Sunday, December 19, 2010

Kiến thức của Chúng ta về Thế giới Bên ngoài (6)

Our Knowledge of the External World

Bertrand Russell

Kiến thức của Chúng ta về Thế giới Bên ngoài.

Bài Giảng 6
Vấn đề Vô hạn Nhìn theo Lịch sử



Sẽ được nhớ rằng, khi chúng ta đã liệt kê những nền tảng trên đó thực tại của thế giới cảm giác đã bị đem đặt câu hỏi, một trong số đã đề cập đến là tính không-thể-có-được đã giả định về vô hạn và về liên tục. Trong quan điểm của thảo luận trước đây của chúng ta về vật lý, xem ra không có bằng chứng thực nghiệm thuyết phục nào hiện hữu cho thuận lợi nghiêng về vô hạn hoặc liên tục trong những đối tượng của cảm giác hoặc trong vật chất. Dù sao đi nữa, sự giải thích vốn thừa nhận vô hạn và liên tục, từ một điểm nhìn khoa học, vẫn còn lại là dễ dàng hơn và tự nhiên hơn, không gì sánh bằng, so với bất kỳ nào khác, và kể từ khi Georg Cantor [1] đã cho thấy rằng những mâu thuẫn đã giả định là ảo tưởng, thôi không còn có bất kỳ một lý do nào nữa để chống chỏi với một giải thích về thế giới theo thuyết hữu hạn [2].


Những khó khăn đã giả định về tính liên tục tất cả có nguồn của chúng trong sự kiện là một chuỗi liên tục phải có một số vô hạn những số hạng [3], và là trong thực tế những khó khăn bao gồm tính vô hạn. Do thế nên, khi trả tự do cho vô hạn khỏi mâu thuẫn, chúng ta cũng đồng thời cho thấy sự có thể có được lôgích của liên tục như đã thừa nhận trong khoa học.


Đường lối thuộc loại mà trong đó vô hạn đã được sử dụng để làm nghi ngờ, không tin vào thế giới của cảm giác có thể được minh họa bằng hai nghịch lý đầu tiên của Kant. Trong cái đầu tiên, chính đề phát biểu: “Thế giới có một khởi đầu về thời gian, và về phần không gian thì bao quanh nội trong những giới hạn”; phản đề phát biểu: “Thế giới không có khởi đầu và không có giới hạn trong không gian, nhưng là vô hạn về phương diện của cả thời gian và không gian”. Kant tự nhận là chứng minh cả hai mệnh đề này, trong khi đó, nếu những gì chúng ta đã nói về logich hiện đại có bất kỳ sự thật nào, phải là không thể nào chứng minh được một nào trong cả hai cả.  Tuy nhiên, nhằm mục đích giải cứu thế giới của cảm giác, phá hủy chứng minh của một trong hai là đủ. Đối với mục đích hiện giờ của chúng ta, đó là chứng minh rằng thế giới là hữu hạn làm chúng ta chú ý. Luận chứng của Kant liên quan đến không gian ở đây nằm dựa trên luận chứng của ông liên quan đến thời gian. Do thế nên chúng ta chỉ cần xem xét luận chứng về phần thời gian. Những gì ông nói là như sau:

“Vì chúng ta hãy cùng giả định rằng thế giới không có khởi đầu về phần thời gian, như thế nên đến tận mỗi khoảnh khắc đem cho, một vĩnh cửu đã trôi qua, và do đó một chuỗi vô hạn của những trạng thái liên tục của những sự vật trong thế giới đã qua đi. Nhưng tính vô hạn của một chuỗi cốt ở đúng trong điều này, rằng nó không bao giờ có thể được hoàn tất bởi sự tổng hợp liên tục. Do đó, một chuỗi-thế-giới quá khứ vô hạn là không thể có được, và một cách tương ứng, một khởi đầu của thế giới là một điều kiện cần thiết cho hiện hữu của nó, đó là điều đầu tiên đã được chứng minh.”

Nhiều phê bình khác nhau có thể được chuyển đến luận chứng này, nhưng tự chúng ta sẽ hài lòng với chỉ một mức rất tối thiểu. Để bắt đầu, đó là một sai lầm để định nghĩa tính vô hạn của một chuỗi là “không thể nào có thể hoàn tất được bằng tổng hợp liên tục”. Khái niệm vô hạn, như chúng ta sẽ thấy trong bài giảng kế tiếp, chủ yếu là thuộc tính của những lớp [4], và chỉ rút ra áp dụng được cho những chuỗi; những lớp vốn chúng là vô hạn được đem cho tất cả cùng một lúc, bằng cách định nghĩa thuộc tính của những thành phần của chúng, do đó, không có câu hỏi về “hoàn tất” hoặc về “tổng hợp liên tục” . Và từ “tổng hợp”, bằng gợi nhắc đến hoạt động trí não của sự tổng hợp, một cách nhiều hơn hoặc ít hơn, ngấm ngầm giới thiệu, tham dẫn đó về não thức, vốn tất cả triết học Kant đã bị nó nhiễm độc. Trong vị trí thứ hai, khi Kant nói rằng một chuỗi vô hạn có thể “không bao giờ” được hoàn tất bởi tổng hợp liên tục, tất cả những gì ông có một quyền ngay cả một cách hình dung để nói, là nó không thể được hoàn tất trong một thời gian hữu hạn. Thế nên, những gì ông thực sự chứng minh là, nhiều nhất, rằng nếu thế giới đã không có khởi đầu, nó phải đã hiện hữu lâu rồi trong một thời gian vô hạn. Tuy nhiên, điều này là một kết luận rất nghèo nàn, không có cách nào xứng hợp với những mục đích của ông. Và với kết quả này chúng ta có thể được phép, nếu chúng ta chọn, rời bỏ nghịch lý thứ nhất.

Tuy nhiên, là đáng bõ công, để xem xét - làm thế nào Kant đã đi đến tạo một sai lầm ngớ ngẩn sơ đẳng như thế. Những gì đã xảy ra trong trí tưởng tượng của ông đã hiển nhiên là một điều gì đó giống như thế này: Bắt đầu từ hiện tại và đi ngược trở lại dòng thời gian, nếu thế giới không có bắt đầu, chúng ta có một chuỗi vô hạn của những biến cố. Như chúng ta thấy từ từ “tổng hợp”, ông đã tưởng tượng một não thức đương cố gắng nắm bắt những điều này một cách liên tục, theo thứ tự đảo ngược với của trong đó chúng đã xảy ra, tức là đi từ hiện tại trở lùi ngược về trước. Chuỗi vô hạn này thì hiển nhiên là một vốn không có chấm dứt. Nhưng chuỗi vô hạn gồm những biến cố cho đến hiện nay có một chấm dứt, bởi vì nó chấm dứt với hiện tại. Bắt nguồn từ chủ nghĩa chủ quan thâm căn cố đế của những tập quán não thức của ông, ông đã thất bại không để ý thấy rằng ông đã đảo ngược ý hướng của chuỗi, bằng cách thế chỗ tổng hợp hướng đi lùi với những gì xảy ra đang hướng đi tới, và thế nên ông đã giả định rằng nó là cần thiết để đồng nhất những chuỗi trí não, vốn không có chấm dứt, với những chuỗi vật lý, vốn có một chấm dứt nhưng không có khởi đầu. Nó sai lầm này, tôi nghĩ, trong đó, hoạt động một cách vô thức, dẫn Kant đi đến gán tính hợp lệ vào với một mảnh mỏng manh độc nhất của lý luận ngụy biện.

Nghịch lý thứ hai minh họa sự phụ thuộc của vấn đề về tính liên tục trên của tính vô hạn. Chính đề phát biểu: “Tất cả mọi thực thể phức tạp trong thế giới tạo gồm những phần đơn giản [5], và - có hiện hữu khắp mọi nơi không gì ngoài cái đơn giản hoặc những gì là tạo hợp của nó”. Phản đề phát biểu: “Không có sự vật gì phức tạp trong thế giới bao gồm những phần đơn giản, và ở khắp mọi nơi trong nó, có hiện hữu không-gì là đơn giản”. Ở đây, giống như trước, những chứng minh của cả hai, chính đề và phản đề, được mở ra với những phê bình, nhưng với mục đích minh chứng cho vật lý và thế giới của cảm giác, là đủ để tìm thấy một ngụy biện trong một của những chứng minh. Cho mục đích này, chúng ta sẽ chọn chứng minh của phản đề, vốn nó bắt đầu như sau:

“Giả sử rằng một sự vật phức tạp (như thực thể) tạo gồm những phần đơn giản. Bởi vì tất cả quan hệ hướng ngoại, và vì thế nên tất cả tạo hợp ra từ những thực thể, thì chỉ có thể có được trong không gian, không gian bị chiếm ngụ bởi một sự vật phức tạp phải bao gồm cũng nhiều phần, như nhiều phần của sự vật gì tạo gồm. Bây giờ không gian không tạo gồm những phần đơn giản, nhưng tạo gồm những không gian”.

Phần còn lại của luận chứng của ông, chúng ta không phải quan tâm, bởi vì sự hệ trọng chủ yếu của bằng chứng nằm trong một phát biểu: “Không gian không tạo gồm những phần đơn giản, nhưng tạo gồm những không gian”. Điều này giống như phản đối của Bergson với “mệnh đề phi lý rằng chuyển động thì làm thành bởi những bất động”. Kant không bảo cho chúng ta biết lý do tại sao ông chủ trì rằng một không gian phải bao gồm những không gian, hơn là những phần đơn giản. Hình học xem không gian như được tạo thành bởi những điểm, vốn là đơn giản, và mặc dù, như chúng ta đã thấy, quan điểm này thì không cần thiết một cách khoa học hay một cách lôgích, nó vẫn còn có thể prima facie, và chỉ đơn thuần khả năng của nó là đủ để làm hỏng luận chứng của Kant. Bởi vì nếu chứng minh của ông về chính đề của nghịch lý đã là hợp lệ, và nếu phản đề đã sẽ có thể chỉ tránh được bằng sự giả định về những điểm, vậy thì nghịch lý tự bản thân nó sẽ có thể có khả năng có một lý do quyết định thuận lợi nghiêng về những điểm. Tại sao, sau đó, Kant đã nghĩ rằng không thể nào không gian có thể sẽ được hợp thành bởi những điểm?

Tôi nghĩ rằng hai cân nhắc suy nghĩ có lẽ đã ảnh hưởng ông. Trước hết, điều thiết yếu về không gian là trật tự không gian, và chỉ đơn thuần là những điểm, tự thân chúng, sẽ không giải thích cho trật tự không gian. Điều hiển nhiên là luận chứng của ông giả định không gian tuyệt đối, nhưng chính những quan hệ không gian của nó một mình là quan trọng, và chúng không thể bị giảm thu thành những điểm. Thế nên, nền tảng này của quan điểm của ông phụ thuộc vào sự thiếu hiểu biết của ông về lý thuyết lôgích về trật tự, và những dao động của ông giữa không gian tuyệt đối và tương đối. Nhưng cũng có một nền tảng khác cho quan điểm của ông, vốn nó có liên quan hơn nhiều đến chủ đề hiện tại của chúng ta. Đây là nền tảng bắt nguồn từ tính phân chia được cho đến vô hạn [6]. Một không gian có thể được phân đôi, và sau đó lại phân đôi nữa, và cứ như vậy ad infinitum [7], và ở mỗi giai đoạn của tiến trình, những phần là vẫn những không gian, không phải là những điểm. Ngõ hầu đạt đến mức thành những điểm bằng một phương pháp như vậy, sẽ phải là cần thiết để đi đến chỗ tận cùng của một tiến trình bất tận cùng, vốn là không thể nào có được. Nhưng cũng giống như một lớp vô hạn [8] có thể tất cả được đem cho cùng một lúc, bằng khái niệm định nghĩa của nó, mặc dù nó không thể đạt được bằng sự liệt kê liên tục,  do đó một tập hợp vô hạn những điểm có thể tất cả được đem cho cùng một lúc, như tạo một đường thẳng, hay một vùng mặt phẳng, hay một thể tích, mặc dù chúng không bao giờ có thể đạt được bởi tiến trình phân chia liên tục. Do đó, tính có thể phân chia đến vô hạn của không gian không đem cho nền tảng nào để phủ nhận không gian gồm có những điểm. Kant không cho ra những nền tảng của ông với sự phủ nhận này, và do đó chúng ta chỉ có thể phỏng đoán chúng đã là những gì. Nhưng hai nền tảng trên đây, mà chúng ta đã thấy được là ngụy biện, xem dường như đủ để giải thích cho ý kiến của ông, và do đó chúng ta có thể kết luận rằng phản đề của nghịch lý thứ hai là đã không được chứng minh.

