(Introduction to Mathematical
Philosophy)
Bertrand Russell
CHƯƠNG XVII:
Những Lớp
Trong chương này, chúng ta sẽ quan tâm với từ ‘the’ (những cái/con/người) trong số nhiều: những cư dân của London, những người con trai của những người giàu có,
v.v. Nói cách khác, chúng ta sẽ quan tâm với
những lớp. Chúng ta đã thấy trong Chương II.
rằng một số đếm thì được định nghĩa như một lớp của những lớp và trong Chương III. rằng số 1 thì được định nghĩa như lớp của tất cả những lớp đơn vị, tức
là của tất cả những lớp vốn có chỉ đúng một phần tử, như chúng ta sẽ
nói, ngoại trừ cái vòng luẩn quẩn. Dĩ nhiên, khi số 1 được định nghĩa như lớp của tất cả những lớp đơn vị, thì
“những lớp đơn vị” phải được định nghĩa ngõ hầu để không giả định rằng chúng ta biết
“một” nghĩa là gì; thực ra, chúng được định nghĩa trong một cách tương tự gần như với cách đã dùng cho những mô tả, cụ thể là: Một
lớp α thì nói để
là một lớp “đơn vị” nếu hàm số mệnh đề “‘x là một α’ thì
luôn luôn tương đương với ‘x là c ‘“(Được coi như một hàm số của c) thì không luôn luôn sai, tức là, trong
ngôn ngữ thông thường hơn, nếu có
một số hạng c sao cho x sẽ
là một phần tử của α khi x là c nhưng không
trong trường hợp nào khác. Điều này cho chúng ta một
định nghĩa của một lớp đơn vị nếu chúng ta đã biết trong tổng quát một lớp là gì. Cho đến giờ,
trong sự nghiên cứu số học, chúng ta đã xem “lớp” như một ý tưởng nguyên thủy.
Nhưng, vì những lý do đưa
ra trong Chương XIII., nếu không có những lý do khác, chúng ta không thể
chấp nhận “lớp” như một ý niệm nguyên thủy.
Chúng ta phải tìm một định nghĩa cùng
cách nói tương
tự như định nghĩa của những mô tả, tức là một định nghĩa vốn sẽ gán một ý nghĩa cho những
mệnh đề mà trong đó có những lời nói hay những từ diễn đạt biểu tượng hay những
ký hiệu rõ ràng đại diện những lớp xảy ra, nhưng nó sẽ gán cho một nghĩa khiến hoàn toàn loại bỏ tất cả những nhắc dẫn
của những lớp từ một phân tích đúng của những mệnh đề loại như vậy. Sau đó, chúng ta sẽ
có khả năng để nói rằng những ký hiệu cho những lớp đều
đơn thuần là những tiện lợi, không đại diện cho những đối tượng gọi là “những lớp” và rằng những lớp trong thực tế, giống như những
mô tả, là những hư cấu lôgích, hay (như chúng ta nói) “những ký hiệu không hoàn chỉnh”.
Lý thuyết của
những lớp thì kém hoàn tất hơn lý thuyết của những mô tả, và có những lý do (vốn
chúng ta sẽ đem cho trong khái
lược) liên quan đến vấn
đề định nghĩa của những lớp khiến sẽ được đề nghị như cuối cùng không hài lòng. Một vài
tinh vị khéo léo thêm nữa có vẻ được đòi hỏi; nhưng những lý do liên quan đến
sự định nghĩa vốn sẽ được đem cho như là xấp xỉ chính xác và trên những đường
hướng đúng, đều quá mạnh, khó cưỡng.
Điều đầu tiên là để
nhận rõ tại sao những lớp không thể được xem như phần của đồ đạc sau cùng của thế giới [1]. Là khó khăn để giải thích chính xác những
gì một người muốn nói qua phát biểu này, nhưng một hệ quả
vốn nó hàm ý có thể dùng để làm sáng tỏ ý nghĩa của nó. Nếu chúng ta đã có một ngôn ngữ ký
hiệu hoàn chỉnh, với một định nghĩa cho mọi sự vật việc định nghĩa được và một ký hiệu không xác định cho mọi sự vật việc không định nghĩa được, những ký hiệu không
xác định trong ngôn ngữ
này sẽ đại diện về ký hiệu cho những gì ý tôi nói với nghĩa là “đồ đạc sau cùng của thế giới”. Tôi
đang chủ trương rằng không có, hoặc những ký hiệu cho “lớp” trong tổng quát,
hoặc cho những lớp cá biệt, sẽ được gồm trong khuôn khổ cấu trúc của những ký hiệu không xác định này. Mặt khác, tất cả
những sự vật việc cá biệt có trong thế giới sẽ phải có những
tên gọi vốn sẽ được gồm trong những ký hiệu không xác định. Chúng ta có thể cố gắng để tránh kết luận này bằng dùng những mô
tả. Hãy (nói thí dụ) “điều cuối cùng Cæsar đã
nhìn thấy trước khi ông chết”. Đây là một mô tả của
một cá biệt nào đó; chúng ta có thể dùng nó như (trong
một ý hướng hoàn toàn hợp thức) một định nghĩa của cá biệt đó. Nhưng nếu “a”
là một tên gọi cho cùng cá biệt, một mệnh đề trong đó “a” xảy ra thì
không (như chúng ta đã thấy ở chương trước) đồng nhất với những gì mệnh đề này trở thành khi chúng ta thay thế “điều cuối cùng là
Cæsar đã nhìn thấy trước khi ông
chết” cho“a”. Nếu ngôn ngữ của chúng ta không chứa tên gọi “a”, hay một số tên gọi khác nào đó cho cùng một cá biệt, chúng ta sẽ không
có phương tiện nào của việc diễn đạt mệnh đề vốn chúng ta đã diễn đạt bằng phương tiện của “a” như ngược lại với phương tiện vốn chúng ta đã diễn
đạt bằng phương tiện của sự mô tả. Thế nên, những mô tả sẽ không cho một ngôn ngữ toàn hảo
khả năng để miễn trừ những tên gọi cho tất cả những cá biệt. Về mặt này, chúng
ta đang chủ trương, những lớp khác với những cá
biệt, và không cần được đại
diện bằng những ký hiệu không xác
định. Công việc đầu tiên của chúng ta là đem cho lý do cho ý kiến này.
