Bài giảng 5
Lý thuyết về Tính Liên tục
Lý thuyết về tính liên tục, vốn chúng ta sẽ bận rộn với nó ở bài giảng này, trong hầu hết những cải tiến và những phát triển của nó, là một chủ đề toán học thuần túy - rất đẹp, rất quan trọng, và rất thú vị, nhưng nói cho chặt chẽ, không phải là một phần của triết học. Duy chỉ cơ sở lôgích của lý thuyết mà thôi là thuộc về triết học, và chỉ mình nó sẽ chiếm trọn chúng ta tối nay. Con đường vấn đề về tính liên tục đi vào trong triết lý, nói một cách rộng rãi, là như sau đây: Không gian và thời gian được những nhà toán học đối xử như bao gồm những điểm và những khoảnh khắc, nhưng chúng cũng có một thuộc tính, dễ dàng để cảm nhận hơn là để định nghĩa, được gọi là tính liên tục [1], và được nhiều triết gia nghĩ là sẽ bị phá huỷ khi chúng được phân giải vào thành những điểm và những khoảnh khắc. Zeno [2], như chúng ta sẽ thấy, đã chứng minh rằng sự phân tích thành những điểm và những khoảnh khắc là không thể nào làm được, nếu chúng ta gắn chặt với quan điểm rằng số của những điểm, hoặc của những khoảnh khắc trong một không gian, hay thời gian hữu hạn, phải là hữu hạn. Những triết gia về sau tin rằng số vô hạn là tự mâu thuẫn, đã tìm thấy ở đây một nghịch lý: những không gian và những thời gian không thể bao gồm một số hữu hạn những điểm và những khoảnh khắc, vì những lý do giống như của Zeno; chúng không thể bao gồm một số vô hạn những điểm và những khoảnh khắc, bởi vì những số vô hạn đã được giả định là tự mâu thuẫn Vì thế không gian và thời gian, nếu tất cả có là thực hay chăng, phải không được xem như là đã gồm những điểm và những khoảnh khắc.
Nhưng ngay cả khi những điểm và những khoảnh khắc, như những thực thể độc lập, đã bị loại bỏ, như chúng đã được lý thuyết trong bài giảng vừa qua của chúng ta tán thành, những vấn đề về tính liên tục, như giờ đây tôi sẽ cố gắng trình bày, vẫn còn nguyên trong thực tế một dạng không thay đổi Thế nên để bắt đầu, chúng ta hãy cùng chấp nhận những điểm và những khoảnh khắc, và xem xét những vấn đề trong nối kết với giả thuyết đơn giản hơn hay ít nhất quen thuộc hơn này.
Luận chứng phản lại tính liên tục, trong phạm vi nó dựa trên những khó khăn được giả định về những số vô hạn, đã được giải quyết bởi lý thuyết tích cực về vô hạn, vốn sẽ được xem xét trong Bài giảng VII. Nhưng vẫn còn giữ lại một cảm giác - thuộc về loại đã dẫn Zeno đến sự tranh luận rằng mũi tên thì nghỉ yên trên đường bay của nó - vốn gợi ra rằng những điểm và những khoảnh khắc, ngay cả khi nếu như chúng nhiều đến vô tận, chỉ có thể đem cho một chuyển động giật giật, một loạt tiếp nối gồm những bất-động khác nhau, chứ không phải chuyển dịch trơn tru vốn như với những giác quan đã làm chúng ta quen thuộc. Cảm giác này, tôi tin rằng, là do từ một thất bại không nhận thức một cách tưởng tượng hình ảnh, cũng như một cách trừu tượng, bản chất của những chuỗi liên tục như chúng hiện ra trong toán học. Khi một lý thuyết đã được nhận hiểu một cách lôgích, thường là có một lao động dài lâu và nghiêm trọng vẫn còn đòi hỏi ngõ hầu để cảm nhận nó: là điều cần thiết là sinh hoạt lâu dài trên nó, để tống ra khỏi não thức, từng cái một, những đề nghị lừa dối của những lý thuyết sai lạc nhưng quen thuộc hơn, để thu tập được sự gần gũi mật thiết, vốn như trong trường hợp của một ngôn ngữ nước ngoài, sẽ cho chúng ta có khả năng suy nghĩ và ước mơ trong nó, không chỉ thuần là để xây dựng những câu cú công trình mất thời gian, với sự giúp đỡ của ngữ pháp và từ điển. Tôi tin rằng, đó là từ những sự thiếu vắng của thứ gần gũi mật thiết này vốn làm cho nhiều triết gia xem học thuyết toán học về tính liên tục như là một giải thích không đầy đủ về tính liên tục mà chúng ta kinh nghiệm trong thế giới của cảm giác.
Trong bài giảng này, trước tiên tôi sẽ cố gắng giải thích trong đại cương lý thuyết toán học về tính liên tục là những gì trong những thiết yếu quan trọng có tính cách triết lý của nó. Để bắt đầu, những ứng dụng vào không gian thực tại và thời gian sẽ không nằm trong câu hỏi. Tôi không thấy có bất kỳ lý do nào để giả định rằng những điểm và những khoảnh khắc vốn những nhà toán học đem giới thiệu vào để giải quyết với không gian và thời gian là những thực thể vật lý hiện hữu thực sự, nhưng tôi có thấy lý do để giả định rằng liên tục của không gian và thời gian có thể, nhiều hay ít hơn, là tương đồng với liên tục toán học. Lý thuyết về tính liên tục toán học là một lý thuyết lôgích trừu tượng, tính chất hợp lệ của nó có thì không phụ thuộc trên bất kỳ thuộc tính nào của không gian thực tại và thời gian. Những gì được tuyên xưng cho nó là rằng, khi nó được thấu hiểu, mọt số những đặc tính nào đó nhất định của không gian và thời gian, trước đây rất khó khăn để phân tích, đã được tìm thấy không hiện diện bất kỳ một khó khăn lôgích nào. Những gì chúng ta biết theo kinh nghiệm về không gian và thời gian thì không đủ để cho chúng ta có khả năng quyết định giữa nhiều những lựa chọn khác nhau có thể có được về toán học, nhưng những lựa chọn này là tất cả hoàn toàn có thể hiểu được và hoàn toàn thỏa đáng với những dữ kiện quan sát được. Đối với hiện tại, tuy nhiên, nó sẽ là tốt nhất để quên đi không gian và thời gian và tính liên tục của sự thay đổi nhạy cảm, ngõ hầu trở lại với những đề tài này (sau khi đã) được trang bị với những những vũ khí được lý thuyết trừu tượng về tính liên tục cung cấp.
Liên tục, trong toán học, là một thuộc tính chỉ có thể có với một chuỗi gồm những terms [3], tức là với những téc được sắp xếp trong một trật tự, theo một cách ngõ hầu với bất kỳ hai téc nào, chúng ta có thể nói rằng cái này đến trước cái kia. Những con số theo thứ tự của độ lớn, những điểm trên một đường thẳng từ trái sang phải, những khoảnh khắc của thời gian từ sớm hơn đến trễ hơn, là những thí dụ của chuỗi [4]. Khái niệm về trật tự, vốn giới thiệu ở đây, là một của vốn là không cần thiết trong lý thuyết về số chỉ số lượng [5]. Điều có thể biết được rằng hai lớp có cùng số những terms, mà không biết bất kỳ trật tự nào theo trong đó chúng đã được thực hiện. Chúng ta có một thí dụ cụ thể của điều này trong trường hợp giống như là những ông chồng người Anh và những bà vợ người Anh: chúng ta có thể thấy rằng phải có số những ông chồng cũng bằng như số những bà vợ [6], mà không cần phải sắp xếp chúng trong một chuỗi. Tuy nhiên, tính liên tục, mà chúng ta đang xem xét, chủ yếu là một thuộc tính của một trật tự: nó không thuộc về một tập hợp gồm những téc trong tự bản thân chúng, nhưng chỉ với một tập hợp trong một trật tự nhất định nào đó. Một tập hợp gồm những terms vốn có thể được sắp xếp theo một trật tự luôn luôn có thể cũng được sắp xếp trong những trật tự khác, và một tập hợp những téc có thể được sắp xếp trong một trật tự liên tục luôn luôn có thể được sắp xếp trong những trật tự vốn chúng là không liên tục. Do đó, yếu tính của sự liên tục phải không được tìm trong bản chất của tập hợp gồm những téc, nhưng trong bản chất của sự sắp xếp của chúng trong một chuỗi.
