Introduction
to Mathematical Philosophy
Đưa vào Triết
học Toán học
Bertrand Russell
CHƯƠNG IV:
Đình Nghĩa Của Thứ Bậc
Bây giờ chúng ta đã thực hiện phân tích của chúng ta về chuỗi của những
số tự nhiên đến điểm ở đó chúng ta đã có được những định nghĩa lôgích về những
phần tử của chuỗi này, của lớp toàn bộ của những phần tử của nó và của sự liên
quan của một số với số tiếp sau trực tiếp của nó. Bây giờ chúng ta phải xem xét
đặc tính nối tiếp [1] của những số tự nhiên trong thứ bậc 0,
1, 2, 3, … Thông thường, chúng ta nghĩ về những số theo thứ bậc [2] này và đó là một phần thiết yếu của công
việc phân tích dữ liệu của chúng ta để tìm một định nghĩa về “thứ bậc” hay
“chuỗi” theo những thuật ngữ lôgích.[3]
Ý niệm của thứ bậc là một khái niệm
vốn có sự quan trọng vô cùng lớn lao trong toán học. Không chỉ những số nguyên,
nhưng cũng cả những phân số hữu tỉ và tất cả những số thực đều có một thứ bậc
của độ lớn, và điều này là thiết yếu với hầu hết những thuộc tính toán học của
chúng. Thứ bậc của những điểm trên một đường thẳng là thiết yếu với hình học;
cũng như thế là thứ bậc hơi phức tạp hơn của những đường thẳng qua một điểm
trong một mặt phẳng hay của những mặt phẳng qua một đường thẳng. Những kích
thước, trong hình học, đều là một phát triển của thứ bậc. Khái niệm của một giới
hạn, vốn làm nền tảng cho tất cả những toán học bậc cao hơn, là một khái
niệm nối tiếp. Có những phần của toán học không tùy thuộc trên ý niệm
của thứ bậc, nhưng chúng rất ít khi so với những phần trong đó có bao gồm khái
niệm này.
Trong việc tìm kiếm một định nghĩa của thứ bậc, điều đầu tiên để hiểu rõ
là không set nào của những số hạng có chỉ một thứ bậc với sự loại trừ
của những thứ bậc khác. Một set của những số hạng có tất cả những thứ bậc vốn
nó có khả năng với những thứ bậc đó. Đôi khi một thứ bậc thì quá nhiều quen
thuộc và tự nhiên với những suy nghĩ của chúng ta khiến chúng ta có khuynh
hướng để nhìn nó như cái thứ bậc của set đó gồm những số hạng; nhưng đây
là một sai lầm. Những số tự nhiên – hay những số “quy nạp”, như chúng ta sẽ cũng gọi chúng – xảy ra với chúng ta sẵn sàng
nhất trong thứ bậc của độ lớn; nhưng chúng có khả năng của một số vô hạn của
những cách sắp xếp khác. Thí dụ, chúng ta có thể suy nghĩ trước tiên tất cả
những số lẻ, và sau đó tất cả những số chẵn; hay đầu tiên là 1, sau đó là tất
cả những số chẵn, sau đó đến tất cả những bội số lẻ của 3, sau đó là tất cả
những bội số của 5 nhưng không của 2 hay 3, sau đó là tất cả những bội số của 7
nhưng không của 2 hay 3 hay 5, v.v. tiếp tục như thế qua chuỗi toàn bộ của
những số nguyên tố. Khi chúng ta nói rằng chúng ta “sắp xếp” những con số theo
những thứ bậc khác nhau này, đó là một diễn đạt không chính xác: những gì chúng
ta thực sự làm là quay sự chú ý của chúng ta sang những quan hệ nhất định giữa
những số tự nhiên, vốn tự chúng tạo ra một sự sắp xếp như-vậy-và-như-vậy. Chúng
ta không thể “sắp xếp” những con số tự nhiên hơn là chúng ta có thể làm thế với
bầu trời đầy sao; nhưng đúng như chúng ta có thể ghi nhận giữa những vì sao cố
định hoặc là thứ bậc độ sáng của chúng hoặc là sự phân phối của chúng trên bầu
trời, thế nên, có nhiều quan hệ khác nhau giữa những con số vốn có thể được
quan sát và vốn làm xảy ra nhiều thứ bậc khác nhau giữa những con số, tất cả
đều hợp lôgích như nhau. Và những gì thì đúng của những con số thì cũng đúng ngang bằng như thế của những điểm
trên một đường thẳng hay của những khoảnh khắc của thời gian: một thứ bậc thì
quen thuộc hơn, nhưng những thứ bậc khác đều có giá trị ngang nhau. Thí dụ,
chúng ta có thể đầu tiên, lấy trên một đường thẳng, tất cả những điểm vốn chúng
có những tọa độ số nguyên, sau đó là tất cả những điểm có tọa độ hữu tỉ không số
nguyên, sau đó là tất cả những điểm có tọa độ đại số không hữu tỉ, và tiếp tục
như vậy, qua bất kỳ set của những phức tạp nào tùy ý thích chúng ta. Thứ bậc
kết quả sẽ là một thứ bậc vốn những điểm của đường thẳng chắc chắn có, cho dù
chúng ta có chọn để ghi nhận nó hay không; điều duy nhất là tùy tiện về những
thứ bậc khác nhau của một set của những số hạng là sự chú ý của chúng ta, vì
bản thân những số hạng luôn luôn có tất cả những thứ bậc vốn với
chúng, chúng có khả năng
Một kết quả quan trọng của cân nhắc này là chúng ta phải không tìm định
nghĩa của thứ bậc trong bản chất của set của những số hạng được xếp thứ bậc, vì
một set của những số hạng có nhiều thứ bậc. Thứ bậc không nằm trong lớp
của những số hạng, nhưng trong một quan hệ giữa những phần tử của lớp, nhìn về
mặt của chúng, một số nào đó xuất hiện như sớm hơn và một số nào đó như muộn
hơn. Sự kiện rằng một lớp có thể có nhiều thứ bậc là do sự kiện rằng có thể có
nhiều những quan hệ giữ giá trị giữa những phần tử của một lớp duy nhất.
những thuộc tính gì một quan hệ phải có để làm nảy sinh một thứ bậc?
Những đặc điểm thiết yếu của một quan hệ vốn để làm nảy sinh thứ bậc có
thể được tìm ra bằng việc suy xét rằng nhìn về mặt một quan hệ như vậy, chúng
ta phải có khả năng để nói, trong hai số hạng bất kỳ trong lớp vốn để được sắp
xếp thứ bậc, rằng một “đứng trước” và một kia “theo sau”. Bây giờ, ngõ hầu rằng
chúng ta có khả năng để dùng những từ này theo cách trong đó chúng ta sẽ hiểu
chúng một cách tự nhiên, chúng ta đòi hỏi rằng quan hệ thứ bậc sẽ có ba thuộc
tính:
(1) Nếu x đứng trước y, y
phải không trước x. Đây là một
đặc tính hiển nhiên của loại quan hệ vốn dẫn đến chuỗi. Nếu x ít/kém/nhỏ hơn y thì y cũng không ít/kém/nhỏ hơn x. Nếu x sớm/trước hơn y thì y cũng không sớm/trước hơn
x. Nếu x ở bên trái của y thì y không ở bên trái của x.
Về mặt khác, những quan hệ vốn không làm xảy ra chuỗi thường không có thuộc
tính này. Nếu x là anh/chị/em của y thì y là anh/chị/em của x. Nếu x có cùng chiều
cao với y thì y có cùng chiều cao với x.
Nếu x có chiều cao khác y thì y có chiều cao khác với x.
Trong tất cả những trường hợp này, khi quan hệ giữ giá trị giữa x và
y, nó cũng giữ giá trị giữa y và x. Nhưng với những quan hệ nối tiếp
một sự việc như vậy không thể xảy ra. Một quan hệ có thuộc tính đầu tiên này
gọi là không-đối xứng.[4]
(2) Nếu x đứng trước y và
y đứng trước z, x phải
đứng trước z. Điều này có thể được minh họa bằng cùng những trường hợp
như trước: ít/kém/nhỏ hơn, sớm/trước hơn, bên trái của. Nhưng vì những
trường hợp của những quan hệ vốn không có thuộc tính này, sẽ dùng chỉ
hai trong ba trường hợp trước của chúng ta. Nếu x là anh/chị/em của y, và y của z, thì x có thể không là anh/chị/em của z, vì x và z có thể là cùng
một người. Điều tương tự cũng áp dụng cho sự khác biệt về chiều cao, nhưng
không áp dụng cho sự tương đương về chiều cao, vốn có thuộc tính thứ hai của
chúng ta nhưng không thứ nhất của chúng ta. Mặt khác, quan hệ “cha” có thuộc
tính đầu tiên của chúng ta nhưng không có thuộc tính thứ hai của chúng ta. Một
quan hệ có thuộc tính thứ hai của chúng ta gọi là bắc cầu.[5]
(3) Cho bất kỳ hai số hạng nào của lớp vốn là theo thứ bậc, phải là có
một số hạng đứng trước và số hạng kia đứng sau. Thí dụ, trong bất kỳ hai số
nguyên hay phân số, hay số thực, một số thì nhỏ hơn và số kia lớn hơn; nhưng
với bất kỳ hai số phức nào, điều này thì không đúng. Trong bất kỳ hai thời điểm
nào trong thời gian, một thời điểm phải sớm/trước hơn thời điểm kia; nhưng đối
với những sự kiện, vốn chúng có thể là đồng thời, điều này không thể nói được.
Đối với hai điểm trên một đường thẳng, một điểm phải ở bên trái điểm kia. Một
quan hệ có thuộc tính thứ ba này gọi là kết nối. [6]
Khi một quan hệ có được ba thuộc tính này, nó thuộc loại để làm nảy sinh
một thứ bậc giữa những số hạng vốn nó giữ giá trị giữa những số hạng đó; và bất
cứ nơi nào một thứ bậc tồn tại, một số quan hệ nào đó có ba thuộc tính này có
thể được tìm thấy tạo ra nó.