Chúng ta đã nhìn
thấy rồi, rằng những lớp không thể được coi như
một loài [2] của những cá thể, với lý do của sự mâu thuẫn về những
lớp vốn chúng không là những phần tử của chính chúng (đã giải thích trong Chương XIII)., Và vì chúng ta có thể chứng minh rằng số
của những lớp thì lớn hơn số của những cá thể.
Chúng ta không thể lấy những lớp trong cách mở rộng
thuần túy như đơn giản những chất đống hay những kết tụ. Nếu chúng ta đã gắng để làm thế đó, chúng ta sẽ thấy không thể nào để hiểu được như thế nào có thể có một lớp loại
như là lớp-rỗng, vốn
không có phần tử nào cả và không thể được coi như một “đống”[3] ; chúng ta cũng sẽ thấy không thể nào để hiểu được nó xảy ra như thế nào
rằng một lớp vốn có chỉ một phần tử thì không đồng nhất với một phần tử đó.
Tôi không có ý để khẳng định, hay để phủ nhận rằng có những thực thể như những “đống”. Là một nhà lôgích
toán học, tôi không được
hỏi để có ý kiến về điểm này. Tất
cả những gì tôi đang chủ
trương là, nếu có những thứ như những
đống, chúng ta không thể đồng
nhất chúng với những lớp gồm những cấu
phần của chúng.
Chúng ta sẽ đi đến rất gần hơn một lý thuyết
thỏa đáng nếu chúng ta cố gắng để
định nghĩa những lớp với những hàm số mệnh đề. Mọi lớp, như chúng ta đã
giải thích trong Chương II., thì
được định nghĩa bởi một số hàm số mệnh đề nào đó, vốn là đúng của những phần tử của lớp và sai của
những thứ khác. Nhưng nếu một lớp có thể được một hàm số mệnh đề định nghĩa, thì nó cũng rất có thể như thế để được định nghĩa bởi
bất kỳ hàm số nào khác vốn
là đúng bất cứ khi nào hàm số đầu tiên thì
đúng và sai bất cứ khi nào hàm số đầu tiên thì
sai. Vì lý do này, lớp không thể được định nghĩa với bất kỳ một hàm số
mệnh đề nào loại như vậy thay vì với bất kỳ hàm số mệnh đề nào khác
– và một hàm số mệnh đề đem cho, luôn luôn có nhiều hàm số khác vốn là đúng khi nó đúng và
sai khi nó sai. Chúng ta nói rằng hai hàm số mệnh đề là “tương đương chính
thức” khi điều này xảy ra. Hai mệnh đề là “tương đương” khi cả
hai đều đúng hay cả hai đều sai; hai hàm số mệnh đề фx, ψx là “tương đương chính thức” khi фx luôn luôn tương
đương với ψx. Nó
là sự kiện rằng có những hàm số tương đương chính thức khác với một hàm số đem cho, đã khiến thành không thể được để
định nghĩa một lớp với một hàm số; vì chúng ta muốn những lớp sao cho
không có hai lớp khác biệt nào có chính
xác cùng những phần tử như nhau, và thế nên hai hàm số tương đương
chính thức sẽ phải có để xác định lớp giống cùng là
một.