Những nhà toán học đã phân biệt những mức độ khác nhau về tính liên tục, và đã giới hạn từ “liên tục”, vì những mục đích kỹ thuật chuyên môn, với những chuỗi có một mức độ cao nhất định nào đó về tính liên tục. Nhưng cho những mục đích triết học, tất cả những gì là quan trọng trong sự liên tục là được đem giới thiệu vào bởi mức độ thấp nhất của tính liên tục, vốn gọi là “sự nén chặt”. Một chuỗi được gọi là “nén chặt” khi không có hai terms là liên tiếp, nhưng giữa bất kỳ hai nào, có những terms khác. Một trong những thí dụ đơn giản nhất của một chuỗi nén chặt là chuỗi những phân số theo thứ tự của độ lớn. Với bất kỳ hai phân số nào đem cho, mặc dù gần với nhau đến bao nhiêu, có những phân số khác, chúng lớn hơn một phân số này, và nhỏ hơn một phân số kia, và do đó không có hai phân số nào là được liên tục. Không có phân số, lấy thí dụ, vốn là tiếp theo sau 1/2: nếu chúng ta chọn một vài phân số vốn lớn hơn ½ một chút xíu, nói như 51/100, chúng ta có thể tìm thấy những phân số khác, chẳng hạn như 101/200, vốn nó gần đến ½ hơn. Thế nên, giữa bất kỳ hai phân số, dẫu cho chúng khác nhau rất ít đến bao nhiêu, có một “số lượng” vô hạn những phân số khác. Không gian và thời gian toán học cũng có thuộc tính này về sự nén chặt, mặc dù không biết không gian và thời gian thực tại có nó hay không, đó là một câu hỏi xa hơn nữa, tùy thuộc vào bằng chứng thực nghiệm, và có lẽ không có thể có được khả năng để được trả lời với sự chắc chắn.
Trong trường hợp những đối tượng trừu tượng như những phân số chẳng hạn, có lẽ không là điều quá khó khăn để nhận ra khả năng về lôgích của sự chúng hình thành một chuỗi nén chặt. Những khó khăn mà may ra có thể được cảm nhận là của tính vô hạn. Nhưng khi những khó khăn này đã được giải quyết, đơn thuần chỉ tính nén chặt, tự thân nó không đem lại những trở ngại lớn lao cho tưởng tượng. Tuy nhiên, trong nhiều những trường hợp cụ thể hơn, chẳng hạn như chuyển động, tính nén chặt trở nên ngang bướng hơn nhiều với những thói quen suy nghĩ của chúng ta. Do vậy, sẽ là điều đáng mong ước để xem xét cho rõ ràng giải thích toán học về chuyển động, với một cái nhìn để làm cảm nhận được khả năng về lôgích của nó. Giải thích toán học về chuyển động có lẽ là đã bị đơn giản một cách nhân tạo khi được xem như mô tả những gì thực sự xảy ra trong thế giới vật lý, nhưng những gì thực sự xảy ra, bằng một lượng vận dụng lôgích nhất định nào đó, phải là có khả năng được đem vào trong phạm vi của giải thích toán học, và trong phân tích của nó, phải nêu lên đúng như những vấn đề như thế như đã được nêu lên trong hình thức đơn giản nhất của nó trong giải thích này. Thế nên, giờ tạm thời sao nhãng câu hỏi về sự thích đáng vật lý của nó, chúng ta hãy cùng đơn thuần chỉ dành trọn với xem xét khả năng của nó như là một phát biểu chính thức về bản chất của chuyển động.
Để đơn giản hóa vấn đề của chúng ta càng nhiều đến mức có thể được, chúng ta hãy cùng tưởng tượng một đốm nhỏ ánh sáng đương di chuyển dọc theo một thước đo. Chúng ta hàm nghĩa gì khi nói rằng chuyển động thì liên tục? Cho những mục đích của chúng ta, không cần thiết để xem xét toàn bộ những gì nhà toán học hàm nghĩa bởi phát biểu này: chỉ phần của những gì ông hàm nghĩa là quan trọng về triết lý. Một phần của những gì ông nhằm nghĩa là, nếu chúng ta xem xét hai vị trí bất kỳ nào của điểm nhỏ đã chiếm chỗ tại hai khoảnh khắc bất kỳ nào, sẽ có những vị trí trung gian khác, chúng chiếm chỗ tại những khoảnh khắc trung gian. Dẫu cho chúng ta lấy hai vị trí thật gần với nhau đến bao nhiêu, đốm ánh sáng sẽ không đột nhiên nhảy từ một điểm này đến một điểm khác, nhưng sẽ đi qua một số vô hạn gồm những vị trí khác trên đường đi. Mỗi khoảng cách, dù cho nhỏ đến đâu, là đi xuyên qua tất cả chuỗi vô hạn của những vị trí giữa hai đầu của khoảng cách.
Nhưng tại điểm này, tưởng tượng gợi ra rằng chúng ta có thể mô tả tính liên tục của chuyển động bằng cách nói rằng đốm sáng nhỏ luôn luôn đi từ một vị trí tại một khoảnh khắc đến vị trí kế tiếp tại khoảnh khắc kế tiếp. Ngay sau khi chúng ta nói điều này, hay tưởng tượng ra nó, chúng ta rơi vào sai lầm, bởi vì không có điểm kế tiếp, hoặc khoảnh khắc kế tiếp. Nếu như đã có, chúng ta sẽ tìm thấy những nghịch lý của Zeno, trong một vài hình thức, là không thể tránh được, như sẽ xuất hiện trong bài giảng kế tiếp của chúng ta. Một nghịch lý đơn giản, có thể dùng như là một minh hoạ. Nếu đốm sáng nhỏ của chúng ta là trong chuyển động dọc theo cái thước đo xuốt toàn bộ một thời gian nhất định nào đó, nó không thể là tại cùng một điểm tại hai khoảnh khắc liên tiếp. Nhưng nó không có thể, từ một khoảnh khắc đến khoảnh khắc kế tiếp, du hành xa hơn là từ một điểm đến điểm kế tiếp, vì nếu nó đã làm thế, sẽ không có khoảnh khắc tại đó vốn nó đã là tại những vi trí trung gian, giữa cái vốn là tại khoảnh khắc đầu tiên và cái vốn là tại khoảnh khắc kế tiếp, và chúng ta đã đồng ý rằng sự liên tục của chuyển động loại trừ khả năng xảy ra những bước nhảy đột ngột như vậy. Nó dẫn đến rằng đốm sáng của chúng ta, miễn là nó di chuyển, phải đi từ một điểm tại một khoảnh khắc đến điểm kế tiếp tại khoảnh khắc kế tiếp. Thế nên, sẽ có chỉ là một định nghĩa hoàn hảo về vận tốc vốn với nó tất cả những chuyển động phải xảy ra: không chuyển động nào có thể nhanh hơn cái này, và không chuyển động nào có thể chậm hơn. Bởi vì kết luận này là sai, chúng ta phải từ chối giả thuyết trên đó nó đã dựa vào làm nền tảng, là rằng có những điểm liên kế tiếp và những khoảnh khắc kế tiếp [7]. Do đó tính liên tục của chuyển động phải không được giả định là bao gồm trong một vật thể chiếm những vị trí liên tiếp tại những thời điểm liên tiếp.
