Saturday, December 25, 2010

Kiến thức của Chúng ta về Thế giới Bên ngoài (7)

Kiến thức của Chúng ta về Thế giới Bên ngoài.
Bertrand Russell
(tiếp theo)   

Our Knowledge of the External World
Bài Giảng 7
Lý thuyết Khẳng định về Vô hạn




Thuyết khẳng định về vô hạn, và thuyết tổng quát về số [1], vốn từ trong đó đã nêu nó ra, là trong những khải hoàn  của phương pháp khoa học trong triết học, và do đó là đặc biệt thích hợp cho việc minh họa đặc tính phân tích lôgích của phương pháp đó. Công việc trong chủ đề này đã được những nhà toán học thực hiện, và những kết quả của nó có thể được trình bày bằng hệ thống ký hiệu toán học. Vậy sau đó, có thể được phép nói, tại sao chủ đề lại nên được coi đúng hơn là triết lý chứ không là toán học? Điều này nêu lên một câu hỏi khó khăn, một phần liên quan đến việc sử dụng những từ, nhưng một phần cũng thực sự quan trọng nằm trong sự hiểu biết chức năng của triết học. Mỗi đối tượng-nội dung, có vẻ như, có thể nêu lên thành những điều tra triết học cũng đúng như với khoa học dành riêng, sự khác biệt giữa hai phương pháp giải quyết là trong chiều hướng của hành động, và trong loại nào của những sự thật mà nó tìm cách thiết lập. Trong những ngành khoa học đặc biệt, khi chúng đã trở thành phát triển đầy đủ, hành động này là tiến về phía trước và tổng hợp, từ đơn giản đến phức tạp hơn. Nhưng trong triết học chúng ta làm theo hướng ngược lại: từ những phức tạp và tương đối cụ thể, chúng ta tiến tới về hướng những đơn giản và trừu tượng bằng những phương tiện của của phân tích, trong tiến trình đó, tìm kiếm để loại bỏ những đặc thù cá biệt của đối tượng-nội dung nguyên thuỷ, và để giới hạn sự chú ý của chúng ta hoàn toàn vào hình thức lôgích của những sự kiện có liên quan.


Giữa triết học và toán học thuần lý có một mối quan hệ giống nhau nhất định, trong sự kiện là cả hai đều là tổng quát và tiên nghiệm. Chẳng một nào trong chúng khẳng định những mệnh đề, giống như của lịch sử và địa lý, vốn phụ thuộc vào những sự kiện thực tại cụ thể với tư cách đúng như những gì chúng là. Chúng ta có thể minh họa đặc tính này bằng cách dùng khái niệm của nhiều thế giới có thể có được của Leibniz, trong đám đó chỉ có một là thực tại. Trong tất cả nhiều những thế giới có thể có, triết học và toán học sẽ là như nhau, những khác biệt sẽ chỉ có là trong phương diện của những sự kiện đặc thù cá biệt đó vốn chúng được ghi chép bởi những khoa học mô tả. Do đó, bất kỳ phẩm chất nào mà bởi chúng, thế giới thực tại của chúng ta thì phân biệt với những thế giới trừu tượng có thể có khác, phải được toán học và triết học bỏ qua như nhau. Tuy nhiên, toán học và triết học khác nhau, theo cách thức của chúng đối xử với  những thuộc tính chung trong đó tất cả thế giới có thể có cùng đồng ý, bởi vì trong khi toán học, bắt đầu từ những mệnh đề tương đối đơn giản, tìm cách xây dựng những kết quả phức tạp hơn và hơn nữa bằng tổng hợp suy luận, triết học, bắt đầu từ dữ liệu vốn là kiến thức phổ thông thông thường, tìm cách thanh lọc và tổng quát hoá chúng vào thành những phát biểu đơn giản nhất của dạng thức trừu tượng mà có thể thu được từ chúng bằng phân tích lôgích.

Sự khác biệt giữa triết học và toán học có thể được minh họa bằng vấn đề hiện giờ của chúng ta, đó là bản chất của số [2]. Cả hai đều bắt đầu từ những sự kiện nhất định về những con số vốn là hiển nhiên để kiểm tra. Nhưng toán học sử dụng những sự kiện này để suy ra càng nhiều những định lý phức tạp hơn, trong khi triết học, bằng phân tích, tìm cách đi đằng sau những sự kiện này đến những sự kiên khác, đơn giản hơn, nền tảng hơn, và vốn thuộc về vừa vặn hơn để tạo thành những tiền đề của khoa học về số học. Câu hỏi đặt ra, “một số là gì?”[3]  Là câu hỏi triết học ưu việt trong chủ đề này, nhưng nó là một mà những nhà toán học như thế không cần phải hỏi, miễn là họ biết đủ về những thuộc tính của những số để cho phép ông ta có khả năng suy ra những định lý của mình. Bởi vì đối tượng của chúng ta là triết học, chúng ta phải vật lộn với câu hỏi của triết gia. Câu trả lời cho câu hỏi “một số là gì? “Mà chúng ta sẽ đạt được trong bài giảng này, sẽ được tìm thấy cũng đem cho, bởi sự hàm ngụ, câu trả lời cho những khó khăn về vô hạn mà chúng ta đã xem xét trong bài giảng trước.

Câu hỏi “một số là gì? “ là một câu hỏi, cho đến tận thời gian khá gần đây, vốn nó chưa bao giờ được xem xét trong thứ đường lối có khả năng mang lại một trả lời chính xác. Những triết gia đã hài lòng với một vài phát biểu mơ hồ loại giống như “Số thì đồng nhất trong số đông” [4]. Một định nghĩa điển hình của loại mà được những triết gia mãn nguyện là như sau đây từ Lôgích của Sigwart của (§ 66, phần 3): “tất cả mỗi số thì không chỉ đơn thuần là một số đông, nhưng một số đông được nghĩ như được giữ cùng với nhau và đóng chặt, và đến mức độ đó như một đồng nhất”. Bây giờ có trong những định nghĩa giống như thế một sai lầm ngớ ngẩn rất sơ đẳng, thuộc cùng cái loại mà sẽ phạm vào nếu như chúng ta có nói “màu vàng là một bông hoa” bởi vì một vài hoa là màu vàng. Lấy lấy thí dụ, số 3. Một collection đơn  nhất của ba sự vật có thể  hình tượng được là được mô tả như   “một số đông được nghĩ như được giữ cùng với nhau và đóng chặt, và đến mức độ đó như một đồng nhất”, nhưng một collection của ba sự vật thì không phải là số 3. Số 3 là một cái gì đó mà tất cả những collection của ba sự vật cùng có chung, nhưng tự chính nó không phải là một collection của ba sự vật.  Do đó, định nghĩa này, ngoài những khiếm khuyết bất kỳ nào khác, đã thất bại không đạt được mức độ cần thiết của sự trừu tượng: số 3 là một cái gì đó, trừu tượng hơn bất kỳ một collection nào của ba sự vật.

Những định nghĩa triết học mơ hồ như thế, tuy nhiên, đã vẫn còn lại không hoạt động vì sự rất mơ hồ của chúng. Điều mà hầu hết những người đã nghĩ về những con số đã thực sự có trong não thức là những số là kết quả của sự đếm. “Trên ý thức của luật về sự đếm” Sigwart nói ở đầu thảo luận của ông về con số, “nằm dựa khả năng tự phát kéo dài chuỗi những số ad infinitum  (đến vô cùng tận)”. Đó là quan điểm này của số được tạo ra bằng cách đếm vốn nó đã là trở ngại tâm lý chính yếu cho sự hiểu biết về những số vô hạn. Đếm, bởi vì nó là quen thuộc, thì đã sai lầm giả định cho là đơn giản, trong khi trong  thực tế nó là một tiến trình rất phức tạp, vốn không có nghĩa gì cả, trừ khi những con số đạt đến trong khi đếm có  một vài độc lập có ý nghĩa đáng kể đối với tiến  trình mà qua đó chúng được đạt đến. Và những số vô hạn không thể đạt đến được gì hết cả theo trong cách này. Sai lầm này là thuộc cùng loại như thể những con bò đã được định nghĩa là những gì có thể được mua từ một người mua bán ngựa bò. Đối với một người biết một số người mua bán ngựa bò, nhưng chưa bao giờ thấy một con bò, điều này có vẻ là một định nghĩa đáng ngưỡng mộ. Nhưng nếu trong chuyến đi chơi của mình, ông đi qua một đàn bò hoang, ông sẽ phải tuyên bố rằng chúng không phài là những con bò gì hết tất cả, bởi vì không có người mua bán ngựa bò nào có thể bán chúng. Thế nên những số vô hạn đã được tuyên bố không phải là những số gì hết tất cả, vì chúng không thể đạt được bằng cách đếm.