Minh họa trên đây của về những nghịch lý của Kant đã được giới thiệu chỉ để cho thấy sự liên quan của vấn đề vô hạn với vấn đề của thực tại của những đối tượng của tri giác. Trong phần còn lại của bài giảng hiện nay, tôi ước mong phát biểu và giải thích vấn đề vô hạn, để cho thấy nó đã phát sinh như thế nào, và cho thấy sự lạc đề của tất cả những giải pháp những triết gia đã đề nghị. Trong bài giảng tiếp sau, tôi sẽ cố gắng giải thích giải pháp đích thực, vốn đã được những nhà toán học khám phá, nhưng dù sao đi nữa chủ yếu vẫn thuộc về triết học. Giải pháp là dứt khoát, theo nghĩa là nó hoàn toàn thỏa mãn và thuyết phục tất cả những ai nghiên cứu nó cẩn thận. Trong xuốt hơn hai ngàn năm, vấn đề đã làm rối rắm lúng túng trí tuệ con người; nhiều những thất bại của nó và thành công cuối cùng của nó làm cho vấn đề này đặc biệt thích hợp cho sự minh họa về phương pháp.

Vấn đề hiện ra đã khởi lên đầu tiên trong một vài lối nào đó giống như sau [9].  Pythagoras và những người theo ông, là những người đã chú ý, giống như Descartes, đến sự áp dụng của số học vào hình học, đã thu nhận trong khoa học đó nhiều những phương pháp số học hơn là so với những gì Euclid đã làm chúng ta quen thuộc. Những người này, hoặc những người đương thời của họ, những atomists, đã tin rằng hiển nhiên không gian thì dựng thành bởi những điểm, trong khi thời gian gồm những khoảnh khắc [10]. Tự bản thân của tin tưởng này, đã không nêu lên những khó khăn mà họ đã gặp phải, nhưng được đoán chừng là một tin tưởng khác đã kèm nó đến theo, rằng số của những điểm trong bất kỳ khu vực hữu hạn nào, hoặc những khoảnh khắc trong bất kỳ một đoạn thời gian hữu hạn nào phải là hữu hạn. Tôi không giả định rằng tin tưởng kể sau này đã là một tin tưởng hữu thức, bởi vì có lẽ không có tình trạng có thể nào khác đã xảy ra với họ. Nhưng tin tưởng dù sao đi nữa đã hoạt động, và rất nhanh chóng đưa họ vào trong mâu thuẫn với những sự kiện mà tự chính họ đã khám phá. Trước khi giải thích điều này đã xảy ra như thế nào, tuy nhiên, là điều cần thiết để nói một chữ trong sự giải thích của cụm từ “số hữu hạn”. Giải thích chính xác là một nội dung cho bài giảng kế tiếp của chúng ta; với lúc này, phải là đủ để nói rằng tôi hàm nghĩa là 0, và 1, và 2, và 3 và vân vân, cho bất tận mãi mãi, nói một cách khác, bất kỳ một con số nào vốn có thể có được bằng cách tiếp tục cộng thêm những số một . Điều này bao gồm tất cả những số có thể được diễn tả bằng phương tiện của những chữ số đếm thông thường của chúng ta, và bởi vì những con số như vậy có thể được làm cho lớn hơn và lớn hơn, mà không bao giờ đạt đến một con số tối đa không thể lớn hơn nữa, là điều dễ dàng để giả sử rằng không có những con số khác. Nhưng điều giả sử này, dù nó thật là tự nhiên, là nhầm lẫn.

Không biết - có phải bản thân những người trong phái Pythagoras đã tin rằng không gian và thời gian là được tạo thành bằng những điểm và những khoảnh khắc, không thể phân chia được, hay không - là một câu hỏi gây tranh cãi [11]. Có vẻ như rằng sự phân biệt giữa không gian và vật chất hãy còn chưa được làm cho rõ ràng, và như thế do đó, khi một quan điểm atom [12] được trình bày, là điều khó khăn để quyết định không biết đã có ý muốn nói về những hạt của vật chất, hoặc những điểm của không gian hay không. Có một đoạn đáng chú ý[13] trong Vật lý [14] của Aristotle, trong đó ông nói:

“Những người phái Pythagoreas tất cả duy trì sự hiện hữu của trống không [15], và nói rằng nó đi vào trong tự bản thân bầu trời [16] từ hơi thở vô biên, bởi vì cũng giống như bầu trời cũng thở hơi vào trong trống không; và trống không phân biệt với tự  nhiên, tựa như nếu nó đã là một thứ phân tách của những liên tục, và tựa như nếu nó đã là sự phân biệt của chúng; và rằng điều này cũng là những gì đầu tiên trong những con số, bởi vì chính là khoảng trống vốn phân biệt chúng”. [17]

Điều này dường như ngụ ý rằng họ đã xem vật chất như bao gồm những atoms với không gian trống không ở chen giữa. Nhưng nếu như vậy, họ đã phải suy nghĩ rằng không gian có thể được nghiên cứu bằng chỉ chú ý đến những atoms, bởi vì nếu không thì sẽ là khó để giải thích về những phương pháp số học của họ trong hình học, hoặc về những tuyên bố của họ rằng “mọi thứ là những con số”.[18]

Khó khăn vốn đã chắn đường những người phái Pytagoras trong những cố gắng của họ nhằm ứng dụng những số, nảy sinh ra qua khám phá của họ về những không-thể-so-được-với-nhau [19], và điều này, đến phiên nó, đã phát sinh như sau. Pythagoras, như chúng ta tất cả đã học trong thời nhỏ tuổi, đã khám phá ra định lý rằng - tổng số những bình phương hai cạnh kề của một tam giác vuông góc thì bằng bình phương cạnh huyền của nó. Người ta nói rằng ông đã dâng cúng một con bò khi ông khám phá ra định lý này, nếu như vậy, con bò là thánh tử đạo đầu tiên cho  khoa học [20]. Nhưng định lý này, mặc dù nó đã giữ lại là tuyên xưng chính cho ông với sự bất tử, đã không lâu sau tìm thấy có một hệ quả chết người với toàn bộ triết học của ông. Hãy xét trường hợp của một tam giác vuông góc, có cạnh hai bên bằng nhau [21], chẳng hạn như một tam giác được tạo thành bởi hai cạnh của một hình vuông và một đường chéo góc,. Ở đây, trong tư cách của định lý, bình phương đường chéo của hình vuông là gấp đôi bình phương của một trong hai cạnh [22]. Nhưng Pythagoras, hay những học trò theo ông lớp đầu tiên, đã dễ dàng chứng minh rằng bình phương của một số nguyên không thể là bằng gấp đôi bình phương của một số nguyên khác[23]. Do đó chiều dài của một cạnh và chiều dài của đường chéo là không cùng đơn vị đo lường; nói thế có nghĩa là, dù bạn chọn một đơn vị đo lường nhỏ cho đến đâu đi nữa, nếu nó chứa một con số chính xác những lần ở trong một cạnh, nó không chứa bất kỳ một con số chính xác nào những lần ở trong đường chéo, và ngược lại cũng thế.

Hiện giờ, sự kiện này có thể đã được một vài triết lý tiêu hoá, mà không có bất kỳ khó khăn lớn lao nào, nhưng với triết lý của Pythagoras nó đã hoàn toàn là nguy kịch chí tử. Pythagoras chủ trương rằng (con) số là yếu tính tạo dựng của tất cả mọi sự vật, ấy thế mà hai con số không có thể diễn tả được tỉ lệ của cạnh một hình vuông với đường chéo của nó.  Xem ra dường như có thể xảy ra là chúng ta có thể được phép khai triển khó khăn của ông, mà không lệch xa suy nghĩ của ông, bằng giả sử rằng ông đã xem chiều dài của một đường thẳng như được xác định bởi số những atoms đã chứa trong nó - một đường dài hai inches sẽ chứa nhiều gấp hai lần những atoms so với một đường dài một inch, và cứ như vậy. Nhưng nếu điều này đã là sự thật, vậy sau đó phải có một tỷ lệ bằng số chính xác giữa bất kỳ hai chiều dài hữu hạn nào, bởi vì nó được giả định rằng số lượng của những atom trong mỗi (chiều dài), dù cho dài đến đâu, phải là hữu hạn. Ở chỗ này đã có một mâu thuẫn không giải đáp được. Những người phái Pythagoras, người ta nói, đã giải quyết bằng cách giữ sự hiện hữu của những không-thể-so-được-với-nhau là một bí mật sâu kín, chỉ tiết lộ với một vài người đứng đầu tối cao của giáo phái; và một trong số những người này, Hippasos của Metapontion, thậm chí còn nói là đã bị đánh đắm tàu trên biển vì đã bất kính công bố khám phá khủng khiếp này cho những kẻ địch của họ. Phải nhớ rằng Pythagoras đã là người sáng lập một tôn giáo mới, đổng thời cũng là một vị thày dạy của một khoa học mới: nếu khoa học đã thành ra bị hoài nghi, những môn đệ có thể rơi vào tội lỗi, và có lẽ ngay cả ăn đậu (hột), vốn theo như Pythagoras, thì cũng xấu xa như ăn xương (thịt) cha mẹ.

Vấn đề đầu tiên được nêu lên bởi sự khám phá của những không-thể-so-sánh, với thời gian trôi qua, đã chứng minh là một trong những vấn đề nghiêm trọng nhất, và đồng thời tác động xa rộng nhất vốn trí tuệ con người đã đối đầu trong nỗ lực của nó để hiểu biết về thế giới. Nó đã cho thấy ngay lập tức rằng sự đo lường bằng số của những độ dài, nếu nó đã là được thực hiện chính xác, phải  đòi hỏi  một khoa số học có trình độ cao hơn và khó khăn hơn so với bất kỳ những gì mà thời cổ đã có được. Do đó họ đã đặt định làm việc để xây dựng lại khoa hình học trên một cơ sở vốn đã không giả định khả năng phổ quát của sự đo lường bằng số - một sự xây dựng lại, như có thể được nhìn thấy trong Euclid, trong đó họ thi hành với kỹ năng khác thường và sự chính xác logich lớn lao. Những người thời hiện đại, dưới ảnh hưởng của hình học Cartesian [24], đã tái khẳng định khả năng phổ quát của sự đo lường bằng số, mở rộng số học, một phần vì mục đích đó, như thế để bao gồm những gì được gọi là những số “vô tỉ”, vốn đem cho những tỉ số của những chiều dài không-thể-so-được-với-nhau. Nhưng mặc dù những số vô tỉ từ lâu đã được sử dụng mà không có sự lo ngại, chỉ là trong những năm gần đây mà những định nghĩa tốt đẹp thoả mãn logich mới được đem lại cho chúng. Với những định nghĩa này, hình thức đầu tiên và hiển nhiên nhất của khó khăn, mà phái Pythagoras đã đối mặt với, đã được giải quyết, nhưng những hình thức khác của khó khăn vẫn còn  để được xem xét, và chính  là những điều này giới thiệu chúng ta với vấn đề của vô hạn ở dạng thuần khiết của nó.

