(Introduction
to Mathematical Philosophy)
Bertrand Russell
Những số
Hữu tỉ, số Thực và số Phức
Bây giờ chúng ta đã thấy cách định
nghĩa những số thứ tự, và cũng cả những số-quan hệ, về chúng là những gì thường gọi là những số thứ tự là một loài đặc biệt [1]. Sẽ thấy rằng mỗi loại này của số có thể là vô hạn cũng như hữu hạn.
Nhưng cả hai, trong điều kiện hiện tại của chúng, đều không có khả năng của
những mở rộng quen thuộc hơn của ý tưởng về số, đó là muốn nói, những mở rộng
đến những số âm, phân số, số vô tỉ và số phức. Trong chương này, chúng ta sẽ
vắn tắt cung cấp những định nghĩa lôgích của những mở rộng khác nhau này.
Một trong những sai lầm vốn đã làm chậm
trễ sự khám phá của những định nghĩa đúng trong khu vực này là ý tưởng phổ
thông rằng mỗi mở rộng của số đã bao gồm những loại trước đó như những trường
hợp đặc biệt. Đã là suy nghĩ rằng, trong việc giải quyết với những số nguyên
dương và âm, những số nguyên dương có thể được nghĩ như giống với những số
nguyên không dấu ban đầu. Lại nữa, đã nghĩ rằng một phân số có mẫu số là 1 có
thể được nghĩ như giống với số tự nhiên vốn là tử số của nó. Và những số vô tỉ,
lấy thí dụ như căn bậc hai của 2, được giả định là tìm được vị trí của chúng
giữa những phân số hữu tỉ, như lớn hơn một số chúng nào đó và nhỏ hơn những số
khác, để những số hữu tỉ và vô tỉ có thể được ghép lại thành một lớp, gọi là
những “số thực”. Và khi ý tưởng về số được mở rộng thêm nữa để gồm những số
“phức”, tức là những số liên quan với căn bậc hai của −1, người ta cho rằng
những số thực có thể được coi là số phức trong đó phần ảo (tức là phần là một
bội số của căn bậc hai của −1) bằng zero..
Tất cả những giả điịnh này đều sai lầm, và phải loại bỏ, như chúng ta sẽ thấy,
nếu những định nghĩa chính xác được đem cho.
Chúng ta hãy bắt đầu với những số nguyên dương và âm. Sau ngán gủi xem xét , hiển nhiên là: +1 và −1 cả hai đều phải là những quan hệ, và thực ra phải là những
nghịch đảo của nhau. Định nghĩa rõ ràng và đầy đủ là +1 là quan hệ của n + 1 với n, và −1 là quan hệ của n với n + 1. Trong tổng quát, nếu
m là bất kỳ số quy nạp nào, + m sẽ là quan hệ của n + m với n (cho n bất kỳ), và −m
sẽ là quan hệ của n với n + m. Theo định nghĩa này, + m là một quan hệ một-một, miễn là chừng
nào n là một số đếm (hữu hạn hay vô
hạn) và m là một số đếm quy nạp.
Nhưng + m trong tất cả những trường
hợp không có khả năng để được nghĩ như giống với m, vốn nó không là một
quan hệ, nhưng là một lớp của những lớp. Thật vậy, + m thì hoàn toàn khác biệt với m, như −m với m.
Những phân số thì thu hút chú ý hơn những số nguyên dương
hay âm. Chúng ta cần những phân số cho nhiều mục đích, nhưng có lẽ hiển nhiên
nhất là cho những mục đích của sự đo lường. Người bạn và cộng sự của tôi, Tiến
sĩ Alfred North Whitehead đã phát triển một lý thuyết về những phân số đặc biệt thích ứng cho ứng dụng của chúng vào đo lường, vốn đã mô
tả trong Principia Mathematica.[2] Nhưng nếu tất cả những gì là cần thiết
là để định nghĩa những đối tượng có những
thuộc tính toán học thuần túy đòi hỏi, thì mục đích này có thể đạt được bằng
một phương pháp đơn giản hơn, vốn chúng ta sẽ đi theo ở đây. Chúng ta sẽ định nghĩa phân số
m / n như là quan hệ đó,
vốn nó giữ giá trị giữa hai số quy nạp x, y khi xn = ym. Định nghĩa này cho
chúng ta khả năng để chứng minh rằng m / n là một quan hệ một-một, với điều kiện
cả m và n đều không là zero. Và
dĩ nhiên n / m là quan hệ nghịch đảo
với m / n.
Từ định nghĩa trên, rõ ràng rằng phân số m / 1 là quan hệ
đó giữa hai số nguyên x và y, vốn nhất thiết có trong sự kiện rằng
x = m y. Quan hệ này, giống như quan
hệ + m, thì hoàn toàn không thể nào được coi
như đồng nhất với số đếm quy nạp m, vì một quan hệ và một lớp của những lớp là
những đối tượng của những loại hoàn toàn khác nhau.[3] Sẽ thấy rằng 0 / n luôn luôn là một
là cùng một quan hệ như nhau, bất kỳ số quy nạp n có thể là gì; tóm lại, nó là quan hệ của 0 với bất kỳ số đếm quy nạp nào khác. Chúng ta có thể gọi đây là zero của những số hữu tỉ; Dĩ nhiên nó
thì không đồng nhất với số đếm 0. Ngược lại, quan hệ m / 0 thì luôn luôn là một như nhau, bất kể
số quy nạp m có thể là gì. Không có
bất kỳ số đếm quy nạp nào tương ứng với m
/ 0. Chúng ta có thể gọi nó là “số vô hạn của những số hữu tỉ”. Nó là một
trường hợp thí dụ của loại vô hạn vốn là truyền thống trong toán học, và được
biểu thị bằng “∞”. Đây là một loại hoàn toàn khác với vô hạn thực theo-Cantor,
vốn chúng ta sẽ xem xét trong chương tiếp theo. Số vô hạn của những số hữu tỉ
không đòi hỏi, cho định nghĩa hay cách dùng của nó, một bất kỳ những lớp vô hạn
hay số nguyên vô hạn nào. Thực ra, nó không là một khái niệm rất quan trọng, và
chúng ta có thể bỏ qua nó hoàn toàn, nếu đã có bất kỳ phản đối
nào khi làm như vậy. Mặt khác, vô hạn
theo-Cantor thì có sự quan trọng lớn nhất và nền tảng
nhất; sự hiểu biết về nó mở ra con đường đến toàn
bộ những lĩnh vực hoàn toàn mới của toán học và triết học.
Sẽ quan sát được rằng zero và
vô hạn, riêng lẻ giữa những tỉ số, đều không là một-một. Zero là một-nhiều, và
vô hạn là nhiều-một.
Không có bất kỳ khó khăn nào trong việc định nghĩa lớn hơn và nhỏ
hơn giữa những tỉ số (hay những phân số). Cho hai tỉ số m / n và p /
q, chúng ta sẽ nói rằng m / n thì nhỏ hơn p / q nếu mq thì nhỏ hơn pn. Không có khó
khăn trong việc chứng minh rằng quan hệ “nhỏ hơn”, được định nghĩa như vậy, là
nối tiếp, để những tỉ số hình thành một chuỗi theo thứ bậc của độ lớn. Trong
chuỗi số này, số zero là số hạng nhỏ
nhất và vô cực [4] là số hạng lớn nhất. Nếu chúng ta bỏ
qua số 0 và vô cực trong chuỗi của
chúng ta, thì sẽ không còn bất kỳ tỉ số nhỏ nhất hay lớn nhất nào nữa; Rõ ràng
là nếu m / n là bất kỳ tỉ số nào khác 0 và vô cực, m / 2n thì nhỏ hơn và 2m / n thì lớn hơn, mặc dù không là
0 hay vô cực, thế nên m / n không là nhỏ nhất cũng như tỉ số lớn
nhất, và thế nên (khi số không và vô cực bị bỏ qua) không có tỉ số nhỏ nhất hay
lớn nhất, vì m / n được chọn tùy tiện. Theo cách tương tự, chúng ta có thể chứng
minh rằng tuy có thể có hai phân số gần bằng nhau, nhưng giữa chúng luôn luôn
tồn tại những phân số khác. Vì, cho m / n và
p / q là hai phân số, trong đó p /
q lớn hơn. Khi đó, dễ dàng thấy (hay chứng minh) rằng (m + p) / (n +
q) sẽ lớn hơn m / n và nhỏ hơn p / q. Vì
vậy, dãy tỉ số là một trong đó không có hai số hạng nào liên tiếp nhau, nhưng
luôn luôn có những số hạng khác giữa hai số hạng bất kỳ. Vì có những số hạng
khác giữa những số hạng này, và tiếp tục như thế ad infinitum, là hiển nhiên
rằng có một số vô hạn của những tỉ số giữa hai tỉ số bất kỳ, mặc dù hai tỉ số
này gần như bằng nhau đến đâu đi nữa. [5]
Một chuỗi có thuộc tính khiến luôn luôn có những số hạng khác giữa bất
kỳ hai số hạng nào, như thế khiến không có hai số hạng
là liên tiếp nhau, gọi là “dày đặc” [6]. Thế nên, những tỉ số theo thứ bậc của
độ lớn hình thành một chuỗi “dày đặc”. Những chuỗi như vậy có nhiều thuộc tính
quan trọng và điều quan trọng để phải quan sát rằng những tỉ số đủ khả năng tạo
ra một trường hợp của một chuỗi dày đặc được tạo ra thuần túy lô gích, không có
bất kỳ kêu gọi nào đến không gian hay thời gian hay bất kỳ dữ liệu duy nghiệm
nào khác.
Những tỉ số dương và tỉ số âm có thể được định nghĩa theo cách tương tự
như cách chúng ta định nghĩa những số nguyên dương và âm. Sau khi đầu tiên đã
định nghĩa tổng số của hai tỉ số m / n và
p / q như (mq + pn) / nq,
chúng ta định nghĩa + p / q như quan hệ của m / n + p / q với m /
n, trong đó m / n là bất kỳ tỉ số nào; và −p / q Dĩ nhiên là nghịch đảo của + p / q. Đây không là cách duy nhất có
thể để định nghĩa những tỉ số dương và tỉ số âm, nhưng nó là cách, vì mục đích
của chúng ta, có giá trị của là một sự thích nghi hiển nhiên của cách chúng ta
đã áp dụng trong trường hợp của những số nguyên.
Bây giờ chúng ta đi đến một mở rộng thu hút chú ý hơn của ý tưởng về số,
tức là mở rộng đến những gì gọi là những số “thực”, vốn là loại bao gồm những số
vô tỉ. Trong Chương I., chúng ta đã có dịp để nhắc đến “những không thể đo
lường được” và việc tìm
biết được chúng của Pythagoras. Đó
đã là qua chúng, tức là qua hình học, khiến những số vô tỉ đã được nghĩ đến
đầu tiên. Một hình vuông có cạnh của nó dài một inch sẽ có một đường
chéo trong đó chiều dài là căn bậc hai của 2 inch. Nhưng, như người xưa đã tìm
ra đầu tiên, không có phân số nào vốn bình phương của nó là 2. Mệnh đề toán học
này được chứng minh trong quyển X của Euclid, đây là một trong những quyển sách
vốn những học sinh được may mắn chìm đắm trong thời bộ sách Euclid vẫn còn được
dùng. như sách giáo khoa. Chứng minh thì đơn giản lạ thường.
Nếu có thể, hãy gọi m / n là căn bậc hai của 2, sao cho m2
/ n2 = 2, tức là m2 = 2 n2. Thế nên
m2 là một số chẵn, và thế nên m phải là một số chẵn, vì bình phương của một số lẻ là số lẻ. Bây
giờ nếu m chẵn thì m2 phải
chia đều cho 4, nếu m = 2p thì m2
= 4p2. Thế nên, chúng ta sẽ có 4 p2 = 2n2,
trong đó p là một nửa của m.