Trước khi minh họa luận điểm này, chúng ta sẽ giới thiệu một vài định
nghĩa.
(1) Một quan hệ được nói là một không-phản xạ,[7] hay là được chứa trong hay
hàm ý đa dạng, nếu không số hạng nào có quan hệ này với chính nó. Thế
nên, thí dụ, “lớn hơn”, “khác kích thước”, “anh”, “chồng”, “cha” là những từ không-phản
xạ; nhưng “ngang bằng”, “sinh ra cùng cha mẹ”, “bạn thân” thì không.
(2) Bình phương của một quan hệ là quan hệ vốn giữ giá trị giữa
hai số hạng x và z, khi có một số hạng trung gian
y sao cho quan hệ đã cho, giữ giá trị giữa x và y và giữa y và z. Thế nên “ông nội” là bình phương của “bố”, “lớn hơn 2” là bình
phương của “lớn hơn 1”, v.v.
(3) Miền của một quan hệ gồm tất cả những số hạng đó vốn có quan
hệ với một gì hay một khác, và miền đảo
gồm tất cả những số hạng đó vốn có quan hệ với một gì hay một khác. Những từ
này đã được định nghĩa, nhưng được nhắc lại ở đây cốt cho định nghĩa sau: −
(4) Trường của một quan hệ gồm miền của nó và miền đảo cùng nhau.
(5) Một quan hệ được nói là chứa hay được hàm ý bởi một
quan hệ khác nếu nó giữ giá trị hễ khi nào quan hệ kia giữ giá trị.
Sẽ thấy được rằng một quan hệ không-đối
xứng là cùng một sự việc như một quan hệ có bình phương của nó là
một không-phản xạ. Thường xảy ra rằng một quan hệ là một không-phản xạ với
không là không-đối xứng, dù một quan hệ không-đối xứng thì luôn luôn là một
không-phản xạ.Thí dụ: “phối ngẫu” là một không-phản xạ, nhưng là đối xứng, vì
nếu x là phối ngẫu của y thì y là phối ngẫu của x.
Nhưng giữa những quan hệ bắc cầu, tất cả những không-phản xạ đều là
không-đối xứng và cũng ngược lại như thế.
Từ những định nghĩa, sẽ thấy được rằng một quan hệ bắc cầu là một
quan hệ vốn nó thì hàm ý bởi bình phương của nó, vì chúng ta cũng nói, hay
“chứa” bình phương của nó. Như vậy “tổ tiên” là bắc cầu, vì tổ tiên của một tổ
tiên là một tổ tiên; nhưng “cha” thì không bắc cầu, vì cha của một người cha
không là một người cha. Một không-phản xạ bắc cầu là một quan hệ vốn chứa bình
phương của nó và được chứa trong tính đa dạng; hay, những gì xảy ra với cùng
quan hệ, một quan hệ vốn bình phương của nó hàm ý cả nó và tính đa dạng – vì, khi một quan hệ là bắc cầu, tính
không-đối xứng thì tương đương với là một không-phản xạ.
Một quan hệ là được kết nối, cho bất kỳ hai số hạng khác nhau nào
trong trường của nó, khi quan hệ giữ giá trị giữa số hạng thứ nhất và thứ hai
hay giữa thứ hai và thứ nhất (không loại trừ khả năng cả hai đều có thể xảy ra,
mặc dù cả hai đều không thể xảy ra nếu quan hệ là không-đối xứng).
Sẽ thấy được rằng quan hệ “tổ tiên”, lấy thí dụ, là một không-phản xạ
và bắc cầu, nhưng không được kết nối; Chính vì nó không được kết nối
khiến nó không đủ để sắp xếp loài người trong một chuỗi.
Quan hệ “nhỏ hơn hay bằng với” giữa những số, là bắc cầu và được kết
nối, nhưng không-đối xứng hay một không-phản xạ
Quan hệ “lớn hơn hay nhỏ hơn” giữa những số là một không-phản xạ và đươc
kết nối, nhưng là không bắc cầu, vì nếu x
lớn hơn hay nhỏ hơn y và y lớn hơn hay nhỏ hơn z, có thể xảy ra rằng x và
z là cùng một số.
Thế nên, ba thuộc tính của là (1) một không-phản xạ, (2) bắc cầu và (3)
được kết nối, là độc lập lẫn nhau [8], vì một quan hệ có thể có hai quan hệ
bất kỳ nào nhưng không có quan hệ thứ ba.
Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa sau: −
Một quan hệ là nối tiếp khi nó là một không-phản xạ, bắc cầu và
được kết nối; hay những gì là tương đương, khi nó không-đối xứng, bắc cầu và
được kết nối.
Một chuỗi thì cũng là cùng một sự việc như một quan hệ nối tiếp.
Có thể đã từng nghĩ rằng một chuỗi sẽ là trường của một quan hệ
nối tiếp, chứ không phải chính quan hệ nối tiếp. Nhưng đây sẽ là một sai lầm.
Thí dụ,
1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 3, 1; 2, 1, 3; 3, 1, 2; 3, 2, 1
là sáu chuỗi khác nhau vốn tất cả đều có cùng một trường. Nếu trường đã
là chuỗi, chỉ có thể có một chuỗi với một trường nhất định. Những gì làm
phân biệt sáu chuỗi trên thì chỉ đơn giản là những quan hệ thứ bậc khác nhau
trong sáu trường hợp. Đem cho quan hệ thứ bậc, trường và thứ bậc đều xác định.
Vì vậy, quan hệ thứ bậc có thể được lấy để là chuỗi, nhưng trường
không thể được lấy như vậy.
Cho bất kỳ quan hệ nối tiếp nào, lấy thí dụ như P, chúng ta sẽ nói rằng,
đối với quan hệ này, x “đứng trước” y nếu x có quan hệ P với y,
chúng ta sẽ viết tắt là “xPy”. Ba đặc điểm vốn P phải có để là
nối tiếp là:
(1) Chúng ta không bao giờ được có xPx, tức là phải không
có số hạng nào đứng trước chính nó.
(2) P2 phải hàm ý P, tức là nếu x đứng
trước y và y đứng trước z thì x phải đứng trước z.
(3) Nếu x và y là hai số hạng khác nhau trong trường
của P, chúng ta sẽ có xPy hay yPx, tức là một
trong hai phải đứng trước một kia.
Người đọc có thể dễ dàng tự thuyết phục rằng khi ba thuộc tính này được
tìm thấy trong một quan hệ sắp xếp thứ bậc, thì những đặc điểm vốn chúng ta
mong đợi ở chuỗi cũng sẽ được tìm thấy, và ngược lại. Thế nên, chúng ta
chính đáng khi lấy sự việc trên như một định nghĩa của thứ bậc hay chuỗi. Và sẽ
thấy rằng định nghĩa được thực hiện trong những thuật ngữ lôgích thuần túy.
Mặc dù một quan hệ kết nối không-đối xứng bắc cầu luôn luôn là-có ở bất
cứ nơi nào có một chuỗi, nó không phải lúc nào cũng là quan hệ vốn một cách tự
nhiên nhất được nhìn như tạo ra chuỗi. Chuỗi số tự nhiên có thể dùng như một
minh họa. Quan hệ vốn chúng ta đã giả định khi xem xét những số tự nhiên là
quan hệ của sự liên tục tức thời, tức là quan hệ giữa những số nguyên liên
tiếp. Quan hệ này là không-đối xứng, nhưng không bắc cầu hay được kết nối. Tuy
nhiên, từ nó chúng ta có thể suy ra, bằng phương pháp của quy nạp toán học,
quan hệ “tổ tiên” vốn chúng ta đã xem xét trong chương trước. Quan hệ này sẽ
cũng là giống như “nhỏ hơn hay bằng” giữa những số nguyên quy nạp. Đối với
những mục đích tạo ra chuỗi số tự nhiên, chúng ta muốn quan hệ “nhỏ hơn”, loại
trừ “bằng”. Đây là quan hệ của m với n khi m là tổ tiên của n nhưng
không đồng nhất với n, hay (điều sẽ là tương tự) khi số tiếp sau của m là một tổ tiên của n theo nghĩa trong đó một số là tổ tiên
của chính nó. Có nghĩa là, chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa sau: −
Một số quy nạp m được nói là nhỏ hơn một số n khác khi n có được mọi đặc tính di truyền của số tiếp sau của m.
Dễ dàng để thấy và không khó để chứng minh, rằng quan hệ “nhỏ hơn” được định nghĩa
như vậy là không-đối xứng, bắc cầu và liên kết, và có những số quy nạp cho
trường của nó. Thế nên, qua phương tiện của quan hệ này, những số quy nạp có
được một thứ bậc theo nghĩa vốn chúng ta đã định nghĩa thuật ngữ “thứ bậc”, và
thứ bậc này như thế gọi là thứ bậc “tự nhiên”, hay thứ bậc của độ lớn.
Việc tạo ra những chuỗi qua phương tiện của những quan hệ ít nhiều giống
như từ n đến n + 1 là rất phổ thông. Thí dụ, chuỗi của những vị vua của England, được tạo ra bởi những
quan hệ của mỗi vị vua với vị tiếp sau của vị
này. Đây có lẽ là cách dễ dàng nhất, nếu có thể áp dụng được, của việc nghĩ
đến sự hình thành của một chuỗi. Trong phương pháp này, chúng ta chuyển từ từng
số hạng sang số hạng tiếp theo, cho đến chừng nào có một tiếp theo, hay quay
lại với số hạng trước đó, cho đến chừng nào có một trước đó. Phương pháp này
luôn luôn đòi hỏi dạng tổng quát của quy nạp toán học để cho chúng ta có khả
năng để định nghĩa “sớm/trước hơn” và “muộn/sau hơn” trong một chuỗi đã được
tạo ra như thế. Tương tự như “những phân số thực sự” [9], chúng ta hãy đặt tên “hậu duệ thực
sự”của x đối với R” cho lớp của những
số hạng ddos vốn thuộc về R−Hậu duệ của một số hạng nhất định nào đó với nó x có quan hệ R, trong nghĩa vốn chúng ta
trước đây đã đem cho cho “hậu duệ”, vốn gồm một số hạng trong hậu duệ của chính
nó. Quay trở lại những định nghĩa cơ bản, chúng ta tìm thấy rằng “hậu duệ thực
sự” có thể được định nghĩa như sau:
“Hậu duệ thực sự” của x đối
với R gồm tất cả những số hạng vốn có được mọi thuộc tính R−di truyền đã có
được bởi mọi số hạng với nó vốn x có
quan hệ R.