Chúng ta đã thấy, khi chấp nhận quan điểm rằng một chiều dài thì được những điểm tạo thành, sự hiện hữu của những không-thể-so-được-với-nhau chứng minh rằng tất cả mọi chiều dài hữu hạn phải chứa đựng một số vô hạn của những điểm. Nói cách khác, nếu như chúng ta đã lấy đi những điểm, dần từng điểm một, chúng ta sẽ không bao giờ lấy đi hết tất cả những điểm, dù chúng ta tiếp tục tiến trình lâu dài cho đến đâu. Số điểm do đó, không thể đếm được, bởi vì đếm là một tiến trình trong đó liệt kê những sự vật gì từng cái một. Thuộc tính của có tư cách không khả năng có thể đếm được là đặc tính của những collection [25] vô hạn, và là một nguồn của rất nhiều đặc tính nghịch lý của chúng. Quá nghịch lý là những đặc tính này khiến cho đến tận thời của chúng ta, chúng đã được nghĩ là dựng thành những mâu thuẫn lôgich. Một chuỗi dài gồm những triết gia, từ Zeno [26]  đến M. Bergson, đã dựa nhiều những siêu hình học của họ trên sự giả định là không thể có được của những collection vô hạn.  Nói rộng ra, những khó khăn đã được Zeno phát biểu, và không gì có thực chất quan trọng đã được thêm vào, cho tới tận khi chúng ta đạt đến Paradoxien des Unendlichlen của Bolzano, một công trình nhỏ viết trong các năm 1847-8, và đã xuất bản sau khi tác giả chết, vào năm 1851. Những nỗ lực can thiệp để đối phó với vấn đề này là không đi đến đâu và không đáng kể.  Giải pháp dứt khoát cho những khó khăn, không từ Bolzano, nhưng do Georg Cantor, người có công trình về chủ đề này đầu tiên xuất hiện trong năm 1882.

Ngõ hầu để hiểu Zeno, và để nhận thức rằng nhỏ nhoi đến chừng nào siêu hình học chính thống hiện đại đã thêm được vào với những thành tựu của người HyLạp, chúng ta phải dành chốc lát, xem xét người thày của ông là Parmenides, những nghịch lý đã được phát minh [27] trong sự quan tâm của vị này. Parmenides triển khai những quan điểm của ông trong một bài thơ, được chia thành hai phần, được gọi là “con đường của sự thật” và “con đường của ý kiến” - giống như “Dạng ngoài” và “Thực tại” của ông Bradley, ngoại trừ Parmenides bảo cho chúng ta trước tiên về thực tại , và rồi sau đó về dạng ngoài. “Con đường của ý kiến”, trong triết học của ông, nói rộng rãi, là Pythagoreanism; nó bắt đầu với một cảnh cáo: “Ở đây, tôi sẽ hạn chế - nói năng đáng tin cậy và suy nghĩ - về sự thật của tôi lại,. Từ đây về sau học hỏi những ý kiến của loài hữu tử (loài người), lắng tai vào trật tự lừa dối của những từ của tôi”. Những gì đã ra trước là đã được tiết lộ bởi một god nữ, vị này nói với ông ta những gì thực tại . Thực tại, bà god nói, thì không-được-tạo-ra, không thể phá hủy, không thay đổi, không phân chia[28], nó là “không thể chuyển động trong những kết chặt của những chuỗi xiềng xích phi thường, không có bắt đầu và không có kết thúc, bởi vì ra đời thành hình và mất đi đã được điều khiển từ xa, và tin tưởng chân thực đã ném chúng đi”. Nguyên tắc cơ bản của sự điều tra của ông được phát biểu trong một câu, vốn nó sẽ không bị lạc lõng trong Hegel: [29] “Ngươi không thể biết những gì là không – điều đó là không thể - cũng chẳng thốt nên lời về nó; bởi vì nó là cùng sự vật mà có thể suy nghĩ được và có thể là”. Và lại nữa: “cần phải là cái mà vốn những gì có thể suy nghĩ được, và nói về được, bởi vì có thể được cho nó là có, và không thể được cho những gì là không-gì (mà) thành là có”[30]. Tính không thể nào có được về thay đổi dẫn tiếp từ nguyên lý này; bởi vì những gì là quá khứ có thể nói đến được, và do đó, theo nguyên lý, vẫn là (có đó, không đổi, không mất)”.

Khái niệm tuyệt vời về một thực tại đằng sau những hư ảo của cảm giác thoáng qua, một cái gì thực tại, bất phân, và bất biến, như thế đã được Parmenides đưa vào triết học phương Tây, điều này có vẻ, không vì những lý do thần bí, tôn giáo, nhưng trên cơ sở của một luận chứng hợp lôgích về sự không-thể của phi-hữu–thể [31]. Tất cả những hệ thống siêu hình lớn - đáng chú ý là của Plato, Spinoza, và Hegel - đều là thành quả của ý tưởng nền tảng này. Là điều khó khăn để tách gỡ đúng thật và sai lầm trong quan điểm này. Luận điểm  rằng thời gian là không-thực, và rằng thế giới của cảm giác là ảo ảnh, tôi nghĩ, phải được xem là dựa trên lý luận nguỵ biện. Dù sao đi nữa, có một số cảm giác - dễ dàng để cảm nhận hơn là để phát biểu - trong đó thời gian là một đặc điểm không quan trọng và thiển cận mặt ngoài của thực tại. Quá khứ và tương lai phải được thừa nhận là cũng thực như hiện tại, và một giải phóng khỏi nô lệ với thời gian là thiết yếu cho tư tưởng triết học. Sự quan trọng của thời gian là có phần đúng về thực tế hơn là về lý thuyết, có phần đúng hơn trong quan hệ với những khát vọng của chúng ta, hơn là trong quan hệ với sự thật. Một hình ảnh thực hơn của thế giới, tôi nghĩ rằng, thì có được bằng cách hình dung những sự vật như nhập vào trong dòng thời gian từ một thế giới vĩnh cửu bên ngoài, hơn là từ một quan điểm vốn xem thời gian như bạo chúa đương ngấu nghiến ăn tươi nuốt sống của tất cả những gì là có. Cả trong suy nghĩ và trong cảm giác, nhận thức ra sự không quan trọng của thời gian là cổng vào của trí tuệ khôn ngoan. Nhưng không-quan-trọng không phải là không-thực-tại; và do đó những gì chúng ta sẽ phải nói về những luận chứng của Zeno trong hỗ trợ cho Parmenides, phải chính yếu là hệ trọng.

Mối liên hệ của Zeno với Parmenides được Plato giải thích [32] trong đối thoại,  trong đó Socrates như là một người thanh niên trẻ, học sự sắc bén lôgích và sự vô tư không cầu lợi triết lý từ biện chứng của chúng. Tôi trích dẫn từ bản dịch của Jowett:

“Tôi hiểu, Parmenides, Socrates nói, rằng Zeno cũng là tự ngã thứ hai của ông trong những viết lách của ông ấy nữa;  ông ấy viết xuống những gì ông nói bằng một cách khác, và sẽ sẵn sàng đánh lừa chúng ta vào tin tưởng rằng những gì ông ấy nói với chúng ta là mới. Đối với ông, trong những bài thơ của ông, nói Tất-cả là Một, và với điều này ông viện dẫn bằng chứng tuyệt vời, và ông ta, môt mặt khác, nói không có Nhiều, và nhân danh điều này ông ấy cung cấp bằng chứng tràn ngập. Để đánh lừa thế giới, như ông đã làm, bằng cách nói cùng một điều trong nhiều cách khác nhau, một trong đám các ông khẳng định cái Một, và môt người khác phủ nhận cái Nhiều, là một biến dạng của nghệ thuật vượt ra ngoài tầm với của hầu hết chúng tôi.

“Đúng đấy, Socrates, Zeno nói. Nhưng mặc dù bạn cũng bền bỉ như một con chó săn giống Spartan trong việc theo đuổi theo dấu vết, bạn hoàn toàn không nắm lấy được động cơ thực sự của văn bản soạn thảo, vốn thực sự không là một công việc có tham vọng đến như bạn tưởng tượng; bởi vì những gì bạn nói đã là một ngẫu nhiên, tôi không có ý định nghiêm túc nào về chuyện lừa bịp mọi người. Sự thật là những tác phẩm này của tôi đã đã nhắm để bảo vệ những lập luận của Parmenides chống lại những ai chế giễu ông ấy và trình bày nhiều những kết quả mâu thuẫn và lố bịch vốn chúng giả định rằng đến theo sau  từ sự khẳng định của cái-một. Trả lời của tôi là một nhắn gửi đến để những người trong phe đảng ủng hộ cái-nhiều, tấn công của họ tôi đáp lại với chú ý trả đũa quật lại họ rằng giả thuyết của họ về hũu thể của cái-nhiều, nếu như đem ra thực hành, xuất hiện trong một ánh sáng lại còn lố bịch nhiều hơn so với giả thuyết về hũu thể của cái-một”.

Bốn luận chứng của Zeno chống lại chuyển động  đã có chủ định  để phơi bày những mâu thuẫn phát sinh từ việc giả sử rằng có một điều giống như là thay đổi, và như thế, để hỗ trợ cho học thuyết Parmenidean rằng thực tại  là bất-biến, không-thay-đổi [33].

Thật không may, chúng ta chỉ biết những lập luận của ông qua Aristotle [34],  người đã phát biểu chúng trong mục đích để bác bỏ chúng. Những triết gia này trong thời nay, ai đã có những học thuyết của mình được phát biểu bởi những đối thủ của họ,  sẽ nhận ra rằng một sự trình bày công bằng hoặc đầy đủ về vị trí của Zeno hầu như khó mà mong có được từ Aristotle, nhưng bằng một vài cẩn thận khi diễn giải, xem ra là có thể được để xây dựng lại cái gọi là “giảo biện”[35] vốn đã bị “bác bỏ” bởi tất cả mỗi kẻ dù chỉ tay mơ, từ ngày đó đến nay.

Những luận chứng của Zeno dường có vẻ như là “ad hominem” [36], đó là nói rằng, chúng có vẻ là giả định những tiền đề đã được những đối thủ của ông chấp nhận, và cho thấy rằng, vì chấp nhận những tiền đề này, là có khả năng suy diễn ra những hệ quả vốn những đối thủ của ông phải từ chối. Để quyết định xem chúng là những luận chứng hợp lệ hay những “giảo biện”, là điều cần thiết để đoán từ những tiền đề ngầm, và quyết định xem ai là những “homo” mà chúng đã nhắm đến. Một số người giữ ý kiến rằng chúng đã nhắm vào những Pythagoreans [37],  trong khi những người khác đã chủ trì rằng chúng đã chủ định để bác bỏ những atomists. [38] M. Evellin, trái lại, cho rằng chúng tạo thành một phản bác về sự phân chia đến vô hạn [39], trong khi M. G.  Noel, trong những lợi ích với của Hegel, chủ trương rằng hai luận chứng đầu tiên bác bỏ sự sự phân chia đến vô hạn, trong khi hai cái kế sau bác bỏ những không-thể-phân-chia [40]. Giữa một đám nhiều loại những diễn giải rối bòng bong giống như vậy, ít nhất chúng ta có thể không phải than phiền về có bất kỳ môt hạn chế nào trên tự do lựa chọn của chúng ta.