Đáng bỏ công để suy xét trong một chốc lát - đếm thực sự là gì. Chúng ta đếm một tập hợp gồm những đối tượng khi chúng ta để cho chú ý của chúng ta đi qua từ một cái đến một cái khác, cho đến khi chúng ta đã kiểm điểm mỗi chúng một lần, bằng nói những tên của những con số theo thứ tự với mỗi hành động kế tiếp của sự chú ý. Số cuối cùng nêu tên trong tiến trình này là số những đối tượng, và do đó đếm là một phương pháp để tìm ra con số của những đối tượng là gì. Nhưng hoạt động này thực sự là một hoạt động rất phức tạp, và với những người vốn họ tưởng tượng rằng nó là nguồn hợp lôgích của số cho thấy đáng chú ý chính họ là không có khả năng về phân tích.  Ở điểm thứ nhất, khi chúng ta nói “một, hai, ba ..”. Vì như chúng ta đếm, chúng ta không thể nói là đương khám phá ra số của những đối tượng đã đếm trừ khi chúng ta đính kèm một số ý nghĩa cho những từ: một từ, hai, ba. ... Một đứa trẻ có thể học để biết những từ này theo thứ tự, và để lập lại chúng một cách chính xác như những chữ của bảng chữ cái, mà không gắn bất kỳ một ý nghĩa nào với chúng. Một đứa trẻ như vậy có thể đếm chính xác từ điểm nhìn của một người lớn đứng nghe,  mà không có bất kỳ một ý tưởng nào về những con số gì hết. Hoạt động về đếm, trên thực tế, chỉ có thể được thực hiện một cách có nghĩa lý bởi một người đã có một số ý tưởng về những con số là gì, và từ điều này, nó dẫn đến rằng đếm không đem cho cơ sở hợp lôgích của con số.

Lại nữa, làm thế nào để chúng ta biết rằng con số cuối cùng đạt đến trong tiến trình đếm là số của những đối tượng đã đếm? Đây chỉ là một trong những sự kiện vốn quá quen thuộc để nhận ra được tầm quan trọng của chúng; nhưng những ai là người ước mong thành nhà lôgích phải thu tập thói quen của chăm chú trên những sự kiện như thế. Có hai mệnh đề liên quan đến sự kiện này: thứ nhất, rằng số những con số từ 1 lên đến bất kỳ một con số nào là con số ấy được cho sẵn -  lấy thí dụ, số của những con số từ 1 đến 100 là “một trăm”; thứ hai, rằng nếu một tập hợp của những số có thể được dùng như  những tên của một tập hợp của những đối tượng, mỗi số xảy ra duy nhất chỉ một lần, vậy sau đó, số những con số được dùng như những tên thì cũng là một như với số của những đối tượng.  Mệnh đề đầu tiên trong những mệnh đề này thì có khả năng có một chứng minh số học dễ dàng, miễn là chừng nào chỉ liên quan đến những số hữu hạn.  Nhưng với những số vô hạn, sau mệnh đề đầu tiên, nó thôi không còn đúng. Mệnh đề thứ hai còn vẫn là đúng, và là trong thực tế, như chúng ta sẽ thấy, một hệ quả trực tiếp của định nghĩa của số. Nhưng do sự sai lầm của mênh đề đầu tiên trong đó những con số vô hạn được quan tâm, sự đếm số, ngay cả như nó đã là có thể có được một cách thực tiễn, sẽ không là một phương pháp hợp lệ để khám phá số những terms trong một collection vô hạn, và trong thực tế sẽ cho những kết quả khác nhau tuỳ theo cách thức mà nó đã được đem thực hiện.

Có hai khía cạnh, trong đó những số vô hạn mà được biết là khác với  những số hữu hạn: đầu tiên,  những số vô hạn có một thuộc tính mà tôi sẽ gọi reflexiveness, trong khi những số hữu hạn không có; thứ hai, những số hữu hạn có một thuộc tính mà tôi sẽ gọi inductiveness, trong khi những số vô hạn không có. Chúng ta hãy cùng lần lượt xem xét hai thuộc tính này.

(1) Tính phản xạ (Reflexiveness). Một số được nói là phản xạ khi nó không tăng lên bằng cách cộng thêm 1 với nó. Nó dẫn đến ngay lập tức rằng bất kỳ một số hữu hạn nào cũng có thể được cộng thêm với một số phản xạ mà không làm tăng nó. Thuộc tính này của những số vô hạn đã luôn luôn nghĩ rằng, cho đến gần đây, là tự mâu thuẫn, nhưng qua công trình của Georg Cantor nó đã đi đến để được công nhận rằng, mặc dù lúc đầu ngạc nhiên, nó không tự mâu thuẫn hơn là với sự kiện người ta tại hai đầu những đối cực của trái đất đã không  đổ nhào xuống. Trong hiệu lực của thuộc tính này, đem cho bất kỳ một collection vô hạn những đối tượng nào, bất kỳ một số hữu hạn những đối tượng có thể được thêm vào, hoặc lấy đi mà không làm tăng hoặc giảm bớt số lượng của collection. Ngay cả một số lượng vô hạn của những đối tượng có thể, trong điều kiện nhất định, được thêm vào hoặc lấy đi mà không làm thay đổi con số. Điều này có thể được làm cho rõ ràng hơn với giúp đỡ của một số ví dụ.

Hãy tưởng tượng tất cả những số nguyên 0, 1, 2, 3... được viết xuống thành một hàng, và liền ngay bên dưới chúng viết xuống những số 1, 2, 3 số, 4,. . :

                0, 1, 2, 3,  . . . . . n . . .
                1, 2, 3, 4,  . . . . . n + 1 . . .

Như thế, số 1 thì dưới 0, 2 thì dưới 1, và cứ tiếp như vậy. Vậy sau đó, tất cả những số ở hàng trên có một số nằm ngay dưới nó ở hàng dưới, và không có số nào xảy ra hai lần trong hàng nào của cả hai hàng. Nó dẫn đến rằng số của những con số ở hai hàng phải là giống nhau. Nhưng tất cả những con số vốn chúng xảy ra ở hàng dưới cũng cũng xảy ra ở hàng đầu, và nhiều hơn một, cụ thể là số 0, như thế số lượng những số hạng ở hàng trên là thu được bằng cách thêm 1 vào số lượng của hàng dưới. Thế nên, chừng nào còn giả định rằng một con số phải đượcc tăng lên bằng cách cộng thêm 1 vào với nó, tình trạng này của những sự vật cấu thành một mâu thuẫn, và dẫn đến sự phủ nhận rằng có những số vô hạn.