Thế nên 2p2 = n2, và thế nên n /
p cũng sẽ là căn bậc hai của 2. Nhưng sau đó chúng ta có thể lập lại lập
luận: nếu n = 2q, p / q cũng sẽ là
căn bậc hai của 2, và v.v. qua một chuỗi số bất
tận, vốn mỗi chuỗi là một nửa của liền trước của nó. Nhưng điều này thì không
thể; nếu chúng ta chia một số cho 2, rồi chia đôi một nửa, v.v., chúng ta phải
đạt đến một số lẻ sau một số bước hữu hạn. Hay chúng ta có thể lập
luận ngay cả còn đơn giản hơn bằng việc giả định rằng m / n vốn chúng ta bắt
đầu với nó, trong những số hạng thấp nhất của nó; trong
trường hợp đó, m và n không thể đều là chẵn; nhưng chúng ta
đã thấy rằng, nếu m2 / n2 = 2, chúng phải là số chẵn. Vì vậy, không thể có một bất kỳ phân
số m / n nào có bình phương của nó là 2.
Thế nên, không phân số nào sẽ biểu thị chính xác chiều dài của đường
chéo của một hình vuông có cạnh dài một inch. Điều này có vẻ như một thách thức
do tự nhiên ném ra với số học. Tuy nhiên, nhà số học có thể tự hào (như
Pythagoras đã làm) về sức mạnh của những con số, thiên nhiên dường như có khả
năng để đánh lừa ông ta bằng việc phô bày những độ dài vốn không con số nào có
thể ước tính được về mặt đơn vị. Nhưng vấn đề đã không duy trì trong dạng hình
học này. Ngay sau khi đại số học
được phát minh, cùng một vấn đề đã nổi lên liên quan với giải pháp của những phương trình, mặc
dù ở đây nó mang một dạng rộng hơn, vì nó cũng liên quan với những số phức.
Rõ ràng là có thể tìm thấy những phân số vốn tiến tới càng gần hơn để có
bình phương của chúng bằng 2. Chúng ta có thể tạo một chuỗi của những phân số lớn dần, tất cả chúng
đều có bình phương của chúng nhỏ hơn 2, nhưng khác với 2 trong những phần tử
sau của chúng, bởi ít hơn bất kỳ một số lượng chỉ định nào. Đó là để nói rằng,
giả định tôi chỉ định trước một số lượng nhỏ nào đó, lấy thí dụ như một phần
tỷ, sẽ thấy rằng tất cả những số hạng của chuỗi của chúng ta sau một số hạng
nhất định, lấy thí dụ phần mười, có những bình phương khác biệt với 2 bởi (một số lượng) nhỏ hơn số lượng này. Và nếu tôi đã chỉ
định một số lượng lại còn nhỏ hơn, thì có lẽ cần phải đi xa hơn trong chuỗi,
nhưng chúng ta sớm hay muộn sẽ đến được một số hạng trong chuỗi, lấy thí dụ như
thứ hai mươi, sau nó tất cả những số hạng sẽ có bình phương khác với 2 bởi (một số lượng) nhỏ hơn số lượng này.
Nếu chúng ta bắt đầu làm việc để rút ra căn bậc hai của 2 bằng quy tắc số học
thông thường, chúng ta sẽ nhận được một số thập phân dài bất tận, đã chiếm nhiều
những vị trí vậy-và-như vậy, thỏa mãn chính xác những điều
kiện trên. Chúng ta có thể cũng hình thành một chuỗi giảm dần
của những phân số có bình phương của chúng đều lớn hơn 2, nhưng lớn hơn bằng những số lượng liên tục nhỏ hơn, khi
chúng ta đến những số hạng sau của chuỗi, và khác nhau, sớm hay muộn, bởi ít
hơn một số lượng bất kỳ đã chỉ định. Trong cách này, chúng ta dường như đang vẽ
một dây thòng
lọng thắt quanh căn bậc hai của 2, và có vẻ khó có thể tin rằng nó có thể
mãi
mãi thoát khỏi chúng ta. Tuy nhiên, không phải
bằng phương pháp này khiến chúng ta sẽ thực sự đạt đến căn bậc hai của 2.
Nếu chúng ta chia tất cả những
tỉ số vào thành hai lớp, theo như những bình phương của chúng nhỏ hơn 2 hay
không, chúng ta thấy rằng, trong số những tỉ số có bình phương không nhỏ hơn 2,
tất cả đều có bình phương của chúng lớn hơn 2. Không có cực đại cho những tỉ số
có bình phương nhỏ hơn 2, và không có cực tiểu cho những bình phương có bình
phương lớn hơn 2. Không có giới hạn dưới nào kém hơn 0 cho hiệu số giữa những số có bình phương nhỏ hơn 2 một chút và những
số có bình phương lớn hơn 2 một chút. Tóm lại, chúng ta có thể chia tất cả
những tỉ số thành hai lớp sao cho tất cả những số hạng trong một lớp này nhỏ
hơn tất cả những số hạng trong lớp kia, không có giá trị lớn nhất cho một lớp
và không có giá trị nhỏ nhất cho lớp kia. Giữa hai lớp này, chỗ nếu √2 phải có,
thì không có gì cả. Vì vậy, dây thắt của chúng ta, mặc dù chúng ta đã vẽ nó
chặt chẽ nhất có thể được, nhưng đã vẽ sai chỗ, và không bắt được √2.
Phương pháp ở trên của việc chia tất cả những số hạng của một chuỗi vào thành hai lớp, trong đó một
lớp hoàn toàn đứng trước một lớp kia, đã được Dedekind, [7] làm nổi bật và thế nên gọi là “cắt
Dedekind”. Đối với những gì xảy ra tại điểm của chỗ cắt, có bốn điều có thể xảy
ra: (1) có thể có một cực đại cho phần dưới và một cực tiểu cho phần trên, (2)
có thể có một cực đại cho một phần và không cực tiểu đối với phần kia, (3) có
thể không có một cực đại đối với phần này, nhưng là một tối tiểu với phần kia,
(4) có thể không có một cực đại với một phần cũng như không có một tối tiểu với
phần kia. Trong số bốn trường hợp này, trường hợp đầu tiên được minh họa bằng
bất kỳ chuỗi nào trong đó có những số hạng liên tiếp: thí dụ: trong chuỗi số
nguyên, phần dưới phải kết thúc bằng số n
nào đó và phần trên phải bắt đầu bằng
n + 1. Trường hợp thứ hai sẽ được minh họa trong chuỗi những tỉ số nếu
chúng ta coi tất cả những tỉ số ở phần dưới của chúng ta là tất cả những tỉ số
lên đến và gồm 1, và trong phần trên của chúng ta là tất cả những tỉ số lớn hơn
1. Trường hợp thứ ba được minh họa nếu chúng ta lấy tất cả cho phần dưới của
chúng ta tỉ số nhỏ hơn 1 và đối với phần trên của chúng ta, tất cả những tỉ số
từ 1 trở lên (gồm cả chính 1). Trường hợp thứ tư, như chúng ta đã thấy, được
minh họa nếu chúng ta đưa vào phần dưới tất cả những tỉ số có bình phương nhỏ
hơn 2 và trong phần trên của chúng ta tất cả những tỉ số có bình phương lớn hơn
2.
Chúng ta có thể bỏ qua trường hợp đầu tiên của bốn trường hợp của chúng
ta, vì nó chỉ xảy ra trong những chuỗi ở đó có những số hạng liên tiếp. Trong
trường hợp thứ hai của bốn trường hợp của chúng ta, chúng ta nói rằng cực đại
của phần dưới là giới hạn dưới của phần trên hay của bất kỳ set gồm những số
hạng nào đã chọn từ phần trên sao cho không có số hạng nào của phần trên thì
trước tất cả chúng. Trong trường hợp thứ ba của bốn trường hợp của chúng ta,
chúng ta nói rằng cực tiểu của phần trên là giới hạn trên của phần dưới hay của bất kỳ set số hạng nào được
chọn từ phần dưới theo cách vốn không có số hạng nào của phần dưới là sau tất
cả chúng. Trong trường hợp thứ tư, chúng ta nói rằng có một “khoảng trống”: cả
phần trên và phần dưới đều không có giới hạn hay số hạng cuối cùng. Trong
trường hợp này, chúng ta cũng có thể nói rằng chúng ta có “phần vô tỉ”, vì
những phần của chuỗi của những tỉ số có những “khoảng trống” khi chúng tương
ứng với những số vô tỉ.
Những gì làm trì hoãn lý thuyết thực của những số vô tỉ đã là một tin
tưởng lầm lẫn rằng phải có “những giới hạn” của chuỗi của những tỉ số. Khái
niệm “giới hạn” là quan trọng vô cùng, và trước khi đi xa hơn, tốt hơn nên định
nghĩa nó.
Một số hạng x được nói là một
“giới hạn trên” của một lớp α đối với một quan hệ P nếu (1) α không có cực đại
trong P, (2) mọi phần tử của α vốn thuộc trường của P đứng trước x, (3) mọi
phần tử của trường của P đứng trước x đứng
trước một số phần tử của α. (nói “đứng trước”, chúng ta có nghĩa là “có quan hệ
P với”).
Điều này giả định trước định nghĩa sau đây về một “cực đại”: −
Một số hạng x được nói là một
“cực đại” của một lớp α đối với một quan hệ P, nếu x là một phần tử của α và của trường của P và không có quan hệ P
với bất kỳ phần tử nào khác của α.
Những định nghĩa này không đòi hỏi rằng những số hạng với chúng, chúng được áp dụng phải là định lượng. Thí dụ, cho một chuỗi của những
khoảnh khắc của thời gian được sắp xếp theo thời gian sớm hơn và muộn hơn, “cực
đại ” (nếu có) của chúng sẽ là khoảnh khắc cuối cùng; nhưng nếu chúng được sắp
xếp muộn hơn và sớm hơn, thì “cực đại” (nếu có) của chúng sẽ là khoảnh khắc đầu
tiên.
“Cực tiểu” của một lớp đối với P là cực đại của nó đối với nghịch đảo
của P; và “giới hạn dưới” đối với P là giới hạn trên đối với nghịch đảo của P.
Những khái niệm về giới hạn và cực đại về cơ bản không thiết yếu đòi hỏi
rằng quan hệ vốn chúng được định nghĩa phải là nối tiếp, nhưng chúng có ít ứng
dụng quan trọng ngoại trừ những trường hợp khi quan hệ là nối tiếp hay hầu
như-nối tiếp. Một khái niệm vốn là thường quan trọng là khái niệm “giới hạn
trên hay cực đại” vốn chúng ta có thể đặt tên là “ranh giới trên”. Thế nên,
“ranh giới trên” của một set của những số hạng được chọn từ một chuỗi là phần
tử cuối cùng của chúng nếu chúng có một phần tử như thế, nhưng, nếu không, đó
là số hạng đầu tiên sau tất cả chúng, nếu có một số hạng như thế. Nếu không có cực đại hay một giới hạn,
thì không có ranh giới trên. ”Ranh giới dưới” là giới hạn dưới hay cực tiểu.
Quay lại với bốn loại của phần cắt Dedekind, chúng ta thấy rằng trong trường
hợp của ba loại đầu tiên, mỗi phần có một ranh giới (trên hay dưới, tùy trường
hợp), trong khi ở loại thứ tư thì không có ranh giới. Cũng rõ ràng rằng, hễ khi
nào phần dưới có một ranh giới trên, phần trên có một ranh giới dưới. Trong
trường hợp thứ hai và thứ ba, hai ranh giới là một như nhau; trong trường hợp
đầu tiên, chúng là những số hạng liên tiếp của chuỗi.
Một chuỗi gọi là “theo-Dedekind” khi mỗi phần cắt đều có một ranh giới,
trên hay dưới tùy từng trường hợp.