Những câu hỏi lịch sử nêu lên bởi những cuộc thảo luận nhắc trên không hoài nghi gì phần lớn là không giải đáp được, do bằng chứng của chúng ta bắt nguồn từ vật liệu rất thưa thớt. Những điểm mà dường như khá rõ ràng là như sau: (1) Bất kể MM. Milhaud và Paul Tannery, rằng Zeno là lo lắng để chứng minh rằng chuyển động thì thực sự là không-thể, và rằng ông ước muốn chứng minh điều này bởi vì ông đi theo  Parmenides trong sự phủ nhận số-nhiều; [41] (2) rằng những luận chứng thứ ba và thứ tư tiến hành trên giả thuyết của những không-thể-phân-chia, một giả thuyết vốn nó, không biết những Pythagoreans có chấp nhận hay không, chắc chắn đã được nhiều ủng hộ, như có thể được xem thấy từ nghị luận On Indivisible Lines, được gán cho Aristotle. Về phần hai luận chứng đầu tiên, chúng xem có vẻ như là hợp lệ trên giả thuyết của những không-thể-phân-chia, và cũng vậy, với không có giả thuyết này, giống là như thế sẽ là hợp lệ, nếu như những mâu thuẫn truyền thống về những số vô hạn đã không có được giải đáp, mà vốn chúng là không.

Do đó, chúng ta có thể kết luận, rằng luận chiến của Zeno là nhằm chống lại quan điểm rằng không gian và thời gian bao gồm những điểm và những khoảng khắc, và đó như chống lại quan điểm rằng một đoạn kéo dài hữu hạn của không gian, của thời gian bao gồm một số hữu hạn những điểm và những khoảng khắc, lập luận của ông không phải là giảo biện, nhưng hoàn toàn hợp lệ.

Kết luận mà Zeno ước mong chúng ta rút ra được, là cái-nhiều là một ảo tưởng, và không gian và thời gian thực sự không thể phân chia được. Kết luận kia vốn nó là có thể, tức là số của những điểm và những khoảng khắc là vô hạn, đã là không thể đứng vững được chừng nào vô hạn bị những mâu thuẫn là nhiễm độc. Trong một mảnh văn mà không phải là một trong bốn lập luận nổi tiếng chống lại sự chuyển động, Zeno nói:

“Nếu những sự-vật là một cái-nhiều, chúng phải là đúng cũng nhiều như chúng là, và không hơn cũng chẳng kém. Bây giờ, nếu chúng là cũng nhiều như chúng là, chúng sẽ là hữu hạn trong số lượng.

“Nếu những sự-vật là một cái-nhiều, chúng sẽ là vô hạn trong số lượng, bởi vì sẽ luôn luôn có những sự-vật khác chen giữa chúng, và những cái khác nữa chen giữa những cái này. Và như thế những sự vật là vô hạn trong số lượng”. [42]

Lập luận này cố gắng để chứng minh rằng, nếu có nhiều những sự vật, số lượng của chúng phải là vừa hữu hạn và vô hạn, vốn điều đó là không thể có được, thế nên chúng ta rồi kết luận rằng chỉ có độc nhất một sự-vật. Nhưng điểm yếu trong luận chứng là cụm từ: “Nếu chúng là đúng cũng nhiều như chúng là, chúng sẽ là hữu hạn trong số lượng”. Cụm từ này không phải là rất mắc mỏ, nhưng nó xuông thẳng rằng nó giả sử là sự không thể của những số vô hạn xác định. Nếu không có giả định này, mà giờ đây được biết là sai, những luận chứng của Zeno, mặc dù chúng đủ (trên một số những giả định rất hợp lý) để xua tan giả thuyết của những không-thể-phân-chia hữu hạn, không đủ để chứng minh rằng chuyển động, và thay đổi, và số nhiều [43] là không thể được. Tuy nhiên, trên bất kỳ một quan điểm nào, chúng không phải là chỉ đơn thần là những cãi cọ ngu dại: chúng là những luận chứng nghiêm trọng, nêu lên những khó khăn vốn đã mất hai ngàn năm để trả lời, và ngay cả đến bây giờ là quyết định sống còn với những giảng dạy của hầu hết những triết gia.


Luận chứng thứ nhất của Zeno là luận chứng về sân chạy đua, được Burnet diễn giải như sau: [44]

“Bạn không thể đạt đến cuối của một sân chạy đua. Bạn không thể đi qua một số vô hạn những điểm trong một thời gian hữu hạn. Bạn phải đi qua một nửa của bất kỳ một khoảng cách nhất định cho sẵn nào, trước khi bạn đi qua toàn bộ, và một nửa của phần đó một lần nữa trước khi bạn có thể đi qua nó. Điều này tiếp tục đến vô cùng tận, vì vậy sẽ có một số vô hạn những điểm trong không gian bất kỳ nào đó, và bạn không thể chạm đến một số vô hạn, điểm từng điểm một, trong một thời gian hữu hạn” [45].

Zeno kêu gọi ở đây, ở điểm đầu tiên, với sự kiện rằng bất kỳ khoảng cách nào, dù cho nhỏ đến đâu, có thể bị phân đôi. Từ điều này nó dẫn đến, dĩ nhiên, rằng phải có một con số vô hạn những điểm trên một đường thẳng. Nhưng Aristotle trình bày Zeno như đương tranh cãi, bạn không thể chạm đến một số vô hạn gồm những điểm, lần lượt từng cái một, trong một thời gian hữu hạn. Những từ “từng cái một” là quan trọng, (1) Nếu tất cả những điểm được chạm đến là mối quan tâm, vậy sau đó, mặc dù bạn đi qua chúng liên tục, bạn không chạm vào chúng “từng cái một”. Đó là nói rằng, sau khi chạm vào một, không có một cái khác để bạn kế tiếp chạm đến: không có hai điểm là cạnh lẫn nhau, nhưng giữa bất kỳ hai nào, luôn luôn có một số vô hạn những cái khác, vốn không thể liệt kê chúng từng cái một.  (2) Về mặt khác, nếu chỉ có những điểm nằm giữa, liên tiếp nhau là mối quan tâm, đạt được bằng cách luôn luôn phân đôi những gì còn lại của sân đua, vậy thì những điểm được lần lượt đi đến từng cái một, và mặc dù chúng là vô hạn về số lượng, trong thực tế tất cả chúng đều đạt đến được trong một thời gian hữu hạn.  Luận chứng của ông, đối nghịch lại,  có thể giả định là kêu gọi đến quan điểm rằng một thời gian hữu hạn phải bao gồm một số hữu hạn những khoảnh khắc, trong trường hợp đó những gì ông nói sẽ là hoàn toàn đúng trên giả định rằng rằng khả năng của sự tiếp tục phân đôi là không thể phủ nhận. Nếu, mặt khác, chúng ta cho rằng lập luận chống lại những người trong phe ủng hộ sự phân chia đến vô hạn, chúng ta phải giả sử nó tiến hành như sau:  [46] “Những điểm đem lại bởi cắt đôi làm hai những khoảng cách vẫn còn phải đi qua là vô hạn về số lượng, và đạt đến trong liên tiếp, mỗi một được đạt đến trong một thời gian hữu hạn chậm hơn những cái trước của nó, nhưng tổng số của một số vô hạn những lần thời gian hữu hạn phải là vô hạn, và do đó, tiến trình sẽ không bao giờ được hoàn tất”.  Rất có thể rằng đây là diễn dịch đúng như theo lịch sử, nhưng trong hình thức này, lập luận là không hợp lệ. Nếu một nửa quãng chạy chiếm mất nửa phút, và một phần tư quãng chạy kế tiếp chiếm có một phần tư của một phút, và tiếp tục như vậy, toàn bộ quá trình sẽ mất một phút. Sức mạnh hiển nhiên của luận chứng, trong cách diễn dịch này, nằm duy nhất trong giả định sai lầm rằng không thể có bất cứ gì nằm ở giữa toàn bộ của một chuỗi vô hạn, vốn có thể được xem thấy là sai lầm bằng cách quan sát rằng 1 thì vượt quá của toàn bộ chuỗi vô hạn, 1/2, 3/4, 7/8, 15/16,…. .[47]


Thứ hai trong những luận chứng của Zeno là liên quan đến Achilles và con rùa, vốn nó đã đạt được tai tiếng nhiều hơn những luận chứng khác. Nó được Burnet diễn giải như sau: [48]

“Achilles sẽ không bao giờ vượt qua được con rùa[49]. Ông ta trước tiên phải đạt được vị trí mà từ đó con rùa đã bắt đầu. Đến lúc ấy, con rùa đã dẫn trước được một khoảng cách nào đó. Achilles vậy sau đó phải xoá khoảng cách đó, và một lần nữa con rùa sẽ dẫn trước rồi. Ông ta luôn tiến càng gần hơn, nhưng ông không bao giờ xoá hết khoảng cách đến con rùa”.  [50]

Lập luận này là cơ bản giống như lập luận kể trước. Nó cho thấy rằng, Achilles nếu có bao giờ vượt qua con rùa, phải là sau một số vô hạn của những khoảnh khắc đã trôi qua kể từ khi ông bắt đầu. Điều này thực tế là đúng, nhưng quan điểm cho rằng một số vô hạn của những khoảnh khắc tạo nên một thời gian dài vô hạn là không đúng sự thật, và do đó sẽ không dẫn đến kết luận rằng Achilles sẽ không bao giờ vượt qua được con rùa.


Lập luận thứ ba [51] đó là về mũi tên, là rất thú vị.  (Sự trung thực của) bản văn đã bị nghi ngờ. Burnet chấp nhận những thay đổi của Zeller, và diễn giải như sau:

“Mũi tên đang bay thì đứng yên. Bởi vì,  nếu mọi sự vật đều đứng yên khi nó chiếm một không gian bằng với chính nó, và những gì khi đang bay trong một bất kỳ khoảnh khắc nào cho sẵn, luôn luôn chiếm một không gian bằng với chính nó, nó không thể chuyển động”.

Nhưng theo như Prantl, dịch sát từng chữ theo bản văn không thêm thắt của Aristotle phát biểu về luận chứng là như sau: “Nếu tất cả mọi thứ, khi nó đương hành xử trong một thể cách đồng nhất, thì liên tục hoặc là di chuyển hoặc là yên nghỉ, nhưng những gì đang chuyển động luôn luôn ở trong cái-bây-giờ, vậy nên mũi tên đương di chuyển thì bất động “. Hình thức này của luận chứng đưa sức mạnh của nó ra rõ ràng hơn là so với diễn giải của Bumet.