Thí dụ sau đây thì lại còn đáng ngạc nhiên nhiều hơn. Viết những số nguyên 1, 2, 3, 4 ... ở hàng trên, và những số chẵn 2, 4, 6, 8 ... ở hàng dưới, thế nên, dưới mỗi con số ở hàng trên,  đứng ngay ở hàng dưới là số gấp đôi của nó. Sau đó, như trước đây, số của những con số trong hai hàng là bằng như nhau, thế nhưng hàng thứ hai là kết quả từ sự lấy đi tất cả những số lẻ - một collection vô hạn - từ hàng hàng đầu.  Thí dụ này được Leibniz đem cho để chứng minh rằng không có thể nào có số vô hạn. Ông tin vào những collection vô hạn, bởi vì ông nghĩ rằng một số phải luôn luôn được tăng lên khi nó được thêm vào và giảm đi khi nó được trừ khỏi, nhưng ông đã chủ trương rằng những collection vô hạn không có những số. “Số của tất cả những số”, ông nói, “hàm ý một sự mâu thuẫn, vốn tôi đã trình bày rằng như vậy: Đối với bất kỳ một số nào cũng có một số tương ứng bằng với gấp hai của nó. Thế nên số của gồm tất cả những con số thì không lớn hơn số gồm những con số chẵn, có nghĩa là, toàn thể thì không lớn hơn phần của nó” [5]. Trong khi đối phó với lập luận này, chúng ta phải nên thay thế “số của tất cả những số hữu hạn” cho “số của tất cả những số”, sau đó chúng ta có được đích xác minh họa đã được đưa ra về hai hàng số của chúng ta, một trong có chứa tất cả những số hữu hạn, hàng kia chỉ những số chẵn hữu hạn. Sẽ thấy được rằng Leibniz coi nó như là tự mâu thuẫn để duy trì rằng toàn  thể thì không lớn hơn phần của nó.. Nhưng từ “lớn hơn” là một từ vốn nó có khả năng có nhiều nghĩa, vì mục đích của chúng ta, chúng ta phải thay thế bằng cụm từ ít mơ hồ hơn “có chứa một số lớn hơn gồm những số hạng” [6]. Trong ý nghĩa này, nó không phải là tự mâu thuẫn vì toàn bộ và một phần là bằng nhau, chính  là việc thể hiện sự kiện này đã làm lý thuyết hiện đại về vô hạn thành có thể được.

Có một cuộc thảo luận thú vị về tính phản xạ của những toàn bộ vô hạn trong đối thoại đầu tiên trong của Galileo (Những đối thoại về chuyển động). Tôi trích từ một bản dịch xuất bản năm 1730. [7]  Những nhân vật trong cuộc đối thoại là Salviati, Sagredo, và Simplicius, và họ có lý luận như sau:

Simp. Ở đây đã nảy sinh một Hoài nghi rồi mà tôi nghĩ là sẽ không giải quyết được, và đó là như vầy: Bởi vì đơn giản rằng, (lấy) một Đường thẳng đem cho (và)  dài hơn một đường thẳng khác, và vì cả hai đều chứa vô hạn những Điểm, chúng ta chắc chắn phải nhất thiết suy luận, rằng chúng ta đã tìm thấy trong những cùng Giống-loại một cái gì đó lớn hơn Vô hạn, bởi vì Vô hạn của những Điểm của Đường lớn hơn vượt quá Vô hạn của những điểm của những đường ngắn hơn. Nhưng bây giờ, để chỉ định một Vô hạn lớn hơn một Vô hạn, là những gì tôi không thể nào thai nghén được trong đầu.

Salv. Đây là một số những khó khăn chúng phát sinh từ những bài thuyết giảng mà hiểu biết giới hạn của chúng ta tìm hiểu về những Vô hạn, bằng cách qui  cho chúng những thuộc tính mà chúng ta đem cho những sự vật hữu hạn và có tận cùng, vốn tôi nghĩ hoàn toàn khôn không thích hợp, bởi vì những thuộc tính của Đa số, Thiểu số, và Bằng nhau [8], không phù hợp với những Vô hạn, với chúng, chúng  ta không thể nói rằng một thì nhiều hơn, ít hơn, hoặc bằng nhau. Lấy bằng chứng,  như mà tôi có một cái gì đó đi vào trong đầu tôi, (mà tôi có thể là hiểu rõ hơn), vốn tôi sẽ đề nghị bằng lối của những  thẩm về sự đơn giản, vốn là kẻ đã khởi đầu khó khăn này. Vậy sau đó, Để bắt đầu: Tôi giả định rằng bạn biết đó cái gì là những số bình phương và có phải vậy không?

Simp. Tôi biết rất rõ rằng một số bình phương là những con số phát sinh từ những phép nhân của bất kỳ một số nào với chính nó, do đó 4 và 9 là số bình phương, số kia phát sinh từ 2, và số này từ 3, đã đem chúng nhân với tự thân chúng.

Salv.  Rất tốt; Và bạn cũng biết, rằng vì những tích số được gọi là những bình phương, những thừa số được gọi là những căn số [9]: Và rằng những con số khác, vốn chúng  tiến hành không phải từ những con số nhân với tự chúng, chúng không phải là những bình phương. Do đó, khi lấy vào tất cả những con số, cả bình phương lẫn không bình phương, nếu như tôi sẽ nói, rằng (số của) những số không-bình thì  nhiều hơn (số của) những số bình phương, tôi sẽ không là đứng về phía đúng – có phải không?

Simp.  Ắt thế chắc chắn rồi!.

Salv.  Nếu tôi tiếp tục với bạn, vậy sau đó và hỏi bạn, có bao nhiêu những con số bình phương? bạn thực sự có thể trả lời, rằng có nhiều cũng bằng như có những số căn số của chúng, bởi vì mỗi bình phương có căn số của riêng nó, và mỗi căn số có bình phương của riêng nó, và bởi vì không có bình phương nào có nhiều hơn là một căn số, và cũng không có một căn số nào có nhiều hơn là một bình phương[10].

Simp. Rất đúng.

Salv.  Nhưng bây giờ, nếu như tôi sẽ hỏi có bao nhiêu căn số [11] đây, bạn không thể phủ nhận ngoài (sự kiện) rằng cũng có nhiều như có những con số, bởi vì không có những con số, nhưng là những gì căn số đối với số bình phương  nào đó. Và nếu điều này đã được thừa nhận, chúng ta có thể cũng được phép khẳng định, rằng có cũng nhiêu số bình phương như là có nhiều những số, bởi vì có nhiều những số bình phương như có những số căn, và có nhiều những số căn như những số. Và ấy thế nhưng khi bắt đầu của điều này, chúng ta đã nói, đã có nhiều những số hơn số bình phương, phần lớn hơn của những con số thì không là những số bình phương: Và mặc dù số những số bình phương giảm đi trong một tỷ lệ lớn hơn, như chúng ta tiếp tục đến những số lớn hơn, vì đếm tới 100, bạn sẽ thấy có 10 số bình phương, tức là. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, đó là cũng giống như nói rằng 10 phần là những số bình phương, trong mười nghìn chỉ có 100 phần là những số bình phương, trong một triệu chỉ có 1000 phần: Và ấy thế nhưng trong một số vô hạn, nếu nhưng chúng ta có thể hiểu được nó, chúng ta có thể nói những số bình phương cũng nhiều như tất cả những con số đem vào cùng  với nhau.

Sagr. Vậy sau đó, Những gì phải được xác định, trong trường hợp này?

Salv. Tôi thấy không có cách nào khác, ngoài cách nói rằng tất cả những Số là vô hạn; những số bình phương là vô hạn, những số căn của chúng là vô hạn, và rằng số của những số căn thì không ít hơn số của những số, và cái sau cũng không ít hơn cái trước: và sau đó bằng cách kết luận rằng những thuộc tính hoặc những điều khoản về  bình đẳng, về đa số, và về thiểu số, không có chỗ dứng trong những số vô hạn, nhưng chúng bị  hạn chế để chấm dứt về Số lượng”.