Chúng ta đã thấy rằng chuỗi của những tỉ số theo thứ bậc của độ lớn
không là theo-Dedekind.
Từ thói quen của chịu ảnh hưởng bởi sự tưởng tượng về không gian, người ta đã giả định rằng những chuỗi phải có những
giới hạn trong những trường hợp ở đó có vẻ kỳ quặc nếu chúng không có. Thế nên, sau khi nhận thấy rằng không
có giới hạn hữu tỉ cho những tỉ số có bình phương nhỏ hơn 2, họ đã tự
cho phép mình để đặt thành định đề một giới hạn vô tỉ, đó là để lấp đầy
khoảng trống Dedekind. Trong tác phẩm nói trên, Dedekind đã thiết lập tiên đề
rằng khoảng trống phải luôn luôn được lấp đầy, tức là mọi phần đều phải có một
ranh giới. Chính vì lý do này khiến chuỗi vốn tiên đề của ông được kiểm nghiệm
gọi là “theo-Dedekind”. Nhưng có một số vô hạn của những chuỗi vốn nó không
được kiểm nghiệm.
Phương pháp của việc “đặt thành định đề” những gì chúng ta muốn có nhiều
lợi điểm; chúng cũng giống như những lợi điểm của trộm
cắp so với việc làm khó nhọc trung thực. Chúng ta hãy để
dành chúng cho những người khác và tiếp tục với việc làm khó nhọc trung thực của chúng ta.[8]
Rõ ràng là một cắt Dedekind vô tỉ trong một cách nào đó “tương
ứng với” một vô tỉ. Để dùng được cái ‘cắt’ này, vốn bắt đầu với không gì hơn
một cảm tưởng mơ hồ, chúng ta phải tìm một cách nào đó để suy luận từ nó một
định nghĩa chính xác; và để làm được điều này, chúng ta phải không ‘ngược đãi’
đầu óc chúng ta với khái niệm rằng một số vô tỉ phải là giới hạn của một set
của những tỉ số. Cũng giống đúng như những tỉ số có mẫu số là 1 đều là không
đồng nhất với những số nguyên, vì vậy những số hữu tỉ đó có thể lớn hơn hay nhỏ
hơn những vô tỉ, hay có thể có những vô tỉ như những giới hạn của chúng, phải
không đồng nhất với những tỉ số. Chúng ta phải định nghĩa một loại số mới
gọi là “những số thực”, trong đó một số chúng sẽ là những số hữu tỉ và một số
chúng là những số vô tỉ. Nhứng số thực đó đều “tương ứng” tỷ lệ với những
tỉ số, theo cùng một lối trong đó tỉ số n
/ 1 tương ứng với số nguyên n; nhưng chúng đều không giống như là
một với những tỉ số. Để quyết định chúng sẽ là gì, chúng ta hãy quan sát rằng
một vô tỉ được biểu thị bằng một cắt phần vô tỉ và một cắt phần được biểu thị
bằng phần dưới của nó. Chúng ta hãy tự giới hạn với những cắt trong đó phần
dưới không có cực đại; trong trường hợp này, chúng ta sẽ gọi phần dưới là một
“phân đoạn”. Khi đó, những phân đoạn đó vốn tương ứng với những tỉ số là những
phân đoạn gồm tất cả những tỉ số nhỏ hơn tỉ số vốn chúng tương ứng với, vốn là
ranh giới của chúng; trong khi những phân đoạn biểu thị những vô tỉ đều là
những phân đoạn đó vốn không có ranh giới. Những phân đoạn, cả có ranh giới và
không có ranh giới, đều sao cho, trong số hai phân đoạn bất kỳ thuộc về một
chuỗi, thì một phân đoạn phải là một phần của chuỗi kia; thế nên tất cả chúng
có thể được sắp xếp thành một chuỗi theo quan hệ của toàn bộ và phần. Một chuỗi
trong đó có những khoảng trống Dedekind, tức là trong đó có những phân đoạn
không có ranh giới, sẽ làm phát sinh nhiều phân đoạn hơn nó có những số hạng,
vì mỗi số hạng sẽ định nghĩa một phân đoạn có số hạng đó cho ranh giới và sau
đó là những phân đoạn không có ranh giới sẽ là phụ thêm.
Bây giờ chúng ta trong một vị trí để định nghĩa một số thực và một số vô
tỉ.
Một “số thực” là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số theo thứ bậc
của độ lớn.
Một “số vô tỉ” là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số vốn không có
ranh giới.
Một “số thực hữu tỉ” là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số vốn có
một ranh giới.
Thế nên, một số thực hữu tỉ gồm tất cả những tỉ số nhỏ hơn một tỉ số nào
đó, và nó là số thực hữu tỉ tương ứng với tỉ số đó. Thí dụ, số thực 1 là lớp
của những phân số thực sự.
Trong trường hợp trong đó chúng ta tự nhiên giả định rằng một số vô tỉ
phải là giới hạn của một set của những tỉ số, thực
sự, nó là giới hạn của set của những số thực hữu tỉ tương ứng trong chuỗi
của những phân đoạn được sắp xếp thứ bậc theo toàn bộ và phần. Thí dụ, √2 là
giới hạn trên của tất cả những phân đoạn đó của chuỗi của những tỉ số vốn tương
ứng với những tỉ số có bình phương nhỏ hơn 2. Vẫn đơn giản hơn, √2 là phân đoạn
gồm tất cả những tỉ số đó vốn có bình phương nhỏ hơn 2.
Dễ dàng chứng minh rằng chuỗi của những phân đoạn của chuỗi bất kỳ là
theo-Dedekind. Đối với bất kỳ set đem cho nào của những phân đoạn, ranh giới
của chúng sẽ là tổng lôgích của chúng, tức là lớp của tất cả những số hạng đó
vốn thuộc về ít nhất một phân đoạn của set.[9]
Định nghĩa trên về những số thực là một thí dụ về “xây dựng” chống lại
“định đề”, trong đó chúng ta đã có một thí dụ khác trong định nghĩa về số đếm.
Lợi thế lớn của phương pháp này là nó không đòi hỏi những giả định mới, nhưng
cho chúng ta có khả năng tiến hành suy luận từ bộ máy ban đầu của lôgích.
Không có khó khăn trong việc định nghĩa phép cộng và phép nhân cho những
số thực như đã định nghĩa ở trên. Cho hai số thực μ và ν, mỗi số là một
lớp của những tỉ số, lấy bất kỳ phần tử nào của μ và bất kỳ phần tử nào của ν
và cộng chúng lại với nhau theo quy tắc cộng của những tỉ số.
Tạo thành lớp của tất
cả những tổng có như thế có thể thu được bằng cách thay đổi những phần tử được
chọn của μ và ν. Điều này đem cho một lớp của những tỉ số mới và dễ dàng chứng
minh rằng lớp mới này là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số. Chúng ta định
nghĩa nó là tổng số của μ và ν. Chúng ta có thể phát biểu định nghĩa
ngắn gọn hơn như sau: −
Tổng số số học của hai số thực là lớp những tổng số số học của một phần tử của số này và phần tử của
số kia được chọn theo tất cả những cách có thể.
Chúng ta có thể định nghĩa tích số số học của hai số thực theo cùng một
cách, bằng cách nhân một phần tử của số này với một phần tử của số kia theo tất
cả những cách có thể. Thế nên, lớp của những tỉ số được tạo ra thì được định
nghĩa là tích sô của hai số thực. (Trong tất cả những định nghĩa như vậy, chuỗi
của những tỉ số phải được định nghĩa là loại trừ 0 và vô cực).
Không có gì khó khăn trong việc mở rộng những định nghĩa của chúng ta
cho những số thực dương và âm cũng như phép cộng và phép nhân của chúng.
Còn lại là để đưa ra định nghĩa về những số phức.
Những số phức, dù có khả năng của một giải thích hình học, nhưng hình học không đòi
hỏi chúng cùng một cách bắt buộc như cách những số vô tỉ đã đòi hỏi. Một số
“phức” có nghĩa là một số liên quan với căn bậc hai của một số âm, cho dù là số nguyên, phân số hay thực.
Vì bình phương của một số âm là số dương, một số có bình phương là số âm phải
là một loại số mới. Dùng chữ cái i cho căn bậc hai của −1, bất kỳ số nào
liên quan với căn bậc hai của một số âm đều có thể được biểu diễn dưới dạng x + yi, trong đó x và y là số thực. Phần yi
gọi là phần “ảo” của số này, x là
phần “thực”. (Lý do cho cụm từ “số thực” là chúng đối lập với những gì như là “ảo/tưởng tượng”). Số phức đã được những nhà toán học dùng
từ rất lâu, cho dù thiếu vắng của một bất kỳ định nghĩa chính xác nào. Người ta chỉ đơn giản giả định rằng
chúng tất sẽ tuân theo những quy tắc số học thông thường, và trên giả định này,
việc đem dùng chúng đã được thấy
là ích lợi. Chúng được đòi hỏi ít hơn với
hình học so với đại số và toán phân tích. Lấy thí dụ, chúng ta mong muốn có thể
nói rằng mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm, và mọi phương trình bậc ba
đều có ba nghiệm, v.v. Nhưng nếu chúng ta chịu giới hạn trong những số thực,
phương trình như x2 + 1 = 0 không
có nghiệm, và phương trình như x3−1 = 0 chỉ có một nghiệm. Mọi tổng quát hóa của số trước hết đã tự trình bày như đã cần thiết cho một số bài toán đơn giản: cần có những số âm để phép trừ
luôn luôn có thể thực hiện được, vì nếu không a − b sẽ vô nghĩa nếu a nhỏ hơn b; cần phân số để phép chia
luôn luôn có thể thực hiện được; và những số phức là cần thiết để luôn luôn có
thể lấy căn số và những nghiệm số của phương trình. Nhưng những mở rộng của số
không được tạo ra bởi chỉ
đơn thuần do nhu cầu: chúng được tạo ra bởi định nghĩa, và đó là định nghĩa về số
phức vốn bây giờ chúng ta phải chú ý đến.
Một số phức có thể được coi và định nghĩa đơn giản
như một cặp sắp xếp tốt của những số thực
[10]. Ở đây, cũng như những nơi khác, có thể có nhiều định nghĩa. Tất cả
những gì cần thiết là những định nghĩa đã
chập nhận sẽ dẫn đến những
thuộc tính nhất định. Trong trường hợp những số phức, nếu chúng được
định nghĩa là những cặp sắp xếp tốt của những số thực, chúng ta bảo đảm ngay
lập tức một số những thuộc tính đòi hỏi, đó là hai số thực là được đòi hỏi để
xác định một số phức và trong những số này chúng ta có thể phân biệt một số thứ
nhất và số thứ hai, và rằng hai số phức là chỉ đồng nhất khi số thực thứ nhất gồm trong số là bằng với số thứ nhất gồm trong số
kia và số thứ hai với thứ hai. Những gì đòi hỏi thêm nữa có thể được bảo đảm
bằng định nghĩa những quy tắc của phép cộng và phép nhân. Chúng ta phải có
(x + yi) + (x ‘+ y’i)
= (x + x’) + (y + y ‘) i
(x + yi) (x ‘+ y’i) =
(xx’ − yy’) + (xy ‘+ x’y) i.
