Russell – Đưa vào Triết học Toán học (05)

Đưa vào Triết học Toán học

(Introduction to Mathematical Philosophy)

 Bertrand Russell 

(←...tiếp theo)

 

CHƯƠNG XIII:

 

Tiên Đề của Vô Hạn và những Loại Lôgích

 

Tiên đề của vô hạn là một giả định vốn có thể được nói ra như sau: −

“Nếu n là bất kỳ số đếm quy nạp nào, thì có ít nhất một lớp của những cá thể [1] có n những số hạng”.

 

Nếu điều này là đúng, dĩ nhiên, nó theo đến rằng có rất nhiều những lớp của những cá thể có n những số hạng, và rằng số tổng số của những cá thể trong thế giới không là một số quy nạp. Vì theo tiên đề, có ít nhất một lớp có n + 1 số hạng, từ đó dẫn đến theo sau rằng có nhiều những lớp gồm n những số hạng và n thì không là con số của những cá thể trong thế giới. Vì n là bất kỳ số quy nạp nào, dẫn đến số của những cá thể trong thế giới phải (nếu tiên đề của chúng ta là đúng) vượt quá bất kỳ số quy nạp nào. Theo quan điểm của những gì chúng ta đã tìm thấy trong chương trước, về việc có thể xảy ra của những số đếm vốn chúng không quy nạp cũng không phản xạ, chúng ta không thể suy ra từ tiên đề của chúng ta rằng có ít nhất ℵ₀ những cá thể, trừ khi chúng ta giả định tiên đề nhân. Nhưng chúng ta có biết rằng có ít nhất ℵ₀ những lớp của những lớp, vì những số đếm quy nạp là những lớp của những lớp và tạo thành một cấp số nếu tiên đề của chúng ta là đúng.

 

Cách trong đó nhu cầu cho tiên đề này phát sịnh có thể được giải thích như sau. Một trong những giả định của Peano là không có hai số đếm quy nạp nào có cùng số tiếp sau, tức là chúng ta sẽ không có m + 1 = n + 1 trừ khi m = n, nếu m và n đều là những số đếm quy nạp. Trong Chương VIII. chúng ta đã có dịp dùng những gì hầu như giống cùng một với giả định ở trên của Peano, cụ thể là, nếu n là một số đếm quy nạp, n thì không bằng n + 1. Có thể nghĩ rằng điều này có thể được chứng minh. Chúng ta có thể chứng minh rằng, nếu α là một lớp quy nạp và n là số của những phần tử của α, thì n không bằng n + 1. Mệnh đề này thì dễ dàng được chứng minh bằng quy nạp, và có thể được nói là hàm ý mệnh đề kia. Nhưng thực ra thì không, vì có thể không có lớp nào như α. Những gì nó hàm ý là: Nếu n là một số đếm quy nạp, sao cho có ít nhất một lớp có n phần tử, thì n không bằng n + 1. Tiên đề vô hạn bảo đảm với chúng ta (dù nó đúng hay sai) rằng có những lớp có n những phần tử, và thế nên cho chúng ta khả năng để khẳng định rằng n thì không bằng n + 1. Nhưng nếu không có tiên đề này, chúng ta sẽ bị bỏ lại với sự có thể rằng n và n + 1 có thể đều là lớp-rỗng.

 

Chúng ta hãy minh họa sự có thể này bằng một thí dụ: Giả sử có đúng chín cá thể trong thế giới. (Về phần ý nghĩa của từ “cá thể”, tôi phải đòi hỏi người đọc hãy kiên nhẫn). Sau đó, những số đếm quy nạp từ 0 lên đến 9 sẽ giống như chúng ta mong đợi, nhưng 10 (được định nghĩa là 9 + 1) sẽ là lớp-rỗng. Cần nhớ rằng n + 1 có thể được định nghĩa như sau: n + 1 là sưu tập của tất cả những lớp vốn có một số hạng x sao cho khi lấy đi x thì vẫn còn lại một lớp gồm n những số hạng. Bây giờ áp dụng định nghĩa này, chúng ta thấy rằng, trong trường hợp đã giả định, 9 + 1 là một lớp không gồm những lớp, tức là nó là lớp-rỗng. Điều tương tự cũng đúng với 9 + 2, hay trong tổng quát với 9 + n, trừ khi n bằng 0. Thế nên, 10 và tất cả những số đếm quy nạp tiếp theo sẽ giống hệt nhau, vì tất cả chúng sẽ là lớp-rỗng. Trong trường hợp như vậy, những số đếm quy nạp sẽ không tạo thành một cấp số, cũng không đúng là không có hai số đếm nào có cùng tiếp sau, vì 9 và 10 đều sẽ được kế tiếp bởi lớp-rỗng (10 thì tựnó là lớp-rỗng). Đó là để ngăn chặn những thảm họa số học như vậy, chúng ta cần có tiên đề của vô hạn.

 

Thực ra, miễn là chừng nào chúng ta hài lòng với số học của những số nguyên hữu hạn và không đưa vào những số nguyên vô hạn hay những lớp vô hạn hay những chuỗi của những số nguyên hay tỉ số hữu hạn, thì có thể thu được tất cả những kết quả mong muốn không cần tiên đề của vô hạn. Nghĩa là, chúng ta có thể giải quyết phép cộng, phép nhân và phép lũy thừa của những số nguyên hay những tỉ số hữu hạn, nhưng chúng ta không thể giải quyết với số nguyên vô hạn hay với số vô tỉ. Thế nên, lý thuyết của siêu hạn và lý thuyết của những số thực làm chúng ta thất vọng. Những kết quả khác nhau này xảy ra thế nào thế nào bây giờ phải được giải thích.

 

Giả định rằng số của những cá thể trong thế giới là n thì số của những lớp của những lớp cá thể của những lớp sẽ là 2^n. Điều này là kết quả của mệnh đề tổng quát đã nhắc trong Chương VIII. rằng số của những lớp chứa trong một lớp vốn có n phần tử là 2^n. Bây giờ 2^n. luôn lớn hơn n. Thế nên số của những lớp trong thế giới thì lớn hơn số của những cá thể. Nếu bây giờ, chúng ta giả định số lượng cá thể là 9, như chúng ta đã làm vừa rồi, số lớp sẽ là 2⁹, tức là 512. Vì vậy, nếu chúng ta lấy những số của chúng ta như được áp dụng cho việc đếm những lớp thay vì đếm của những cá thể, số học của chúng ta sẽ bình thường cho đến khi chúng ta đạt đến 512: số đầu tiên là rỗng sẽ là 513. Và nếu chúng ta tiến lên những lớp của những lớp, chúng ta sẽ vẫn làm được tốt hơn: số chúng sẽ là 2^512, một con số quá lớn như vậy khiến tưởng tượng phải chao đảo, vì nó có khoảng 153 con số. Và nếu chúng ta tiến tới những lớp của những lớp của những lớp, chúng ta sẽ nhận được một số biểu thị bằng 2 được nâng lên một lũy thừa có khoảng 153 con số; số con số trong con số này sẽ gấp ba lần 10 ¹⁵². Trong thời đang thiếu giấy, chúng ta tốt hơn là không nên thử viết con số này ra, và nếu chúng ta muốn những con số lớn hơn, chúng ta có thể lấy được chúng bằng cách đi xa hơn dọc theo hệ phân cấp lôgích. Trong cách này, bất kỳ số đếm quy nạp nào có thể được làm để tìm vị trí của nó giữa những con số vốn đều không rỗng, chỉ đơn giản bằng việc di chuyển dọc theo hệ phân cấp trong một khoảng cách vừa đủ.[2]

 

Về phần những tỉ số, chúng ta có một tình trạng rất tương tự của sự việc. Nếu một tỉ số μ / ν là để có những thuộc tính mong đợi, ở đó phải có đủ những đối tượng của bất kỳ loại gì để được đếm để bảo đảm rằng lớp-rỗng không đột nhiên chèn ép chính nó. Nhưng điều này có thể được bảo đảm, với bất kỳ tỉ số μ / ν đem cho nào, với không có tiên đề vô hạn, chỉ bằng việc đi dọc lên hệ phân cấp một khoảng cách vừa đủ. Nếu chúng ta không thể thành công bằng việc đếm những cá thể, chúng ta có thể gắng thử đếm những lớp của những cá thể; nếu chúng ta vẫn không thành công, chúng ta có thể thử những lớp của những lớp, v.v. Cuối cùng, tuy nhiên ở đó có thể có một ít những cá thể trong thế giới, chúng ta sẽ đạt đến một giai đoạn ở đó có nhiều hơn μ những vật thể, cho dù số Quy nạp μ có thể là gì. Ngay cả khi không có cá thể nào, điều này vẫn đúng, vì ở đó, khi đó sẽ là một lớp, cụ thể là, lớp-rỗng, 2 lớp của những lớp (đó là lớp-rỗng của những lớp và lớp có phần tử duy nhất là lớp vô rỗng của những cá thể), 4 lớp của những lớp của những lớp, 16 ở giai đoạn tiếp theo, 65.536 ở giai đoạn tiếp theo, v.v. Thế nên, không giả định nào loại như tiên đề của vô hạn thì cần thiết đê đạt đến bất kỳ tỉ số nhất định nào hay bất kỳ số đếm quy nạp đã cho nào.

 

Đó là khi chúng ta muốn giải quyết lớp toàn bộ hay một chuỗi những số đếm quy nạp hay những tỉ số khiến đòi hỏi phải có tiên đề. Chúng ta cần lớp toàn bộ của những lớp số đếm quy nạp để thiết lập sự hiện hữu của ℵ₀ và chuỗi toàn bộ để thiết lập sự hiện hữu của những cấp số: với những kết quả này, là điều cần thiết rằng chúng ta sẽ có khả năng để tạo một lớp duy nhất hay chuỗi trong đó vốn không có số đếm quy nạp nào rỗng. Chúng ta cần chuỗi toàn bộ của những tỉ số theo thứ bậc của độ lớn để định nghĩa những số thực như những phân đoạn: định nghĩa này sẽ không cho kết quả mong muốn trừ khi chuỗi của những tỉ số là dày đặc, điều này không thể có nếu tổng số tỉ số, ở giai đoạn có liên quan, là hữu hạn.

 

Sẽ là tự nhiên để giả định – như chính tôi đã giả định trước đây – rằng, với phương tiện của những xây dựng loại như chúng ta đã vừa đã xem xét, tiên đề của vô hạn có thể là chứng minh được. Điều đã có thể nói: Chúng ta hãy giả định rằng số của những cá thể là n, trong đó n có thể là 0 nhưng không làm hỏng lập luận của chúng ta; sau đó nếu chúng ta tạo thành đầy đủ set của những cá thể, những lớp, những lớp của những lớp, v.v., tất cả chung với nhau, số của những số hạng trong set toàn bộ của chúng ta sẽ là

 

n + 2ⁿ + 2²n … ad inf.,

 

vốn là ℵ₀. Thế nên, lấy tất cả loại của những đối tượng với nhau, và đừng tự giam chúng ta vào những đối tượng của một bất kỳ loại nào, chúng ta sẽ chắc chắn có được một lớp vô hạn, và do đó sẽ không cần tiên đề của vô hạn. Như thế là điều có thể nói.

 

Bây giờ, trước khi đi vào trong lập luận này, điều đầu tiên để quan sát là có một vẻ của mánh khóe gạt gẫm về nó: một gì đó gợi người ta nhớ lại về người làm trò, người lấy ra mọi thứ từ cái mũ. Người đã cho người làm trò mượn mũ của mình thì rất chắc chắn rằng đã không có một con thỏ nào sống trước đó trong đó, nhưng ông bối rối không biết nói gì về việc con thỏ đã vào trong đó thế nào. Người đọc cũng thế, nếu người này có một ý thức phán đoán mạnh mẽ, sẽ cảm thấy bị thuyết phục rằng là điều không thể để tạo ra một sưu tập vô hạn từ một sưu tập hữu hạn của những cá thể, dù người này có thể không có khả năng để nói sai sót thì ở chỗ nào trong xây dựng trên. Sẽ là một sai lầm nếu đặt quá nhiều nhấn mạnh vào những cảm tưởng của mánh khóe gạt gẫm như vậy; giống như những cảm xúc khác, chúng có thể dễ dàng dẫn chúng ta đi lạc. Nhưng chúng đem cho một nền tảng trên ấn tượng đầu tiên để xem xét kỹ lưỡng bất kỳ lập luận nào vốn khởi dậy chúng. Và khi những lập luận trên được xem xét kỹ lưỡng, theo ý kiến của tôi, nó sẽ được tìm thấy là sai lầm, dù sai lầm là một sai lầm tinh vi khó thấy và không có cách dễ dàng nào để trước sau có thể tránh được.

 

Sai lầm liên quan là sai lầm có thể gọi là “nhầm lẫn về những loại”. Để giải thích đề tài về “loại” một cách đầy đủ sẽ cần cả một quyển sách; thêm nữa, mục đích của quyển sách này là để tránh những phần đó của đề tài vẫn còn mù mờ khó hiểu và còn tranh luận, sau khi cô lập, cho sự tiện lợi của những người bắt đầu, những phần đó có thể được chấp nhận như hiện thân của những sự đúng thực chắc chắn về mặt toán học. Hiện giờ, lý thuyết của những loại rõ ràng không thuộc về phần hoàn chỉnh và phần đề tài nhất định của chúng ta: phần lớn lý thuyết này vẫn còn phôi thai, rối rắm và tối tăm không rõ. Nhưng nhu cầu của của một số lý thuyết của những loại nào đó thì ít hoài nghi hơn so với hình thức chính xác vốn học thuyết sẽ nhận lấy; và trong qun hệ với tiên đề của vô hạn, đặc biệt là dễ dàng để thấy sự cần thiết của một số học thuyết loại như vậy.