Cách thức mà vấn đề đã diễn giải trong thảo luận ở trên thì đáng kính trọng đối với của Galileo, nhưng giải pháp đề xuất không phải là một giải pháp đúng. Thực sự đúng là trường hợp rằng số những số bình phương (hữu hạn) thì cũng là cùng như của số những con số (hữu hạn). Sự kiện là, miễn là chừng nào chúng ta giới hạn mình với những số nhỏ hơn một vài những số hữu hạn nhất định nào đó, tỷ lệ của những số bình phương có chiều hướng tiến về zero, khi số hữu hạn đem cho tăng lớn dần, không mâu thuẫn với sự kiện là số của tất cả những số bình phương là cũng là số của tất cả những số hữu hạn. Đây chỉ là một trường hợp cá biệt của sự kiện, bây giờ quen thuộc với những nhà toán học, rằng giới hạn của một hàm số khi biến số tiến dần sát đến một điểm cho sẵn nhất định, có thể không cũng là như giá trị của nó khi biến số thực sự đạt tới điểm cho sẵn nhất định. Nhưng mặc dù những số vô hạn mà Galileo thảo luận đều là bằng nhau, Cantor đã chỉ ra rằng những gì Simplicius không thể nào thai nghén được trong đầu là đúng, tức là có một (con) số vô hạn của những những số vô hạn khác nhau, và rằng khái niệm về nhiều hơnít hơn có thể được áp dụng hoàn toàn tốt đẹp với  chúng. Toàn bộ những khó khăn của Simplicius, như là hiển nhiên, đến từ tin tưởng của ông, nếu nhiều hơn ít hơn có thể áp dụng được, rằng một phần của một collection vô hạn phải có ít những hằng số hơn so với  của cả toàn bộ, và khi điều này bị phủ nhận, tất cả những mâu thuẫn biến mất. Về phần những độ dài lớn hơn và ngắn hơn của những đường thẳng , vốn là vấn đề mà từ đó thảo luận ở trên bắt đầu, nó có liên quan đến một ý nghĩa của nhiều hơnít hơn mà vốn không phải là thuộc về số học. Số những điểm là như nhau trong một đường dài và trong một đường ngắn, với tư cách trong sự kiện, cùng là giống như số của những điểm trong tất cả không gian. Nhiều hơnít hơn của đo lường hình học liên quan đến khái niệm đo lường mới về tương đẳng [12], vốn nó không thể được phát triển ra chỉ từ những  nghiên cứu về số học mà thôi. Nhưng câu hỏi này không có sự quan trọng nền tảng vốn nó thuộc về lý thuyết số học của vô hạn.

(2) Tính không-qui-nạp (non-inductiveness).Thuộc tính thứ hai phân biệt những số vô hạn với những số hữu  hạn là thuộc tính không-qui nạp. Điều này sẽ được giải thích hay nhất là bằng cách định nghĩa thuộc tính tích cực của tính qui nạp vốn đặc trưng cho những số hữu hạn, và vốn đã được đặt tên theo phương pháp chứng minh được biết là “qui nạp toán học”.

Trước tiên chúng ta hãy cùng xem xét có nghĩa là gì khi gọi một thuộc tính là “thừa kế” [13] trong một chuỗi cho sẵn. Lấy một thuộc tính như vậy như sự được đặt tên là Jones. Nếu một người đàn ông có tên là Jones, con trai của ông cũng có tên thế, chúng ta vì vậy sẽ gọi là thuộc tính được đặt tên là Jones là thừa kế đối với quan hệ của người cha và con trai. Nếu một người đàn ông có tên là Jones, tất cả con cháu của ông trong dòng con trai trực tiếp, đều được gọi là Jones, điều này dẫn đến từ sự kiện là thuộc tính là tính thừa kế. Bây giờ, thay vì mối quan hệ của cha và con trai, hãy xem xét mối quan hệ của một số hữu hạn với số kế tiếp liền ngay sau nó, đó là, mối quan hệ vốn giữ giữa 0 và 1, giữa 1 và 2, giữa 2 và 3, và tiếp tục như vậy. Nếu một thuộc tính của những con số là thừa kế đối với phương diện của quan hệ này, vậy sau đó nếu nó thuộc về (nói thí dụ) 100, nó phải cũng thuộc về tất cả những số hữu hạn lớn hơn 100, bởi vì, là có tính thừa kế, nó thuộc về 101 vì nó thuộc về 100, và nó thuộc về 102  bởi vì nó thuộc về 101, và tiếp tục như thế - trong đó từ “và tiếp tục như thế” sẽ đưa chúng ta, sớm hay muộn, đến với bất kỳ số một hữu hạn nào lớn hơn 100. Thế nên, lấy thí dụ, thuộc tính của - là lớn hơn 99 - là thừa kế trong chuỗi của những số hữu hạn, và nói tổng quát, một thuộc tính là thừa kế trong chuỗi này, khi cho bất kỳ một số nào mà có thuộc tính ấy, con số kế tiếp phải luôn luôn cũng có thuộc tính ấy.

Sẽ được xem thấy rằng một thuộc tính thừa kế, mặc dù nó phải thuộc về tất cả những số hữu hạn lớn hơn một số cho sẵn có mang thuộc tính,  không cần phải thuộc về tất cả những con số nhỏ hơn con số này. Lấy thí dụ,  thuộc tính thừa kế là lớn hơn 99,  thuộc về 100 và tất cả những số lớn hơn (100), nhưng không với bất kỳ số nào nhỏ hơn. Tương tự, thuộc tính thừa kế được gọi là Jones, thuộc về tất cả những con cháu (trong dòng nam trực tiếp) của những người có thuộc tính này, nhưng không phải cho tất cả những tổ tiên của họ, bởi vì cuối cùng, chúng ta ngược đến được một Jones đầu tiên, trước người này, tổ tiên của ông không có tên họ. Tuy nhiên, là điều hiển nhiên , rằng bất cứ thuộc tính có tính thừa kế nào sở hữu bởi Adam [14] phải thuộc về tất cả mọi người nam, và tương tự bất kỳ một thuộc tính thừa kế nào sở hữu bởi 0 phải thuộc về tất cả những số hữu hạn. Đây là nguyên tắc của những gì được gọi là “qui nạp toán học”. Nó thường xuyên xảy ra, khi chúng ta muốn chứng minh rằng tất cả những số hữu hạn có một vài thuộc tính, rằng trước tiên, chúng ta phải chứng minh rằng 0 có thuộc tính, và sau đó rằng thuộc tính là thừa kế, nghĩa rằng, nếu nó thuộc về một con sốcho sẵn, vậy sau đó nó thuộc về con số kế tiếp. Do từ sự  kiện rằng những chứng minh như vậy được gọi là “qui nạp”. Tôi sẽ gọi những thuộc tính mà với chúng, chúng có thể áp dụng được là những thuộc tính “qui nạp” Thế nên, một thuộc tính qui nạp của những con số là một thuộc tính vốn nó là thừa kế và thuộc về 0.

Lấy bất kỳ một trong những số nguyên, thí dụ 29, rất dễ dàng để thấy rằng nó phải có những thuộc tính qui nạp. Bởi vì từ khi những thuộc tính như thế thuộc về 0, và là được thừa kế, chúng  thuộc về 1; do đó, bởi vì chúng là thừa kế, chúng thuộc về 2, và tiếp tục như thế; sau hai mươi chín lần lập lại những lập luận như rhế, chúng ta trinh bày rằng chúng thuộc về 29. Chúng ta có thể được phép định nghĩa những số “qui nạp” như  tất cả những con số  vốn  chúng sở hữu tất cả những thuộc tính qui nạp;  chúng sẽ là cùng là một với những gì chúng ta gọi là những số “tự nhiên”, tức là những số nguyên hữu hạn thông thường. Đối với tất cả những số giống như thế, những chứng minh bằng quy nạp toán học có thể được được áp dụng một cách hợp lệ. Chúng là những con số, chúng ta có thể nói rộng rãi, vốn có thể đạt đến từ 0 bằng những phép cộng thêm liên tục với số 1, nói cách khác, chúng là tất cả những con số mà có thể đạt được bằng cách đếm.

Nhưng vượt ngoài tất cả những con số này, có những số vô hạn, và những số vô hạn không có tất cả những thuộc tính qui nạp. Cho nên, những số như thế, có thể được gọi là không-qui nạp.  Tấ cả những thuộc tính này của những số vốn chúng đã được chứng minh bằng một tiến trình từng bước một, tưởng tượng từ một số sang số kế tiếp, đều phải chịu thất bại khi chúng ta đến với con số vô hạn. Điều đầu tiên của những số vô hạn là không có số đứng liền ngay trước nó, vì không có số hữu hạn lớn nhất, do đó không có sự liêntục gồm những bước, từ một số đến một số kế tiếp, sẽ bao giờ mà đạt đến được từ một số hữu hạn đến một số vô hạn, và phương pháp chứng minh từng bước một thì thất bại. Đây là một lý do khác nữa cho những tự mâu thuẫn đã giả định về những số vô hạn. Nhiều những thuộc tính quen thuộc nhất của những con số, vốn thói quen đã dẫn người ta coi là tấ yếu lôgích, chúng là trong thực tế chỉ có thể chứng minh bằng phương pháp từng bước một, và thất bại, không đúng với những số vô hạn. Nhưng ngay liền khi chúng ta nhận ra tính tất yếu của sự chứng minh những thuộc tính như thế bằng qui nạp toán học, và phạm vi hạn chế nghiêm ngặt của phương pháp chứng minh này, những mâu thuẫn đã giả định phải được nhìn thấy là mâu thuẫn, không lôgích, nhưng chỉ với thành kiến của chúng ta và với những thói quen não thức.