Như thế, chúng ta sẽ định nghĩa rằng, đem cho hai cặp
sắp xếp tốt của những số thực, (x, y) và (x’, y’), tổng số của chúng là cặp (x + x ‘, y + y’) và tích số của chúng là một cặp (xx’ – yy’, xy’ +
x’y). Bằng những định nghĩa này, chúng ta sẽ bảo đảm rằng những cặp có thứ bậc
của chúng ta sẽ có những thuộc tính chúng ta mong muốn. Thí dụ, lấy tích sô của
hai cặp (0, y) và (0, y’). Theo quy
tắc trên, điều này sẽ là cặp (−yy’, 0). Như vậy, bình phương của cặp đôi (0, 1)
sẽ là cặp đôi (−1, 0). Bây giờ những cặp đôi đó, trong đó số hạng thứ hai là 0 là những cặp vốn theo như cách gọi
tên thông thường, có phần ảo của chúng bằng 0; trong ký hiệu x + yi, chúng là x + 0i, vốn là tự
nhiên để viết đơn giản là x. Cũng
đúng như là điều tự nhiên để nhận biết những tỉ số vốn có mẫu số của chúng là
thì đồng nhất với những số nguyên, thế nên là tự nhiên (nhưng sai) để nhận biết
những số phức có phần ảo của chúng bằng 0
với những số thực. Mặc dù đây là một sai lầm về lý thuyết, nhưng nó là một
sự thuận tiện trong thực hành; ”x + 0i” có thể được thay thế đơn giản bởi “x”
và “0 + yi” bằng “yi”, miễn là chúng ta nhớ rằng “x” không thực sự là một số
thực, vốn là một trường hợp đặc biệt của một số phức. Và khi y là 1, Dĩ nhiên “yi” có thể được thay
thế bằng “i”. Thế nên cặp đôi (0, 1) được biểu hiện bởi i, và cặp đôi
(−1, 0) được biểu hiện bằng −1. Bây giờ quy tắc nhân của chúng ta làm cho bình
phương của (0, 1) bằng (−1, 0), tức là bình phương của i là −1. Đây là
những gì chúng ta muốn bảo đảm. Vì vậy, những định nghĩa của chúng ta dùng vào
tất cả những mục đích cần thiết.
Điều là dễ dàng để đem cho một giải thích hình học
của những số phức trong hình học của mặt phẳng. Đề tài này W.K. Clifford đã
trình bày chi tiết một cách thú vị trong Common Sense of the Exact Sciences
của ông, một quyển sách có giá trị lớn, nhưng được viết trước khi sự quan trọng
của những định nghĩa lôgích thuần túy được nhìn nhận.
Những số phức của một thứ bậc cao hơn, mặc dù ít
tiện lợi và kém quan trọng hơn so với những gì chúng ta đang định nghĩa, nhưng có những
cách dùng nhất định vốn không phải là không quan trọng trong hình học, như có
thể đã thấy, trong Universal Algebra / Đại số học Tổng
quát của Tiến sĩ Whitehead. Định nghĩa của
số phức bậc n có được bằng một mở
rộng hiển nhiên của định nghĩa vốn chúng ta đã đưa ra. Chúng ta định nghĩa một
số phức có bậc n là một quan hệ
một-nhiều vốn miền của nó gồm những số thực nhất định và miền đảo của nó gồm
những số nguyên từ 1 đến n.[11] Đây là những gì thường
được chỉ bởi ký hiệu (x1, x2 x3, … xn), trong đó những phụ
tố biểu thị tương quan với những số nguyên được dùng làm phụ tố và tương quan
là một-nhiều, không nhất thiết là một-một, vì xr và xs có
thể bằng nhau khi r và s không bằng
nhau. Định nghĩa trên, với một quy tắc nhân thích hợp, sẽ phục vụ cho tất cả
những mục đích trong đó cần đến những số phức của những bậc cao hơn.
Bây giờ chúng ta đã làm xong việc xem xét lại về những mở rộng của số vốn không liên quan với vô hạn. Ứng dụng của số vào những sưu tập vô hạn
phải là đề tài tiếp theo của chúng ta.
CHƯƠNG VIII:
Những Số Đếm Vô hạn
Định nghĩa của những số đếm vốn chúng ta đã đem cho trong Chương II. đã
áp dụng trong Chương III. với những số hữu hạn, tức là với những số tự nhiên
thông thường. Với những số này, chúng ta đặt tên là “những số quy nạp”, vì chúng ta thấy rằng chúng đều được
định nghĩa như những số vốn tuân theo quy nạp toán học bắt đầu từ 0. Nhưng
chúng ta vẫn chưa xem xét những sưu tập vốn không có một số quy nạp của những
số hạng, cũng như chúng ta chưa thăm dò liệu những sưu tập như vậy có thể được
nói là có một con số nào tất cả hay không. Đây là một vấn đề cổ xưa, vốn đã
được giải quyết trong thời chúng ta, chính yếu bởi Georg Cantor [12]. Trong chương này, chúng
ta sẽ cố gắng để giải thích lý thuyết về những số vô hạn hay những số đếm vô
hạn như nó là kết quả của một kết hợp những khám phá của ông với những khám phá
của Frege về thuyết lôgích của những con số.[13]
Không thể nói được là chắc chắn rằng thực sự có bất kỳ những sưu tập vô hạn nào trong thế giới. Sự giả
định rằng có những sưu tập vô hạn là những gì chúng ta gọi là “tiên đề của
vô hạn”. [14] Mặc dù nhiều cách khác nhau tự chúng
gợi lên trong trí qua đó chúng ta có thể hy vọng để chứng minh tiên đề này,
nhưng vẫn có lý do để sợ rằng tất cả chúng đều là ảo tưởng và không có lý do
lôgích để kết luận nào cho việc tin rằng nó là đúng. Đồng thời, cũng chắc chắn
không có lý do lôgích nào phản lại những sưu tập vô hạn, và chúng ta
được biện minh, về lôgích, trong việc điều tra giả thuyết rằng có những sưu tập
loại như vậy. Dạng thực hành của giả
thuyết này, cho mục đích hiện tại của chúng ta, là giả định rằng, nếu n là bất kỳ số quy nạp nào, thì n không bằng n + 1. Nhiều chi ly tế nhị nảy sinh trong việc nhận biết dạng giả
định này của chúng ta với dạng khẳng định sự hiện hữu của những sưu tập vô hạn;
nhưng chúng ta sẽ không tính đến những chi ly tế nhị này cho đến khi, trong
chương sau, chúng ta đi đến việc xem xét tiên đề của vô hạn trên giải thích
riêng của nó. Cho lúc này, chúng ta chỉ đơn thuần giả định rằng, nếu n là một số quy nạp thì n không bằng n + 1. Điều này thì gồm trong giả định của Peano rằng không có hai
số quy nạp nào có cùng số tiếp sau; vì, nếu
n = n + 1, thì n − 1 và n có cùng một tiếp sau, đó là n. Vì vậy, chúng ta giả định
rằng đã không gì là không bao gồm trong những mệnh đề nguyên thủy của Peano.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét sưu tập của chính
những số quy nạp. Đây là một lớp được hoàn toàn định nghĩa rõ ràng. Trước hết,
một số đếm là một set của những lớp vốn tất cả đều tương tự với lẫn nhau và đều
không tương tự với bất kỳ gì ngoại trừ với nhau. Sau đó, chúng ta định nghĩa
như những “số quy nạp” những số trong những số đếm vốn thuộc về hậu duệ của 0 đối với quan hệ của n với n + 1, tức là những số vốn có được mọi thuộc tính đã có được bởi 0 và bởi những số tiếp sau của những số
có được, nghĩa là bới “tiếp sau” của n số n + 1. Thế nên, lớp của những “số quy
nạp” thì hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa tổng quát của chúng ta về những số
quy nạp, số của những số hạng trong lớp của những số quy nạp được định nghĩa
như “tất cả những lớp vốn đều tương tự với lớp của những số quy nạp” — đó là,
set này của những lớp là số của những số quy nạp theo như định nghĩa của
chúng ta.
Bây giờ có thể dễ dàng nhận thấy rằng số này không
là một trong những số quy nạp. Nếu n là
bất kỳ số quy nạp nào, thì số những số từ
0 đến n (gồm cả hai) là n + 1; thế nên tổng số những số quy nạp
lớn hơn n, không có vấn đề gì trong số những số quy nạp n có thể là. Nếu chúng ta sắp xếp những số quy nạp trong một chuỗi
theo thứ bậc của độ lớn thì chuỗi này không có số hạng cuối cùng; nhưng nếu n là một số quy nạp thì mọi chuỗi số
vốn trường có n số hạng đều có số
hạng cuối cùng, vì sự việc này dễ chứng minh. Sự khác biệt như vậy có thể được
nhân lên ad lib. Như vậy chuỗi số quy nạp là số mới, khác với tất cả
những số đó, không có được tất cả những tính chất quy nạp. Có thể xảy ra trường
hợp 0 có một thuộc tính nào đó, và
nếu n có thì có n + 1, nhưng số mới này không có thuộc tính đó. Những khó khăn
khiến lý thuyết về số vô hạn bị trì hoãn trong một thời gian dài phần lớn là do
thực tế là một số tính chất quy nạp bị đánh giá sai như phải thuộc tất cả những
số; quả thực người ta cho rằng chúng không thể bị từ chối nếu không có mâu
thuẫn. Bước đầu tiên để hiểu về số vô hạn gồm nhận ra sự sai lầm của quan điểm này.
Sự khác biệt thu hút chú ý và đáng ngạc nhiên nhất
giữa một số quy nạp và số mới này là số mới này thì không thay đổi bằng việc
cộng thêm 1, hay trừ 1, hay nhân đôi, hay giảm một nửa, hay bất kỳ phép toán nào khác vốn chúng ta nghĩ là nhất thiết phải làm
cho một số lớn hơn hay nhỏ hơn. Sự
kiện của không bị thay đổi bởi cộng thêm 1 thì được Cantor dùng cho định nghĩa của
những gì ông gọi là những số đếm “siêu hạn” [15] ; nhưng vì nhiều lý do
khác nhau, một số trong số chúng sẽ xuất hiện khi chúng ta tiếp tục, tốt hơn
nên định nghĩa một số đếm vô hạn như một số không có được tất cả những thuộc
tính quy nạp, tức là chỉ đơn giản như một số vốn không là một số quy nạp. Tuy
nhiên, thuộc tính không thay đổi khi cộng thêm số 1 là một đặc tính rất quan trọng,
và chúng ta phải chăm chú vào nó trong một thời gian.
Để nói rằng một lớp có một số vốn không bị thay đổi
bởi phép cộng của 1, thì cũng giống như khi nói rằng, nếu chúng ta lấy một số hạng x vốn không thuộc vào lớp, chúng ta có thể
tìm thấy một quan hệ một-một có miền là lớp và có miền đảo thì có được bằng cách cộng thêm x vào lớp. Trong trường hợp đó, lớp thì tương tự với tổng của
chính nó và số hạng x, tức là với một lớp có thêm một số hạng; sao cho nó có
cùng số như một lớp với thêm một số hạng, như thế khiến nếu n là số này thì n = n + 1. Trong trường hợp này, chúng ta
cũng sẽ có n = n − 1, tức là sẽ có những quan hệ một-một vốn những miền của nó
gồm toàn bộ lớp và những miền đảo của
chúng gồm của chỉ thiếu đúng một số hạng của cả lớp. Có thể cho thấy rằng những
trường hợp trong đó điều này xảy ra đều cũng giống như những trường hợp tổng
quát rõ ràng hơn, trong đó một số phần (ngắn của tổng thể) nào đó có thể
được đặt vào trong quan hệ một-một với tổng thể. Khi điều này có thể làm được,
tác động tương quan vốn nó được thực hiện có thể được nói là “phản ánh” toàn bộ
lớp vào trong một phần của chính nó; vì lý do này, những lớp như vậy sẽ gọi là
“phản xạ”. Như vậy:
Một lớp “phản xạ” là
lớp vốn nó thì tương tự như một phần thích hợp của chính nó. (“Một phần thích
hợp” là một phần ngắn của toàn bộ).
Một số đếm “phản xạ”
là số đếm của một lớp phản xạ.
Bây giờ chúng ta phải xem xét thuộc tính này của
tính phản xạ.
