(Introduction to Mathematical
Philosophy)
Bertrand Russell
CHƯƠNG XVIII:
Toán Học Và Lôgích học
Toán học và lôgích học, nói về mặt lịch sử, từng là những môn học hoàn toàn biệt lập. Toán học đã từng liên kết với khoa học,
lôgích học với người Greece. Nhưng cả hai đã phát triển trong thời hiện đại: lôgích học đã
trở thành toán học hơn và toán học trở thành
lôgích hơn. Hệ quả là bây giờ đã trở thành hoàn toàn
không thể nào để vẽ được một đường ranh giữa hai; thực ra, cả
hai là một. Chúng khác nhau như đứa trẻ và người lớn: lôgích học là tuổi trẻ của toán học và toán học là tuổi trưởng thành của lôgích học. Quan điểm này gây phẫn uất cho những nhà lôgích học,
những người sau khi đã dành thì giờ của họ trong sự nghiên cứu những bản văn cổ điển, không có khả năng theo
dõi một mảnh của lý luận ký hiệu, và cho những nhà toán học, những người đã học một kỹ thuật nhưng không chịu khó khăn để tra cứu trong ý nghĩa hay biện minh
của nó. Cả hai týp bây giờ may mắn là ngày càng hiếm. Quá nhiều của công trình toán học
hiện đại thì rõ ràng là trên đường
phân ranh của lôgích học, quá nhiều lôgích học hiện đại là ký hiệu và hình thức, khiến chính sự liên hệ chặt chẽ của lôgích học và toán học đã thành hiển nhiên với mọi sinh viên theo học. Dĩ nhiên, bằng
chứng của đặc điểm định tính của chúng là một vấn đề của chi tiết: sau khi bắt đầu với những tiền
đề vốn sẽ được phổ quát chấp nhận thuộc về lôgích
học, và sau khi đi đến bằng diễn dịch ở những kết quả vốn cũng
rõ ràng thuộc về toán học, chúng ta thấy rằng không có điểm nào ở đó một đường rõ rệt có thể vẽ được, với
lôgích học ở bên trái và toán học ở bên phải. Nếu vẫn còn những ai là người không chấp nhận đặc điểm định tính của lôgích học và toán học, chúng ta có thể thách thức họ
để chỉ ra cho thấy ở điểm nào, trong những định nghĩa liên tục và những
diễn dịch của Principia Mathematica, họ có ý kiến rằng lôgích học kết
thúc và toán học bắt đầu. Khi
đó sẽ là rõ ràng rằng trả lời bất kỳ nào phải là hoàn toàn tùy tiện.
Trong những chương trước của quyển sách này, sau khi bắt đầu từ những số
tự nhiên, chúng ta đầu tiên đã định nghĩa “số đếm” và cho thấy để tổng quát hóa và áp dụng rộng rãi hơn khái niệm của số như thế nào, và sau đó đã phân tích những khái niệm đã liên quan trong
định nghĩa, cho đến khi chúng ta đã
thấy chính chúng ta đối ứng với những nền tảng của lôgích học. Trong một giải
quyết diễn dịch, tổng hợp, những nền tảng này đến trước, và những số tự nhiên
đều chỉ đến được sau một hành trình dài. Giải quyết như vậy, dù hình thức chính xác hơn so với cách vốn chúng ta đã chấp nhận, thì khó khăn hơn cho người đọc, vì những khái niệm và
những mệnh đề lôgích sau cùng với chúng nó bắt đầu đều xa xôi và không thân thuộc khi so sánh với những số tự nhiên. Cũng
nữa, chúng đại diện cho biên giới hiện tại của tri thức, vượt quá những gì là còn chưa biết; và sự thống trị của tri thức với chúng thì
vẫn chưa vững chắc cho lắm.
Đã thường nói rằng toán học là khoa học của
“số lượng”. ”Số lượng” là một từ mơ hồ, nhưng
cho mục đích của biện luận, chúng ta có thể thay thế nó bằng từ “con số”. Phát biểu rằng toán học là
khoa học của con số sẽ là không đúng trong hai cách khác biệt. Một
mặt, có những ngành đã nhìn nhận của toán học không có gì liên quan đến con số – tất cả hình học không
dùng tọa độ hay đo lường, thí dụ: hình học xạ ảnh và hình học mô tả, xuống đến điểm ở đó những tọa độ được đưa vào, không có
gì liên quan với số lượng, hay ngay cả với số lượng trong ý hướng của nhiều hơn và ít hơn. Mặt khác, qua định nghĩa của những số đếm, qua lý thuyết của quy nạp toán học và quan hệ tổ tiên,
qua lý thuyết tổng quát của chuỗi, và qua những định nghĩa của những phép toán số học, nó đã trở thành có thể được để
tổng quát hóa nhiều những
gì vốn đã thường được chứng minh chỉ trong liên kết với những con
số. Kết quả là rằng những gì đã trước đây là nghiên cứu đơn lẻ của Số học, nay đã được phân chia vào
thành một số những ngành nghiên cứu riêng biệt, không một
nào của chúng thì đặc biệt quan tâm với những con số. Những thuộc tính cơ bản nhất của những con
số đều bận tâm với những quan hệ một-một và sự tương đương
giữa những lớp. Phép
cộng thì bận tâm với việc xây dựng của những lớp loại trừ lẫn nhau tương ứng tương tự như một set của những lớp vốn không được biết là loại trừ lẫn nhau. Phép nhân được hợp nhất trong lý
thuyết của “những lựa chọn”, tức là của một loại quan hệ nhất định của
một-nhiều. Tính hữu hạn được hòa
hợp trong nghiên cứu tổng
quát của những quan hệ tổ tiên, vốn mang lại toàn bộ lý thuyết của quy nạp toán học. Những thuộc tính số đếm của những loại khác
nhau của chuỗi, và những yếu tố của lý thuyết của
tính liên tục của những hàm số và những giới hạn của những hàm số, có thể được tổng quát hóa khiến thôi không bao gồm bất kỳ dẫn nhắc chủ yếu nào về những con số. Đó là một nguyên lý, trong tất cả những lý luận chính thức, để
tổng quát hóa đến mức tối đa, vì thế nên chúng ta bảo đảm rằng một tiến trình
suy diễn nhất định sẽ có những kết quả áp dụng được rộng rãi
hơn; thế nên, chúng ta đang tổng quát hóa lý luận của số học, chỉ đơn
thuần tuân theo một giới luật được thừa nhận phổ thông trong toán học. Và
trong tiến trình tổng quát hóa, thực ra, chúng ta đã tạo ra một set của những hệ thống diễn dịch mới, trong đó số học truyền thống ngay
lập tức đã giải thể và đã mở rộng; nhưng không
biết bất kỳ một nào của những hệ thống diễn dịch mới này –
thí dụ, lý thuyết về sự lựa chọn – được
nói là thuộc về lôgích học hay thuộc về số học thì hoàn toàn tùy tiện, và không thể để được quyết định hợp lôgích.