Cần lưu ý rằng định nghĩa này đã phải cấu trúc như thế để là áp dụng
được không chỉ khi có chỉ một số hạng với nó vốn x có quan hệ R, nhưng cũng trong những trường hợp (thí dụ như giữa
cha và con) ở đó có thể có nhiều số hạng với nó vốn x có quan hệ R. Chúng ta định nghĩa thêm:
Một số hạng x là một “tổ tiên
thực sự” của y đối với R nếu y thuộc hậu duệ thực sự của x đối với R.
Chúng ta sẽ nói “R−Hậu duệ” và “R−tổ tiên” cho gọn, khi những từ ngữ này
xem dường thuận tiện hơn.
Bây giờ quay về việc tạo chuỗi bới quan hệ R giữa những số hạng liên
tiếp, chúng ta thấy rằng, nếu phương pháp này có thể thực hiện được, “quan hệ
R−tổ tiên thực sự” phải là một không-phản xạ, bắc cầu và được kết nối. Điều này
sẽ xảy ra trong những trường hợp nào? Nó sẽ luôn luôn là bắc cầu: bất kể R có
thể là loại quan hệ nào, “R−tổ tiên” và “R−tổ tiên thực sự” luôn luôn cả hai
đều là bắc cầu. Nhưng đó là chỉ trong một số trường hợp nhất định nào đó, rằng
nó sẽ là một không-phản xạ hay kết nối. Thí dụ, hãy xem xét quan hệ với người
ngồi cạnh bên trái của một người trong một bàn ăn hình tròn có mười hai người.
Nếu chúng ta gọi quan hệ này là R, thì R−Hậu duệ thực sự của một người gồm tất
cả những ai là người có thể được với tay đến được bằng việc đi vòng quanh bàn,
từ phải sang trái. Điều này gồm tất cả mọi người ở bàn ăn, kể cả chính người
đó, vì mười hai bước đưa chúng ta trở lại điểm − bắt đầu. Thế nên, trong một
trường hợp như vậy, mặc dù quan hệ “R−tổ tiên thực sự” là được kết nối và mặc
dù bản thân R là một không-phản xạ, chúng ta không nhận được một chuỗi vì “R−tổ
tiên thực sự” không là một không-phản xạ. Đó là lý do này khiến chúng ta không
thể nói rằng một người đến trước một người khác đối với quan hệ “bên phải của”,
hay với phát sinh tổ tiên của nó.
Ở trên là một thí dụ trong đó quan hệ tổ tiên là kết nối nhưng không
chứa trong đa dạng. Một thí dụ ở chỗ nó thì chứa trong đa dạng, nhưng không kết
nối, có gốc từ nghĩa thông thường của từ “tổ tiên”. Nếu x là một tổ tiên thực sự của
y, x và y không thể là cùng một
người; nhưng không đúng rằng trong bất kỳ hai người nào một người phải là một
tổ tiên của người kia.
Câu hỏi về những trường hợp trong đó chuỗi có thể được những quan hệ tổ
tiên tạo ra, có gốc từ những quan hệ của sự liên tục thì thường quan trọng. Một
số những trường hợp quan trọng nhất là như sau: Gọi R là một quan hệ nhiều-một,
và chúng ta hãy giới hạn chú ý của chúng ta vào hậu duệ của một số hạng x
nào đó. Khi đã giới hạn như vậy, quan hệ “R−tổ tiên thực sự” phải là kết nối;
thế nên, tất cả những gì còn lại để bảo đảm tính là nối tiếp của nó, là rằng nó
sẽ là được chứa trong tính đa dạng. Đây là một sự tổng quát hóa về thí dụ của
bàn ăn tối. Một tổng quát hóa khác gồm trong việc lấy R để là một quan hệ
một-một, và việc gồm tổ tiên của x cũng
như hậu duệ. Ở đây một lần nữa, một điều kiện đòi hỏi để bảo đảm việc tạo ra
một chuỗi là rằng quan hệ “R−tổ tiên thực sự” sẽ là được chứa trong đa dạng.
Việc tạo ra thứ bậc bằng phương tiện của những quan hệ của sự liên tục,
dù quan trọng trong phạm vi riêng của nó thì ít tổng quát hơn so với phương
pháp vốn dùng một quan hệ bắc cầu để xác định thứ bậc. Nó thường xảy ra trong một
chuỗi rằng có một số vô hạn của những số hạng trung gian giữa bất kỳ hai số
hạng nào có thể được chọn, dù những số hạng này có thể là gần nhau đến đâu đi
nữa. Lấy thí dụ, những phân số theo thứ bậc của độ lớn. Giữa bất kỳ hai phân số
đều có những phân số khác – thí dụ,
trung bình cộng của hai phân số đó. Hệ quả là, không có gì để gọi là một cặp
của những phân số liên tiếp. Nếu chúng ta tùy thuộc vào sự liên tục để định
nghĩa thứ bậc, chúng ta sẽ không có khả năng để định nghĩa thứ bậc về độ lớn
giữa những phân số. Nhưng thực ra, quan hệ lớn hơn và nhỏ hơn giữa những phân
số không đòi hỏi sự hình thành từ những quan hệ của sự liên tục,và những quan
hệ của lớn hơn và nhỏ hơn giữa những phân số có ba đặc tính vốn chúng ta cần để
định nghĩa những quan hệ nối tiếp. Trong tất cả những trường hợp như vậy, thứ
bậc phải được định nghĩa bằng phương tiện của một quan hệ bắc cầu, vì
chỉ có một quan hệ loại như vậy mới có khả năng để nhảy qua một số vô hạn của
những số hạng trung gian. Phương pháp của sự liên tục, giống như phương pháp
của việc đếm để đầu tiên tìm ra ra số của một lớp, thì thích hợp với sự hữu
hạn; ngay cả nó có thể được mở rộng đến một số chuỗi vô hạn nào đó nhất định,
cụ thể là, những chuỗi trong đó, mặc dù tổng số số hạng là vô hạn, số của những
số hạng giữa hai số bất kỳ thì luôn luôn là hữu hạn; nhưng nó phải không được
xem như sự việc trong tổng quát. Không chỉ như vậy, nhưng cần phải cẩn thận để
loại bỏ khỏi trí tưởng tượng tất cả những thói quen của suy nghĩ hậu quả từ
viecj giả định cho rằng nó là trong tổng quát. Nếu điều này không được thực
hiện, những chuỗi trong đó không có số hạng liên tiếp sẽ vẫn khó khăn và khó
hiểu. Và những chuỗi như vậy đều có sự quan trọng thiết yếu đối với sự hiểu
biết về tính liên tục, không gian, thời gian và chuyển động.
Có nhiều cách trong đó những chuỗi có thể được tạo ra, nhưng tất cả đều
tùy thuộc trên việc tìm hay xây dựng của một quan hệ được kết nối bắc cầu
không-đối xứng. Một số cách này có sự quan trọng đáng kể. Chúng ta có thể lấy như
làm minh họa cho việc tạo ra chuỗi bằng phương tiện của quan hệ ba − số hạng
vốn chúng ta có thể gọi là “giữa”. Phương pháp này rất tiện lợi trong hình học,
và có thể dùng như một giới thiệu với những quan hệ có nhiều hơn hai số hạng;
nó được giới thiệu hay nhất trong kết nối với hình học sơ cấp.
Cho ba điểm bất kỳ trên một đường thẳng trong không gian thông thường,
phải có một trong số chúng giữa hai
điểm kia. Điều này sẽ không xảy ra với những điểm trên một đường tròn hay bất
kỳ đường cong khép kín nào khác, vì, với ba điểm bất kỳ trên một đường tròn,
chúng ta có thể đi từ điểm bất kỳ nào đến điểm bất kỳ khác nhưng không cần đi
qua điểm thứ ba. Thực ra, khái niệm “giữa” là tính chất đặc biệt của chuỗi
mở – hay chuỗi trong một nghĩa
chặt chẽ – như trái ngược với những
gì có thể gọi là chuỗi “tuần hoàn”, [10] trong đó, như với những người ở bàn
ăn, một hành trình đủ mang chúng ta trở lại điểm khởi đầu của chúng ta. Khái
niệm “giữa” này có thể được chọn làm khái niệm nền tẳng của hình học thông
thường; nhưng trong lúc này, chúng ta sẽ chỉ xem xét ứng dụng của nó với một
đường thẳng độc nhất và với thứ bậc của những điểm trên một đường thẳng.[11] Lấy hai điểm a, b bất kỳ, đường thẳng (ab) gồm ba phần (ngoài chính a và
b):
(1) Những điểm giữa a và
b.
(2) Những điểm x sao cho a thì giữa x và b.
(3) Những điểm y sao cho b thì giữa y và a.
Như thế, đường thẳng (ab) có thể được định nghĩa theo quan hệ
“giữa”.
Để quan hệ “giữa” này có thể sắp xếp những điểm của đường thẳng theo một
thứ bậc từ trái sang phải, chúng ta cần một số những giả định nhất định, cụ thể
như sau: −
(1) Nếu bất kỳ gì là giữa a và b thì a và b đều là không đồng
nhất.
(2) Bất kỳ gì giữa a và b thì cũng giữa b và a.
(3) Bất kỳ gì giữa a và b thì không đồng nhất với a (và thế nên, cũng không với b, theo
như (2)).