Một trong những trường hợp nổi bật nhất của một
“phản xạ” là hình minh họa bản đồ của Royce [16]: ông tưởng tượng đã quyết
định để làm một bản đồ England trên một phần bề mặt của England. Một bản đồ,
nếu chính xác, có sự tương ứng toàn hảo với gốc của nó; thế nên, bản đồ của
chúng ta, là một phần, thì trong quan hệ một-một với tổng thể, và phải chứa
cùng một số điểm như toàn bộ, vốn do đó phải là một số phản xạ. Royce chú ý vào
sự kiện rằng bản đồ, nếu nó là chính xác, phải chứa một bản đồ của bản đồ, đến
lượt nó, bản đồ này phải chứa một bản đồ của bản đồ của bản đồ, và như thế tiếp
tục mãi mãi đến vô tận (ad infinitum)
Điểm này thì thú vị đáng chú ý, nhưng cần không làm bận rộn chúng ta vào
lúc này. Thực ra, chúng ta sẽ làm
việc chuyển từ những tranh vẽ minh họa sang những loại hoàn toàn xác định hơn,
và vì mục đích này, chúng ta không thể làm gì tốt hơn việc xem xét chính chuỗi
số.
Quan hệ của n
với n + 1, giới hạn với những số
quy nạp, là một-một, có toàn bộ của những số quy nạp cho miền của nó, và tất cả
ngoại trừ 0 cho miền nghịch đảo của
nó. Thế nên, toàn bộ lớp của những số quy nạp thì tương tự với những gì cùng
lớp tương đương trở thành khi chúng ta bỏ 0. Hệ quả là, nó là một lớp “phản xạ”
theo như định nghĩa, và số của những số hạng của nó là một số “phản xạ”. Lại
nữa, quan hệ của n với 2n,
giới hạn với những số quy nạp, là một-một, có toàn bộ của những số quy nạp cho
miền của nó, và chỉ một mình những số quy nạp chẵn cho miền nghịch đảo của nó.
Thế nên số tổng số của những số quy nạp thì cũng giống như số của những số quy
nạp chẵn. Thuộc tính
này đã được Leibniz
(và nhiều người khác) dùng như một bằng chứng rằng những số vô hạn là không thể
có được; điều đã nghĩ tự mâu thuẫn rằng “phần sẽ bằng với toàn bộ”. Nhưng đây
là một của những câu nói vốn tính chất
có thể có được của chúng tùy thuộc trên một sự mơ hồ đã không nhận ra: từ “bằng nhau” có nhiều nghĩa,
nhưng nếu nó được hiểu theo nghĩa những
gì chúng ta đã gọi là “tương tự”, thì không có sự mâu thuẫn, vì một set vô hạn. thì hoàn toàn có thể có những phần tương tự
với chính nó. Những ai là người coi điều này như không thể có được, một cách vô thức như một quy luật, đã gán những
con số trong những thuộc tính tổng quát vốn có thể chỉ
được chứng minh bằng quy nạp toán học, và
vốn chỉ sự quen thuộc của chúng làm
chúng ta lầm tưởng, coi như đúng thực nằm ngoài vùng của hữu hạn.
Hễ khi nào chúng ta có thể “phản ánh” một lớp vào
trong một phần của chính nó, cùng quan hệ sẽ tất yếu phản ánh phần đó vào
trong một phần nhỏ hơn, và tiếp tục như thế đến vô hạn. Thí dụ, chúng ta có thể phản ánh, như
chúng ta vừa thấy, tất cả những số quy nạp vào trong những số chẵn; chúng ta có
thể, bằng cùng quan hệ (đó là của n đến
2n) phản ánh những số chẵn vào trong những bội số của 4, những số này
vào trong những bội số của 8, v.v. Đây là một tương tự trừu tượng với vấn đề
của bản đồ của Royce. Những số chẵn là một “bản đồ” của tất cả những số quy
nạp; những bội số của 4 là một bản đồ của bản đồ; những bội số của 8 là bản đồ
của bản đồ; và tiếp tục như thế. Nếu chúng ta áp dụng cùng tiến trình cho quan hệ của n với n + 1, thì “bản đồ” của chúng ta sẽ gồm tất cả những số quy nạp
ngoại trừ 0; bản đồ của bản đồ sẽ gồm tất cả từ 2 trở đi, bản đồ của bản đồ của
bản đồ của tất cả từ 3 trở đi; và tiếp tục như thế. Việc dùng chính những hình
ảnh minh họa như vậy là để làm quen với ý tưởng của những lớp phản xạ, để những
mệnh đề số học có vẻ nghịch lý có thể dễ dàng được dịch sang ngôn ngữ của những
phản xạ và những lớp, trong đó cái
vẻ của nghịch lý thì ít hơn nhiều.
Sẽ là tiện lợi để cho một định nghĩa của số vốn là
của những số đếm quy nạp. Với mục đích này, trước tiên chúng ta trước tiên sẽ
định nghĩa loại chuỗi đã thí dụ điển hình bởi những số đếm quy nạp trong thứ
bậc của độ lớn. Loại của chuỗi vốn gọi là “cấp số” đã được xem xét trong Chương
I. Nó là một chuỗi có thể được tạo ra bằng một quan hệ của tính liên tiếp [17]: mọi phần tử của chuỗi
thì để có một tiếp sau, nhưng chỉ có một vốn không có liền trước, và mọi phần
tử của chuỗi phải là trong hậu duệ của số hạng này đối với quan hệ “liền trước
trực tiếp”. Những đặc điểm này có thể được tóm tắt trong định nghĩa sau: — [18]
Một “cấp số” là quan hệ một-một sao cho chỉ có một
số hạng thuộc miền nhưng không thuộc miền
đảo và miền thì đồng nhất với hậu duệ của một số hạng này.[19]
Dễ dàng nhận thấy rằng một cấp số, được định nghĩa
như vậy, thỏa mãn năm tiên đề của Peano. Số hạng thuộc miền nhưng không thuộc miền đảo sẽ là những gì ông gọi là “0”;
số hạng với nó một số hạng có quan hệ một-một sẽ là ”tiếp sau” của số hạng; và
miền của quan hệ một-một sẽ là những gì ông gọi là “số”. Lần lượt lấy năm tiên
đề của ông, ta có những chuyển dịch sau: −
(1) “0 là một số” trở thành: “Phần tử của miền vốn
không là một phần tử của miền đảo là
một phần tử của miền”. Điều này thì tương đương với sự hiện hữu của một phần tử
như vậy, vốn được đem cho trong định nghĩa của chúng ta. Chúng ta sẽ gọi phần
tử này là “số hạng đầu tiên”.
(2) “Số tiếp sau của bất kỳ số nào là một số” trở
thành: “Số hạng với nó một phần tử đem
cho của miền có quan hệ trong xem xét lại là một phần tử của miền”. Điều này
được chứng minh như sau: Theo định nghĩa, mọi phần tử của miền là một phần tử
của hậu duệ của số hạng đầu tiên; thế nên, tiếp sau của một phần tử của miền
phải là một phần tử của hậu duệ của số hạng đầu tiên (vì hậu duệ của một số
hạng luôn luôn chứa những số tiếp sau riêng của nó, theo định nghĩa tổng quát
của hậu duệ), và do đó một phần tử của miền, vì theo định nghĩa, hậu duệ của số
hạng đầu tiên thì cũng giống như miền.
(3) “Không có hai số nào có cùng số tiếp sau”. Điều
này chỉ để nói rằng quan hệ là một-nhiều, vốn nó là theo định nghĩa (là
một-một).
(4) “0 không là số tiếp sau của bất kỳ số nào” trở
thành: “Số hạng đầu tiên không là phần tử của miền đảo”, một lần nữa là kết quả ngay lập tức của định nghĩa.
(5) Đây là quy nạp toán học, và trở thành: “Mọi
phần tử của miền đều thuộc về hậu duệ của số hạng đầu tiên”, vốn là một phần
trong định nghĩa của chúng ta.
Vì vậy, những cấp số như chúng ta đã định nghĩa,
chúng có năm thuộc tính chính thức vốn từ đó Peano suy diễn thành số học. Dễ
dàng để cho thấy rằng hai cấp số là “tương tự” trong ý hướng đã định nghĩa cho
sự tương tự của những quan hệ trong Chương VI. Dĩ nhiên, chúng ta có thể lấy ra
một quan hệ vốn là nối tiếp từ quan hệ một-một vốn chúng ta định nghĩa một cấp
số: phương pháp đã dùng được giải thích trong Chương IV., Và quan hệ là của một
số hạng với một phần tử của hậu duệ đúng của nó đối với quan hệ một-một ban
đầu.
Hai quan hệ không-đối xứng bắc cầu vốn tạo ra những
cấp số đều là tương tự, vì những cùng những lý do tương tự vốn những quan hệ
một-một tương ứng cũng tương tự. Lớp của tất cả những tạo sinh ra tính bắc cầu
như vậy của những cấp số là một “số định-vị-trí” trong ý nghĩa của Chương VI;
thực ra nó là số nhỏ nhất của số định-vị-trí vô hạn, con số vốn Cantor đã đặt
tên là ω, qua đó ông đã làm nó thành nổi tiếng.
Nhưng chúng ta băn khoăn, vào lúc này, với những số
đếm. Vì hai cấp số đều là những quan hệ tương đương, nên những miền của
chúng (hay những trường của chúng, vốn cũng là một như những miền của chúng)
đều là những lớp tương đương. Những miền của những cấp số tao thành một số đếm,
vì mọi lớp tương đương với miền của một cấp số đều dễ dàng được chứng minh là
chính nó là miền của một cấp số. Số đếm này là số nhỏ nhất trong số những số
đếm vô hạn; nó là số vốn Cantor đã lấy chữ cái đầu tiên trong tiếng Hebrew là
Aleph với phụ tố 0, đặt cho nó, để phân biệt nó với những số đếm vô hạn lớn hơn, vón chúng có những phụ
tố khác. Thế nên, tên của số nhỏ nhất của những số đếm vô hạn là ℵ0.
Để nói rằng một lớp có ℵ0 những số hạng
thì cũng giống như nói rằng nó là một phần tử của ℵ0, và điều này
cũng tương tự như nói rằng những phần tử của lớp có thể được sắp xếp theo một
cấp số. Điều hiển nhiên là bất kỳ cấp số nào vẫn là một cấp số nếu chúng ta lấy
bớt đi từ nó một số lượng hữu hạn những số hạng, hay mọi số hạng kia (xen kẽ),
hay tất cả ngoại trừ mọi số hạng thứ mười, hay mọi số hạng thứ một trăm. Những
phương pháp này làm loãng mỏng một cấp số không làm cho nó thôi không còn là
một cấp số, và thế nên không làm giảm bớt con số của những số hạng của nó, vốn
vẫn là ℵ0. Thực ra, bất kỳ lựa chọn nào từ một cấp số đều là một cấp
số nếu nó không có số hạng cuối cùng, cho dù nó có thể là phân phối thưa mỏng
đến đâu. Lấy (hãy nói thí dụ) những số quy nạp có dạng nn hay
nnn.
Những con số phát triển như vậy rất hiếm trong những phần cao hơn của chuỗi số,
và tuy có cũng nhiều số của chúng như có nhiều những số quy nạp với nhau, đó là
ℵ0.
Ngược lại, chúng ta có thể cộng thêm những số hạng
vào những số quy nạp nhưng không làm tăng số của chúng. Lấy thí dụ, những tỉ
số. Người ta có thể có khuynh hướng nghĩ rằng phải có nhiều những tỉ số hơn
những số nguyên, vì những tỉ số có mẫu số là 1 tương ứng với những số nguyên,
và dường như là phần tương ứng một vô cực nhỏ [20] của những tỉ số. Nhưng
thực ra, số của những tỉ số (hay những phân số) thì chính xác hoàn toàn giống
với số của những số quy nạp, đó là ℵ0.