 

Sự cần thiết này, thí dụ, kết quả từ “sự mâu thuẫn của số đếm lớn nhất”. Chúng ta đã thấy trong Chương VIII. rằng số của những lớp chứa trong một lớp nhất định thì luôn luôn lớn hơn số của những phần tử của lớp đó và chúng ta đã suy ra rằng không có số đếm lớn nhất. Nhưng nếu chúng ta có thể, như chúng ta đã nêu lên vừa mới trước đây, cộng với nhau vào thành một lớp những cá thể, những lớp của những cá thể, những lớp của những lớp của những cá thể, v.v., chúng ta sẽ có được một lớp vốn những lớp-con của nó sẽ là những phần tử. Lớp gồm tất cả những đối tượng có thể đếm được, thuộc bất kỳ loại nào, nếu có một lớp như vậy, phải có một số đếm vốn là lớn nhất có thể có được. Vì tất cả những lớp-con của nó sẽ là của những phần tử của nó, không thể có chúng nhiều hơn những phần tử. Thế nên, chúng ta đi đến một mâu thuẫn.

 

Khi tôi đầu tiên gặp mâu thuẫn này, trong năm 1901, tôi đã cố gắng để tìm một số thiếu xót trong chứng minh của Cantor rằng không có số đếm lớn nhất, vốn chúng ta đã đem cho trong Chương VIII. Áp dụng chứng minh này với lớp được giả định là của tất cả những đối tượng có thể tưởng tượng, đã dẫn tôi đến một mâu thuẫn mới và đơn giản hơn, như sau: −

 

Lớp toàn diện chúng ta đang xem xét, nó là lớp bao gồm mọi sự vật việc, phải bao gồm chính nó như một của những phần tử của nó. Nói cách khác, nếu có một gì như “mọi sự vật việc”, thì “mọi sự vật việc” là một gì đó, và là một phần tử của lớp “mọi sự vật việc”. Nhưng thông thường một lớp thì không là một phần tử của chính nó. Thí dụ, loài người thì không là một người. Bây giờ hình thành sự thu thập [3] của tất cả những lớp vốn chúng không là những phần tử của chính chúng. Đây là một lớp: có phải nó là một phần tử của chính nó hay không? Nếu nó là, nó là một của những lớp đó vốn không là những phần tử của chính chúng, tức là, nó không là một phần tử của chính nó. Nếu nó không là, nó thì không là một của những lớp đó vốn không là những phần tử của chính chúng, tức là, nó là một phần tử của chính nó. Thế nên, trong số hai giả thuyết – rằng nó là, và nó không là, một phần tử của chính nó – mỗi giả thuyết đều hàm ý tính chất mâu thuẫn của nó. Đây là một sự mâu thuẫn.[4]

 

Không có khó khăn trong việc tạo những mâu thuẫn tương tự, tùy ý thích (ad lib.) Giải pháp của những mâu thuẫn như vậy bằng lý thuyết của những loại thì được đưa ra đầy đủ trong Principia Mathematica, [5] và ngắn gọn hơn nữa, trong những bài báo của tôi (tác giả này) trên American Journal of Mathematics [6] và trong Revue de Métaphysique et de Morale .[7] Cho lúc này, ở đây, một phác thảo của giải pháp phải là đủ.

 

Sai lầm gồm trong sự hình thành của những gì chúng ta có thể gọi là những lớp “không tinh thuần”, tức là những lớp vốn chúng không thuần túy như “loại”. Như chúng ta sẽ thấy trong một chương sau, những lớp là những hư cấu lôgích và một phát biểu vốn xuất hiện để nói về một lớp sẽ chỉ có ý nghĩa nếu nó có khả năng của giải thích truyền đạt sang một hình thức trong đó không nhắc đến là được làm bằng lớp [8]. Điều này đặt một hạn chế trên những cách trong đó những gì trên danh nghĩa, mặc dù không thực sự, là những tên gọi cho những lớp có thể xảy ra có ý nghĩa: một câu hay set của những ký hiệu trong đó những tên-giả [9] như vậy xảy ra trong những cách sai, nhưng không là sai, nhưng hoàn toàn thiếu ý nghĩa. Giả định rằng một lớp là, hay không là, một phần tử của chính nó thì vô nghĩa trong đúng cách này. Và tổng quát hơn, để giả định rằng một lớp của những cá thể là một phần tử, hay không là một phần tử, của một lớp của những cá thể khác thì sẽ được giả định là vô nghĩa; và để xây dựng tượng trưng bất kỳ lớp nào vốn có những phần tử đều không tất cả thuộc cùng một lớp trong hệ phân cấp lôgích là để dùng những ký hiệu trong một cách vốn làm chúng thôi không tượng trưng cho bất kỳ gì nữa.

 

Vì vậy, nếu có n cá thể trong thế giới và 2 ⁿ những lớp của những cá thể, chúng ta không thể hình thành một lớp mới, vừa gồm cả những cá thể và những lớp, và có n + 2 ⁿ những phần tử. Trong cách này, nỗ lực để thoát khỏi sự cần thiết của tiên đề của vô hạn bị phá vỡ. Tôi không tự cho đã giải thích học thuyết của những loại, hay làm được nhiều hơn như cho thấy, trong phác thảo sơ sài, tại sao là cần một học thuyết như vậy. Tôi đã nhắm vào việc chỉ nói nhiều đến đúng như thế, như đã đòi hỏi để cho thấy rằng chúng ta không thể chứng minh sự hiện hữu của những số và những lớp vô hạn bằng những phương pháp của người làm ảo thuật như vậy, như chúng ta đã xem xét. Tuy nhiên, vẫn còn một số những phương pháp có thể có được nhất định khác phải được cân nhắc suy nghĩ.

 

Những lập luận khác nhau để chứng minh sự hiện hữu của những lớp vô hạn được đem cho trong Principles of Mathematics, §339 (trang 357). Cho đến giờ, như những lập luận này giả định rằng, nếu n là một số thứ tự quy nạp, n thì không bằng n + 1, chúng đã được giải quyết. Có một lập luận, đã nêu trong một đoạn văn trong Parmenides của Plato [10], với hệ quả rằng, nếu có một số loại như 1, khi đó 1 có tồn tại; nhưng 1 thì không đồng nhất với tồn tại, và do đó, 1 và tồn tại là hai, và thế nên có một số loại như 2, và 2 cùng với 1 và tồn tại đem cho một lớp của ba số hạng, và tiếp tục như vậy. Lập luận này thì sai lầm, một phần vì “tồn tại” thì không là một từ ngữ có bất kỳ ý nghĩa xác định nào, và thêm nữa vì, nếu một ý nghĩa xác định đã được tạo ra cho nó, người ta sẽ thấy rằng những con số không có tồn tại – trong thực tế, chúng là những gì gọi là “những hư cấu lôgích”, như chúng ta sẽ thấy khi chúng ta đi đến xem xét định nghĩa của những lớp.[11]

 

Lập luận rằng số của những số từ 0 đến n (gồm cả hai) là n + 1 tùy thuộc trên giả định rằng có đến và gồm n, không có số nào bằng với số tiếp sau của nó, vốn như chúng ta đã thấy, sẽ không phải lúc nào cũng đúng nếu tiên đề của vô hạn là sai. Cần phải hiểu rằng phương trình n = n + 1, có thể đúng với một n hữu hạn nếu n vượt quá tổng số của những cá thể trong thế giới, thì hoàn toàn khác với phương trình tương tự được áp dụng cho một số phản xạ. Khi áp dụng cho một số phản xạ, điều đó có nghĩa là, đem cho một lớp gồm n những số hạng, lớp này “tương đương” với lớp có được bằng việc cộng thêm một số hạng khác. Nhưng khi áp dụng cho một con số quá lớn so với thế giới thực, nó chỉ đơn thuần có nghĩa là không có lớp của n những cá thể và không có lớp của n + 1 những cá thể; điều đó không có nghĩa là, nếu chúng ta đưa lên hệ phân cấp của những loại đủ xa để bảo đảm sự hiện hữu của một lớp gồm n những số hạng, thì chúng ta sẽ thấy lớp này “tương đương” với một của n + 1 những số hạng, vì nếu n là quy nạp thì điều này sẽ không là trường hợp xảy ra, hoàn toàn độc lập với sự đúng hay sai của tiên đề của vô hạn.

 

Có một lập luận cả Bolzano [12] và Dedekind [13] đã dùng để chứng minh sự hiện hữu của những lớp phản xạ. Lập luân, vắn tắt là thế này: Một đối tượng thì không đồng nhất với ý tưởng của đối tượng, nhưng có (ít nhất trong lĩnh vực của tồn tại) một ý tưởng của bất kỳ đối tượng nào. Quan hệ của một đối tượng với một ý tưởng của nó là một-một, và những ý tưởng chỉ là một số nào đó giữa những đối tượng. Thế nên, quan hệ “ý tưởng của” tạo thành một phản xạ của lớp toàn bộ của những đối tượng vào trong một phần của chính nó, đó là vào phần vốn gồm những ý tưởng. Theo đó, lớp của những đối tượng và lớp của những ý tưởng đều là vô hạn. Lập luận này thì thú vị đáng chú ý, không chỉ vì lý do của riêng nó, nhưng vì những sai lầm trong nó (hay những gì theo tôi là những sai lầm) đều thuộc một loại vốn nó có tính cần ghi nhận để học hỏi. Lỗi chính gồm trong việc giả định rằng có một ý tưởng của mọi đối tượng. Dĩ nhiên, là điều cực kỳ khó khăn để quyết định “ý tưởng” nghĩa là gì; nhưng chúng ta hãy giả định rằng chúng ta biết. Sau đó, chúng ta giả định, bắt đầu với Socrates (hãy nói thí dụ), rằng có ý tưởng của Socrates, và sau đó là ý tưởng của ý tưởng của Socrates, và tiếp tục như vậy mãi mãi tùy ý thích v.v. Rõ ràng đây thì không là trường hợp xảy ra trong ý hướng rằng tất cả những ý tưởng này đều thực có hiện hữu chứng nghiệm được trong não thức mọi người. Vượt quá lần thứ ba hay lần thứ tư, chúng trở thành hoang đường. Nếu lập luận là để được chủ trương, thì những “ý tưởng” đã chủ định phải là những ý tưởng theo Plato bắt buộc phải ở trên trời cao, vì chắc chắn chúng không có ở dưới đất. Nhưng sau đó nó ngay lập tức trở nên nghi ngờ – không biết có những ý tưởng như vậy hay không. Nếu chúng ta muốn biết rằng chúng có, nó phải dựa trên cơ sở của một số thuyết lôgích, chứng minh rằng nó là tất yếu cho một sự bật việc rằng tất có một ý tưởng của nó. Chúng ta chắc chắn không thể có được kết quả này theo kinh nghiệm, hay áp dụng nó, như Dedekind đã làm, cho “meine Gedankenwelt” – thế giới của những suy nghĩ của tôi.

 

Nếu chúng ta đã quan tâm để xem xét đầy đủ quan hệ của ý tưởng và đối tượng, chúng ta sẽ phải đi vào một số của những điều tra tâm lý và lôgích, vốn không liên quan với mục đích chính của chúng ta. Nhưng một ít những điểm thêm nữa cần lưu ý. Nếu “ý tưởng” là để hiểu trong ý hướng lôgích, nó có thể là đồng nhất với đối tượng, hay nó có thể đứng vào chỗ của một mô tả (theo nghĩa sẽ được giải thích trong chương tiếp theo). Trong trường hợp kể trước, lập luận thất bại, vì đó là thiết yếu với chứng minh của tính phản xạ rằng đối tượng và ý tưởng phải khác biệt. Trong trường hợp thứ hai, lập luận cũng thất bại, vì quan hệ của đối tượng và mô tả không là một-một; có vô số những mô tả đúng của bất kỳ đối tượng nhất định nào. Socrates (thí dụ) có thể được mô tả là “người thầy của Plato”, hay là “nhà triết học đã uống hemlock”, hay là “người chồng của Xantippe”. Nếu – để bắt đâu những giả thuyết còn lại – “ý tưởng” là để được giải thích về tâm lý học, nó phải được duy trì rằng không có bất kỳ một thực thể tâm lý xác định nào có thể gọi là cái ý tưởng của đối tượng: có vô số những tin tưởng và những thái độ, mỗi chúng có thể gọi là một ý tưởng về đối tượng trong ý hướng theo đó chúng ta có thể nói “ý tưởng của tôi về Socrates thì hầu như khác với ý tưởng của bạn”, nhưng không có bất kỳ thực thể trung tâm nào (ngoại trừ chính Socrates) để gắn kết với nhau “những ý tưởng của Socrates” khác nhau, và thế nên không có bất kỳ quan hệ một-một nào giữa ý tưởng và đối tượng như lập luận giả định. Dĩ nhiên, như chúng ta đã lưu ý, về tâm lý học, cũng không đúng rằng có những ý tưởng (tuy nhiên trong một nghĩa mở rộng) của hơn một tỉ lệ nhỏ của những sự vật việc trong thế giới. Vì tất cả những lý do này, phải bác bỏ.lập luận duy trì sự hiện hữu lôgích của những lớp phản xạ ở trên.

