Friday, September 24, 2021

Russell - Đưa vào Triết học Toán học (03)

Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell 

 (←...tiếp theo)

 

 

CHƯƠNG VII:

Những số Hữu tỉ, số Thực và số Phức

 

Bây giờ chúng ta đã thấy cách định nghĩa những số thứ tự, và cũng cả những số-quan hệ, trong đó những gì thường được gọi là những số thứ tự là một loài đặc biệt [1]. Sẽ thấy rằng mỗi loại này của số có thể là vô hạn cũng như hữu hạn. Nhưng cả hai, trong điều kiện hiện tại của chúng, đều không có khả năng của những mở rộng quen thuộc hơn của ý tưởng về số, đó là muốn nói, những mở rộng đến những số âm, phân số, số vô tỉ và số phức. Trong chương này, chúng ta sẽ vắn tắt cung cấp những định nghĩa lôgích của những mở rộng khác nhau này.

 

Một trong những sai lầm vốn đã làm chậm trễ sự khám phá của những định nghĩa đúng trong khu vực này là ý tưởng phổ thông rằng mỗi mở rộng của số đã bao gồm những loại trước đó như những trường hợp đặc biệt. Đã là suy nghĩ rằng, trong việc giải quyết với những số nguyên dương và âm, những số nguyên dương có thể được nghĩ như giống với những số nguyên không dấu ban đầu. Lại nữa, đã nghĩ rằng một phân số có mẫu số là 1 có thể được nghĩ như giống với số tự nhiên vốn là tử số của nó. Và những số vô tỉ, lấy thí dụ như căn bậc hai của 2, được giả định là tìm được vị trí của chúng giữa những phân số hữu tỉ, như lớn hơn một số chúng nào đó và nhỏ hơn những số khác, để những số hữu tỉ và vô tỉ có thể được ghép lại thành một lớp, được gọi là những “số thực”. Và khi ý tưởng về số được mở rộng thêm nữa để gồm những số “phức”, tức là những số liên quan với căn bậc hai của −1, người ta cho rằng những số thực có thể được coi là số phức trong đó phần ảo (tức là phần là một bội số của căn bậc hai của −1) bằng zero.. Tất cả những giả điịnh này đều sai lầm, và phải loại bỏ, như chúng ta sẽ thấy, nếu những định nghĩa chính xác được đem cho.

 

Hãy bắt đầu với những số nguyên dương và âm. Điều hiển nhiên sau một chút xem xét rằng +1 và −1 phải cả hai đều là những quan hệ, và trong thực tế phải là những nghịch đảo của nhau. Định nghĩa rõ ràng và đầy đủ là +1 là quan hệ của n + 1 với n, và −1 là quan hệ của n với n + 1. Trong tổng quát, nếu m là bất kỳ số quy nạp nào, + m sẽ là quan hệ của n + m với n (cho n bất kỳ), và −m sẽ là quan hệ của n với n + m. Theo định nghĩa này, + m là một quan hệ một-một, miễn là chừng nào n là một số đếm (hữu hạn hay vô hạn) và m là một số đếm quy nạp. Nhưng + m trong mọi trường hợp không có khả năng để được nghĩ như giống với m, vốn nó không là một quan hệ, nhưng là một lớp của những lớp. Thật vậy, + m thì hoàn toàn khác biệt với m, như −m với m.

 

Những phân số đều thu hút chú ý hơn những số nguyên dương hay âm. Chúng ta cần những phân số cho nhiều mục đích, nhưng có lẽ hiển nhiên nhất là cho những mục đích của sự đo lường. Người bạn và cộng sự của tôi, Tiến sĩ Alfred North Whitehead đã phát triển một lý thuyết về những phân số thích ứng đặc biệt cho ứng dụng vào đo lường của chúng, vốn đã đặt ra trong Principia Mathematica.[2] Nhưng nếu tất cả những gì là cần thiết để định nghĩa những đối tượng có những thuộc tính toán học thuần túy đòi hỏi,, thì mục đích này có thể đạt được bằng một phương pháp đơn giản hơn, vốn chúng ta sẽ theo ở đây. Chúng ta sẽ định nghĩa phân số m / n như là quan hệ đó vốn giữ giữa hai số quy nạp x, y khi xn = ym. Định nghĩa này cho chúng ta khả năng để chứng minh rằng m / n là một quan hệ một-một, với điều kiện cả m n đều không là zero. Và dĩ nhiên n / m là quan hệ nghịch đảo với m / n.

 

Từ định nghĩa trên, rõ ràng rằng phân số m / 1 là quan hệ đó giữa hai số nguyên x y, vốn nhất thiết có trong sự kiện rằng x = m y. Quan hệ này, giống như quan hệ + m, không thể nào được nghĩ như giống với số đếm quy nạp m, vì một quan hệ và một lớp của những lớp là những đối tượng của những loại hoàn toàn khác nhau.[3] Sẽ thấy rằng 0 / n luôn là một là cùng một quan hệ như nhau, bất kỳ số quy nạp n có thể là gì; tóm lại, nó là quan hệ của 0 với bất kỳ số đếm quy nạp nào khác. Chúng ta có thể gọi đây là zero của những số hữu tỉ; Dĩ nhiên nó thì không đồng nhất với số đếm 0. Ngược lại, quan hệ m / 0 thì luôn luôn là một như nhau, bất kể số quy nạp m có thể là gì. Không có bất kỳ số đếm quy nạp nào tương ứng với m / 0. Chúng ta có thể gọi nó là “số vô hạn của những số hữu tỉ”. Nó là một trường hợp thí dụ của loại vô hạn vốn là truyền thống trong toán học, và được biểu thị bằng “∞”. Đây là một loại hoàn toàn khác với vô hạn thực theo-Cantor, vốn chúng ta sẽ xem xét trong chương tiếp theo. Số vô hạn của những số hữu tỉ không đòi hỏi, cho định nghĩa hay cách dùng của nó, một bất kỳ những lớp vô hạn hay số nguyên vô hạn nào. Trong thực tế, nó không là một khái niệm rất quan trọng, và chúng ta có thể bỏ qua hoàn toàn với nó, nếu đã có bất kỳ phản đối nào khi làm như vậy. Mặt khác, vô hạn theo-Cantor là thuộc sự quan trọng lớn nhất và nền tảng nhất; sự hiểu biết về nó mở ra con đường đến những lĩnh vực hoàn toàn mới của toán học và triết học.

 

Sẽ quan sát được rằng zero và vô hạn, riêng lẻ giữa những tỉ số, đều không là mộ-một. Zero là một-nhiều, và vô hạn là nhiều-một.

 

Không có bất kỳ khó khăn nào trong việc định nghĩa lớn hơnnhỏ hơn giữa những tỉ số (hay những phân số). Cho hai tỉ số m / n p / q, chúng ta sẽ nói rằng m / n thì nhỏ hơn p / q nếu mq thì nhỏ hơn pn. Không có khó khăn trong việc chứng minh rằng quan hệ “nhỏ hơn”, được định nghĩa như vậy, là nối tiếp, để những tỉ số hình thành một chuỗi theo thứ bậc của độ lớn. Trong chuỗi số này, số zero là số hạng nhỏ nhất và vô cực[4] là số hạng lớn nhất. Nếu chúng ta bỏ qua số 0 và vô cực trong chuỗi của chúng ta, thì sẽ không còn bất kỳ tỉ số nhỏ nhất hay lớn nhất nào nữa; Rõ ràng là nếu m / n là bất kỳ tỉ số nào khác 0 và vô cực, m / 2n thì nhỏ hơn và 2m / n thì lớn hơn, mặc dù không là 0 hay vô cực, thế nên m / n không là nhỏ nhất cũng như tỉ số lớn nhất, và thế nên (khi số không và vô cực bị bỏ qua) không có tỉ số nhỏ nhất hay lớn nhất, vì m / n được chọn tùy tiện. Theo cách tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng tuy có thể có hai phân số gần bằng nhau, nhưng giữa chúng luôn tồn tại những phân số khác. Vì, cho m / n và p / q là hai phân số, trong đó p / q lớn hơn. Khi đó, dễ dàng thấy (hay chứng minh) rằng (m + p) / (n + q) sẽ lớn hơn m / n và nhỏ hơn p / q. Vì vậy, dãy tỉ số là một trong đó không có hai số hạng nào liên tiếp nhau, nhưng luôn có những số hạng khác giữa hai số hạng bất kỳ. Vì có những số hạng khác giữa những số hạng này, và tiếp tục như thế ad infinitum, là hiển nhiên rằng có một số vô hạn của những tỉ số giữa hai tỉ số bất kỳ, mặc dù hai tỉ số này gần như bằng nhau đến đâu đi nữa. [5]

 

Một chuỗi có thuộc tính khiến luôn luôn có những số hạng khác giữa bất kỳ hai số hạng nào, như thế khiến không có hai số hạng liên tiếp nhau, được gọi là “dày đặc[6]. Thế nên, những tỉ số theo thứ bậc của độ lớn hình thành một chuỗi “nén chặt”. Những chuỗi như vậy có nhiều thuộc tính quan trọng và điều quan trọng để phải quan sát rằng những tỉ số đủ khả năng tạo ra một trường hợp của một chuỗi nén chặt được tạo ra thuần túy lô gích, không có bất kỳ kêu gọi nào đến không gian hay thời gian hay bất kỳ dữ liệu duy nghiệm nào khác.

 

Những tỉ số dương và tỉ số âm có thể được định nghĩa theo cách tương tự như cách chúng ta định nghĩa những số nguyên dương và âm. Sau khi đầu tiên đã định nghĩa tổng số của hai tỉ số m / n và p / q như (mq + pn) / nq, chúng ta định nghĩa + p / q như quan hệ của m / n + p / q với m / n, trong đó m / n là bất kỳ tỉ số nào; và −p / q Dĩ nhiên là nghịch đảo của + p / q. Đây không là cách duy nhất có thể để định nghĩa những tỉ số dương và tỉ số âm, nhưng nó là cách, vì mục đích của chúng ta, có giá trị của là một sự thích nghi hiển nhiên của cách chúng ta đã áp dụng trong trường hợp của những số nguyên.

 

Bây giờ chúng ta đi đến một mở rộng thu hút chú ý hơn của ý tưởng về số, tức là mở rộng đến những gì gọi là những số “thực”, vốn là loại bao gồm những số vô tỉ. Trong Chương I., chúng ta đã có dịp để nhắc đến đến “những không thể so sánh được với nhau” và sự khám phá của Pythagoras về chúng. Đã là nhờ vào chúng, tức là qua hình học, khiến những số vô tỉ đã được nghĩ đến đầu tiên. Một hình vuông có cạnh của nó dài một inch sẽ có một đường chéo trong đó chiều dài là căn bậc hai của 2 inch. Nhưng, như người xưa đã tìm ra đầu tiên ra, không có phân số nào vốn bình phương của nó là 2. Mệnh đề toán học này được chứng minh trong quyển sách thứ X của Euclid, đây là một trong những quyển sách vốn những học sinh được may mắn chìm đắm trong những thời bộ sách Euclid vẫn còn được dùng. như sách giáo khoa. Chứng minh thì đơn giản lạ thường.