(4) Nếu x thì giữa
a và b, bất kỳ gì giữa a và
x thì cũng giữa a và b.
(5) Nếu x thì giữa a và b, và b thì giữa x và y, khi đó b thì giữa a và y.
(6) Nếu x và y đều giữa a và b khi đó hoặc x và y thì đồng nhất, hoặc x thì giữa a và y, hay x thì giữa y và b.
(7) Nếu b thì giữa a và x, và cũng giữa a và y, khi đó hoặc x và y thì đồng nhất, hoặc x thì giữa b và y, hoặc y thì giữa b và x.
Bảy tính chất này rõ ràng đã được kiểm chứng trong trường hợp những điểm
nằm trên một đường thẳng trong không gian thông thường. Bất kỳ quan hệ ba số
hạng nào vốn kiểm chứng chúng sẽ dẫn đến chuỗi, như có thể thấy từ những định
nghĩa sau đây. Cho mục đích của tính
xác định, chúng ta hãy giả định rằng a thì
ở bên trái của b. Khi đó những điểm
của đường thẳng (ab) là:
(1) những điểm giữa chúng và b, có a nằm – những điểm này
chúng ta sẽ gọi ở bên trái của a;
(2) a chính nó;
(3) những điểm giữa a và b;
(4) b chính nó;
(5) những điểm giữa chúng và a, có b nằm – những điểm này chúng ta sẽ gọi ở bên
phải của b.
Bây giờ một cách tổng quát, chúng ta có thể xác định rằng thuộc hai điểm
x, y, trên đường thẳng (ab),
chúng ta sẽ nói rằng x nằm “bên trái” y trong bất kỳ trường hợp nào sau đây:
−
(1) Khi x và y đều bên trái a, và y thì giữa x và a;
(2) Khi x ở bên trái a, và y là
a hay b hay giữa a và b hay ở bên
phải của b;
(3) Khi x là a, và y thì giữa a và b, hay là b hay nằm bên phải của b;
(4) Khi x và y giữa a và b, và y giữa x và b;
(5) Khi x thì giữa a và b, và y là b hay bên phải của
b;
(6) Khi x là b và
y ở bên phải của b;
(7) Khi x và y đều nằm bên phải của b và
x thì giữa b và y.
Sẽ tìm thấy được rằng, từ bảy thuộc tính vốn chúng ta đã gán cho quan hệ “giữa”, có thể
suy ra được rằng quan hệ “bên trái”, như đã định nghĩa ở trên, là một quan hệ nối
tiếp như chúng ta đã định nghĩa thuật ngữ đó. Điều quan trọng cần lưu ý là
không có gì trong những định nghĩa hay lý luận tùy thuộc trên nghĩa của chúng ta qua
đó “giữa” là quan hệ thực tại của tên gọi đó vốn xảy ra trong không gian thực
nghiệm: bất kỳ quan hệ ba số hạng nào có bảy thuộc tính hoàn toàn chính thức ở
trên sẽ cũng tốt như nhau dùng cho mục đích của lý
luận.
Thứ bậc tuần hoàn, lấy thí dụ như thứ bậc của những điểm trên một vòng
tròn, không thể được tạo ra bằng phương tiện của những quan hệ-ba-số-hạng của
ở “giữa”. Chúng ta cần
một quan hệ của bốn số hạng, có thể gọi là “sự tách biệt của những cặp đôi”.
Điểm này có thể được minh họa bằng cách xem xét một hành trình vòng quanh thế
giới. Người ta có thể đi từ England đến New Zealand bằng đường qua Suez hay bằng đường qua San Francisco;
chúng ta không thể nói chắc chắn rằng một trong hai địa điểm này là “giữa”
England và New Zealand. Nhưng nếu một người chọn con đường đó để đi vòng quanh
thế giới, cho dù người này đi đường vòng nào, thì thời gian của người này ở
England và New Zealand sẽ tách biệt nhau bởi thời gian của ông ở Suez và San Francisco, và ngược lại. Trong
tổng quát, nếu chúng ta lấy bốn điểm bất kỳ trên một đường tròn, chúng ta có
thể tách chúng thành hai cặp, gọi là a và b và
x và y, sao cho, để đi từ a đến b, chúng ta phải đi qua x hay y, và để đi từ x đến y người ta phải đi qua a hay b. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng cặp đôi (a, b) bị “tách
rời” bởi cặp đôi (x, y). Từ quan hệ này, một thứ bậc tuần hoàn có thể được tạo
ra, theo cách tương tự như cách vốn chúng ta tạo ra một thứ bậc mở từ “giữa”,
nhưng hơi phức tạp hơn.[12]
Mục đích của nửa sau của chương này đã là để nêu lên đề tài vốn người ta
có thể gọi là “sự hình thành của những quan hệ nối tiếp”. Khi những quan hệ như
vậy đã được định nghĩa, sự hình thành của chúng từ những quan hệ khác chỉ có
được một số thuộc tính cần thiết cho chuỗi trở nên rất quan trọng, đặc biệt là
trong triết học hình học và vật lý. Nhưng trong những giới hạn của tập sách hiện tại, chúng
ta không thể làm gì hơn là làm người đọc biết rằng có một đề tài loại như vậy
CHƯƠNG V:
Những Loại Của Những Quan Hệ
Một phần lớn của triết học toán học thì bận tâm với những quan hệ, và nhiều loại
quan hệ khác nhau có những loại dùng khác nhau. Điều thường xảy ra rằng một
thuộc tính vốn thuộc về tất cả những quan hệ thì chỉ quan trọng đối với
những quan hệ thuộc một số loại nhất định; trong những trường hợp này, người
đọc sẽ không thấy trong mệnh đề khẳng định mang một thuộc tính loại như vậy trừ
khi người đọc này không quên những loại của quan hệ vốn là hữu dụng với nó. Vì
những lý do của mô tả này, cũng như từ sự quan trọng nội tại của vấn đề, tốt
hơn là chúng ta nên có trong suy nghĩ một danh sách thô phác của những quan hệ
khác loại có thể dùng được về mặt toán học hơn.
Chúng ta đã đã bận rộn trong chương trước với một lớp hết sức quan
trọng, đó là quan hệ nối tiếp. Mỗi một của ba thuộc tính vốn chúng ta đã
kết hợp trong việc định nghĩa chuỗi – đó
là, tính không-đối xứng,
tính bắc cầu và tính liên kết
– đều có sự quan trọng riêng của nó. Chúng ta sẽ bắt đầu với việc nói một
vài nhận xét về mỗi trong số ba thuộc tính này.
Tính không-đối xứng, tức là thuộc tính của là không
tương hợp với sự nghịch đảo, là một đặc tính của sự chú ý và quan trọng rất
lớn. Để khai triển những vai trò của nó, chúng ta sẽ xem xét những thí dụ khác
nhau. quan hệ chồng thì không-đối xứng, và quan hệ vợ cũng vậy;
tức là nếu a là chồng của b thì b không thể là chồng của a, và tương tự trong trường hợp
vợ. Mặt khác, quan hệ “phối ngẫu” thì đối xứng: nếu a là phối ngẫu của b thì b là phối ngẫu của a. Giả sử bây giờ chúng ta được cho quan hệ phối ngẫu, và chúng ta
muốn suy ra quan hệ chồng Chồng thì cùng là một với người phối ngẫu nam
hay phối ngẫu của một người nữ; thế nên, quan hệ chồng có thể được suy
ra từ phối ngẫu bằng việc giới hạn miền đối với những người nam hay bằng
cách giới hạn miền đảo đối với những
người nữ. Từ trường hợp này, chúng ta thấy rằng, khi cho một quan hệ đối xứng,
đôi khi có thể, không cần giúp đỡ của bất kỳ quan hệ nào khác, có thể tách nó
thành hai quan hệ không-đối xứng. Nhưng những trường hợp vốn điều này có thể
xảy ra là rất hiếm và khác thường: chúng là những trường hợp có hai lớp
loại trừ lẫn nhau, lấy thí dụ α và β, sao cho hễ khi nào quan hệ giữ giá trị
giữa hai số hạng, một trong những số hạng là phần tử của α và số hạng kia là
một phần tử của β – như, trong trường
hợp của quan hệ phối ngẫu, một số hạng của quan hệ thuộc về lớp của những người
nam và một thuộc về lớp của những người nữ. Trong trường hợp như vậy, quan hệ
với miền của nó đã giới hạn với α sẽ là không-đối xứng, và cũng như thế sẽ là
quan hệ với miền của nó đã giới hạn trong β. Nhưng những trường hợp như vậy
không thuộc loại xảy ra khi chúng ta giải quyết với chuỗi gồm hơn hai số hạng;
vì trong một chuỗi, tất cả những số hạng, ngoại trừ số đầu tiên và cuối cùng
(nếu chúng tồn tại), đều thuộc cả về miền và miền đảo của quan hệ tạo ra, như thế khiến một quan hệ giống như chồng,
trong đó miền và miền đảo không trùng lập, thì bị loại trừ.
Câu hỏi làm thế nào để xây dựng những quan hệ có một số thuộc
tính tiện lợi nào đó bằng phương tiên của những phép toán dựa trên những quan
hệ có chỉ những những nguyên tắc sơ đẳng của những thuộc tính là một điều quan
trọng đáng cân nhắc. Tính bắc cầu và tính liên kết đều dễ dàng được xây dựng
trong nhiều trường hợp khi quan hệ đem cho ban đầu không có được chúng: thí dụ,
nếu R là bất kỳ quan hệ nào, thì quan hệ tổ tiên bắt nguồn từ R bằng quy nạp
tổng quát là quan hệ bắc cầu; và nếu R là một quan hệ nhiều-một, thì quan hệ tổ
tiên sẽ là được kết nối nếu giới hạn trong hậu duệ của một số hạng nhất định.