Khi chúng ta đã quyết định rằng những lớp không thể
là những sự vật việc thuộc cùng loại như những phần tử của chúng, rằng chúng không thể chỉ là những đống hay những kết tụ, và rằng chúng cũng không thể được định nghĩa với những hàm số mệnh đề, trở thành điều rất khó khăn để xem chúng có thể là gì, nếu chúng là không gì khác hơn những hư cấu tượng trưng. Và nếu chúng ta có
thể tìm thấy bất kỳ cách nào của
việc giải quyết chúng như
những hư cấu tượng trưng, chúng ta tăng cường tính an toàn lôgích của luận điểm của chúng ta, vì
chúng ta tránh sự cần thiết của
việc giả định rằng có những lớp nhưng
không bị buộc phải làm
những giả định ngược lại rằng không có
những lớp. Chúng ta chỉ đơn thuần
tránh cả hai giả định. Đây là một thí dụ của
châm ngôn của Occam, cụ thể là, “những thực thể không phải nhân nhiều lên nếu không cần thiết”[4]. Nhưng khi chúng ta từ chối để khẳng định rằng có những lớp, chúng ta
phải không giả định để khẳng định một cách giáo điều
rằng không có lớp nào. Với chúng, chúng ta đơn thuần chỉ giữ lập trường không thể biết: giống Laplace, chúng ta có thể nói, “tôi không cần đến giả thuyết này”. [5]
Chúng
ta hãy nêu chi
tiết những điều kiện vốn một ký hiệu phải làm tròn nếu nó để dùng
như một lớp. Tôi nghĩ những điều kiện sau đây sẽ được thấy là cần và đủ: −
(1) Mọi hàm số mệnh đề phải xác định một lớp, gồm
những đối số đó với chúng hàm số thì đúng. Đem cho bất kỳ mệnh đề nào (đúng hay sai), nói
thí dụ, về Socrates, chúng ta có thể tưởng tượng Socrates được thay thế bởi Plato, hay Aristotle, hay một con đười ươi, hay cái
người trên mặt trăng,
hay bất kỳ cá thể nào khác trong thế giới. Trong tổng quát, một số của những thay thế này sẽ cho
một mệnh đề đúng và một số cho một mệnh đề sai. Lớp được xác
định sẽ gồm tất cả những thay thế đó vốn cho một mệnh đề đúng. Dĩ nhiên, chúng
ta vẫn phải quyết định chúng ta nói
“tất cả những thứ đó, v.v”
nghĩa là gì. Tất cả những gì chúng ta đang quan sát lúc này là rằng một lớp thì được đem lại xác định bởi một hàm số mệnh đề và rằng mọi hàm số mệnh đề xác định một lớp tương ứng.
(2) Hai hàm số mệnh đề tương đương chính thức phải xác định cùng một lớp, và
hai hàm số mệnh đề không tương đương chính thức phải xác định những lớp khác nhau. Có nghĩa là,
một lớp thì xác định bởi những phần tử của nó, và không có hai lớp khác nhau có thể có cùng phần tử. (Nếu một lớp được
xác định bởi một hàm số фx, chúng ta nói rằng a là một
“phần tử” của lớp, nếu фa thì
đúng).
(3) Chúng ta phải tìm một cách nào đó của việc định nghĩa không chỉ
những lớp, nhưng những lớp của những lớp. Chúng ta đã thấy trong Chương II. rằng những số
đếm đều để được định nghĩa như những lớp của những lớp. Cụm từ thông thường của toán học sơ cấp, “những kết hợp của n những sự vật việc m ở một thời điểm” đại diện một lớp của những lớp, cụ thể là, lớp của tất cả
những lớp của m những
số hạng vốn có thể được chọn ra của một lớp đem cho
của n những số hạng. Nếu không có một phương pháp ký hiệu nào đó của việc giải quyết những lớp
của những lớp, lôgích toán học sẽ đổ
vỡ.
(4) Trong
tất cả những trường hợp, phải
là là vô nghĩa (không sai) để giả định một lớp là một phần tử của chính nó hay không là một
phần tử của chính nó.
Đây là kết quả từ sự mâu thuẫn vốn chúng ta đã thảo luận trong Chương XIII.
(5) Cuối cùng – và đây là điều kiện vốn là khó khăn nhất để hoàn thành – phải là có thể được để tạo những mệnh đề về tất cả những
lớp vốn gồm những cá thể, hay về tất cả
những lớp vốn gồm những đối tượng của bất kỳ một
“loại” lôgích nào. Nếu điều này không xảy ra,
nhiều cách dùng của những lớp sẽ bị mất, lạc hướng – thí dụ, quy nạp toán
học. Trong việc định nghĩa hậu duệ của một số hạng đem cho, chúng ta cần có khả năng để nói rằng một phần tử của hậu duệ thuộc
về tất cả những lớp di truyền vốn số hạng đem cho thuộc về chúng, và điều này đòi hỏi
loại của tổng thể vốn đang xem xét. Lý do có một khó khăn về điều kiện này là nó có thể được
chứng minh là không thể nào
để nói về tất cả những hàm số mệnh đề vốn có thể có những đối số thuộc một kiểu đem cho.