 

Nếu có thể, hãy gọi m / n là căn bậc hai của 2, sao cho m2 / n2 = 2, tức là m2 = 2 n2. Thế nên m2 là một số chẵn, và thế nên m phải là một số chẵn, vì bình phương của một số lẻ là số lẻ. Bây giờ nếu m chẵn thì m2 phải chia đều cho 4, nếu m = 2p thì m2 = 4p2. Thế nên, chúng ta sẽ có 4 p2 ​​= 2n2, trong đó p là một nửa của m. Thế nên 2p2 ​​= n2, và thế nên n / p cũng sẽ là căn bậc hai của 2. Nhưng sau đó chúng ta có thể lập lại lập luận: nếu n = 2q, p / q cũng sẽ là căn bậc hai của 2, và v.v. qua một chuỗi số không chấm dứt vốn mỗi chuỗi là một nửa của liền trước của nó. Nhưng điều này thì không thể; nếu chúng ta chia một số cho 2, rồi chia đôi một nửa, v.v., chúng ta phải đạt đến một số lẻ sau một số bước hữu hạn. Hay chúng ta có thể đặt đối số đơn giản hơn bằng cách giả định rằng m / n vốn chúng ta bắt đầu bằng những số hạng thấp nhất của nó; trong trường hợp đó, m n không thể đều là chẵn; nhưng chúng ta đã thấy rằng, nếu m2 / n2 = 2, chúng phải là số chẵn. Vì vậy, không thể có một bất kỳ phân số m / n nào có bình phương của nó là 2.

 

Thế nên, không phân số nào sẽ biểu thị chính xác chiều dài của đường chéo của một hình vuông có cạnh dài một inch. Điều này có vẻ như một thách thức do tự nhiên ném ra với số học. Tuy nhiên, nhà số học có thể tự hào (như Pythagoras đã làm) về sức mạnh của những con số, thiên nhiên dường như có khả năng để đánh lừa ông ta bằng việc phô bày những độ dài vốn không con số nào có thể ước tính được về mặt đơn vị. Nhưng vấn đề đã không duy trì trong dạng hình học này. Ngay sau khi đại số học được phát minh, cùng một vấn đề đã nổi lên liên quan vói giải pháp của những phương trình, mặc dù ở đây nó mang một dạng rộng hơn, vì nó cũng liên quan với những số phức.

 

Rõ ràng là có thể tìm thấy những phân số vốn tiến đến gần và gần hơn để có bình phương của chúng bằng 2. Chúng ta có thể tạo một chuỗi của những phân số lớn dần, tất cả chúng đều có bình phương của chúng nhỏ hơn 2, nhưng khác với 2 trong những phần tử sau của chúng, bởi ít hơn bất kỳ một số lượng chỉ định nào. Đó là để nói rằng, giả định tôi chỉ định trước một số lượng nhỏ nào đó, lấy thí dụ như một phần tỷ, sẽ thấy rằng tất cả những số hạng của chuỗi của chúng ta sau một số hạng nhất định, lấy thí dụ phần mười, có những bình phương khác biệt với 2 bởi nhỏ hơn số lượng này . Và nếu tôi đã chỉ định một số lượng lại còn nhỏ hơn, thì có lẽ cần phải đi xa hơn trong chuỗi, nhưng chúng ta sớm hay muộn sẽ đến được một số hạng trong chuỗi, lấy thí dụ như thứ hai mươi, sau nó tất cả những số hạng sẽ có bình phương khác với 2 bởi nhỏ hơn số lượng này. Nếu chúng ta bắt đầu làm việc để rút ra căn bậc hai của 2 bằng quy tắc số học thông thường, chúng ta sẽ nhận được một số thập phân không dứt, đã chiếm nhiều những vị trí như-thế-và như-thế, đáp ứng chính xác những điều kiện trên. Chúng ta có thể cũng tạo một chuỗi của những phân số giảm dần vốn bình phương của chúng đều lớn hơn 2, nhưng lớn hơn bằng liên tục nhỏ hơn những số lượng, khi chúng ta đến những số hạng sau của chuỗi, và khác nhau, sớm hay muộn, bởi ít hơn số lượng bất kỳ đã chỉ định. Bằng cách này, chúng ta dường như đang vẽ một dây thắt vòng quanh căn bậc hai của 2, và có vẻ khó tin rằng nó có thể thoát khỏi chúng ta vĩnh viễn. Tuy nhiên, không phải bằng phương pháp này khiến chúng ta sẽ thực sự đạt đến căn bậc hai của 2.

 

Nếu chúng ta chia tất cả những tỉ số vào thành hai lớp, theo như những bình phương của chúng nhỏ hơn 2 hay không, chúng ta thấy rằng, trong số những tỉ số có bình phương không nhỏ hơn 2, tất cả đều có bình phương của chúng lớn hơn 2. Không có tối đa cho những tỉ số có bình phương nhỏ hơn 2, và không có tối thiểu cho những bình phương có bình phương lớn hơn 2. Không có giới hạn dưới nào kém hơn 0 cho hiệu số giữa những số có bình phương nhỏ hơn 2 một chút và những số có bình phương lớn hơn 2 một chút. Tóm lại, chúng ta có thể chia tất cả những tỉ số thành hai lớp sao cho tất cả những số hạng trong một lớp này nhỏ hơn tất cả những số hạng trong lớp kia, không có giá trị lớn nhất cho một lớp và không có giá trị nhỏ nhất cho lớp kia. Giữa hai lớp này, chỗ nếu √2 phải có, thì không có gì cả. Vì vậy, dây thắt của chúng ta, mặc dù chúng ta đã vẽ nó chặt chẽ nhất có thể được, nhưng đã vẽ sai chỗ, và không bắt được √2.

 

Phương pháp ở trên của chia tất cả những số hạng của một chuỗi vào thành hai lớp, trong đó một lớp hoàn toàn đứng trước một lớp, đã được Dedekind, [7] làm nổi bật và thế nên được gọi là “cắt Dedekind”. Đối với những gì xảy ra tại điểm của chỗ cắt, có bốn điều có thể xảy ra: (1) có thể có một tối đa cho phần dưới và một tối thiểu cho phần trên, (2) có thể có một tối đa cho một phần và không tối thiểu đối với phần kia, (3) có thể không có một tối đa đối với phần này, nhưng là một tối tiểu với phần kia, (4) có thể không có một tối đa với một phần cũng như không có một tối tiểu với phần kia. Trong số bốn trường hợp này, trường hợp đầu tiên được minh họa bằng bất kỳ chuỗi nào trong đó có những số hạng liên tiếp: thí dụ: trong chuỗi số nguyên, phần dưới phải kết thúc bằng số n nào đó và phần trên phải bắt đầu bằng n + 1. Trường hợp thứ hai sẽ được minh họa trong chuỗi những tỉ số nếu chúng ta coi tất cả những tỉ số ở phần dưới của chúng ta là tất cả những tỉ số lên đến và gồm 1, và trong phần trên của chúng ta là tất cả những tỉ số lớn hơn 1. Trường hợp thứ ba được minh họa nếu chúng ta lấy tất cả cho phần dưới của chúng ta tỉ số nhỏ hơn 1 và đối với phần trên của chúng ta, tất cả những tỉ số từ 1 trở lên (gồm cả chính 1). Trường hợp thứ tư, như chúng ta đã thấy, được minh họa nếu chúng ta đưa vào phần dưới tất cả những tỉ số có bình phương nhỏ hơn 2 và trong phần trên của chúng ta tất cả những tỉ số có bình phương lớn hơn 2.

 

Chúng ta có thể bỏ qua trường hợp đầu tiên của bốn trường hợp của chúng ta, vì nó chỉ xảy ra trong những chuỗi ở đó có những số hạng liên tiếp. Trong trường hợp thứ hai của bốn trường hợp của chúng ta, chúng ta nói rằng tối đa của phần dưới là giới hạn dưới của phần trên hay của bất kỳ set gồm những số hạng nào đã chọn từ phần trên sao cho không có số hạng nào của phần trên thì trước tất cả chúng. Trong trường hợp thứ ba của bốn trường hợp của chúng ta, chúng ta nói rằng tối thiểu của phần trên là giới hạn trên của phần dưới hay của bất kỳ set số hạng nào được chọn từ phần dưới theo cách vốn không có số hạng nào của phần dưới là sau tất cả chúng. Trong trường hợp thứ tư, chúng ta nói rằng có một “khoảng trống”: cả phần trên và phần dưới đều không có giới hạn hay số hạng cuối cùng. Trong trường hợp này, chúng ta cũng có thể nói rằng chúng ta có “phần vô tỉ”, vì những phần của chuỗi của những tỉ số có những “khoảng trống” khi chúng tương ứng với những số vô tỉ.

 

Những gì làm trì hoãn lý thuyết thực của những số vô tỉ đã là một tin tưởng lầm lẫn rằng phải có “những giới hạn” của chuỗi của những tỉ số. Khái niệm “giới hạn” là quan trọng vô cùng, và trước khi đi xa hơn, tốt hơn nên định nghĩa nó.

 

Một số hạng x được nói là một “giới hạn trên” của một lớp α đối với một quan hệ P nếu (1) α không có cực đại trong P, (2) mọi phần tử của α vốn thuộc trường của P đứng trước x, (3) mọi phần tử của trường của P đứng trước x đứng trước một số phần tử của α. (nói “đứng trước”, chúng ta có nghĩa là “có quan hệ P với”).

 

Điều này giả định trước định nghĩa sau đây về một “tối đa”: -

 

Một số hạng x được nói là một “cực đại” của một lớp α đối với một quan hệ P, nếu x là một phần tử của α và của trường của P và không có quan hệ P với bất kỳ phần tử nào khác của α.

 

Những định nghĩa này không đì hỏi rằng những số hạng với chúng, chúng được áp dụng phải là số lượng. Thí dụ, cho một chuỗi của những khoảnh khắc của thời gian được sắp xếp theo thời gian sớm hơn và muộn hơn, “tối đa” (nếu có) của chúng sẽ là khoảnh khắc cuối cùng; nhưng nếu chúng được sắp xếp muộn hơn và sớm hơn, thì “tối đa” (nếu có) của chúng sẽ là khoảnh khắc đầu tiên.

 

“Tối thiểu” của một lớp đối với P là tối đa của nó đối với nghịch đảo của P; và “giới hạn dưới” đối với P là giới hạn trên đối với nghịch đảo của P.

 

Những khái niệm về giới hạn và cực đại về cơ bản không thiết yếu đòi hỏi rằng quan hệ vốn chúng được định nghĩa phải là nối tiếp, nhưng chúng có ít ứng dụng quan trọng ngoại trừ những trường hợp khi quan hệ là nối tiếp hay hầu như-nối tiếp. Một khái niệm vốn là thường quan trọng là khái niệm “giới hạn trên hay tối đa” vốn chúng ta có thể đặt tên là “ranh giới trên”. Thế nên, “ranh giới trên” của một set của những số hạng được chọn từ một chuỗi là phần tử cuối cùng của chúng nếu chúng có một phần tử như thế, nhưng, nếu không, đó là số hạng đầu tiên sau tất cả chúng, nếu có một số hạng như thế. Nếu không có tối đa hay một giới hạn, thì không có ranh giới trên. ”Ranh giới dưới” là giới hạn dưới hay tối thiểu.

 

Quay lại bốn loại của phần cắt Dedekind, chúng ta thấy rằng trong trường hợp của ba loại đầu tiên, mỗi phần có một ranh giới (trên hay dưới, tùy trường hợp), trong khi ở loại thứ tư thì không có ranh giới. Cũng rõ ràng rằng, hễ khi nào phần dưới có một ranh giới trên, phần trên có một ranh giới dưới. Trong trường hợp thứ hai và thứ ba, hai ranh giới là một như nhau; trong trường hợp đầu tiên, chúng là những số hạng liên tiếp của chuỗi.