 

Có thể nghĩ rằng, bất cứ sự việc gì có thể được nói về những lập luận lôgích, những lập luận thực nghiệm có được từ không gian và thời gian, sự đa dạng của những màu sắc, v.v., là hầu như đủ để chứng minh sự hiện hữu thực của một số lượng vô hạn của những đặc thù cụ thể. Tôi không tin điều này. Chúng ta không có lý do gì ngoại trừ tiên kiến ​​vì đã tin vào sự mở rộng bao la vô hạn của không gian và thời gian, với bất kỳ mức độ nào trong ý hướng không gian và thời gian là sự kiện vật lý, không là những tưởng tượng toán học. Một cách tự nhiên, chúng ta coi không gian và thời gian như liên tục, hoặc, ít nhất, như cô đọng; nhưng điều này một lần nữa chủ yếu là tiên kiến. Lý thuyết “quanta” trong vật lý, dù đúng hay sai, đều minh họa sự kiện rằng vật lý có thể không bao giờ đủ khả năng chứng minh tính liên tục, dù nó có thể hào toàn có khả năng chứng minh là sai. Những giác quan đều không đủ chính xác để phân biệt giữa chuyển động liên tục và chuyển động rời rạc nhanh chóng, như bất kỳ ai cũng có thể tìm thấy trong một phim cinê. Một thế giới trong đó tất cả chuyển động gồm một chuỗi của những giật mạnh thình lình hữu hạn nhỏ sẽ là không thể phân biệt được theo kinh nghiệm với một trong đó chuyển động là liên tục. Sẽ chiếm quá nhiều không gian để bảo vệ thỏa đáng những luận điểm này; hiện tại tôi chỉ gợi ý chúng để người đọc xem xét. Nếu chúng hợp lệ, hậu quả sẽ là không có lý do thực nghiệm nào để tin rằng số của những vật thể cụ thể trong thế giới là vô hạn, và rằng không bao giờ có thể có; cũng hiện tại không có lý do thực nghiệm nào để tin rằng con số là hữu hạn, mặc dù về lý thuyết có thể tưởng tượng được rằng một ngày nào đó có thể có bằng chứng cho thấy, mặc dù không thể kết luận, trong hướng đó.

 

Từ sự kiện rằng vô hạn thì không tự mâu thuẫn, nhưng cũng không thể chứng minh được về mặt lôgích, chúng ta phải kết luận rằng không có gì có thể biết tiên nghiệm về phần không biết được số của những sự vật việc trong thế giới là hữu hạn hay vô hạn. Thế nên, kết luận là nói theo một câu diễn đạt theo-Leibniz, rằng một số nào đó của thế giới có thể có là hữu hạn, một số là vô hạn, và chúng ta không có cách nào để biết thế giới thực của chúng ta thuộc về loại nào trong hai loại này. Tiên đề của vô hạn sẽ đúng trong một số thế giới có thể có, và sai trong những thế giới khác; không biết điều đó là đúng hay sai trong thế giới này, chúng ta không thể nói.

 

Trong suốt chương này, những từ đồng nghĩa “cá thể” và “cá biệt” đã được dùng với không giải thích. Sẽ là điều không thể để giải thích chúng thỏa đáng với không có một điều tra công phu dài hơn về lý thuyết của những loại so với sẽ là thích ứng với công việc hiện tại, nhưng một vài từ trước khi chúng ta rời đề tài này có thể làm được một gì đó để giảm bớt sự tối nghĩa khó hiểu vốn nếu không sẽ bao phủ ý nghĩa của những từ này..

 

Trong một phát biểu thông thường, chúng ta có thể phân biệt một động từ, diễn tả một thuộc tính hay quan hệ, với những những danh từ vốn diễn tả chủ thể của thuộc tính hay những thuật ngữ của quan hệ. ”Cæsar đã sống” gán một thuộc tính cho Cæsar; ”Brutus đã giết Cæsar” diễn tả một quan hệ giữa Brutus và Cæsar. Dùng từ “chủ từ” trong một nghĩa tổng quát, chúng ta có thể gọi cả Brutus và Cæsar là những chủ từ của mệnh đề này: sự kiện rằng Brutus là chủ ngữ về ngữ pháp và Cæsar là bổ ngữ thì không liên quan về lôgích, vì cùng môt xảy ra có thể được diễn tả trong những từ “Cæsar đã bị giết bởi Brutus”, trong đó Cæsar là chủ ngữ về ngữ pháp. Vì vậy, trong loại mệnh đề đơn giản hơn, chúng ta sẽ có một thuộc tính hay quan hệ tiến hành giữa một, hai hay nhiều “chủ thể” trong nghĩa mở rộng. (Một quan hệ có thể có nhiều hơn hai thuật ngữ: thí dụ: “A cho B cho C” là một quan hệ của ba thuật ngữ). Bây giờ, thường xảy ra rằng, khi xem xét kỹ hơn, những chủ thể hiện ra đều được thấy là không thực sự là những chủ thể, nhưng là có khả năng của phân tích; tuy nhiên, kết quả duy nhất của điều này là những đối tượng mới chiếm vị trí của chúng. Nó cũng xảy ra rằng về mặt ngữ pháp động từ có thể được làm chủ ngữ: thí dụ như chúng ta có thể nói, “Giết là một quan hệ vốn tiến hành giữa Brutus và Cæsar”. Nhưng trong những trường hợp như vậy, ngữ pháp làm cho lạc lối, và trong một phát biểu không phức tạp, dễ hiểu, tuân theo những quy tắc vốn sẽ hướng dẫn ngữ pháp triết học, Brutus và Cæsar sẽ xuất hiện với tư thế như chủ ngữ và giết như động từ.

 

Chúng ta như thế đã dẫn đến khái niệm của những thuật ngữ, khi chúng xảy ra trong những mệnh đề, có thể chỉ xảy ra như những chủ thể, và không bao giờ trong bất kỳ cách nào khác. Đây là phần của định nghĩa học thuật kinh viện cổ của thực thể; nhưng sự bền bỉ qua thời gian, vốn đã thuộc về ý niệm đó, không tạo thành phần nào của ý niệm với nó chúng ta đã đang quan tâm. Chúng ta sẽ định nghĩa những “tên riêng” như những thuật ngữ vốn có thể chỉ xảy ra như những chủ ngữ trong những mệnh đề (dùng “chủ ngữ” theo nghĩa mở rộng vừa được giải thích). Chúng ta sẽ định nghĩa thêm hơn những “cá thể” hay những “cá biệt” như những đối tượng có thể được gọi tên bằng những tên gọi riêng. (Điều sẽ là tốt hơn để định nghĩa chúng trực tiếp, thay vì bằng phương tiện của loại những ký hiệu vốn chúng được ký hiệu hóa; nhưng để làm điều đó, chúng ta sẽ phải lao vào trong siêu hình học sâu hơn là được mong muốn ở đây). Dĩ nhiên điều là có thể rằng có một trở ngược bất tận [14]: rằng bất cứ gì xuất hiện như một cá thể khi được xem xét kỹ lưỡng hơn, thực sự là một lớp hay một loại phức tạp nào đó. Nếu đây là trường hợp xảy ra, tiên đề của vô hạn dĩ nhiên phải là đúng. Nhưng nếu không phải như vậy, về lý thuyết, điều phải là có thể được cho sự phân tích để đạt đến những chủ thể cuối cùng, và đó là những điều này vốn đem cho ý nghĩa của những “cá thể” hay những “cá biệt”. Đó là với con số của những điều này khiến tiên đề của vô hạn thì được giả định để áp dụng. Nếu nó đúng với chúng, thì nó là đúng với những lớp của chúng, và những lớp của những lớp của chúng, và vân vân.; tương tự nếu nó thì sai với chúng, nó thì sai suốt khắp hệ phân cấp này. Thế nên, điều là tự nhiên để nói ra tiên đề liên quan chúng hơn là liên quan bất kỳ giai đoạn nào khác trong hệ phân cấp. Nhưng không biết tiên đề là đúng hay sai, dường như không có phương pháp được biết nào để khám phá.

 

 

CHƯƠNG XIV

Không tương đồng và Lý Thuyết của Diễn dịch

 

Bây giờ chúng ta đã thăm dò, có phần nào vội vàng, đó là đúng, rằng phần của triết học toán học vốn không đòi hỏi một khảo sát phê phán của ý tưởng của lớp. Tuy nhiên, trong chương trước, chúng ta đã thấy chính chúng ta đã đối mặt với những vấn đề vốn làm một khảo sát loại như vậy là quyết định thiết yếu. Trước khi chúng ta có thể bắt đầu nó, chúng ta phải xem xét một số những phần khác của triết học toán học, vốn cho đến lúc này chúng ta đã làm ngơ. Trong một giải quyết tổng hợp, những phần vốn bây giờ chúng ta sẽ quan tâm đi đến đầu tiên: chúng là nền tảng hơn bất cứ gì vốn chúng ta đã thảo luận cho đến giờ. Ba đề tài sẽ bận tâm chúng ta trước khi chúng ta đạt đến lý thuyết của những lớp, đó là: (1) lý thuyết của diễn dịch, (2) những hàm số mệnh đề, (3) những mô tả. Trong số này, đề tài thứ ba thì không được giả định trước về lôgích trong lý thuyết của những lớp, nhưng nó là một thí dụ đơn giản hơn của loại của lý thuyết vốn là đã cần thiết trong việc giải quyết với những lớp. Đó là đề tài đầu tiên, lý thuyết về diễn dịch, vốn sẽ là bận tâm của chúng ta trong chương này.

 

Toán học là một khoa học diễn dịch: sau khi bắt đầu từ một số những tiền đề nhất định, bằng một tiến trình nghiêm nhặt của phép diễn dịch, nó đi đến những định lý khác loại vốn cấu tạo nó. Điều là đúng rằng, trong quá khứ, những diễn dịch toán học đã thường thiếu vắng rất lớn trong sự cực kỳ kỹ lưỡng chính xác toàn diện; điều cũng là đúng rằng cực kỳ kỹ lưỡng chính xác toàn diện toàn hảo là một lý tưởng hiếm có thể đạt được. Dẫu vậy, cho đến chừng nào cực kỳ kỹ lưỡng chính xác toàn diện thì thiếu vắng trong một chứng minh toán học, chứng minh thì thiếu xót; cố gắng thuyết phục rằng phán đoán thực tiễn thông thường cho thấy kết quả là chính xác thì không là biện hộ, vì nếu chúng ta đã dựa trên đó, sẽ là tốt hơn để hoàn toàn buông bỏ lập luận, thay vì mang ngụy luận đến cữu vãn cho phán đoán thực tiễn thông thường. Không kêu gọi nào với phán đoán thực tiễn thông thường, hay “trực giác”, hay bất cứ gì ngoại trừ diễn dịch lôgích nghiêm ngặt, phải đã nên là cần thiết trong toán học sau khi những tiền đề đã được đặt định.

 

Kant, sau khi đã quan sát rằng những nhà hình học của thời ông đã không thể chứng minh những định lý của họ, bởi lập luận không có hỗ trợ, nhưng đã đòi hỏi một kêu gọi đến hình vẽ, đã phát minh một lý thuyết của lý luận toán học vốn với nó sự suy luận thì không bao giờ nghiêm ngặt lôgích, nhưng luôn luôn đòi hỏi sự hỗ trợ của những gì gọi là “trực giác”. Toàn bộ khuynh hướng của toán học thời nay, với sự theo đuổi sự kỹ lưỡng chính xác toàn diện ngày càng tăng của nó, đã là chống lại thuyết theo-Kant này. Những điều trong toán học của thời Kant vốn không thể được chứng minh, không thể biết được – thí dụ, tiên đề của những đường song song. Những gì có thể biết được, trong toán học và bằng những phương pháp toán học, là những gì có thể được diễn dịch từ lôgích thuần túy. Những gì khác thì thuộc về tri thức con người phải được xác định chắc chắn – thực nghiệm, qua những tri giác, hay qua kinh nghiệm trong một dạng nào đó, nhưng không tiên nghiệm. Những nền đứng chắc chắn cho luận điểm này tìm thấy trong Principia Mathematica, passim; một biện hộ gây bất đồng ý kiến của nó đã đem cho trong Principles of Mathematics. Ở đây, chúng ta không thể làm gì hơn ngoài việc dẫn chỉ người đọc đến những tác phẩm đó, vì đề tài này quá rộng lớn cho sự giải quyết vội vàng. Trong khi đó, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả toán học là diễn dịch, và tiến hành để tìm hiểu về phần bao gồm trong diễn dịch là gì.

 

Trong diễn dịch, chúng ta có một hay nhiều những mệnh đề gọi là những tiền đề, từ đó chúng ta suy ra một mệnh đề gọi là kết luận. Cho những mục đích của chúng ta, sẽ là tiện lợi, khi có nhiều những tiền đề khởi đầu, để hợp chung chúng vào trong một mệnh đề duy nhất, như thế để có thể nói về điều giả thiết cũng như điều kết luận [15]. Như thế, chúng ta có thể nhìn diễn dịch như một tiến trình qua đó chúng ta chuyển từ kiến ​​thức của một mệnh đề nhất định nào đó, điều giả thiết, đến kiến ​​thức của một mệnh đề nhất định nào đó khác, điều kết luận. Nhưng chúng ta sẽ không coi một tiến trình như vậy như diễn dịch lôgích trừ khi nó thì đúng, tức là trừ khi có một quan hệ loại như thế giữa giả thiết và kết luận, khiến chúng ta có một quyền (hay được phép) để tin kết luận, nếu chúng ta biết giả thiết là đúng. Đó là quan hệ này vốn chính yếu là quan tâm trong thuyết lôgích của diễn dịch.