Để
bắt đầu, chúng ta sẽ bỏ qua điều kiện cuối cùng này và những vấn đề nó nêu lên. Hai điều kiện đầu
tiên có thể cùng xem xét. Chúng phát biểu rằng là
có một lớp, không hơn và không kém, cho mỗi
nhóm hàm số mệnh đề tương đương chính thức; thí dụ: lớp của những người thì để là cũng giống như của loại đi hai chân không có lông, hay những động vật có lý trí hay những
Yahoo [6], hay đặc điểm bất kỳ nào khác có thể
được ưa thích hơn cho việc định nghĩa một con người. Bây giờ, khi chúng ta nói rằng hai hàm số mệnh
đề tương đương chính thức có thể là không đồng nhất, mặc dù chúng định nghĩa cùng một lớp, chúng ta có thể chứng minh tính
đúng thực của khẳng định bằng cách cho thấy rằng một phát biểu có thể đúng với hàm
số này và sai với hàm số kia; thí dụ: “tôi tin rằng tất cả mọi người đều phải
chết” có thể đúng, trong khi “tôi tin rằng tất cả động vật có lý trí đều phải
chết” có thể sai, vì tôi có thể tin sai rằng Chim Phượng hoàng là động vật có
lý trí bất tử. Thế nên, chúng ta được dẫn đến để
xem xét những phát biểu về những
hàm số, hay (đúng hơn) những hàm số của những hàm số.
Một vài
điều có thể nói được về một hàm số có thể được coi
như đã nói về lớp đã định nghĩa bởi hàm
số, trong khi những điều
khác thì không. Phát biểu “tất cả mọi người đều phải chết” gồm những hàm số “x là con người” và “x thì phải chết”; hoặc, nếu
chúng ta chọn, chúng ta có thể nói rằng nó liên quan với những lớp những người
và phải
chết [7] Chúng ta có thể giải thích phát biểu
theo một trong hai cách, vì giá trị đúng-thực của nó không thay đổi nếu chúng
ta thay thế cho “x là người” hay cho “x thì phải chết” bất kỳ hàm số tương
đương chính thức nào. Nhưng, như chúng ta vừa thấy, phát biểu “tôi tin rằng tất
cả mọi người đều phải chết” không thể được coi là về lớp được định nghĩa bởi
một trong hai hàm số, vì giá trị đúng-thực của nó có thể bị thay đổi bởi sự
thay thế của một hàm số tương đương chính thức (vốn nó giữ lớp, không đổi). Chúng ta sẽ gọi
một phát biểu liên quan với một hàm số фx là một hàm số “mở
rộng” của hàm số фx, nếu nó giống như
“tất cả mọi người đều phải chết”, tức là, nếu giá trị đúng-thực của nó không
thay đổi bởi sự thay thế của bất kỳ hàm số tương đương chính thức nào; và khi
một hàm số của một hàm số thì không mở rộng, chúng ta sẽ gọi nó là “chủ định”, để “tôi tin rằng tất cả
mọi người đều phải chết” là một hàm số chủ định của “x là người” hay “x phải
chết”. Vì vậy, những hàm số “mở rộng” của một hàm số фx, đối với những mục đích thực tế, có thể được coi là những hàm số của
lớp được định nghĩa bởi фx, trong khi những
hàm số tổng hợp không thể được coi là như vậy. [8]
Điều
để quan sát rằng tất cả những hàm
số của những hàm số định
nghĩa rõ ràng vốn chúng ta có dịp giới thiệu trong lôgích toán học đều là mở rộng. Vì vậy, thí dụ, hai hàm số cơ
bản của những hàm số là: “фx thì luôn luôn đúng” và “фx thì đôi khi đúng”. Mỗi hàm số này có giá trị đúng-thực của
nó không thay đổi nếu bất kỳ hàm số tương đương chính thức nào được thay
thế cho фx. Trong ngôn ngữ của những lớp, nếu α là lớp được xác định bởi фx, “фx thì luôn luôn đúng” tương đương với “mọi sự vật việc là một phần tử của α” và “фx thì đôi khi đúng”
tương đương với “α có những phần tử” hay ( tốt hơn) “α có ít nhất một phần tử”. Một lần nữa, lấy
điều kiện, đã giải
quyết trong chương trước, cho sự hiện hữu của “số hạng thỏa mãn фx”. Điều kiện là rằng
có một số hạng c sao cho фx luôn luôn tương
đương với “x là c”. Điều này rõ ràng là mở rộng. Nó tương đương với khẳng định
rằng lớp được định nghĩa bởi hàm số фx là một lớp đơn vị,
tức là, một lớp có một phần tử; Nói cách khác, một lớp vốn nó là một phần tử của 1.
Cho một hàm số của một hàm số vốn có thể, hay không
có thể là mở rộng, chúng ta luôn luôn có thể suy ra từ nó một hàm số được kết nối
và mở rộng nhất định của cùng hàm số, bằng cách làm sau đây: Hãy cho hàm số ban đầu của một hàm số của
chúng ta là một hàm số
vốn thuộc tính của nó với фx là thuộc tính f; sau đó xem xét khẳng định “có một hàm số có thuộc
tính f và tương đương chính thức với фx”. Đây là một hàm số mở rộng của фx; nó đúng khi phát
biểu ban đầu của chúng ta là đúng, và nó tương đương chính thức với hàm số ban
đầu của фx nếu hàm số ban đầu này là mở rộng; nhưng khi hàm
số ban đầu là chủ định, hàm số mới thường thì thường thường đúng hơn là hàm số cũ. Thí dụ, hãy xem xét lại “tôi tin rằng tất cả mọi người đều phải chết”,
được coi như một hàm số của “x là con người”. Hàm số mở rộng dẫn xuất là: “Có một hàm số
tương đương chính thức với ‘x là con người’ và sao cho khiến tôi tin rằng bất cứ gì
thỏa mãn nó thì đều phải chết”. Điều này vẫn đúng khi chúng ta thay thế “x là một động vật có lý trí” cho “x là con
người”, ngay cả khi tôi tin sai
lầm rằng chim Phượng hoàng thì
có lý trí và bất tử.