Ở đây, nếu không phải trong hai luận chứng đầu tiên, quan điểm cho rằng một phần hữu hạn của thời gian bao gồm một chuỗi hữu hạn của những khoảnh khắc kế tiếp xem ra là đã được giả định; với bất kỳ tỷ lệ nào sự có vẻ tin cậy của luận chứng dường như phụ thuộc vào sự giả sử rằng có những khoảnh khắc liên tiếp. Trong suốt một khoảnh khắc, được nói rằng, một vật thể đương di chuyển thì ở tại nơi mà nó là: nó không thể chuyển dịch trong quãng thời gian của khoảnh khắc, vì nếu thế sẽ đòi hỏi rằng những khoảnh khắc sẽ có những phần (nhỏ hơn). Như vậy, giả sử chúng ta xem xét một khoảng thời gian bao gồm một nghìn những khoảnh khắc, và giả sử rằng mũi tên đương bay trong suốt thời gian này. Tại mỗi của nghìn những khoảnh khắc, mũi tên ở nơi nó là, mặc dù đến khoảnh khắc kế tiếp, nó ở một nơi nào đó khác. Nó là không bao giờ chuyển dịch, nhưng trong một cách thần kỳ nào đó, sự thay đổi vị trí đã xảy ra giữa những những khoảnh khắc, như thế là nói rằng, không phải ở tại một bất kỳ một thời gian nào dù gì đi nữa. Đây là những gì M. Bergson gọi là sự trình bày thực tại theo lối của cinema. Càng suy nghĩ về sự khó khăn bao nhiêu, nó càng thêm trở thành thực hơn. Giải pháp nằm trong lý thuyết của những chuỗi liên tục: chúng ta thấy khó để tránh giả sử rằng, khi mũi tên đương trong chuyến bay, có một vị trí tiếp theo chiếm đóng tại thời điểm tiếp theo, nhưng trong thực tế, không có vị trí tiếp theo, và không có thời điểm tiếp theo, và một khi điều này nhận thức ra được bằng tưởng tượng, sự khó khăn có thể được coi như biến mất.


Luận chứng thứ tư và là luận chứng cuối cùng của Zeno là lập luận [52] về sân vận động.

Luận chứng được Burnet phát biểu như sau đây:

Vị trí đầu tiên.                      Vị trí thứ hai

A      °   °   °   °                       A       °   °   °   °                      (đứng yên)
B      °   °   °   °                       B   °   °   °   °         
C      °   °   °   °                       C             °   °   °   °

“Một nửa thời gian có thể là bằng gấp đôi thời gian. Chúng ta hãy cùng giả định có ba hàng của những vật thể, một trong số chúng (A) là đứng yên, trong khi hai hàng kia (B, C) đương di chuyển với cùng vận tốc những theo hướng ngược nhau. Đến khi chúng tất cả ở cùng phần của sân đua, B sẽ phải vượt qua nhiều gấp hai số những vật thể trong hàng C, so với như trong hàng A. Thế nên, thời gian vốn nó (B) cần để vượt qua C thì lâu bằng gấp hai thời gian nó cần để vượt qua A. Nhưng thời gian trong đó, B và C cần để đạt được vị trí của A, là như nhau. Do đó gấp đôi thời gian bằng với nửa thời gian”.

Gaye [53] dành một bài viết thú vị để giải thích lập luận này. Bản ông dịch của phát biểu của Aristotle như sau:

“Luận chứng thứ tư là lập luận có liên quan đến hai hàng gồm những vật thể, mỗi hàng được tạo thành bởi một số bằng nhau gồm những vật thể có kích thước bằng nhau, vượt ngang qua nhau trên một sân đua trong khi chúng tiến tới với cùng vận tốc, nhưng ngược chiều, lúc khởi đầu, một hàng chiếm chỗ nằm giữa đích cuối và điểm chính giữa của sân đua, và hàng kia là giữa từ điểm chính giữa và điểm bắt đầu sân đua.  Điều này, ông nghĩ rằng, liên quan đến kết luận rằng một nửa một thời gian xác định thì bằng với gấp đôi của thời gian ấy. Ngụy biện của suy luận nằm trong giả định rằng một vật thể chiếm một thời gian bằng nhau trong đi ngang qua bằng cùng vận tốc, với một vật thể đang chuyển động, và với vật thể kích thước bằng nhau những đứng yên, một giả định vốn là sai lầm.  Lấy thí dụ (theo như lý luận), hãy lấy:

-          AA . . . là những vật thể đứng yên, có kích thước bằng nhau,
-          BB . . . là những vật thể, bằng về số lượng và kích thước với AA . . , ban đầu chiếm nửa của sân đua, từ cột mốc bắt đầu đến giữa của những A,
-          Và CC . . .  là những vật thể  ban đầu chiếm một nửa kia, từ mục tiêu của sân đua đến giữa của A, bằng số lượng, kích thước, và vận tốc với BB . . .,

 Sau đó, ba hậu quả theo sau:

-          Trước tiên, trong khi những B và những C vượt qua nhau, vật thể đầu tiên trong đám B đạt đến vật thể cuối cùng trong đám C, vào cùng thời điểm mà tại đó vật thể đầu tiên trong đám C đầu tiên đạt đến vật thể cuối trong đám B.

-          Thứ hai, tại thời điểm này, vật thể đầu tiên trong đám C đã vượt qua tất cả của những A, trong khi vật thể đầu tiên trong đám B đã vượt qua chỉ một nửa của những A, và hệ quả là chỉ chiếm bằng một nửa thời gian mà C đầu tiên đã phải mất, bởi vì mỗi một chúng đã mất cùng một khoảng thời gian để vượt qua mỗi A .

-          Thư ba, cùng một lúc tất cả những B đã vượt qua tất cả những C: bởi vì C đầu tiên và B đầu tiên sẽ đồng thời chạm đến hai đầu của sân đua, bởi vì (nói như Zeno) thời gian đã chiếm để C đầu tiên đi ngang qua mỗi một của những B là bằng với thời gian đã chiếm để nó đi ngang qua mỗi một của những A.  Bởi vì cùng một thời gian đã chiếm mất bởi cả hai; chiếc B đầu tiên và C đầu tiên  trong đi ngang qua tất cả những A. Đây là lập luận: nhưng nó tiền giả định giả định ngụy biện đã nói trước đây”.

Lập luận này không phải là khá dễ dàng để theo dõi, và nó chỉ hợp lệ như chống lại giả định rằng một thời gian hữu hạn bao gồm một số hữu hạn những những khoảnh khắc. Chúng ta có thể phát biểu nó lại trong cách nói khác. Chúng ta hãy cùng giả sử ba trung sĩ huấn luyện viên quân đội, A, A’, và A’’, đứng thành một hàng, trong khi có hai hàng lính, đang đi diễn hành, tiến ngang qua họ từ hai hướng đối nghịch.

Vị trí đầu tiên.                      Vị trí thứ hai.

B   B'   B”                                           B   B'   B”                                  
°    °     °                                               °    °     °

A   A'   A”                                     A   A'   A”                        
°    °     °                                         °    °     °

C   C'   C”                              C   C'   C”                               
°    °     °                                  °    °     °

Ở chuyển động đầu tiên mà chúng ta xem xét, ba người B, B ', B’’ là trong một hàng, và ba người C, C', C” ở một hàng kia, tương ứng đối diện với A, A ', và A “. Tại thời điểm kế tiếp ngay sau đó, mỗi hàng đã chuyển dịch đi, và bây giờ B và C” là đối diện với A’. Thế nên B và C” là đối diện nhau. Vậy như thế, lúc nào B đã vượt qua C’ ? Nó phải đã là một nơi nào đó giữa hai khoảnh khắc mà chúng ta đã giả định là liên tiếp, và vì thế cho nên hai khoảnh khắc đã không có thể thực sự là liên tiếp nhau. Nó dẫn đến rằng phải có những khoảnh khắc khác giữa hai thời điểm nhất định, và vì thế cho nên phải có một số vô hạn những khoảnh khắc trong bất kỳ khoảng thời gian nhất định nào.

Khó khăn kể trên, rẳng B phải đã vượt qua C’ ở một thời gian nào đó, giữa hai khoảnh khắc liên tiếp, là một khó khăn đích thực, nhưng nó không chính xác là khó khăn Zeno đã nêu lên. Những gì Zeno tự nhận để chứng minh là rằng “nửa của một thời gian nhất định thì bằng gấp đôi của thời gian ấy”. Giải thích dễ hiểu nhất của luận chứng mà tôi được biết đến là của Gaye [54].  Tuy nhiên, bởi vì giải thích của ông là không dễ dàng để diễn tả bằng lời. Tôi sẽ phát biểu lại những gì xem ra với tôi là yếu tính lôgích của tranh luận của Zeno. Nếu chúng ta giả định rằng thời gian bao gồm một chuỗi những những khoảnh khắc liên tiếp, và chuyển động bao gồm trong đi qua một chuỗi những điểm liên tiếp, vậy sau đó chuyển động nhanh nhất có thể có được là một chuyển động trong đó, tại mỗi khoảnh khắc, thì ở tại một điểm liên tiếp liền với điểm mà tại đó nó đã là trong khoảnh khoắc liền ngay trước đó. Bất kỳ chuyển động chậm hơn nào phải là một trong đó nó có những khoảng yên nghỉ xen kẽ, và bất kỳ chuyển động nhanh hơn nào phải hoàn toàn bỏ qua một số điểm. Tất cả điều này là hiển nhiên từ thực tế là chúng ta không thể có hơn một biến cố tại mỗi khoảnh khắc. Nhưng bây giờ, trong trường hợp của những A, và những B, và những C của chúng ta, B thì đối diện với một A mới, mỗi một khoảnh khắc, và do đó, số của những A đã vượt qua cho biết số những khoảnh khắc kể từ đầu chuyển động. Nhưng trong quá trình chuyển động, B đã vượt qua nhiều gấp hai lần những C, thế nhưng không thể đã vượt qua hơn một (C) trong mỗi một khoảnh khắc. Do đó, số lượng những những khoảnh khắc kể từ khi chuyển động bắt đầu thì bằng gấp đôi số lượng của của những A đã bị vượt qua, mặc dù trước đây chúng ta tìm thấy nó là bằng với số này. Từ kết quả này, dẫn đến kết luận của Zeno.


Những luận chứng của Zeno [55], trong một số hình thức, đã đem lại những nền tảng cho hầu hết tất cả những lý thuyết về không gian, và thời gian, và vô hạn, vốn chúng  đã được xây dựng từ thời của ông đến thời chúng ta. Chúng ta đã thấy rằng tất cả những luận chứng của ông có giá trị hợp lệ (với những giả thuyết hợp lý nhất định) trên giả định rằng không gian và thời gian hữu hạn bao gồm một số hữu hạn những điểm và những khoảnh khắc, và rằng luận chứng thứ ba và thứ tư gần như chắc chắn trong thực tế, tiến hành trên giả định này, trong khi luận chứng thứ nhất và thứ hai, có lẽ đã chủ định dùng để bác bỏ giả định ngược lại, trong trường hợp đó đã là ngụy biện. Chúng ta do đó có thể thoát khỏi những nghịch lý của ông,  hoặc bằng cách duy trì rằng, mặc dù không gian và thời gian quả có bao gồm những điểm và những khoảnh khắc, số lượng của chúng trong bất kỳ một khoảng hữu hạn nào là vô hạn; hoặc bằng cách phủ nhận rằng không gian và thời gian không bao gồm những điểm và những khoảnh khắc gì hết tất cả, hoặc cuối cùng, bằng cách phủ nhận hoàn toàn thực tại của cả không gian lẫn thời gian. Có vẻ như chính Zeno, như một người ủng hộ Parmenides, đã rút ra cái cuối cùng của ba diễn dịch có thể có được này, với bất kỳ giá nào đó liên quan đến thời gian. Trong điểm này, một số lượng rất lớn những triết gia đã theo chân ông. Nhiều những người khác, giống như M. Bergson, đã chuộng hơn để phủ nhận rằng không gian và thời gian là bao gồm những điểm và những khoảnh khắc. Giải pháp nào trong những giải pháp này cũng sẽ gặp những khó khăn trong hình thức trong đó Zeno đã nêu chúng lên. Nhưng, như chúng ta đã thấy, những khó khăn cũng có thể được đáp ứng nếu những số vô hạn là được chấp nhận. Và trên những nền tảng vốn chúng độc lập với không gian và thời gian, những số vô hạn, và chuỗi trong đó không có hai hai phần tử (terms) là liên tiếp, phải được chấp nhận trong bất kỳ một trường hợp nào. Hãy xem xét, lấy thí dụ, tất cả những phân số nhỏ hơn 1, được sắp xếp theo thứ tự độ lớn. Giữa bất kỳ hai phân số nào trong đám chúng, có những phân số khác, lấy thí dụ, là số trung bình cộng của cả hai. Thế nên, không có hai phân số liên tiếp, và số của tất cả những phân số trong chúng là vô hạn. Sẽ được thấy rằng phần lớn những gì Zeno nói liên quan đến chuỗi gồm những điểm trên một đường thẳng cũng thế, có thể áp dụng được vào những chuỗi của những phân số. Và chúng ta không thể phủ nhận rằng có những phân số, do đó hai trong số những cách thoát kể trên là đóng lại với chúng ta. Nó dẫn đến rằng, nếu chúng ta giải quyết toàn bộ lớp gồm những khó khăn rút ra từ Zeno bằng cách loại suy [56], chúng ta phải khám phá ra một số lý thuyết duy trì được về những số vô hạn. Nếu vậy sau đó, những khó khăn, vốn đến tận ba mươi năm vừa qua, đã dẫn những triết gia đi đến tin tưởng rằng những số vô hạn là không thể có được là những gì?