Khó khăn đối với sự tưởng tượng, tôi nghĩ rằng, chủ yếu nằm trong việc giữ bỏ ra ngoài sự gợi ý về những khoảng cách và những thời gian cực nhỏ vô cùng. Giả sử chúng ta cắt đôi một nửa một khoảng cách cho sẵn nhất định, và sau đó lại cắt làm đôi một nửa của một nửa, và cứ như vậy, chúng ta có thể tiếp tục mãi tiến trình đến chừng nào chúng ta thích, và chúng ta tiếp tục làm càng lâu, những khoảng cách kết quả trở thành càng nhỏ hơn. Sự phân chia đến vô hạn này, thoạt nhìn đầu tiên, xem ra ngầm ý rằng có những khoảng cách cực vô cùng nhỏ, tức là những khoảng cách cực nhỏ đến nỗi nếu bất kỳ một phần chia hữu hạn (một phân số) nào của một inch, sẽ vẫn là lớn hơn nó. Điều này, tuy nhiên, là một sai lầm. Sự tiếp tục cắt làm đôi với khoảng cách của chúng ta, mặc dù nó đem cho chúng ta liên tục những khoảng cách nhỏ hơn, nó luôn luôn đem cho chúng ta những khoảng cách hữu hạn. Nếu khoảng cách nguyên gốc của chúng ta đã là một inch, chúng ta lần lượt đạt đến nửa inch, một phần tư của một inch, một phần tám, một phần mười sáu, và cứ tiếp như vậy, nhưng tất cả mỗi một khoảng cách của chuỗi vô hạn này, gồm những khoảng cách đương ngắn dần thì là hữu hạn, “Nhưng”, có thể nói, “đến cuối cùng khoảng cách sẽ tăng dần đến cực nhỏ vô cùng”. Không phải, vì không có kết thúc. Tiến trình của sự cắt làm đôi này là một tiến trình, về mặt lý thuyết, có thể của tiếp tục cho đến maĩ mãi, mà không bao giờ đạt đến được bất kỳ term nào cuối cùng. Thế nên, sự phân chia đến vô hạn của những khoảng cách, vốn phải được thừa nhận, không có nghĩa rằng có những khoảng cách quá cực nhỏ khiến cho bất kỳ khoảng cách xác định hữu hạn nào sẽ là lớn hơn.
Trong loại câu hỏi này, là dễ dàng rơi vào một sai lầm lôgích ấu trĩ. Với bất kỳ bất kỳ khoảng cách xác định hữu hạn đem cho nào, chúng ta có thể tìm thấy một khoảng cách nhỏ hơn; điều này có thể được diễn tả trong dạng hàm hồ “có một khoảng cách nhỏ hơn bất kỳ một khoảng cách hữu hạn nào”. Nhưng nếu điều này sau đó được diễn giải như có ý nghĩa là “có một khoảng cách sao cho, dẫu bất cứ một khoảng cách xác định hữu hạn nào có thể được chọn lấy, khoảng cách trong câu hỏi này là nhỏ hơn”. Vậy thì phát biểu này là sai. Ngôn ngữ thông thường thì kém thích hợp để diễn tả những nội dung thuộc loại giống như thế này, và những triết gia, người nào dựa vào nó, đã thường bị nó dẫn đi lạc.
Trong một chuyển động liên tục, trong trường hợp đó, chúng ta sẽ nói rằng tại bất kỳ một khoảnh khắc nào đó nhất định, vật thể đương di chuyển chiếm một vị trí nào đó nhất định, và ở những khoảnh khắc khác, nó chiếm những vị trí khác; khoảng cách giữa bất kỳ hai khoảnh khắc, và giữa bất kỳ hai vị trí, luôn luôn là hữu hạn, nhưng sự liên tục của chuyển động được cho thấy trong thực tại là, dẫu cho gần nhau đến bao nhiêu, lấy hai vị trí và hai khoảng khắc, có một số vô tận những vị trí lại vẫn còn gần với nhau hơn nữa, vốn chúng chiếm giữ tại những khoảnh khắc lại còn cũng gần với nhau hơn nữa. Vật thể đương di chuyển không bao giờ nhảy từ một vị trí đến một vị trí khác, nhưng luôn luôn đi qua bằng một chuyển đổi dần dần thông qua một số vô hạn những trung gian. Tại một khoảnh khắc cho sẵn, nó thì ở chỗ nó là, giống như mũi tên của Zeno [8]; nhưng chúng ta không thể nói rằng nó thì đứng yên nghỉ tại khoảnh khắc, bởi vì khoảnh khắc không dài cho một thời gian hữu hạn, và không có một bắt đầu và kết thúc của khoảnh khắc với một khoảng cách xen giữa chúng. Yên nghỉ bao gồm trong tư cách ở tại cùng vị trí trong xuốt tất cả những khoảnh khắc hết suốt một đoạn thời gian hữu hạn nhất định nào đó, dầu cho ngắn ngủi đến đâu, nó không đơn giản chỉ bao gồm trong một cơ thể của vật thể ở tại nơi nó là, ở một khoảnh khắc nhất định.. Toàn bộ lý thuyết này, như là hiển nhiên, phụ thuộc vào bản chất của chuỗi nén chặt, và đòi hỏi, để thấu hiểu nó đầy đủ, chuỗi nén chặt đó nên trở thành quen thuộc và dễ dàng với tưởng tượng cũng như với tư tưởng chủ định.
Những gì đòi hỏi có thể được diễn tả bằng ngôn ngữ toán học bằng cách nói rằng vị trí của một vật thể đương di chuyển phải là một hàm số liên tục của thời gian [9]. Để định nghĩa cho chính xác những gì điều này có nghĩa, chúng ta tiến hành như sau. Xem xét một hạt, tại thời điểm t, là tại điểm P.
------------------P1-----------P------------------P2-------------Q---------------->
Bây giờ, chọn bất kỳ một phần nhỏ P1 P2 nào của đường đi của hạt, phần nhỏ này với tư cách là trong đó có chứa P. Sau đó, chúng ta nói rằng, nếu chuyển động của hạt là liên tục tại thời gian t , nó phải được thể tìm thấy hai instants t1, t2, một sớm hơn t, và một trễ hơn t, như vậy mà trong suốt toàn bộ thời gian từ t1 đến t2 (cả hai bao gồm trong), hạt nằm giữa P1 và P2. Và chúng ta nói rằng điều này vẫn phải giữ đúng, dù cho chúng ta làm phần P1 P2 nhỏ cho đến đâu đi nữa. Khi đây là trường hợp, chúng ta nói rằng, chuyển động thì liên tục tại thời gian t, và khi chuyển động là liên tục tại tất cả mọi thời gian, chúng ta nói rằng chuyển động như một toàn thể thì liên tục. Điều hiển nhiên là nếu hạt đã nhảy đột ngột từ P đến một vài điểm Q khác, định nghĩa của chúng ta sẽ đổ cho tất cả những đoạn P1 P2 vốn chúng đã quá nhỏ để bao gồm Q. Như thế, định nghĩa của chúng ta kham nổi một phân tích về tính liên tục của chuyển động, trong khi thừa nhận những điểm và những khoảnh khắc, và phủ nhận những khoảng cách cực vô cùng nhỏ trong không gian hay trong những đoạn thời gian.
Những triết gia, phần đông trong sự thiếu hiểu biết về phân tích của những nhà toán học, đã nhận theo những phương pháp khác nhiều dũng cảm hơn trong đối phó với những khó khăn prima fade [10] của chuyển động liên tục. Một thí dụ điển hình và gần đây của những lý thuyết triết học về chuyển động đã được Bergson kham gánh, người vốn có quan điểm về chủ đề này tôi đã tra xét những nơi khác [11].
Ngoài những luận chứng xác định, có những cảm xúc nhất định, đúng hơn không phải là những lý do, vốn chúng đứng chắn trên đường đi đến một sự chấp nhận của những giải thích toán học về chuyển động. Để bắt đầu, nếu như có một vật thể đang chuyển động nhanh chóng đi nữa, chúng ta thấy chuyển động của nó cũng đúng như chúng ta thấy màu sắc của nó. Một chuyển động chậm, như thế của kim chỉ giờ của một đồng hồ, chỉ có thể biết được trong cách vốn toán học sẽ dẫn chúng ta đến trông đợi, ấy là bằng quan sát một thay đổi về vị trí sau một thời gian trôi đi, nhưng, khi chúng ta quan sát chuyển động của kim chỉ giây, chúng ta không chỉ đơn thuần nhìn thấy trước tiên thấy một vị trí và sau đó một vị trí khác - chúng ta thấy một điều-gì-đó như cảm nhận trực tiếp như màu sắc. Cái một điều-gì-đó mà chúng ta xem thấy là cái gì, và cái chúng ta gọi là chuyển động trông thấy được là cái gì? Bất cứ dẫu nó là gì, nó không phải là sự chiếm đóng kế tiếp những vị trí kế tiếp: một cái gì đó vượt quá lý thuyết toán học của chuyển động là cần thiết để giải thích cho nó. Những chống đối với lý thuyết toán học nhấn mạnh vào sự kiện này. “Lý thuyết của bạn”, họ nói, “có thể rất hợp lôgích, và có thể áp dụng hết sức đáng khâm phục đối với một vài thế giới khác, nhưng trong thế giới thực tại này, những chuyển động thực tại là hoàn toàn khác nhau với những gì lý thuyết của bạn tuyên bố chúng là, và do đó, đòi hỏi một vài triết lý khác biệt với của bạn cho sự giải thích chúng cho thỏa đáng”.