Chúng ta cho
tên gọi “hàm số mở rộng dẫn xuất” cho hàm số được xây dựng như trên, cụ thế là cho hàm số: “Có một hàm số có thuộc tính f và tương đương chính thức với фx”, trong đó hàm số ban đầu là “hàm số фx có thuộc tính f”.
Chúng ta có thể xem
hàm số mở rộng đã
dẫn xuất như có đối số của nó là lớp được xác định bởi hàm số фx, và như khẳng định f của lớp
này. Đây có thể được nhận như định nghĩa của một mệnh đề về một lớp. Tức là, chúng ta có thể định nghĩa:
Để khẳng định rằng “lớp được định nghĩa bởi hàm số фx có thuộc tính f” là để
khẳng định rằng фx thỏa mãn hàm số mở
rộng đã dẫn xuất từ f.
Điều này
cho một ý nghĩa cho bất kỳ phát biểu nào về một lớp, vốn có thể được làm một cách ý nghĩa, về một hàm số; và sẽ được thấy rằng về kỹ thuật, nó mang lại những kết quả vốn đều đòi hỏi ngõ hầu để làm một lý thuyết
thỏa mãn về ký hiệu.[9]
Những gì chúng ta đã nói vừa rồi liên quan với định nghĩa của những
lớp thì đủ để thỏa mãn bốn điều kiện đầu tiên
của chúng ta. Cách trong
đó nó bảo đảm điều kiện thứ ba và thứ tư, cụ thể là, sự
có thể có của những lớp của những lớp, và sự không có thể có của một lớp là, hay không là một phần tử của chính nó,
thì có phần nào mang tính kỹ thuật; nó được giải thích trong Principia Mathematica, nhưng có thể được xem như
đương nhiên ở đây. Nó có kết quả, nhưng chỉ cho điều kiện thứ năm của
chúng ta, rằng chúng ta có thể coi nhiệm vụ của chúng ta như đã hoàn tất. Nhưng điều
kiện này – đồng thời là quan trọng nhất và cũng là khó khăn nhất – thì không trọn vẹn đáp ứng với bất cứ gì
chúng ta như vừa đã nói. Khó khăn thì liên quan với lý thuyết của những loại và phải được bàn luận vắn
tắt.[10]
Chúng ta đã thấy trong Chương XIII. rằng có một hệ thống thứ bậc của những loại lôgích và rằng để cho phép một đối tượng thuộc
về một của những loại này để được thay thế cho một đối tượng thuộc một loại khác đó là một sai lầm. Bây giờ không là
điều khó khăn để cho thấy rằng những hàm số khác nhau vốn có thể lấy một đối tượng a đem cho như đối số đều không là tất cả thuộc một loại. Chúng ta hãy gọi chúng tất cả những hàm số-a. Chúng ta có thể lấy
hàm số đầu tiên trong số chúng
vốn không gồm nhắc dẫn tới bất kỳ sưu tập nào
của những hàm số; chúng ta sẽ gọi chúng là những “hàm số-a vị ngữ” [11]. Nếu bây giờ chúng ta đi
tới những hàm số có gồm nhắc dẫn đến toàn bộ của những hàm số-a vị ngữ, chúng ta sẽ mắc phải một sai lầm nếu chúng ta xem những hàm số này như cùng loại với những hàm số-a vị ngữ.
Hãy lấy một phát biểu thông thường như “a là một người France điển hình”. Chúng ta sẽ định nghĩa một “người France điển hình” như thế nào? Chúng ta có thể
định nghĩa người ấy như một người “có được tất cả những phẩm tính vốn hầu hết người France đều
có”. Nhưng trừ khi chúng ta hạn
định “tất cả những phẩm tính” với
loại như không gồm
một nhắc dẫn đến toàn bộ bất kỳ của những phẩm tính nào, chúng ta sẽ phải nhận thấy rằng
hầu hết những người France đều không điển hình trong ý hướng ở trên, và thế nên định nghĩa cho thấy
rằng không điển hình là yếu tính cho một người France điển hình. Đây thì
không là một mâu thuẫn lôgích, vì không có lý do gì tại sao lại có bất
kỳ những người France điển hình nào; nhưng nó
minh họa sự cần thiết cho
việc tách biệt những phẩm tính
liên quan với nhắc
dẫn đến một toàn bộ của những phẩm tính khỏi những phẩm tính không bao gồm.