Những khó khăn về vô hạn có hai loại, trong đó cái thứ nhất có thể được gọi là giả tạo, trong khi những cái khác, cho giải pháp của chúng, liên quan với một lượng nhất định suy nghĩ.mới mẻ và không hoàn toàn dễ dàng. Những khó khăn giả tạo là những cái đã được từ nguyên đưa ra, và những cái đã đề xuất bởi sự nhầm lẫn về vô hạn toán học với những gì những triết gia khinh thường gọi là vô hạn “đích thực”. 

Theo từ nguyên, “vô hạn” có nghĩa là “không có kết thúc”. Nhưng trong thực tế, một số chuỗi vô hạn có những kết thúc, một số không có, trong khi một số collection là vô hạn, mà không là chuỗi, và do đó có thể không đúng cách được coi là có không-kết thúc hoặc có kết thúc. Một chuỗi của những khoảnh khắc từ bất kỳ cái sớm hơn một đến bất kỳ một cái muộn hơn (đều bao gồm cả hai) là vô hạn, nhưng có hai đầu (kết thúc), một chuỗi của những khoảnh khắc từ lúc bắt đầu thời gian đến thời điểm hiện tại có một kết thúc, nhưng là vô hạn. Kant, trong hai nghịch lý đầu tiên của ông, dường như cho rằng đó là khó khăn hơn cho quá khứ là vô hạn, hơn là cho tương lai để được như vậy, trên nền tảng rằng quá khư thì bây giờ đã hoàn tất, và rằng không có gì vô hạn có thể được hoàn tất. Rất là khó khăn để thấy làm thế nào ông có thể đã tưởng tượng rằng có bất kỳ ý nghĩa nào trong nhận xét này, nhưng có vẻ như có thể xảy ra nhất rằng ông đã suy nghĩ về vô hạn là “không có kết thúc”. Điều là kỳ lạ là ông không thấy rằng tương lai cũng có một kết thúc tại lúc này, và là đích xác trên cùng một mức độ với quá khứ.  Cái nhìn của ông về cả hai như khác nhau trên trong phương diện này minh họa đúng thứ nô lệ với thời gian, như chúng ta đã đồng ý trong khi nói về Pannenides, vốn triết gia chân thực phải học cách để bỏ lại phía sau.

Những nhầm lẫn đã đưa vào trong những khái niệm của những triết gia bởi cái gọi là vô hạn “đích thực” là đáng tò mò. Họ thấy rằng khái niệm này thì không giống cùng như với vô hạn toán học, nhưng họ chọn để tin rằng đó là khái niệm mà những nhà toán học đương cố gắng nhằm đạt tới nhưng vô hiệu quả. Do đó, họ thông báo cho những nhà toán học, tử tế nhưng chắc chắn, rằng những người này đã sai lầm trong gắn bó trung thành với cái vô hạn “giả dối”, bởi vì rõ ràng  là vô hạn “đích thực” là một cái gì đó hoàn toàn khác biệt.  Trả lời cho điều này là những gì mà họ gọi là vô hạn “thực sự” là một khái niệm hoàn toàn không liên quan gì đến vấn đề của vô hạn toán học, vốn với nó chỉ có một tương đồng tưởng tượng không thật và trong lời nói. Xa cách đến nỗi rằng tôi không có ý định đem ra để làm nhầm lẫn vấn đề thậm chí bằng đề cập đến những gì là vô hạn “đích thực”. Nó là cái vô hạn “giả dối” khiến chúng ta quan tâm, và chúng ta phải cho thấy rằng tên gọi “giả dối” là không xứng đáng.

Tuy nhiên, có những khó khăn đích thực nào đó nhất định trong sự hiểu biết về vô hạn, những thói quen nào đó nhất định của trí não xuất phát từ việc xem xét những số hữu hạn, và dễ dàng mở rộng đến với những số vô hạn dưới ý niệm nhầm lẫn rằng chúng đại diện cho nhu cầu lôgích cần thiết. Lấy thí dụ, mỗi con số mà chúng ta đã quen với, trừ số 0, có một số khác ngay lập tức trước nó, vốn từ nó có kết quả bằng cách cộng thêm 1, nhưng số vô hạn đầu tiên không có thuộc tính này. Những con số trước nó tạo thành một chuỗi vô hạn, chứa đựng tất cả những số hữu hạn thông thường, không có số tối đa, không có số hữu hạn cuối cùng, sau nó một bước nhỏ sẽ lao chúng ta vào cái vô hạn. Nếu nó đã giả định rằng số vô hạn đầu tiên đạt đến được bằng một loạt liên tục những bước nhỏ, điều rất dễ dàng để cho thấy rằng nó là tự mâu thuẫn. Số vô hạn đầu tiên, trên thực tế, là vượt quá toàn bộ chuỗi không tận cùng của những số hữu hạn. “Nhưng”, điều sẽ được nói, “không thể có bất cứ gì vượt quá toàn bộ một chuỗi không tận cùng ”. Điều này, chúng ta có thể chỉ ra, chính là nguyên tắc trên đó Zeno dựa vào trong những lập luận về sân đua và Achilles. Hãy lấy sân chạy đua: có một thời điểm khi người chạy đua vẫn có một nửa khoảng cách của mình để chạy, sau đó là thời điểm khi ông vẫn còn có một phần tư, sau đó khi ông vẫn còn có một phần tám, và tiếp tục như vậy trong một chuỗi không tận cùng nghiêm nhặt. Vượt quá toàn bộ của chuỗi này là thời điểm khi ông đạt đến đích.  Vì vậy, chắc chắn cỏ thể là có được một cái gì đó vượt ra ngoài toàn bộ một chuỗi không tận cùng. Nhưng nó vẫn còn để cho thấy rằng sự kiện này thì chỉ là những gì có thể đã được mong đợi.

Sự khó khăn, giống như hầu hết những khó khăn mơ hồ hơn đang cản trở vô hạn toán học, có nguồn gốc, tôi nghĩ rằng, từ hoạt động nhiều hay ít vô thức của ý tưởng về đếm.  Nếu bạn bắt đầu làm công việc để đếm số từ ngữ trong một collection vô hạn, bạn sẽ không bao giờ sẽ hoàn tất công việc của bạn. Như vậy, trong trường hợp của người chạy đua, nếu một nửa, ba phần tư, bảy-phần tám, và tiếp tục như vậy sân đua được đánh mốc, và người chạy đua nếu đã không được phép vượt qua bất cứ mốc nào cho đến khi trọng tài nói: “giờ lập tức!”, như thế thì kết luận của Zeno sẽ đúng trong thực tế, và người chạy đua sẽ không bao giờ đạt đến mục tiêu.

Nhưng nó không phải là thiết yếu cho sự hiện hữu của một collection, hoặc thậm chí cho kiến thức và lý luận liên quan đến nó, rằng chúng ta sẽ có khả năng vượt qua những số hạng của nó trong việc xét duyệt từng số hạng một. Điều này có thể được xem thấy trong trường hợp của những collections hữu hạn; chúng ta có thể nói về “loài người” hay “giống người”, mặc dù rất nhiều những cá nhân trong collection này không phải là tự  bản thân chúng ta biết đến. Chúng ta có thể làm điều này bởi vì chúng ta biết về những đặc điểm khác nhau vốn mỗi cá nhân có, nếu như anh ta thuộc về collection, và không có, nếu như anh ta không (thuộc về collection). Và cũng đính xác cùng như thế xảy ra trong trường hợp của những collection vô hạn: chúng có thể được biết đến bởi những đặc điểm của chúng, mặc dù những số hạng của chúng không thể liệt kê được. Trong ý hướng này, một chuỗi bất tận dù sao đi nữa vẫn có thể hình thành một toàn bộ, và có thể có những số hạng mới vượt ra ngoài cả toàn bộ của nó.

Một số đặc thù số học thuần túy về những số vô hạn cũng là nhân gây ra lúng túng. Lấy thí dụ, một số vô hạn thì không tăng thêm bằng cách cộng thêm 1 với nó, hay tăng gấp đôi nó.  Những đặc thù như vậy đối với nhiều người có vẻ như mâu thuẫn lôgich, nhưng trên thực tế chúng chỉ mâu thuẫn với những thói quen chặt chẽ trí não. Toàn bộ khó khăn của vấn đề nằm trong sự cần thiết để suy nghĩ trong một lối không quen thuộc, và trong nhận ra rằng nhiều thuộc tính vốn chúng ta nghĩ là thừa hưởng trong con số, trên thực tế là đặc biệt với những số hữu hạn. Nếu điều này được nhớ lại, lý thuyết tích cực của vô hạn, mà sẽ chiếm bài giảng tiếp theo, sẽ không bị tìm thấy quá khó khăn như nó là đối với những người gắn chặt khăng khăng không rời với những thành kiến đã khắc ghi của số học vốn đã được học trong thời thơ ấu.

Bertrand Russell
(còn tiếp….)
Lê Dọn Bàn tạm dịch- bản nháp thứ nhất
(Dec, 2010)








[1] Georg Cantor (1845–1918), nhà toán học người Đức, được xem như cha đẻ của lý thuyết về set (set theory), Lý thuyết về tập hợp, hình thành từ nhu cầu đòi một hiểu biết thoả đáng hơn về khái niệm vô hạn (infinity). Cantor dùng lý thuyết này để chứng tỏ, lần đầu tiên trong lịch sử, rằng hai đối tượng vô hạn có thể có những số lượng (thành phần) khác biệt. Thí dụ set Z gồm những số nguyên, có cùng số những thành phần với set những số chẫn – vốn chỉ là subset của nó (dùng khái niệm “cardinality”).


Chứng minh này ngày nay xem không có gì phức tạp, nhưng đó là một bước nhảy vọt có ý nghĩa hết sức lớn lao trong lịch sử toán học và tư tưởng. Những nhà toán học lỗi lạc, nổi tiếng và có uy thế nhất đồng thời với ông chống đối nó mạnh mẽ (trong đó có Henri Poincare, Leopold Kronecker). 

Sau Cantor, toán học không còn là như trước nữa. Những gì ông làm là một cách mạng.