 

Một chuỗi được gọi là “theo-Dedekind” khi mỗi phần cắt đều có một ranh giới, trên hay dưới tùy từng trường hợp.

 

Chúng ta đã thấy rằng chuỗi của những tỉ số theo thứ bậc của độ lớn không là theo-Dedekind.

 

Từ thói quen bị ảnh hưởng bởi trí tưởng tượng không gian, người ta đã giả định rằng những chuỗi phải có những giới hạn trong những trường hợp có vẻ kỳ quặc nếu chúng không có. Thế nên, sau khi nhận thấy rằng không có giới hạn hữu tỉ cho những tỉ số có bình phương nhỏ hơn 2, họ đã tự cho phép mình để đặt thành định đề một giới hạn vô tỉ, đó là để lấp đầy khoảng trống Dedekind. Trong tác phẩm nói trên, Dedekind đã thiết lập tiên đề rằng khoảng trống phải luôn được lấp đầy, tức là mọi phần đều phải có một ranh giới. Chính vì lý do này khiến chuỗi vốn tiên đề của ông được kiểm nghiệm được gọi là “theo-Dedekind”. Nhưng có một số vô hạn của những chuỗi vốn nó không được kiểm nghiệm.

 

Phương pháp của việc “đặt thành định đề” những gì chúng ta muốn có nhiều ưu điểm; chúng cũng giống như những lợi thế của trộm cắp so với công việc khó nhọc trung thực. Chúng ta hãy để chúng cho người khác và tiếp tục với công việc khó nhọc trung thực của chúng ta.[8]

 

Rõ ràng là một cắt Dedekind vô tỉ trong một cách nào đó “tương ứng với” một vô tỉ. Để dùng được cái ‘cắt’ này, vốn bắt đầu với không gì hơn một cảm tưởng mơ hồ, chúng ta phải tìm một cách nào đó để suy luận từ nó một định nghĩa chính xác; và để làm được điều này, chúng ta phải không ‘ngược đãi’ đầu óc chúng ta với khái niệm rằng một số vô tỉ phải là giới hạn của một set của những tỉ số. Cũng giống đúng như những tỉ số có mẫu số là 1 đều là không đồng nhất với những số nguyên, vì vậy những số hữu tỉ đó có thể lớn hơn hay nhỏ hơn những vô tỉ, hay có thể có những vô tỉ như những giới hạn của chúng, phải không đồng nhất với những tỉ số. Chúng ta phải định nghĩa một loại số mới được gọi là “những số thực”, trong đó một số chúng sẽ là những số hữu tỉ và một số chúng là những số vô tỉ. Nhứng số thực đó đều “tương ứng” tỷ lệ với những tỉ số, theo cùng một lối trong đó tỉ số n / 1 tương ứng với số nguyên n; nhưng chúng đều không giống như là một với những tỉ số. Để quyết định chúng sẽ là gì, chúng ta hãy quan sát rằng một vô tỉ được biểu thị bằng một cắt phần vô tỉ và một cắt phần được biểu thị bằng phần dưới của nó. Chúng ta hãy tự giới hạn với những cắt trong đó phần dưới không có tối đa; trong trường hợp này, chúng ta sẽ gọi phần dưới là một “phân đoạn”. Khi đó, những phân đoạn đó vốn tương ứng với những tỉ số là những phân đoạn gồm tất cả những tỉ số nhỏ hơn tỉ số vốn chúng tương ứng với, vốn là ranh giới của chúng; trong khi những phân đoạn biểu thị những vô tỉ đều là những phân đoạn đó vốn không có ranh giới. Những phân đoạn, cả có ranh giới và không có ranh giới, đều sao cho, trong số hai phân đoạn bất kỳ thuộc về một chuỗi, thì một phân đoạn phải là một phần của chuỗi kia; thế nên tất cả chúng có thể được sắp xếp thành một chuỗi theo quan hệ của toàn bộ và phần. Một chuỗi trong đó có những khoảng trống Dedekind, tức là trong đó có những phân đoạn không có ranh giới, sẽ làm phát sinh nhiều phân đoạn hơn nó có những số hạng, vì mỗi số hạng sẽ định nghĩa một phân đoạn có số hạng đó cho ranh giới và sau đó là những phân đoạn không có ranh giới sẽ là phụ thêm.

 

Bây giờ chúng ta trong một vị trí để định nghĩa một số thực và một số vô tỉ.

 

Một “số thực” là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số theo thứ bậc của độ lớn.

 

Một “số vô tỉ” là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số vốn không có ranh giới.

 

Một “số thực hữu tỉ” là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số vốn có một ranh giới.

 

Thế nên, một số thực hữu tỉ gồm tất cả những tỉ số nhỏ hơn một tỉ số nào đó, và nó là số thực hữu tỉ tương ứng với tỉ số đó. Thí dụ, số thực 1 là lớp của những phân số thực sự.

 

Trong trường hợp trong đó chúng ta tự nhiên giả định rằng một số vô tỉ phải là giới hạn của một set của những tỉ số, sự thật là nó là giới hạn của set của những số thực hữu tỉ tương ứng trong chuỗi của những phân đoạn được sắp xếp thứ bậc theo toàn bộ và phần. Thí dụ, √2 là giới hạn trên của tất cả những phân đoạn đó của chuỗi của những tỉ số vốn tương ứng với những tỉ số có bình phương nhỏ hơn 2. Vẫn đơn giản hơn, √2 là phân đoạn gồm tất cả những tỉ số đó vốn có bình phương nhỏ hơn 2.

 

Dễ dàng chứng minh rằng chuỗi của những phân đoạn của chuỗi bất kỳ là theo-Dedekind. Đối với bất kỳ set đem cho nào của những phân đoạn, ranh giới của chúng sẽ là tổng lôgích của chúng, tức là lớp của tất cả những số hạng đó vốn thuộc về ít nhất một phân đoạn của set.[9]

 

Định nghĩa trên về những số thực là một thí dụ về “xây dựng” chống lại “định đề”, trong đó chúng ta đã có một thí dụ khác trong định nghĩa về số đếm. Lợi thế lớn của phương pháp này là nó không đòi hỏi những giả định mới, nhưng cho phép chúng ta tiến hành suy luận từ bộ máy ban đầu của lôgích.

 

Không có khó khăn trong việc định nghĩa phép cộng và phép nhân cho những số thực như đã định nghĩa ở trên. Cho hai số thực μ và ν, mỗi số là một lớp của những tỉ số, lấy bất kỳ phần tử nào của μ và bất kỳ phần tử nào của ν và cộng chúng lại với nhau theo quy tắc cộng của những tỉ số tỉ số. Tạo thành lớp của tất cả những tổng có như thế có thể thu được bằng cách thay đổi những phần tử được chọn của μ và ν. Điều này đem cho một lớp của những tỉ số mới và dễ dàng chứng minh rằng lớp mới này là một phân đoạn của chuỗi của những tỉ số. Chúng ta định nghĩa nó là tổng số của μ và ν. Chúng ta có thể phát biểu định nghĩa ngắn gọn hơn như sau: -

 

Tổng số số học của hai số thực là lớp những tổng số số học của một phần tử của số này và phần tử của số kia được chọn theo tất cả những cách có thể.

 

Chúng ta có thể định nghĩa tích số số học của hai số thực theo cùng một cách, bằng cách nhân một phần tử của số này với một phần tử của số kia theo tất cả những cách có thể. Thế nên, lớp của những tỉ số được tạo ra thì được định nghĩa là tích sô của hai số thực. (Trong tất cả những định nghĩa như vậy, chuỗi của những tỉ số phải được định nghĩa là loại trừ 0 và vô cực).

 

Không có gì khó khăn trong việc mở rộng những định nghĩa của chúng ta cho những số thực dương và âm cũng như phép cộng và phép nhân của chúng.

 

Còn lại là để đưa ra định nghĩa về những số phức.

 

Những số phức, dù có khả năng của một giải thích hình học, nhưng hình học không đòi hỏi chúng cùng một cách bắt buộc như cách những số vô tỉ đã đòi hỏi. Một số “phức” có nghĩa là một số liên quan với căn bậc hai của một số âm, cho dù là tích phân, phân số hay thực. Vì bình phương của một số âm là số dương, một số có bình phương là số âm phải là một loại số mới. Dùng chữ cái i cho căn bậc hai của −1, bất kỳ số nào liên quan với căn bậc hai của một số âm đều có thể được biểu diễn dưới dạng x + yi, trong đó x y là số thực. Phần yi được gọi là phần “ảo” của số này, x là phần “thực”. (Lý do cho cụm từ “số thực” là chúng đối lập với như là “ảo/tưởng tượng”). Số phức đã được những nhà toán học dùng từ rất lâu, dù thiếu vắng của bất kỳ một định nghĩa chính xác nào. Người ta chỉ đơn giản giả định rằng chúng tất sẽ tuân theo những quy tắc số học thông thường, và trên giả định này, việc đem dùng chúng đã được nói là có ích lợi. Chúng được đòi hỏi ít hơn với hình học so với đại số và toán phân tích. Lấy thí dụ, chúng ta mong muốn có thể nói rằng mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm, và mọi phương trình bậc ba đều có ba nghiệm, v.v. Nhưng nếu chúng ta chịu giới hạn trong những số thực, phương trình như x2 + 1 = 0 không có nghiệm, và phương trình như x3−1 = 0 chỉ có một nghiệm. Mọi tổng quát hóa về số trước hết đã tự trình bày khi cần thiết cho một số bài toán đơn giản: cần có những số âm để phép trừ luôn có thể thực hiện được, vì nếu không a b sẽ vô nghĩa nếu a nhỏ hơn b; cần phân số để phép chia luôn có thể thực hiện được; và những số phức là cần thiết để luôn luôn có thể lấy căn số và những nghiệm số của phương trình. Nhưng những mở rộng của số không được tạo ra bởi nhu cầu đơn thuần: chúng được tạo ra bởi định nghĩa, và đó là định nghĩa về số phức vốn bây giờ chúng ta phải chú ý đến.

 

Một số phức có thể được coi và định nghĩa đơn giản như một cặp số thực có thứ bậc [10] . Ở đây, cũng như những nơi khác, có thể có nhiều định nghĩa. Tất cả những gì cần thiết là những định nghĩa chập nhận sẽ dẫn đến một số thuộc tính nhất định. Trong trường hợp những số phức, nếu chúng được định nghĩa là những cặp số thực có thứ bậc, chúng ta bảo đảm ngay lập tức một số những thuộc tính đòi hỏi, đó là hai số thực là được đòi hỏi để xác định một số phức và trong những số này chúng ta có thể phân biệt một số thứ nhất và số thứ hai, và rằng hai số phức là chỉ giống hệt nhau khi số thực thứ nhất gồm trong số là bằng với số thứ nhất gồm trong số kia và số thứ hai với thứ hai. Những gì đòi hỏi thêm nữa có thể được bảo đảm bằng định nghĩa những quy tắc của phép cộng và phép nhân. Chúng ta phải có

 

(x + yi) + (x ‘+ y’i) = (x + x’) + (y + y ‘) i

 

(x + yi) (x ‘+ y’i) = (xx’ − yy’) + (xy ‘+ x’y) i.