Như thế, đem chúng ta đối mặt với câu hỏi: Môn học này
là gì, vốn nó có thể được gọi một cách trung
lập là toán học hay lôgích học? Có bất kỳ cách nào trong đó để chúng ta có thể
định nghĩa nó không?
Những
đặc tính riêng biệt nhất
định của môn học đều rõ ràng. Để bắt đầu, trong môn học này, chúng ta không
giải quyết những sự vật việc cá biệt hay những thuộc tính đặc thù: chúng ta chính thức giải quyết những gì có thể nói về bất kỳ sự vật việc gì hay bất kỳ
thuộc tính nào. Chúng ta sẵn sàng nói rằng một và một là hai, nhưng không
phải rằng Socrates và Plato là hai, vì
trong khả năng của những nhà lôgích học của
chúng ta hay những nhà toán học thuần túy, chúng ta đã chưa bao giờ nghe nói về Socrates và
Plato. Một thế giới trong đó không có những cá thể như vậy sẽ vẫn là một thế giới trong đó một và một là hai. Như những nhà toán học hay lôgích học thuần
túy, không là sẵn sàng cho chúng ta để viện dẫn đến bất cứ sự vật việc gì, vì nếu chúng ta làm như vậy, chúng ta giới thiệu vào một gì đó không liên
quan và không chính thức. Chúng ta có thể làm rõ điều này bằng áp dụng nó
vào trường hợp của tam đoạn luận. Lôgích truyền thống nói: “Tất cả mọi người đều phải chết, Socrates
là một người, nên Socrates phải chết”. Bây giờ điều là rõ ràng rằng những gì chúng ta có ý nói để khẳng định, để bắt đầu, là chỉ rằng những tiền đề hàm ý kết luận, không rằng những tiên đề và kết luận đều là thực sự đúng thực; ngay cả lôgích truyền thống nhất chỉ ra rằng đúng thực thực sự của những tiên đề thì không liên quan với lôgích. Vì
vậy, thay đổi đầu tiên để thực hiện trong tam đoạn luận truyền thống ở trên là để phát biểu nó trong dạng: “Nếu tất cả mọi người đều phải
chết và Socrates là một người, nên Socrates phải chết”. Bây giờ chúng ta có thể quan sát rằng điều có ý định để truyền đạt rằng luận chứng này hợp lệ dựa trên hình thức của nó, chứ không
dựa trên những điều kiện cá biệt xuất hiện trong đó. Nếu chúng ta đã bỏ đi “Socrates là một
người” khỏi những tiền đề của chúng ta, chúng ta tất
đã có một luận chứng không-hình thức, chỉ có thể chấp nhận được vì Socrates thì thực sự là một người; trong trường hợp đó, chúng ta đã không thể tổng quát hóa
luận chứng. Nhưng khi, như trên, luận chứng là hình thức, không gì tùy thuộc trên những số
hạng xảy ra trong đó. Vì vậy, chúng ta có thể thay thế α cho những người, β cho phải chết
và x cho Socrates,
trong đó α và β đều là bất kỳ những lớp dù là gì nào, và x là bất kỳ cá thể
nào. Khi đó chúng ta đi đến phát biểu: “Bất kể những giá trị nào x, α và β có thể có,
nếu tất cả những α đều
là những β và x là một α, vậy thì x là
một β”; Nói cách khác, “hàm số mệnh đề ‘nếu tất cả những α đều là những β và x là một α, thì x là một β’ thì luôn luôn đúng”. Ở đây, cuối cùng, chúng ta có một mệnh đề của lôgích – một mệnh đề vốn nó chỉ được đưa ra để xem xét bởi phát biểu truyền thống về Socrates và những người và những phải chết.