Phản đối nêu lên như thế, là một vốn tôi không có ý muốn đánh giá quá thấp, nhưng tôi tin rằng nó có thể được trả lời đầy đủ mà không cần đi xa khỏi với những phương pháp và chỗ đứng vốn đã dẫn tới lý thuyết toán học về chuyển động. Tuy nhiên, trước tiên chúng ta hãy cùng gắng thử phát biểu sự phản đối đầy đủ hơn.
Nếu lý thuyết toán học là thỏa đáng, không có gì xảy ra khi một vật thể chuyển động ngoại trừ rằng nó là ở những nơi khác nhau tại những thời điểm khác nhau. Nhưng trong ý hướng này, kim chỉ giờ và kim chỉ giây đều là trong chuyển động như nhau, thế nhưng trong kim chỉ giây có một cái gì đó có thể cảm nhận được với những giác quan của chúng ta vốn vắng mặt trong kim chỉ giờ. Chúng ta có thể thấy, tại mỗi khoảnh khắc, rằng kim chỉ giây thì đang chuyển động, vốn là khác biệt với sự nhìn thấy nó trước tại một chỗ và sau đó tại một chỗ khác. Điều này xem dường như liên quan đến sự chúng ta nhìn thấy nó đồng thời ở tại một số những chỗ, mặc dù nó cũng phải liên quan đến việc chúng ta nhìn thấy rằng nó thì tại một vài những chỗ này sớm trước hơn so với tại những chỗ khác. Nếu, lấy thí dụ, tôi di chuyển bàn tay của tôi nhanh chóng từ trái sang phải, bạn có vẻ xem thấy toàn bộ chuyển động cùng một lúc, mặc dù thực tế là bạn biết nó bắt đầu ở bên trái và kết thúc ở bên phải. Đây là loại xem xét, tôi nghĩ, nó dẫn Bergson và nhiều những người khác xem một chuyển động như thực sự là một toàn thể vô hình, mà không phải là chuỗi gồm những trạng thái tách biệt đã được những nhà toán học tưởng tượng ra.
Đối với phản đối này có ba trả lời bổ sung, về sinh lý, tâm lý, và luận lý. Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng.
(1) Câu trả lời từ mặt sinh lý chỉ đơn thuần là cho thấy rằng, nếu thế giới vật lý là những gì những nhà toán học giả định, dạng ngoài xuất hiện có thể cảm nhận được của nó dù sao đi nữa có thể được phép mong đợi sẽ là những gì nó là. Mục đích của trả lời này, như vậy là một trả lời một khiêm tốn trong cho thấy giải thích toán học thì không phải là không thể được như được áp dụng vào thế giới vật lý, thậm chí nó không cố gắng để cho thấy rằng giải thích này là cần thiết, hoặc rằng một giải thích tương đồng áp dụng trong tâm lý học.
Khi một dây thần kinh bất kỳ nào bị kích thích, thế để gây ra một cảm giác, cảm giác không chấm dứt ngay lập tức với sự chấm dứt của sự kích thích, nhưng chết đi trong một thời gian ngắn nhất định hữu hạn. Một tia chớp, ngắn như nó với thị giác chúng ta, như một hiện tượng vật lý là vẫn còn ngắn hơn: chúng ta tiếp tục thấy nó trong một vài chốc lát sau khi sóng ánh sáng đã ngừng đập vào mắt. Thế nên, trong trường hợp của một chuyển động vật lý, nếu nó đủ nhanh chóng, ở một khoảnh khắc chúng ta sẽ thực sự xem thấy vật thể di động xuốt hết một phần hữu hạn của đường nó đi, và không chỉ ở chỗ chính xác nơi mà nó là trong khoảnh khắc đó. Tuy nhiên, những cảm giác, trong khi chúng chết đi, thành càng mờ nhạt dần dần đi, do đó cảm giác do một kích thích vốn vừa qua mới xảy ra, thì không chính xác giống như cảm giác do một tác nhân kích thích đương hiện nay. Từ điều này dẫn đến rằng, khi chúng ta nhìn thấy một chuyển động nhanh, chúng ta sẽ không chỉ thấy một vài vị trí của cơ thể di chuyển cùng một lúc, nhưng chúng ta sẽ thấy chúng với những mức độ khác nhau về cường độ - vị trí hiện tại sống động nhất, và những vị trí khác với sống động giảm dần, cho đến khi cảm giác nhạt dần vào trong ký ức trực tiếp. Trạng thái này của những sự vật giải thích đầy đủ cho nhận thức về chuyển động. Một chuyển động được nhận thức, không chỉ đơn thuần là được suy luận ra, khi nó là nhanh chóng một cách thích đủ cho nhiều vị trí được cảm nhận cùng một lúc, và những phần trước đó và sau đó của một chuyển động được cảm nhận thì được phân biệt bằng sự sống động ít hơn hay nhiều hơn của những cảm giác.
Câu trả lời này cho thấy sinh lý học có thể giải thích về nhận thức của chúng ta về chuyển động. Tuy nhiên, sinh lý học, trong khi nói về kích thích và những giác quan, và một chuyển động vật lý khác biệt với đối tượng trực tiếp của cảm giác, là giả định sự đúng thực của vật lý, và do đó thì chỉ có khả năng cho thấy giải thích vật lý là có thể có được, không phải là cho thấy nó là thiết yếu. Sự suy tưởng này đem chúng ta đến trả lời về mặt tâm lý.
(2) Câu trả lời từ mặt tâm lý với khó khăn của chúng ta về chuyển động là phần của một lý thuyết rộng lớn, còn xây dựng chưa xong xuôi, và hiện giờ, chỉ có khả năng nêu được đại cương một cách mơ hồ; Chúng ta đã xem xét lý thuyết này trong những bài giảng thứ ba và thứ tư; cho giờ đây, chỉ đơn thuần một phác họa về áp dụng của nó cho vấn đề hiện nay của chúng ta phải là đủ thỏa đáng. Thế giới của vật lý, như được giả định trong trả lời từ sinh lý học, rõ ràng là được suy ra từ những gì được đem cho trong cảm giác, nhưng liền ngay khi chúng ta xem xét nghiêm chỉnh những ǵì là thực sự được đem cho trong cảm giác, chúng ta tìm thấy nó xem ra dường như rất khác biệt với thế giới của vật lý. Thế nên, câu hỏi buộc vào chúng ta: Có phải sự suy luận từ cảm giác đến vật lý là một suy luận hợp lệ hay không? Tôi tin rằng trả lời là khẳng định, vì những lý do mà tôi đã đề nghị trong bài giảng thứ ba và thứ tư, nhưng trả lời không thể là hoặc ngắn hoặc dễ dàng được. Nói cho rộng rãi, nó bao gồm trong cho thấy rằng, mặc dù những hạt, những điểm, và những khoảnh khắc vốn vật lý hoạt động với chúng, không tự bản thân chúng được đem cho trong kinh nghiệm, và rất có khả năng là những sự vật không hiện hữu thực sự, tuy nhiên từ những gì vật liệu được cảm giác đem cho, cùng với những cụ thể khác về cấu trúc tương tự với những vật liệu này, là có thể để làm những công trình xây dựng lôgích có những thuộc tính toán học vốn vật lý chỉ định với những hạt, điểm, và khoảnh khắc. Nếu điều này có thể được thực hiện, sau đó tất cả những mệnh đề của vật lý có thể được chuyển dịch, bởi một loại từ điển, vào thành những mệnh đề về những loại đối tượng vốn chúng đã được đem cho trong cảm giác.