Thuộc tính của được tăng thêm bằng cộng với 1 - tức là thuộc tính của không-phản xạ [15] - có thể dùng để minh hoạ những hạn chế của quy nạp toán học.  Rất dễ dàng để chứng minh rằng 0 thì được tăng lên bằng cộng thêm 1, và rằng, nếu một số cho sẵn được tăng lên bằng cộng với 1, số kế tiếp cũng như thế, nghĩa là con số có được bằng phép cộng với 1. Nó dẫn đến rằng mỗi một số tự nhiên thì tăng lên bằng phép cộng với 1. Điều này dẫn đến một cách tổng quát từ luận chứng tổng quát, và dẫn đến cho mỗi trường hợp cụ thể bằng một số thoả đáng về những ứng dụng của luận chứng đó. Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng 0 thì không bằng 1, sau đó, bởi vì thuộc tính được tăng lên bằng cộng với 1 là thừa kế, nó dẫn đến rằng 1 thì không bằng 2, thế nên, sau đó 2 là không bằng 3, nếu chúng ta muốn chứng minh rằng 30,000 là không bằng 30,001, chúng ta có thể làm như vậy bằngcách lập lại lập luận này 30,000 lần. Nhưng chúng ta không thể chứng minh theo cách này rằng tất cả những số là được tăng thêm bằng phép cộng với 1, chúng ta chỉ có thể chứng minh rằng điều này giữ vứng với những con số đã đạt đến được bằng liên tục những phép cộng thêm với 1, bắt đầu từ 0. Những con số có tính phản xạ, vốn chúng nằm ngoài tất cả những số đạt được theo cách này, là như một sự kiện của thực tế, chúng không tăng thêm bằng phép cộng với 1.

Hai  thuộc tính về tính phản xạ và tính không-qui nạp, vốn chúng ta đã được xem như là những đặc điểm của những số vô hạn, cho đến nay chưa được chứng minh là luôn luôn được thấy có cùng nhau cả hai. Được biết rằng tất cả những số có tính phản xạ  thì chúng là  không quy nạp, nhưng không biết rằng tất cả những số không quy nạp là có tính phản xạ hay không.  Những chứng minh nguỵ biện về mệnh đề này đã được nhiểu tác giả cho xuất bản, trong đó gồm cả chính tôi, những cho tới hiện nay, chưa có chứng minh hợp lệ nào đã được tìm ra.  Những con số vô hạn, tuy nhiên, thực sự được biết đến, tất cả đều có tính phản xạ cũng như không qui nạp, do đó, trong thực tế toán học, nếu như không trong  lý thuyết, hai thuộc tính này là luôn luôn kết hợp với nhau. Đối với mục đích của chúng ta, do đó, sẽ được thuận tiện để bỏ qua khả năng tối thiểu rằng  có thể có những số không có tính phản xạ và không có tính qui nạp, bởi vì tất cả những số được biết đến là một trong hai, hoặc quy nạp,  hoặc phản xạ.

Khi những số vô hạn đầu tiên được giới thiệu với mọi người, họ có khuynh hướng từ chối gọi tên của những con số với chúng, bởi vì “thái độ” của chúng là rất khác biệt với của những số hữu hạn, đến nỗi xem là một sự lạm dụng ngoan cố về từ ngữ, để gọi chúng là những số gì hết cả. Để đáp ứng cảm giác này, chúng ta bây giờ phải chuyển sang cơ sở lôgích của số học, và xem xét định nghĩa lôgích của những con số.

Định nghĩa lôgích về những số, mặc dù nó xem ra là một hỗ trợ thiết yếu cho lý thuyết về những số vô hạn, trong thực tế đã được khám phá một cách độc lập, và bởi một người khác biệt. Lý thuyết về những số vô hạn - đó là nói rằng,  phần số học như đối ngược với phần lôgích của lý thuyết, đã được Georg Cantor [16]khám phá ra, và được ông xuất bản trong các năm 1882-3 [17] . Định nghĩa của số đã được khám phá vào cùng một thời điểm, bởi một người mà thiên tài vĩ đại của ông vẫn chưa đón nhận được sự công nhận xứng đáng với nó - Tôi muốn nói đến Gottlob Frege[18] của đại học Jena. Công trinh đầu tiên của ông, Begriffssckrift, đã xuất bản năm 1879, đã chứa đựng lý thuyết rất quan trọng về tính thừa kế trong một chuỗi, mà tôi đã kết nối nó với tính qui nạp.  Định nghĩa của ông về số, thì chứa đựng trong công trình thứ hai của ông, được xuất bản vào năm 1884, và mang nhan đề là Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung uber den Begriff der Zahl. [19] Chính là với cuốn sách này mà lý thuyết lôgích về số học bắt đầu, và nó sẽ trả công cho chúng ta để xem xét phân tích của Frege trong một số chi tiết cụ thể.

Frege bắt đầu bằng ghi nhận sự ao ước gia tăng về sự nghiêm chỉnh chính xác lôgích trong những thuyết minh toán học vốn phân biệt những nhà toán học hiện đại khác với những người đi trước của họ, và chỉ ra rằng điều này phải dẫn đến một điều tra mang tính phê phán quan trọng cho định nghĩa về số. Ông tiến tới để trình bày sự thiếu hụt của những lý thuyết triết học đã có trước đó, đặc biệt là lý thuyết “tiên nghiệm tổng hợp” của Kant, và lý thuyết thực nghiệm của Mill. Điều này mang ông đến câu hỏi:  Những loại đối tượng nào đây mà số có thể được gán đúng cách cho? Ông chỉ ra rằng những sự vật vật lý mà có thể được xem như là một hoặc là nhiều: lấy thí dụ, nếu một cây có một nghìn lá, nó có thể được nhận lấy cùng với nhau tất cả như được tạo thành bởi toàn bộ lá cây của nó, vốn sẽ đếm như là một, không phải như một nghìn; và một đôi bốt thì là cùng một đối tượng như hai chiếc bốt.  Nó dẫn đến rằng những sự vật vật lý không phải là những đối tượng mà với chúng số đã được khẳng định đúng cách; bởi vì khi chúng ta đã tìm biết ra những đối tượng đích xác, con số được gán cho phải là không hàm hồ.  Điều này dẫn đến một thảo luận về quan điểm rất phổ biến rằng con số là thực sự là một cái gì đó có tính cách tâm lý và chủ quan, một quan điểm vốn Frege mạnh mẽ phủ nhận.  “Số”, ông nói, “là ít ỏi như một đối tượng tâm lý hoặc là một thành quả của những  tiến trình tâm linh (lớn) như là Biển Bắc. . . . Nhà thực vật học ao ước phát biểu một cái gì đó vốn nó thì đúng càng nhiều với một sự kiện, khi ông ta đem cho số của những cánh hoa trong một đoá hoa, cũng như khi ông đem cho màu sắc của nó. Một cái phụ thuộc cũng thật ít như là cái kia dựa trên tính thất thường của chúng ta. Thế nên, có một sự tương tự nhất định giữa số lượng và màu sắc, nhưng điều này không bao gồm trong sự kiện rằng cả hai là có thể nhận thức được nhậy cảm trong những sự vật bên ngoài, nhưng trong sự kiện rằng cả hai đều là khách quan” (trang 34).