Rõ ràng rằng, nếu lý luận hình thức là những gì chúng ta đang nhắm đến, chúng ta sẽ luôn luôn sau cùng đi đến những phát
biểu giống như trên, trong đó không có sự vật việc
thực sự hay thuộc tính thực sự nào đã viện dẫn; điều này sẽ xảy ra qua
chỉ đơn thuần mong muốn không để phí thì giờ của chúng ta vào việc chứng minh trong một trường hợp đặc thù những gì có thể được chứng minh trong tổng quát. Sẽ là điều lố bịch để đi qua một luận chứng dài về Socrates, và
sau đó lại đi qua cùng luận chứng như thế về Plato. Nếu luận chứng của chúng ta là một luận chứng (hãy nói thí dụ) vốn xác nhận cho tất cả mọi người, chúng ta sẽ chứng minh nó gồm
“x”, với giả thuyết “nếu x là một người”. Với giả
thuyết này, luận chứng sẽ giữ nguyên giá trị giả thuyết của nó ngay cả khi x không là một người. Nhưng bây giờ
chúng ta sẽ thấy rằng luận chứng của chúng ta sẽ vẫn có giá trị nếu, thay vì giả
định x là một người, chúng ta đã giả định đó là một con khỉ hay một con ngỗng hay
một Thủ tướng. Do đó, chúng ta sẽ không phí thì
giờ của chúng ta khi nhận như giả thiết của chúng ta “x là
một người” nhưng sẽ nhận “x là một α”, trong đó α là bất kỳ loại nào của những cá thể, hay “фx” trong đó ф là bất kỳ hàm số mệnh đề nào của một loại đã chỉ định nào đó. Thế nên sự vắng mặt của tất
cả những nhắc đến của những sự vật việc hay những thuộc tính cụ thể trong lôgích hay toán học thuần túy là một kết quả tất yếu của sự kiện rằng ngành học này, như chúng ta
nói, “thuần túy hình thức”.
Tại điểm này, chúng ta thấy chính chúng ta đối mặt với một vấn
đề vốn là dễ để nêu lên hơn là để giải quyết. Vấn đề là: “Những thành phần của một mệnh đề lôgích là
gì?” Tôi không biết câu trả lời, nhưng tôi có ý đinh để giải thích vấn đề xảy nảy
sinh như thế nào.
Hãy lấy
(nói thí dụ) mệnh đề “Socrates thì
đã trước Aristotle”. Ở đây, điều
là hiển nhiên rằng
chúng ta có một quan hệ giữa hai số hạng, và rằng
những thành phần của mệnh đề (cũng như của sự kiện tương ứng) chỉ đơn giản là hai số hạng và quan hệ, tức là,
Socrates, Aristotle, và trước. (Tôi làm ngơ sự kiện rằng Socrates
và Aristotle đều là không đơn giản; cũng cả sự kiện rằng những gì có vẻ là những
tên gọi của họ thực sự là những mô tả đã
bị cắt xén. Không một nào của hai sự kiện này thì liên quan với vấn đề đang
bàn). Chúng ta có thể biểu
diễn dạng tổng quát của những mệnh đề loại như vậy là “xRy”, vốn nó có thể đọc là “x có quan hệ R với y”. Dạng tổng quát này có thể xảy
ra trong những mệnh đề lôgích, nhưng không trường hợp cá biệt nào của nó có thể xảy
ra. Chúng ta có suy ra rằng dạng
tổng quát tự nó là một thành phần của những mệnh đề lôgích như vậy
không?
Cho một mệnh đề, loại
như “Socrates thì có trước Aristotle”
[1], chúng ta có những thành phần nhất định và cũng có một dạng
nhất định. Nhưng dạng
thì tự nó không là một thành phần
mới; nếu nó đã là thế, chúng ta sẽ cần một dạng mới để gồm trọn cả nó và những thành phần khác. Thực ra, chúng ta có thể chuyển đổi tất cả những thành phần của một
mệnh đề vào thành những biến số, trong khi vẫn giữ dạng không
đổi. Đây là những gì chúng ta làm khi chúng ta dùng một biểu
đồ như “xRy”, vốn thay mặt cho bất kỳ một nào của một lớp nhất định của những mệnh đề, cụ thể là, những lớp
đó khẳng định những quan hệ giữa hai số hạng. Chúng ta có thể tiến tới những khẳng định tổng quát, loại như “xRy thì đôi khi đúng” — đó là, có những trường hợp trong đó những quan hệ đối ngẫu [2] giữ vững. Sự
khẳng định này sẽ thuộc về lôgích
học (hay toán học) trong
ý nghĩa trong đó chúng ta đang dùng từ. Nhưng
trong sự khẳng định này, chúng ta không nhắc đến
bất kỳ sự vật việc cá thể hay quan hệ cá thể nào; không sự vật việc
hay quan hệ cá thể nào từng có thể đi vào một mệnh đề của lôgích thuần túy. Chúng ta được
để lại với
những dạng thuần túy như những thành phần có
thể có duy nhất của những mệnh đề lôgích.
Tôi không muốn quả quyết chắc chắn rằng những dạng thuần túy – thí dụ, dạng “xRy” – thực sự có đi vào trong những mệnh đề của loại chúng ta đang xem xét. Câu hỏi cúa sự phân tích của những mệnh đề như vậy là một câu hỏi
khó khăn, với những cân nhắc mâu thuẫn về
mặt này và mặt kia. Chúng ta không thể bắt tay vào vấn đề này bây giờ, nhưng
chúng ta có thể chấp nhận, như một sự gần đúng đầu tiên, quan điểm rằng những
dạng là những gì đi vào trong những mệnh đề lôgích như
những thành phần của chúng. Và chúng ta có thể giải thích (mặc dù không
chính thức định nghĩa) những
gì chúng ta muốn nói bằng “dạng” của một mệnh đề như sau: −
“Dạng” của một mệnh đề là, trong nó, vẫn không thay đổi khi mọi thành phần của mệnh đề thì
được thay thế bằng một thành phần khác.