 

Ngõ hầu để có khả năng hợp lệ để suy ra sự đúng thực của một mệnh đề [16], chúng ta phải biết rằng một số mệnh đề khác nào đó thì đúng, và rằng có giữa hai mệnh đề một quan hệ thuộc loại gọi là “sự hàm ý”, tức là (như chúng ta nói) giả thiết “ngầm chứa” kết luận. (Chúng ta sẽ sớm định nghĩa quan hệ này). Hay chúng ta có thể biết rằng một mệnh đề khác nhất định nào đó thì sai và rằng có một quan hệ giữa hai mệnh đề thuộc loại gọi là “sự không-kết hợp” [17], được biểu thị bằng “p hay q”, [18] như thế khiến sự hiểu biết rằng một này thì sai cho phép chúng ta suy ra rằng một kia thì đúng. Lại nữa, những gì chúng ta muốn để suy diễn có thể là sự sai lầm của một số mệnh đề, không phải sự đúng thực của nó. Điều này có thể được suy ra từ sự đúng thực của một mệnh đề khác, miễn là chúng ta biết rằng hai mệnh đề này “không tương đương”, tức là nếu một thì đúng, một kia thì sai. Nó cũng có thể được suy ra từ sự sai lầm của một mệnh đề khác, đúng như trong cùng những trường hợp tương tự, trong đó sự đúng thực của một kia có thể được suy ra từ đúng thực của một này; tức là từ sự sai lầm của p, chúng ta có thể suy ra sự sai lầm của q, khi q hàm ý p. Tất cả bốn này đều là những trường hợp của diễn dịch. Khi đầu óc chúng ta đã gắn chặt vào diễn dịch, là điều như tự nhiên để lấy “hàm ý” như quan hệ nền tảng nguyên thủy, vì đây là quan hệ phải giữ giá trị giữa p và q, nếu chúng ta có thể suy ra sự đúng thực của q từ sự đúng thực của p. Nhưng vì những lý do kỹ thuật, đây không là ý tưởng nguyên thủy tốt nhất để lựa chọn. Trước khi tiếp tục với những ý tưởng và định nghĩa nguyên thủy, chúng ta hãy xem xét thêm những hàm số khác nhau của những mệnh đề được những quan hệ của những mệnh đề đã nhắc ở trên nêu lên.

 

Đơn giản nhất của những hàm số mênh đề như vậy là sự phủ định, “không-p”. Đây là hàm số đó của p, vốn là đúng khi p thì sai và là sai khi p thì đúng. Là điều thuận tiện để nói về sự đúng thực của một mệnh đề, hay sự sai lầm của nó, như “giá trị-đúng thực” của nó; tức là sự đúng thực là “giá trị-đúng thực” [19] của một mệnh đề đúng, và sự sai lầm của một mệnh đề sai. Thế nên, không-p có giá trị-đúng thực ngược lại với p.

 

Chúng ta tiếp theo có thể nói sự không-kết hợp, “p hay q”. Đây là một hàm số có giá trị-đúng thực là đúng thực khi p thì đúng và cũng khi q thì đúng, nhưng là sai lầm khi cả p và q đều là sai.

 

Tiếp, chúng ta có thể nói sự kết hợp, “p và q”. Điều này có đúng thực cho giá trị đúng-thực của nó, khi p và q đều đúng; nếu không thì nó có sự sai lầm cho giá trị đúng-thực của nó.

 

Tiếp theo là sự không-tương hợp, tức là “p và q đều không đúng”. Đây là sự phủ định của sự kết hợp; nó cũng là sự không kết hợp của những phủ định của p và q, tức là nó là “không-p hay không-q”. Giá trị đúng-thực của nó là đúng khi p sai và tương tự như vậy khi q sai; Giá trị đúng-thực của nó là sự sai lầm khi p và q đều đúng.

 

Cuối cùng, nói sự hàm ý, tức là “p hàm ý q” hay “nếu p, thì q”. Điều này được hiểu theo nghĩa rộng nhất sẽ cho chúng ta có khả năng suy ra sự đúng thực của q nếu chúng ta biết sự đúng thực của p. Vì vậy, chúng ta giải thích nó như có nghĩa là: “Trừ khi p thì sai, q thì đúng”, hay “hoặc p thì sai hay q thì đúng”. (Sự kiện rằng “hàm ý” có thể có những nghĩa khác không làm chúng ta bận tâm; đây là nghĩa vốn thuận tiện cho chúng ta). Có nghĩa là, “p hàm ý q” thì có nghĩa là “không-p hay q”: giá trị đúng-thực của nó là đúng thực nếu p thì sai, tương tự như vậy nếu q thì đúng, và là sai nếu p thì đúng và q thì sai.

 

Thế nên, chúng ta có năm hàm số: phủ định, không-kết hợp, kết hợp, không-tương hợp và hàm ý. Chúng ta có thể thêm những hàm số khác, thí dụ, nối kết sự sai lầm, “không-p và không-q”, nhưng năm hàm số trên là đủ. Phủ định khác với bốn hàm số còn lại ở chỗ là một hàm số của một mệnh đề, trong khi những hàm số kia là hàm số của hai mệnh đề. Nhưng cả năm đều gặp nhau ở điểm này, rằng giá trị đúng-thực của chúng chỉ tùy thuộc trên giá trị của những mệnh đề vốn là những luận chứng của chúng. Đem cho sự đúng thực hay sai lầm của p, hay của p và q (tùy từng trường hợp), chúng ta được cho sư đúng thực hay sai lầm của phủ định, không-kết hợp, kết hợp, không-tương hợp và hàm ý. Một hàm số của những mệnh đề vốn có thuộc tính này gọi là một “hàm số-đúng thực”.[20]

 

Toàn bộ ý nghĩa của một hàm số-đúng thực được đem dùng hết bởi phát biểu của những trường hợp trong đó nó thì đúng hay sai. ”Không-p”, lấy thí dụ, thì đơn giản rằng hàm số của p, vốn nó là đúng khi p thì sai và sai khi p thì đúng: không có ý nghĩa nào thêm vào đê gán cho nó. Cũng tương tự, áp dụng cho “p hay q” và những gì còn lại. Theo đó, hai hàm số-đúng thực có cùng giá trị đúng-thực cho tất cả những giá trị của luận chứng là không thể phân biệt được. Thí dụ, “p và q” là phủ định của “không-p hay không-q” và ngược lại; thế nên một trong hai này có thể được định nghĩa là phủ định của một kia. Không có ý nghĩa khác hơn nào trong một hàm số-đúng thực trên và cao hơn những điều kiện vốn trong đó nó thì đúng hay sai.

 

Rõ ràng rằng năm hàm số-đúng thực ở trên đều tất cả không độc lập. Chúng ta có thể định nghĩa một số chúng trong những điều kiện của những số khác. Không có khó khăn lớn trong việc giảm số lượng xuống còn hai; hai được chọn trong Principia Mathematica là phủ định và không kết hợp. Hàm ý sau đó được định nghĩa như “không-p hay q”; không-tương hợp như “không-p hay không-q”; kết hợp như sự phủ định của sự không-tương hợp. Nhưng Sheffer [21] đã cho thấy rằng chúng ta có thể hài lòng với một ý tưởng nguyên thủy cho cả năm, và nhờ Nicod [22] khiến điều này cho chúng ta có khả năng để giảm những mệnh đề nguyên thủy cần có trong lý thuyết diễn dịch thành hai nguyên tắc không-chính thức và một nguyên tắc chính thức. Cho mục đích này, chúng ta có thể chọn như một nguyên tắc không định nghĩa được của chúng ta, hoặc là không tương hợp, hoặc là kết hợp sai lầm. Chúng ta sẽ chọn nguyên tắc trước.

 

Ý tưởng nguyên thủy của chúng ta, bây giờ, là một hàm số-đúng thực nhất định nào đó gọi là “không-tương hợp”, vốn chúng ta sẽ ký hiệu bằng p / q. Phủ định có thể ngay lập tức được định nghĩa là sự không-tương hợp của một mệnh đề với chính nó, tức là “không-p” được định nghĩa như “p / p”. Không-kết hợp là sự không tương hợp của không-p và không-q, tức là nó là (p / p) | (q / q). Hàm ý là sự không tương hợp của p và không- q, tức là p | (q / q). Kết hợp là sự phủ định của sự không tương hợp, tức là nó là (p / q) | (p / q). Vì vậy, tất cả bốn àm số khác của chúng ta được định nghĩa trong những điều kiện của không tương hợp.

 

Hiển nhiên rằng không có giới hạn nào với việc tạo lập của những hàm số-đúng thực, hoặc bằng việc đưa vào nhiều luận chứng hơn hay bằng việc lập lại những luận chứng. Những gì chúng ta quan tâm là sự kết nối của đề tài này với sự diễn dịch.

 

Nếu chúng ta biết rằng p thì đúng và p bao hàm q, chúng ta có thể tiến hành để khẳng định q. Luôn luôn có một gì không thể tránh được trong tâm lý về sự diễn dịch: diễn dịch là một phương pháp qua đó chúng ta đi đến được một kiến ​​thức mới, và những gì thì không tâm lý về nó là quan hệ vốn cho phép chúng ta để diễn dịch một cách chính xác; nhưng đoạn đường thực sự từ khẳng định p đến khẳng định q là một tiến trình tâm lý, và chúng ta phải không tìm để trình bày nó trong những thuật ngữ thuần túy lôgích [23].

 

Trong thực hành toán học, khi chúng ta suy luận, chúng ta luôn luôn có một số biểu thức chứa những hàm số mệnh đề, lấy thí dụ như p và q, vốn được biết, nhờ vào dạng thức của nó, để là đúng cho mọi giá trị của p và q; chúng ta cũng có một số biểu thức khác, phần của biểu thức trước, cũng được biết là đúng cho mọi giá trị của p và q; và nhờ những nguyên tắc của suy luận, chúng ta có khả năng để loại bỏ phần này của biểu thức ban đầu của chúng ta, và khẳng định những gì còn lại. Giải thích có phần nào trừu tượng này có thể được làm rõ ràng hơn bằng một ít thí dụ.

 

Hãy giả định rằng chúng ta biết năm nguyên tắc chính thức của diễn dịch đã liệt kê trong Principia Mathematica. (M. Nicod đã thu gọn những mệnh đề này thành một, nhưng vì nó là một mệnh đề phức tạp, chúng ta sẽ bắt đầu với năm mệnh đề). Năm mệnh đề này như sau: −

 

(1) “p hay p” hàm ý p – tức là, nếu p đúng hay p đúng, thì p đúng.

 

(2) q hàm ý “p hay q” – tức là, không-kết hợp “p hay q” là đúng khi một trong những lựa chọn thay thế của nó thì đúng.

 

(3) “p hay q” hàm ý “q hay p”. Điều này sẽ không bị đòi hỏi nếu chúng ta có một hệ ký hiệu toàn hảo hơn về lý thuyết, vì trong khái niệm của sự không-kết hợp, không có thứ bậc liên quan nào, như thế khiến “p hay q” và “q hay p” sẽ là đồng nhất. Nhưng vì những ký hiệu của chúng ta, trong bất kỳ hình thức thuận tiện nào, không thể tránh khỏi giới thiệu một thứ bậc, nên chúng ta cần những giả định thích hợp cho việc thấy rằng thứ bậc thì không liên quan.

 

(4) Nếu hoặc p thì đúng hoặc “q hay r” thì đúng, sau đó hoặc q thì đúng hoặc “p hay r” thì đúng. (Sự xoắn vặn trong mệnh đề này dung để tăng khả năng diễn dịch của nó).

 

(5) Nếu q hàm ý r, thì “p hay q” hàm ý “p hay r”.

 

Đây là những nguyên tắc chính thức của diễn dịch đã dùng trong Principia Mathematica. Một nguyên tắc chính thức của diễn dịch có hai cách dùng, và đó là để làm điều này rõ ràng, khiến chúng ta đã dẫn kể năm mệnh đề trên. Nó có một cách dùng như giả thiết của một suy luận và một một cách dùng như việc thiết lập sự kiện rằng giả thiết hàm ý kết luận. Trong biểu đồ của một suy luận, chúng ta có một mệnh đề p, và một mệnh đề “p hàm ý q”, từ đó chúng ta suy ra q. Bây giờ khi chúng ta quan tâm đến những nguyên tắc của diễn dịch, bộ máy những mệnh đề nguyên thủy của chúng ta phải mang lại cả p và “p hàm ý q” của những suy luận của chúng ta. Đó là nói rằng, những nguyên tắc của diễn dịch của chúng ta đều được dùng, không chỉ như những nguyên tắc,vốn là cách dùng của chúng cho việc thiết lập “p hàm ý q”, nhưng cũng như những giả thiết giả thiết vững chãi có thực chất, tức là, như p của biểu đồ của chúng ta. Giả sử, lấy thí dụ, chúng ta muốn chứng minh rằng nếu p hàm ý q, sau đó nếu q hàm ý r thì theo đó p hàm ý r. Ở đây, chúng ta có một quan hệ của ba mệnh đề vốn phát biểu những hàm ý. Đặt

 

p ₁ = p hàm ý q, p ₂ = q hàm ý r, và p ₃ = p hàm ý r.

 

Sau đó, chúng ta phải chứng minh rằng p ₁ hàm ý rằng p ₂ hàm ý p ₃. Bây giờ lấy nguyên tắc thứ năm của những nguyên tắc ở trên của chúng ta, thay thế không-p cho p, và nhớ rằng “không-p hay q” theo định nghĩa cũng giống như một như “p hàm ý q”. Thế nên, nguyên tắc thứ năm của chúng ta mang lại:

 

“Nếu q hàm ý r, thì ‘p hàm ý q’ hàm ý ‘p hàm ý r’”, tức là “p ₂ hàm ý rằng p ₁ hàm ý p ₃”. Gọi mệnh đề này là A.

 

Nhưng nguyên tắc thứ tư của chúng ta, khi chúng ta thay thế không-p, không-q, cho p và q, và nhớ rằng định nghĩa của hàm ý, sẽ trở thành:

 

“Nếu p hàm ý rằng q hàm ý r, thì q hàm ý rằng p hàm ý r”.

