ được tìm thấy trong bất kỳ quyển
sách nào về lý thuyết hàm số của một biến số thực.
Bây giờ, tiếp tục để tìm một
định nghĩa chính xác của
những gì có
nghĩa qua việc nói rằng một hàm
số là liên tục đối với một đối số nhất định, khi đối số và giá trị đều là những số thực, trước tiên
chúng ta hãy định nghĩa “vùng lân cận” của một số x như tất cả những số từ x −ε đến x + ε, trong đó ε là một số nào đó, trong những trường hợp quan
trọng, sẽ
là rất nhỏ. Rõ ràng là tính liên tục tại một điểm
nhất định có liên quan với những gì xảy ra trong bất kỳ vùng lân cận nào
của điểm đó, cho dù nhỏ đến đâu.
Những gì chúng ta mong là thế này: Nếu a là đối số vốn với nó chúng ta muốn hàm số của chúng ta là liên tục, trước tiên
chúng ta hãy định nghĩa một vùng lân cận (giả định α) chứa giá trị fa vốn hàm số có với đối số a;
chúng ta mong muốn rằng, nếu chúng ta lấy một vùng lân cận đủ nhỏ, chứa a, thì
tất cả những giá trị cho những đối số trong vùng lân cận này sẽ được chứa trong vùng lân
cận α, bất kể chúng ta có thể làm
α nhỏ đến mức nào. Đó có nghĩa là, nếu chúng ta quy định rằng hàm số của chúng ta thì không để khác với fa bới một lượng rất nhỏ
nào đó, chúng ta có thể luôn luôn tìm thấy một
khoảng những số thực, có a trong
phần giữa của
nó, khiến cho trong suốt khoảng
này, fx sẽ không chênh lệch
với fa quá một lượng rất nhỏ đã quy định. Và điều này vẫn đúng với bất
kỳ lượng rất nhỏ nào chúng ta có thể chọn. Từ đây, chúng ta được dẫn đến
định nghĩa sau: −
Hàm số f (x) được nói là “liên tục” với đối số
a nếu, với mọi số dương σ, khác 0, nhưng nhỏ nhất chúng ta muốn, ở đó có một số dương ε, khác 0, sao cho, với tất cả những giá trị của δ vốn
về mặt số nhỏ hơn [18] so với ε, sự khác biệt f (a + δ) −f (a) về mặt số nhỏ hơn σ.
Trong định nghĩa này, σ đầu tiên định nghĩa vùng lân cận của
f (a), đó là vùng lân cận từ f (a) −σ đến f (a) + σ. Định nghĩa sauđó tiếp
đến để nói rằng chúng ta có thể (bằng phương tiện của ε) định nghĩa một vùng lân cận, cụ thể là, từ a − ε đến a + ε, sao cho, đối với tất cả những đối số bên trong vùng lân cận này, giá
trị của hàm số nằm bên trong vùng lân cận từ f (a) −σ đến f (a) + σ. Nếu điều này có thể làm được, bất kể σ có thể được,
chọn, hàm số là “liên tục” với đối số a.
Cho đến giờ chúng ta đã chưa định nghĩa “giới
hạn” của một hàm số cho một đối số nhất định. Nếu chúng ta đã làm như vậy,
chúng ta đã có thể định nghĩa tính liên tục của một hàm số theo cách khác: một hàm
số là liên tục ở một điểm ở
đó giá trị của nó thì cũng giống như giới hạn của những giá trị
của
nó cho những đến gần
hoặc
từ phía trên hay từ phía dưới. Nhưng là chỉ hàm số “thuần hóa” khác thường mới có giới hạn xác định khi đối số tiến tiến
gần một điểm đem cho. Quy tắc tổng quát là rằng một hàm số dao động,
với bất kỳ vùng lân cận nào của một đối số đã cho, và rằng dù nhỏ đến đâu,
thì một toàn bộ khoảng của
những giá trị sẽ xảy ra cho những đối số bên trong vùng lân cận
này. Vì đây là quy tắc tổng quát, chúng ta hãy xem
xét nó trước.
Chúng ta hãy xem xét điều gì có thể xảy ra khi
đối số tiến gần một số giá trị a nào đó từ bên dưới. Có nghĩa là, chúng ta muốn xem xét sự việc gì xảy ra đối với
những đối số nằm trong khoảng từ a − ε đến a, trong đó ε là một số nhất
định nào đó, trong những trường hợp quan
trọng, sẽ là rất nhỏ.
Những giá trị của hàm số cho những đối
số từ a − ε đến a (không kể a) sẽ là một set của những số thực vốn sẽ xác định một phần nhất
định của set của những số thực, đó là phần gồm những số đó vốn không lớn hơn tất
cả những giá trị cho những đối số từ a − ε đến a. Đem cho bất kỳ số nào trong phần này, có những giá trị ít nhất cũng lớn như số này cho những đối số giữa a
− ε và a, nghĩa
là cho những đối số rất nhỏ
hơn của
a (nếu ε rất nhỏ). Hãy để
chúng ta lấy tất cả những ε có thể có và tất cả
những phần tương ứng có thể có. Phần chung của tất cả những phần này, chúng ta
sẽ gọi là “phần cuối cùng” khi những đối số tiến đến gần a. Để nói rằng một số z thuộc vào phần cuối cùng là
để nói rằng chúng ta có thể làm ε dù nhỏ đến đâu, nhưng có những đối số giữa a − ε và a, với chúng giá trị của hàm số thì
không nhỏ hơn z.
Chúng ta có thể áp dụng cùng tiến trình đúng như thế cho những phần trên, tức là cho những phần đi từ một số điểm nào đó lên tới
đỉnh, thay vì từ dưới đáy đi lên đến một số điểm nào đó. Ở đây chúng ta lấy
những số đó
vốn không nhỏ hơn tất cả những giá
trị cho những đối số từ a − ε đến a; điều này định nghĩa một phần trên vốn sẽ thay đổi khi ε thay đổi. Lấy phần chung của tất cả những phần như vậy cho tất cả những
ε có thể có, chúng ta
có được “phần trên cuối cùng”. Để nói rằng một số z thuộc phần trên cuối cùng là để nói rằng, dù chúng ta làm ε nhỏ đến đâu, vẫn có những đối số giữa a − ε và a, với chúng giá trị của hàm số
thì không lớn hơn z.
Nếu một số hạng z vừa
thuộc cả phần cuối cùng và phần trên cùng,
chúng ta sẽ nói rằng nó thuộc về “dao động cuối cùng”. Chúng ta có thể minh họa
nội
dung bằng việc xem xét một lần nữa
hàm số sin 1 / x khi x tiến đến giá trị
0. Chúng ta sẽ giả định, để thích hợp với những định nghĩa trên, rằng giá trị
này thì thì tiến
đến gần nhưng từ bên dưới.
Chúng ta hãy bắt đầu với “phần cuối
cùng”. Giữa −ε và 0, bất kể ε có thể là gì, hàm số sẽ giả định giá trị 1 cho những đối số nhất định,
nhưng sẽ không bao giờ giả định bất kỳ giá trị nào lớn hơn. Thế nên, phần cuối
cùng gồm tất cả những số thực, dương và âm, lên đến và gồm cả 1; tức là nó gồm
tất cả những số âm cùng với 0, cùng với những số dương lên đến và gồm cả 1.
Tương tự, “phần trên cuối cùng” gồm tất
cả những số dương cùng với 0, cùng với những số âm xuống và gồm cả −1.
Thế nên, “dao động cuối cùng” gồm tất
cả những số thực từ −1 đến 1, gồm
cả hai.
Chúng ta có thể nói một cách tổng quát
rằng “dao động cuối cùng” của một hàm số khi đối số tiến đến gần a từ bên dưới gồm tất cả những số x vốn chúng ta có, tuy nhiên khi gần
đến a, chúng ta vẫn sẽ tìm thấy những giá trị cũng lớn như x và những giá trị cũng nhỏ như x.