 “Tôi phân biệt khách quan”, ông tiếp tục, “từ cái có thể sờ mó được, cái thuộc không gian, cái thực tại  Trục quay của trái đất, cái trung tâm của khối lượng của hệ thống mặt trời, là khách quan, nhưng tôi không nên gọi chúng là thực tại, giống như chính trái đất” (trang 35). Ông kết luận rằng số không phải là thuộc không gian và cũng không là vật chất, cũng không chủ quan, nhưng là không cảm-giác được và là khách quan. Kết luận này là quan trọng, bởi vì nó áp dụng cho tất cả những chủ đề nội dung của toán học và lôgích. Hầu hết những triết gia đã nghĩ rằng thể chất và ctinh thần, giữa chúng đã cạn kiệt thế giới của con người [20]. Có người đã cãi rằng những đối tượng của toán học đã rõ ràng là không chủ quan, và do đó phải là thể chất và thực nghiệm, những người khác đã tranh luận rằng chúng đã rõ ràng không là thể chất, và do đó phải là chủ quan và tinh thần.  Cả hai bên đã đều đúng trong những gì họ đã phủ nhận, và sai trong những gì họ đã xác nhận;  Frege đã có công lao đáng khen của chấp nhận cả hai phủ nhận, và việc tìm kiếm một sự khẳng định thứ ba bằng cách công nhận thế giới của lôgích, vốn nó không phải là tinh thần cũng không là vật chất.

Thực tế là, như Frege đã chỉ ra, rằng không có số, không ngay cả số 1, thì  áp dụng được cho những sự vật vật lý,  nhưng chỉ với những term [21] tổng quát,  hoặc những mô tả,  như  “con người”, “vệ tinh của trái đất”, “vệ tinh của sao Venus”. Term tổng quát “con người” thì áp dụng được cho một số nào đó nhất định những đối tượng: có trên thế giới nhiều những người như thế và như thế. Sự thống nhất vốn những triết gia đúng thực cảm thấy là cần thiết cho sự khẳng định của một số là sự thống nhất của term tổng quát, và nó là term tổng quát vốn là chủ thể thích đáng của số. Và điều này áp dụng như nhau khi có một đối tượng, hay không có đối tượng nào vốn chúng rơi vào dưới term tổng quát. “Vệ tinh của trái đất”  là một term chỉ áp dụng cho một đối tượng, cụ thể là, mặt trăng. Nhưng “một” không phải là thuộc tính của chính tự thân mặt trăng, vốn nó cũng có thể cũng đúng như thế nếu được coi như  nhiều những phân tử: nó là một thuộc tính của term tổng quát  “vệ tinh của trái đất”. Tương tự như vậy, 0  là một thuộc tính của term tổng quát  “vệ tinh của sao Venus”,  vì sao Venus không có vệ tinh. Ở đây, cuối cùng chúng ta có một lý thuyết dễ hiểu trí óc có thể nhận thức được của số 0. Điều này là không thể được nếu số áp dụng vào những đối tượng vật lý, bởi vì rõ ràng không có đối tượng vật lý nào có thể có số 0. Như vậy, trong sự  tìm kiếm định nghĩa của chúng ta về số, cho đến giờ chúng ta đã đi đến kết quả là những số là những thuộc tính của những những term tổng quát, hoặc những mô tả tổng quát, không phải là của những sự vật vật lý hay của những xuất hiện tinh thần.

Thay vì nói về một term tổng quát, chẳng hạn như “con người”, như chủ thể vốn với nó, một số có thể được khẳng định, chúng ta có thể được phép, với không thực hiện bất kỳ một thay đổi nghiêm trọng nào, lấy chủ thể như lớp (class) hoặc collection của những đối tượng - nghĩa là “nhân loại” trong thí dụ cụ thể trên - với nó term tổng quát trong câu hỏi thì được áp dụng. Hai term tổng quát, chẳng hạn như “con người” và “động vật không có lông hai chân”, vốn đều được áp dụng đối với cùng một collection của những đối tượng, sẽ hiển nhiên là có cùng một số những trường hợp cụ thể; thế nên,  số lượng phụ thuộc vào lớp, chứ không phải trên việc lựa chọn những term tổng quát này hay kia  để mô tả nó, miễn là một số nhiều những term tổng quát có thể được tìm thấy để mô tả cùng một lớp. Nhưng một số term tổng quát là luôn luôn cần thiết để mô tả một lớp. Ngay cả khi những term được liệt kê, như “cái này và cái kia và cái khác”, collection thì được kết lập bởi thuộc tính tổng quát của sự là hoặc cái này, hoặc cái kia, hoặc cái khác, và chỉ như thế thu tập được sự thống nhất cho phép chúng ta nói về nó như là một collection. Và trong trường hợp của một lớp vô hạn, sự liệt kê là không thể nào được, vì thế nên mô tả bằng một đặc điểm chung và đặc biệt cho những thành viên của lớp là mô tả duy nhất có thể có được. Ở đây, như chúng ta thấy, lý thuyết về số mà Frege vốn đã hướng tới bằng những cân nhắc lô gich thuần tuý trở nên được sử dụng trong trình bày làm thế nào những lớpvô hạn có thể là phục tùng với số, mặc dù với tư cách không thể nào liệt kê được.

Frege tiếp theo hỏi câu hỏi: Khi nào hai collection thực có cùng số của những term? Trong đời sống bình thường, chúng ta quyết định câu hỏi này bằng cách đếm, nhưng đếm, như chúng ta đã thấy, là không thể được trong trường hợp của những collection vô hạn, và là không có tính nền tảng về lô gich với những collection hữu hạn. Do đó, chúng ta muốn một phương pháp khác biệt để trả lời câu hỏi của chúng ta. Một minh họa có thể giúp làm cho phương pháp rõ ràng. Tôi không biết có bao nhiêu người đàn ông có gia đình ở nước Anh, nhưng tôi có biết rằng con số thì cùng là một con số với số những phụ nữ lập gia đình. Lý do tôi biết điều này là mối liên hệ của chồng với vợ liên quan một người đàn ông với một người đàn bà, và một người đàn bà với một người đàn ông. Một mối liên hệ thuộc về loại như vậy thì gọi là liên hệ một-một. Mối liên hệ của người cha với con trai thì gọi là liên hệ một-nhiều, bởi vì mộtngười đàn ông có thể chỉ có một người cha nhưng có thể có nhiều con trai, ngược lại, mối liên hệ của con trai với người cha được gọi là một mối liên hệ nhiều-một [22]. Mối liên hệ của cha với con trai được gọi là một mối liên hệ một-nhiều, bởi vì một người đàn ông có thể chỉ có một người cha nhưng có thể có nhiều con trai, ngược lại, những mối liên hệ của con trai với người cha được gọi là một mối liên hệ-một nhiều. Nhưng mối liên hệ của chồng với vợ (trong những nước Kitô giáo) được gọi là một-một, bởi v́ một người đàn ông không có thể có nhiều hơn một người vợ, hoặc người phụ nữ có hơn một chồng. Bây giờ, bất cứ khi nào có một liên hệ một-một giữa tất cả những terms của một collection và tất cả tất cả những terms của collection khác, như trường hợp của những người chồng dân Anh và những người vợ dân Anh, số những terms trong một collection thì là cùng như số trong collection kia, nhưng khi đó không có một mối liên hệ như thế, những số là khác nhau. Đây là trả lời cho câu hỏi: Khi nào hai collection thực có cùng số của những term?

Cuối cùng, bây giờ chúng ta có thể trả lời câu hỏi: Có nghĩa là gì khi nói số của term trong một collection cho sẵn? Khi có một liên hệ một-một giữa tất cả những terms của một collection và tất cả những terms của một collection khác từng cái một, chúng ta sẽ nói rằng hai collection là “đồng dạng” [23]. Chúng ta vừa thấy là hai collection đồng dạng có cùng một số những terms. Điều này dẫn chúng ta đến định nghĩa số của một collection cho sẵn như là lopws của tất cả những collection đồng dạng với nó, đó là nói rằng, chúng ta thiết lập định nghĩa chính thức như sau đây:

“Số của những terms trong một lớp cho sẵn” thì được định nghĩa như có nghĩa là “lớp của tất cả những lớp vốn đồng dạng với lớp cho sẵn”.