 

Viết p ₂ vào vị trí của p, p ₁ vào vị trí của q, và p ₃ vào vị trí của r, điều này trở thành:

 

“Nếu p ₂ hàm ý rằng p ₁ hàm ý p ₃, thì p1 hàm ý rằng p ₂ hàm ý p ₃”. Gọi đây là B.

 

Bây giờ chúng ta đã chứng minh bằng nguyên tắc thứ năm rằng

 

“p ₂ hàm ý rằng p ₁ hàm ý p ₃”, chúng ta gọi là A.

 

Như thế, chúng ta có ở đây một thí dụ của biểu đồ của suy luận, vì A đại diện cho p của biểu đồ của chúng ta, và B đại diện cho “p hàm ý q”. Thế nên, chúng ta đi đến q, cụ thể là,

 

“p ₁ hàm ý rằng p ₂ hàm ý p ₃”,

 

vốn đó đã là mệnh đề để được chứng minh. Trong chứng minh này, sự thích nghi của của nguyên tắc thứ năm của chúng ta, vốn đem cho A, xảy ra như một giả thiết vững chãi có thực chất; trong khi sự thích nghi của nguyên tắc thứ tư của chúng ta, vốn đem cho B, được dùng để đem cho dạng của sự suy luận. Những cách dùng chính thức và cụ thể của những giả thiết trong lý thuyết diễn dịch đều xoắn cuộn chặt chẽ với nhau, và việc giữ cho chúng tách biệt thì không quan trọng lắm, miễn là chúng ta nhìn nhận rằng về lý thuyết chúng đều khác nhau.

 

Phương pháp sớm nhất để đi đến những kết quả mới từ một giả thiết là một phương pháp vốn đã được minh họa trong diễn dịch ở trên, nhưng bản thân nó khó có thể được gọi là phương pháp diễn dịch. Những mệnh đề nguyên thủy, bất kể chúng có thể là gì, đều để được nhìn như đã khẳng định cho tất cả những giá trị có thể có của những biến mệnh đề p, q, r xuất hiện trong chúng [24]. Thế nên, chúng ta có thể thay thế cho (hãy nói thí dụ) p bất kỳ biểu thức nào vốn giá trị của nó luôn luôn là một mệnh đề, thí dụ không-p, “s hàm ý t”, v.v. Bằng cách những thay thế như vậy, chúng ta thực sự có được những set của những trường hợp đặc biệt của mệnh đề ban đầu của chúng ta, nhưng từ quan điểm thực hành, chúng ta thu được những mệnh đề gần như mới. Tính hợp lôgích của những sự thay thế của kiểu này phải được bảo đảm bằng phương tiện của một nguyên tắc của suy luận không-chính thức.[25]

 

Bây giờ chúng ta có thể nêu một nguyên tắc chính thức của suy luận vốn M. Nicod [26] đã rút gọn năm nguyên tắc đã cho ở trên. Cho mục đích này, trước tiên, chúng ta sẽ cho thấy cách một số những hàm số-đúng thực nhất định có thể được định nghĩa trong những điều kiện của tính không tương hợp. Chúng ta đã thấy rằng

 

p | (q / q) có nghĩa là “p hàm ý q”.

 

Bây giờ chúng ta quan sát rằng

 

p | (q / r) có nghĩa là “p bao hàm cả q và r”.

 

Vì biểu thức này có nghĩa là “p thì không tương hợp với sự không tương hợp của q và r”, nghĩa là “p hàm ý rằng q và r không tương hợp”, tức là “p hàm ý rằng q và r đều đúng” – vì, như chúng ta đã thấy, kết hợp của q và r là sự phủ định của sự không tương hợp của chúng.

 

Tiếp theo, hãy quan sát rằng t | (t / t) có nghĩa là “t bao hàm chính nó”. Đây là một trường hợp cụ thể của p | (q / q).

 

Chúng ta hãy viết cho phủ định của p; thế nên  sẽ có nghĩa là phủ định của p / s, tức là nó sẽ có nghĩa là kết hợp của p và s. Nó theo sau rằng

 

(s / q) |

 

biểu diễn sự không tương hợp của s / q với sự kết hợp của p và s; Nói cách khác, nó phát biểu rằng nếu p và s đều đúng thì s / q là sai, tức là s và q đều đúng; trong những từ đơn giản hơn, nó nói rằng p và s cùng nhau hàm ý s và q cùng nhau.

 

Bây giờ, đặt

P = p | (q / r),

 

π = t | (t / t)

 

Q = (s / q) | .

 

Khi đó, nguyên tắc diễn dịch chính thức duy nhất của M. Nicod là

 

P | π / Q,

 

Nói cách khác, P bao hàm cả π và Q.

 

Ông còn dùng thêm một nguyên tắc phi-hình thức thuộc về lý thuyết của những loại (vốn chúng ta không cần phải bận tâm), và một nguyên tắc tương ứng với nguyên tắc, khiến đem cho p, và đem cho rằng p bao hàm q, chúng ta có thể khẳng định q. Nguyên tắc này là:

 

“Nếu p | (r / q) thì đúng, và p thì đúng, khi đó q thì đúng”. Từ hệ thống cấu trúc này, toàn bộ lý thuyết của diễn dịch theo sau, trừ cho đến mức độ chúng ta đã quan tâm với diễn dịch từ (hiện hữu) hay về hiện hữu, hay sự đúng thực phổ quát của “những hàm số mệnh đề”, vốn chúng ta sẽ xem xét trong chương tiếp.

 

Nếu tôi không nhầm, có một sự nhầm lẫn nhất định trong não thức của một số tác giả về phần quan hệ, giữa những mệnh đề, trong giá trị của nó một suy luận thì hợp lệ. Ngõ hầu rằng điều có thể là hợp lệ để suy diễn q từ p, điều là chỉ cần thiết rằng p sẽ là đúng và rằng mệnh đề “không-p hay q” sẽ là đúng. Hễ khi nào trường hợp này xảy ra, rõ ràng là q phải đúng. Nhưng suy luận sẽ chỉ thực sư xảy ra khi mệnh đề “không-p hay q” thì được biết, khác hơn là qua kiến ​​thức của không-p hay kiến ​​thức của q. Hễ khi nào p thì sai, “không-p hay q” thì đúng, nhưng lại nữa cũng vô dụng với suy luận, vốn điều này đòi hỏi rằng p sẽ phải là đúng. Hễ khi nào q thì đã biết là đúng, thì “không-p hay q” dĩ nhiên cũng được biết là đúng, nhưng lại vô dụng đối với suy luận, vì q đã được biết, và thế nên không cần phải suy ra. Thực sự, suy luận chỉ nảy sinh khi “không-p hay q” có thể được biết nhưng không qua việc chúng ta biết rồi rằng nó thì thuộc chọn lựa thay thế nào trong hai chọn lựa vốn nó làm cho quan hệ không-kết-hợp đúng. Bây giờ, những trường hợp trong đó điều này xảy ra là những trường hợp trong đó có một những quan hệ nào đó nhất định thuộc dạng hiện hữu giữa p và q. Thí dụ, chúng ta biết rằng nếu r hàm ý phủ định của s, thì s hàm ý phủ định của r. Giữa “r hàm ý không phải- s” và “s hàm ý không phải- r” có một quan hệ chính thức vốn cho chúng ta khả năng để biết rằng mệnh đề đầu tiên hàm ý mệnh đề thứ hai, với không có việc trước tiên phải biết rằng mệnh đề đầu tiên là sai hay biết rằng mệnh đề thứ hai là đúng. Đó là trong những trường hợp như vậy, khiến quan hệ của sự hàm ý thì thực tiễn tiện lợi cho việc rút ra những suy luận.

 

Nhưng quan hệ chính thức này thì chỉ đòi hỏi để chúng ta có thể có khả năng để biết rằng hoặc những giả thiết là sai hoặc kết luận là đúng. Đó là sự đúng thực của “không-p hay q” vốn được đòi hỏi cho tính hợp lệ của suy luận; những gì được đòi hỏi thêm thì chỉ đòi hỏi cho tính khả thi thực tiễn của suy luận. Giáo sư C.I. Lewis [27] đã đặc biệt nghiên cứu quan hệ hình thức, hẹp hơn, vốn chúng ta có thể gọi là “tính có thể diễn dịch chính thức”. Ông thúc giục rằng quan hệ rộng hơn, vốn đã biểu thị bằng “không-p hay q”, không nên gọi là “sự hàm ý”. Tuy nhiên, đó là một vấn đề của chữ nghĩa. Miễn là cách dùng từ ngữ của chúng ta nhất quán, việc chúng ta định nghĩa chúng như thế nào thì không thành vấn đề cho lắm. Điểm khác biệt cơ bản giữa lý thuyết vốn tôi ủng hộ và lý thuyết do Giáo sư Lewis ủng hộ là: Ông chủ trương rằng, khi một mệnh đề q thì “chính thức diễn dịch được” từ một mệnh đề p khác, thì quan hệ vốn chúng ta lĩnh hội được giữa chúng là một quan hệ vốn ông gọi là “sự hàm ý chặt chẽ”, vốn nó không là quan hệ được biểu thị bằng “không-p hay q” vốn là quan hệ hẹp hơn, chỉ giữ giá trị khi có một số kết nối chính thức nhất định giữa p và q. Tôi chủ trương rằng, cho dù có hay không có một quan hệ như ông nói đến, thì trong tất cả những trường hợp, toán học không cần đến, và do đó một quan hệ, trên cơ sở tổng quát của sự giản kiệm, không nên được đưa vào cấu trúc gồm những ý niệm nền tảng của chúng ta. đó là, hễ khi nào quan hệ của “chính thức diễn dịch được” giữ giá trị giữa hai mệnh đề, nó là trường hợp chúng ta có thể thấy rằng hoặc mệnh đề thứ nhất là sai hoặc mệnh đề thứ hai đúng, và rằng không gì ngoài sự kiện này là cần thiết để được tiếp nhận vào trong những giả thiết của chúng ta; và rằng cuối cùng, những lý do chi tiết vốn Giáo sư Lewis đem cho chống lại quan điểm vốn tôi ủng hộ đều có thể được đáp ứng trong chi tiết, và tùy thuộc cho tính hợp lý lôgích của chúng trên một sự giả định ngấm ngầm và vô thức của quan điểm vốn tôi bác bỏ. Thế nên, tôi kết luận rằng không cần phải thừa nhận như một ý niệm nền tảng bất kỳ hình thức hàm ý nào không thể diễn đạt được như một hàm số-đúng thực.

 

 

CHƯƠNG XV:

Những Hàm số Mệnh đề

 

Trong chương trước, khi đang thảo luận về những mệnh đề, chúng ta đã không cố gắng để cho một định nghĩa của từ “mệnh đề”. Nhưng mặc dù từ không thể chính thức được định nghĩa, điều là cần thiết để nói một gì đó về phần ý nghĩa của nó, ngõ hầu tránh sự nhầm lẫn rất phổ thông với “những hàm số mệnh đề” là đề tài của chương này.

 

Chúng ta nói một “mệnh đề” chủ yếu với nghĩa một dạng của từ vốn diễn đạt điều gì hoặc là đúng hoặc là sai. Tôi nói “chủ yếu”, vì tôi không muốn để loại ra những gì khác ngoài những ký hiệu động từ, hay ngay cả những suy nghĩ đơn thuần nếu chúng có một tính cách tượng trưng. Nhưng tôi nghĩ từ “mệnh đề” nên giới hạn với những gì, trong một ý hướng nào đó, có thể gọi là những “ký hiệu”, và xa hơn nữa với những ký hiệu loại như đem cho sự diễn tả với sự đúng thực và sự sai lầm. Thế nên, “hai và hai là bốn” và “hai và hai là năm” sẽ là những mệnh đề, và cũng thế là “Socrates là một người” và “Socrates không là một người”. Mệnh đề: “Bất kể những số a và b có thể là gì, (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²” là một mệnh đề; nhưng riêng công thức “(a + b) ² = a ² + 2ab + b ²” thì không, vì nó không xác định gì rõ ràng trừ khi chúng ta được cho biết thêm, hay dẫn đến để giả định, rằng a và b đều là phải có tất cả những giá trị có thể, hay là có những giá trị như vậy và như vậy. Phát biểu kể trước thì được giả định ngầm, như một quy luật, trong sự phát biểu của công thức toán học, thế nên trở thành những mệnh đề; nhưng nếu không có giả định như vậy được đem cho, chúng sẽ là “những hàm số mệnh đề”. Thực ra, “hàm số mệnh đề” là một biểu thức chứa một hay nhiều thành phần không xác định, khiến cho, khi những giá trị được gán cho những thành phần này, biểu thức sẽ trở thành một mệnh đề. Nói cách khác, nó là một hàm số vốn những giá trị của nó là những mệnh đề. Nhưng định nghĩa sau này phải được dùng với thận trọng. Một hàm số mô tả, thí dụ: “mệnh đề khó nhất trong chuyên luận toán học của A”, sẽ không là một hàm số mệnh đề, mặc dù những giá trị của nó là những mệnh đề. Nhưng trong một trường hợp như vậy, những mệnh đề đều chỉ được mô tả: trong một hàm số mệnh đề, những giá trị phải thực sự nói rõ ra những mệnh đề.