Dao động cuối cùng có thể chứa: không số hạng, hay một số
hạng, hay nhiều số hạng. Trong hai trường hợp đầu tiên, hàm số có một giới hạn
xác định cho những tiếp cận từ bên dưới. Nếu dao động cuối cùng có một số hạng,
điều này khá rõ ràng. Nó cũng đúng như thế nếu nó không có số hạng nào; không khó để chứng minh rằng, nếu dao động cuối cùng thì có giá trị rỗng [19], ranh giới của phần
cuối cùng thì cũng
như của phần cuối cùng phía trên và có
thể được định nghĩa như giới hạn của hàm số cho
những tiếp cận từ bên dưới. Nhưng nếu
dao động cuối cùng có nhiều số hạng, thì không có giới hạn xác định với hàm số đối cho những tiếp cận từ bên
dưới. Trong trường hợp này, chúng ta có thể lấy giới hạn dưới và giới hạn trên
của dao động cuối cùng (tức là ranh giới dưới của phần trên cuối cùng và ranh
giới trên của phần cuối cùng) như những giới hạn dưới và trên
của những giá trị “cuối cùng” của nó cho những tiếp cận từ bên
dưới.
Tương tự, chúng ta có được những giới hạn
dưới và trên của những giá trị “cuối cùng” cho những tiếp cận từ phía trên. Thế
nên, trong trường hợp tổng quát, chúng ta có bốn giới hạn đối với một
hàm số cho những tiếp cận với một đối số nhất định. Giới hạn cho một đối số đã
cho a chỉ là-có khi cả bốn đối số này
bằng nhau và khi đó là giá trị chung của chúng. Nếu nó cũng là giá trị cho đối số a,
thì hàm số là liên tục cho đối số này. Điều này có thể được lấy như việc định nghĩa tính liên tục: nó thì tương đương với định
nghĩa trước đây của chúng ta.
Chúng ta có thể định nghĩa giới hạn của
một hàm số cho một đối số đã cho (nếu nó là-có) nhưng không cần đi qua dao
động cuối cùng và bốn giới hạn của trường hợp tổng quát. Trong trường hợp đó,
định nghĩa tiếp tục cũng giống đúng như định nghĩa trước đó của
tính liên tục đã tiến hành. Chúng ta
hãy định nghĩa giới hạn cho tiếp cận từ bên dưới. Nếu là để có một giới hạn xác định cho những tiếp
cận
với a từ bên dưới, thì cần và đủ rằng, đem cho bất kỳ số nhỏ nào σ, hai giá trị cho những đối số đủ gần với a (nhưng cả hai đều nhỏ hơn a) sẽ
khác nhau bởi nhỏ hơn σ; tức là nếu ε thì đủ nhỏ và những đối số của chúng ta đều nằm giữa a − ε và a (a
loại trừ), sau
đó sự khác biệt giữa những giá trị cho những đối số này sẽ
nhỏ hơn σ. Điều này là để giữ
giá trị cho bất kỳ σ, dù nhỏ đến đâu; trong trường hợp đó, hàm số có môt giới hạn cho những
tiếp cận từ bên dưới. Tương tự, chúng ta định nghĩa trường hợp khi có một giới hạn cho những
tiếp cận từ phía trên. Hai giới hạn này, ngay cả khi cả hai đều là-có, không
cần phải đồng nhất; và nếu chúng đồng nhất, chúng vẫn không cần
phải đồng
nhất với giá trị cho đối số a. Đó là chỉ trong trường hợp sau cùng này, khiến chúng ta mới gọi hàm số liên tục cho đối số a.
Một hàm số gọi là “liên tục” (với không tiêu chuẩn) khi nó liên tục đối với mọi đối số.
Một phương pháp hơi khác để đạt được
định nghĩa về tính liên tục là
như sau: −
Chúng ta hãy nói rằng một hàm số “cuối cùng hội tụ vào trong một lớp α” nếu có một số thực
nào đó sao cho đối số này và tất cả những đối số lớn hơn giá trị này, giá trị
của hàm số là một phần tử của lớp α. Tương tự, chúng ta sẽ nói rằng một
hàm số “hội tụ vào trong α khi đối số tiếp cận x từ bên dưới” nếu có một đối số y nào đó nhỏ hơn x sao cho trong suốt
khoảng từ y (gồm) đến x (loại trừ) hàm số có những giá trị
vốn
đều là những phần tử của α. Bây giờ chúng ta có
thể nói rằng một hàm số là liên tục đối với đối số a, với nó nó có giá trị fa, nếu nó thỏa mãn bốn điều kiện, đó là: −
(1) Đem cho bất kỳ số thực nào
nhỏ hơn fa, hàm số sẽ hội tụ
vào
trong những số tiếp sau của số này khi đối số
tiếp cận a từ bên dưới;
(2) Đem cho bất kỳ số thực nào
lớn hơn fa, hàm số sẽ hội tụ
vào
trong những liền trước của số này khi đối số
tiếp cận a từ bên dưới;
(3) và (4) những điều kiện tương tự đối
với những tiếp cận a từ bên trên.
Ưu điểm của hình thức này của sự định nghĩa là nó phân
tích những điều kiện của tính liên tục vào thành bốn, xuất phát
từ việc xem xét những đối số và những giá trị tương ứng lớn hơn hay nhỏ hơn đối
số và giá trị cho
nó tính liên tục thì để được định nghĩa.
Bây giờ chúng ta có thể tổng quát hóa
những định nghĩa của chúng ta để áp dụng cho những chuỗi không là số hay được
biết là có thể đo được bằng số. Trường hợp của chuyển động là một
trường
hợp thuận tiện người ta nên lưu ý. Có một câu chuyện của H.G. Wells vốn sẽ minh họa, từ
trường hợp của chuyển động, sự khác biệt giữa giới hạn của một hàm số cho một đối số đem cho và giá trị của nó với
cùng đối số. Nhân
vật chính của câu chuyện, người có được, nhưng không tự hay biết, sức mạnh của việc hiện thực hóa mong ước
của ông, đang bị một người cảnh sát tấn công, nhưng sau khi bật
nói “Chết tiệt đi, vào hỏa nguc đi .. ”, ông thấy người cảnh sát đã biến mất. Nếu f(t) là vị trí của người cảnh sát tại thời điểm t và t0 thời điểm bật nói, thì giới hạn của
những vị trí của người cảnh sát tại thời điểm t tiến đến t0
từ bên dưới sẽ là trong tiếp xúc với nhân vật
chính này, trong khi giá trị cho đối số t0 đã là ‘hỏa nguc’. Nhưng những trường hợp như vậy được nói là rất hiếm trong thế giới thực,
và mặc dù không có bằng chứng đầy đủ, đã giả định rằng
tất cả những chuyển động là liên tục, tức là, với bất kỳ vật thể nào, nếu f(t) là vị trí của nó tại thời điểm t, f(t) là một hàm số liên tục của t. Đó là ý nghĩa của “tính liên tục” bao hàm trong những phát biểu như vậy vốn bây giờ chúng ta muốn định nghĩa càng đơn giản càng tốt.
Những định nghĩa đã cho đối với trường hợp của
những hàm số ở đó đối số và giá trị đều là những số thực có thể sẵn sàng được chữa cho ứng hợp cho
việc đem dùng tổng quát hơn.
Cho P và Q là hai quan hệ, vốn là điều tốt hơn là để hình dung là nối tiếp, dù không
là cần hiết với định nghĩa của chúng ta rằng chúng
phải như vậy. Gọi R là một quan hệ
một-nhiều có miền
của nó chứa trong trường của P, trong khi miền đảo
của nó thì chứa trong trường của
Q. Khi đó R là (theo một nghĩa tổng quát) là
một hàm
số, có những đối số thuộc về trường của Q, trong khi những
giá trị của nó thuộc về trường của
P. Thí dụ, giả định rằng chúng ta đang
giải quyết một hạt chuyển động trên một đường thẳng: gọi Q là chuỗi-thời gian, P là chuỗi
của những điểm trên đường của chúng ta từ trái sang phải, R là quan hệ của vị trí
của hạt của chúng ta trên đường tại thời điểm a đến thời điểm a., như thế khiến “R của a” là vị trí của nó tại thời điểm a. Minh họa này có thể được ghi nhớ trong suốt những định nghĩa
của chúng ta.
Chúng ta sẽ nói rằng hàm số R là liên
tục đối với đối số a nếu, đem cho bất kỳ khoảng α nào trên chuỗi-P chứa giá trị của
hàm số đối với đối số a, có một khoảng trên chuỗi-Q chứa a không như một điểm-cuối và sao cho, trong suốt khoảng
này, hàm số có những giá trị vốn đều là những phần tử của α. (Chúng ta nói một “khoảng” nghĩa là tất cả những
số hạng giữa hai phần
tử bất kỳ; nghĩa là nếu x và
y là hai phần tử của trường P và x có
quan hệ P với y, chúng ta nói với nghĩa là “Khoảng-P từ x đến y” tất cả những số hạng z sao cho x có quan hệ P với z và z có quan hệ P với y – cùng với nhau, khi nói như thế, với chính x hay y).