Định nghĩa này, như Frege (biểu thị nó trong những terms hơi khác một chút) đã trình bày, đem ra những thuộc tính thông thường của những con số. Nó được áp dụng đồng đều với những số hữu hạn và vô hạn, và nó không yêu cầu đòi hỏi sự chấp nhận của một vài tập hợp mới và bí ẩn gồm những vật thể siêu hình. Nó cho thấy rằng nó không phải là những đối tượng vật lý, nhưng những lớp hoặc những term tổng quát mà qua đó, chúng có thể được được khẳng định, và nó áp dụng với 0 và 1 mà không có bất kỳ một khó khăn nào vốn những lý thuyết khác đã gặp phải trong khi đối phó với hai trường hợp đặc biệt này.

Định nghĩa nói trên thì chắc chắn gây ra, từ cái nhìn đầu tiên, một cảm giác của sự kỳ quặc, vốn nó có trách nhiệm gây ra một bất mãn nào đó. Nó định nghĩa số 2, lấy thí dụ, như những lớp của tất cả những cặp đôi, và số 3 như lớp của tất cả những bộ ba. Điều này xem ra không là những gì chúng ta đã từ trước đến nay hàm nghĩa khi chúng ta nói về 2 và 3, mặc dù sẽ là khó khăn để nói những gì chúng ta đã từng hàm là có ý nghĩa. Câu trả lời cho một cảm giác không thể là một lý luận lôgích, tuy nhiên câu trả lời trong trường hợp này là không phải không có tầm quan trọng. Trong vị trí khởi đầu, sẽ được thấy rằng khi một ý tưởng mà đã phát triển thành  quen thuộc như một toàn bộ không được phân tích thì lần đầu tiên được giải quyết một cách chính xác vào thành những bộ phận cấu thành của nó vốn là những gì chúng ta làm khi chúng ta định nghĩa nó,  có gần như luôn luôn là một cảm giác không quen thuộc đem lại bởi sự phân tích, vốn nó  có xu hướng gây ra một phản đối chống lại định nghĩa. Trong vị trí thứ hai, có thể được chấp nhận rằng định nghĩa, giống như tất cả những định nghĩa, đến một mức độ nhất định nào đó là tuỳ tiện . Trong trường hợp những số hữu hạn nhỏ, chẳng hạn như 2 và 3, nó sẽ là có thể được để đặt vào khuôn những định nghĩa như gần hơn trong phù hợp với cảm giác đã không phân tích của chúng ta về những gì chúng ta có hàm nghĩa là, nhưng phương pháp của những định nghĩa như vậy sẽ thiếu tính đồng nhất, và sẽ được tìm thấy thất bại không sớm thì muộn, khi chúng ta đạt đến những số vô hạn.

Trong vị trí thứ ba, điều khao khát thực sự về một định nghĩa như thế như thế đó của số thì không rằng nó nên đại diện càng gần nhất như có thể được với những ý tưởng của những ai mà họ đã chưa trải qua phân tích đã đòi hỏi ngõ hầu để đến được một định nghĩa, nhưng rằng nó sẽ nên cho chúng ta những đối tượng có những thuộc tính cần thiết. Số, trong thực tế, phải thoả mãn những công thức của số học; bất kỳ một tập hợp không thể nghi ngờ của những đối tượng đáp ứng đầy đủ yêu cầu này có thể được phép gọi là những số. Cho đến nay, tập hợp đơn giản nhất thiết lập được biết đến để đáp ứng đầy đủ yêu cầu này là tập hợp đã giới thiệu bởi định nghĩa nói trên. Trong so sánh với công trạng này, câu hỏi liệu không biết những đối tượng vốn với chúng định nghĩa áp dụng, là giống như hay không giống như những ý tưởng mơ hồ về con số vốn những người không thể đưa ra một định nghĩa đã lấy làm giải trí, là một thuộc tầm quan trọng rất nhỏ nhoi. Tất cả những yêu cầu quan trọng được đáp ứng bởi định nghĩa trên, và ý nghĩa của sự kỳ quặc vốn  lần đầu tiên không thể tránh khỏi, sẽ được tìm thấy là mòn đi mất rất nhanh chóng với sự tăng trưởng của sự quen thuộc.

Tuy nhiên, có một học thuyết lô gich nhất định vốn có thể được nghĩ là lập thành một  phản đối với  định nghĩa nói trên về những con số như là những lớp của của những lớp.  Tôi muốn nói đến học thuyết rằng không có những đối tượng như thế như là những lớp gì hết tất cả. Có thể nghĩ rằng học thuyết này sẽ tạo rối loạn cho một lý thuyết vốn nó giảm những số xuống những lớp, và cho nhiều những lý thuyết khác trong đó chúng ta đã đem lớp vào dùng. Điều này, tuy nhiên, sẽ là một sai lầm: không có lý thuyết nào trong những lý thuyết này là tồi tệ bất kỳ hơn nào cho học thuyết rằng những lớp là những hư cấu. Học thuyết là gì, và tại sao nó không phải là phá hoại, tôi sẽ cố gắng giải thích ngắn gọn.

Trong giải thích về những khó khăn nhất định nào đó đúng ra có nhiều phần phức tạp, kết tập cực điểm trong những mâu thuẫn xác định, tôi đã được dẫn đến quan niệm rằng không gì có thể nói được một cách có ý nghĩa đặc biệt về những sự vật, cụ thể như, về những cá biệt, có thể nói được một cách có ý nghĩa đặc biệt (tức là hoặc là đúng hoặc là sai) về những lớp của những sự vật.  Đó là nói rằng, nếu trong bất kỳ một câu nào, trong đó một điều được đề cập, bạn thay thế một lớp cho điều này, bạn thôi không còn có một câu mà có bất kỳ ý nghĩa nào nữa: câu thôi không còn hoặc là đúng hoặc sai, nhưng là môt collection vô nghĩa gồm những từ. Những mặt ngoài trái nghịch có thể được xua tan bằng một thoáng chốc suy tưởng. Lấy thí dụ, trong câu, “Adam thích những quả táo”, bạn có thể thay thế loài người, và nói: “Loài người thích những quả táo”.  Nhưng rõ ràng là bạn không có hàm nghĩa là rằng có một cá nhân, được gọi là “loài người”, vốn gặm những quả táo: bạn hàm nghĩa rằng những cá nhân riêng biệt, những người tạo hợp thành loài người, mỗi trong nhiều họ thích những quả táo.

Bây giờ, nếu không gì vốn có thể nói được một cách có ý nghĩa đặc biệt về một sự vật, có thể nói được một cách có ý nghĩa đặc biệt về một lớp của những sự vật, nó dẫn đến rằng  những lớp của những sự vật không thể có cùng một loại thực tại  như những sự vật có, vì nếu như chúng  đã có, một lớp có thể được thay thế cho một sự vật trong một mệnh đề khẳng định cái thứ của thực tại vốn sẽ là chung cho cả hai. Quan điểm này thực sự là thuận tai với ý thức bình thường. Trong thế kỷ thứ ba hay thứ tư trước Công nguyên , đã có một triết gia Trung Hoa tên là Hui Tzu [24], người đã duy trì rằng “một con ngựa hồng và một con bò xám là ba; vì lấy riêng chúng ra là hai, và cùng nhau chúng  là một: hai và một làm thành  ba” [25] Tác giả, người mà tôi trích dẫn,  nói rằng Hui Tzu “đã đặc biệt thích những  lý luận nước đôi, (loại) vốn chúng đã làm những nhà sophists hoặc những nhà lý luận lý sự cùn của cổ Hylạp thích thú”, và điều này không nghi ngờ gì đại diện cho phán xét của ý thức bình thường trước những luận chứng như thế đó. Tuy nhiên, nếu collection của những sự vật là những sự vật, tranh luận của ông ta sẽ là không thể bẻ bai được. Đó là chỉ vì ngựa hồng và bò xám cùng với nhau không phải là một sự vật mới, mà chúng ta có thể thoát khỏi kết luận rằng có ba sự vật trong bất cứ chỗ nào có hai.