 

Như thế, chúng ta sẽ định nghĩa rằng, đem cho hai cặp số thực có thứ bậc, (x, y) và (x ‘, y’), tổng của chúng là cặp (x + x ‘, y + y’) và tích của chúng là một cặp (xx’ – yy’ , xy’ + x’y). Bằng những định nghĩa này, chúng ta sẽ bảo đảm rằng những cặp có thứ bậc của chúng ta sẽ có những thuộc tính chúng ta mong muốn. Thí dụ, lấy tích sô của hai cặp (0, y) và (0, y’). Theo quy tắc trên, điều này sẽ là cặp (−yy’ , 0). Như vậy, bình phương của cặp đôi (0, 1) sẽ là cặp đôi (−1, 0). Bây giờ những cặp đôi đó, trong đó số hạng thứ hai là 0 là những cặp vốn theo như cách gọi tên thông thường, có phần ảo của chúng bằng 0; trong ký hiệu x + yi, chúng là x + 0i, vốn là tự nhiên để viết đơn giản là x. Cũng đúng như là điều tự nhiên để nhận biết những tỉ số vốn có mẫu số của chúng là thì đồng nhất với những số nguyên, thế nên là tự nhiên (nhưng sai) để nhận biết những số phức có phần ảo của chúng bằng 0 với những số thực. Mặc dù đây là một sai lầm về lý thuyết, nhưng nó là một sự thuận tiện trong thực hành; ”x + 0i” có thể được thay thế đơn giản bởi “x” và “0 + yi” bằng “yi”, miễn là chúng ta nhớ rằng “x” không thực sự là một số thực, vốn là một trường hợp đặc biệt của một số phức. Và khi y là 1, Dĩ nhiên “yi” có thể được thay thế bằng “i”. Thế nên cặp đôi (0, 1) được biểu hiện bởi i, và cặp đôi (−1, 0) được biểu hiện bằng −1. Bây giờ quy tắc nhân của chúng ta làm cho bình phương của (0, 1) bằng (−1, 0), tức là bình phương của i là −1. Đây là những gì chúng ta muốn bảo đảm. Vì vậy, những định nghĩa của chúng ta dùng vào tất cả những mục đích cần thiết.

 

Điều là dễ dàng để đem cho một giải thích hình học của những số phức trong hình học của mặt phẳng. Đề tài này W.K. Clifford đã trình bày chi tiết một cách thú vị trong Common Sense of the Exact Sciences của ông, một quyển sách có giá trị lớn, nhưng được viết trước khi sự quan trọng của những định nghĩa lôgích thuần túy được nhìn nhận.

 

Những số phức của một thứ bậc cao hơn, mặc dù ít tiện lợi và quan trọng hơn so với những gì chúng ta đang định nghĩa, nhưng có những cách dùng nhất định vốn không phải là không quan trọng trong hình học, như có thể đã thấy, trong Universal Algebra / Đại số học Phổ thông của Tiến sĩ Whitehead. Định nghĩa của số phức bậc n có được bằng một mở rộng hiển nhiên của định nghĩa vốn chúng ta đã đưa ra. Chúng ta định nghĩa một số phức có bậc n là một quan hệ một-nhiều vốn miền của nó gồm những số thực nhất định và miền đảo của nó gồm những số nguyên từ 1 đến n.[11] Đây là những gì thường được chỉ bởi ký hiệu (x1, x2, x3, … xn), trong đó những phụ tố biểu thị tương quan với những số nguyên được dùng làm phụ tố và tương quan là một-nhiều, không nhất thiết là một-một, vì xr và xs có thể bằng nhau khi r và s không bằng nhau. Định nghĩa trên, với một quy tắc nhân phù hợp, sẽ phục vụ cho tất cả những mục đích trong đó cần đến những số phức của những bậc cao hơn.

 

Bây giờ chúng ta đã làm xong việc xem xét những mở rộng của số không liên quan với vô cực. Ứng dụng của số vào những sưu tập vô hạn phải là đề tài tiếp theo của chúng ta.

 

 

CHƯƠNG VIII:

Những Số Đếm Vô hạn

 

Định nghĩa của những số đếm vốn chúng ta đã đưa ra trong Chương II. đã áp dụng trong Chương III. với những số hữu hạn, tức là với những số tự nhiên thông thường. Với những số này, chúng ta đặt tên là “những số quy nạp”, vì chúng ta thấy rằng chúng đều được định nghĩa như những số vốn tuân theo quy nạp toán học bắt đầu từ 0. Nhưng chúng ta vẫn chưa xem xét những sưu tập vốn không có một số quy nạp của những số hạng, cũng như chúng ta chưa thăm dò liệu những sưu tập như vậy có thể được nói là có một con số nào tất cả hay không. Đây là một vấn đề cổ xưa, vốn đã được giải quyết trong thời chúng ta, chính yếu bởi Georg Cantor [12]. Trong chương này, chúng ta sẽ cố gắng để giải thích lý thuyết về những số vô hạn hay những số đếm vô hạn như nó là kết quả của một kết hợp những khám phá của ông với những khám phá của Frege về lý thuyết lôgích của những con số.[13]

 

Không thể nói chắc chắn rằng thực sự có bất kỳ những sưu tập vô hạn nào trong thế giới. Sự giả định rằng có những sưu tập vô hạn là những gì chúng ta gọi là “tiên đề của vô hạn”. Mặc dù nhiều cách khác nhau tự chúng gợi lên trong trí qua đó chúng ta có thể hy vọng để chứng minh tiên đề này, nhưng vẫn có lý do để sợ rằng tất cả chúng đều là ảo tưởng và không có lý do lôgích để kết luận nào cho việc tin rằng nó là đúng. Đồng thời, cũng chắc chắn không có lý do lôgích nào phản lại những sưu tập vô hạn, và chúng ta được biện minh, về lôgích, trong việc điều tra giả thuyết rằng có những sưu tập loại như vậy. Dạng thực hành của giả thuyết này, cho mục đích hiện tại của chúng ta, là giả định rằng, nếu n là bất kỳ số quy nạp nào, thì n không bằng n + 1. Nhiều chi ly tế nhị nảy sinh trong việc nhận biết dạng giả định này của chúng ta với dạng khẳng định sự hiện hữu của những sưu tập vô hạn; nhưng chúng ta sẽ không tính đến những chi ly tế nhị này cho đến khi, trong chương sau, chúng ta đi đến việc xem xét tiên đề của vô hạn trên giải thích riêng của nó. Cho lúc này, chúng ta chỉ đơn thuần giả định rằng, nếu n là một số quy nạp thì n không bằng n + 1. Điều này thì gồm trong giả định của Peano rằng không có hai số quy nạp nào có cùng số tiếp sau; vì, nếu n = n + 1, thì n − 1 và n có cùng một tiếp sau, đó là n. Vì vậy, chúng ta giả định rằng đã không gì là không bao gồm trong những mệnh đề nguyên thủy của Peano.

 

Bây giờ chúng ta hãy xem xét sưu tập của chính những số quy nạp. Đây là một lớp được hoàn toàn định nghĩa rõ ràng. Trước hết, một số đếm là một set của những lớp vốn tất cả đều tương tự với lẫn nhau và đều không tương tự với bất kỳ gì ngoại trừ với nhau. Sau đó, chúng ta định nghĩa như những “số quy nạp” những số trong những số đếm vốn thuộc về hậu duệ của 0 đối với quan hệ của n với n + 1, tức là những số vốn có được mọi thuộc tính đã có được bởi 0 và bởi những số tiếp sau của những số có được, nghĩa là bới “tiếp sau” của n số n + 1. Thế nên, lớp của những “số quy nạp” thì hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa tổng quát của chúng ta về những số quy nạp, số của những số hạng trong lớp của những số quy nạp được định nghĩa như “tất cả những lớp vốn đều tương tự với lớp của những số quy nạp” — đó là, set này của những lớp số của những số quy nạp theo như định nghĩa của chúng ta.

 

Bây giờ có thể dễ dàng nhận thấy rằng số này không là một trong những số quy nạp. Nếu n là bất kỳ số quy nạp nào, thì số những số từ 0 đến n (gồm cả hai) là n + 1; thế nên tổng số những số quy nạp lớn hơn n, không có vấn đề gì trong số những số quy nạp n có thể là. Nếu chúng ta sắp xếp những số quy nạp trong một chuỗi theo thứ bậc của độ lớn thì chuỗi này không có số hạng cuối cùng; nhưng nếu n là một số quy nạp thì mọi chuỗi số vốn trường có n số hạng đều có số hạng cuối cùng, vì sự việc này dễ chứng minh. Sự khác biệt như vậy có thể được nhân lên ad lib. Như vậy chuỗi số quy nạp là số mới, khác với tất cả những số đó, không có được tất cả những tính chất quy nạp. Có thể xảy ra trường hợp 0 ​​có một thuộc tính nào đó, và nếu n có thì có n + 1, nhưng số mới này không có thuộc tính đó. Những khó khăn khiến lý thuyết về số vô hạn bị trì hoãn trong một thời gian dài phần lớn là do thực tế là một số tính chất quy nạp bị đánh giá sai như phải thuộc tất cả những số; quả thực người ta cho rằng chúng không thể bị từ chối nếu không có mâu thuẫn. Bước đầu tiên để hiểu về số vô hạn gồm nhận ra sự sai lầm của quan điểm này.

 

Sự khác biệt thu hút chú ý và đáng ngạc nhiên nhất giữa một số quy nạp và số mới này là số mới này thì không thay đổi bằng việc cộng thêm 1 hay trừ 1 hay nhân đôi hay giảm một nửa hay bất kỳ phép toán nào khác vốn chúng ta nghĩ là nhất thiết phải làm cho một số lớn hơn hay nhỏ hơn. Sựu kiện của là không bị thay đổi bởi cộng thêm 1 được Cantor dùng cho sự định nghĩa của những gì ông gọi là những số đếm “siêu hạn” [14] ; nhưng vì nhiều lý do khác nhau, một số trong số chúng sẽ xuất hiện khi chúng ta tiếp tục, tốt hơn nên định nghĩa một số đếm vô hạn như một số không có được tất cả những thuộc tính quy nạp, tức là chỉ đơn giản như một số vốn không là một số quy nạp. Tuy nhiên, thuộc tính không thay đổi khi cộng thêm số 1 là một đặc tính rất quan trọng, và chúng ta phải chăm chú vào nó trong một thời gian.

 

Để nói rằng một lớp có một số vốn không bị thay đổi bởi phép cộng của 1 thì cũng giống như khi nói rằng, nếu chúng ta lấy một số hạng x vốn không thuộc vào lớp, chúng ta có thể tìm thấy một quan hệ một-một có miền là lớp và có miền đảo thì có được bằng cách cộng thêm x vào lớp. Trong trường hợp đó, lớp thì tương tự với tổng của chính nó và số hạng x, tức là với một lớp có thêm một số hạng; sao cho nó có cùng số như một lớp với thêm một số hạng, như thế khiến nếu n là số này thì n = n + 1. Trong trường hợp này, chúng ta cũng sẽ có n = n − 1, tức là sẽ có những quan hệ một-một vốn những miền của nó gồm toàn bộ lớp và những miền đảo của chúng gồm của chỉ thiếu đúng một số hạng của cả lớp. Có thể cho thấy rằng những trường hợp trong đó điều này xảy ra đều cũng giống như những trường hợp tổng quát rõ ràng hơn, trong đó một số phần (ngắn của tổng thể) nào đó có thể được đặt vào trong quan hệ một-một với tổng thể. Khi điều này có thể làm được, tác động tương quan vốn nó được thực hiện có thể được nói là “phản ánh” toàn bộ lớp vào trong một phần của chính nó; vì lý do này, những lớp như vậy sẽ được gọi là “phản xạ”. Như vậy:

 

Một lớp “phản xạ” là lớp vốn nó thì tương tự như một phần thích hợp của chính nó. (“Một phần thích hợp” là một phần ngắn của toàn bộ).