Chúng ta có thể dễ dàng định nghĩa
“phần cuối cùng” và “dao động cuối cùng”. Để định nghĩa “phần cuối cùng” cho
những tiếp cận đến đối số a từ bên dưới, lấy bất
kỳ đối số y nào đứng liền trước a (nghĩa là có quan hệ Q với a), lấy
những giá trị của hàm số cho tất cả những đối số, lên đến và gồm cả y, và hình thành phần của P được định
nghĩa bởi những giá trị này, tức là những phần tử của chuỗi-P vốn trước hơn hay giống hệt với
một số
của những giá trị này. Tạo thành tất cả những phần như vậy cho tất cả những y đứng trước a, và lấy phần
chung của chúng; đây sẽ là phần cuối cùng. Phần trên cuối cùng và dao động cuối
cùng sau đó
đều được định nghĩa chính xác như trong
trường hợp trước.
Sự thích ứng của định nghĩa của hội tụ và định nghĩa
thay thế kết quả của tính liên tục không gây khó khăn bất kỳ loại nào.
Chúng ta nói rằng một hàm số R là “cuối
cùng Q hội tụ vào trong α” nếu có một phần tử y của miền nghịch đảo của R và trường
của Q sao cho giá trị của hàm số đối với đối số y và đối với bất kỳ đối số nào vốn y có quan hệ Q là một
phần tử của α. Chúng ta nói rằng R
“Q hội tụ vào trong α khi đối số tiến tới
một đối số a cho trước” nếu có một số hạng y có
quan hệ Q với a và thuộc miền đảo của
R và sao cho giá trị của hàm số đối với bất kỳ đối số nào trong khoảng Q từ y (gồm) đến a (loại trừ) thuộc về α.
Trong số bốn điều kiện vốn một hàm số
phải đáp ứng để
là liên tục đối với đối số a, điều kiện
đầu tiên là đặt b làm giá trị cho đối
số a:
Cho bất kỳ số hạng nào có quan hệ P với
b, R Q-hội tụ vào
trong những số tiếp sau của b (đối với P) khi đối số tiếp cận a từ bên dưới.
Điều kiện thứ hai có được bằng việc thay P bằng nghịch
đảo của nó;
Điều kiện thứ ba và thứ tư có được từ điều kiện thứ nhất và thứ hai
bằng việc thay thế Q bằng nghịch đảo của nó.
Thế nên, không có gì, trong những ý
niệm về giới hạn của một hàm số hay tính liên tục của một hàm số, rằng yếu tính bao hàm con số. Cả hai đều có thể được định nghĩa tổng quát và nhiều những mệnh đề về chúng có
thể được chứng minh cho bất
kỳ hai chuỗi nào (một như là chuỗi-đối số và một kia là chuỗi-giá trị). Điều sẽ được thấy rằng
những định nghĩa không liên quan với những những số lượng cực nhỏ. Chúng gồm những lớp vô hạn của những khoảng, nhỏ dần với không có giới hạn nào nhỏ
hơn 0, nhưng chúng không gồm bất kỳ khoảng nào
không là hữu hạn. Điều này
thì tương tự với sự kiện rằng nếu một đoạn thẳng
dài một inch bị cắt đi một nửa, sau đó lại cắt
đi một nửa, và cứ tiếp tục như vậy vô
thời hạn, chúng ta không bao giờ đạt tới những cực nhỏ theo cách này: sau n những lần cắt đôi, độ dài mảnh mẩu của chúng ta là
1 / 22 inch; và là hữu hạn bất kể số hữu hạn n có thể là gì. Tiến trình cắt đôi làm hai mảnh liên tiếp không dẫn đến những phép chia vốn số thứ
tự của chúng là vô hạn, vì nó về cơ bản là tiến trình từng cắt-đôi một. Vì vậy, những cực nhỏ không thể đạt được trong
cách này. Những nhầm lẫn về những đề tài như vậy đã góp phần
rất nhiều vào những khó khăn vốn đã tìm thấy trong thảo luận về tính vô hạn và tính liên tục.
CHƯƠNG XII:
Những Lựa
Chọn Và Tiên đề Nhân
Trong chương này, chúng ta phải xem xét
một tiên đề vốn nó có thể được công
bố, nhưng không được chứng minh về lôgích, và nó thì tiện lợi, dù không là không thể thiếu,
trong một số phần nhất định của toán học. Nó thì tiện lợi, trong ý hướng rằng nhiều những mệnh đề thu hút chú ý, vốn xem có vẻ tự nhiên để giả định là đúng, không thể chứng minh được nếu không có giúp đỡ của nó; nhưng nó
thì không là không thể thiếu,, vì ngay cả khi không có những mệnh đề đó, những môn học trong đó vốn chúng xảy ra vẫn tồn
tại, dù trong một dạng bị cắt xén phần
nào
Trước khi nói ra tiên đề nhân, chúng
ta trước tiên phải giải thích lý thuyết của những lựa chọn, và định nghĩa của phép nhân khi số của những thừa số có thể là vô
hạn.[20]
Trong việc định nghĩa những phép toán
số học, tiến trình đúng duy nhất là để
xây dựng một lớp thực (hay quan hệ, trong
trường hợp
những số-quan hệ) có số đòi hỏi của
những số hạng. Điều này đôi khi yêu cầu một thực
chất nhất đinh của khéo léo sáng tạo, nhưng nó là thiết yếu để chứng minh sự hiện hữu của số đã định nghĩa. Lấy thí dụ đơn giản nhất như trường hợp của phép toán cộng. Giả sử chúng ta
được cho một số đếm μ và một lớp α vốn có μ
những số hạng. Chúng ta sẽ định nghĩa μ + μ như thế nào? Cho mục đích này, chúng
ta phải có hai lớp có μ những
số hạng, và chúng không được trùng nhau. Chúng ta có thể xây dựng những lớp như
vậy từ α trong nhiều cách khác nhau, trong số đó cách sau thì có lẽ đơn giản nhất:
Thành
lập đầu tiên là tất cả những cặp có thứ bậc
có số hạng đầu tiên là một lớp gồm một phần tử duy nhất của α, và có số hạng thứ hai là lớp-rỗng; [21] sau đó, thứ hai,
thành lập tất cả những cặp có thứ bậc có số hạng đầu tiên là lớp-rỗng và có số hạng thứ hai là
một
lớp gồm một phần tử duy nhất của α. Hai lớp của những cặp này không có phần
tử nào chung và tổng lôgích của hai lớp sẽ có μ + μ những số hạng. Một cách tương tự đúng như thế, chúng ta có thể định nghĩa μ + ν, đem cho rằng μ là số của một số lớp α
nào
đó và ν là số của một số lớp β
nào đó.
Những định nghĩa như vậy, như một quy
luật, đều đơn thuần
chỉ một câu hỏi của một phương kế kỹ thuật thích hợp. Nhưng trong trường hợp của phép nhân, ở đó số của những thừa số có thể là vô
hạn, những vấn đề quan trọng nảy sinh ra từ định nghĩa.
Phép toán nhân khi số của những thừa số là hữu hạn không đem cho khó khăn. Cho hai lớp
α và β, trong đó lớp thứ nhất có μ số hạng và lớp
thứ hai có ν số hạng, chúng ta có
thể định nghĩa μ × ν như số của
những cặp có thứ bậc vốn có thể được tạo thành
bằng cách chọn số hạng đầu tiên trong số α và số hạng thứ hai
trong số β.. Sẽ thấy rằng định nghĩa này không đòi hỏi rằng α và β sẽ không được trùng
nhau; nó ngay cả vẫn còn thỏa đáng khi α và β là đồng nhất. Thí dụ, cho α là lớp có những phần
tử là x1, x2, x3. Sau đó, lớp được dùng để định nghĩa tích μ × μ là lớp của những cặp:
(x1, x1), (x1, x2), (x1, x3); (x2, x1), (x2, x3), (x2, x3);
(x3, x1), (x3, x2), (x3, x3).