Như
thế, “Socrates thì có trước Aristotle” có cùng dạng như
“Napoléon thì vĩ đại hơn Wellington”, dù mọi thành phần của hai mệnh đề thì khác nhau.
Thế nên, chúng ta có thể đặt ra, như một đặc tính tất yếu (dù không đủ) của
những mệnh đề lôgích hay toán học, rằng chúng đều là giống như vậy để có thể nhận được từ một mệnh đề không chứa những biến số (nghĩa là không có những từ như tất cả, một vài/số, một, cái/con/người, v.v)[3] . bằng việc đổi
mọi thành phần vào
trong một biến số và khẳng định rằng kết quả thì
luôn luôn đúng hay đôi khi đúng, hay rằng nó thì luôn luôn đúng đối với một vài của những biến số nào đó vốn kết quả thì đôi khi đúng đối với những biến số
khác, hay bất kỳ biến thể nào
của những dạng này. Và một cách phát
biểu khác của cùng một điều nói rằng lôgích (hay toán học) thì
chỉ quan tâm với những dạng, và
quan tâm với chúng chỉ trong đường lối
của việc phát
biểu rằng chúng đều luôn luôn luôn hay đôi khi đúng – với tất cả những hoán vị của “luôn luôn” và “đôi khi” vốn có thể xảy ra.
Trong mọi ngôn ngữ đều có một số từ có chức năng duy nhất là để biểu thị dạng. Nói rộng ra, những từ này là phổ thông nhất trong
những ngôn ngữ có ít nhất những biến tố. Hãy lấy “Socrates là con người”. Ở đây “là” không là một thành phần của
mệnh đề, nhưng chỉ đơn thuần biểu thị dạng chủ ngữ −thuật ngữ. Tương tự trong “Socrates thì sớm/có trước Aristotle”,
“thì” và “hơn” đơn thuần biểu thị dạng; mệnh đề thì cùng giống như “Socrates có trước Aristotle”, trong đó những từ này đã biến mất và dạng thì được biểu thị cách khác. Dạng như một quy luật, có thể được biểu thị khác hơn là bằng
những từ đặc biệt: thứ tự của những từ có thể làm hầu hết những gì thì mong muốn. Nhưng nguyên tắc này phải không bị nhấn mạnh. Thí dụ, điều
là khó khăn để thấy chúng ta có thể thuận tiện diễn tả
những dạng phân tử [4] của những mệnh đề như thế nào (tức là những
gì chúng ta gọi là “hàm số-đúng thực”
[5]) với hoàn toàn không bất kỳ từ nào. Chúng ta đã thấy trong Chương XIV. rằng
một từ hay ký hiệu thì đủ cho mục đích này, đó là,
một từ hay ký hiệu diễn
tả tính không tương đồng.
[6] Nhưng với không có ngay cả chỉ một, chúng ta sẽ thấy chính chúng ta trong những khó khăn. Thế
nhưng, đây không là điểm quan trọng cho mục đích hiện tại của chúng ta. Những gì là quan trọng cho chúng ta là để quan sát rằng dạng có thể là một điều quan tâm của một mệnh
đề tổng quát, ngay cả khi không có từ hay ký hiệu nào
trong mệnh đề đó chỉ định dạng. Nếu chúng ta muốn nói về dạng tự nó, chúng ta phải có
một từ cho nó; nhưng nếu, như trong toán học, chúng ta muốn nói về tất cả
những mệnh đề vốn có dạng, thì một từ cho dạng thường sẽ thấy không thể thiếu được; có lẽ trong
lý thuyết nó thì không bao giờ không thể thiếu..
Giả định
– như tôi nghĩ chúng ta có thể – rằng những dạng của những mệnh đề có thể
được biểu diễn bởi những dạng của những mệnh đề trong đó chúng được diễn tả
với không bất kỳ những từ đặc biệt nào cho những dạng, chúng ta tất sẽ đi đến một ngôn ngữ trong đó mọi sự vật việc hình thức thuộc về cú pháp và không về từ vựng. Trong một ngôn ngữ giống như vậy, chúng ta có thể diễn tả tất cả những mệnh đề của toán học, ngay cả nếu chúng ta đã không biết được lấy một từ duy nhất của ngôn ngữ. Ngôn ngữ của lôgích toán học, nếu nó được hoàn
thiện, sẽ là một ngôn ngữ giống như vậy. Chúng ta nên có những ký hiệu cho những biến số, giống
như “x” và “R” và “y”, được sắp xếp trong những cách
khác nhau; và cách của
sắp xếp sẽ chỉ định rằng một gì đó đã được nói là đúng với tất cả những giá trị hay một số giá trị nào đó của những biến số. Chúng ta sẽ không cần
biết bất kỳ từ nào, vì chúng sẽ
chỉ là cần thiết cho việc
đem cho những giá trị cho những biến
số, vốn là công việc của nhà toán học ứng dụng, không là của nhà toán học thuần túy hay nhà
lôgích học. Nó là một trong những dấu hiệu biểu thị của một mệnh đề của lôgích học, đem cho một ngôn ngữ thích hợp, khiến
một mệnh đề loại như vậy có thể được khẳng định trong một ngôn ngữ loại như vậy bởi một người biết cú pháp nhưng không biết lấy một từ duy nhất nào của từ vựng.