Bất
cứ khi nào, bởi những phát biểu về “tất cả” hay “một số” [12] của những giá trị vốn một biến
số có thể nhận ý nghĩa với mức độ đáng kể, chúng ta tạo một đối tượng mới, đối tượng mới này phải không nằm trong số những giá trị vốn biến số trước đó của chúng ta
có thể nhận, vì nếu đã thế, toàn bộ của những giá trị trên đó vốn biến số có thể nằm trong phạm vi
sẽ chỉ định nghĩa được trong
dẫn nhắc về chính nó, và chúng ta sẽ vướng vào một vòng luẩn
quẩn. Thí dụ, nếu tôi nói “Napoléon đã
có tất cả những phẩm tính vốn
làm nên một vị tướng vĩ đại”, tôi phải định nghĩa “những phẩm tính”
trong một cách khiến nó sẽ không gồm những gì tôi đang nói, tức là “có tất cả những phẩm tính
làm nên một vị tướng vĩ đại”
phải không tự nó là một phẩm tính trong ý hướng đã được giả định. Điều này khá hiển nhiên, và là nguyên tắc dẫn đến lý thuyết của những
loại vốn theo đó, những nghịch lý của
vòng luẩn quẩn có thể tránh được. Khi được áp dụng cho những hàm số-a,
chúng ta có thể giả định rằng những “phẩm tính” có nghĩa là “những hàm số xác nhận”. Sau đó, khi tôi nói “Napoléon có tất cả những phẩm
tính, v.v”., ý tôi là “Napoléon đã thỏa mãn tất cả những hàm số xác nhận, v.v”. Phát biểu này
gán một thuộc tính cho Napoléon, nhưng không là một thuộc tính xác nhận;
thế nên chúng ta thoát khỏi vòng luẩn quẩn. Nhưng bất cứ khi nào “tất cả những hàm số” vốn xảy ra, những hàm số
trong xem xét phải được giới hạn với
một loại nếu một vòng luẩn quẩn thì để là phải tránh;, như Napoléon
và những người France điển hình đã cho thấy,
loại thì
không đem cho xác định bởi
thế đó của đối số.. Nó sẽ đòi hỏi một thảo luận đầy đủ
hơn nhiều để nêu lên đầy đủ điểm này, nhưng những gì đã nói có thể đủ để làm rõ rằng những
hàm số vốn có thể nhận một đối số đem
cho của một chuỗi vô hạn của những loại. Chúng ta có thể, bằng những xắp xếp kỹ thuật khác nhau,
xây dựng một biến số vốn chạy qua n đầu tiên của những loại này, trong đó n thì
hữu hạn, nhưng chúng ta không thể xây dựng một biến số vốn sẽ chạy qua tất cả
chúng, và nếu chúng ta có thể, khiến chỉ đơn thuần sự
kiện đó sẽ ngay lập tức tạo ra một loại mới của
hàm số với cùng những đối số giống nhau và sẽ đặt
toàn bộ tiến trình
tiếp tục lần nữa.
Chúng ta gọi những hàm số-a vị ngữ là loai đầu tiên của những hàm số-a; những hàm số-a gồm dẫn nhắc đến tính toàn bộ của loại đầu tiên chúng ta gọi là loại
thứ hai; và tiếp tục như thế. Không hàm số-a biến số nào có thể chạy qua tất
cả những loại khác nhau này: nó phải thình
lình dừng lại ở một số loại
xác định nào đó
Những cân nhắc này đều liên quan với định nghĩa của chúng ta
về hàm số mở rộng dẫn xuất. Ở đó, chúng ta đã nói về “một hàm số tương đương chính thức với фx”. Điều là cần thiết để quyết định trên
loại của hàm số của chúng ta. Bất
kỳ quyết định nào sẽ
cũng được, nhưng một số quyết định
nào đó thì không thể
tránh khỏi. Chúng ta hãy gọi hàm số tương đương chính thức đã giả định là ψ. Khi đó ψ xuất hiện như một biến số và phải thuộc về một số loại xác định nào đó. Tất cả những gì chúng
ta biết tất yếu về loại của ф là nó nhận những đối số của một loại
đã cho – rằng nó là (hãy nói
thí dụ) một hàm số-a. Nhưng điều này, như chúng ta vừa thấy, không xác định loại của nó. Nếu chúng ta có thể
(như cần thiết thứ năm của chúng ta
đòi hỏi) để giải quyết tất cả những lớp vốn có những phần tử của chúng đều là cùng kiểu như a, chúng ta phải có khả năng định nghĩa tất cả những lớp như thế đó bằng phương tiện của những hàm số của một
loại nào đó; đó là nói rằng, phải có một loại nào
đó của hàm số-a., lấy thí dụ thứ n. sao cho bất kỳ hàm số-a nào thì tương đương chính thức với một số hàm số-a nào đó thuộc loại thứ n. Nếu đây
là trường hợp này xảy ra, khi
đó bất kỳ hàm số mở rộng nào xác
nhận của tất cả những hàm số-a của loại thứ n sẽ xác nhận bất kỳ hàm số-a nào, bất kể là gì. Nó chủ yếu là một
phương tiện kỹ thuật của
việc thể hiện một giả định dẫn đến kết quả này rằng những lớp là tiện lợi.