Định nghĩa này vẫn áp dụng được khi μ hay ν hay cả hai là vô
hạn, và nó có thể được mở rộng từng bước đến ba hay bốn, hay bất kỳ số hữu hạn
nào của những thừa số. Không có khó khăn nào nảy sinh về mặt định nghĩa này, ngoại
trừ rằng nó không thể được mở rộng đến một số vô hạn của những thừa số.
Vấn đề của phép toán nhân khi số của
những thừa số có thể là vô hạn nảy sinh trong cách này: Giả sử
chúng ta có một lớp κ gồm những lớp; giả định số của những số hạng trong những lớp này được đem cho. Chúng ta sẽ định nghĩa tích số của tất cả những số
này
thế nào? Nếu chúng ta có thể tổng quát đóng
khung định nghĩa của chúng ta, nó sẽ có thể áp dụng được cho dù κ là hữu hạn hay vô hạn. Điều để quan sát rằng vấn đề là để có khả năng để giải quyết với trường hợp khi κ là vô hạn, không với
trường hợp khi những phần tử của nó là vô hạn. Nếu κ thì không vô hạn, phương pháp
đã định nghĩa ở trên thì
đồng thời cũng áp dụng được khi những phần tử của nó là vô hạn như khi chúng là hữu hạn. Đó là trường
hợp khi κ thì vô hạn, ngay
cả những phần tử của nó có thể là hữu hạn,
khiến chúng ta phải tìm một
cách để giải quyết với nó.
Phương pháp định nghĩa phép nhân sau
đây trong tổng quát là do Tiến sĩ Whitehead. Nó được giải thích và giải quyết
trong
chi tiết trong Principia Mathematica, vol. i. * 80ff. và vol. ii. * 114.
Để bắt đầu, chúng ta hãy giả định
rằng κ là một lớp của những lớp,
không có hai trong số chúng trùng nhau – hãy
nói những đơn vị bầu cử (hay cử
tri đoàn) trong một quốc gia, ở đó một cử tri không bỏ phiều nhiều lần, mỗi cử
tri đoàn được xem như một lớp của những cử tri. Bây giờ chúng
ta hãy bắt
đầu làm việc để chọn ra một số hạng của mỗi lớp để là đại diện của nó, như những đơn vị bầu cử làm khi họ
bầu chọn những nghị
viên của Nghị viện, giả định rằng theo luật
mỗi cử
tri đoàn phải chọn một người vốn người này là một cử tri trong cử
tri đoàn đó. Thế nên, chúng ta đi đến một lớp của những đại diện, những người làm thành Nghị viện của chúng
ta, một người được chọn từ mỗi cử tri đoàn. Có thể
có bao nhiêu cách khác nhau của việc lựa chọn một Nghị viện? Mỗi cử tri đoàn có thể chọn một
ai bất kỳ trong những cử tri của nó, và do đó, nếu có μ những cử tri trong một cử
tri đoàn, nó có thể làm μ những
lựa chọn. Những lựa chọn của những
đơn vị bầu cử khác nhau đều
là độc lập; thế nên, hiển nhiên rằng, khi số tổng số của những đơn vị bầu cử thì hữu hạn, số của những Nghị viện có thể có thì có được bằng việc nhân với nhau những số của những cử tri trong những đơn vị bầu cử
khác nhau. Khi chúng ta không biết liệu số của những đơn vị bầu cử
là hữu hạn hay vô hạn, chúng ta có thể lấy số của những Nghị viện có thể có như
xác định tích số của những
số của những đơn vị bầu cử riêng biệt. Đây là
phương pháp qua
đó những tích số vô hạn
được định nghĩa. Bây giờ chúng ta phải buông bỏ minh họa của chúng ta
và tiến hành
đến những phát biểu chính xác.
Gọi κ là một lớp của những lớp, và chúng ta hãy giả định để bắt đầu với việc
không có hai phần tử nào của κ trùng nhau, nghĩa là nếu α và β là hai phần tử khác
nhau của κ, khi đó không phần tử nào của
một này là phần tử của một
kia. Chúng ta sẽ gọi một lớp là một “lựa chọn” từ κ khi nó gồm chỉ
đúng một số hạng từ mỗi phần tử của κ; tức là μ là một “lựa chọn” từ κ nếu mọi phần tử của μ thuộc về một phần tử
nào đó của κ, và nếu α là bất kỳ phần tử
nào của κ, μ và α có chung đúng một số hạng. Lớp của tất cả những “lựa chọn” từ κ chúng ta sẽ gọi là “lớp nhân” của κ. Số cảu
những số hạng trong lớp nhân của κ, tức là số của
những lựa chọn có thể có từ κ, được định nghĩa là tích số
của những số của những phần tử của κ. Định nghĩa này thì có thể áp dụng như nhau cho dù κ là hữu hạn hay vô hạn.
Trước khi chúng ta có thể hoàn toàn hài
lòng với những định nghĩa này, chúng ta phải loại bỏ hạn chế rằng không có hai
phần tử nào của κ trùng nhau. Vì mục
đích này, thay vì định nghĩa trước tiên một lớp gọi là một “lựa chọn”, trước
tiên chúng ta sẽ định nghĩa một quan hệ vốn chúng ta sẽ gọi là “cách chọn”[22]. Một quan hệ R sẽ gọi
là “cách chọn” từ κ nếu từ mọi phần tử
của κ, nó chọn ra một số
hạng như đại diện của phần tử đó, tức là nếu, với bất kỳ phần tử α nào của κ, chỉ có một số hạng x là một
phần tử của α và có quan hệ R với α; và đây là tất cả những gì R làm. Định
nghĩa chính thức là:
Một “cách chọn” từ một lớp của những lớp κ là một quan hệ một-nhiều, có κ cho miền đảo của nó, và sao cho, nếu
x có quan hệ với α, thì x là một phần tử của α.
Nếu R là một cách chọn từ κ, và α là một phần tử của κ, và x là số hạng có quan hệ R với α, chúng ta gọi x là “đại diện” của α theo quan hệ R.
Một “lựa chọn” từ κ bây giờ sẽ được định nghĩa như miền của một cách
chọn; và lớp nhân, như trước đây, sẽ là lớp của những lựa chọn.
Nhưng khi những phần tử của κ chồng lên nhau, có thể có nhiều cách chọn hơn những lựa chọn, vì một số
hạng x thuộc hai lớp α và β có thể được chọn một
lần để đại diện cho α và một lần để đại diện cho β, dẫn đến những cách chọn khác nhau trong
hai trường hợp, nhưng với cùng một lựa chọn. Đối với mục đích định nghĩa phép nhân, nó là những
cách chọn chúng ta đòi hỏi chứ không là những lựa chọn. Thế nên, chúng ta định
nghĩa:
“Tích số của những số của những phần tử của một lớp
của những lớp κ” là số của
những cách chọn từ κ.
Chúng ta có thể định nghĩa lũy thừa bằng
một sửa
chữa cho hợp của cách làm ở trên. Dĩ nhiên, chúng
ta có thể định nghĩa μv như số của những cách chọn từ ν những lớp, mỗi chúng có μ những số hạng. Nhưng có
những phản đối với định nghĩa này, đến từ từ sự kiện là tiên đề nhân (mà
chúng ta sẽ nói ngay sau đây) thì
đã liên quan không cần thiết
phải liên quan nếu nó được tiếp nhận. Thay vào đó, chúng
ta tiếp
nhận cách xây dựng sau: −
Cho α là một lớp có μ những
số hạng và β là một lớp có ν những số hạng. Gọi y là một phần tử
của β, và tạo thành lớp của tất cả những cặp có thứ bậc khiến có y cho số hạng thứ hai và một phần tử
của α cho số hạng đầu tiên của chúng. Sẽ có μ những cặp như vậy đối với một y đem cho, vì bất kỳ phần tử
nào của α có thể được chọn cho số hạng đầu tiên, và α có μ những phần tử. Nếu bây giờ chúng ta hình thành tất cả những lớp của loại
này là kết quả của việc thay đổi y,
chúng ta thu được toàn
bộ tất cả những lớp ν, vì y có thể là phần tử bất
kỳ nào của β và β có ν những phần tử. Những
lớp ν này đều mỗi chúng là một lớp của
những cặp, đó là tất cả những cặp có
thể được tạo thành từ một phần tử thay đổi của α và một phần tử cố
định của β. Chúng ta định nghĩa μv như số của những cách chọn từ lớp gồm
những lớp ν này. Hay chúng ta cũng có thể định nghĩa μv như số của những lựa chọn, vì những lớp cặp của chúng ta loại trừ lẫn nhau, nên số của những cách chọn cũng giống
như số của
những lựa chọn. Một lựa chọn từ lớp những lớp
của chúng ta sẽ là một set những cặp có thứ bậc, trong đó sẽ có chính xác một
có bất kỳ phần tử nào của β cho số hạng thứ hai của nó và số hạng đầu tiên có thể là bất kỳ phần tử
nào của α. Thế nên μ ν được định nghĩa bởi những cách chọn từ một set ν lớp nhất định vốn mỗi lớp có μ số hạng, nhưng set là một set có cấu trúc nhất định và thành phần dễ
quản lý hơn so với trường hợp trong tổng quát. Sự liên quan của điều này với
tiên đề nhân sẽ sớm xuất hiện.