Nhưng, xét cho cùng, có những từ vốn diễn tả dạng, giống như “là” và “hơn”. Và cho đến nay trong mọi hệ thống ký hiệu đã phát minh cho lôgích toán học đều có
những ký hiệu có những ý nghĩa không đổi về hình thức. Chúng ta có thể lấy như
một thí dụ về ký hiệu cho tính
không tương hợp vốn
được dùng trong việc xây dựng những hàm số-đúng thực. Những từ hay những ký hiệu như vậy có thể xảy ra trong
lôgích. Câu hỏi đặt ra là: Chúng ta định nghĩa chúng như thế nào?
Những từ hay ký hiệu như vậy diễn tả những gì gọi là “những hằng số lôgích”. Những hằng số lôgích có thể
được định nghĩa chính xác như chúng ta đã định nghĩa những dạng; thực ra, chúng đều trong bản chất là cùng
một như nhau. Một hằng số lôgích nền tảng
sẽ là sao cho nó thì có
chung giữa một số của những mệnh đề, bất kỳ một nào của chúng có thể là kết quả của bất kỳ một
khác bởi sự thay thế của những số hạng, một này cho một khác. Thí dụ: “Napoléon thì vĩ đại hơn
Wellington” là kết quả từ “Socrates thì có trước Aristotle” bằng sự thế
chỗ của “Napoléon” cho “Socrates”, “Wellington”
cho “Aristotle” và “vĩ đại hơn” cho “có trước”. Một số mệnh đề có thể có được trong cách này từ nguyên mẫu “Socrates thì có
trước Aristotle” và một số thì không thể; những có thể đều là những thuộc dạng “xRy”, tức là diễn
tả những quan hệ đối
ngẫu. Chúng ta không thể có được từ nguyên mẫu trên bằng sự thay thế số-hạng-cho-số-hạng, loại những mệnh đề như
“Socrates là con người” hay “những
người Athen đã trao hemlock cho Socrates”, vì mệnh đề thứ nhất thuộc dạng thuật ngữ - chủ ngữ – và mệnh đề thứ hai diễn tả một quan hệ ba số hạng. Nếu chúng ta sẽ có bất kỳ những từ nào trong ngôn ngữ lôgích thuần túy
của chúng ta, chúng phải là giống
như diễn tả “những
hằng số lôgích” và “những
hằng số lôgích” sẽ luôn luôn là,
hay được suy ra từ,
những gì là có chung giữa một nhóm của những mệnh đề có thể lấy được từ lẫn nhau, theo cách nói trên, bằng sự thay thế số-hạng-cho-số-hạng. Và điều này nó thì có chung là những gì chúng ta gọi là “dạng”.
Trong
ý hướng này, tất cả những “hằng số” vốn
xảy ra trong toán học thuần túy đều là những hằng số lôgích. Lấy thí dụ, số 1 là đạo hàm từ những mệnh đề có dạng: “Có một số hạng c sao cho фx thì
đúng, khi và chỉ khi, x là
c”. Đây là một hàm số của ф, và
nhiều những mệnh đề khác nhau kết
quả từ việc đem cho những giá trị khác nhau cho ф. Chúng ta có thể (bỏ qua một chút những bước trung gian
không liên quan với mục đích hiện tại của chúng ta) lấy hàm số ở trên của ф
như những gì có nghĩa của “lớp được định nghĩa bởi ф
là một lớp đơn vị” hay “lớp được định nghĩa bởi ф là một phần tử của 1” (1 là một lớp của những lớp). Trong cách này, những mệnh đề trong
đó 1 xảy ra có được một ý nghĩa vốn được suy ra từ một dạng lôgích hằng số nhất định. Và điều tương tự
cũng sẽ được tìm thấy là xảy
ra với tất cả những hằng số toán học: tất cả đều là những
hằng số lôgích, hay những viết tắt ký hiệu vốn có việc dùng đầy đủ trong một ngữ cảnh thích hợp thì được định nghĩa bằng phương tiện của những hằng số lôgích.
Nhưng mặc dù tất cả những mệnh đề lôgích (hay toán
học) có thể được biểu diễn trọn vẹn
trong những dạng của hằng số lôgích cùng với những biến
số, nhưng ngược lại, không phải tất cả những mệnh đề có thể được biểu diễn theo cách này đều là những mệnh đề lôgích. Cho đến nay, chúng ta đã
tìm thấy một tiêu chuẩn cần thiết nhưng không đủ
của những mệnh đề toán học. Chúng ta đã định nghĩa đầy đủ đặc
tính của những ý tưởng nguyên thủy về mặt vốn tất cả những ý
tưởng của toán học có thể được định nghĩa, nhưng không của những mệnh
đề nguyên thủy vốn từ đó tất cả những mệnh đề của toán học có thể được suy
ra. Đây là một vấn đề khó khăn
hơn, về phần nó thì vẫn chưa được biết trả lời đầy đủ là gì.