Điều này có thể dễ dàng nhận thấy bằng việc sắp xếp những tỉ số trong
một chuỗi theo dự kiến sau: Nếu tổng số của tử số và mẫu số của một tỉ số nhỏ
hơn tỉ số kia, hãy đặt tỉ số này trước tỉ số kia; nếu tổng của cả hai bằng
nhau, đặt trước tỉ số có tử số nhỏ hơn. Điều này mang lại cho chúng ta loạt
1, 1/2, 2, 1/3, 3,
1/4, 2/3, 3/2, 4, 1/5, …
Chuỗi này là một cấp số, và tất cả những tỉ số đều
xảy ra trong đó sớm hay muộn. Thế nên, chúng ta có thể sắp xếp tất cả những tỉ
số theo một cấp số, và số của chúng thế nên là ℵ0.
Tuy nhiên, không là trường hợp xảy ra rằng tất
cả những set vô hạn đều có ℵ0 số hạng. Thí dụ, số lượng những số
thực thì lớn hơn ℵ0.; thực sự nó là 2ℵ0, và
không khó để chứng minh rằng 2n
lớn hơn n ngay cả khi n là vô hạn. Cách dễ nhất để chứng minh
sự việc này là, trước tiên, chứng minh rằng nếu một lớp có n phần tử, thì nó chứa 2n
lớp-con – Nói cách khác, có 2n cách để chọn một số của
những phần tử của nó (gồm cả trường hợp cực đoan, chúng ta chọn tất cả hay
không chọn gì cả); và thứ hai, rằng số của những lớp-con chứa trong một thì
luôn luôn lớn hơn số của những phần tử của lớp. Trong hai mệnh đề này, mệnh đề
thứ nhất thì quen thuộc trong trường hợp của những số hữu hạn, và không khó để
mở rộng đến số những vô hạn. Chứng minh của mệnh đề thứ hai rất đơn giản và có
tính truyền thụ nên chúng ta sẽ đem cho nó:
Đầu tiên, điều hiển nhiên là số của những lớp-con
của một lớp nhất định (lấy thí dụ lớp đem cho là α) thì ít nhất cũng lớn
bằng số của những phần tử, vì mỗi phần tử tạo thành một lớp-con và thế nên
chúng ta có tương quan tất cả những phần tử với một số lớp con. Thế nên, dẫn
đến ràng, nếu số lớp-con không bằng số của những phần tử thì nó phải lớn
hơn. Bây giờ, để chứng minh rằng số lượng thì không bằng nhau, là điều dễ
dàng, bằng việc cho thấy rằng, với bất kỳ quan hệ một-một nào đem cho, có miền
là những phần tử và có miền đảo thì
chứa trong set của những lớp con, thì phải có ít nhất một lớp-con lớp không
thuộc miền đảo. Chứng minh như sau: [21]
Khi một tương quan một-một R được thiết lập giữa
tất cả những phần tử của α và một số của những lớp con, điều có thể xảy ra rằng
một phần tử x nhất định đã thì có tương quan với một lớp-con vốn với nó, nó là
một phần tử; hay, lại nữa, điều có thể xảy ra rằng x thì có tương quan với một lớp-con vốn với nó, nó không là một
phần tử. Chúng ta hãy tạo thành lớp toàn bộ, thí dụ β, cúa những phần tử x đó, vốn chúng đều tương quan với
những lớp-con vốn chúng không là những phần tử.
Đây là một lớp-con của α, và nó không tương quan
với bất kỳ phần tử nào của α. Vì, lấy trước hết những phần tử của β, mỗi phần
tử trong số chúng (theo định nghĩa của β) có tương quan với một số lớp-con vốn
nó không là một phần tử, và thế nên không tương quan với β. Lấy tiếp theo những
số hạng vốn không là những phần tử của β, mỗi số hạng trong số chúng (theo định
nghĩa của β) có tương quan với một số hạng con vốn nó là phần tử, và thế nên
một lần nữa thì không tương quan với β. Thế nên không có phần tử nào của α
tương quan với β. Vì R đã là bất kỳ tương quan một-một nào của tất cả
những phần tử với một số lớp con, thế nên không có tương quan của tất cả những
phần tử với tất cả những lớp con. Không quan trọng với chứng minh nếu β
không có phần tử nào: tất cả những gì xảy ra trong trường hợp đó là lớp-con vốn
được cho thấy bị bỏ qua là lớp-rỗng.
Thế nên, trong tất cả những trường hợp, số của những lớp-con không bằng số của
những phần tử, và thế nên, theo những gì đã nói trước đó, nó thì lớn hơn. Kết
hợp điều này với mệnh đề rằng, nếu n là
số của những phần tử, 2n là
số của những lớp con, ta có định lý rằng
2n luôn luôn lớn hơn n, ngay cả khi n là vô hạn.
Đến theo mệnh đề này, là không có số cực đại cho
những số đếm vô hạn. Dù cho một số vô hạn
n có thể lớn đến bao nhiêu, 2n
sẽ vẫn là lớn hơn. Số học của những số vô hạn thì phần nào ngạc nhiên cho đến
khi người ta trở nên quen thuộc với nó. Thí dụ, chúng ta có:
ℵ0+ 1 = ℵ0,
ℵ0+ n = ℵ0, với n là bất kỳ số quy nạp nào,
ℵ0 2 =
ℵ0.
(Điều này dựa trên trường hợp của những tỉ số, vì
tỉ số được định nghĩa bởi một cặp của những số quy nạp, nên dễ dàng để thấy
rằng số của những tỉ số là bình phương của số những số quy nạp, tức là nó là ℵ0
2; nhưng chúng ta thấy rằng nó cũng là ℵ0).
ℵ0 n =
ℵ0, với n là bất kỳ số quy
nạp nào.
(Điều này đến từ ℵ0
2 = ℵ0 bằng quy nạp;
với nếu ℵ0 n =
ℵ0,
thì ℵ0 n +
1 = ℵ0 2 = ℵ0).
Nhưng 2ℵ0 > ℵ0.
Thực sự, như chúng ta sẽ thấy ở phần sau, 2ℵ0 là một con số rất quan trọng, đó là, số của
những số hạng trong một chuỗi có “tính liên tục” trong ý hướng trong đó từ này
đã được Cantor dùng. Sau khi giả định không gian và thời gian thì liên tục theo
nghĩa này (như chúng ta thường làm trong hình học giải tích và động học [22]), đây sẽ là số của những điểm
trong không gian hay của những tức khắc trong thời gian; nó cũng sẽ là
số của những điểm trong bất kỳ phần hữu hạn nào của không gian, cho dù
đường thẳng, diện tích hay thể tích. Sau ℵ0, 2ℵ0 là con số quan trọng và đáng chú ý nhất trong
những số vô hạn.
Mặc dù phép cộng và phép nhân luôn luôn có thể thực
hiện được với v những số đếm vô hạn, phép trừ và phép chia không còn cho những
kết quả xác định, và thế nên không thể được dùng như chúng được dùng trong số
học cơ bản. Để bắt đây, hãy lấy phép trừ: miễn là số bị trừ là hữu hạn, mọi
việc thì suông sẻ; nếu số kia là phản xạ, nó vẫn không thay đổi. Thế nên ℵ0
− n = ℵ0, nếu n thì hữu hạn; Cho đến giờ, phép trừ cho một kết quả hoàn toàn xác
định. Nhưng ngược lại khi chúng ta lấy ℵ0 trừ đi chính nó; sau đó
chúng ta có thể nhận được bất kỳ kết quả nào, từ 0 đến ℵ0. Điều này có thể dễ dàng nhận thấy qua những
thí dụ. Từ những số quy nạp, lấy đi những sưu
tập có ℵ0 số hạng: −
(1) Tất cả những số
quy nạp – số dư, zero.
(2) Tất cả những số
quy nạp từ n trở đi – số dư, những số từ 0 đến n − 1, đánh số tất cả n số
hạng.
(3) Tất cả những số
lẻ – số dư, tất cả những số chẵn, đánh số ℵ0 số hạng.
Tất cả đây là những cách khác nhau để trừ ℵ0 khỏi
ℵ0 (ℵ0 – ℵ0)
và tất cả đều cho kết quả khác nhau.
Đối với phép chia, những kết quả rất giống nhau dựa
trên sự kiện là ℵ0
thì không thay đổi khi nhân với 2 hay 3 hay với bất kỳ số hữu hạn nào n hay với ℵ0. Theo đó ℵ0
chia cho ℵ0 có thể có bất kỳ giá trị nào, từ 1 đến ℵ0.
Từ sự hàm hồ của phép trừ và phép chia, kết quả là
những số và tỉ số âm không thể mở rộng đến những số vô hạn. Phép cộng, phép
nhân và phép lũy thừa tiến hành khá ổn thỏa, nhưng những phép toán nghịch đảo – trừ, chia và rút căn – là hàm hồ và những khái niệm tùy
thuộc trên chúng không thành công khi liên quan với những số vô hạn.
Đặc điểm qua đó chúng ta định nghĩa tính hữu hạn là
quy nạp toán học, tức là chúng ta định nghĩa một số như hữu hạn khi nó tuân
theo quy nạp toán học bắt đầu từ 0, và
một lớp như hữu hạn khi số của nó là hữu hạn. Định nghĩa này mang lại loại kết
quả vốn một định nghĩa phải mang lại, đó là những số hữu hạn là những số xuất
hiện trong chuỗi − số thông thường 0, 1, 2, 3, … Nhưng trong chương này, những
số vô hạn vốn chúng ta đã thảo luận không chỉ đơn thuần là không quy nạp: chúng
cũng là phản xạ. Cantor đã dùng tính phản xạ như sự định nghĩa
của tính vô hạn, và tin rằng nó thì tương đương với tính − không quy nạp; có
nghĩa là, ông tin rằng mọi lớp và mọi số đếm thì hoặc là quy nạp hoặc là phản
xạ. Điều này có thể đúng, và rất có thể có khả năng chứng minh; nhưng những
chứng minh cho đến nay của Cantor và những người khác (gồm cả tác giả hiện tại
trong ngày trước) là sai lầm, vì những lý do sẽ được giải thích khi chúng ta
xem xét “tiên đề nhân”[23]. Hiện tại, điều vẫn chưa
biết là không biết có những lớp và những số đếm vốn chúng không-phản xạ cũng
không quy nạp hay không. Nếu n đã là
một số đếm loại như vậy, chúng ta tất sẽ không có n = n + 1, nhưng n sẽ không là một của những “số tự
nhiên”, và tất sẽ thiếu một vài những thuộc tính quy nạp. Tất cả những lớp vô
hạn và số đếm đã biết là phản xạ; nhưng với hiện tại, tốt hơn hết là nên
giữ một đầu óc cởi mở về việc liệu có những trường hợp, cho đến nay vẫn chưa
biết đến, của những lớp và những số đếm không mang tính phản xạ hay quy nạp hay
không. Trong khi đó, chúng ta áp dụng những định nghĩa sau: −
Một lớp hữu hạn hay số đếm hữu hạn là
một có tính quy nạp.
Một lớp vô hạn hay số đếm vô hạn là
một vốn là không quy nạp. Tất cả những lớp phản xạ và những số đếm đều
là vô hạn; nhưng lúc này vẫn chưa biết liệu tất cả những lớp vô hạn và những số
đếm đều là phản xạ hay không. Chúng ta sẽ trở lại đề tài này trong Chương XII.
CHƯƠNG IX:
Chuỗi Vô hạn
và Những số thứ tự
Một “chuỗi vô hạn” có thể được định nghĩa như một
chuỗi của nó, trường là một lớp vô hạn. Chúng ta đã có cơ hội để xem xét một loại của
chuỗi vô hạn, cụ thể là, những cấp số. Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét đề
tài trong tổng quát hơn.