Những
gì áp dụng cho phép tính lũy thừa cũng áp dụng
cho tích số của hai số
đếm. Chúng ta có thể định nghĩa “ μ × ν” như tổng số của những số của ν những lớp,
mỗi chúng có μ số hạng, nhưng chúng ta chọn để định nghĩa nó như số của những cặp có thứ bậc
được tạo thành gồm một phần tử của α theo sau là một phần tử của β, trong đó α có μ số hạng và β có ν số hạng. Định nghĩa
này cũng đã
dự kiến để tránh sự cần thiết của việc giả định
tiên đề nhân.
Với những định nghĩa của chúng ta,
chúng ta có thể chứng minh những qui luật chính thức thông thường của phép nhân
và phép lũy thừa. Nhưng có một điều
chúng ta không thể chứng min được: chúng ta không thể chứng minh rằng một tích số chỉ bằng zero khi một trong những thừa tố của nó bằng zero. Chúng ta có thể
chứng minh điều này khi số của
những thừa tố là hữu hạn, nhưng
khi nó là vô hạn
thì không thể chứng minh. Nói cách khác, chúng ta không thể
chứng minh rằng, đem
cho một một lớp của những lớp không có lớp nào của chúng là rỗng [23], phải có những cách chọn từ chúng; hay rằng, đem cho một một lớp gồm những lớp loại trừ lẫn nhau, phải có ít nhất một lớp gồm một
số hạng lấy
ra từ mỗi lớp của những lớp đã cho. Những điều này không thể được chứng minh; và mặc dù ngay từ nhìn
vội đầu tiên, chúng xem
dường hiển nhiên là đúng, nhưng suy ngẫm đem lại tăng dần nghi ngờ,
cho đến khi cuối cùng chúng ta thành hài lòng khi ghi nhận giả định và những hệ quả của nó, như chúng ta ghi nhận tiên đề của của đường thẳng song song, với không giả định rằng chúng ta có thể biết liệu nó là đúng hay là sai. Giả định, được
nói một cách lỏng lẻo, là rằng
những cách chọn và những chọn lựa tồn ại khi chúng ta sẽ
trông mong chúng (là có). Có nhiều cách tương đương để phát biểu nó một cách chính
xác. Chúng ta có thể bắt đầu với như sau: −
“Đem cho bất kỳ lớp nào của
những lớp loại trừ lẫn nhau, trong đó không lớp nào là rỗng, có ít nhất một lớp
vốn
nó có đúng một số hạng có chung với mỗi của những lớp đã cho”.
Mệnh đề này chúng ta sẽ gọi là “tiên
đề nhân” [24] Trước tiên, chúng ta sẽ đem cho những dạng tương đương khác của mệnh
đề, và sau đó xem xét một số lối trong đó sự đúng hay sai của nó là
quan tâm của toán học
Tiên đề nhân tương đương với mệnh đề
rằng − một tích số chỉ bằng 0 khi ít nhất một
trong những thừa số của nó bằng 0; nghĩa là, nếu bất kỳ số nào của những số đếm được nhân với nhau,
kết quả không thể là 0,
trừ khi một trong những số đã liên quan là 0.
Tiên đề nhân tương đương với mệnh đề
rằng − nếu R là bất kỳ quan hệ nào, và κ bất kỳ lớp nào chứa trong miền nghịch đảo của R, thì có ít nhất một quan hệ một-nhiều hàm
ý R và có κ cho miền nghịch đảo
của nó.
Tiên đề nhân tương đương với giả định rằng − nếu α là lớp bất kỳ và κ tất cả những lớp-con của α với ngoại lệ của lớp- không, thì có ít nhất
một cách chọn từ κ. Đây là dạng trong đó tiên đề đã đầu tiên được Zermelo
đem đến
ghi nhận của giới học giả, trong “Beweis,
dass jede Menge wohlgeordnet werden kann” của ông [25] Zermelo coi tiên đề như một sự đúng thực không thể nghi ngờ. Cần phải
thú nhận rằng, cho đến khi ông làm nó công khai rõ ràng, những nhà toán học đã dùng nó vớ không một e ngại; nhưng có vẻ
như họ đã làm như vậy một cách vô thức. Và công lao nhờ vào Zermelo cho việc công bố rõ ràng dứt khoát là hoàn toàn độc lập với câu hỏi biết liệu nó là
đúng hay là sai.
Tiên đề nhân đã được Zermelo [26] cho thấy, trong chứng minh nêu trên, để là tương đương với mệnh
đề rằng mọi lớp đều có thể là sắp xếp tốt, tức là có thể được sắp xếp thành một chuỗi trong đó mọi lớp-con đều có một số hạng đầu tiên
(ngoại trừ,
dĩ nhiên, lớp-rỗng). Chứng minh đầy đủ của mệnh đề này thì khó khăn, nhưng không khó để
thấy được nguyên tắc tổng quát dựa trên đó nó tiến hành. Nó dùng
dạng vốn chúng ta gọi là “tiên đề của Zermelo”, tức là nó
giả định rằng, với bất kỳ lớp α đem cho nào, có ít nhất một quan hệ một-nhiều R
có miền nghịch đảo gồm tất cả những lớp-con đang có của α và vốn là sao cho, nếu x có quan hệ R với ξ, khi đó x là một phần tử của ξ.
Một
quan hệ như vậy chọn ra một “đại diện” từ
mỗi lớp-con; dĩ nhiên, điều thường xảy ra sẽ
là trường hợp hai lớp-con có cùng một đại
diện. Thực ra, những gì Zermelo làm là đếm kể hết những phần tử của α, từng phần tử một, bằng phương
tiện của R và quy nạp vô hạn [27]. Đầu tiên, chúng ta đặt đại diện
của α; gọi nó là x1. Sau đó lấy đại diện của lớp gồm tất cả những α trừ x1; gọi nó là x2. Nó phải khác với x1, vì mọi đại diện là
phần tử của lớp của nó, và x1 bị chặn khỏi lớp này. Tiến hành tương tự để lấy đi x2 và đặt x3 là đại diện của những gì còn lại. Trong cách này, đầu tiên
chúng ta có được một cấp số x1, x2, … xn, …, giả định rằng α thì không hữu hạn. Sau đó, chúng ta lấy đi toàn bộ cấp số; Gọi xω là đại diện của những gì còn lại của α. Trong cách này, chúng ta có thể tiếp tục cho đến khi không gì còn lại. những đại
diện tiếp sau sẽ hình thành một chuỗi có thứ bậc tốt, chứa tất cả những
phần tử của α. (Dĩ nhiên, ở trên chỉ là một gợi ý về những đường tổng quát của chứng
minh). Mệnh đề này gọi là “Định lý Zermelo”.
Tiên đề nhân cũng tương đương với giả
định rằng thuộc bất kỳ hai số đếm nào không bằng nhau, thì một số phải là số lớn hơn. Nếu tiên đề
sai, sẽ có những số đếm μ và ν sao cho μ không nhỏ hơn, bằng
với,
hay cũng không lớn hơn ν. Chúng ta đã thấy rằng ℵ1 và 2ℵ0 có thể tạo thành một trường hợp xảy ra của một cặp như vậy.
Nhiều những dạng khác của tiên đề có thể được
đem cho, nhưng ở trên là những
dạng quan trọng nhất của những dạng được biết
hiện nay. Về phần đúng hay sai của tiên đề
trong bất kỳ dạng nào của nó, hiện nay không
gf thì được biết.