Giả định này gọi là “tiên đề của
tính thu giảm” [13] và có thể được phát biểu như sau: −
“Có một kiểu
(thí dụ gọi là τ.) của
hàm số-a, sao cho, đem cho bất kỳ hàm số-a nào, nó thì tương đương chính thức với một số hàm
số nào đó của loại trong xem xét”.
Nếu tiên đề này được giả định, chúng ta dùng những
hàm số thuộc loại này để định nghĩa hàm số mở rộng liên quan của chúng ta.
Những phát biểu về tất cả những lớp-a (tức
là tất cả những lớp đã định nghĩa bởi những hàm số-a) có thể được thu giảm xuống những phát biểu về
tất cả những hàm số-a của kiểu τ. Miễn là chỉ có những hàm số của những hàm số mở
rộng có liên quan, điều này cho chúng ta trong
thực hành những kết quả vốn nếu không sẽ đòi hỏi ý niệm không thể có được của “tất cả những hàm số-a”. Một khu vực cụ
thể vốn điều này rất quan trọng là quy nạp toán học.
Tiên đề của
tính thu giảm liên quan tất cả vốn
là thiết yếu trong lý thuyết của
những lớp. Thế nên, đáng để đặt ra câu hỏi liệu có lý do gì để giả định rằng nó thì đúng hay không.
Tiên đề này, giống như tiên đề nhân và tiên đề của
vô hạn, thì tất yếu cho những kết quả chắc chắn, nhưng không là tất yếu cho sự hiện hữu tối
thiểu của suy luận diễn
dịch. Lý thuyết của diễn dịch, như đã giải thích trong Chương XIV., Và những luật cho những mệnh đề liên quan
với “tất cả” và “một số”, là
thuộc về chính sự cấu tạo của lý luận toán học:
nếu không có chúng, hay một gì đó tương tự, chúng ta không chỉ đơn thuần là
không có được kết quả tương tự, nhưng chúng ta sẽ không có được bất kỳ kết quả nào. Chúng ta không
thể dùng chúng như những giả thuyết, và suy diễn
những hệ quả giả thuyết, vì chúng là những luât của diễn dịch cũng như những giả thiết. Chúng phải là tuyệt đối đúng thực, nếu không
những gì chúng ta suy diễn theo như chúng ngay cả không theo đến
sau những giả thiết. Mặt khác, tiên đề thu giảm, giống như hai tiên đề toán học trước đây
của chúng ta, hoàn toàn có thể được phát biểu như một giả thuyết hễ khi nào nó
được dùng, thay vì được nói là thực sự đúng thực. Chúng ta có thể suy
diễn hệ
quả của nó theo giả thuyết; chúng ta cũng có thể suy diễn những hệ quả của việc giả định nó sai. Thế nên
nó chỉ là thuận tiện chứ không tất
yếu. Và nhìn về sự phức tạp của lý thuyết của những loại, và về tính không chắc chắn
của tất cả ngoại trừ những nguyên lý tổng
quát nhất của nó, thì vẫn chưa thể nói liệu có thể không có một cách nào đó
của việc hoàn toàn không cần đến tiên đề thu giảm hay không. Tuy nhiên, giả định sự
chính xác của lý thuyết nêu trên, chúng ta có thể nói gì về sự đúng thực
hay sai lầm của tiên đề?
Tiên
đề, chúng ta có thể quan sát, là một dạng
tổng quát hóa của tính đồng
nhất của Leibniz về những sự vật việc không thể phân biệt thấy rõ được. Leibniz đã giả định, như một nguyên lý
lôgích, rằng hai chủ ngữ khác nhau phải khác nhau về
phần những vị
ngữ. Bây giờ những vị
ngữ chỉ là một số trong số những gì chúng ta gọi là “hàm số vị ngữ”, nó cũng sẽ gồm
những quan hệ với những số hạng đã cho và những thuộc tính khác nhau không được
coi là những vị ngữ. Vì vậy, giả định của Leibniz là một giả định chặt
chẽ và hạn hẹp hơn nhiều so với giả định của chúng ta. (Dĩ nhiên, không phải, theo
lôgích của ông, vốn coi tất cả những mệnh đề là có thể thu giảm
về dạng chủ ngữ − vị ngữ). Nhưng không có lý do chấp nhận được nào cho việc tin vào dạng của ông, theo như tôi có thể thấy. Rất có thể, như một vấn đề của khả năng lôgích trừu tượng, có thể có
hai sự vật việc có cùng những vị ngữ giống hệt nhau, theo nghĩa hẹp vốn chúng ta đã dùng từ “vị ngữ”. Tiên đề của chúng ta trông giống thế nào khi chúng ta vượt qua những vị ngữ trong
nghĩa chật hẹp này? Trong thế giới thực tại, dường như không có cách nào để nghi
ngờ sự đúng thực duy nghiệm của nó như liên quan với những cá
thể, nhờ vào sự khác biệt về không-thời gian: không có hai cá
thể nào có cùng những quan hệ không gian và thời gian hoàn toàn giống nhau đối với tất cả những
cá thể khác. Nhưng điều này, như nó đã là, một ngẫu nhiên, một sự kiện về thế giới trong
đó chúng ta xảy ra để thấy chính chúng ta. Lôgích thuần túy, và toán học thuần túy (vốn là cùng một sự vật việc), nhằm đến để là đúng thực, trong cách nói theo-Leibniz, trong tất cả những thế giới có thể có, không chỉ trong một lô những hàng bán rẻ hết sức lộn xộn, lung tung bừa bãi
này của một thế giới trong
đó sự ngẫu nhiên đã giam cầm chúng ta. Có một sự cao quý
nhất định vốn nhà lôgích học nên gìn
giữ: ông phải không hạ mình thấp
xuống để suy diễn
những luận chứng từ những sự vật
việc ông thấy về ông.