[2] Finitism: thuyết hữu hạn (triết và toán học)
[3] a continuous series must have an infinite number of terms.

[4] Classes: Bên ngoài lý thuyết về set, từ “lớp” (“class”) đôi khi dùng như đông nghĩa với “set” – một lớp hay một tập hợp , chỉ một nhóm những phần tử, trong đó các phần tử có chung nhau một hay nhiều thuộc tính nào đó, và thuộc tính này định nghĩa nhóm hay tập hợp. 

Nhưng trong lý thuyết set và những ứng dụng của nó trong toán học, một class là một collection của những set (hay đôi khi những đối tượng toán học khác (mathematical objects)) vốn có thể định nghĩa rõ ràng bằng một thuộc tính mà tất cả những thành phần của nó đều cùng có.

Trong lý thuyết set của Cantor, khái niệm về một set U  (universal set) hay là một set của tất cả mọi thứ, không thể đúng được, vì mâu thuẫn cơ bản  trong bản chất lý thuyết set của ông (power set P(X) is strictly larger than X. If there is a universal set U, then P(U) must be larger than U. But this contradicts the assumption that U is a universal set, so P(U)  U. This contradiction is paradoxical if the existence of U is assumed). Một cách tránh nó, khi muốn dùng ý niệm như thế, là dùng ý niệm về một “lớp”, vốn “lớp”  có thể rất rộng lớn bằng như thế.

[5] “every complex substance in the world consists of simple parts”.
[6] infinite divisibility.

[7]cho đến vô hạn

[8] an infinite class.

[9] CTTG – Trong những gì liên quan đến các triết gia Hylạp, hiểu biết của tôi phần lớn lấy từ công trình giá trị của Burnet, Early Greek Philosophy (2nd ed., London, 1908). Tôi cũng đã được trợ giúp rất lớn lao từ ông D. S. Robertson của trường Trinity College, người đã bổ túc  những thiếu hụt trong kién thức về Hylạp của tôi, và đã dẫn tôi chú ý đến những tham khảo quan trọng.

[10] CTTG - Cf . Aristotle, Metaphysics, M. 6, 1080b, 18 sqq., và1083b, 8 sqq.

[11] CTTG – Có một vài lý do để tin rằng những người trong nhóm Pythagoreans đã phân biệt giữa số lượng gián đoạn và liên tục (discrete and continuous quantity). G.. J. Allman, trong  Greek Geometry from Thales to Euclid của ông nói (p. 23) : “Những Pythagoreans đã chia khoa học toán làm bốn, một phần gán cho cái-nhiều-đếm-được (how many), và phần kia với cái nhiều-không-đếm-được (how much); và họ đã phân định chia mỗi phần này làm hai. Vì họ nói rằng lượng gián đoạn, hay cái-nhiều-đếm-được, hoặc là tự nó tồn tại hay phải được xem trong liên hệ với một vài cái khác; nhưng lượng liên tục, hay cái-nhiều-không-đếm-được thì hoặc ổn định hoặc trong chuyển động. Vì thế, họ xác định rằng những suy tưởng về số học rằng lượng gián đoạn là tự nó tồn tại, nhưng âm nhạc vốn là thứ liên hệ với lẫn nhau; và rằng hình học được xem là lượng liên tục, miễn là chừng nào nó thì chuyển động; nhưng thiên văn học – suy tưởng về lượng liên tục miễn là chừng nào nó thuộc về tự động cơ trong bản chất. (Proclus, ed. Friedlein, p. 35. Về sự phân biệt giữa lượng gián đoạn và lượng liên tục, xem Iambi., trong Nicomachi Geyaseni Arithmeticam introductionem, ed. Tennulius, p. 148.) “ Cf. p. 48.

[12] Quan điểm của những người theo thuyết nguyên tử (atomist – atomism) trong triết học cổ Hylạp.

[13] CTTG – Burnetđã nhắc đến, op. cit., p. 120.

[14] CTTG - iv., 6. 213b, 22 ; H. Ritter and L. Preller, Historia Philosophiae Graeca, 8th ed.,  Gotha, 1898, p. 75 (trong tương lai công trình này sẽ được nhắc đến như là “R. P.”).

[15] The Void

[16] Heaven

[17] “The Pythagoreans all maintained the existence of the void, and said that it enters into the heaven itself from the boundless breath, inasmuch as the heaven breathes in the void also ; and the void differentiates natures, as if it were a sort of separation of consecutives, and as if it were their differentiation ; and that this also is what is first in numbers, for it is the void which differentiates them” .

[18] “things are numbers”.

[19] Incommensurables

[20] Russell khôi hài – nhưng vẫn có ý mỉa mai, nhóm Pythagoras vẫn còn trộn lẫn khoa học và tôn giáo – hay mê tín.

[21] Tam giác vuông cân - có một góc vuông và hai cạnh kề của nó bằng nhau.

[22] Nói dài dòng, nhưng vẽ ra thì hiển nhiên và giản dị – tam giác vuông cân, hai cạnh kề góc vuông bằng nhau.

[23] CTTG - Chứng minh của phái Pythagoras là đại lược như sau. Nếu có thể, hãy để cho tỷ lệ của đường chéo với cạnh của một hình vuông là  m / n, trong đó m và n là những số nguyên và không có thừa số chung (no common factor) . Sau đó, chúng ta phải có  m2 = 2 n2. Bây giờ, bình phương của một số lẻ là lẻ, nhưng m2, bằng = 2n2 , là số chẵn. Thế nên, m2  phải là số chẵn. Nhưng bình phương của một số chẵn có thể chia chẵn với 4, do đó n2 , vốn là một nửa của m2, phải là số chẵn.  Do đó, n phải là số chẵn, nhưng bởi vì m là số chẵn, và m và n không có thừa số chung, nên n phải là số lẻ. Như thế, n phải vừa là số lẻ lẫn số chẵn, đó là điều không thể được, và vì vậy, đường chéo và một cạnh bên không thể có một tỷ lệ hữu tỷ (rational ratio).

[24] Hình học giải tích, analytic geometry, cũng còn gọi là coordinate geometry, chỉ ngành toán học cổ điển, bắt đầu với Descartes, trong đó dùng toạ độ, các nguyên lý đại số và phương pháp phân tích để nghiên cứu hình học (như đối nghịch với hình học Euclide, dùng phương pháp tổng hợp).

[25] Collection, tạm hiểu rộng rãi cũng như set, nhưng lớn và lỏng lẻo hơn. Ở đây, collection (một sưu tập),  class (một lớp, hạng), set (tập hợp)  - tác giả hiển nhiên dùng với nghĩa toán học  hơn là nghĩa trong ngôn ngữ phổ thông (toán luận lý mới, ở đầu thế kỷ trước mà ông là một trong những người góp công tạo dựng).

[26] CTTG – Về phần Zeno và những ngưuwòi trong phái Pythagoras, tôi đã rút ra được nhiều thông tin và phê phán giá trị, từ Mr. P. E. B Jourdain.

[27] CTTG – Thế nên Plato để Zeno trong đối thoại Parmenides, nói về triết lý của vị này như một toàn thể, và tất cả bằng chứng trong và ngoài đều ủng hộ quan điểm này.

[28]  Thực tại là bất hoại, bất biến, bất phân,  (nếu dùng chữ Tàu)

[29] CTTG -  “Với Parmenides” , Hegel nói, “triết học đích thực đã bắt đầu” . Werke (edition of 1840), vol. xiii. p. 274.

[30] “Thou canst not know what is not - that is impossible - nor utter it; for it is the same thing that can be thought and that can be” . And again : “It needs must be that what can be thought and spoken of is ; for it is possible for it to be, and it is not possible for what is nothing to be”.

Dĩ nhiên là câu văn này hết sức tối nghĩa đến không thể hiểu được tác giả - Hegel- muốn nói gì, phải đoán lấy ý.  Và tôi cũng ngờ Russell muốn phê bình Hegel, và những triết gia duy ý, viết triết lý tối đen như hũ nút!, khó hiểu, phần lớn vì chính tác già không thể  diễn tả cho  rõ ràng, điều này cũng có thể phản ánh tự chính người viết còn mơ hồ, hay không nắm vững vấn đề, thế nên nói mà chính mình không hiểu mình nói gì! (cũng thêm, Hegel hẳn phải viết bằng tiếng Đức, và câu văn trên chỉ là bản dịch, không ghi của ai, vậy phải là của chính Russell. Còn phần Parmenides, nếu khó hiểu, có thể là những gì còn lại của ông đã bị tam sao thất bản, hay không trọn vẹn).

[31] The impossibility of non-being. Bất khả tính của phi-hữu-thể, tạm hiểu - những gì không là hữu thể thì không thể nào có được.

[32] CTTG - Parmenides, 128 A-D

[33] CTTG – Diễn dịch này được Milhaud chống trả, Les philosophes-géomètres da la Grèce, p. 140 n. , nhưng những lý do của ông xem ra không thuyết phục tôi. Tất cả những diễn giải trong những gì tiếp sau đều còn bỏ ngỏ tranh luận, nhưng tất cả đều có sự ủng hộ của giới thẩm quyền danh tiếng.

[34] CTTG - Physics, vi. 9. 2396 (R-P- 136-139).
[35] sophisms

[36] Latin – “ad hominem”: “nhắm vào, vào con người”. Thường dùng để chỉ một lối lý luận nguỵ biện, nhưng thực ra cũng có một nghĩa – nay ít phổ thông – chỉ một lối thực hành lý luận không nguỵ biện, tôi nghĩ Russell dùng ở đây rất tinh tế để nói về Zeno, xem ra như nguỵ biện, nhưng thực không nguỵ biện chút nào. Như ông giải thích kế tiếp ở trên: “giả định những tiền đề đã được những đối thủ của ông chấp nhận, và cho thấy rằng, vì chấp nhận những tiền đề này, là có thể suy diễn ra những hậu quả mà đối thủ của ông phải từ chối”.

Lối lý luận “ad hominem” xem là ngụy biện là:

-          abusive ad hominem”: lăng mạ bôi nhọ con người – thay vì đưa ra những lý luận chính đáng để phản bác những lý lẽ, chủ trương của đối thủ, thì tấn công vào trực tiếp chính bản thân con người giữ những chủ trương lý lẽ ấy, bằng cách bôi nhọ, lăng mạ, bêu xấu cá nhân.

Thí dụ - “Lý thuyết abc về canh nông của ông X không thể đúng được, vì ai cũng biết ông X là người có con rơi con rớt!”.

-          circumstantial ad hominem”: kêu gọi đến vị trí, chức vụ, trường hợp đặc biệt nào đó của con người đối thủ.

Thí dụ - “bà A , nghị viên giáo dục thành phố, đưa ra những lý lẽ chủ trương mở thêm trường ở phố A thay vì phố B, hiển nhiên là không đúng, vì bà chỉ nghĩ đến hai đứa con bà mới mua nhà ở khu phố A!”

-          tu quoque ad hominem”: “tu quoque” = “anh cũng vậy”, đây là lý luận theo lối - “anh cũng vậy, nói gì ai!”. Một hình thức khác, cũng tấn công vào con người nói, không vào những gì người ấy nói.

Thí dụ: “Ông Z diễn thuyết kêu gọi mọi người đừng uống rượu, vừa tốn tiền vừa hại sức khoẻ, lại có khi mất cả tư cách, thế nhưng ông ấy uống như hũ chìm thì khuyên gì ai!”.

Ba hình thức này rất phổ thông, rất ấu trĩ, nhưng xem ra đặc biệt được người viết “báo chí” tiếng Việt ở Mỹ rất ưa chuộng.