Những mệnh đề tùy thuộc trên tiên đề,
vốn không được biết là tương đương với nó, là rất nhiều và quan trọng. Trước
hết hãy xem sự kết nối của phép cộng và phép nhân. Chúng ta tự nhiên nghĩ rằng
tổng
số của ν những lớp loại trừ
lẫn nhau, mỗi lớp có μ những số hạng, phải có μ × ν những số hạng. Khi ν là hữu hạn, điều này có thể được chứng minh. Nhưng khi ν là vô hạn, nó không thể được chứng minh nếu không có tiên đề
nhân, ngoại trừ trường hợp, nhờ vào một số trường hợp đặc
biệt, sự hiện hữu của một số cách chọn nhất định có thể được chứng minh. Cách
tiên đề nhân đi
vào như sau: Giả sử chúng ta có hai set ν của
những lớp loại trừ nhau, mỗi lớp có μ những
số hạng, và chúng ta muốn chứng minh
rằng tổng số của một set có cũng nhiều
những số hạng như tổng số của set kia. Để chứng minh
điều này, chúng ta phải thiết lập một quan hệ một-một. Bây
giờ, vì có trong mỗi trường hợp
ν những lớp, có một số-quan hệ một-một
nào
đó giữa hai set của những lớp; nhưng những gì
chúng ta muốn là một quan hệ một-một giữa những số hạng của chúng. Chúng ta hãy xem xét một
số-quan hệ một-một S giữa những lớp. Sau đó, nếu κ và λ là hai set của những lớp và α là một vài phần tử nào đó của κ, thì sẽ có một phần
tử β của λ vốn
nó sẽ là tác động tương quan của α đối với S. Bây giờ,
mỗi α và β đều có μ những
số hạng, và do đó là tương đương. Thế nên,
có những tương quan một-một của α và β. Vấn đề khó khăn là có quá nhiều. Để có được một
tương quan một-một của tổng số của κ với tổng số của λ, chúng ta phải chọn ra một tương quan của α với β, và tương tự cho mọi cặp khác. Điều
này đòi hỏi một lựa chọn từ một set của những lớp của những tác động tương
quan, một lớp của set là tất cả những tác động tương quan một-một của α với β. Nếu κ và λ là vô hạn, trong tổng quát chúng ta không thể biết rằng một lựa
chọn như vậy thì
có tồn tại, trừ khi chúng ta có thể biết rằng
tiên đề nhân là đúng. Thế nên, chúng ta không thể thiết lập loại kết nối thông
thường giữa phép cộng và phép nhân.
Điều này có nhiều những hậu quả gây chú ý muốn biết. Để bắt đầu, chúng ta biết rằng ℵ0 2 = ℵ0 × ℵ0 = ℵ0. Là thông thường để suy diễn
từ điều này rằng tổng số của ℵ0 những lớp vốn mỗi lớp có ℵ0
những phần tử phải chính nó có ℵ0 những phần tử, nhưng suy
luận này là sai lầm, vì chúng ta không biết rằng số của nhứng số hạng trong một tổng số loại như vậy là ℵ0 × ℵ0, và cũng không biết sau đố rằng nó là ℵ0. Điều này có một liên quan ý
nghĩa với lý thuyết về những số thứ tự vô hạn. Dễ dàng để chứng minh rằng một
số thứ tự
vốn có ℵ0 những số tiếp trước phải là
một trong những gì vốn Cantor gọi là “hạng thứ hai”, tức là sao cho một chuỗi có số thứ
tự này sẽ có ℵ0 những số hạng trong trường của nó. Cũng dễ dàng để thấy rằng, nếu chúng
ta lấy bất kỳ cấp
số nào của những số thứ tự của lớp thứ hai, thì
những số tiếp trước của giới hạn của chúng tạo thành nhiều nhất là tổng số của ℵ0 những mỗi lớp có ℵ0 số hạng. Thế nên, người ta suy ra – một cách sai lầm, trừ khi tiên đề
nhân là đúng – rằng tiền đề của giới
hạn là ℵ0 về số, và thế nên giới hạn là một số thuộc “lớp thứ hai”. Đó là để nói rằng, nó thì
giả định để là được chứng minh rằng bất kỳ cấp số nào của những số thứ tự của lớp thứ hai có một giới hạn vốn lại là số thứ tự của lớp thứ hai. Mệnh
đề này, với hệ quả là ω1 (số thứ tự nhỏ nhất của lớp thứ
ba) thì không là giới hạn của bất kỳ cấp số nào, có liên quan với hầu hết những
lý thuyết đã được công nhận của những số thứ tự của lớp thứ hai. Xét
về cách thức liên quan với tiên đề nhân, mệnh đề và hệ quả của nó không thể
được coi là đã được chứng minh. Chúng có thể là đúng, hay có thể
không
đúng. Hiện tại, tất cả những gì có
thể nói là chúng ta không biết. Thế nên, phần lớn hơn của lý thuyết về những số thứ tự của lớp thứ hai phải
được xem
như không được chứng minh.
Một minh họa khác có thể giúp để làm rõ hơn điểm này. Chúng ta biết rằng 2 × ℵ0 = ℵ0. Thế nên, chúng ta có thể giả định
rằng tổng số của ℵ0 những cặp phải có ℵ0 những số hạng. Nhưng điều này, mặc dù chúng ta có thể chứng minh rằng
đôi khi nó là
điều xảy ra, không thể được
chứng minh là luôn luôn xảy ra, trừ khi chúng ta giả
định tiên đề nhân. Điều này được minh họa bởi một triệu phú, người đã mua một đôi bít
tất hễ khi nào ông mua một đôi ủng, và không
bao giờ mua bất kỳ lúc nào khác, và người có đam mê mua cả hai thứ đó cuối cùng
ông đã có ℵ0 đôi ủng và ℵ0 đôi bít tất. Vấn đề là: Ông
đã có bao nhiêu chiếc ủng, và bao nhiêu chiếc bít tất? Đương nhiên
người ta sẽ giả định rằng ông đã có gấp đôi số những chiếc ủng và
cũng có gấp đôi số những chiệc bít tất vì ông đã có những đôi của mỗi chiêc, và thế nên ông có ℵ0 của
mỗi chiếc, vì con số đó không tăng lên
bởi
sự gấp đôi. Nhưng đây là một trường hợp thí dụ của sự khó khăn, đã được lưu
ý, của
việc kết nối tổng số của ν những lớp mỗi lớp có μ những số hạng với μ × ν. Đôi khi điều này có
thể làm
được, đôi khi nó không thể. Trong trường
hợp của chúng ta, nó có thể làm
được với những chiếc ủng, nhưng không với
những chiếc bít tất, ngoại trừ bởi một số phương
sách rất nhân tạo nào đó. Lý do cho sự khác
biệt này là: Giữa những chiếc
ủng, chúng ta có thể phân biệt phải và
trái, và thế nên chúng ta có thể làm một lựa chọn
lấy ra một trong số mỗi đôi, đó là chúng ta có
thể chọn tất cả những chiếc ủng bên phải hay tất cả những chiếc ủng bên trái;
nhưng với những
chiệc bít tất tự nó không gợi ý
nguyên tắc lựa chọn nào như vậy, và chúng ta không thể chắc chắn, trừ khi chúng
ta giả định tiên đề nhân, rằng có lớp bất kỳ nào gồm một
chiếc bít tất trong mỗi cặp. Thế nên vấn đề là thế.
Chúng ta có thể đặt vấn đề trong một cách khác. Để
chứng minh rằng một lớp có ℵ0 những số hạng, điều cần và đủ để tìm một
số cách nào
đó của việc sắp xếp những số hạng của nó trong một
cấp số. Không có khó khăn để làm điều này với những chiếc ủng. Những cặp
được đem cho như tạo thành một ℵ0, và thế nên như trường của một cấp số. Trong mỗi cặp, đi chiếc ủng bên trái trước tiên
và chiếc thứ hai bên phải, giữ nguyên thứ bậc của cặp đó; trong cách này, chúng
ta có được một tiến trình của tất cả những chiếc ủng. Nhưng với những chiếc tất, chúng ta sẽ phải
chọn tùy tiện, với mỗi đôi, cái nào nên đi trước; và một số vô ạn của những lựa chọn tùy tiện là một
không thể có. Trừ khi chúng ta có
thể tìm thấy một quy tắc cho sự lựa chọn, tức là một
quan hệ vốn
nó là một cách chọn, chúng ta không biết về
lý thuyết, ngay
cả một lựa chọn thì có thể có hay không. Dĩ nhiên, trong trường hợp những đối tượng trong không gian, lấy thí
dụ như tất, chúng ta luôn luôn có thể tìm thấy một số nguyên tắc lựa chọn nào đó. Thí dụ, lấy trọng tâm của khói những đôi bít tất: sẽ có những điểm p trong
không gian sao cho, với bất kỳ đôi bít tất nào, trọng tâm của hai chiêc
bít tất đều không nằm ở cùng một
khoảng cách chính xác với p; thế nên, chúng ta có thể chọn, từ mỗi đôi bít tất, chiếc bít tất có khối trọng tâm của nó gần với p hơn.