Đặc điểm đáng ghi nhận nhất của một chuỗi vô hạn là
số định-vị-trí của nó có thể được thay đổi chỉ bằng cách sắp xếp lại những số
hạng của nó. Về mặt này, có một sự đối lập nhất định giữa số thứ tự và số
định-vị-trí. Là điều có thể để giữ số thứ tự của một lớp phản xạ không thay đổi
mặc dù thêm những số hạng vào nó; mặt khác, là điều có thể thay đổi số
định-vị-trí của một chuỗi không cần cộng thêm hay lấy đi bất kỳ số hạng nào,
chỉ bằng cách sắp xếp lại. Đồng thời, trong trường hợp của bất kỳ chuỗi vô hạn
nào, cũng có thể, như với những số thứ tự, để cộng thêm những số hạng nhưng
không làm thay đổi số định-vị-trí: mọi sự việc tùy trong trên cách chúng được
cộng thêm vào.
Để làm rõ vấn đề, tốt nhất nên bắt đầu với những
thí dụ. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét những loại chuỗi khác nhau vốn có thể
được tạo ra từ những số quy nạp được sắp xếp trên những dự định khác nhau.
Chúng ta bắt đầu với chuỗi
1, 2, 3, 4, … n, …,
vốn, như chúng ta đã thấy, đại diện cho số nhỏ nhất
của những số định-vị-trí vô hạn, số vốn Cantor gọi là ω. Chúng ta hãy tiếp tục
để làm thưa chuỗi này bằng việc thực hiện liên tục hoạt động của việc xóa đến
cuối số chẵn xuất hiện đầu tiên. Thế nên, chúng ta thu được liên tiếp những
chuỗi khác nhau:
1, 3, 4, 5, … n, … 2,
1, 3, 5, 6, … n + 1, … 2, 4,
1, 3, 5, 7, … n + 2, … 2, 4, 6,
và tiếp tục như thế. Nếu chúng ta tưởng tượng cấp
số này tiếp tục càng lâu đến có thể, cuối cùng chúng ta cũng đến được chuỗi
1, 3, 5, 7, … 2n + 1, … 2, 4, 6, 8, … 2n, …,
trong đó đầu tiên chúng ta có tất cả những số lẻ và
sau đó là tất cả những số chẵn.
Những số định-vị-trí của những chuỗi khác nhau này
là:
ω + 1, ω + 2, ω + 3, … 2ω.
Mỗi của những số này thì “lớn hơn” bất kỳ những
tiếp trước của nó, theo nghĩa sau: −
Một số định-vị-trí được nói là “lớn hơn” một số
khác nếu bất kỳ chuỗi nào có số đầu tiên chứa một phần có số thứ hai, nhưng
không có chuỗi nào có số thứ hai chứa một phần có số đầu tiên.
Nếu chúng ta so sánh hai chuỗi
1, 2, 3, 4, … n, …
1, 3, 4, 5, … n + 1, … 2,
Chúng ta thấy rằng chuỗi thứ nhất giống với phần
của chuỗi thứ hai bỏ đi số hạng cuối cùng, đó là số 2, nhưng chuỗi thứ hai thì
không giống với bất kỳ phần nào của chuỗi thứ nhất. (Điều này là hiển nhiên,
nhưng có thể dễ dàng chứng minh). Thế nên, chuỗi thứ hai có một số số
định-vị-trí lớn hơn chuỗi thứ nhất, theo định nghĩa – tức là ω + 1 thì lớn hơn ω.
Nhưng nếu chúng ta thêm một số hạng vào đầu một cấp số thay vì cuối, chúng ta
vẫn có một cấp số. Như vậy 1 + ω = ω. Thế nên 1 + ω không bằng ω + 1. Đây là
đặc điểm của quan hệ − số học trong tổng quát: nếu μ và ν là hai số-quan
hệ, quy tắc tổng quát là μ + ν thì không bằng ν + μ. Trường hợp của
những số thứ tự hữu hạn, trong đó có sự bằng nhau, thì hoàn toàn ngoại lệ
Chuỗi cuối cùng chúng ta đạt được vừa rồi gồm trước
nhất tất cả những số lẻ và sau đó là tất cả những số chẵn, và số định-vị-trí
của nó là 2ω. Số này lớn hơn ω hay ω + n, trong đó n là hữu hạn. Cần để quan sát rằng, theo định nghĩa tổng quát của
thứ bậc, mỗi cách sắp xếp này của những số nguyên được coi như kết quả của một
số quan hệ xác định nào đó. Thí dụ: chuỗi có quan hệ vốn chỉ đơn thuần loại bỏ
2 đến cuối, sẽ được định nghĩa theo quan hệ sau: “x và y là những số nguyên hữu hạn, và hoặc y là 2 và x không là 2,
hay không một nào là 2, và x nhỏ hơn
y”. Sắp xếp đặt trước tất cả những số lẻ và sau đó là tất cả những số chẵn sẽ
được định nghĩa bởi: “x và y là những
số nguyên hữu hạn, và x là số lẻ và y là số chẵn hay x nhỏ hơn y và cả hai
đều là số lẻ hay cả hai đều là chẵn”. Chúng ta sẽ không phải rắc rối, như một
qui luật, để đem cho những công thức này trong tương lai; nhưng sự kiện là
chúng có thể được đem cho là thiết yếu
Con số vốn chúng ta đã gọi là 2ω, đó là số của một
chuỗi gồm hai cấp số, thì đôi khi gọi là ω.2. Phép nhân, giống như phép cộng,
tùy thuộc trên thứ bậc của những thừa tố: một cấp số của những cặp cho ra một
chuỗi thí dụ như
x1, y1,
x2, y2, x3, y3, … xn, yn,
…,
vốn bản thân nó là một cấp số; nhưng một cặp của
những cấp số cho một chuỗi vốn dài gấp đôi một cấp số. Thế nên cần phân biệt
giữa 2ω và ω.2. Cách dùng thì thay đổi; chúng ta sẽ dùng 2ω cho một cặp của
những cấp số, và ω.2 cho một cấp số của những cặp, và quyết định này dĩ nhiên
chi phối cách giải thích tổng quát của chúng ta về “α.β” khi α và β là những
số-quan hệ: “α.β” sẽ phải là đại diện cho một tổng số được xây dựng thích hợp của
α những quan hệ vốn mỗi chúng có β những số hạng.
Chúng ta có thể tiếp tục vô hạn với tiến trình làm
mỏng dần những số quy nạp. Thí dụ, chúng ta có thể đặt những số lẻ đầu tiên,
sau đó đến số gấp đôi của chúng, sau đó là số gấp đôi của những số này, v.v.
Thế nên, chúng ta có được chuỗi
1, 3, 5, 7, …; 2, 6,
10, 14, …; 4, 12, 20, 28, …; 8, 24, 40, 56, …,
trong đó con số là ω2, vì nó là một cấp
số của những cấp số. Dĩ nhiên, bất kỳ cấp số nào trong chuỗi mới này đều có thể
bị mỏng dần đi khi chúng ta làm mỏng cấp số ban đầu của chúng ta. Chúng ta có
thể tiếp tục tiến đến ω3, ω4, … ωω, và v.v.
Cho dù chúng ta đi xa đến đâu, chúng ta luôn luôn có thể đi xa hơn.
Chuỗi của tất cả những số thứ tự có thể có được
trong cách này, tức là tất cả gì có thể có được bằng việc làm mỏng dần một cấp
số, thì bản thân nó dài hơn bất kỳ chuỗi nào có thể có được bằng sự sắp xếp lại
những số hạng của một cấp số. (Điều này không khó để chứng minh). Số thứ tự của
lớp của những số đếm giống thế đó có thể được cho thấy là lớn hơn ℵ0; nó là con
số vốn Cantor gọi là ℵ1. Số thứ tự của chuỗi của tất cả những só thứ
tự có thể được tạo ra từ một ℵ0, được lấy theo thứ bậc của độ lớn,
gọi là ω1. Thế nên, một chuỗi có số thứ tự là ω1. có một
trường có số đếm là ℵ1
Chúng ta có thể tiến hành từ ω1 và ℵ1
đến ω2 và ℵ2 bằng một tiến trình hoàn toàn tương tự với
tiến trình qua đó vốn chúng ta tiến từ ω và ℵ0 lên ω1 và ℵ1.
Và không có gì ngăn cản chúng ta tiến vô thời hạn theo cách này đến những số
đếm mới và những số thứ tự mới. Người
ta không biết liệu 2ℵ0 có bằng với bất kỳ những số đếm nào trong chuỗi của những Aleph hay
không. Người ta ngay cả không biết liệu nó có thể so sánh với chúng về độ lớn
hay không; vì tất cả những gì chúng ta biết, nó có thểlà không bằng cũng không
lớn hơn cũng không nhỏ hơn bất kỳ một nào của những Aleph. Câu hỏi này thì nối
tiếp với tiên đề nhân, chúng ta sẽ giải quyết với nó sau.
Tất cả những chuỗi vốn chúng ta đã từng xem xét cho
đến giờ trong chương này đã từng gọi là “đã sắp xếp tốt”[24]. Một chuỗi sắp xếp tốt là
một chuỗi có một bắt đầu và có những số hạng liên tiếp, và có một số hạng tiếp
theo sau bất kỳ lựa chọn nào của những số hạng của nó, miễn là có những số hạng
bất kỳ sau lựa chọn. Điều này loại trừ, về một mặt, những chuỗi dày đặc,
trong đó có những số hạng giữa bất kỳ hai số hạng, và mặt khác, những chuỗi
không có bắt đầu hay trong đó có những phần phụ không có bắt đầu. Chuỗi của
những số nguyên âm theo thứ bậc của độ lớn, không có bắt đầu, nhưng kết thúc
với −1, không có sắp xếp tốt; nhưng lấy theo thứ bậc ngược lại, bắt đầu bằng
−1, nó có sắp xếp tốt, thực ra là một cấp số. Định nghĩa là:
Một chuỗi “sắp xếp
tốt” là một chuỗi trong đó mọi lớp-con (Dĩ nhiên là ngoại trừ lớp-rỗng)
đều có một số hạng đầu tiên.
Một số “thứ bậc” có
nghĩa là số-quan hệ của một chuỗi sắp xếp tốt. Thế nên, nó là một loài
của số định-vị-trí.
Trong số những chuỗi sắp xếp tốt, một dạng đã tổng
quát của những ứng dụng quy nạp toán học. Một thuộc tính có thể được nói là “di
truyền siêu hạn” [25] nếu, khi nó thuộc về một
lựa chọn nhất định nào đó của những số hạng trong một chuỗi, thì nó thuộc về
tiếp sau trực tiếp của chúng miễn là chúng có một tiếp theo. Trong một chuỗi có
được sắp xếp tốt một thuộc tính di truyền siêu hạn thuộc về số hạng đầu tiên
của chuỗi thuộc về chuỗi toàn bộ. Điều này làm nó có thể để chứng minh nhiều
mệnh đề liên quan với những chuỗi sắp xếp tốt vốn không đúng với tất cả những
chuỗi.
Điều là dễ dàng để sắp xếp những số quy nạp trong
chuỗi vốn không sắp xếp tốt và ngay cả để sắp xếp chúng trong chuỗi dày đặc.
Thí dụ, chúng ta có thể áp dụng cách làm sau: xem xét những số thập phân từ 0.1
(gồm) đến 1 (không gồm), được sắp xếp theo thứ bậc của độ lớn. Những những số
thập phân này hình thành một chuỗi dày đặc; giữa bất kỳ hai số nào luôn luôn có
một số vô hạn của những số kia. Bây giờ hãy bỏ đi dấu chấm ở đầu mỗi số thập
phân, và chúng ta có một chuỗi dày đặc gồm tất cả những số nguyên hữu hạn ngoại
trừ số chia cho 10.