 

Một số đếm “phản xạ” là số đếm của một lớp phản xạ.

 

Bây giờ chúng ta phải xem xét thuộc tính này của tính phản xạ.

 

Một trong những trường hợp nổi bật nhất của một “phản xạ” là hình minh họa bản đồ của Royce [15]: ông tưởng tượng đã quyết định để làm một bản đồ England trên một phần bề mặt của England. Một bản đồ, nếu chính xác, có sự tương ứng hoàn hảo với gốc của nó; thế nên, bản đồ của chúng ta, là một phần, thì trong quan hệ một-một với tổng thể, và phải chứa cùng một số điểm như toàn bộ, vốn do đó phải là một số phản xạ. Royce chú ý vào sự kiện rằng bản đồ, nếu nó là chính xác, phải chứa một bản đồ của bản đồ, đến lượt nó, bản đồ này phải chứa một bản đồ của bản đồ của bản đồ, và như thế tiếp tục mãi mãi đến vô tận (ad infinitum) Điểm này thì thú vị đáng chú ý, nhưng cần không làm bận rộn chúng ta vào lúc này. Trong thực tế, chúng ta sẽ làm việc chuyển từ những tranh vẽ minh họa sang những loại hoàn toàn xác định hơn, và vì mục đích này, chúng ta không thể làm gì tốt hơn việc xem xét chính chuỗi số.

 

Quan hệ của n với n + 1, giới hạn với những số quy nạp, là một-một, có toàn bộ của những số quy nạp cho miền của nó, và tất cả ngoại trừ 0 cho miền nghịch đảo của nó. Thế nên, toàn bộ lớp của những số quy nạp thì tương tự với những gì cùng lớp tương tự trở thành khi chúng ta bỏ 0. Hệ quả là, nó là một lớp “phản xạ” theo như định nghĩa, và số của những số hạng của nó là một số “phản xạ”. Lại nữa, quan hệ của n với 2n, giới hạn với những số quy nạp, là một-một, có toàn bộ của những số quy nạp cho miền của nó, và chỉ một mình những số quy nạp chẵn cho miền nghịch đảo của nó. Thế nên số tổng số của những số quy nạp thì cũng giống như số của những số quy nạp chẵn. Tính chất này đã được Leibniz (và nhiều người khác) dùng như một bằng chứng rằng những số vô hạn là không thể có được; điều đã nghĩ tự mâu thuẫn rằng “phần sẽ bằng với toàn bộ”. Nhưng đây là một trong những câu nói vốn tính có thể có được của chúng tùy thuộc trên một sự mơ hồ đã không nhận ra: từ “bằng nhau” có nhiều nghĩa, nhưng nếu nó được hiểu theo nghĩa vốn chúng ta đã gọi là “tương tự”, thì không có mâu thuẫn, vì một set vô hạn. hoàn toàn có thể có những phần tương tự với chính nó. Những người coi sự việc này như không thể có được, một cách vô thức như một quy luật, đã gán cho những con số những tính chất tổng quát vốn chỉ có thể được chứng minh bằng quy nạp toán học, và sự việc vốn chỉ sự quen thuộc của chúng mới khiến chúng ta lầm tưởng, coi đó là sự thật nằm ngoài vùng của hữu hạn.

 

Hễ khi nào chúng ta có thể “phản ánh” một lớp vào trong một phần của chính nó, thì cùng quan hệ tương đương sẽ nhất thiết phản ánh phần đó vào trong một phần nhỏ hơn, và tiếp tục như thế đến vô hạn. Thí dụ, chúng ta có thể phản ánh, như chúng ta vừa thấy, tất cả những số quy nạp vào trong những số chẵn; chúng ta có thể, bằng cùng quan hệ tương đương (đó là của n đến 2n) phản ánh những số chẵn vào trong những bội số của 4, những số này vào trong những bội số của 8, v.v. Đây là một tương tự trừu tượng với vấn đề của bản đồ của Royce. Những số chẵn là một “bản đồ” của tất cả những số quy nạp; những bội số của 4 là một bản đồ của bản đồ; những bội số của 8 là bản đồ của bản đồ; và tiếp tục như thế. Nếu chúng ta áp dụng tiến trình tương tự cho quan hệ của n với n + 1, thì “bản đồ” của chúng ta sẽ gồm tất cả những số quy nạp ngoại trừ 0; bản đồ của bản đồ sẽ gồm tất cả từ 2 trở đi, bản đồ của bản đồ của bản đồ của tất cả từ 3 trở đi; và tiếp tục như thế. Việc dùng chính những hình ảnh minh họa như vậy là để làm quen với ý tưởng của những lớp phản xạ, để những mệnh đề số học có vẻ nghịch lý có thể dễ dàng được dịch sang ngôn ngữ của những phản xạ và những lớp, trong đó không khí của nghịch lý ít hơn nhiều.

 

Sẽ là tiện lợi để cho một định nghĩa của số vốn là của những số đếm quy nạp. Với mục đích này, trước tiên chúng ta trước tiên sẽ định nghĩa loại chuỗi đã thí dụ điển hình bởi những số đếm quy nạp trong thứ bậc của độ lớn. Loại của chuỗi vốn gọi là “cấp số” đã được xem xét trong Chương I. Nó là một chuỗi có thể được tạo ra bằng một quan hệ của tính liên tiếp [16]: mọi phần tử của chuỗi thì để có một tiếp sau, nhưng chỉ có một vốn không có liền trước, và mọi phần tử của chuỗi phải là trong hậu duệ của số hạng này đối với quan hệ “liền trước trực tiếp”. Những đặc điểm này có thể được tóm tắt trong định nghĩa sau: — [17]

 

Một “cấp số” là quan hệ một-một sao cho chỉ có một số hạng thuộc miền nhưng không thuộc miền đảo và miền thì đồng nhất với hậu duệ của một số hạng này.[18]

 

Dễ dàng nhận thấy rằng một cấp số, được định nghĩa như vậy, thỏa mãn năm tiên đề của Peano. Số hạng thuộc miền nhưng không thuộc miền đảo sẽ là những gì ông gọi là “0”; số hạng với nó một số hạng có quan hệ một-một sẽ là ”tiếp sau” của số hạng; và miền của quan hệ một-một sẽ là những gì ông gọi là “số”. Lần lượt lấy năm tiên đề của ông, ta có những chuyển dịch sau: -

 

(1) “0 là một số” trở thành: “Phần tử của miền vốn không là một phần tử của miền đảo là một phần tử của miền”. Điều này thì tương đương với sự hiện hữu của một phần tử như vậy, vốn được đem cho trong định nghĩa của chúng ta. Chúng ta sẽ gọi phần tử này là “số hạng đầu tiên”.

 

(2) “Số tiếp sau của bất kỳ số nào là một số” trở thành: “Số hạng với nó một phần tử nhất định của miền có quan hệ trong xem xét lại là một phần tử của miền”. Điều này được chứng minh như sau: Theo định nghĩa, mọi phần tử của miền là một phần tử của hậu duệ của số hạng đầu tiên; thế nên, tiếp sau của một phần tử của miền phải là một phần tử của hậu duệ của số hạng đầu tiên (vì hậu duệ của một số hạng luôn chứa những số tiếp sau riêng của nó, theo định nghĩa tổng quát của hậu duệ), và do đó một phần tử của miền, vì theo định nghĩa, hậu duệ của số hạng đầu tiên thì cũng giống như miền.

 

(3) “Không có hai số nào có cùng số tiếp sau”. Điều này chỉ để nói rằng quan hệ là một-nhiều, vốn nó là theo định nghĩa (là một-một).

 

(4) “0 không là số tiếp sau của bất kỳ số nào” trở thành: “Số hạng đầu tiên không là phần tử của miền đảo”, một lần nữa là kết quả ngay lập tức của định nghĩa.

 

(5) Đây là quy nạp toán học, và trở thành: “Mọi phần tử của miền đều thuộc về hậu duệ của số hạng đầu tiên”, vốn là một phần trong định nghĩa của chúng ta.

 

Vì vậy, những cấp số như chúng ta đã định nghĩa, chúng có năm thuộc tính chính thức vốn từ đó Peano suy diễn thành số học. Dễ dàng để cho thấy rằng hai cấp số là “tương tự” trong ý hướng đã định nghĩa cho sự tương tự của những quan hệ trong Chương VI. Dĩ nhiên, chúng ta có thể lấy ra một quan hệ vốn là nối tiếp từ quan hệ một-một vốn chúng ta định nghĩa một cấp số: phương pháp đã dùng được giải thích trong Chương IV., Và quan hệ là của một số hạng với một phần tử của hậu duệ đúng của nó đối với quan hệ một-một ban đầu.

 

Hai quan hệ không-đối xứng bắc cầu vốn tạo ra những cấp số đều là tương tự, vì những cùng những lý do tương tự vốn những quan hệ một-một tương ứng cũng tương tự. Lớp của tất cả những tạo sinh ra tính bắc cầu như vậy của những cấp số là một “số định-vị-trí” trong ý nghĩa của Chương VI; trong thực tế nó là số nhỏ nhất của số định-vị-trí vô hạn, con số vốn Cantor đã đặt tên là ω, qua đó ông đã làm nó thành nổi tiếng.

 

Nhưng chúng ta băn khoăn, vào lúc này, với những số đếm. Vì hai cấp số đều là những quan hệ tương đương, nên những miền của chúng (hay những trường của chúng, vốn cũng là một như những miền của chúng) đều là những lớp tương tự. Những miền của những cấp số tao thành một số đếm, vì mọi lớp tương tự với miền của một cấp số đều dễ dàng được chứng minh là chính nó là miền của một cấp số. Số đếm này là số nhỏ nhất trong số những số đếm vô hạn; nó là số vốn Cantor đã lấy chữ cái đầu tiên trong tiếng Hebrew là Aleph với phụ tố 0, đặt cho nó, để phân biệt nó với những số đếm vô hạn lớn hơn, vón chúng có những phụ tố khác. Thế nên, tên của số nhỏ nhất của những số đếm vô hạn là 0.

 

Để nói rằng một lớp có 0 những số hạng thì cũng giống như nói rằng nó là một phần tử của 0, và điều này cũng tương tự như nói rằng những phần tử của lớp có thể được sắp xếp theo một cấp số. Điều hiển nhiên là bất kỳ cấp số nào vẫn là một cấp số nếu chúng ta lấy bớt đi từ nó một số lượng hữu hạn những số hạng, hay mọi số hạng kia (xen kẽ), hay tất cả ngoại trừ mọi số hạng thứ mười, hay mọi số hạng thứ một trăm. Những phương pháp này làm loãng mỏng một cấp số không làm cho nó thôi không còn là một cấp số, và thế nên không làm giảm bớt con số của những số hạng của nó, vốn vẫn là 0. Trong thực tế, bất kỳ lựa chọn nào từ một cấp số đều là một cấp số nếu nó không có số hạng cuối cùng, cho dù nó có thể là phân phối thưa mỏng đến đâu. Lấy (giả định) những số quy nạp có dạng nn hay nnn. Những con số phát triển như vậy rất hiếm trong những phần cao hơn của chuỗi số, và tuy có cũng nhiều số của chúng như có nhiều những số quy nạp với nhau, đó là 0.