Nhưng không có lý do lý thuyết nào tại sao một phương pháp lựa chọn như thế này
luôn luôn có
thể làm được, và trường hợp của những chiệc bít tất, với một chút thiện chí về phần người đọc, có thể
dung
để cho thấy một lựa chọn có thể là không thể có được.
Điều để được quan sát rằng, nếu
đã là không thể nào để chọn
một ra từ mỗi đôi bít tất, điều
sẽ dẫn đến rằng những chiếc bít tất không thể được sắp xếp trong một cấp số, và do
đó đã không có ℵ0 của chúng. Trường hợp này minh
họa rằng, nếu μ là một số vô hạn, một
set
của μ những cặp có thể không chứa cùng số của những số hạng như một set khác của μ những cặp; vì đem cho ℵ0 những đôi ủng, chắc chắn có
ℵ0 những chiệc ủng,, nhưng chúng ta không thể chắc chắn về điều này trong trường hợp của những đôi bít tất trừ khi chúng ta giả định tiên đề nhân hay dựa trên
một số phương pháp hình học ngẫu nhiên của chọn lựa giống như trên.
Một vấn đề quan trọng khác liên quan
với tiên đề nhân là quan hệ của tính phản xạ và tính không quy nạp. Điều sẽ được ghi nhớ rằng trong Chương VIII. chúng ta đã cho thấy rằng một số phản xạ phải là không quy nạp, nhưng
rằng ngược lại (cho đến giờ như đã biết lúc này) có thể
chỉ được chứng minh nếu chúng ta giả định tiên đề nhân. Cách thức trong đó điều này xảy ra như sau: −
Điều là dễ dàng để chứng minh rằng một lớp phản xạ là một
lớp chứa những lớp-con có ℵ0 những số hạng. (Dĩ nhiên, lớp có thể tự nó có ℵ0 những
số hạng). Thế
nên, nếu có thể, chúng ta phải chứng minh,
nếu chúng ta có thể, rằng
đem cho bất kỳ lớp không quy nạp nào, là có thể được để chọn một cấp số ra từ những số hạng của nó. Bây giờ, không
khó khăn trong việc cho thấy rằng một lớp không quy nạp phải chứa nhiều những
số hạng hơn bất kỳ
lớp quy nạp nào, hoặc, xảy ra điều tương tự, rằng nếu α là một lớp không quy nạp và ν là bất kỳ số quy nạp nào, thì có những lớp-con của α có ν những số hạng. Thế nên, chúng ta có
thể hình thành những set của những lớp-con hữu hạn của α: Đầu tiên là một lớp không có số hạng, sau đó là những lớp có 1 số hạng
(cũng nhiều như có những phần tử của α), sau đó là những lớp có 2 số hạng, v.v. Thế nên, chúng ta có một cấp số của những set của những lớp con, mỗi set gồm tất cả những
lớp-con đó vốn có một số hạng nhất định nào đó đã cho. Cho đến giờ chúng ta vẫn chưa dùng tiên đề nhân
nhưng chúng ta đã chỉ chứng minh rằng số của những sưu tập của những lớp-con của α là một số phản xạ, tức là nếu μ là số phần tử của những phần tử của α,
như
thế khiến thì 2 μ là số của những lớp-con của α và 22
μ là số của những sưu tập của những lớp-con,,
khi đó, với điều kiện μ thì không quy nạp, 22
μ phải là phản xạ. Nhưng đây là một chặng đường dài so với những gì chúng ta đặt
ra để chứng minh.
Để tiến xa hơn điểm này, chúng ta phải dùng tiên đề nhân. Từ mỗi set
của những lớp con, chúng ta hãy chọn ra một lớp, bỏ qua lớp-con gồm riêng lớp-rỗng. Nghĩa là, chúng ta chọn một
lớp-con chứa một số hạng, α1, giả định; một chứa hai số hạng, α2, là nói rằng; một chứa ba, α3, là nói rằng; và tiếp
tục như thế. (Chúng ta có thể làm điều này nếu tiên đề nhân được giả định;
nếu không, chúng ta không biết liệu chúng ta có thể làm được hay không). Bây
giờ chúng ta có một cấp số nhân α1, α2, α3, … của những lớp-con của α, thay vì a tiến trình của set những lớp con; thế nên, chúng ta đang tiến
gần hơn một bước tới mục tiêu của chúng ta. Bây giờ chúng ta biết rằng, giả
định tiên đề nhân, nếu μ là một số không quy nạp, thì 2 μ phải là một số phản xạ.
Bước kế tiếp là để ghi nhận rằng, mặc dù chúng ta không thể chắc chắn rằng những phần tử mới của α đi
vào ở bất kỳ giai đoạn cụ thể nào trong cấp
số α1, α2, α3, … nhưng chúng ta có thể chắc chắn rằng
những phần tử mới sẽ thỉnh thoảng tiếp tục đi vào. Chúng ta hãy minh họa. Lớp α1, vốn gồm một số hạng, là một bắt đầu mới; hãy gọi số hạng một là x1. Lớp α2, gồm hai số hạng, có thể chứa hay không chứa x1.; nếu nó có, nó đưa
vào một số hạng mới; và nếu không, nó phải đưa
vào hai số hạng mới, giả định x2, x3. Trong trường hợp này, có thể α3 gồm x1,
x2, x3., và thế nên không đưa
vào số hạng mới, nhưng trong trường hợp đó, α4 phải đưa
vào một số hạng mới. Những ν
lớp đầu tiên α1, α2, α3, ... αν chứa, ở mức nhiều nhất, là 1 + 2 + 3 +… + ν những
số hạng, tức là ν (ν + 1) / 2 những số hạng; thế nên, sẽ có thể xảy ra,
nếu đã không có những lập lại nào trong ν lớp đầu tiên, chỉ có những lần lập lại từ lớp (ν + 1) đến lớp thứ ν (ν + 1) / 2. Nhưng vào thời điểm đó, những số hạng cũ sẽ không còn đủ
nhiều để tạo thành một lớp tiếp theo với đúng số của những
phần tử, tức là ν (ν + 1) / 2 + 1, thế nên, những số hạng mới phải đi vào thời điểm này nếu không sớm hơn.
Sau đó, nếu chúng ta bỏ qua cấp số của chúng ta α1, α2, α3, … tất cả những lớp vốn
gồm toàn bộ những
phần tử vốn đã xảy ra trong những lớp trước đó, chúng ta sẽ vẫn có một cấp số. Gọi
cấp số mới của chúng ta là β1, β2, β3… (Chúng ta sẽ có α1 = β1 và α2 = β2, vì α1 và α2 phải đem cho những số hạng mới. Chúng ta có thể có hay không có α3 = β3, nhưng nói tổng quát, β μ sẽ là αν, trong đó ν là một số nào đó lớn hơn μ; nghĩa là những β là một số nào
đó cuả những α). Bây giờ những β này sao cho bất kỳ một nào của chúng, lấy thí dụ như β μ, chứa những phần tử
vốn chưa xuất hiện trong bất kỳ những β nào trước đó. Gọi γμ là phần của βμ vốn gồm những phần tử mới. Thế nên, chúng ta
có
một cấp số mới γ1, γ2, γ3, … (Một lần nữa γ1 sẽ giống hệt với β1 và với α1; nếu α2 không chứa một phần tử của α1, chúng ta sẽ có γ2 = β2 = α2, nhưng nếu α2 có chứa một phần tử này, γ2 sẽ gồm phần tử khác của α2). Cấp số mới này của γ gồm những lớp loại trừ lẫn nhau. Thế
nên, một sự lựa chọn từ chúng sẽ là một cấp
số; tức là nếu x1 là
phần tử của γ1, x2 là phần tử của γ2, x3 là phần tử của γ3, v.v. thì x1,
x2, x3, … là một cấp số, và là một
lớp-con của α. Sau khi gđịnh tiên đề nhân, có thể thực hiện một lựa chọn như vậy. Vì vậy, bằng
việc hai lần dùng tiên đề này, chúng ta có thể chứng minh rằng, nếu tiên đề
là đúng, mọi số đếm không quy nạp phải là phản xạ. Điều này cũng có thể được
suy ra từ định lý Zermelo, rằng, nếu tiên đề đúng, mọi lớp đều có thể đã là sắp xếp tốt; đối với một chuỗi đã sắp
xếp tốt phải có hoặc một số của những số hạng hữu hạn hoặc phản xạ trong trường của nó.