Áp dụng những suy xét tổng quát này vào trường hợp của chuyển động, chúng ta thấy rằng, ngay cả trong lĩnh vực của dữ liệu giác quan trực tiếp, hoặc với bất kỳ tỉ lệ thuận hợp nào với những sự kiện, hơn là với bất cứ quan điểm đơn giản ngang bằng nào khác, là điều cần thiết để phân biệt những trạng thái tức thời của những đối tượng, và coi những trạng thái như thế như tạo thành một chuỗi nén chặt. Chúng ta hãy cùng xem xét một vật thể vốn nó đang di chuyển đủ nhanh chóng để chuyển động của nó sẽ được nhận xem, và đủ lâu dài để chuyển động của nó sẽ không hoàn toàn thu gồm được trong một cảm giác. Sau đó, mặc dù sự kiện thực tế là chúng ta thấy một kéo dài hữu hạn của chuyển động tại một khoảnh khắc, mức độ mà chúng ta thấy tại một khoảnh khắc là khác biệt với của những gì chúng ta thấy tại một khoảnh khắc khác. Thế nên sau cùng, chúng ta được mang trở lại với một chuỗi những cái nhìn nhất thời về một vật thể đương chuyển động, và chuỗi này sẽ là nén chặt, giống như chuỗi gồm những điểm của vật lý đã nói trước đây. Trong thực tế, mặc dù những term của chuỗi xem ra có vẻ khác nhau, tính chất toán học của chuỗi thì không thay đổi, và toàn bộ lý thuyết toán học về chuyển động sẽ áp dụng đúng như nguyên văn với nó.
Khi chúng ta suy xét dữ liệu thực sự của cảm giác trong liên hệ này, điều quan trọng là nhận ra rằng hai dữ liệu giác quan có thể là, và đôi khi phải là, thực sự khác nhau khi chúng ta không có thể cảm nhận được bất kỳ khác biệt nào giữa chúng. Một lý do cũ nhưng cuối cùng quyết định để tin tưởng vào điều này đã được Poincare [12] nhấn mạnh. Trong tất cả những trường hợp về dữ liệu giác quan thuộc về có khả năng thay đổi dần dần, chúng ta có thể tìm thấy một dữ liệu giác quan không thể phân biệt với dữ liệu giác quan khác, và rằng cái khác không thể phân biệt với cái thứ ba, trong khi cái đầu tiên và cái thứ ba lại là khá dễ dàng phân biệt. Giả sử, lấy thí dụ, một người với mắt mình nhắm, đương cầm một trọng lượng trong tay, và một ai đó, không gây tiếng động, lại thêm vào một trọng lượng nhỏ. Nếu trọng lượng thêm là đủ nhỏ, không có sự khác biệt trong cảm giác sẽ được cảm nhận. Một thời gian sau, thêm một trọng lượng nhỏ khác nữa có thể được thêm vào, và vẫn không cảm nhận được thay đổi, nhưng nếu cả hai trọng lượng phụ vào đó được thêm cùng một lúc, có thể là sự thay đổi sẽ có thể nhận được khá dễ dàng. Hoặc, một lần nữa, lấy những sắc của màu. Điều có thể dễ dàng tìm thấy ba đối tượng của những sắc tương tự đến như không có sự khác biệt có thể được cảm nhận giữa sắc đầu tiên và sắc thứ hai, và cũng không có giữa sắc thứ hai và thứ ba, tuy thế giữa sắc đầu tiên và thứ ba sẽ là phân biệt được. Trong một trường hợp giống như vậy, sắc thứ hai không thể cùng giống như sắc đầu tiên, hoặc nó sẽ phân biệt được với sắc thứ ba, cũng không giống như sắc thứ ba, hoặc nó sẽ phân biệt được với sắc đầu tiên. Nó phải, do đó, mặc dù không thể phân biệt với cả hai, là thực sự trung gian giữa chúng.
Những suy xét giống như kể trên cho thấy rằng, mặc dù chúng ta không thể phân biệt dữ liệu giác quan, trừ khi chúng khác nhau bởi nhiều hơn một vài khối lượng nhất định nào đó, là điều hoàn toàn hữu lý để giả sử rằng dữ liệu giác quan của một loại nhất định, chẳng hạn như của những trọng lượng hoặc của những màu sắc, thực sự tạo thành một chuỗi nén chặt. Những phản đối có thể được đưa ra từ một quan điểm tâm lý chống lại lý thuyết toán học của chuyển động, do đó, không phản đối lại lý thuyết này như đã được hiểu đúng, nhưng chỉ với một giả định hầu như không cần thiết về sự đơn giản trong đối tượng nhất thời của cảm giác. Từ đối tượng trực tiếp của cảm giác, trong trường hợp của một chuyển động nhìn thấy được, chúng ta có thể nói rằng tại mỗi khoảnh khắc, nó là trong tất cả những vị trí mà vẫn còn được giữ ở mức cảm nhận được tại khoảnh khắc đó, nhưng tập hợp này của những vị trí thay đổi liên tục từ thời điểm này đến thời điểm khác, và phục tùng theo chính xác với cùng đối xử theo toán học như thể nếu nó không gì nhưng chỉ là một điểm mà thôi. Khi chúng ta khẳng định rằng một vài giải thích toán học về hiện tượng là chính xác, tất cả mà chúng ta khẳng định chủ yếu là rằng một ǵ đó có thể xác định được theo trong những điều kiện của hiện tượng thô nguyên, nó thỏa đáng với công thức của chúng ta, và trong ý nghĩa này lý thuyết toán học về chuyển động thì áp dụng được cho dữ liệu của cảm giác, cũng như với những hạt được giả định của vật lý trừu tượng.
Có một số những câu hỏi riêng biệt vốn chúng thường có khuynh hướng bị nhầm lẫn khi tính liên tục toán học được nói là không thỏa đáng với những sự kiện của cảm giác,
Chúng ta có thể phát biểu những điều này, với mục đích làm giảm thiểu sự tổng quát, như sau:
(a) Có phải những chuỗi sở hữu tính liên tục toán học là có thể có được về lôgích hay không?
(b) Giả sử rằng chúng có thể có được về lôgích, phải chăng là chúng không phải là không thể là được áp dụng với dữ liệu giác quan thực tại, bởi vì, trong đám những dữ liệu giác quan thực tại, không có những terms xác định lẫn nhau nằm cực ngoài (ở hai đầu) giống như loại có thể được tìm thấy, thí dụ như trong chuỗi những phân số?
(c) Không phải là sự giả định về những điểm, và những khoảnh khắc làm cho toàn bộ giải thích theo toán học là hư cấu hay sao?
(d) Cuối cùng, giả định rằng tất cả những phản đối này đã được trả lời, trong sự kiện thực nghiệm thực tại, có hay không bất kỳ lý do đầy đủ nào để tin tưởng rằng thế giới của cảm giác là liên tục?
Chúng ta hãy cùng xem xét những câu hỏi lần lượt theo trình tự.
(a) Câu hỏi về lôgích có thể có được sự liên tục toán học của chuyển động quay sang một phần trên sự hiểu lầm sơ đẳng chúng ta đã xem xét ở đầu của bài giảng này, một phần trên sự có thể có được về tính vô hạn toán học, vốn sẽ chiếm hai bài giảng kế tiếp của chúng ta, và một phần trên hình thức lôgích của câu trả lời cho phản đối theo lối của Bergson mà chúng ta đã phát biểu một vài phút trước đây. Tôi sẽ không nói thêm gì hơn nữa về chủ đề này vào lúc hiện giờ, bởi vì là điều đáng ao ước trước hết là hoàn thành câu trả lời về mặt tâm lý.
(b) Câu hỏi liệu những dữ liệu giác quan có được tạo thành gồm những đơn vị cực ngoài xác định lẫn nhau hay không, không phải là một câu hỏi có thể được quyết định bởi bằng chứng thực nghiệm. Nó thường được thúc dục, như là một nội dung của kinh nghiệm trực tiếp, rằng những tuôn trào cảm giác thì tránh né không có những phân chia, và là bị làm cho giả tạo sai lệch bởi những mổ xẻ của tri thức. Bây giờ tôi không có ao ước lập luận rằng quan điểm này là trái với kinh nghiệm trực tiếp: Tôi chỉ muốn duy trì rằng nó là điều có bản chất là không thể được, để thành là chứng minh được bằng kinh nghiệm trực tiếp. Như chúng ta đã thấy, phải có giữa những dữ liệu giác quan những khác biệt đến thật nhẹ không đáng kể đến như để không thể nhận thấy được: sự kiện là dữ kiện giác quan được đem cho trực tieespnkhoong có nghĩa là những khác biệt của chúng cũng phải được đem cho trực tiếp (mặc dù có thể là như thế). Giả sử, lấy thí dụ, một bề mặt có màu sắc mà trên đó màu sắc thay đổi dần dần, dần dần đến mức sự khác biệt về màu sắc trong hai phần rất cận kề nhau là không thể nhận thấy, trong khi sự khác biệt giữa những phần tách xa rộng rãi hơn là khá có thể ghi nhận được.