 

Ngược lại, chúng ta có thể cộng thêm những số hạng vào những số quy nạp nhưng không làm tăng số của chúng. Lấy thí dụ, những tỉ số. Người ta có thể có khuynh hướng nghĩ rằng phải có nhiều những tỉ số hơn những số nguyên, vì những tỉ số có mẫu số là 1 tương ứng với những số nguyên, và dường như là phần tương ứng một vô cực nhỏ [19] của những tỉ số. Nhưng trong thực tế, số của những tỉ số (hay những phân số) thì chính xác hoàn toàn giống với số của những số quy nạp, đó là 0.. Điều này có thể dễ dàng nhận thấy bằng việc sắp xếp những tỉ số trong một chuỗi theo dự kiến sau: Nếu tổng số của tử số và mẫu số của một tỉ số nhỏ hơn tỉ số kia, hãy đặt tỉ số này trước tỉ số kia; nếu tổng của cả hai bằng nhau, đặt trước tỉ số có tử số nhỏ hơn. Điều này mang lại cho chúng ta loạt

 

1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 1/5, …

 

Chuỗi này là một cấp số, và tất cả những tỉ số đều xảy ra trong đó sớm hay muộn. Thế nên, chúng ta có thể sắp xếp tất cả những tỉ số theo một cấp số, và số của chúng thế nên là 0.

 

Tuy nhiên, không là trường hợp xảy ra rằng tất cả những set vô hạn đều có 0 số hạng. Thí dụ, số lượng những số thực thì lớn hơn 0.; thực sự nó là 20, và không khó để chứng minh rằng 2n lớn hơn n ngay cả khi n là vô hạn. Cách dễ nhất để chứng minh sự việc này là, trước tiên, chứng minh rằng nếu một lớp có n phần tử, thì nó chứa 2n lớp-connói cách khác, có 2n cách để chọn một số của những phần tử của nó (gồm cả trường hợp cực đoan, chúng ta chọn tất cả hay không chọn gì cả); và thứ hai, rằng số của những lớp-con chứa trong một thì luôn luôn lớn hơn số của những phần tử của lớp. Trong hai mệnh đề này, mệnh đề thứ nhất thì quen thuộc trong trường hợp của những số hữu hạn, và không khó để mở rộng đến số những vô hạn. Chứng minh của mệnh đề thứ hai rất đơn giản và có tính truyền thụ nên chúng ta sẽ đem cho nó:

 

Đầu tiên, điều hiển nhiên là số của những lớp-con của một lớp nhất định (lấy thí dụ lớp đem cho là α) thì ít nhất cũng lớn bằng số của những phần tử, vì mỗi phần tử tạo thành một lớp-con và thế nên chúng ta có tương quan tất cả những phần tử với một số lớp con. Thế nên, dẫn đến ràng, nếu số lớp-con không bằng số của những phần tử thì nó phải lớn hơn. Bây giờ, để chứng minh rằng số lượng thì không bằng nhau, là điều dễ dàng, bằng việc cho thấy rằng, với bất kỳ quan hệ một-một nào đem cho, có miền là những phần tử và có miền đảo thì chứa trong set của những lớp con, thì phải có ít nhất một lớp-con lớp không thuộc miền đảo. Chứng minh như sau: [20]

 

Khi một tương quan một-một R được thiết lập giữa tất cả những phần tử của α và một số của những lớp con, điều có thể xảy ra rằng một phần tử x nhất định đã thì có tương quan với một lớp-con vốn với nó, nó là một phần tử; hay, lại nữa, điều có thể xảy ra rằng x thì có tương quan với một lớp-con vốn với nó, nó không là một phần tử. Chúng ta hãy tạo thành lớp toàn bộ, thí dụ β, cúa những phần tử x đó, vốn chúng đều tương quan với những lớp-con vốn chúng không là những phần tử. 

 

Đây là một lớp-con của α, và nó không tương quan với bất kỳ phần tử nào của α. Vì, lấy trước hết những phần tử của β, mỗi phần tử trong số chúng (theo định nghĩa của β) có tương quan với một số lớp-con vốn nó không là một phần tử, và thế nên không tương quan với β. Lấy tiếp theo những số hạng vốn không là những phần tử của β, mỗi số hạng trong số chúng (theo định nghĩa của β) có tương quan với một số hạng con vốn nó là phần tử, và thế nên một lần nữa thì không tương quan với β. Thế nên không có phần tử nào của α tương quan với β. Vì R đã là bất kỳ tương quan một-một nào của tất cả những phần tử với một số lớp con, thế nên không có tương quan của tất cả những phần tử với tất cả những lớp con. Không quan trọng với chứng minh nếu β không có phần tử nào: tất cả những gì xảy ra trong trường hợp đó là lớp-con vốn được cho thấy bị bỏ qua là lớp-không. Thế nên, trong mọi trường hợp, số của những lớp-con không bằng số của những phần tử, và thế nên, theo những gì đã nói trước đó, nó thì lớn hơn. Kết hợp điều này với mệnh đề rằng, nếu n là số của những phần tử, 2n là số của những lớp con, ta có định lý rằng 2n luôn lớn hơn n, ngay cả khi n là vô hạn.

 

Đến theo mệnh đề này, là không có số tối đa cho những số đếm vô hạn. Dù cho một số vô hạn n có thể lớn đến bao nhiêu, 2n sẽ vẫn là lớn hơn. Số học của những số vô hạn thì phần nào ngạc nhiên cho đến khi người ta trở nên quen thuộc với nó. Thí dụ, chúng ta có:

 

0+ 1 = ℵ0,

 

0+ n = ℵ0,      với n là bất kỳ số quy nạp nào,

 

0 2 = ℵ0.

 

(Điều này dựa trên trường hợp của những tỉ số, vì tỉ số được định nghĩa bởi một cặp của những số quy nạp, nên dễ dàng để thấy rằng số của những tỉ số là bình phương của số những số quy nạp, tức là nó là 0 2; nhưng chúng ta thấy rằng nó cũng là 0).

 

0 n = 0, với n là bất kỳ số quy nạp nào.

 

(Điều này đến từ 0 2 = ℵ0 bằng quy nạp;

với nếu 0 n = ℵ0,

 

thì           0 n + 1 = ℵ0 2 = ℵ0).

 

Nhưng    20 > ℵ0.

 

           

Thực sự, như chúng ta sẽ thấy ở phần sau, 20 là một con số rất quan trọng, đó là, số của những số hạng trong một chuỗi có “tính liên tục” trong ý hướng trong đó từ này đã được Cantor dùng. Sau khi giả định không gian và thời gian thì liên tục theo nghĩa này (như chúng ta thường làm trong hình học giải tích và động học [21]), đây sẽ là số của những điểm trong không gian hay của những tức khắc trong thời gian; nó cũng sẽ là số của những điểm trong bất kỳ phần hữu hạn nào của không gian, cho dù đường thẳng, diện tích hay thể tích. Sau 0, 20 là con số quan trọng và đáng chú ý nhất trong những số vô hạn.

 

Mặc dù phép cộng và phép nhân luôn có thể thực hiện được với v những số đếm vô hạn, phép trừ và phép chia không còn cho những kết quả xác định, và thế nên không thể được dùng như chúng được dùng trong số học cơ bản. Để bắt đây, hãy lấy phép trừ: miễn là số bị trừ là hữu hạn, mọi việc thì suông sẻ; nếu số kia là phản xạ, nó vẫn không thay đổi. Thế nên 0 n = ℵ0, nếu n thì hữu hạn; Cho đến giờ, phép trừ cho một kết quả hoàn toàn xác định. Nhưng ngược lại khi chúng ta lấy 0 trừ đi chính nó; sau đó chúng ta có thể nhận được bất kỳ kết quả nào, từ 0 đến 0. Điều này có thể dễ dàng nhận thấy qua những thí dụ. Từ những số quy nạp, lấy đi những sư tập có ℵ0 số hạng: -

 

(1) Tất cả những số quy nạpsố dư, zero.

 

(2) Tất cả những số quy nạp từ n trở đisố dư, những số từ 0 đến n − 1, đánh số tất cả n số hạng.

 

(3) Tất cả những số lẻ – số dư, tất cả những số chẵn, đánh số 0 số hạng.

 

Tất cả đây là những cách khác nhau để trừ ℵ0 khỏi ℵ0 (ℵ0 ℵ0) và tất cả đều cho kết quả khác nhau.

 

Đối với phép chia, những kết quả rất giống nhau dựa trên sự kiện là ℵ0 thì không thay đổi khi nhân với 2 hay 3 hay với bất kỳ số hữu hạn nào n hay với 0. Theo đó 0 chia cho 0 có thể có bất kỳ giá trị nào, từ 1 đến 0.

 

Từ sự hàm hồ của phép trừ và phép chia, kết quả là những số và tỉ số âm không thể mở rộng đến những số vô hạn. Phép cộng, phép nhân và phép lũy thừa tiến hành khá ổn thỏa, nhưng những phép toán nghịch đảotrừ, chia và rút cănlà hàm hồ và những khái niệm tùy thuộc trên chúng không thành công khi liên quan với những số vô hạn.

 

Đặc điểm qua đó chúng ta định nghĩa tính hữu hạn là quy nạp toán học, tức là chúng ta định nghĩa một số như hữu hạn khi nó tuân theo quy nạp toán học bắt đầu từ 0 , và một lớp như hữu hạn khi số của nó là hữu hạn. Định nghĩa này mang lại loại kết quả vốn một định nghĩa phải mang lại, đó là những số hữu hạn là những số xuất hiện trong chuỗi-số thông thường 0, 1, 2, 3, … Nhưng trong chương này, những số vô hạn vốn chúng ta đã thảo luận không chỉ đơn thuần là không quy nạp: chúng cũng là phản xạ. Cantor đã dùng tính phản xạ như sự định nghĩa của tính vô hạn, và tin rằng nó thì tương đương với tính-không quy nạp; có nghĩa là, ông tin rằng mọi lớp và mọi số đếm thì hoặc là quy nạp hoặc là phản xạ. Điều này có thể đúng, và rất có thể có khả năng chứng minh; nhưng những chứng minh cho đến nay của Cantor và những người khác (gồm cả tác giả hiện tại trong ngày trước) là sai lầm, vì những lý do sẽ được giải thích khi chúng ta xem xét “tiên đề nhân”[22]. Hiện tại, điều vẫn chưa biết là không biết có những lớp và những số đếm vốn chúng không-phản xạ cũng không quy nạp hay không. Nếu n đã là một số đếm loại như vậy, chúng ta tất sẽ không có n = n + 1, nhưng n sẽ không là một của những “số tự nhiên”, và tất sẽ thiếu một vài những thuộc tính quy nạp. Tất cả những lớp vô hạn và số đếm đã biết là phản xạ; nhưng với hiện tại, tốt hơn hết là nên giữ một đầu óc cởi mở về việc liệu có những trường hợp, cho đến nay vẫn chưa biết đến, của những lớp và những số đếm không mang tính phản xạ hay quy nạp hay không. Trong khi đó, chúng ta áp dụng những định nghĩa sau: -

 

Một lớp hữu hạn hay số đếm hữu hạn là một có tính quy nạp.