 

Dễ dàng đem cho những thí dụ của những hàm số mệnh đề: “x là con người” là một hàm số mệnh đề; cho đến chừng nào x vẫn chưa được xác định, nó thì không đúng cũng không sai, nhưng khi một giá trị được gán cho x, nó trở nên một mệnh đề đúng hay sai. Bất kỳ phương trình toán học nào cũng là một hàm số mệnh đề. Miễn là những biến số không có giá trị xác định, phương trình chỉ là một biểu thức đang chờ sự xác định để trở thành một mệnh đề đúng hay sai. Nếu nó là một phương trình chứa một biến số, nó trở thành đúng khi biến số đó được làm cho bằng một nghiệm số của phương trình, ngược lại nó sẽ trở thành sai; nhưng nếu nó là một “hằng đẳng thức”[28] thì nó sẽ đúng khi biến số là một số bất kỳ. Phương trình của một đường cong trong một mặt phẳng hay của một bề mặt trong không gian là một hàm số mệnh đề, đúng với những giá trị của tọa độ thuộc những điểm trên đường cong hay bề mặt, sai với những giá trị khác. những biểu thức của lôgích truyền thống như “tất cả A là B” là những hàm số mệnh đề: A và B phải để được xác định như những lớp xác định trước khi những biểu thức đó trở thành đúng hay sai.

 

Ý niệm của những “trường hợp” hay những “thể hiện” tùy thuộc trên những hàm số mệnh đề. Thí dụ, hãy xem xét loại tiến trình đã đề nghị bởi những gì gọi là “sự tổng quát hóa” và chúng ta hãy lấy một vài thí dụ rất nguyên sơ, lấy thí dụ, “chớp thì tiếp sau bởi sấm”. Chúng ta có một số “thể hiện” của sự việc này, tức là một số mệnh đề như: “đây là một tia chớp và tiếp sau là tiếng sấm”. Những xuất hiện này là “thể hiện” của gì? Chúng là những thể hiện của hàm số mệnh đề: “Nếu x là một tia chớp, x thì tiếp sau bởi tiếng sấm”. Tiến trình tổng quát hóa (với giá trị của nó chúng ta may mắn không phải quan tâm) gồm trong việc chuyển từ một số của những thể hiện như vậy đến sự đúng thực phổ quát của hàm số mệnh đề: “Nếu x là một tia chớp, x thì tiếp sau bởi tiếng sấm”. Sẽ là để thấy rằng, trong một cách tương tự, những hàm số mệnh đề đều luôn luôn có liên quan hễ khi nào chúng ta nói về những thể hiện hay những trường hợp hay những thí dụ.

 

Chúng ta không cần hỏi hay cố gắng trả lời, câu hỏi: “một hàm số mệnh đề là gì?” Một hàm số mệnh đề đứng tất cả một mình có thể được coi là một giản đồ đơn thuần, một lớp vỏ đơn thuần, một ngăn chứa rỗng cho ý nghĩa, không là một gì đó đã có ý nghĩa. Chúng ta quan tâm với những hàm số mệnh đề, nói một cách rộng rãi, trong hai cách: thứ nhất, như bao hàm trong những ý niệm “đúng trong tất cả trường hợp” và “đúng trong một số trường hợp”; thứ hai, như bao hàm trong lý thuyết của những lớp và của những quan hệ. Đề tài thứ hai trong những đề tài này chúng ta sẽ hoãn lại đến một chương sau; đề tài đầu tiên bây giờ phải làm bận rộn chúng ta.

 

Khi chúng ta nói rằng sự việc gì đó thì “luôn luôn đúng” hay “đúng trong tất cả trường hợp”, thì rõ ràng rằng “một gì đó” bao hàm không thể là một mệnh đề. Một mệnh đề thì chỉ đúng hay sai, và có một kết thúc của vấn đề. Không có những biểu hiện hay những trường hợp của “Socrates là một người” hay “Napoléon chết tại St Helena”. Đây là những mệnh đề, và sẽ là vô nghĩa nếu nói đến tính cách đúng thực của chúng “trong tất cả trường hợp”. Cụm từ này chỉ áp dụng được cho những hàm số mệnh đề. Lấy thí dụ, loại sự việc vốn thường nói khi đang bàn luận quan hệ nhân quả. (Chúng ta không bận tâm đến sự đúng thực hay sai lầm của những gì được nói, nhưng chỉ với sự phân tích lôgích của nó). Chúng ta được biết rằng A, trong tất cả trường hợp, thì theo sau là B. Bây giờ nếu có những “thể hiện” của A, A phải là một số ý niệm tổng quát nào đó, với nó là ý nghĩa để là nói “x ₁ là A”, “x ₂ là A”, “x ₃ là A”, và tương tự như thế, vân vân ... ., trong đó x _1, x _2, x ₃ là những cá biệt vốn không đồng nhất với nhau. Điều này áp dụng, thí du, cho trường hợp trước của chúng ta về tia chớp. Chúng ta nói rằng tia chớp (A) được theo sau bởi tiếng sấm (B). Nhưng những tia chớp riêng biệt là những cá biệt, không đồng nhất, nhưng có chung thuộc tính của tia chớp. Cách duy nhất để diễn đạt thuộc tính có chung trong tổng quát là nói rằng một thuộc tính chung của một số của những đối tượng là một hàm số mệnh đề sẽ trở thành đúng khi bất kỳ một trong những đối tượng này được nhận là giá trị của biến số. Trong trường hợp này, tất cả những đối tượng là những “thể hiện” của sự đúng thực của hàm số mệnh đề – đối với một hàm số mệnh đề, mặc dù bản thân nó không thể là đúng hay sai, thì đúng trong một số thể hiện nhất định và sai trong một số thể hiện nhất định khác, trừ khi nó “luôn luôn đúng” hay “luôn luôn sai”. Khi, để quay về thí dụ của chúng ta, chúng ta nói rằng A trong tất cả trường hợp theo sau bởi B, chúng ta muốn nói rằng, bất kể x có thể là gì, nếu x là A, thì nó được theo sau bởi B; nghĩa là, chúng ta đang khẳng định rằng một hàm số mệnh đề nhất định nào đó thì “luôn luôn đúng”.

 

Những câu gồm những từ như “tất cả”, “mọi”, “một”, “cái/con”, “một số” [29] đòi hỏi những hàm số mệnh đề cho sự diễn giải của chúng. Cách trong đó những hàm số mệnh đề xảy ra có thể được giải thích bằng phương tiện của hai từ ở trên, đó là, “tất cả” và “một số”.

 

Trong phân tích cuối cùng, chỉ có hai điều có thể làm được với một hàm số mệnh đề: một là để khẳng định rằng nó thì đúng trong tất cả những trường hợp, điều kia để khẳng định rằng nó thì đúng trong ít nhất một trường hợp, hay trong một số những trường hợp. (như chúng ta sẽ nói, giả định rằng không có hàm ý cần thiết của một số nhiều của những trường hợp). Tất cả những cách dùng khác của những hàm số mệnh đề có thể được thu về hai cách dùng này. Khi chúng ta nói rằng một hàm số mệnh đề là đúng “trong tất cả trường hợp” hay “luôn luôn” (như chúng ta cũng sẽ nói,với không bất kỳ gợi ý nào về thời gian), chúng ta nói với nghĩa là tất cả những giá trị của nó đều đúng. Nếu “фx” là hàm và a là loại đối tượng đúng để là một đối số cho “фx” thì фa là đúng, tuy nhiên a có thể đã được chọn. Thí dụ, “nếu a là người, a thì phải chết” [30] thì đúng cho dù a có phải là con người hay không; thực ra, tất cả mệnh đề của dạng này đều đúng. Thế nên, hàm số mệnh đề “nếu x là người, x là người phàm” là “luôn đúng” hay “đúng trong tất cả trường hợp”. Hoặc, lại nữa, phát biểu “không có những con ngựa một sừng” thì giống cùng là một với phát biểu “hàm số mệnh đề ‘x thì không là một con ngựa một sừng’ thì đúng trong tất cả trường hợp”. Khẳng định trong chương trước về những mệnh đề, thí dụ “‘p hay q’ hàm ý ‘q hay p’”, đều là những khẳng định thực sự rằng những hàm số mệnh đề nhất định nào đó đều là đúng trong tất cả trường hợp. Thí dụ, chúng ta không khẳng định nguyên tắc trên là chỉ đúng với p hay q cụ thể này hay kia, nhưng như đúng với bất kỳ p hay q nào liên quan vốn nó có thể được tạo ra một cách đáng kể. Điều kiện rằng một hàm số phải có ý nghĩa đối với một đối số đã cho thì cũng giống như điều kiện rằng nó sẽ có một giá trị cho đối số đó, hoặc đúng hoặc sai. Sự nghiên cứu của những điều kiện của có ý nghĩa thuộc về học thuyết của những loại, vốn chúng ta sẽ không theo đuổi ngoài phác thảo đã cho trong chương trước.

 

Không chỉ những nguyên tắc của diễn dịch, vốn tất cả những mệnh đề nguyên thủy của lôgích, đều gồm những khẳng định rằng những hàm số mệnh đề nhất định luôn luôn đúng. Nếu không phải như vậy, họ sẽ phải nhắc đến đến những sự việc hay những ý niệm cụ thể – Socrates, hay màu đỏ, hay Đông và Tây, hay những gì thì không – và rõ ràng không là lĩnh vực lôgích để làm những khẳng định gì là đúng liên quan một sự vật việc. hay ý niệm loại như vậy, nhưng không liên quan với một khác. Nó là phần của sự định nghĩa của lôgích học (nhưng không là toàn bộ của sự định nghĩa của nó) rằng tất cả những mệnh đề của nó đều là hoàn toàn tổng quát, tức là chúng tất cả đều gồm sự khẳng định rằng một số hàm số mệnh đề không chứa những số hạng bất biến thì luôn luôn đúng. Chúng ta sẽ trở lại trong chương cuối cùng của chúng ta với sự thảo luận về những hàm số mệnh đề không chứa những số hạng bất biến. Hiện tại, chúng ta sẽ tiếp tục đến sự việc khác vốn là để thực hiện với một hàm số mệnh đề, đó là, sự khẳng định rằng nó thì “đôi khi đúng”, tức là đúng trong ít nhất một thể hiện.

 

Khi chúng ta nói “có những người”, điều đó có nghĩa rằng hàm số mệnh đề “x là một người” thì đôi khi đúng. Khi chúng ta nói “một vài người là người Greece”, điều đó có nghĩa là hàm số mệnh đề “x là một người và một người Greece” thì đôi khi đúng. Khi chúng ta nói “những người ăn thịt người vẫn tồn tại ở Africa”, điều đó có nghĩa là hàm số mệnh đề “x là một người ăn thịt người hiện ở ở Africa” thì đôi khi đúng, tức là, đúng với một số những giá trị của x. Để nói “có ít nhất n những cá thể trong thế giới” là để nói rằng hàm số mệnh đề “α là một lớp của những cá thể và một phần tử của số đếm n” thì đôi khi đúng, hay, như chúng ta có thể nói, thì đúng với những giá trị nhất định của α. Dạng này của diễn tả thì thuận tiện hơn khi cần để chỉ định gì là biến số vốn chúng ta đang lấy làm đối số cho hàm số mệnh đề của chúng ta. Thí dụ, hàm số mệnh đề ở trên, chúng ta có thể rút gọn thành “α là một lớp gồm n những cá thể”, chứa hai biến số, α và n. Tiên đề của vô hạn, trong ngôn ngữ của những hàm số mệnh đề, là: “Hàm số mệnh đề ‘nếu n là một số quy nạp, thì đúng với một số giá trị của α rằng α là một lớp của n những cá thể’ thì đúng với tất cả những giá trị có thể có của n”. Ở đây có một hàm số phụ, “α là một lớp của n những cá thể’”, được nói là, đối với α, đôi khi thì đúng; và khẳng định rằng điều này xảy ra nếu n là một số quy nạp được nói là, đối với n, luôn luôn đúng.

 

Phát biểu rằng một hàm số фx thì luôn luôn đúng là sự phủ định của phát biểu rằng không−фx thì đôi khi đúng và phát biểu rằng фx đôi khi đúng là sự phủ định của phát biểu rằng không−фx thì luôn luôn đúng. Thế nên, phát biểu “Tất cả mọi người đều phải chết” là sự phủ định của phát biểu rằng hàm số “x là một người bất tử” thì đôi khi đúng. Và phát biểu “có những con ngựa một sừng” là phủ định của phát biểu rằng hàm số “x không là con ngựa một sừng” luôn luôn đúng.[31] Chúng ta nói rằng фx thì “không bao giờ đúng” hay “luôn luôn sai” nếu không− фx thì luôn luôn đúng. Chúng ta có thể, nếu chúng ta chọn, lấy một trong những cặp “luôn luôn”, “đôi khi” như một ý tưởng nguyên thủy và định nghĩa cặp kia bằng phương tiện của một và phủ định. Vì vậy, nếu chúng ta chọn “đôi khi” như ý tưởng nguyên thủy của chúng ta, chúng ta có thể định nghĩa: “‘фx thì luôn luôn đúng’ là có nghĩa ‘‘nó thì sai khiến không−фx thì đôi khi đúng’”. Nhưng vì những lý do liên quan với lý thuyết của những loại, có vẻ đúng hơn khi coi cả “luôn luôn” và “đôi khi” như những ý tưởng nguyên thủy, và định nghĩa bằng phương tiện của chúng sự phủ định của những mệnh đề trong đó chúng xảy ra. Đó là để nói, sau khi giả định rằng chúng ta đã định nghĩa (hay đã chấp nhận như một ý tưởng nguyên thủy) sự phủ định của những mệnh đề thuộc loại vốn фx thuộc về nó, chúng ta định nghĩa: “Sự phủ định của ‘фx luôn luôn’ là ‘không-фx đôi khi’ ; và sự phủ định của ‘фx đôi khi’ là ‘không−фx luôn luôn’, “Trong cùng cách tương tự, chúng ta có thể định nghĩa lại sự không kết hợp và những hàm số-đúng thực khác, như được áp dụng cho những mệnh đề có chứa những biến số rõ ràng, trong những điều kiện của những định nghĩa và những ý tưởng nguyên thủy cho những mệnh đề không chứa những biến số rõ ràng. những mệnh đề không chứa những biến số rõ ràng gọi là “những mệnh đề cơ bản”. Từ những mệnh đề này, chúng ta có thể nâng cao từng bước, dùng những phương pháp như vừa được cho thấy, đến lý thuyết của những hàm số-đúng thực như được áp dụng cho những mệnh đề chứa một, hai, ba… biến số, hay bất kỳ số nào lên đến n, trong đó n là bất kỳ số hữu hạn nào đã gán cho.[32]