Hiệu quả đã tạo ra, trong một trường hợp như thế, sẽ là đích xác như của “sự thâm nhập lẫn nhau” [13], của quá trình chuyển đổi đó, vốn không phải là một nội dung của những đơn vị rời rạc [14]. Và bởi vì nó có xu hướng được giả định là những màu sắc, với tư cách là dữ liệu trực tiếp, phải xuất hiện khác nhau nếu như chúng là khác nhau, điều xem ra dễ dàng dẫn đến rằng “sự thâm nhập lẫn nhau” phải là giải thích đúng cuối cùng. Nhưng điều này không dẫn đến. Nó đã được giả định một cách vô thức, như một tiền đề cho một reductio ad absurdum của quan điểm phân tích, rằng, nếu A và B là những dữ liệu trực tiếp, và A khác với B, vậy thì sự kiện là chúng khác nhau cũng phải là một dữ kiện trực tiếp. Thật khó để nói giả định này đã phát sinh như thế nào, nhưng tôi nghĩ rằng nó được kết nối với những nhầm lẫn giữa “quen biết” và “biết về” [15]. Quen biết, vốn là những gì chúng ta thu được từ cảm giác, ít nhất về mặt lý thuyết, không bao hàm ngay cả sự “biết về” nhỏ nhất, tức là nó không bao hàm kiến thức về bất kỳ mệnh đề nào có quan tâm đến đối tượng vốn với nó chúng ta có quen biết. Đó là một sai lầm nếu nói như thể quen biết có những mức độ: chỉ có đơn giản là quen biết và không-quen biết. Khi chúng ta nói đến sự trở nên “quen biết nhiều/tốt hơn”, thi dụ như là với một người, những gì chúng ta hàm nghĩa phải là, trở thành được quen thuộc với nhiều những phần hơn của một toàn bộ nhất định, nhưng sự quen biết với mỗi phần thì hoặc là trọn vẹn hoặc là không có. Thế nên, là một sai lầm khi nói rằng nếu như chúng ta đã quen biết hoàn toàn với một đối tượng, chúng ta nên biết tất cả về nó. “Biết về” là kiến thức của những mệnh đề, vốn nó không nhất thiết là phải can dự vào sự quen biết với những thành phần cấu tạo của những mệnh đề [16]. Biết rằng hai sắc của màu là khác nhau, là kiến thức về chúng; thế nên sự quen biết với hai sắc màu, dù trong bất kỳ phương cách nào, không là phải có kiến thức rằng chúng là khác nhau.
Từ những gì vừa nói, dẫn đến rằng bản chất của dữ liệu giác quan không thể dùng một cách hợp lệ để chứng minh rằng chúng không bao gồm những đơn vị cực ngoài xác định lẫn nhau. Mặt khác, có thể được chấp nhận rằng trong tính chất thực nghiệm của chúng không có gì đặc biệt phải đòi hỏi quan điểm rằng chúng bao gồm những đơn vị cực ngoài xác định lẫn nhau. Quan điểm này, nếu nó được chủ trì, phải được chủ trì trên những nền tảng lô gích, nhưng không phải trên nền tảng thực nghiệm. Tôi tin rằng những nền tảng lô gích là thỏa đáng để kết luận. Ở đáy tầng, chúng nằm dựa trên sự bất khả của sự giải thích tính phức tạp với không giả định những thành phần. Điều không thể phủ nhận rằng lĩnh vực thị giác, lấy thí dụ, là phức tạp; và cho đến chừng mức như tôi có thể thấy, luôn luôn có tự mâu thuẫn trong những lý thuyết, trong khi thừ nhận tính phức tạp, nó vốn cố gắng phủ nhận rằng nó kết quả từ một pha trộn của những đơn vị cực ngoài xác định lẫn nhau. Nhưng theo đuổi vấn đề này sẽ dẫn chúng ta quá xa với chủ đề của chúng ta, và vì thế giờ đây tôi sẽ không nói thêm gì nữa về nó.
(c) Đôi khi được nhấn mạnh rằng sự giải thích toán học về chuyển động thì chung cuộc là hư cấu vì sự giả định của nó về những điểm và những khoảnh khắc. Bây giờ, có ở đây hai câu hỏi khác nhau để được phân biệt. Có câu hỏi về không gian và thời gian là tuyệt đối hay tương đối, và có câu hỏi không biết liệu những gì chiếm hữu không gian và thời gian phải là được tạo hợp bởi những yếu tố vốn chúng không có kéo dài hoặc tiếp tục hay không. Và lần lượt mỗi câu hỏi này có thể khoác hai hình thức, ấy là: (α) Giả thuyết có phù hợp với những sự kiện và với lôgích hay không? (β) Nó có bị đòi hỏi bởi những sự kiện hoặc bởi lôgích hay không? Tôi ước ao để trả lời, trong mỗi trường hợp, có - với hình thức đầu tiên của câu hỏi, và không - với hình thức thứ hai. Nhưng trong bất kỳ trường hợp nào giải thích toán học về chuyển động sẽ không là hư cấu, miễn là một cách hiểu đúng được đem lại cho những từ “điểm” và “khoảnh khắc” . Một vài lời về từng lựa chọn thay thế sẽ dùng để làm cho điều này rõ ràng.
Một cách chính thức, toán học chấp nhận một lý thuyết tuyệt đối về không gian và thời gian, tức là, nó giả định rằng, ngoài những sự vật vốn chúng ở trong không gian và thời gian, cũng có những thực thể, được gọi là những “điểm” và những “khoảnh khắc” vốn chúng bị những sự vật chiếm ngự. Tuy nhiên, quan điểm này mặc dù được Newton chủ trương, từ lâu đã bị những nhà toán học xem như đơnt thuần chỉ là một tưởng tượng có tính tiện lợi. Cho đến chừng mức như tôi có thể thấy, không có bằng chứng khả hữu nào, hoặc thuận hay chống lại nó. Nó là có thể có được một cách lô gích, và nó là phù hợp với những sự kiện. Nhưng những sự kiện lại cũng phù hợp với việc phủ nhận những thực thể không gian và thời gian, ượt quá và ở trên những sự vật có liên hệ không gian và thời gian. Thế nên, để tuân hợp với nguyên lý “dao cạo của Occam” , chúng ta sẽ thực hiện tốt đẹp nếu tránh khỏi phải hoặc giả định hoặc phủ nhận những điểm và những khoảnh khắc,. Điều này có nghĩa là cho đến chừng nào quan tâm về chuyện thực hành được trong thực tế, rằng chúng ta chấp nhận lư thuyết tương đối, vì trong thực tế việc từ chối không thừa nhận những điểm và những khoảnh khắc có cùng một tác dụng tương tự như sự phủ nhận về chúng. Nhưng thuần túy về lý thuyết cả hai là khá khác nhau, bởi vì sự phủ nhận đưa vào một yếu tố của giáo điều không kiểm chứng được, vốn điều này hoàn toàn là không có mặt khi chúng ta chỉ đơn thuần giữ tránh không khẳng định. Thế nên, mặc dù chúng ta sẽ rút nhận ra những điểm và những khoảnh khắc từ những sự vật, chúng ta sẽ để lại mặc cho sự khả hữu tối thiểu vẫn mở ra rằng chúng có thể cũng có một sự hiện hữu độc như những thực thể đơn giản.
Bây giờ chúng ta đi đến câu hỏi liệu những sự vật trong không gian và thời gian có được hình thành như là tạo hợp của những yếu tố không có sự kéo dài hay sự tiếp tục, tức là những yếu tố vốn chúng chỉ chiếm hữu một điểm và một khoảnh khắc. Vật lý, chính thức, giả định trong phương trình vi phân của nó là những sự vật bao gồm những yếu tố vốn chúng chỉ chiếm hữu một điểm ở mỗi khoảnh khắc, nhưng cứ dai dẳng trong suốt thời gian. Vì những lý do đã giải thích trong Bài giảng IV, sự kiên trì của sự vật qua thời gian thì được xem như là kết quả chính thức của một xây dựng lôgích, không nhất thiết ngụ ý bất cứ sự kiên trì thực tế nào. Cùng những động cơ này, trong thực tế, vốn dẫn đến sự phân chia sự vật vào thành những hạt-điểm [17], nên có lẽ giả định là dẫn đến sự phân chia củachúng vào thành những hạt-khoảnh khắc [18], như thế thành phần chính thức chủ yếu sau cùng của vật chất trong vật lý sẽ là một hạt-điểm-khoảnh khắc [19]. Nhưng những đối tượng như vậy, cũng như những hạt của vật lý, không phải là dữ liệu. Cùng một sự tiết kiệm của giả thuyết, vốn nó đặt định cho sự chấp thuận thực tế của những yếu tố vật chất vốn nó có một sự kéo dài và sự tiếp tục hữu hạn xác định. Bởi vì, như chúng ta đã thấy trong Bài giảng IV, những điểm và những khoảnh khắc có thể được xây dựng như những chức năng lôgích của những yếu tố như vậy, có thể được dẫn giải trong một hình thức vốn nó giả sử chỉ những yếu tố vốn chúng đồng ý với những dữ liệu thực tế của chúng ta trong việc có một một sự kéo dài và sự tiếp tục hữu hạn xác định. Như vậy, trong chừng mức quan tâm với việc sử dụng những điểm và những khoảnh khắc, giải thích toán học về chuyển động có thể được giải thoát khỏi sự kết án là xử dụng những hư cấu.