 

Một lớp vô hạn hay số đếm vô hạn là một vốn là không quy nạp. Tất cả những lớp phản xạ và những số đếm đều là vô hạn; nhưng lúc này vẫn chưa biết liệu tất cả những lớp vô hạn và những số đếm đều là phản xạ hay không. Chúng ta sẽ trở lại đề tài này trong Chương XII.

 

 

CHƯƠNG IX:

Chuỗi Vô hạn và Những số thứ tự

 

 Một “chuỗi vô hạn” có thể được định nghĩa như một chuỗi trường của nó là một lớp vô hạn. Chúng ta đã có cơ hội để xem xét một loại của chuỗi vô hạn, cụ thể là, những cấp số. Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét đề tài trong tổng quát hơn.

 

Đặc điểm đáng ghi nhận nhất của một chuỗi vô hạn là số định-vị-trí của nó có thể được thay đổi chỉ bằng cách sắp xếp lại những số hạng của nó. Về mặt này, có một sự đối lập nhất định giữa số thứ tự và số định-vị-trí. Là điều có thể để giữ số thứ tự của một lớp phản xạ không thay đổi mặc dù thêm những số hạng vào nó; mặt khác, là điều có thể thay đổi số định-vị-trí của một chuỗi không cần cộng thêm hay lấy đi bất kỳ số hạng nào, chỉ bằng cách sắp xếp lại. Đồng thời, trong trường hợp của bất kỳ chuỗi vô hạn nào, cũng có thể, như với những số thứ tự, để cộng thêm những số hạng nhưng không làm thay đổi số định-vị-trí: mọi sự việc tùy trong trên cách chúng được cộng thêm vào.

 

Để làm rõ vấn đề, tốt nhất nên bắt đầu với những thí dụ. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét những loại chuỗi khác nhau vốn có thể được tạo ra từ những số quy nạp được sắp xếp trên những dự định khác nhau. Chúng ta bắt đầu với chuỗi

 

1, 2, 3, 4, … n, …,

 

vốn, như chúng ta đã thấy, đại diện cho số nhỏ nhất của những số định-vị-trí vô hạn, số vốn Cantor gọi là ω. Chúng ta hãy tiếp tục để làm thưa chuỗi này bằng việc thực hiện liên tục hoạt động của việc xóa đến cuối số chẵn xuất hiện đầu tiên. Thế nên, chúng ta thu được liên tiếp những chuỗi khác nhau:

 

1, 3, 4, 5, … n, … 2,

 

1, 3, 5, 6, … n + 1, … 2, 4,

 

1, 3, 5, 7, … n + 2, … 2, 4, 6,

 

và tiếp tục như thế. Nếu chúng ta tưởng tượng cấp số này tiếp tục càng lâu đến có thể, cuối cùng chúng ta cũng đến được chuỗi

 

1, 3, 5, 7, … 2n + 1, … 2, 4, 6, 8, … 2n, …,

 

trong đó đầu tiên chúng ta có tất cả những số lẻ và sau đó là tất cả những số chẵn.

 

Những số định-vị-trí của những chuỗi khác nhau này là:

               ω + 1, ω + 2, ω + 3, … 2ω

Mỗi của những số này thì “lớn hơn” bất kỳ những tiếp trước của nó, theo nghĩa sau: -

 

Một số định-vị-trí được nói là “lớn hơn” một số khác nếu bất kỳ chuỗi nào có số đầu tiên chứa một phần có số thứ hai, nhưng không có chuỗi nào có số thứ hai chứa một phần có số đầu tiên.

 

Nếu chúng ta so sánh hai chuỗi

 

1, 2, 3, 4, … n, …

 

1, 3, 4, 5, … n + 1, … 2,

 

Chúng ta thấy rằng chuỗi thứ nhất giống với phần của chuỗi thứ hai bỏ đi số hạng cuối cùng, đó là số 2, nhưng chuỗi thứ hai thì không giống với bất kỳ phần nào của chuỗi thứ nhất. (Điều này là hiển nhiên, nhưng có thể dễ dàng chứng minh). Thế nên, chuỗi thứ hai có một số số định-vị-trí lớn hơn chuỗi thứ nhất, theo định nghĩa – tức là ω + 1 thì lớn hơn ω. Nhưng nếu chúng ta thêm một số hạng vào đầu một cấp số thay vì cuối, chúng ta vẫn có một cấp số. Như vậy 1 + ω = ω. Thế nên 1 + ω không bằng ω + 1. Đây là đặc điểm của quan hệ-số học trong tổng quát: nếu μ và ν là hai số-quan hệ, quy tắc tổng quát là μ + ν thì không bằng ν + μ. Trường hợp của những số thứ tự hữu hạn, trong đó có sự bằng nhau, thì hoàn toàn ngoại lệ

 

Chuỗi cuối cùng chúng ta đạt được vừa rồi gồm trước nhất tất cả những số lẻ và sau đó là tất cả những số chẵn, và số định-vị-trí của nó là 2ω. Số này lớn hơn ω hay ω + n, trong đó n là hữu hạn. Cần để quan sát rằng, theo định nghĩa tổng quát của thứ bậc, mỗi cách sắp xếp này của những số nguyên được coi như kết quả của một số quan hệ xác định nào đó. Thí dụ: chuỗi có quan hệ vốn chỉ đơn thuần loại bỏ 2 đến cuối, sẽ được định nghĩa theo quan hệ sau: “x và y là những số nguyên hữu hạn, và hoặc y là 2 và x không là 2, hay không một nào là 2, và x nhỏ hơn y”. Sắp xếp đặt trước tất cả những số lẻ và sau đó là tất cả những số chẵn sẽ được định nghĩa bởi: “x và y là những số nguyên hữu hạn, và x là số lẻ và y là số chẵn hay x nhỏ hơn y và cả hai đều là số lẻ hay cả hai đều là chẵn”. Chúng ta sẽ không phải rắc rối, như một qui luật, để đem cho những công thức này trong tương lai; nhưng sự kiện là chúng có thể được đem cho là thiết yếu

 

Con số vốn chúng ta đã gọi là 2ω, đó là số của một chuỗi gồm hai cấp số, thì đôi khi được gọi là ω.2. Phép nhân, giống như phép cộng, tùy thuộc trên thứ bậc của những thừa tố: một cấp số của những cặp cho ra một chuỗi thí dụ như

 

x1, y1, x2, y2, x3, y3, … xn, yn, …,

 

vốn bản thân nó là một cấp số; nhưng một cặp của những cấp số cho một chuỗi vốn dài gấp đôi một cấp số. Thế nên cần phân biệt giữa 2ωω.2. Cách dùng thì thay đổi; chúng ta sẽ dùng 2ω cho một cặp của những cấp số, và ω.2 cho một cấp số của những cặp, và quyết định này dĩ nhiên chi phối cách giải thích tổng quát của chúng ta về “α.β” khi αβ là những số-quan hệ: “α.β” sẽ phải là đại diện cho một tổng số được xây dựng thích hợp của α những quan hệ vốn mỗi chúng có β những số hạng.

 

Chúng ta có thể tiếp tục vô hạn với tiến trình làm mỏng dần những số quy nạp. Thí dụ, chúng ta có thể đặt những số lẻ đầu tiên, sau đó đến số gấp đôi của chúng, sau đó là số gấp đôi của những số này, v.v. Thế nên, chúng ta có được chuỗi

 

1, 3, 5, 7, …; 2, 6, 10, 14, …; 4, 12, 20, 28, …; 8, 24, 40, 56, …,

 

trong đó con số là ω2, vì nó là một cấp số của những cấp số. Dĩ nhiên, bất kỳ cấp số nào trong chuỗi mới này đều có thể bị mỏng dần đi khi chúng ta làm mỏng cấp số ban đầu của chúng ta. Chúng ta có thể tiếp tục tiến đến ω3, ω4, … ωω, và v.v. Cho dù chúng ta đi xa đến đâu, chúng ta luôn luôn có thể đi xa hơn.

 

Chuỗi của tất cả những số thứ tự có thể có được trong cách này, tức là tất cả gì có thể có được bằng việc làm mỏng dần một cấp số, thì bản thân nó dài hơn bất kỳ chuỗi nào có thể có được bằng sự sắp xếp lại những số hạng của một cấp số. (Điều này không khó để chứng minh). Số thứ tự của lớp của những số đếm giống thế đó có thể được cho thấy là lớn hơn ℵ0; nó là con số vốn Cantor gọi là 1. Số thứ tự của chuỗi của tất cả những só thứ tự có thể được tạo ra từ một 0, được lấy theo thứ bậc của độ lớn, được gọi là ω1. Thế nên, một chuỗi có số thứ tự là ω1. có một trường có số đếm là 1

 

Chúng ta có thể tiến hành từ ω11 đến ω2 2 bằng một tiến trình hoàn toàn tương tự với tiến trình qua đó vốn chúng ta tiến từ ω0 lên ω1 và 1. Và không có gì ngăn cản chúng ta tiến vô thời hạn theo cách này đến những số đếm mới và những số thứ tự mới. Người ta không biết liệu 20 có bằng với bất kỳ những số đếm nào trong chuỗi của những Aleph hay không. Người ta ngay cả không biết liệu nó có thể so sánh với chúng về độ lớn hay không; vì tất cả những gì chúng ta biết, nó có thểlà không bằng cũng không lớn hơn cũng không nhỏ hơn bất kỳ một nào của những Aleph. Câu hỏi này thì nối tiếp với tiên đề nhân, chúng ta sẽ giải quyết với nó sau.

 

Tất cả những chuỗi vốn chúng ta đã từng xem xét cho đến giờ trong chương này đã từng được gọi là “đã sắp xếp tốt”[23] . Một chuỗi sắp xếp tốt là một chuỗi có một bắt đầu và có những số hạng liên tiếp, và có một số hạng tiếp theo sau bất kỳ lựa chọn nào của những số hạng của nó, miễn là có những số hạng bất kỳ sau lựa chọn. Điều này loại trừ, về một mặt, những chuỗi dày đặc, trong đó có những số hạng giữa bất kỳ hai số hạng, và mặt khác, những chuỗi không có bắt đầu hay trong đó có những phần phụ không có bắt đầu. Chuỗi của những số nguyên âm theo thứ bậc của độ lớn, không có bắt đầu, nhưng kết thúc với −1, không có sắp xếp tốt; nhưng lấy theo thứ bậc ngược lại, bắt đầu bằng −1, nó có sắp xếp tốt, trong thực tế là một cấp số. Định nghĩa là:

 

Một chuỗi “sắp xếp tốt” là một chuỗi trong đó mọi lớp-con (Dĩ nhiên là ngoại trừ lớp-không) đều có một số hạng đầu tiên.

 

Một số “thứ bậc” có nghĩa là số-quan hệ của một chuỗi được sắp xếp tốt. Thế nên, nó là một loài của số định-vị-trí.

 

Trong số những chuỗi được sắp xếp tốt, một dạng đã tổng quát của những ứng dụng quy nạp toán học. Một thuộc tính có thể được nói là “di truyền siêu hạn” [24] nếu, khi nó thuộc về một lựa chọn nhất định nào đó của những số hạng trong một chuỗi, thì nó thuộc về tiếp sau trực tiếp của chúng miễn là chúng có một tiếp theo. Trong một chuỗi có được sắp xếp tốt một thuộc tính di truyền siêu hạn thuộc về số hạng đầu tiên của chuỗi thuộc về toàn bộ chuỗi. Điều này làm nó có thể để chứng minh nhiều mệnh đề liên quan với những chuỗi được sắp xếp tốt vốn không đúng với tất cả những chuỗi.