Nhưng không-đối xứng là một thuộc tính khó bảo đảm hơn nhiều bằng cách xây
dựng. Phương pháp vốn chúng ta lấy được quan hệ chồng từ quan hệ phối
ngẫu, như chúng ta đã thấy, thì không có thể dùng được trong những trường
hợp quan trọng nhất, lấy thí dụ như lớn hơn, trước đây, ở bên phải, khi
miền và miền đảo chồng lấn lên nhau.
Trong tất cả những trường hợp này, Dĩ nhiên chúng ta có thể có được một quan hệ
đối xứng bằng cách cộng quan hệ đã cho và nghịch đảo của nó lại với nhau, nhưng
chúng ta không thể chuyển ngược từ quan hệ đối xứng này sang quan hệ không-đối
xứng ban đầu, ngoại trừ với giúp đỡ của một số quan hệ không-đối xứng. Lấy thí dụ, quan
hệ lớn hơn: quan hệ lớn hơn hay nhỏ hơn – tức là không bằng
nhau – thì đối xứng, nhưng không có gì trong quan hệ này để cho thấy rằng
nó là tổng số của hai quan hệ không-đối xứng. Hãy xem một quan hệ như vậy là “khác
nhau về hình dạng”. Đây không là tổng số của một quan hệ không-đối xứng và
nghịch đảo của nó, vì những hình dạng không hình thành một chuỗi duy nhất;
nhưng không có gì cho thấy rằng nó khác với “khác nhau về độ lớn” nếu
chúng ta đã không biết rằng những độ lớn có những quan hệ lớn hơn và nhỏ hơn.
Điều này minh họa đặc tính nền tảng của tính không-đối xứng như một thuộc tính
của những quan hệ.
Từ quan điểm của sự phân loại của những quan hệ, là không-đối xứng là một đặc tính
quan trọng nhiều hơn so với hàm ý đa dạng. Những quan hệ không-đối xứng
hàm ý đa dạng, nhưng ngược lại thì không như vậy. Thí dụ: “Không bằng nhau” hàm ý đa dạng, nhưng nghịch
đảo thì không đúng. Nói rộng ra, chúng ta có thể nói rằng, nếu chúng ta muốn phân bố những
mệnh đề quan hệ ở mức độ rộng nhất có thể được và thay chỗ chúng kiểu như là những
thuật ngữ đã qui gán với những chủ ngữ, chúng ta có thể thành công trong việc
này miễn là chúng ta tự giới hạn vào những quan hệ đối xứng: những quan
hệ đó không hàm ý đa dạng, nếu chúng đều là bắc cầu, có thể được nhìn như việc
khẳng định một thuật ngữ phổ thông, trong khi những quan hệ đó vốn không hàm ý
đa dạng có thể được nhìn như khẳng định những thuật ngữ không tương hợp. Thí
dụ, hãy xem xét quan hệ của sự giống nhau giữa những lớp, bằng phương
tiện của chúng, chúng ta định nghĩa những số. Quan hệ này là đối xứng và bắc
cầu và không bao hàm đa dạng. Có thể, mặc dù ít đơn giản hơn thủ tục vốn chúng
ta đã áp dụng, để coi số lượng của một sưu tập là một thuật ngữ của sưu tập:
khi đó hai lớp tương đương sẽ là hai lớp có cùng một thuật ngữ số, trong khi
hai lớp không giống nhau sẽ là hai lớp có thuật ngữ số khác nhau. Phương pháp
thay thế những quan hệ bằng những thuật ngữ như vậy về mặt hình thức là có thể
thực hiện được (mặc dù thường rất bất tiện) miễn là những quan hệ liên quan là
đối xứng; nhưng về mặt hình thức là không thể được khi những quan hệ là
không-đối xứng, vì cả sự giống nhau và sựu khác biệt của những thuật ngữ đều là
đối xứng. Chúng ta có thể nói những quan hệ không-đối xứng là quan hệ đặc trưng
nhất của những quan hệ, và quan trọng nhất với nhà triết học muốn nghiên cứu
bản chất lôgích sau cùng của những quan hệ.
Một lớp khác của những quan hệ vốn được dùng nhiều nhất là lớp của những
quan hệ một-nhiều, tức là những quan hệ vốn nhiều nhất một số hạng có thể có với một số
hạng nhất định. Đó là cha, mẹ, chồng (ngoại trừ ở Tibet), bình phương
của, sin của, v.v. Nhưng cha mẹ,
căn bậc hai, v.v., đều không là một-nhiều. Chính thức, là có thể được để
thay thế tất cả những quan hệ bằng những quan hệ một-nhiều bằng phương tiện của
một thủ thuật. Lấy (thí dụ)
quan hệ ít hơn giữa những số quy nạp. Cho bất kỳ số n nào lớn hơn 1, sẽ không chỉ có một số có quan hệ nhỏ hơn n,
nhưng chúng ta có thể thành hình lớp toàn bộ của những số vốn đều nhỏ hơn n.
Đây là một lớp và quan hệ của nó với n thì không chia xẻ với cùng bất kỳ lớp
nào khác. Chúng ta có thể gọi lớp của những số nhỏ hơn n là “tổ tiên thực sự” của n, theo nghĩa vốn chúng ta đã nói về tổ
tiên và hậu duệ trong liên quan với quy nạp toán học. Khi đó, “tổ tiên thực sự”
là một quan hệ một-nhiều (một-nhiều sẽ luôn luôn được dùng với mục đích
để gồm một-một), vì mỗi số xác định một lớp duy nhất của những số như
thành phần tổ tiên thực sự của nó. Vì vậy, quan hệ nhỏ hơn có thể được
thay thế bằng là một phần tử của tổ tiên thực sự của. Theo cách này, một
quan hệ một-nhiều trong đó cái một là một lớp, cùng với những phần tử
của lớp này, có thể luôn luôn chính thức thay thế một quan hệ vốn không là
một-nhiều. Peano, người vì một lý do nào đó, luôn luôn theo trực giác nhìn thấy
trước một quan hệ như một-nhiều, giải quyết trong cách này với những quan hệ đó
vốn đều là tự nhiên không như vậy.
Tuy nhiên, sự thu giảm xuống những quan hệ một-nhiều bằng phương pháp này, mặc
dù có thể được như một vấn đề của hình thức, không tiêu biểu cho một sự đơn
giản hóa kỹ thuật, và có mọi lý do để nghĩ rằng nó không tiêu biểu cho một sự
phân tích triết học, nếu chỉ vì những lớp phải được nhìn như những “hư cấu
lôgích” [13]. Thế nên, chúng ta sẽ tiếp tục để nhìn
những quan hệ một-nhiều như một loại đặc biệt của những quan hệ.
Những quan hệ một-nhiều đều dự phần trong tất cả những cụm từ thuộc dạng
“cái-thế-này-và-thế-nọ-của-cái-như-vậy-và-như-vậy”. “Vua của England”, “người vợ của
Socrates”, “người cha của John Stuart Mill”, và vân vân, tất cả đều mô tả một
người nào đó bằng phương tiện của một quan hệ một-nhiều với một số hạng đã cho.
Một cá nhân không thể có nhiều hơn một người cha, do đó “người cha của John
Stuart Mill” đã mô tả một người nào đó nhất định, ngay cả nếu chúng ta dã không
biết là ai. Có nhiều để nói về đề tài của những mô tả, nhưng cho lúc này đó là
những quan hệ vốn chúng ta đang quan tâm, và những mô tả đều chỉ liên hệ như
việc lấy làm thí dụ cho những cách dùng của những quan hệ một-nhiều.
Điều sẽ được quan sát
rằng tất cả những hàm số toán học là kết quả của những quan hệ một-nhiều :
logarit của x, cosin của x,
v.v., giống như người cha của x, những số hạng được mô tả bằng quan hệ
một-nhiều (logarit, cosin, v.v). với
một số hạng nhất định (x). Khái niệm về hàm số không cần phải
giới hạn với những con số, hay với những cách dùng vốn những nhà toán học đã
làm chúng ta quen thuộc; nó có thể được mở rộng đến tất cả những trường hợp của
những quan hệ một-nhiều, và “cha của x” thì chính đáng đúng là một hàm
số, vốn x là biện luận như là “logarit
của x”. Những hàm số trong nghĩa này đều là những hàm số mô tả. Như chúng
ta sẽ thấy ở phần sau, có những hàm số thuộc một loại vẫn tổng quát hơn và cơ
bản hơn, đó là, những hàm số mệnh đề; nhưng lúc này, chúng ta sẽ giới
hạn chú ý của chúng ta vào những hàm số mô tả, tức là “số hạng có quan hệ R với
x”, hay ngắn gọn là “R của x”, trong đó R là bất kỳ quan hệ một-nhiều nào.
Sẽ quan sát được rằng nếu “cái (điều/sự việc) R của x” [14] là để mô tả một số hạng xác định, thì x phải là một số hạng với nó một gì đó
có quan hệ R, và phải không có nhiều hơn một số hạng có quan hệ R với x, vì “cái”,
dùng cho chính xác, phải hàm ý tính duy nhất. Thế nên, chúng ta có thể nói về
“người cha của x” nếu x là bất kỳ con
người nào, ngoại trừ Adam và Eva; nhưng chúng ta không thể nói về “người cha
của x” nếu x là một cái bàn
hay một cái ghế hay bất cứ một gì khác vốn không có một người cha. Chúng ta sẽ
nói rằng R của x “tồn tại” khi chỉ có
một số hạng và không hơn, có quan hệ R với
x. Thế nên, nếu R là một quan hệ một-nhiều, R của x tồn tại hễ khi nào x thuộc
miền đảo của R, và không là ngược lại. Về “R của x” như một hàm số theo nghĩa
toán học, chúng ta nói rằng x là “đối
số” của hàm, và nếu y là số hạng có
quan hệ R với x, tức là nếu y là R
của x, thì y là “giá trị” của hàm số
đối cho đối số x. Nếu R là một quan
hệ một-nhiều, phạm vi của những đối số có thể có cho hàm số là miền đảo của R
và phạm vi của những giá trị là miền. Thế nên, phạm vi của những đối số có thể
có cho hàm số “cha của x” là tất cả những ai có cha, tức là miền đảo của quan
hệ cha, trong khi phạm vi của những giá trị có thể có của hàm số là tất
cả những người cha, tức là miền của quan hệ.