 

Những dạng vốn được lấy như đơn giản nhất trong lôgích hình thức truyền thống đều thực sự không giống như thế, và tất cả đều bao gồm sự khẳng định của tất cả hay một số những giá trị của một hàm số mệnh đề phức hợp. Bắt đầu, lấythí dụ,, “tất cả S là P”. Chúng ta sẽ hiểu rằng S thì được định nghĩa bởi một hàm số mệnh đề фx, và P bởi một hàm số mệnh đề ψx. Thí dụ, nếu S là những người, фx sẽ là “x là người”; nếu P là những người phàm, ψx sẽ là “có một thời điểm ở đó x chết”. Khi đó “tất cả S là P” có nghĩa là: “‘фx hàm ý ψx’ luôn luôn đúng”. Cần quan sát rằng “tất cả S là P” không chỉ áp dụng cho những số hạng thực sự là của S; nó nói sự việc gì đó ngang bằng như nhau về những số hạng không là S. Giả sử chúng ta bắt gặp một x vốn chúng ta không biết nó có phải là một S hay không; Tuy nhiên, phát biểu của chúng ta “tất cả S là P” cho chúng ta biết một gì đó về x, cụ thể là, nếu x là S, thì x là P. Và điều này đúng mọi phần khi x không là một S cũng như khi x là một S. Nếu nó không đúng ngang bằng như nhau trong cả hai trường hợp, thì phương pháp chứng minh reductio ad absurdum sẽ không là một phương pháp hợp lệ; vì yếu tính của phương pháp này gồm trong việc dùng những hàm ý trong những trường hợp (như sau đó nó trở thành) giả thuyết thì sai lầm. Chúng ta có thể đặt vấn đề một cách khác. Để hiểu “tất cả S là P”, không cần thiết phải liệt kê được những số hạng nào là thuộc S; miễn là chúng ta biết là một S là gì, và là một P là gì, chúng ta có thể hiểu hoàn toàn những gì thực sự được khẳng định bởi “tất cả S là P”, mặc dù chúng ta có thể biết rất ít về những thể hiện thực tại của một nào trong hai. Điều này cho thấy rằng không chỉ những số hạng thực sự vốn là của S vốn có liên quan trong phát biểu “tất cả S là P”, nhưng tất cả những số hạng liên quan với giả định rằng chúng đều là của S thì có ý nghĩa, tức là tất cả những số hạng là của S, cùng với tất cả những số hạng không là của S – tức là toàn bộ của “loại” lôgích thích hợp. Những gì áp dụng cho những phát biểu về tất cả cũng áp dụng cho những phát biểu về một số. Thí dụ: “Có những người” có nghĩa là “x là người” đúng với một số những giá trị của x. Ở đây tất cả những giá trị của x (tức là tất cả những giá trị cho “x là người” thì có ý nghĩa, cho dù đúng hay sai) đều có liên quan và không chỉ những nói đến đó thực sự là con người. (Điều này trở nên hiển nhiên nếu chúng ta xem xét cách chúng ta có thể chứng minh một phát biểu như vậy là sai). Mọi khẳng định về “tất cả” hoặc “một số” như thế liên quan không chỉ với những đối số vốn làm một hàm số nhất định nào đó đúng, nhưng tất cả những gì làm nó có ý nghĩa, tức là tất cả cho những gì nó có một giá trị nào đó, cho dù đúng hay sai.

 

Bây giờ chúng ta có thể đi tới với sự giải thích của chúng ta về những dạng truyền thống của lôgích hình thức cổ lỗi thời. Chúng ta giả định rằng S là những số hạng x vứi nó фx thì đúng, và P là những số hạng vốn với nó ψx là đúng. (Như chúng ta sẽ thấy trong chương sau, tất cả những lớp đều đã bắt nguồn trong cách này từ những hàm số mệnh đề). Sau đó:

 

“Tất cả S là P” có nghĩa là “‘фx hàm ý ψx’ thì luôn luôn đúng”.

 

“Một số S là P” có nghĩa là “‘фx và ψx’ thì đôi khi đúng”.

 

“Không có S là P” có nghĩa là “‘фx hàm ý không-ψx’ thì luôn luôn đúng”.

 

“Một số S thì không là P” có nghĩa là “‘фx và không− x’ thì đôi khi đúng”.

 

Sẽ quan sát thấy rằng những hàm số mệnh đề được khẳng định ở đây cho tất cả hay một số giá trị đều không là chính фx và ψx, nhưng những hàm số-đúng thực của фx và ψx cho cùng một đối số x. Cách dễ nhất để hình dung về loại sự việc được dự định là bắt đầu không phải từ фx và ψx trong tổng quát, vốn từ фa và ψa, trong đó a là một số hằng số nào đó. Giả sử chúng ta đang xem xét “tất cả mọi người thì đều phải chết”: chúng ta sẽ bắt đầu với

 

“Nếu Socrates là một người, Socrates thì phải chết”,

 

và sau đó chúng ta sẽ nhìn “Socrates” như được một biến số x thay thế, ở bất cứ chỗ nào “Socrates” xuất hiện. Đối tượng để được bảo đảm là rằng, mặc dù x vẫn là một biến số, không giá trị bất kỳ xác định nào, thế nhưng nó thì để có cùng một giá trị trong “фx” như trong “ψx” khi chúng ta khẳng định rằng “фx hàm ý ψx” thì luôn luôn đúng. Điều này đòi hỏi chúng ta sẽ bắt đầu với một hàm số có những giá trị loại như “фa hàm ý ψa”, thay vì với hai hàm số riêng biệt фx và ψx; vì nếu chúng ta bắt đầu với hai hàm sốriêng biệt, chúng ta không bao giờ có thể bảo đảm rằng x, trong khi vẫn còn chưa xác định, sẽ có cùng giá trị trong cả hai hàm số

 

Ngắn gọn, chúng ta nói “фx luôn luôn hàm ý ψx” khi chúng ta muốn nói rằng “фx hàm ý ψx” thi luôn luôn đúng. những mệnh đề có dạng “фx luôn luôn hàm ý ψx” gọi là “những hàm ý chính thức”; tên này được đem cho ngang bằng như nhau nếu có nhiều những biến số.

 

Những định nghĩa trên cho thấy những mệnh đề như “tất cả S là P” đã khác xa với những dạng đơn giản nhất như thế nào, vốn lôgích truyền thống bắt đầu. Đó là điển hình của sự thiếu vắng của những phân tích đã bao gồm khiến lôgích truyền thống giải quyết “tất cả S là P” như một mệnh đề thuộc cùng dạng như “x là P” – thí dụ, nó coi “tất cả mọi người đều là phải chết” giống như “Socrates thì phải chết” Như chúng ta vừa thấy, mệnh đề đầu tiên thuộc dạng “фx luôn luôn hàm ý ψx”, trong khi mệnh đề thứ hai thì thuộc dạng “ψx”. Nhấn mạnh sự tách biệt rõ ràng của hai dạng này, vốn đã là kết quả của Peano và Frege, là một tiến bộ rất quan trọng trong lôgích ký hiệu.

 

Điều sẽ được thấy rằng “tất cả S là P” và “không có S là P” không thực sự khác nhau trong dạng thức, ngoại trừ việc thay thế của không−ψx cho ψx, và rằng cùng điều tương tự áp dụng cho “một số S là P” và “ một số S thì không P”. Điều cũng sẽ được quan sát rằng những quy tắc truyền thống của sự chuyển đổi đều sai lầm, nếu chúng ta chấp nhận quan điểm, vốn là quan điểm duy nhất có thể chấp nhận được về kỹ thuật, rằng những mệnh đề loai như “tất cả S là P” không bao gồm “sự hiện hữu” của những gì của S, tức là không đòi hỏi rằng sẽ phải có những số hạng vốn đều của S. Những định nghĩa trên dẫn đến kết quả rằng, nếu фx thì luôn luôn sai, tức là, nếu không có gì của S, thì “tất cả S là P” và “không S là P” sẽ đều đúng cả hai, bất kể P có thể là gì. Vì, theo định nghĩa trong chương trước, “фx hàm ý ψx” có nghĩa là “không−фx hay ψx”, vốn nó thì luôn luôn đúng nếu không−фx thì luôn luôn đúng. Ở lúc thoạt đầu, kết quả này có thể khiến người đọc mong muốn có những định nghĩa khác nhau, nhưng một chút kinh nghiệm thực hành sẽ sớm cho thấy rằng bất kỳ định nghĩa nào khác sẽ là không tiện lợi và sẽ che giấu những ý tưởng quan trọng. Mệnh đề “фx luôn luôn hàm ý ψx, và фx thì đôi khi đúng” thì yếu tính là kết hợp, và sẽ rất bất tiện để cho mệnh đề này định nghĩa của “tất cả S là P”, vì khi đó chúng ta không còn ngôn ngữ nào cho “фx always hàm ý ψx”, vốn nó cần một trăm lần cho một lần so với vốn cái kia thì cần. Nhưng, với định nghĩa của chúng ta, “tất cả S là P” không hàm ý “một số S là P”, vì định nghĩa thứ nhất cho phép sự không-hiện hữu (không là-có) của S và định nghĩa thứ hai thì không cho; thế nên chuyển đổi ngẫu nhiên (per accidens) trở nên không hợp lệ, và một số dạng thức [33] của tam đoạn luận là sai lầm, thí dụ Darapti: “Tất cả M là S, tất cả M là P, thế nên một số S là P”, sẽ thất bại nếu không có M.

 

Ý niệm của “hiện hữu” có nhiều dạng khác nhau, một trong số chúng sẽ làm chúng ta bận rộn trong chương tiếp; nhưng dạng cơ bản là dạng có nguồn trực tiếp từ ý niệm của “đôi khi đúng”. Chúng ta nói rằng một đối số a “thỏa mãn” một hàm sô фx nếu фa thì đúng; điều này thì cùng ý hướng tương tự, trong đó những nghiệm số của một phương trình được nói là thỏa mãn phương trình. Bây giờ nếu фx thì đôi khi đúng, chúng ta có thể nói rằng có những x vớin nó, nó thì đúng, hay chúng ta có thể nói “những đối số thỏa mãn фx hiện hữu”. Đây là ý nghĩa cơ bản của từ “hiện hữu”. những ý nghĩa khác hoặc bắt nguồn từ điều này, hay hiện thân của chỉ sự lẫn lộn rối rắm của tư tưởng. Chúng ta có thể chính xác nói “người ta hiện hữu”, nghĩa là “x là người” thì đôi khi đúng. Nhưng nếu chúng ta tạo một giả-tam-đoạn luận: “người hiện hữu, Socrates là một người, thế nên Socrates hiện hữu”, chúng ta đang nói điều vô nghĩa, vì “Socrates” thì không giống như “người”, nhưng chỉ đơn thuần là một đối số không xác định cho một hàm số mệnh đề nhất định. Sai lầm gần giống với luận chứng: “người thì nhiều, Socrates là một người, thế nên Socrates thì nhiều” [34]. Trong trường hợp này, rõ ràng kết luận là vô nghĩa, nhưng trong trường hợp của hiện hữu thì không hiển nhiên, vì những lý do sẽ xuất hiện đầy đủ hơn trong chương tiếp theo. Lúc này, chúng ta hãy chỉ ghi nhận sự kiện rằng, mặc dù là đúng khi nói “người ta hiện hữu”, điều là không đúng, hay thực ra là vô nghĩa, để gán sự hiện hữu cho một cá biệt x đem cho, vốn x này xảy ra (tình cờ) là một người. Trong tổng quát, “những số hạng thỏa mãn фx hiện hữu” có nghĩa là “фx thì đôi khi đúng”; nhưng “a hiện hữu” (trong đó a là một số hạng thỏa mãn фx) thì chỉ một tiếng ồn, hay hình dạng trống rỗng, thiếu vắng ý nghĩa. Sẽ thấy rằng bằng ghi nhớ sai lầm đơn giản này, chúng ta có thể giải được nhiều câu hỏi nan giải triết học thời cổ liên quan với ý nghĩa của sự hiện hữu.