 

Điều là dễ dàng để sắp xếp những số quy nạp trong chuỗi vốn không đã sắp xếp tốt và ngay cả để sắp xếp chúng trong chuỗi dày đặc. Thí dụ, chúng ta có thể áp dụng kế hoạch sau: xem xét những số thập phân từ .1 (gồm) đến 1 (không gồm), được sắp xếp theo thứ bậc của độ lớn. Những những số thập phân này hình thành một chuỗi dày đặc;; giữa bất kỳ hai số nào luôn luôn có một số vô hạn của những số kia. Bây giờ hãy bỏ đi dấu chấm ở đầu mỗi số thập phân, và chúng ta có một chuỗi dày đặc gồm tất cả những số nguyên hữu hạn ngoại trừ số chia cho 10.

 

Nếu chúng ta muốn gồm những số chia cho 10, không có gì khó khăn; thay vì bắt đầu với .1, chúng ta sẽ gồm tất cả những số thập phân nhỏ hơn 1, nhưng khi chúng ta xóa dấu chấm, chúng ta sẽ chuyển sang bên phải bất kỳ số 0 nào xuất hiện ở bắt đầu của số thập phân của chúng ta. Bỏ qua những số này và quay lại những số không có con số 0 ở đầu, chúng ta có thể phát biểu quy tắc sắp xếp những số nguyên của chúng ta như sau: Trong số hai số nguyên không bắt đầu bằng cùng một con số, số bắt đầu bằng con số nhỏ hơn đứng trước. Trong số hai số nguyên bắt đầu bằng cùng một con số, nhưng khác nhau ở con số thứ hai, số nguyên nào có con số thứ hai nhỏ hơn đứng trước, nhưng đứng trước tất cả số nguyên không có con số thứ hai; và cứ tiếp tục như thế. Trong tổng quát, nếu hai số nguyên đồng nhất với nhau về n những con số đầu tiên, nhưng không đồng nhất về phần con số thứ (n + 1), thì số đứng trước không có con số thứ (n + 1) hay một con số nhỏ hơn số còn lại. Quy tắc về sắp xếp này, như người đọc có thể dễ dàng tự thuyết phục, cho phát sinh một chuỗi dày đặc chứa tất cả những số nguyên không chia cho 10; và, như chúng ta đã thấy, không có gì khó khăn về việc gộp những số chia hết cho 10. Từ thí dụ này, đó là có thể để xây dựng chuỗi dày đặc có 0 số hạng. Trong thực tế, chúng ta đã thấy rằng có 0 tỉ số , và tỉ số theo thứ bậc của độ lớn hình thành một chuỗi dày đặc; thế nên, chúng ta có ở đây một thí dụ khác. Chúng ta sẽ tiếp tục đề tài này trong chương tiếp theo.

 

Trong số những luật chính thức thông thường của phép cộng, phép nhân và phép lũy thừa, tất cả đều được tuân theo bởi những số đếm vô hạn, nhưng chỉ một số được tuân theo bởi những số thứ tự vô hạn, và những luật được chúng tuân theo thì đều được tuân theo bởi tất cả những số-quan hệ. Khi nói “luật chính thức thông thường”, chúng ta có ý như sau: -

 

I. Luật giao hoán: α + β = β + αα × β = β × α.

 

II. Luật kết hợp: (α + β) + γ = α + (β + γ) và (α × β) × γ = α × (β × γ).

 

III. Luật phân phối: α (β + γ) = αβ + αγ.

 

Khi luật giao hoán không giữ nguyên, dạng trên của luật phân phối phải phân biệt với

 

(β + γ) α = βα + γα.

 

Như chúng ta sẽ thấy ngay lập tức, một dạng có thể đúng và dạng kia sai.

 

IV. những luật lũy thừa: αβ. αγ = αβ + γ, αγ.βγ = (αβ) γ, (αβ) γ = αβ γ.

 

Tất cả những luật này giữ cho những số đếm, cho dù là hữu hạn hay vô hạn, và cho những số thứ tự hữu hạn. Nhưng khi chúng ta đi đến những số thứ tự vô hạn, hay thực sự đến những số-quan hệ trong tổng quát, một số giữ và một số thì không giữ. Luật giao hoán không giữ; luật liên kết giữ nguyên; luật phân phối (qua quy ước vốn chúng ta đã chấp nhận ở trên về phần thứ bậc của những thừa số trong một tích số được giữ ,trong dạng

 

(β + γ) α = βα + γα,

 

nhưng không trong dạng

 

α (β + γ) = αβ + αγ.

 

Những luật lúy thừa

 

αβ. αγ = αβ + γ và (αβ) γ = αβ γ.

 

vẫn giữ, nhưng không luật

 

αγ. β γ = (αβ) γ,

 

vốn hiển nhiên đã kết nối với luật giao hoán cho phép nhân.

 

Những định nghĩa của phép nhân và phép lũy thừa vốn đã giả định trong những mệnh đề trên đây, đều là phần nào phức tạp. Người đọc muốn biết chúng là gì và những định luật trên được chứng minh như thế nào, phải tham khảo tập hai của Principia Mathematica, * 172–176.

 

Số học số thứ tự số lượng siêu hạn [25] đã được Cantor phát triển ở một giai đoạn sớm hơn số học số đếm số lượng siêu hạn, vì nó có những sử dụng kỹ thuật toán học khác nhau đã dẫn ông đến với nó. Nhưng từ quan điểm của triết học toán học, nó thì ít quan trọng và ít nền tảng hơn lý thuyết về những số đếm vô hạn. Những số đếm đều thiết yếu là đơn giản hơn so với những số thứ tự, và đó là một bất ngờ lịch sử lạ lùng khiến khi chúng đầu tiên đã xuất hiện như một sự trừu tượng từ những số thứ tự, và chỉ dần dần đã trở nên được nghiên cứu cho những mục đích của riêng chúng. Điều này không áp dụng với công trình của Frege, trong đó những số đếm, hữu hạn và siêu hạn, đã đều được giải quyết trong độc lập hoàn toàn với những số thứ tự,; nhưng đã là chính công trình của Cantor làm thế giới nhận biết vấn đề, trong khi công trình của Frege vẫn hầu như đã không được biết đến, có lẽ lý do chủ yếu là sự khó khăn của hệ thống ký hiệu của ông. Và những nhà toán học, cũng như những người khác, có nhiều khó khăn trong việc hiểu và dùng những khái niệm vốn tương đối “đơn giản” trong ý hướng lôgích hơn là trong việc vận dụng những khái niệm phức tạp hơn nhưng thân thuộc hơn với thực hành thông thường của họ. Vì những lý do này, đã là chỉ dần dần khiến sự quan trọng thực của những số đếm trong triết học toán học đã được nhìn nhận. Sự quan trọng của những số thứ tự, mặc dù hoàn toàn là không nhỏ, thì rõ ràng là ít hơn so với của những số đếm, và rất nhiều phần đã trộn lẫn trong những gì của khái niệm tổng quát hơn của những số-quan hệ.



Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Aug/2021)

(Còn tiếp... )


http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com



[1] a particular species

[2] [Tập. iii. * 300ff., Đặc biệt là 303.]

[3] [Dĩ nhiên trong thực tế, chúng ta sẽ tiếp tục nói về một phân số là (giả định) lớn hơn hay nhỏ hơn 1, nghĩa là lớn hơn hay nhỏ hơn tỷ lệ 1/1. Vì vậy, miễn là người ta hiểu rằng tỷ lệ 1/1 và số đếm 1 là khác nhau, thì không nhất thiết phải luôn nhấn mạnh đến sự khác biệt.]

[4] vô hạn là một khái niệm – vô cựcsố hạng chỉ vô hạn

[5] [Nói một cách chính xác, câu nói này, cũng như những câu sau đến cuối đoạn văn, liên quan với cái được gọi là “tiên đề về vô hạn”, sẽ được thảo luận trong chương sau.]

[6] compact

[7] [Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2nd edition, Brunswick, 1892] Richard Dedekind (1831–1916), nhà toán học người Germany.

[8] Từ thời Hellas, người ta đã biết rằng không có tỉ số nào, a / b, bằng căn bậc hai của 2. Nhưng không có tỉ số tối đa nào bình phương nhỏ hơn 2 và không tỉ số tối thiểu nào bình phương lớn hơn hơn 2. Richard Dedekind, năm 1872, đã chỉ ra rằng mỗi số thực tương ứng với một 'vết cắt' như thế này trong lớp của những tỉ số. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta được đem cho set của những số hữu tỉ, chúng ta có thể xây dựng những số thực trong những số hạng của chúng: set của những số hữu tỉ có bình phương nhỏ hơn 2 là một set mở có thể biểu diễn căn bậc hai của 2.

[9] [Cho một giải quyết đầy đủ hơn về đề tài phân đoạn và quan hệ Dedekind, hãy xem Principia Mathematica, vol. ii. * 210–214. Cho một giải quyết đầy đủ hơn về những số thực, hãy xem ibid., Vol. iii. * 310ff., Và Principles of Mathematics, những chương. xxxiii. và xxxiv]

[10] an ordered couple of real numbers

[11] [Xem thêm Principles of Mathematics, §360, tr. 379]

[12] Georg Cantor (1845-1918): Nhà toán học người Germany và người sáng lập lý thuyết tập hợp. Sinh ở St Petersburg, Cantor học ở Berlin dạy tại trường đại học Halle từ năm 1872. Luận chứng đường chéo nổi tiếng của ông chứng minh số đếm khác nhau của những số thực và những số hữu tỉ lần đầu tiên được sử dụng trong một bài khảo cứu năm 1874. Điều này chứng tỏ sự tồn tại của những tập hợp vô hạn của những số đếm khác nhau: kết quả cơ bản của lý thuyết tập hợp hiện đại. Tác phẩm của Cantor đã bị hiểu lầm nhiều và bị những người đương thời của ông công kích vì sự sử dụng không ràng buộc khái niệm của một vô hạn hoàn chỉnh. Mặc bị suy sụp tâm thần, ông đã dành phần lớn thời gian còn lại của sự nghiệp hàn lâm toán học (và triết học) của ông để bảo vệ thế giới của những đối tượng toán học ông đã mở ra. Ông cũng là người đầu tiên đặt ra và cố gắng chứng minh giả thuyết continuum (so sánh tập hợp).

[13] cardinal numbers: Số đếm; ordinal numbers: Số thứ tự

[14] transfinite: siêu việt, siêu hạn

[15] William Roy (1726 - 1790): kỹ sư quân sự, nhà khảo sát và sưu tầm đồ cổ người Scotland. Ông là một nhà sáng tạo đã áp dụng những khám phá khoa học mới và kỹ thuật mới xuất hiện vào việc lập bản đồ địa trắc chính xác của UK. Kiệt tác của ông thường được gọi là Bản đồ Scotland của Roy.

[16] consecutiveness

[17] [Xem Principia Mathematica, tập. ii. * 123.]

[18] progression

[19] infinitesimal

[20] [Chứng minh này đã lấy từ Cantor, với một vài đơn giản hóa: xem Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, i. (1892), tr. 77.]

[21] Kinematics động học - khác với Dynamics: động lực học

[22] multiplicative axiom: Russell (1904) recognizes AC as the multiplicative axiom: the product of arbitrary nonzero cardinal numbers is nonzero.

[23] well-ordered

[24] transfinitely hereditary: di truyền siêu hạn

[25] Ordinal transfinite arithmetic: Số học số thứ tự số lượng siêu hạn