Nhiều khái niệm quan trọng nhất trong lôgích của những quan hệ đều là những
hàm số mô tả, thí dụ: nghịch đảo, miền, miền đảo, trường. Những thí dụ
khác sẽ nêu lên khi chúng ta tiếp tục.
Trong số những quan hệ một-nhiều, những quan hệ một-một là một
lớp quan trọng đặc biệt. Chúng ta đã có dịp nói về những quan hệ một-một trong
liên quan với định nghĩa của số, nhưng là điều cần thiết để làm quen với chúng,
không chỉ đơn thuần để biết định nghĩa chính thức của chúng. Định nghĩa chính
thức của chúng có thể lấy ra từ những quan hệ một-nhiều : chúng có thể được
định nghĩa như những quan hệ một-nhiều vốn cũng là những nghịch đảo của những
quan hệ một-nhiều, tức là những quan hệ vừa là một-nhiều vừa là nhiều-một.
Những quan hệ một-nhiều có thể được định nghĩa như những quan hệ sao cho nếu x có quan hệ đang xem xét với y thì không có số hạng x’ nào khác cũng có quan hệ với y.
Hay, một lần nữa, chúng có thể được định nghĩa như sau: Cho hai số hạng x và
x’, những số hạng vốn x có quan
hệ đã cho và những số hạng vốn với chúng x’ có nó, thì không có phần tử chung.
Hoặc, một lần nữa, chúng có thể được định nghĩa như những quan hệ sao cho tích
số tương đối của một trong số chúng và nghịch đảo của nó hàm ý đồng nhất, trong
đó “tích số tương đối” của hai quan hệ R và S là quan hệ vốn giữ giá trị giữa x và
z khi có một số hạng trung gian y,
sao cho x có quan hệ R với y và
y có quan hệ S với z. Vì vậy, thí
dụ, nếu R là quan hệ của cha với con, tích số tương đối của R và nghịch đảo của
nó sẽ là quan hệ giữ giá trị giữa x và
một người z, khi có một người y, sao cho x là người cha của y, và y là người con trai của z. Rõ ràng là x và z phải là cùng một
người. Mặt khác, nếu chúng ta lấy quan hệ cha và con, quan hệ này không là
một-nhiều, chúng ta thôi không thể biện luận rằng, nếu x là người cha của y và y là một đứa con của z thì x và z phải là cùng một
người, vì một người có thể là người cha của y và người kia là mẹ. Điều này minh họa rằng nó là tính chất đặc
biệt của những quan hệ một-nhiều khi tích số tương đối của một quan hệ và
nghịch đảo của nó bao hàm đồng nhất. Trong trường hợp những quan hệ một-một,
điều này xảy ra, và cũng xảy ra là tích số tương đối của nghịch đảo và quan hệ
bao hàm sự đồng nhất. Cho một quan hệ R, điều là tiện lợi, nếu x có quan hệ R với y, để nghĩ về y như là
đạt đến được từ x bởi một “bước−R”
hay một “vectơ−R”. Trong trường hợp tương tự, x sẽ đạt đến được từ y bằng
“bước−R lùi”. Thế nên, chúng ta có thể phát biểu tính chất đặc biệt của những
quan hệ một-nhiều vốn chúng ta đã giải quyết bằng cách nói rằng một bước−R theo
sau một bước−R lùi phải đưa chúng ta trở lại điểm khởi đầu. Với những quan hệ khác, điều này hoàn toàn không xảy
ra; thí dụ, nếu R là quan hệ của con với cha mẹ, thì tích số tương đối của R và
nghịch đảo của nó là quan hệ “bản thân hay anh / chị / em”, và nếu R là quan hệ
của cháu với ông bà, thì tích số tương đối của R và của nó nghịch đảo của nó là
“bản thân hay anh/chị/em hay anh chị em họ có cùng ông bà”. Sẽ thấy rằng tích
số tương đối của hai quan hệ trong tổng quát không có tính chất giao hoán,
tức là tích số tương đối của R và S trong tổng quát thì không là cùng quan hệ
như tích số tương đối của S và R. Nghĩa là tích số tương đối của cha mẹ và anh
em trai là chú, nhưng tích số tương đối của anh em trai và cha mẹ là cha mẹ.
Những quan hệ một-một cho một tương quan của hai lớp, số hạng đối với số
hạng, để mỗi số hạng trong một trong hai lớp có tương quan của nó trong lớp
kia. Những tương quan như vậy dễ nắm bắt nhất khi hai lớp không có phần tử
chung nào, như lớp của những người chồng và lớp của những người vợ; vì trong
trường hợp đó, chúng ta biết ngay liệu một số hạng có được coi như một số hạng
vốn từ đó quan hệ tương quan R đi ra, hay như một số hạng vốn nó đi đến đó.
Thật thuận tiện khi dùng từ cái ám chỉ [15] cho số hạng vốn từ đó quan hệ đi, và
từ cái liên hệ [16] cho số hạng tới đó nó đi đến. Thế nên,
nếu x và y là chồng và vợ, thì đối với quan hệ “chồng”, x là cái ám chỉ và y cái liên hệ, nhưng đối với quan
hệ “vợ”, y là cái liên hệ và x cái
ám chỉ. Chúng ta nói rằng một quan hệ và nghịch đảo của nó có những
“ý nghĩa” đối lập nhau; thế nên “ý nghĩa” của một quan hệ đi từ x đến y là nghịch đảo với quan hệ tương ứng từ y đến x. Sự kiện rằng
một quan hệ có “ý nghĩa” là nền tảng, và là một phần lý do tại sao thứ bậc có
thể được tạo ra bởi những quan hệ thích hợp. Sẽ quan sát thấy rằng lớp của tất
cả những cái ám chỉ có thể có với một quan hệ nhất định là miền của nó,
và lớp của tất cả những dữ cái liên hệ có thể có là miền đảo của nó.
Nhưng rất thường xảy ra rằng miền và miền
đảo của một quan hệ một-một chồng lấn lên nhau. Lấy thí dụ, mười số nguyên
đầu tiên (không gồm 0) và thêm 1 vào mỗi số; thế nên, thay vì mười số nguyên
đầu tiên, chúng ta bây giờ có những số nguyên
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Chúng giống như những số chúng ta đã có trước đây, ngoại trừ 1 đã bị cắt
bỏ ở phần đầu, và 11 cái đã được nối vào ở phần cuối. Vẫn có mười số nguyên:
chúng đều có tương quan với mười số trước đó bằng quan hệ của n với n + 1, là một quan hệ một-một. Hoặc, một lần nữa, thay vì cộng 1
vào mỗi số nguyên trong số mười số nguyên ban đầu của chúng ta, chúng ta có thể
nhân đôi mỗi số đó, thế nên thu được những số nguyên
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Ở đây chúng ta vẫn có năm trong số những set số nguyên trước đó của
chúng ta, đó là 2, 4, 6, 8, 10. Quan hệ tương quan trong trường hợp này là quan
hệ của một số với nhân đôi của nó, lại là một quan hệ một-một. Hay chúng ta có
thể đã thay thế mỗi số bằng bình phương của nó, thế nên thu được set
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
Trong trường hợp này, chỉ còn lại ba số của set ban đầu của chúng ta, đó
là, 1, 4, 9. Những tiến trình của tương quan như vậy có thể thay đổi vô tận.
Trường hợp thu hút chú ý nhất của loại trên là trường hợp trong đó quan
hệ một-một của chúng ta có một miền đảo
vốn là một phần, nhưng không là toàn bộ, của miền. Nếu, thay vì giới hạn miền
trong mười số nguyên đầu tiên, chúng ta đã xem xét toàn bộ của những số quy
nạp, thì những trường hợp trên sẽ minh họa trường hợp này. Chúng ta có thể đặt những số liên quan thành hai hàng, đặt số
tương quan ngay dưới số có tương quan với nó. Thế nên, khi tác động tương quan
là quan hệ của n với n + 1, chúng ta có hai hàng:
1, 2, 3, 4, 5, … n…
2, 3, 4, 5, 6, … n + 1…
Khi tác động tương quan là quan hệ của một số với số gấp đôi của nó,
chúng ta có hai hàng:
1, 2, 3, 4, 5, … n…
2, 4, 6, 8, 10, … 2n…
Khi tác động tương quan là quan hệ của một số với bình phương của nó,
những hàng là:
1, 2, 3, 4, 5, … n…
1, 4, 9, 16, 25, … n2…
Trong tất cả những trường hợp này, tất cả những số quy nạp xảy ra trong
hàng trên cùng và chỉ một số nào đó trong hàng dưới.
Những trường hợp của loại này, trong đó miền đảo là một “phần đúng” [17] của miền (tức là một phần không phải
toàn bộ), sẽ làm chúng ta bận rộn một lần nữa khi chúng ta đi đến giải quyết
vấn đề của vô hạn. Hiện tại, chúng ta chỉ muốn ghi chú rằng chúng tồn tại và
đòi hỏi lưu ý suy nghĩ
Một lớp khác của những tương quan vốn thường rất quan trọng là lớp gọi
là “những hoán vị”, trong đó miền và miền đảo là đồng nhất. Thí dụ, hãy xem xét
sáu cách sắp xếp có thể có của ba chữ cái:
a, b, c
a, c, b
b, c, a
b, a, c
c, a, b
c, b, a
Mỗi sắp xếp này có thể được lấy từ bất kỳ sắp xếp nào trong số những sắp
xếp khác bằng phương tiện của một tương quan. Lấy thí dụ, sắp xếp đầu và cuối, (a,
b, c) và (c, b, a). Ở đây a tương
ứng với c, b với chính nó, và c với a. Rõ ràng là sự kết hợp của hai hoán
vị lại là một hoán vị, tức là những hoán vị của một lớp đã cho tạo thành cái
gọi là một “nhóm”.[18]
Những loại khác nhau này của những tương quan có sự quan trọng trong
những kết nối khác nhau, một số cho một mục đích này, một số cho một mục đích
khác. Khái niệm tổng quát của những tương quan một-một có sự quan trọng vô hạn
trong triết học của toán học, như chúng ta đã thấy một phần, nhưng sẽ thấy đầy
đủ hơn khi chúng ta tiếp tục. Một trong những cách dùng của nó sẽ làm bận rộn
chúng ta trong chương tiếp theo.