[37] CTTG - Cf . Gaston Milhaud, Les philosophes-géomètres da la Grèce tp. 140 n. ; Paul Tannery, Pour I'histoire de la science hellene, p. 249 ; Burnet, op. cit., p. 362.

[38] CTTG - Cf. R. K. Gaye, “On Aristotle, Physics, Z ix”. Journal of Philology, vol. xxxi. esp. p. 111. Also Moritz Cantor, Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 1st ed., vol. 1., 1880, p. 168, vị này, tuy nhiên, tiếp sau đó chấp nhận ý kiến của Paul Tannery, Vorlesungen, 3rd ed. (vol. i. p. 200).

[39] CTTG - “Le mouvement et les partisans des indivisibles”, Revue de Metaphysique et de Morale, vol. i. pp. 382-395.

[40] CTTG - “Le mouvement et les arguments de Zénon d'Élée”, Revue de Metaphysique et de Morale, vol. i. pp. 107-125.

[41] CTTG - Cf . N. Brochard, “Les prétendus sophismes de Zénon d'Élée”, Revue de Metaphysique et de Morale, vol. i. pp. 209-215.

[42] CTTG - Simplicius, Phys., 140, 28 D (R.P. 133) ; Buirnet, op. cit.  pp. 364-365.

[43] motion and change and plurality.

[44] CTTG - Op. cit., p. 367.

[45] CTTG – Những từ của Aristotle là: “Cái (nghịch lý) thứ nhất là nghịch lý về sự không-hiện hữu của chuyển động trên nền tảng rằng những gì chuyển động phải luôn luôn đạt đến điểm nằm ở giữa, sớm hơn là đến điểm cuối cùng, về điều đó chúng ta đã đem cho kiến của chúng ta trong phần trước đó của bàn luận của chúng ta”. Phys., vi. 9. 939B  (R.P. 136).

Aristotle xem ra nhắc về Phys., vi. 2. 223AB [R-P. I36A] .: “Tấ cả không gian thì liên tục, bởi vì thời gian và không gian đều phân chia vào thành những khoảng chia như nhau và bằng nhau.

. . . Tại sao luận chứng của Zeno cũng là nguỵ biện, rằng đó là điều không thể nào có được để đi qua một collection vô hạn, hay chạm vào một collection vô hạn từng cái một trong một thời gian hữu hạn. Bởi vì có hai ý nghĩa trong đó từ  “vô hạn” được áp dụng vào cả hai, chiều dài và thời gian, và trong thực tế vào tất cả những sự vật liên tục, hoặc là về phần khả hữu phân chia, hoặc là về phần những tận-cùng. Giờ đây, là điều không có thể để chạm vào những sự vật vô hạn về phương diện số lượng trong một thời gian hữu hạn, nhưng là điều có thể để chạm vào những sự vật vô hạn về phương diện khả hữu phân chia: bởi vì thời gian chính tự nó cũng là vô hạn trong nghĩa này. Như thế là trong thực tế chúng ta đi qua một [không gian] vô hạn, trong một [thời gian] vô hạn, chứ không là trong một [thời gian] hữu hạn, và chúng ta chạm những sự vật vô hạn với những sự vật vô hạn, chứ không phải với những sự vật hữu hạn”. Philoponus, một nhà bình phẩm thể kỷ thứ 6 (R.P. I36A, Exc. Paris Philop. in Arist. Phys., 803, 2. Vit.), đem cho minh hoạ sau đây: “Bởi vì nếu một sự vật chuyển dịch không gian của một khối vuông trong một giờ, bởi vì trong tất cả mọi không gian có một số vô hạn những điểm, sự vật chuyển động phải cần thiết chạm vào tất cả những điểm của không gian: vậy thì nó sẽ đi qua một collection vô hạn trong một thời gian hữu hạn, vốn là điều không thể được”.

[46] CTTG - Cf.. Mr. C. D. Broad, “Note on Achilles and the Tortoise”, Mind. N.S,, vol. xxii. pp. 318-9

[47] Khái niệm hội tụ  (convergent) trong toán học áp dụng vào dãy số (sequence) và chuỗi vô hạn.

Lấy thí dụ một dãy số vô hạn: 1/2, 1/4, 1/8, . . . ,1/2n, . . . .

Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn (limit). Đại khái, giới hạn  của một chuỗi là một số L sao cho những terms của chuỗi trở nên và vẫn còn cứ giữ mãi gần tới L khi chúng ta xem xét những terms trong sự kế tục nhau.  Như vậy giới hạn của chuỗi dẫn thí dụ ở trên là 0, bởi vì khi chúng ta chạy qua chuỗi, mỗi term đến gần và gần hơn với 0. Khi n càng lớn thì sự khác nhau giữa 1/ 2n  và 0 càng nhỏ hơn. Chuỗi hội tụ tới 0 như giới hạn của nó..

Chúng ta cũng có thể nói về sự hội tụ của một chuỗi vô hạn, trong đó một chuỗi vô hạn là kết quả của việc cộng thêm tất cả các terms trong một chuỗi vô hạn. Nhưng làm thế nào để chúng ta cộng các terms trong một chuỗi vô hạn?  Có nghĩa là gì khi chúng ta nói “tổng số của một chuỗi vô hạn các terms?”  Trong calculus, tổng số của một chuỗi vô hạn là giới hạn của dãy của các tổng số một phần (the sum of an infinite sequence is the limit of the sequence of partial sums). Thí dụ, như trên của Russell:

1/2, 1/2 + 1/4 = 3/4, 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8,  . . . .

Dãy số này của những tổng số một hội tụ tới giới hạn 1. Như vậy tổng số của một chuỗi vô hạn hội tụ là một con số có thể được ước tính xấp xỉ chặt chẽ bằng cách cứ cộng thêm nhiều lên những terms hữu hạn.

Trong toán học, chúng ta có thể chứng minh rõ ràng – dù đại cương như trên – rằng dẫu chuỗi vô hạn có dài đến đâu, ở trong trường hợp phân đôi (dichotomy paradox) của chúng ta đang bàn, và thí dụ như trên, ½ thời gian chạy hết quãng đường, cho là bằng ½ hr, thì cuối cùng , dù có vô hạn bao nhiêu những khoảnh khắc, như:  ¾, 7/8, 15/16,... cũng cộng lại bằng 1 hr, nghĩa là sẽ chạy đến đích trong 1 giờ. Người ta có thể làm cho dễ hiểu thế nào là một chuỗi vô hạn, và các terms có thể có một tổng số hữu hạn. Nhưng điều này không làm cho dễ hiểu thế nào là một chuỗi vô hạn những hành vi (chạy, từ điểm này qua điểm kia, chúng liên tục và càng ngắn dần hơn, nhưng chúng là vô hạn) có thể được thực hiện trong một thời gian hữu hạn.

[48] CTTG - Op. cit.

[49] Chuyện kể rằng Achilles, vị thần chạy nhanh nhất của huyền thoại Hylạp, chạy thi với con rùa, là con vật chậm nhất trong  tất cá loài vật. Achilles khinh thường, chấp con rùa chạy trước rồi mình sẽ đuổi theo sau. Theo như Zeno lý luận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.

[50] CTTG - Những từ của Aristotle là: “Cái thứ nhì là cái đã gọi là Achilles. Nó gồm có trong thế này, rằng kẻ đi chậm hơn, trên đường chạy thi của nó, sẽ không bao giờ bị kẻ đi nhanh nhất vượt qua được.  Bởi vì kẻ đuổi theo phải luôn luôn trước hết đi đến cái điểm mà kẻ đi trước đã vừa mới rời khỏi, như thế kẻ đi chậm phải nhất thiết là luôn luôn vẫn còn nhiều hay ít dẫn trước” . Phys., vi. 9. 239b (R.P. 137).

[51] CTTG - Phys., vi. 9. 2398 (R.P. 138).

[52] CTTG -  Phys., vi. 9. 239B (RJP. 139).
[53] CTTG - Loc. cit.

[54]  CTTG - Loc. cit., p. 105.

[55] Sau Thales (600TCN), những nhà toán học Hylạp đã cố gắng thiết lập một cơ bản lôgich cho toán học của họ.

Đối với Hình học và lý thuyết Số học, điều này đã không khó khăn, nhưng với  chuyển động thì đã rất khó khăn. Vấn đề là với khái niệm vận tốc trong chuyển động có liên hệ với khái niệm vô hạn. Có vô hạn hay không, hay có một độ dài vô cùng cực nhỏ hay không?  Đặc biệt Zeno xứ Elea (450 TCN), nhà toán học và triết gia, một học trò của Parmenides, người đã tin rằng thực tại thì bất biến, và những gì do giác quan đem lại chỉ là ảo tưởng, Zeno đã đưa ra những nghịch lý để trình bày rằng những ý tưởng trong thời ông về chuyển động đòi hỏi phê phán kỹ lưỡng và có thế mới tránh được những mâu thuẫn lôgích.

Những gì về ông chỉ còn lại qua phê bình của Aristotle (384- 322 TCN), vốn là người chống lại triết học của Parmenides.

Russell trong bài này đã trình bày lại những nghịch lý của Zeno theo cái nhìn và những phân tích mới của ông. Có một số triết gia theo chân ông, đặc biệt là Grünbaum (1967) – đã nhận công việc trình bày xem toán học mới đã giải quyết những nghịch lý này như thế nào, mặc dù vậy, nhưng  xem ra dư luận vẫn còn cho giải pháp thuần tuý toán học là không đủ. Các nghịch lý của Zeno không chỉ đặt vấn đề cho toán học trừu tượng, nhưng còn với bản chất của thế giới vật lý thực tại. Như chúng ta có thể thấy, điển hình là không gian, thời gian và chuyển động, chúng là liên tục hay gián đoạn, khả phân hay bất khả phân, chuyển động hay bất biến,...

Thêm nữa, những vấn đề siêu hình và thần học, cũng không nằm ngoài, thí dụ, câu hỏi về thời gian là vô hạn hay hữu hạn, nếu qua chứng minh toán học, hình tượng được ý niệm vô hạn và sự vô hạn của nó, (cùng không gian), nghĩa là thời gian không có khởi đầu và tận cùng, như thế, tất cả những tuyên xưng về một Gót và sự sáng thế, như trong đạo Kitô thành một huyền thoại phi lý, và những cố gắng của những tập thể toàn cầu vẫn tuyên truyền cho nó (vì lấy nó làm nền tảng hiện hữu) ngay trong thời đại chúng ta, nếu chỉ do mê muội, giáo điều, hiện tượng này có thể xem là lố bịch, buồn cười; nhưng nếu không thế, do một hay nhiều động cơ nào khác, hiện tượng này sẽ phải buộc chúng ta đi vào tìm hiểu, và bước đầu không thể không có cảm giác kinh hoàng đến từ sợ hãi trước những hoạt động của nó  trên khắp thế giới.

Nếu trong triết học đặt vấn đề mới là chính và quan trọng hơn giải quyết vấn đề, chúng ta phải đồng ý Zeno là một triết gia vĩ đại. Những nghịch lý của nhà toán học và triết gia này, qua bài này, đã được một triết gia và toán học gia khác, không kém tầm cỡ, hơn hai nghìn năm sau khơi dậy, đặt chúng vào vị trí xứng đáng trong lịch sử triết học. Chúng là những nghịch lý (paradoxes), đặt những vấn đề lôgích nghiêm chỉnh, có tầm quan trọng hết sức lớn lao trong nhiều lĩnh vực, như Russell đã đề cao, chứ không phải chỉ là những giảo biện (sophism) như trước đây Aristotle đã coi thường.

[56] analogy