Nếu chúng ta muốn gồm những số chia cho 10, không
có gì khó khăn; thay vì bắt đầu với .1, chúng ta sẽ gồm tất cả những số thập
phân nhỏ hơn 1, nhưng khi chúng ta xóa dấu chấm, chúng ta sẽ chuyển sang bên
phải bất kỳ số 0 nào xuất hiện ở bắt
đầu của số thập phân của chúng ta. Bỏ qua những số này và quay lại những số
không có con số 0 ở đầu, chúng ta có
thể phát biểu quy tắc sắp xếp những số nguyên của chúng ta như sau: Trong số
hai số nguyên không bắt đầu bằng cùng một con số, số bắt đầu bằng con số nhỏ
hơn đứng trước. Trong số hai số nguyên bắt đầu bằng cùng một con số, nhưng khác
nhau ở con số thứ hai, số nguyên nào có con số thứ hai nhỏ hơn đứng trước,
nhưng đứng trước tất cả số nguyên không có con số thứ hai; và cứ tiếp tục như
thế. Trong tổng quát, nếu hai số nguyên đồng nhất với nhau về n những con số đầu tiên, nhưng không đồng nhất về phần con số thứ
(n + 1), thì số đứng trước không có con số thứ (n + 1) hay một con số nhỏ hơn
số còn lại. Quy tắc về sắp xếp này, như người đọc có thể dễ dàng tự thuyết
phục, cho phát sinh một chuỗi dày đặc chứa tất cả những số nguyên không chia
cho 10; và, như chúng ta đã thấy, không có gì khó khăn về việc gộp những số
chia hết cho 10. Từ thí dụ này, đó là có thể để xây dựng chuỗi dày đặc có ℵ0
số hạng. Thực ra, chúng ta đã thấy rằng có ℵ0 tỉ số, và tỉ số
theo thứ bậc của độ lớn hình thành một chuỗi dày đặc; thế nên, chúng ta có ở
đây một thí dụ khác. Chúng ta sẽ tiếp tục đề tài này trong chương tiếp theo.
Trong số những luật chính thức thông thường của
phép cộng, phép nhân và phép lũy thừa, tất cả đều được tuân theo bởi những số
đếm vô hạn, nhưng chỉ một số được
tuân theo bởi những số thứ tự vô hạn, và những luật được chúng tuân theo thì
đều được tuân theo bởi tất cả những số-quan hệ. Khi nói “luật chính thức thông
thường”, chúng ta có ý như sau: −
I. Luật giao hoán: α
+ β = β + α và α × β = β × α.
II. Luật kết hợp: (α
+ β) + γ = α + (β + γ) và (α × β) × γ = α × (β × γ).
III. Luật phân phối: α
(β + γ) = αβ + αγ.
Khi luật giao hoán không giữ nguyên, dạng trên của
luật phân phối phải phân biệt với
(β + γ) α = βα + γα.
Như chúng ta sẽ thấy ngay lập tức, một dạng có thể
đúng và dạng kia sai.
IV. những luật lũy
thừa: αβ.
αγ = αβ + γ, αγ.βγ = (αβ) γ, (αβ) γ = αβ γ.
Tất cả những luật này giữ cho những số đếm, cho dù là hữu hạn hay vô hạn, và cho
những số thứ tự hữu hạn. Nhưng khi chúng ta đi đến những số thứ tự vô
hạn, hay thực sự đến những số-quan hệ trong tổng quát, một số giữ và một số thì
không giữ. Luật giao hoán không giữ; luật liên kết giữ nguyên; luật phân phối
(qua quy ước vốn chúng ta đã chấp nhận ở trên về phần thứ bậc của những thừa số
trong một tích số được giữ trong dạng
(β + γ) α = βα + γα,
nhưng không trong dạng
α (β + γ) = αβ + αγ.
Những luật lúy thừa
αβ. αγ = αβ + γ và (αβ) γ = αβ γ.
vẫn giữ, nhưng không luật
αγ.
β γ = (αβ) γ,
vốn hiển nhiên đã kết nối với luật giao hoán cho
phép nhân.
Những định nghĩa của phép nhân và phép lũy thừa vốn
đã giả định trong những mệnh đề trên đây, đều là phần nào phức tạp. Người đọc
muốn biết chúng là gì và những qui luật trên được chứng minh như thế nào, phải
tham khảo tập hai của Principia Mathematica, * 172–176.
Số học về
số thứ tự có số lượng siêu hạn [26] đã được Cantor phát triển
ở một giai đoạn sớm hơn số học về
số đếm có số lượng siêu hạn, vì nó có những sử dụng kỹ thuật toán học khác nhau vốn đã dẫn ông đến với nó. Nhưng từ quan
điểm của triết học toán học, nó thì ít quan trọng và ít nền tảng hơn lý thuyết
về những số đếm vô
hạn. Những số đếm đều thiết yếu là đơn giản hơn so với những số thứ tự, và đó
là một bất ngờ lịch sử lạ lùng khiến khi chúng đầu tiên đã xuất hiện như một sự
trừu tượng từ những số thứ tự, và chỉ dần dần đã trở nên được nghiên cứu cho
những mục đích của riêng chúng. Điều này không áp dụng với công trình của
Frege, trong đó những số đếm, hữu hạn
và siêu hạn, đã đều được giải quyết trong độc lập hoàn toàn với những số thứ
tự,; nhưng đã là chính công trình của Cantor làm thế giới nhận biết vấn đề, trong
khi công trình của Frege vẫn hầu như đã không được biết đến, có lẽ lý do chủ
yếu là sự khó khăn của hệ thống ký hiệu của ông. Và những nhà toán học, cũng
như những người khác, có nhiều khó khăn trong việc hiểu và dùng những khái niệm
vốn tương đối “đơn giản” trong ý hướng lôgích hơn là trong việc vận dụng những
khái niệm phức tạp hơn nhưng thân thuộc hơn với thực hành thông thường của họ.
Vì những lý do này, đã là chỉ dần dần khiến sự quan trọng thực của những số đếm trong triết học toán học đã được nhìn
nhận. Sự quan trọng của những số thứ tự, mặc dù hoàn toàn là không nhỏ, thì rõ
ràng là ít hơn so với của những số đếm, và rất nhiều phần đã trộn lẫn trong
những gì của khái niệm tổng quát hơn của những số-quan hệ.
Lê Dọn Bàn
tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Aug/2021)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] “a particular species” Theo tôi hiểu Russell dùng ‘species’ như ‘giống loại’,
‘loài’; thí dụ ‘mathematical truths are a species of logical truths’ – những
đúng thực toán học đều là một loài của những đúng thực lôgích
[2] [Tập. iii. * 300ff., Đặc biệt là 303.]
[3] [Dĩ nhiên thực ra, chúng ta sẽ tiếp tục nói về một phân số là (giả định) lớn hơn hay nhỏ hơn 1, nghĩa
là lớn hơn hay nhỏ hơn tỷ lệ 1/1. Vì vậy, miễn là người ta hiểu rằng tỷ lệ 1/1
và số đếm 1 là khác nhau, thì không nhất thiết phải luôn nhấn mạnh đến sự khác
biệt.]
[4] infinity: vô hạn (hay vô cùng, vô tận, vô cực): khái niệm về một gì đó là không giới hạn, vô cùng, không bị ràng buộc. Vô hạn không là một con số, nó chỉ là một ý tưởng. Một ý tưởng về một gì đó không có chấm dứt. Nó thì không ‘lớn/to thêm hơn’, nó đã được trọn vẹn hình thành đầy đủ, nó không thể đo được. Ý tưởng về vô hạn trong toán học được ghi lại sớm nhất có thể là của Anaximander (khoảng 610 - 546 TCN), nhà triết học Greece, trước-Socrate. Ông đã dùng từ apeiron, với nghĩa ‘không bị ràng buộc’, ‘không giới hạn’. Sau đến ‘∞’ là ký hiệu toán học thường dùng để chỉ một số lượng lớn vô hạn, do John Wallis phát minh vào năm 1655.
[5] [Nói một cách chính xác, câu nói này, cũng như những
câu sau đến cuối đoạn văn, liên quan với cái được gọi là “tiên đề về vô hạn”,
sẽ được thảo luận trong chương sau.]
[6] compact: dày đặc/ nén chặt
[7] [Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2nd edition, Brunswick, 1892]
Richard Dedekind (1831–1916), nhà toán học người Germany.
[8] Từ thời
Hellas, người ta đã biết rằng không có tỉ số nào, a / b, bằng căn bậc
hai của 2. Nhưng không có tỉ số cực đại nào bình phương nhỏ hơn 2 và không tỉ số
cực tiểu nào bình phương lớn hơn hơn 2. Richard Dedekind, năm 1872, đã chỉ ra rằng
mỗi số thực tương ứng với một ‘vết cắt’ như thế này trong lớp của những
tỉ số. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta được đem cho set của những số hữu tỉ,
chúng ta có thể xây dựng những số thực trong những số hạng của chúng: set của
những số hữu tỉ có bình phương nhỏ hơn 2 là một set mở có thể biểu diễn căn bậc
hai của 2.
[9] [Cho một giải quyết đầy đủ hơn về đề tài phân đoạn
và quan hệ Dedekind, hãy xem Principia Mathematica, vol. ii. * 210–214.
Cho một giải quyết đầy đủ hơn về những số thực, hãy xem ibid., Vol. iii. *
310ff., Và Principles of Mathematics, những chương. xxxiii. và xxxiv]
[10] an ordered couple of real numbers
[11] [Xem thêm Principles
of Mathematics, §360, tr. 379]
[12] Georg Cantor (1845-1918): Nhà toán học người
Germany. Sinh ở St Petersburg, Cantor học ở Berlin dạy ở đại học Halle từ năm
1872. Ông được biết như người thành lập thuyết tập hợp, đưa ra khái niệm toán học
về những số vô hạn, đã cách mạng hóa toán học vào cuối thế kỷ 19, gây tác động
sâu xa không chỉ trong toán học nhưng cũng trong triết học. Ông cũng là người đầu
tiên đặt ra và cố gắng chứng minh giả thuyết continuum (so sánh set). Những
công trình của Cantor đã không sớm được những nhà toán học đương thời nhìn nhận.
Mặc dù bị suy thoái tâm thần, ông đã dành phần lớn thời gian còn lại của sự
nghiệp hàn lâm toán học (và triết học) của ông để bảo vệ thế giới của những đối
tượng toán học ông đã mở ra.
[13] cardinal numbers: Số đếm; ordinal
numbers: Số thứ tự
[14] axiom of infinity: Tiên đề cần
thiết trong tiến trình phát triển lý thuyết tập hợp của Russell để bảo đảm rằng
có đủ tập hợp cho những mục đích của toán học.Trong lý
thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tiên đề vô hạn khẳng
định sự tồn tại của một tập hợp gồm tất
cả những số tự nhiên,
[15] transfinite: siêu việt, siêu hạn
[16] William Roy (1726 – 1790): kỹ sư
quân sự, nhà khảo sát và sưu tầm đồ cổ người Scotland. Ông là một nhà sáng tạo
đã áp dụng những khám phá khoa học mới và kỹ thuật mới xuất hiện vào việc lập bản
đồ địa trắc chính xác của UK. Kiệt tác của ông thường được gọi là Bản đồ Scotland
của Roy.
[17] consecutiveness
[18] [Xem Principia
Mathematica, tập. ii. * 123.]
[19] progression
[20] infinitesimal
[21] [Chứng minh này đã lấy từ Cantor, với một vài đơn
giản hóa: xem Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, i.
(1892), tr. 77.]
[22] Kinematics động học – khác với
Dynamics: động lực học
[23] multiplicative axiom.
[24] well-ordered
[25] transfinitely hereditary: di truyền siêu hạn
[26] Ordinal transfinite arithmetic: Số học về số thứ tự có số lượng siêu hạn