(d) Nhưng bây giờ chúng ta phải đối mặt với câu hỏi: Có hay không, trong sự kiện kinh nghiệm thực tại, bất kỳ lý do thỏa đáng nào để tin rằng thế giới của tri giác là liên tục? Câu trả lời ở đây, tôi nghĩ, phải là trong hướng tiêu cực. Chúng ta có thể nói rằng giả thuyết về sự liên tục là hoàn toàn ăn khớp với thực tại và với lôgích, và rằng nó thì đơn giản về mặt kỹ thuật hơn bất kỳ một giả thuyết có thể lập luận được nào khác. Nhưng bởi vì năng lực của chúng ta trong sự kỳ thị phân biệt giữa những đối tượng khả giác rất tương tự nhau là không chính xác đến vô tận, là điều khá không thể nào quyết định chọn giữa những lý thuyết khác biệt vốn chúng chỉ khác nhau về phương diện những gì là dưới lằn ranh của kỳ thị phân biệt. Nếu như, lấy thí dụ, một bề mặt có màu sắc mà chúng ta thấy bao gồm một số hữu hạn gồm những bề mặt rất nhỏ, và nếu như chuyển động mà chúng ta xem thấy, giống như một máy chiếu phim, bao gồm của một số lớn nhất định những vị trí kế tiếp nhau, sẽ có không có gì phát hiện được bằng thực nghiệm để cho thấy những đối tượng của tri giác là không liên tục. Trong những gì được gọi là đã kinh nghiệm về liên tục, giống như được nói là được đem cho trong tri giác, có một yếu tố tiêu cực lớn: sự vắng mặt của tri thức về sự khác biệt xảy ra trong những trường hợp vốn được nghĩ là cung cấp cho tri thức về sự vắng mặt của khác biệt. Khi nào, thí dụ, chúng ta không thể phân biệt một màu A từ màu B, cũng không phân biệt được màu B một từ một màu C, nhưng có thể phân biệt A từ C. Sự không thể phân biệt được là sự kiện tiêu cực thuần túy, ấy là, rằng chúng ta không nhận thấy một sự khác biệt. Ngay cả về phần dữ liệu trực tiếp, điều này là không là lý do để phủ nhận rằng có một sự khác biệt. Thế nên, nếu chúng ta thấy một bề mặt có màu sắc, vốn màu sắc của nó thay đổi dần dần, vẻ ngoài cảm nhận được của nó, nếu thay đổi thì liên tục sẽ là không thể phân biệt được từ những gì nó sẽ là, nếu thay đổi đã là bởi những bước nhảy nhỏ bé hữu hạn. Nếu điều này là đúng, như nó có vẻ là, nó dẫn đến rằng không bao giờ có thể có được bất kỳ một bằng chứng thực nghiệm nào để chứng minh rằng thế giới được cảm giác thì liên tục, và không phải là một bộ sưu tập của một số hữu hạn rất lớn của những phần tử trong đó mỗi chúng khác với lân cận của nó trong một hữu hạn xác định mặc dù ở một mức độ rất nhỏ. Tính liên tục của không gian và thời gian, số lượng vô hạn của những sắc màu khác nhau trong quang phổ, và vân vân, là tất cả trong bản chất của những giả thuyết về mặt lôgích hoàn toàn có thể có nhưng không thể kiểm chứng được, hoàn toàn phù hợp với những sự kiện biết được, và về kỹ thuật thì đơn giản hơn bất cứ giả thuyết có thể biện hộ được nào khác, nhưng không phải là chỉ đơn độc có những giả thuyết là đầy đủ thoả đáng về mặt lôgích và kinh nghiệm.
Nếu một lý thuyết biểu thị quan hệ về những khoảnh khắc được xây dựng, trong đó một “khoảnh khắc” được định nghĩa là một nhóm những sự kiện đồng thời với nhau, và tất cả không đồng thời với bất kỳ sự kiện nào ở bên ngoài nhóm, vậy sau đó nếu chuỗi kết quả của chúng ta gồm những khoảnh khắc là nén chặt, nó phải là có thể được, nếu x hoàn toàn xảy ra trước y, để tìm một sự kiện z, đồng thời với phần của x, vốn hoàn toàn xảy ra trước một vài biến cố vốn chúng hoàn toàn xảy ra trước y. Giờ đây, điều này đòi hỏi rằng số lượng những biến cố đã có liên hệ phải là vô hạn trong bất kỳ một khoảng hữu hạn nào của thời gian. Nếu điều này là trường hợp trong thế giới dữ liệu giác quan của một người, và nếu mỗi dữ liệu giác quan có không ít hơn một khoảng kéo dài thời gian hữu hạn nhất định, điều sẽ là thiết yếu để giả sử rằng chúng ta luôn luôn có một số vô hạn gồm những dữ liệu giác quan đồng thời xảy ra với bất kỳ một dữ liệu giác quan cho sẵn nào. Áp dụng những suy xét tương tự vào không gian, và giả sử rằng những dữ liệu giác quan có không ít hơn là một khoảng kéo dài không gian nhất định nào đó, điều sẽ là thiết yếu để giả sử rằng một số vô hạn những dữ liệu giác quan nằm đè chồng lên về không gian với bất kỳ một dữ liệu giác quan cho sẵn nào. Giả thuyết này là có thể được, nếu chúng ta giả định một dữ liệu giác quan đơn lẻ, lấy thí dụ, như trong thị giác, là có một bề mặt hữu hạn, đương bao quanh những bề mặt khác vốn cũng là dữ liệu giác quan đơn lẻ. Nhưng có những khó khăn trong một giả thuyết như vậy, và tôi không nghĩ rằng những khó khăn này có thể được đáp ứng với thành công. Nếu chúng là không thể, chúng ta phải làm một trong hai điều: hoặc tuyên bố rằng thế giới dữ liệu giác quan của một người là không liên tục, hoặc khác đi, từ chối để không thừa nhận rằng có bất kỳ một giới hạn thấp hơn nào về kéo dài và gia hạn của một dữ liệu giác quan đơn lẻ. Giả thuyết thứ hai có vẻ như không thể đứng vững, do đó chúng ta dường như bị buộc phải kết luận rằng không gian của những dữ liệu giác quan là không liên tục; nhưng điều đó không ngăn cản chúng ta thừa nhận rằng dữ liệu giác quan có những phần vốn chúng là không phải là dữ liệu giác quan, và không gian của những phần này có thể là liên tục. Những phân tích lôgích chúng ta vừa suy xét cung cấp những dụng cụ để đối phó với những giả thuyết khác nhau, và ở giữa chúng, quyết định duy nghiệm là một vấn đề cho nhà tâm lý học.