Chúng ta có thể lấy tiên đề của vô hạn như một thí
dụ của một một mệnh đề, dù nó có thể nói
ra rõ ràng được trong những thuật ngữ
lôgích, vốn không thể được lôgích khẳng định để
là đúng thực. Tất cả những mệnh đề
của lôgích có một đặc tính vốn
thường đã được
diễn tả bằng nói rằng chúng đều có tính phân tích, hay rằng những
mâu thuẫn của chúng đều là tự mâu thuẫn [7] . Phát biểu trong cách thức này, tuy nhiên, thì không thỏa mãn tốt đẹp. Luật của mâu thuẫn thì
chỉ đơn thuần là một giữa những mệnh đề lôgích; [8] nó không có tính ưu việt đặc
biệt; và chứng minh rằng tính
mâu thuẫn của một mệnh đề nào đó là tự mâu thuẫn thì có nhiều phần để đòi hỏi những nguyên lý khác của diễn dịch bên cạnh luật của mâu thuẫn. Tuy nhiên, đặc tính
của những mệnh đề lôgích vốn chúng ta tìm
kiếm nó một gì đã cảm nhận và đã chủ
định để được xác định, bởi những ai là người nói rằng nó gồm trong
tính có thể diễn dịch
được từ luật của mâu thuẫn. Đặc tính này, vốn lúc này, chúng ta có thể gọi là sự lặp thừa [9], rõ ràng không thuộc về sự
khẳng định rằng số của những
cá thể trong vũ trụ là n, bất kể số n có thể là gì. Nhưng vì sự đa dạng của những kiểu, điều
là có thể được để
chứng minh về lôgích rằng có những lớp của
n những số hạng, trong đó n là số nguyên hữu hạn bất kỳ nào; hay
ngay cả rằng có những lớp của ℵ0 những số hạng. Nhưng, do việc nhờ vào những kiểu, những bằng chứng loại
như vậy, như chúng ta đã thấy trong Chương XIII, đều
sai lầm. Chúng ta được
bỏ lại với sự quan sát thực nghiệm để xác định xem liệu cũng có nhiều n những
cá thể trong thế giới hay
không. Trong số những thế giới “có thể có”, trong nghĩa theo-Leibniz, sẽ là
có những thế giới có một, hai, ba, … cá thể. Ngay cả dường như không
có bất kỳ tất yếu lôgích nào tại sao
sẽ nên có
ngay cả chỉ một cá thể [10] – tại sao, thực ra, sẽ
không nên có bất kỳ thế giới nào hết cả. Bằng chứng bản thể luận
về của hiện hữu của Gót, nếu nó có giá trị
hợp lệ, sẽ thiết lập sự tất yếu lôgích của ít nhất một cá thể. Nhưng nó thường đã nhìn
nhận như không hợp lệ, và thực sự dựa trên một quan điểm sai lầm về hiện hữu – tức là, nó không nhận ra rằng sự hiện hữu chỉ
có thể được khẳng định về một gì đó được mô tả, chứ không phải một gì
đó được gọi tên, vì vậy là vô nghĩa
để biện
luận từ “cái này là cái/con/người như-thế-và-như-thế “và” cái/con/người
như-thế-và-như-thế hiện hữu”
đến thành “cái này hiện hữu”. Nếu chúng ta bác bỏ luận chứng về bản thể học, chúng ta xem
dường đã được đưa đến để kết luận rằng sự hiện hữu của một thế giới là một ngẫu nhiên – tức là nó thì không
tất yếu lôgích. Nếu là như vậy, không có nguyên lý nào của lôgích có thể khẳng định “sự hiện hữu” ngoại trừ dưới một giả thuyết, tức
là, không một nào có thể là thuộc
dạng “hàm số mệnh đề như-thế-và-như-thế
thì đôi khi đúng”. Những mệnh đề của dạng này, khi chúng xảy ra trong lôgích,
sẽ phải xảy ra như những
giả thuyết hay những hệ quả của những giả thuyết, không như những
mệnh đề được khẳng định hoàn toàn. Những mệnh đề đã khẳng định hoàn toàn của lôgích sẽ tất cả là như khẳng định rằng một số hàm số mệnh đề nào đó thì luôn luôn đúng. Thí dụ, nó thì luôn luôn đúng rằng nếu p hàm ý q và q
hàm ý r thì p hàm ý r, hay rằng,
nếu tất cả α là những β và x là α thì x là
một β. Những mệnh đề như vậy có thể xảy
ra trong lôgích, và sự đúng thực của chúng thì
độc lập với sự hiện hữu của vũ
trụ. Chúng ta có thể đặt thành
công thức rằng, nếu đã không có vũ trụ, tất cả những
mệnh đề tổng quát sẽ là đúng; vì sự mâu thuẫn của một mệnh đề tổng quát (như chúng ta đã thấy trong Chương
XV). là một mệnh đề khẳng định sự hiện hữu, và thế nên sẽ luôn luôn là sai nếu
không có vũ trụ nào hiện hữu. [11]
Những mệnh đề lôgích như thế có thể được biết tiên
nghiệm, với không nghiên cứu của thế giới đang có. Chúng ta chỉ biết từ một nghiên cứu về những sự kiện duy nghiệm rằng Socrates là một người,
nhưng chúng ta biết tính đúng thực
của tam đoạn luận trong dạng trừu tượng của nó (tức là khi nó được phát biểu trong những
số hạng của những biến số) với không bất kỳ nhờ đến
nào với kinh nghiệm. Đây là một đặc điểm, không phải của bản thân những
mệnh đề lôgích, nhưng của
đường lối trong đó chúng ta biết chúng. Tuy nhiên, nó có
một ảnh hưởng liên hệ trên câu hỏi bản chất của chúng có thể là gì, vì có một số loại của những mệnh đề vốn sẽ là rất khó khăn để giả định chúng ta có thể biết với
không kinh nghiệm.