CHƯƠNG VI:
Sự Tương Đương Của Những Quan Hệ
Chúng ta đã thấy trong Chương II. rằng
hai lớp có cùng số của những số hạng khi chúng là “tương đương”, tức là khi có một
quan hệ một-một có miền của nó là một lớp và miền đảo của nó là một lớp khác. Trong
một trường hợp loại như vậy, chúng ta nói rằng có một “tương quan một-một” giữa
hai lớp.
Trong chương này, chúng ta phải định
nghĩa một quan hệ giữa những quan hệ, vốn sẽ đóng cùng vai trò cho chúng
vốn sự tương đương của những lớp đóng vai trò cho những lớp. Chúng ta sẽ gọi
quan hệ này là “sự tương đương của những quan hệ” hay “sự giống nhau” khi có vẻ
là đáng mong muốn để dùng một từ khác biệt với từ vốn chúng ta dùng cho những
lớp. Sự giống nhau được định nghĩa thế nào?
Chúng ta sẽ vẫn dùng khái niệm về tương
quan: chúng ta sẽ giả định rằng miền của một quan hệ có thể là tương ứng
với miền của quan hệ kia, và miền đảo
với miền đảo; nhưng thế đó thì không
đủ cho loại của sự giống nhau vốn chúng ta muốn có giữa hai quan hệ của chúng
ta. Những gì chúng ta muốn, là hễ khi nào có quan hệ nào giữ giá trị giữa hai
số hạng, quan hệ kia sẽ giữ giá trị giữa những tương quan của hai số hạng này. Thí dụ đơn giản nhất về loại sự việc
chúng ta muốn là một bản đồ. Khi một địa điểm thì ở phương bắc của một địa điểm
kia, địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm thì ở bên trên địa điểm trên
bản đồ tương ứng với địa điểm kia; khi một địa điểm thì ở phương tây của một
địa điểm kia, địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm đó thì ở bên trái của
địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm kia; và tiếp tục như thế. Cấu trúc
của bản đồ tương ứng với cấu trúc của quốc gia vốn nó là một bản đồ. Những quan
hệ không gian trong bản đồ có “sự giống nhau” với những quan hệ không gian
trong quốc gia được vẽ bản đồ. Nó là loại kết nối này giữa những quan hệ vốn
chúng ta muốn để định nghĩa.
Trước hết, chúng ta có thể có lợi để để
đưa vào một hạn chế nhất định. Chúng ta sẽ tự giới hạn, trong việc định nghĩa
sự giống nhau, với những quan hệ loại như có những “trường”, tức là, với những
quan hệ cho phép của sự hình thành của một lớp duy nhất từ ngoài của miền và miền đảo. Điều này thì không là luôn
luôn là trường hợp xảy ra. Lấy thí
dụ, quan hệ “miền”, tức là quan hệ vốn miền của một quan hệ có với quan hệ.
Quan hệ này có tất cả những lớp cho miền của nó, vì mọi lớp là miền của một số
quan hệ; và nó có tất cả những quan hệ cho miền
đảo của nó, vì mọi quan hệ có một miền. Nhưng những lớp và những quan hệ
không thể cộng vào nhau để hình thành một lớp duy nhất mới, vì chúng đều thuộc
những “kiểu” lôgích [19] khác nhau. Chúng ta không cần phải đi vào học thuyết khó khăn về những kiểu,
nhưng là điều tốt để biết khi chúng ta tránh đi vào nó. Chúng ta có thể nói, với không bắt đầu
trên những nền tảng cho sự khẳng định, rằng một quan hệ chỉ có một “trường” khi
nó là những gì vốn chúng ta gọi là “thuần nhất” [20], tức là khi miền của nó và miền đảo đều có cùng kiểu lôgích; và như
một chỉ định thô sơ-và-tiện-dùng của những gì chúng ta nói có nghĩa là
một “kiểu”, chúng ta có thể nói rằng những cá nhân, những lớp của những cá
nhân, những quan hệ giữa những cá nhân, những quan hệ giữa những lớp, những
quan hệ giữa những lớp với những cá nhân, v.v., đều là những kiểu khác nhau. Giờ
đây, khái niệm về sự giống nhau thì không tiện lợi lắm khi áp dụng với những
quan hệ vốn chúng là không thuần nhất; Thế nên, khi định nghĩa sự giống nhau,
chúng ta sẽ đơn giản hóa vấn đề của chúng ta bằng việc nói về “trường” của một
của những quan hệ trong vấn đề. Điều này phần nào giới hạn tính tổng quát của
định nghĩa của chúng ta, nhưng sự giới hạn thì không có quan trọng nào trong
thực tiễn. Và sau khi được phát biểu, nó thôi không cần ghi nhớ nữa.
Chúng ta có thể định nghĩa hai quan hệ P và Q như “tương tự” hay như có
“sự giống nhau”, khi có một quan hệ một-một S có miền là trường của P, và có miền đảo là trường của Q, và nó như vậy
khiến rằng, nếu một số hạng có quan hệ P với một số hạng khác, thì tương ứng
của số hạng có quan hệ Q với tương ứng của số hạng kia, và ngược lại.
Một hình vẽ sẽ làm điều này rõ ràng hơn.
Gọi x và y là hai số hạng có quan hệ P. Sau đó có hai số hạng z,
w, sao cho x có quan hệ S với z,
y có quan hệ S với w và z có quan hệ Q với w. Nếu điều này xảy
ra với mọi cặp số hạng giống như x và y, và nếu sự việc ngược lại xảy ra với
mọi cặp số hạng giống như z và w, thì
rõ ràng rằng cho tất cả những trường hợp trong đó quan hệ P giữ, đều có một
trường hợp tương ứng trong đó quan hệ Q giữ, và ngược lại; và đây là
những gì chúng ta ước muốn để bảo đảm qua định nghĩa của chúng ta. Chúng ta có
thể loại bỏ một vài dư thừa trong phác thảo ở trên về một định nghĩa, bằng việc
quan sát rằng, khi những điều kiện trên được thực hiện, quan hệ P thì cũng là
một giống như tích số tương đối của S và Q và nghịch đảo của S, tức là bước − P
từ x đến y có thể được thay thế bằng sự kế tục của bước − S từ x đến z, bước − Q từ z đến w và bước − S lùi từ w đến y. Thế nên, chúng ta có thể thiết lập những định nghĩa sau: −
Một quan hệ S được nói là một “tác động tương quan” [21] hay một “tác động tương quan thứ bậc”
của hai quan hệ P và Q nếu S là một-một, có trường Q cho miền đảo của nó, và
sao cho P là tích số tương đối của S và Q và nghịch đảo của S.
Hai quan hệ P và Q được nói là “tương tự” hay có “sự giống nhau”, khi có
ít nhất một tác động tương quan của P và Q.
Những định nghĩa này sẽ được tìm thấy để mang lại những gì chúng ta ở
trên đã quyết định là cần thiết.
Sẽ tìm thấy rằng, khi hai quan hệ là tương đương, chúng chia sẻ tất cả
những thuộc tính vốn không tùy thuộc trên những số hạng thực sự trong những
trường của chúng. Thí dụ, nếu một quan hệ bao hàm sự đa dạng thì quan hệ kia
cũng vậy; nếu một quan hệ là bắc cầu, thì quan hệ kia cũng vậy; nếu một quan hệ
là được kết nối, quan hệ kia cũng vậy.
Thế nên nếu một quan hệ là nối tiếp, thì quan hệ kia cũng vậy. Một lần nữa, nếu một quan hệ là
một-nhiều hay một-một, thì quan hệ kia là một-nhiều hay một-một; và tiếp tục
như vậy, qua tất cả những thuộc tính tổng quát của những quan hệ. Ngay cả những
phát biểu gồm những số hạng thực sự của trường của một quan hệ, mặc dù chúng có
thể không đúng như chúng đại diện, khi áp dụng cho một quan hệ tương đương, sẽ
luôn luôn có khả năng của chuyển dịch vào thành những phát biểu vốn đều là
tương tự. Chúng ta được những cân nhắc như vậy dẫn đến một vấn đề vốn trong
triết học toán học, có một sự quan trọng cho đến nay vẫn đã chưa được nhìn nhận
thích đáng. Vấn đề của chúng ta có thể được phát biểu như sau: −
Đem cho một số phát biểu nào đó trong một ngôn ngữ vốn chúng ta biết ngữ
pháp và cú pháp của nó, nhưng không biết từ vựng, thì những ý nghĩa có thể có
của một phát biểu giống như vậy là gì, và những ý nghĩa của những từ không biết
vốn sẽ làm nó đúng là gì?
Lý do khiến câu hỏi này là quan trọng là nó trình bày, gần như rất nhiều
hơn là có thể đã được giả định, tình trạng của kiến thức của chúng ta về tự nhiên. Chúng ta biết rằng những
mệnh đề khoa học nhất định – vốn
trong những ngành khoa học tiến bộ nhất, đều được diễn
tả trong những ký hiệu toán học – đều ít nhiều đúng thực với thế giới, nhưng chúng ta rất
bối rối về phần diễn giải để nói về những số hạng vốn xuất hiện trong những mệnh đề này. Chúng ta biết rất nhiều (tạm thời
lúc này, để dùng một cặp từ ngữ cổ lỗ) về hình thức của tự nhiên hơn là về nội
dung. Theo đó, những gì chúng ta thực sự biết khi chúng ta nói ra một luật
của tự nhiên thì chỉ là rằng có lẽ có một số giải thích nào đó của những
số hạng của chúng ta vốn sẽ làm cho luật gần đúng
thực. Thế nên, quan trọng lớn gắn với câu hỏi: Những gì
là ý nghĩa có thể có của một luật được diễn
tả trong những số hạng vốn chúng ta không biết ý nghĩa thực chất nội dung,
nhưng chỉ biết ngữ pháp và cú pháp? Và câu hỏi này là một câu hỏi đã nêu ở trên.