(3) Bây giờ chúng ta suy xét câu trả lời lôgích để trước những khó khăn bị cáo buộc của lý thuyết toán học về chuyển động, hay đúng hơn, về lý thuyết tích cực vốn nó được thúc dục từ phe bên kia. Quan điểm được thúc giục một cách phơi mở rõ ràng bởi Bergson, và đã hàm ngụ trong những học thuyết của nhiều những triết gia, đó là, một chuyển động là một cái gì đó ra không phân chia được, không phân tích được một cách hợp lệ vào thành một chuỗi của những trạng thái. Đây là phần của một học thuyết tổng quát hơn nhiều, nó chủ trương cho rằng phân tích luôn làm sai lạc, bởi vì những phần của một tổng thể phức tạp, khi được kết hợp lại trong toàn bộ như thế, là khác biệt với những ǵ vốn chúng nếu không (bị kết hợp) sẽ là. Là điều rất khó khăn để phát biểu học thuyết này dưới bất kỳ một hình thức nào, cho trong đó có một ý nghĩa chính xác. Thường thường những luận chứng được sử dụng, chúng vốn không chống đỡ dù bất cứ điều gì trên câu hỏi này. Nó thúc giục, lấy thí dụ, rằng khi một người trở thành một người cha, bản chất của ông ta bị thay đổi bởi mối quan hệ mới, trong đó ông tìm thấy chính ông ta, như thế nên ông không phải là nghiêm túc đồng nhất với con người vốn trước đây không phải là một người cha. Điều này có thể là đúng, nhưng nó là một sự kiện thuộc tâm lý nhân quả, không phải là một sự kiện lôgích. Học thuyết sẽ đòi hỏi rằng một người, nếu người ấy là một người cha không thể nghiêm túc đồng nhất với một người, nếu người ấy là một người con, bởi vì ông đã bị sửa đổi theo một cách vì sự quan hệ của sự làm cha, và theo một cách khác vì sự quan hệ của sự làm con. Trong thực tế, chúng ta có thể đưa ra một phát biểu chính xác về học thuyết mà chúng ta đang đấu tranh trong hình thức: Không bao giờ có thể có hai sự kiện về phần liên quan đến cùng một sự vật. Một sự kiện liên quan đến một sự vật. luôn luôn là hay bao gồm một mối quan hệ với một hoặc với nhiều thực tại; thế nên hai sự kiện liên quan đến cùng sự vật sẽ bao gồm hai quan hệ của cùng sự vật. Nhưng học thuyết đương bàn luận chủ trương rằng một sự vật thì bị những quan hệ của nó sửa đổi đến nỗi nó không thể còn là cùng như nhau trong một quan hệ này sang trong một quan hệ khác. Do thế nên, nếu học thuyết này là đúng, không bao giờ có thể có hơn một sự kiện về phần liên quan đến bất kỳ một sự vật nào. Tôi không nghĩ rằng những triết gia đương bàn luận có nhận ra rằng đây là phát biểu chính xác của quan điểm mà họ ủng hộ, bởi vì trong dạng này, quan điểm thì hết sức trái ngược với sự thật đơn giản, cho đến nỗi rằng sự sai lầm của nó thì hiển nhiên ngay liền khi nó được phát biểu. Thảo luận về câu hỏi này, tuy nhiên, liên quan đến rất nhiều tinh tế lôgích, và hết sức bị vây quanh với những khó khăn, thế nên giờ đây tôi không tiếp tục theo đuổi nó xa hơn nữa. Một khi học thuyết tổng quát trên bị loại bỏ, lúc đó rõ ràng là, ở nơi đâu có sự thay đổi, nơi ấy phải là có một kế tục của những trạng thái. Không thể có thay đổi và chuyển động chỉ là một trường hợp đặc thù của sự thay đổi, trừ khi có một cái gì đó khác biệt ở một thời gian so với những gì vốn có ở một vài thời gian khác. Thay đổi, do đó, phải liên quan đến những quan hệ và sự phức tạp, và phải đòi hỏi sự phân tích.Cho đến chừng nào sự phân tích của chúng ta chỉ có đi xa đến những thay đổi khác nhỏ hơn, nó không là hoàn thành, nếu như nó được là hoàn thành, nó phải kết thúc với những term vốn không thay đổi, nhưng có liên quan bởi một quan hệ trước đó và sau đó. Trong trường hợp của những thay đổi vốn chúng xuất hiện liên tục, chẳng hạn như những chuyển động, xem ra có vẻ không thể tìm thấy được bất cứ điều gì khác hơn là sự thay đổi, miễn là chúng ta đối phó với những khoảng hữu hạn của thời gian, dù cho ngắn đến đâu. Thế nên, do những đòi hỏi lôgích tất yếu của trường hợp, chúng ta bị đẩy ngược trở lại với khái niệm về khoảnh khắc mà không có kéo dài, hoặc với bất kỳ tỷ lệ nào mà không có bất kỳ kéo dài thời gian nào, vốn dẫu ngay cả những dụng cụ tinh tế nhất lại có thể tiết lộ được. Khái niệm này, mặc dù nó có thể được thực hiện cho có vẻ khó khăn, thực sự là dễ dàng hơn bất kỳ (khái niệm nào) khác mà những sự kiện cho phép. Nó là một loại khung lôgích, bất kỳ một lý thuyết hữu lý nào phải thích ứng vừa vào- không nhất thiết tự thân phát biểu về những sự kiện thô, nhưng một hình thức mà trong đó những phát biểu vốn chúng là đúng về những sự kiện thô có thể được thực hiện bởi một sự diễn giải thích ứng . Việc suy xét trực tiếp về những sự kiện thô của thế giới vật lý đã được thực hiện trong những bài giảng trước, trong bài giảng hiện nay, chúng ta đã chỉ quan tâm để chứng minh rằng không có gì trong những sự kiện thô là không phù hợp với học thuyết toán học về tính liên tục, hoặc đòi hỏi một sự liên tục thuộc một loại khác nhau căn bản so với của chuyển động toán học.
[1] điểm, khoảnh khắc, tính liên tục – points, instants, continuity.
[2] Zeno người thành Elea (390-430 TCN), triết gia cổ Hylạp.
[3] a series of terms – có thể dịch tạm là chuỗi gồm những “”biểu thức”, nếu là chuỗi số, gồm những “số hạng”, có chỗ gọi là “hạng tử”. Tôi không rõ đã có sự thống nhất trong thuật ngữ toán học Việt hay chưa, vì tôi vẫn tìm thấy có chỗ dùng “téc” (“term”) - vậy ở đây, hãy tạm để nguyên “téc” – “terms”.
Đây là định nghĩa tôi mượn dùng, để hiểu Russell trong bài này:
“A series is an infinite ordered set of terms combined together by the addition operator. The term infinite series is sometimes used to emphasize the fact that series contain an infinite number of terms. The order of the terms in a series can matter.” (http://mathworld.wolfram.com/Series.html)
[4] instances of series
[5] cardinal number
[6] dĩ nhiên, phải ngầm giả định “một chồng, một vợ”!
[7] CTTG - Nghịch lý trên là thiết yếu cùng như luận chứng của Zeno về sân vận động, vốn sẽ được xem xét trong bài giảng kế tiếp của chúng ta.
[8] CTTG - Xem bài giảng kế tiếp.
[9] continuous function of the time
[10] Sơ diện, cái thấy lúc mới thoạt nhìn ban đầu, chưa sâu kỹ.
[11] CTTG - Monist, July 1912, pp. 337-341.
[12] “Le continu mathematique”, Revue de Metaphysique et de Morale, vol. i. p. 29.
[13] interpenetration
[14] discrete units
[15] “acquaintance “ và “knowledge about”
[16] Thí dụ, khi nói - tôi biết về nhà văn Nhất Linh - đó là biết qua thư tịch lịch sử, qua những mệnh đề, lấy thí dụ “Nhất Linh là vị đã thành lập nhóm Tự Lực Văn Đoàn”. Trong mệnh đề đó, tên hiệu nhà văn được nêu và làm chủ ngữ của mệnh đề phát biểu, nhưng dĩ nhiên, không có sự kiện là tôi quen biết ông, i.e., trong thực tại, tôi “biết” (về ông) nhưng không “quen”, không trực tiếp “quen biết” nhà văn hào đó., mặc dù có một thời gian, chúng tôi sống trong cùng một thành phố ở ViệtNam.
Tôi chỉ biết, ít nhất 3 mệnh đề:
- có một nhà văn x là Nhất Linh
- có một nhà văn y đã thành lập nhóm Tự Lực
- x = y.
Trong 3 mệnh đề kể trên, có “Nhất Linh”, có “TLVD”, có “thành lập”, nhưng không có “tôi”.
Russell phân biệt – hai loại kiến thức; “quen biết” và “biết về”, bản chất rất khác nhau, nếu lẫn lộn, sẽ đưa đến những sai lầm nghiêm trọng.
Xem thêm – B. Russell, Những vấn đề của Triết học, tôi đã dịch và cho phổ biến trên blog này.
[17] point-particles
[18] instant-particles
[19] a point- instant-particle