 

Một set khác của những ý niệm về phần đó triết học đã để chính nó rơi vào trong những nhầm lẫn vô vọng qua việc không tách biệt đầy đủ những mệnh đề và những hàm số mệnh đề là những ý niệm của “phương thức”: tất yếu, có thể và không thể. (Đôi khi tùy theo hay xác nhận được dùng thay vì có thể) [35]. Quan điểm truyền thống đã là, giữa những mệnh đề đúng, rằng một số là tất yếu, trong khi những mệnh đề khác đã chỉ tùy theo hay xác nhận; trong khi giữa những mệnh đề sai, một số mệnh đề là không thể, đó là những mệnh đề có những mâu thuẫn là tất yếu, trong khi những mệnh đề khác chỉ đơn thuần xảy ra là không đúng. Tuy nhiên, thực ra, đã không bao giờ có bất kỳ giải thích rõ ràng nào về những gì đã được thêm vào sự đúng thực bởi khái niệm của tất yếu. Trong trường hợp của những hàm số mệnh đề, sự phân chia thành ba thì hiển nhiên. Nếu “фx” là một giá trị không xác định của một hàm số mệnh đề nhất định, điều sẽ là tất yếu nếu hàm số thì luôn luôn đúng, có thể nếu nó đôi khi thì đúng và không thể nếu nó thì không bao giờ đúng. Thí dụ, tình cảnh loại này xảy ra với xác suất. Giả sử một quả bóng x được lấy ra từ một túi vốn đựng một số của những quả bóng: nếu tất cả những quả bóng đều là màu trắng, thì “x là màu trắng” là tất yếu; nếu một số có màu trắng, thì điều là có thể; nếu không có màu trắng, thì điều là không thể. Ở đây tất cả những gì biết về x là nó thỏa mãn một hàm số mệnh đề nhất định, cụ thể là, “x là một quả bóng trong túi”. Đây là một tình cảnh vốn là phổ thông trong những bài toán xác suất và không hiếm gặp trong đời sống thực tại – thí dụ như khi một người gọi cho một người vốn chúng ta không biết gì, trừ việc người này mang một lá thư giới thiệu từ người bạn này nọ của chúng ta, v.v. Trong tất cả những trường hợp như vậy, như về phần phương thức trong tổng quát, những hàm số mệnh đề thì có liên quan. Cho việc suy nghĩ rõ ràng, trong nhiều hướng rất đa dạng, thói quen của viêc giữ những hàm số mệnh đề rõ ràng tách biệt với những mệnh đề thì thuộc về sự quan trọng tột bực, và sự thất bại, không làm như thế trong quá khứ đã là một sự hổ thẹn cho triết học.

 

 

Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Aug/2021)

(Còn tiếp... →)

 

http://chuyendaudau.blogspot.com/

http://chuyendaudau.wordpress.com

 

---

[1] individuals: những cá thể,

[2] [Về đề tài này, xem Principia Mathematica, vol. ii. * 120ff. Về những vấn đề tương ứng liên quan với tỉ số, xem sđd, tập. iii. * 303ff.]

[3] assemblage

[4] Russell’s paradox

a.

Đây là nghịch lý nổi tiếng đã gắn với tên tuổi Russell (Russell’s paradox). Để hiểu nghịch lý này, tưởng nên nhắc lại nguyên lý bao hàm tổng quát (general comprehension principle). Trong thuyết set chất phác (naive set theory) nguyên lý bao hàm tổng quát nói rằng:

Đem cho thuộc tính φ bất kỳ nào, chúng ta có thể hình thành một set của tất cả những x, sao cho mỗi x thì có φ ( hay nói rằng nó là một set):

[cho bất kỳ φ , {x | φ (x) } là một set]

Như thế, theo nguyên lý bao hàm tổng quát, với bất kỳ thuộc tính nào chúng ta có tất cả, chúng ta có thể tạo một set gồm tất cả những đối tượng có thuộc tính đó.

Vậy hãy giả định rằng nguyên lý bao hàm tổng quát đúng,

Gọi R là set của tất cả những x sao cho x không là một phần tử của x, do đó set của tất cả những set không là thành viên của chính chúng:

[Gọi R = { x | x ∉ x }]

Sau đó, Russell quan sát rằng R là một phần tử của R, để là phần tử R, nó phải có thuộc tính của phần tử của R (không là phần tử của R); vì vậy R là một phần tử của R nếu và chỉ khi R không là một phần tử của R và đó là một mâu thuẫn.

               [R ∈ R iff R ∉ R]

Nghịch lý của Russell thường trình bày như thí dụ sau: Hãy tưởng tượng có một nhóm thợ cắt tóc chỉ cắt tóc cho những người không tự cắt tóc. Giả sử có một người thợ cắt tóc trong sưu tập này là người không tự cắt tóc; khi đó theo định nghĩa của sưu tập, người này phải cắt tóc cho chính mình. Nhưng cũng theo định nghĩa, không thợ cắt tóc nào trong sưu tập này lại tự cắt tóc. – Nếu thế, người này hóa ra thành một người cắt tóc sẽ cắt tóc cho những người tự cắt tóc – mâu thuẫn!

b.

Mọi người đều nghe nói về nghịch lý của Russell – về lớp của những lớp vốn không là những phần tử của chính chúng. Nó là một phần tử của chính nó để thỏa mãn điều kiện định nghĩa của nó, đó là nó thì không là một phần tử của chính nó. – Về triết học toán học, là quan trọng để chúng ta hiểu những suy luận đã khiến Russell tìm thấy mâu thuẫn này, như chính ông đã nhấn mạnh ở đoạn trên.

Cantor, nghiên cứu về những số siêu hạn (transfinite numbers), đã chứng minh rằng số của tất cả những số tự nhiên (N), trong khi cũng giống như tất cả những những số hữu tỉ (Q) thì nhỏ hơn số của tất cả những số thực (R). Ông cho thấy những chuỗi số này tuy đều vô hạn (ℵ₀); nhưng chúng là những vô hạn khác nhau, nói khác đi những vô hạn đều có số lượng những phần tử của chúng là lớn vô cùng, nhưng Cantor cho thấy chúng không bằng nhau, có vô hạn thì lớn hơn vô hạn khác, dù chúng lớn đến đâu thì chúng ta vẫn không biết, vô hạn trước đây là một khái niệm trong triết học, nay cũng vẫn là một khái niệm trong toán học. Bằng phép ánh xạ – [mapping = phép toán liên kết mỗi phần tử của một set nhất định (domain) với một hoặc nhiều phần tử của set thứ hai (codomain)], trong khi tất cả những số tự nhiên N có vẻ có thể liên kết với những số thực R, nhưng chúng không thể liên kết 1:1 vào những số thực R (range/miền giá trị <> codomain) .Số của những số thực thì bằng với số của tất cả những set của những số tự nhiên. Cantor đã tổng quát hóa định lý của ông, phát biểu rằng số của những phần tử của bất kỳ một set nào, hữu hạn hay vô hạn, thì luôn luôn nhỏ hơn số của những set-con của nó. Cantor đưa ra chứng minh của ông cho định lý này.

Russell tự hỏi – nếu chúng ta áp dụng định lý trên vào lớp của tất cả những lớp: cho tất cả những lớp-con của lớp vốn là những phần tử của nó. Và điều này đã dẫn đến nghich lý ở trên. Do đó, không thể có một lớp của tất cả những lớp, hay một lớp gồm tất cả những đối tượng.

[5] [Vol. i., Introduction, chap. ii.,12 and 20; vol. ii., Prefatory Statement.].

[6] [“Mathematical Logic as based on the Theory of Types”, vol. xxx., 1908, pp. 222–262.]

[7] [“Les paradoxes de la logique”, 1906, pp. 627–650.]

[8] nghĩa là giải thích khái niệm lớp nhưng lại dùng chính khái niệm lớp!

[9] pseudo-names

[10] Đọc thêm Plato – Parnemides, có một bản tôi tạm dịch trên blog chuyendaudau này

[11] Đây là thuyết platonism – thuyết theo-plato về toán học là quan điểm siêu hình cho rằng có những đối tượng toán học trừu tượng vốn chúng tồn tại độc lập với chúng ta và với ngôn ngữ, suy nghĩ và thực hành của chúng ta. Giống như những electron và hành tinh tồn tại độc lập với chúng ta, những con số và những set cũng vậy. Và cũng giống như những phát biểu về electron và hành tinh được đưa ra, đúng hay sai dựa trên những đối tượng liên quan và những thuộc tính hoàn toàn khách quan của những đối tượng này, thì các phát biểu về số và set cũng vậy. Sự thực trong toán học do đó được khám phá nhưng không phải được phát minh; thuyết theo-plato về toán học cho rằng những con số thực sự tồn tại trong thế giới những ý tường – những ý tưởng như đã nhắc trong Plato – tôi đã dịch là thế giới những thể dạng (Theory of Forms) vốn thế giới vật chất này chỉ là những hình ảnh bất toàn của nó. Thế nên quan điểm đang gọi là thuyết theo-plato về toán học đã lấy cảm hứng từ thuyết những Thể dạng nổi tiếng của Plato về những hình thức trừu tượng và vĩnh cửu , thuyết theo-plato về toán học hiện được nhìn, định nghĩa và tranh luận như độc lập với cảm hứng lịch sử ban đầu này của nó. Nhân vật quan trọng nhất trong sự phát triển của platonism hiện đại là Gottlob Frege. Quan điểm này cũng đã được nhiều người khác tán thành, gồm Gödel, Russell và Quine

[12] [Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 13.]

[13] [Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? No. 66.]

[14] endless regress: một chuỗi lý luận thoái lui không dứt, trở ngược bất tận

[15] the premiss / the conclusion

[16] chú ý – ‘sự đúng thực (logical truth) của một mệnh đề’ – không hoàn toàn đồng nghĩa với ‘chân lý’ như vẫn thường hiểu . Theo quan điểm phổ thông, logic có một trong những mục đích của nó là mô tả đặc điểm (và cho chúng ta những phương tiện thực tiễn để phân biệt) một set đặc biệt của sự đúng thực, sự đúng thực logic.

[17] disjunction: thiếu sự tương ứng hay không nhất quán: quan hệ giữa hai lựa chọn thay thế khác nhau. tôi dịch ở đây là không-kết hợp, và tương tự conjunction là kết hợp

Ở đây, cũng như những nơi khác trong sách này, Tôi dịch theo ý nghĩa nguyên thủy của những từ này – khi Russell viết tập sách này (đầu thế kỷ XX), dù ngày nay chúng ta đã quen với:

Negation: Phép phủ định (¬), conjunction: Phép hội (∧) disjunction: Lựa chọn/Phép tuyển (∨) Xor: tuyển loại/Phép XOR (⊕), Implication: Phép kéo theo (→), Biconditional: Phép tương đương(↔).

Và cũng nói thêm – chương này cũng như những chương sau đã viết từ hơn 100 năm qua, nên giá trị kiến thức chỉ ở trong phương pháp triết hcoj toán học, nhưng không trong kiến toán học.

[18] [Chúng ta sẽ dùng những chữ cái p, q, r, s, t để biểu thị những mệnh đề khác nhau]

[19] [Thuật ngữ này là do Frege.] truth-value: Giá trị đúng-thực,

[20] trước đây – tôi có dịch là hàm số sự thực (https://chuyendaudau.blogspot.com/2010/08/lugwig-wittgenstein-tractatus-logico.html) nhưng nay nghĩ nên là hàm số đúng thực hiểu theo nghĩa những hàm số logic, nhận những giá trị đúng-thực như input (T và F) và cho một giá trị đúng-thực T hay F) như output – cũng nói thêm hàm số chân lý như đã dịch quen – ‘chân lý’ và sự thực có vẻ to tát quá. Ở đây, những hàm số lôgích cho chúng ta nhận biết đúng thực hay sai lầm, dựa trên sự thuận hợp với những tiền đề/giả thiết của nó mà thôi.

[21] [Trans. Am. Math. Soc., vol. xiv. pp. 481–488.]

[22] [Proc. Camb. Phil. Soc., vol. xix., i., January 1917.]

[23] logical terms: thuật ngữ lôgích: Mỗi trình độ phân tích – lôgích tam đoạn luận (syllogistic logic), lôgích mệnh đề sentential logic), và lôgích toán học (predicate logic) – gắn liền với nó một lớp thuật ngữ lôgích đặc biệt. Trong trường hợp lôgích tam đoạn luận, những thuật ngữ logic chỉ gồm những từ sau: ‘tất cả/all’, ‘một vài/some’, ‘không có/no’, ‘không là/not’ và ‘là/đều là/ is / are’. Trong trường hợp lôgích mệnh đề, các thuật ngữ logic chỉ bao gồm những liên từ chỉ kết nối liên quan (ví dụ: ‘và’, ‘hoặc’, ‘nếu… thì’, ‘chỉ nếu’). Trong trường hợp lôgích toán học, những thuật ngữ lôgích gồm những thuật ngữ lôgích của cả lôgích trong tam đoạn luận và lôgích mệnh đề.

[24] variable propositions: biến mệnh đề?

[25] [Không có nguyên tắc nào như vậy đã công bố trong Principia Mathematica hay trong bài báo của M. Nicod đã nhắc đến ở trên. Nhưng điều này có vẻ là một sự lược bớt]

[26] Jean George Pierre Nicod (1893-1924): triết gia và nhà logic học, người France, được biết đến nhiều nhất với công trình của ông về logic mệnh đề và quy nạp.

[27] [Xem Mind, vol. xxi., 1912, pp. 522–531; and vol. xxiii., 1914,pp. 240–247.]

[28] identity

[29] all, every, a, the, some

[30] vẫn dịch , nếu x là người, x thì sẽ chết/phải chết (x is mortal/ x est mortel) – những thực ra ‘mortal’ có nghĩa là đối tượng của cái chết – cái chết sẽ đến với x, dù không biết lúc nào (như nói trên ‘không bất kỳ gợi ý nào về thời gian’, nếu dịch cho rõ nghĩa – như có chỗ tôi đã dich ‘x thì có-chết’: hiểu là x có sẵn cái chết trong người

Nhưng trước đây – những sách giáo khoa thường dịch (từ thí dụ nổi tiếng Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme; donc Socrate est mortel) thoát thành: tất cả mọi người đều phải chết – đã thành quen, và là một thí dụ cho lô gích ký hiệu, hình thức, tưởng không phái quá quan tâm về nội dung ý nghĩa

[31] [ Vì những lý do ngôn ngữ, để tránh nêu ra số nhiều hay số ít, thường thuận tiện nói “φx không phải lúc nào cũng sai” hơn là “φx đôi khi” hay “φx đôi khi đúng”.]

[32] [Phương pháp suy luận được đem cho trong Principia Mathematica, vol. i. * 9.]

[33] moods

[34] nguyên văn : ‘men exist”, meaning that “x is a man” và “Men exist, Socrates is a man, therefore Socrates exists”

[35] necessary, possible, impossible, contingent, assertoric