Có một lợi thế trong lập luận trực tiếp ở trên,
như
phản lại diễn dịch từ định lý của Zermelo, rằng lập luận trên không đòi hỏi sự đúng
thực phổ quát của tiên đề nhân, nhưng chỉ sự đúng thực của nó như được áp dụng cho một set của những lớp ℵ0. Có thể xảy ra rằng tiên đề giữ giá trị cho những lớp ℵ0, mặc dù không gữ
đúng cho những số lớn hơn của những lớp. Vì lý do này, tốt hơn là, khi có thể,
hãy tự bằng lòng với sự giả định hạn chế hơn. Giả định được đem cho trong lập luận trực tiếp ở trên là tích số của ℵ0 thừa số thì không bao giờ bằng không trừ khi một
trong những thừa số bằng 0. Chúng ta có thể phát biểu giả định này trong dạng: “ℵ0 là một số có
thể nhân được” [28], trong đó một số ν được định nghĩa là “có thể nhân được” khi một tích số của ν những thừa số không bao giờ bằng 0 trừ khi một trong những thừa số bằng
0. Chúng ta có thể chứng minh rằng một số hữu hạn thì luôn luôn là có
thể nhân được, nhưng chúng ta không thể chứng minh rằng bất kỳ số vô hạn nào
cũng như vậy. Tiên đề nhân tương
đương với giả định rằng tất cả những số đếm đều là có thể nhân được. Nhưng để nhận
biết tính phản xạ với không-quy nạp, hay để giải quyết vấn đề của những
đôi ủng và bít tất, hay để cho thấy rằng bất kỳ cấp số nào của những số của lớp thứ hai là thuộc lớp thứ hai, chúng ta chỉ cần giả định rất nhỏ hơn nhiều. rằng ℵ0 là là có thể nhân được.
Điều là không phải không chắc sẽ xảy ra rằng có nhiều để được khám phá liên quan với những đề
tài đã thảo luận trong chương này. Những
trường hợp có thể được tìm thấy ở đó những mệnh đề vốn xem dường có liên quan với tiên đề nhân có thể được chứng minh với không có nó. Có thể hình dung rằng tiên
đề nhân trong dạng tổng quát của nó có thể được cho thấy là sai. Từ điểm nhìn này, định lý Zermelo đem
cho hy vọng tốt nhất: sự liên tục hay một số chuỗi vẫn còn dày đặc hơn có thể được chứng minh là không có khả năng của sự có
những số hạng sắp xếp tốt của nó, vốn điều này sẽ chứng minh tiên đề nhân là sai, nhở
vào định lý Zermelo. Nhưng cho đến nay, không phương pháp nào thu được những kết quả như vậy đã
được tìm ra, và đề tài vẫn còn gói kín trong tối tăm khó hiểu.
Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Aug/2021)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] infinitesimals: những cực nhỏ
[2] Weierstrass, Karl (1815-1897) nhà
toán học người Germany, nổi tiếng nhất với việc xây dựng lý thuyết về các hàm số phức (theory of complex functions),
[3] minima: cực tiểu; maxima: cực đại;
sequents: những dãy; precedent: tiền lệ
; upper limit: giới hạn
trên; lower limit: giới hạn dưới
[4] segment: phân đoạn
[5] proper fraction: phân số thực sự:
tử số < mẫu số
[6] compact
series
[7] regressions
[8] median class
[9] mental life
[10] flux
[11] Thành lập năm 1888, The Monist là một trong những tạp chí lâu đời
nhất và quan trọng nhất trên thế giới về triết học.
[12] Xem bản dịch của tôi trên blog này: Bertrand Russell – Kiến thức của
Chúng ta về Thế giới Bên ngoài.
[13] continuous function
[14] infinitesimal calculus: giải tích
vi phân. Calculus vẫn dịch là ‘phép
tính’ nhưng thực sự calculus là một môn học chuyên biệt của toán học (the branch of mathematic), có
đối tượng nghiên cứu là những giá trị thay đổi liên tục – cho phép người ta ‘tính toán’ động thái biểu diễn
của những hàm số khi chúng ở gần những điểm có giá trị gần với vô cực. Calculus do
Newton và Leibniz cùng độc lập tìm ra, khoảng nửa sau thế kỷ 17 – dùng những phương
pháp ban đầu dựa trên phép tổng
những chênh lệch cực nhỏ, để giải quyết việc tìm kiếm và những tính chất của đạo hàm và nguyên hàm của những hàm số, hai loại chính là phép tính vi phân
và phép tính tích phân (differential
calculus and integral calculus). Tôi dùng Calculus
khi muốn nói về một môn toán học chuyên biệt.
[15] infinitesimal: số cực nhỏ,
chỉ một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng hữu hạn nào, nhưng vẫn không là zero
(zero là giới hạn của nó)
[16] [Xem Principia
Mathematica, vol. ii. * 230-234.]
[17] numerical: bằng số, số trị
[18] [Một số được nói là “nhỏ hơn về mặt số” so với ε khi
nó nằm giữa −ε và + ε.]
[19] null
[20] multiplicative axiom: tiên
đề nhân
Tiên đề lựa chọn, đôi
khi được gọi là tiên đề lựa chọn của Zermelo – Cho bất kỳ set S nào, có một
hàm số f (gọi là một “hàm lựa chọn”) sao cho đối với bất kỳ set con
không-rỗng nào khác của S, f (s) là một phần tử của s.
1904/1908:
Zermelo giới thiệu những tiên đề của thuyết set, công thức hóa tiên đề chọn
(AC- axiom of choice) một cách rõ ràng và dùng nó để chứng minh định lý Zermelo
(well-ordering
theorem).1904: Russell công nhận AC là tiên đề nhân: tích
số của những số đếm không-zero tùy tiện là không-zero.
Axiom of Choice: Tiên Đề Lựa Chọn là một tiên đề trong lý thuyết
tập hợp với những hệ quả sâu rộng và đôi khi phản trực giác. Nó nói rằng với bất
kỳ sưu tập nào của những tập hợp, người ta có thể dựng một tập hợp mới chứa một
phần tử từ mỗi tập hợp trong sưu tập ban đầu. Nói cách khác, người ta có thể chọn
một phần tử từ mỗi tập hợp trong sưu tập. Sự
phát triển của lôgic học trong thế kỷ 20 đã xác lập rằng tiên đề lựa chọn thì độc
lập với những tiên đề thường được chấp nhận của lý thuyết tập hợp do Zermelo và
Fraenkel; đó là, lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với tiên đề lựa chọn (ZFC)
và lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel không có tiên đề lựa chọn (ZF¬ C) đều là những lý thuyết nhất quán về logic.
Tuy nhiên, hầu hết các nhà toán học thường chấp nhận tiên đề lựa chọn là đúng
và sử dụng nó khi cần thiết.
[21] null class
[22] selector: ‘cách chọn’? - Người ta gọi ‘selector’ cho Q bất ky tập hợp W nào sao cho W ∩ E là một điểm duy nhất cho mỗi
E ∈ Q. (One calls selector for Q any set W such that W ∩ E are a single point
for each E ∈ Q.)
[23] null – rỗng
[24] [Xem Principia
Mathematica, vol. I. * 88. Ngoài ra vol. iii. * 257–258.]
[25] [Mathematische Annalen, tập.
lix. trang 514–6. Ở dạng này, chúng ta sẽ nói về nó như một tiên đề của
Zermelo.]
[26] Ernst Zermelo (1871 – 1953) Tiên đề hóa đầu tiên của lý thuyết tập hợp được
Zermelo đưa ra trong bài viết năm “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I”
(1908)
của ông, đã
trở thành cơ sở cho
lý thuyết tập hợp hiện đại.
[27] transfinite induction: qui
nạp toánhọc mở rộng với những set sắp xếp tốt
[28] multipliable