Khi được chấp nhận rằng những lớp không phải là những sự-vật, câu hỏi đặt ra: chúng ta hàm nghĩa gì bởi những phát biểu vốn trên danh nghĩa về những lớp? Lấy một phát biểu như thế giống như, “lớp của người quan tâm đến lôgích toán học thì không phải là rất nhiều”. Rõ ràng tự điều này làm giảm thành, “Không phải rất nhiều người là quan tâm đến lôgích toán học”. Vì lợi ích của tính xác định, chúng ta hãy cùng thay thế một vài số cụ thể, lấy thí dụ 3, thay cho “rất nhiều”. Sau đó, phát biểu của chúng ta là, “Không phải ba người là quan tâm đến lôgích toán học”. Điều này có thể được biểu hiện trong hình thức: “Nếu x thì quan tâm đến lôgích toán học, và y cũng là quan tâm, và z cũng là quan tâm, sau đó x là đồng nhất với y, hoặc x là đồng  nhất với z,  hoặc y đồng nhất với  z” [26]. Ở đây, thôi không còn có bất kỳ tham khảo nào tất cả về một “lớp”. Trong một số lối giống như vậy, tất cả những phát biểu trên danh nghĩa về một lớp có thể được giảm xuống thành nhữngphát biểu về những gì đến sau từ giả thuyết về bất cứ sự vật nào có thuộc tính định rõ của lớp. Tất cả đó là đã ao ước, do đó, để đem lại làm cho việc sử dụng ngôn từ của những lớp hợp pháp, là một phương pháp đồng nhất của giải thích những mệnh đề trong đó, một sử dụng xảy ra như vậy, như thế về phần thu tập được những mệnh đề trong đó thôi không còn có cách sử dụng như thế đó nữa. Định nghĩa của một phương pháp như vậy là một vấn đề kỹ thuật, mà Tiến sĩ Whitehead và tôi đã xử lý với ở nơi khác, và mà chúng ta không cần phải đi vào trong dịp này [27].

Nếu lý thuyết cho rằng những lớp đơn thuần chỉ là tượng trưng được chấp nhận, nó dẫn đến sau đó rằng những số không phải là những thực thể thực sự, nhưng những mệnh đề trong đó những số nói bằng lời xảy ra đã không thực sự có bất kỳ một thành phần nào tương ứng với những con số, nhưng chỉ một hình thức lôgích nào đó vốn nó không phải là một phần của những mệnh đề có hình thức này. Điều này trong thực tế là trường hợp với tất cả những đối tượng rõ ràng của lôgích và toán học. Những từ giống như là hoặc, không, nếu,  có, giống hệt, lớn hơn, cộng thêm, không có gì, tất cả mọi thứ, chức năng,[28] và vân vân, không phải là những tên của những đối tượng xác định, như “John” hoặc “Jones”, nhưng là những từ vốn  đòi hỏi một ngữ cảnh ngõ hầu để có ý nghĩa. Tất cả chúng đều là hình thức [29], đó là nói rằng, sự xuất hiện của chúng chỉ định một hình thức nào đó của mệnh đề, không phải là một tạo phần nào đó.  “Những hằng số lôgích” [30], vắn tắt, khôngphải là những thực thể; những từ biểu thị chúng  không phải là những tên, và không có thể một cách có ý nghĩa đặc biệt làm thành vào những đối tượng lôgích,  trừ khi chính  tự nó là những từ , như đối nghịch với những ý nghĩa của chúng, vốn đương được thảo luận [31].  Sự kiện này có mang một tác phong rất quan trọng trên tất cả lôgích và triết học, bởi vì nó cho thấy chúng khác nhau như thế nào với những ngành khoa học đặc biệt. Nhưng câu hỏi đã nêu ra là quá rộng lớn và quá khó khăn đến  không thể nào theo đuổi chúng xa  hơn thêm nữa trong dịp này.

Bertrand Russell
(còn tiếp….)
Lê Dọn Bàn tạm dịch- bản nháp thứ nhất
(Dec, 2010)




[1] The general theory of number.
[2] nature of number
[3] What is a number ?
[4] Number is unity in plurality
[5] CTTG - Phil. Werke, Gerhardt's edition, vol. i. p. 338. 
[6]  “containing a greater number of terms”.

[7] CTTG - Mathematical Discourses concerning two new sciences relating to mechanics and local motion t in four dialogues. By Galileo Galilei, Chief Philosopher and Mathematician to the Grand Duke of Tuscany. Done into English from the Italian, by Tho. Weston, late Master, and now published by John Weston, present Master, of the Academy at Greenwich. See pp. 46 ff.

[8] Majority, Minority, and Equality
[9] Products are call’d Squares, the Factors are call’d Roots
[10] Đây là Galileo giải thích – hiển nhiên là thí dụ ông dùng chỉ với những số tự nhiên - set of Natural number,  N = {0,1,2,3,..}
[11] Cho đến dây, thí dụ của tác giả chỉ nói về luỹ thừa bậc hai, và căn số bậc hai mà thôi.
[12] conception of congruence.
[13] “hereditary” – di truyền, nhưng ở đây không mang nghĩa di truyền sinh lý, nôm na hơn là “cha truyền con nối”. Trong bài, Russell dùng theo nghĩa toán học, tôi không biết hiện nay toán học Việt ngữ dịch là gì – tạm theo ý – dịch là “thừa kế”. Có dịp sẽ chữa sau.
[14] Dĩ nhiên – giả định là có người đàn ông đầu tiên, và tên là Adam.
[15] non-reflexiveness

[16] Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918):  nhà toán học và triết gia người nước Đức. Cantor founded set theory and introduced the concept of infinite numbers. Cantor developed an entire theory and arithmetic of infinite sets, called cardinals and ordinals, which extended the arithmetic of the natural numbers.

[17] CTTG - Trong Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre của ông, và trong những bài báo của ông trong  Acta Mathematica, vol. ii.

[18] Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) - nhà toán học và triết gia người nước Đức. Ông được xem như một trong những người sáng lập triết học phân tích (analytic philosophy) do những công trình của ông đóng góp vào triết học về ngôn ngữ (philosophy of language), các triết gia như Rudolf Carnap, và đặc biệt Bertrand Russell cùng Ludwig Wittgenstein rất ngưỡng mộ ông.

[19] CTTG - Định nghĩa về số đã có trong quyển sách này và đã khai triển trong Grundgesetze der Arithmetik (vol. i., 1893; vol. ii., 1903), đã được tôi tái khám phá trong sự  hoàn toàn không biết gì về công trình của Frege. Tôi ước mong để phát biểu được nhấn mạnh hết sức đến mức có thể được - những gì xem ra vẫn còn bị làm ngơ - rằng khám phá của ông đã đi trước của tôi mười tám năm trời.

[20] Thuyết nhị nguyên – chủ trương rằng tất cả thế giới nếu không thuộc vật chất thì thuộc não thức (tinh thần) , giữa hai, cạn sạch không còn gì.
[21] Term: thuật ngữ
[22] Types of Relations - One-to-One, One-to-Many, Many-to-One,  and Many-to-Many.
[23] “similar” – toán  - “đồng dạng”.

[24] Huệ tử, cùng thời với Trang tử.  Thí dụ dẫn là dùng khái niệm lớp (classes) để phân tích – có hai “lớp” tính về bò và ngựa, có chung một lớp nữa là bò-ngựa, vậy ngựa hồng và bò xám là ba “lớp”. Giả định là Huệ tử nói với ý như vậy. Và đây là nguỵ biện, như Russell đã trình bày; ngựa-bò không thành chung một lớp mới, riêng biệt với ngựa hay bò được. 

[25] Giles, The Civilisation of China (Home University Library), p. 147.
[26] “y is identical with z”.

[27] CTTG - Cf. Principia Mathematics, 20, and Introduction, chapter iii.

[28]  “or, not, if, there is, identity, greater, plus, nothing, everything, function”.

[29] All of them are formal.

[30] “Logical constants”.

[31] CTTG – Xem Tractatus Logico-Phihsophicus, Ludwig Wittgenstein (Kegan Paul, 1922).