Điều
là rõ ràng rằng
sự định nghĩa của “lôgích” hay “toán học”
phải được tìm bởi sự cố gắng đem cho một định nghĩa mới của
ý niệm cũ của những mệnh đề “phân tích”. Mặc dù chúng ta có thể thôi
không hài lòng để định nghĩa những mệnh đề lôgích như
những mệnh đề vốn theo đến từ luật của mâu thuẫn, nhưng chúng ta có thể và vẫn phải chấp nhận rằng chúng là một lớp mệnh đề toàn bộ khác biệt của những mệnh đề từ chúng vốn chúng
ta biết duy nghiệm. Tất cả chúng đều có đặc điểm, vốn một
chút trước đây, chúng ta đã đồng ý gọi là “tautology”. Điều này, kết hợp với sự kiện rằng chúng có thể được diễn tả toàn bộ trong những số hạng của những biến số và những hằng số lôgích (một hằng số lôgích là một gì đó không thay
đổi trong một mệnh đề ngay cả khi tất cả những thành phần của nó đều đã thay đổi) —sẽ đem cho định nghĩa của
lôgích học hay toán học thuần túy. Hiện
tại, tôi không biết định nghĩa “tautology”
như thế nào [12]
Sẽ rất dễ dàng để đem cho một định nghĩa có vẻ thỏa đáng trong một thời
gian; nhưng tôi biết không một
nào vốn tôi cảm thấy là hài lòng, bất kể cảm giác hoàn toàn quen thuộc với đặc điểm của
nó vốn
một định nghĩa thì
mong muốn. Thế nên, ở điểm này, tạm thời lúc này, chúng ta đạt đến biên giới của tri thức trên hành trình của chúng ta lùi ngược về
những nền tảng lôgích của toán học.
Bây giờ chúng ta đi đến một chấm dứt của sự giới thiệu có phần nào tóm tắt của chúng ta về triết học toán học. Không thể nào truyền đạt được đầy đủ những ý tưởng vốn đã bận tâm trong chủ đề này cho đến
chừng nào chúng ta tránh không dùng những ký hiệu lôgích. Vì ngôn ngữ thông thường không có những từ vốn
tự nhiên diễn đạt chính xác những gì chúng ta muốn diễn đạt, là điều cần thiết, cho đến chừng nào chúng ta
tuân thủ với ngôn ngữ thông thường, để
gạn lọc
những từ vào trong những nghĩa không thông
thường; và người đọc thì
chắc chắn rằng, sau một thời gian, nếu không phải đầu tiên, sẽ làm rơi vào trong việc gắn những ý nghĩa thông thường vào những từ, thế nên đi đến những ý niệm sai lầm về phần những gì thì có ý định để nói. Hơn nữa, ngữ pháp và cú pháp thông thường thì hết sức dễ dàng gây hiểu lầm. Đây là trường hợp, thí dụ, về phương diện những con số; “mười người” về mặt ngữ pháp có cùng dạng với “những người da trắng”, thế nên 10
có thể được nghĩ để là một tính từ định phẩm chất cho “người”. [13] Đó là trường hợp, lại nữa, bất cứ nơi nào có liên quan với những hàm số mệnh đề, và đặc biệt là
liên quan với sự hiện hữu và
những mô tả. Vì ngôn ngữ dễ gây hiểu lầm, cũng như vì nó có tính khuếch tán và không chính xác khi áp
dụng vào lôgích (nó không bao giờ đã chủ định với điều đó), hệ thống ký hiệu lôgích thì tuyệt đối cần thiết với bất kỳ cách
giải quyết chính xác hay kỹ lưỡng nào của môn học chúng
ta. Thế nên, những người đọc đó, những người muốn có được một nắm vững của những nguyên lý của toán học, được hy vọng, sẽ không chùn chân với nỗ lực của việc thành thạo những ký hiệu – một nỗ lực vốn thực ra, không nhiều hơn so với có thể đã tưởng. Như khảo sát vội
vàng ở trên phải chắc hẳn đã cho thấy hiển nhiên là có vô số những vấn đề chưa được giải quyết
trong môn học này
và nhiều công việc cần được làm. Nếu bất kỳ sinh viên nào qua quyển sách nhỏ này được dẫn
vào một nghiên cứu nghiêm chỉnh của lôgích toán học, nó sẽ là phục vụ được mục đích chủ yếu vốn quyển sách đã được viết.
BERTRAND RUSSELL
1919
Lê Dọn Bàn tạm dịch
– bản nháp thứ nhất
(Aug/2021)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] ‘Socrates is earlier than Aristotle’ ở đây có dạng của quan hệ so sánh ‘ trước/sau/hơn/kém/nhiều/ít/cao
thấp/lớn nhỏ,... hơn’
[2] dual relations: Trong lôgich, những hàm số hay quan hệ A và B gọi là đối ngẫu, nếu A (¬
x) = ¬ B (x)
[3] trong nguyên
văn all, some, a, the,
etc.
[4] molecular forms
[5] truth-functions: đã
có dịch là ‘hàm chân lý’ – truth ở đây chỉ có nghĩa là đúng (không sai – T
& F) theo qui luật lôgích nội tại, không là ‘chân lý’ hiểu như sự thật với
thực tại
[6] incompatibility.
[7] một gì (một mệnh đề/phát
biểu/luận chứng) là có/mang tính (hay là) phân tích (analytic): thì đúng thực theo ý nghĩa của những từ hay những khái
niệm được dùng diễn
đạt nó, vì vậy việc phủ nhận nó sẽ là một tự mâu thuẫn.
[8] Luật của (hay
nguyên lý về) mâu thuẫn diễn tả sự đối lập siêu hình và lôgic giữa hữu thể
và sự phủ định của nó. Aristotle đã diễn đạt: “Một sự vật không thể đồng thời là
tồn tại và không là tồn tại...” hay “cùng một thuộc tính không thể đồng thời thuộc
về và không thuộc về cùng một chủ thể về cùng một phương
diện...” Được xây dựng theo trình tự logich , nó khẳng định rằng không thể
khẳng định và đồng thời
phủ định cùng một vị
ngữ của cùng chủ ngữ.