Đã
nhìn từ quan điểm lôgích chặt chẽ này, tôi không thấy có bất kỳ lý do nào để tin rằng tiên đề của hồi qui là tất yếu lôgích, vốn những gì là có nghĩa qua việc nói rằng nó thì đúng thực
trong tất cả những thế giới có thể
có. Sự chấp nhận tiên đề này vào
trong một hệ thống lôgích do
đó là một khuyết điểm, ngay cả nếu tiên đề thì đúng duy nghiệm. Đó là lý do này
khiến lý thuyết của những lớp không thể được coi cũng
hoàn chỉnh như lý thuyết của
những mô tả. Cần phải có
thêm công trình về lý thuyết của những lớp, với hy vọng
đi đến một học thuyết về những lớp vốn không đòi hỏi một giả định ngở vực như vậy. Nhưng là hợp lôgích để xem lý thuyết đã khái lược trong chương này là đúng trong những dòng chính của nó, tức là trong sự thu
giảm của nó của những mệnh đề về danh nghĩa về những lớp thành những mệnh đề về những hàm số xác định của chúng. Việc tránh những lớp như những thực thể bới phương pháp này, xem sẽ có vẻ, phải là vững chắc lôgích trên nguyên tắc, tuy nhiên chi tiết có thể vânc
đòi hỏi điều chỉnh. Đó là bởi vì điều này xem
có vẻ không thể hoài nghi được, khiến chúng ta đã gồm vào thuyết của những lớp, bất chấp mong muốn để loại trừ của chúng ta, càng nhiều càng tốt, bất cứ gì xem đã
mở ra hời nghi nghiêm trọng.
Lý thuyết của
những lớp, như đã phác
lược trên, thu giảm chính nó về một tiên đề và một định nghĩa. Cho
sự xác định, chúng ta sẽ lập lại chúng ở đây. tiên đề là:
Có một kiểu τ sao cho
nếu ф là một hàm số vốn
có thể nhận một đối tượng đem
cho a như đối số, khi
đó có một hàm số ψ của kiểu τ, vốn là tương đương chính thức
với ф.
Định nghĩa là:
Nếu ф là một hàm số vốn có thể nhận một đối
tượng a đem cho như đối số, và τ kiểu đã
nhắc trong tiên đề trên, khi đó để nói rằng lớp được
định nghĩa bởi ф có thuộc tính f là để
nói rằng có một hàm số của kiểu τ, tương đương
chính thức với ф, và có thuộc tính f.
Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Aug/2021)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] furniture of the world: những sự kiện như đối lập với những lý thuyết
và những giá
trị, được phân biệt với những sự vật việc, đặc biệt là với những đối tượng
phức tạp, và những quan hệ.
Chúng là những đối tượng của những trạng thái
tinh thần và những hành vi
nhất định, chúng làm những mang-sự-thật
thành sự thật và tương ứng với những sự thật,
chúng là phần của đồ đạc của thế
giới.
[2] nguyên văn
“species”
[3] nguyên văn “heap”
[4] Occam’s razor: thường dịch
là nguyên lý, nhưng đơn giản, như ở đây, là châm ngôn: ‘đừng đưa ra nhiều giả định
hơn mức thực sự cần thiết’.
[5] trong nguyên
văn ““je n’ai pas besoin de cette hypothèse”.
[6] hiểu là người thô
lỗ, cục cằn, vô học (trong Travels của Gulliver)
[7] người
phàm/
có sống chết
[8] Extensional & intentional: ở đây có
nghĩa là ‘mở rộng’ và ‘chủ định’ – (sau thành ‘ngoại diện’ & ‘nội hàm’ trong lôgích học)
[9] [ Xem Principia Mathematica, vol. I. trang
75–84 và * 20.]
[10]
[Người đọc
mong muốn có một cuộc thảo luận đầy đủ hơn nên tham khảo Principia Mathematica, Phần giới thiệu, chương. ii.; cũng * 12.]
[11] predicative a-functions,
[12] Nay là những ký hiệu: “∀x” & “∃x”
[13] axiom of reducibility: tiên
đề thu giảm