[9] tautology: chỉ có nghĩa là sự lập lại,
nói cùng một điều nhưng dùng những từ khác, trong lôgích là một phát biểu thì luôn
luôn đúng, bởi tất yếu, hay bởi giá trị của dạng lôgích của nó, như nói ở trên
(đã có dịch là tính hằng đúng, theo tôi nên
dịch là tính luôn luôn đúng (ngược lại với luôn luôn sai)
[10] [những mệnh đề nguyên thủy trong Principia Mathematica đều là để cho phép sự suy luận
rằng có ít nhất một cá biệt tồn tại. Nhưng bây giờ tôi xem đây là một khiếm
khuyết trong sự thuần khiết về lôgích]
[11] Những nhà
lôgích học thường nhắc dẫn ý tưởng
của Leibniz rằng một mệnh đề là một đúng thực tất yếu, nếu và chỉ nếu (iff) nó thì đúng thưc với tất cả những thế giới có thể
có, khi định nghĩa sự đúng thực về lôgích trong những số hạng của những diễn giải
hoặc những mô hình. Khái niệm về “thế giới
có thể xảy ra/có thể có được” những nhà
nghiên cứu ngày nay dùng đến từ Wilhelm
Leibniz (1646 -1716). Luận
điểm của Leibniz
rằng thế giới đang có là thế
giới tốt nhất vốn Gót có
thể đã sáng tạo ... Gót
có thể đã tạo ra một thế giới khác, hoặc
không tạo ra thế giới nào cả (tức là có thể có những thế giới có thể có khác), Quan điểm của Leibniz nhằm bào chữa cho gót học Kitô trước vấn nạn Tà Ác (tại sao một Gót vẫn
xưng là toàn thiện, toàn nhân, toàn trí lại tạo một thế giới đầy những Tà ác – thiên
tai, dịch bệnh, chiến tranh, đói khổ,...) Leibniz thừa nhận rằng Gót đã tạo ra
một thế giới với những ác độc, xấu xa trong đó và lẽ ra đã có thể tạo một thế
giới không có chúng. Nhưng ông cho rằng đây vẫn là thế giới tuyệt vời nhất mà Gót
đã có thể tạo ra và ông tuyên bố rằng tuy có những xấu xa ác độc trong thế giới
này nhưng không nhất thiết có nghĩa thế giới này là một thế giới tồi tệ hơn.
Khi Leibniz nói về một thế giới có thể có, ông có ý nói đến một set gồm những sự vật việc hữu hạn, tương hơp nhau mà Gót đã có thể đưa vào hiện hữu, nếu vị này đã không bị ràng buộc bởi sự tốt lành
vốn là phần bản chất của chính vị này. Mặt khác, thế giới thực tại thì đơn giản
là set đó của những sự vật việc hữu hạn được Gót tạo ra, bởi vì
nó là sự tốt lành, thực tại và hoàn hảo nhất. Đương nhiên, thực tế là chúng ta
đang ở đây kinh nghiệm thế giới này – thế giới thực
tại – có nghĩa là có ít nhất một thế giới có thể có. Vậy có những thế giới khác không?
Có những thế giới khác. Ít nhất Leibniz nghĩ như
vậy. Theo quan điểm của ông, như chúng ta đã thấy ở trên, có một số vô hạn của những thế giới có thể có được – những
thế giới vốn Gót đã thấy không thích hợp để đưa vào hiện hữu. Bây giờ, đem cho tuyên
bố không liều lĩnh của Leibniz là “có cũng nhiều những thế giới
có thể có như có những chuỗi của những sự vật việc có thể nghĩ tưởng đến được với không hàm ý một mâu thuẫn”, vẫn có thể xảy ra rằng có chỉ một
thế giới có thể có được – chỉ một
set của những vật tồn tại nhưng bao hàm không mâu thuẫn. Nếu
chúng ta chấp nhận tuyên bố rằng một thế giới có thể có thì đơn giản
là bất kỳ set nào của những cá
thể tương hơp nhau (tức là một set của những cá
thể có những thuộc
tính hoặc những tri thức không mâu thuẫn lẫn nhau), khi đó, có một cách khá đơn giản để cho thấy rằng có một số vô hạn của những thế giới có thể có được. Cụ thể là, chúng
ta chỉ có một vô hạn của những thế giới-một-vật thể: thế nên, thế giới w1 chứa một
màu xanh lam, thế giới 8lb. một quả bóng ; thế giới w2, màu đỏ, thế giới 10lb. một quả bóng; thế giới w3, một bánh pizza; thế giới w4, một xe đạp; và vv..như thế. Chúng ta ngay cả có thể tưởng tượng thế giới trong đó có hai, ba hay nhiều vật
thể hơn.
[12] [Sự quan trọng của “tautology” cho một định
nghĩa của toán học đã được người học trò cũ của tôi chỉ ra
cho tôi, Ludwig Wittgenstein, người đã đang
nghiên cứu về vấn đề. Tôi không biết liệu ông đã giải được nó hay chưa, hay ngay cả liệu ông thì còn sống
hay đã chết.]
Khi Russell viết tập sách này,
Ludwig Wittgenstein, đã tình nguyện nhập ngũ quân đội Austria, đang trên chiến
trường Europe trong Thế Chiến I.
[13] trong ‘ten
men’ và ‘white men’