Cho lúc này, chúng ta sẽ làm ngơ câu hỏi tổng quát, vốn sẽ làm chúng ta
bận rộn ở một giai đoạn sau; bản thân đề tài của sự giống nhau trước tiên phải
được thăm dò thêm.
Nhờ vào sự kiện rằng, khi hai quan hệ là tương đương, những thuộc tính của
chúng đều giống như nhau ngoại trừ khi chúng tùy thuộc trên những trường được
cấu tạo bởi chỉ những số hạng vốn chúng được hợp thành, nên có một hệ ký hiệu
vốn tụ hợp với nhau tất cả những quan hệ vốn là tương đương với một quan hệ đã
cho. Cũng đúng như chúng ta đã gọi set của những lớp đó vốn chúng đều là tương
đương với một lớp đã cho là “số” của lớp đó, vì vậy chúng ta có thể gọi set của
tất cả những quan hệ vốn đều là tương đương với một quan hệ đã cho là “số” của
quan hệ đó. Nhưng để tránh lẫn lộn với những số thích ứng với những lớp, trong
trường hợp này, chúng ta sẽ nói về một “số quan hệ” [22]. Thế nên, chúng ta có những định nghĩa
sau: −
“Số-quan hệ” của một quan hệ đã cho là lớp của tất cả những quan hệ đó
vốn chúng đều là tương đương với quan hệ đã cho.
“Những số-quan hệ” là set của tất cả những lớp đó của những quan hệ vốn
là những − số-quan hệ của những quan hệ khác nhau; hoặc, những gì đi đến cùng
một sự việc, một số-quan hệ là một lớp của những quan hệ gồm tất cả những quan
hệ đó vốn đều tương đương với một phần tử của lớp.
Khi là điều cần thiết để nói về những số của những lớp trong một cách
không thể gây nhầm lẫn chúng với những số-quan hệ, chúng ta sẽ gọi chúng là
“những số đếm” [23]. Thế nên, những số đếm là những
số dành riêng với những lớp. Chúng gồm những số nguyên thông thường của đời
sống hàng ngày và cả những số vô hạn nhất định, chúng ta sẽ nói sau về chúng.
Khi chúng ta nói về “những con số” nhưng không định rõ tính chất, chúng ta hiểu
là những số đếm. Định nghĩa của một số đếm, nó sẽ được ghi nhớ, như sau:
−
“Số đếm” của một lớp đã cho là set của tất cả những lớp đó vốn đều là
tương tự với lớp đã cho.
Ứng dụng hiển nhiên nhất của những số-quan hệ là với chuỗi. Hai
chuỗi có thể được coi là dài bằng nhau khi chúng có cùng số-quan hệ. Hai chuỗi hữu
hạn sẽ có cùng số-quan hệ khi những trường của chúng có cùng số đếm của
những số hạng, và chỉ khi đó – tức là
một chuỗi (hãy nói thí dụ) 15 số hạng sẽ có cùng số-quan hệ như bất kỳ chuỗi
nào khác của mười lăm số hạng, nhưng sẽ không có cùng số-quan hệ như một chuỗi
của 14 hay 16 số hạng, Dĩ nhiên cũng không cùng số-quan hệ như một quan hệ
không là nối tiếp. Như vậy, trong trường hợp khá đặc biệt của chuỗi số
hữu hạn, có sự song song giữa những con số đếm và những số-quan hệ. Những số-quan
hệ áp dụng cho chuỗi có thể gọi là “số định-vị-trí “ [24] (những gì thường gọi là “số thứ tự” là
một lớp-con của chúng) [25]; thế nên, một số định-vị-trí hữu hạn
thì được định nghĩa khi chúng ta biết số đếm của những số hạng trong trường của
một chuỗi có số định-vị-trí trong vấn đề. Nếu n là một số đếm hữu hạn, số-quan hệ của một chuỗi có n số hạng gọi là số “thứ tự” n.
(Cũng có những số thứ tự vô hạn, nhưng chúng ta sẽ nói ở chương sau). Khi số
đếm của những số hạng trong trường của một chuỗi là vô hạn, số liên hệ của
chuỗi thì không được định nghĩa chỉ bởi số đếm, quả thực là có một số vô hạn
của những số-quan hệ cho một số đếm vô hạn, như chúng ta sẽ thấy khi chúng ta
đi đến xem xét những chuỗi vô hạn. Khi một chuỗi là vô hạn, cái vốn chúng ta có
thể gọi “độ dài” của nó, tức là số-quan hệ của nó, có thể thay đổi với không
biến đổi trong số đếm; nhưng khi một chuỗi là hữu hạn, điều này không thể xảy
ra.
Chúng ta có thể định nghĩa phép cộng và phép nhân cho những số-quan hệ
cũng như cho những số đếm, và một số học toàn phần của những số-quan hệ có thể
được phát triển. Cách thức trong đó điều này có thể làm được thì dễ dàng thấy
được bằng việc xem xét trường hợp của những chuỗi. Thí dụ, giả định rằng chúng
ta muốn định nghĩa tổng số của hai chuỗi không trùng lập trong một lối khiến
số-quan hệ của tổng số sẽ có thể định nghĩa được như tổng số của những số-quan
hệ của hai chuỗi. Ngay từ đầu, rõ ràng là có một thứ bậc đã bao gồm, như giữa
hai chuỗi: một trong chúng phải là đặt trước chuỗi kia. Vì vậy, nếu P và Q là
những quan hệ tạo thành của hai chuỗi, trong chuỗi vốn nó là tổng số của chúng
với P đặt trước Q, thì mọi phần tử của trường của P sẽ đứng trước mọi phần tử
của trường của Q. Thế nên, quan hệ nối tiếp vốn được định nghĩa như tổng số của
P và Q thì không chỉ đơn giản “P hay Q”, nhưng là “P hay Q hay quan hệ của bất
kỳ phần tử nào trong trường của P với bất kỳ phần tử nào trong trường của Q”.
Giả định rằng P và Q không trùng lập nhau, quan hệ này là nối tiếp, nhưng “P
hay Q” thì không nối tiếp,là không kết nối, vì nó không giữ giá trị giữa một
phần tử của trường của P và một phần tử của trường của Q. Vì vậy, tổng số của P
và Q, như đã định nghĩa ở trên, là những gì chúng ta cần ngõ hầu để định nghĩa
tổng số của hai số-quan hệ. Những sửa đổi tương tự là cần thiết cho những tích
số và những lũy thừa. Kết quả số học không tuân theo luật giao hoán: tổng số
hay tích số của hai số-quan hệ thường tùy thuộc trên thứ bậc vốn trong đó chúng
đã được lấy. Nhưng nó tuân theo luật kết hợp, một dạng của luật phân phối và
hai trong số những luật chính thức cho lũy thừa, không chỉ áp dụng cho số
định-vị-trí nhưng còn áp dụng cho những số-quan hệ trong tổng quát. Thực ra,
số học quan hệ, [26] mặc dù mới đây, là một nhánh của toán
học hoàn toàn đáng trọng.
Điều phải không được giả định, chỉ đơn thuần vì những chuỗi đem cho ứng
dụng hiển nhiên nhất của ý tưởng của sự giống nhau, rằng không có ứng dụng nào
khác là quan trọng. Chúng ta đã nhắc đến đến những bản đồ, và chúng ta có thể
mở rộng suy nghĩ của chúng ta từ minh họa này trong tổng quát sang hình học.
Nếu hệ thống của những quan hệ trong đó một hình học thì được áp dụng cho một
set nhất định nào đó của những số hạng có thể được đưa hoàn toàn vào trong
những quan hệ của sự giống nhau với một hệ thống áp dụng cho một set khác của
những số hạng, khi đó hình học của hai set đó thì không thể phân biệt được theo
quan điểm toán học, tức là tất cả những mệnh đề đều giống như nhau, ngoại trừ
sự kiện rằng chúng được áp dụng trong một trường hợp cho một set của những số
hạng và trong một trường hợp khác cho một set khác của những số hạng. Chúng ta
có thể minh họa điều này bằng những quan hệ của loại có thể gọi là một “giữa”,
vốn chúng ta đã xem xét trong Chương IV. Ở đó, chúng ta đã thấy rằng, với điều
kiện một quan hệ ba-số-hạng có một số thuộc tính lôgích hình thức nhất định, nó
sẽ tạo ra chuỗi và có thể gọi là “quan hệ-giữa”. Cho hai điểm bất kỳ, ta có thể
dùng quan hệ-giữa để định nghĩa đoạn thẳng xác định bởi hai điểm đó; nó gồm a và
b cùng với tất cả những điểm x, sao cho quan hệ-giữa giữ giá trị giữa ba
điểm a, b, x theo thứ bậc nào đó hay
khác. Đã được O. Veblen cho thấy rằng chúng ta có thể coi toàn bộ không gian
của chúng ta như trường của quan hệ ba-số-hạng quan hệ-giữa, và định nghĩa hình
học của chúng ta bằng những thuộc tính vốn chúng ta gán cho quan hệ-giữa của
chúng ta.[27] Giờ đây, sự giống nhau thì đúng là
cũng dễ dàng có thể định nghĩa giữa những quan hệ ba-số-hạng như giữa những
quan hệ hai − số − hạng. Nếu B và B ‘là hai quan hệ-giữa, thế nên “xB (y, z)” có nghĩa là “x thì giữa y và z, đối với B”, chúng ta sẽ gọi S là một tác động tương quan của B
và B’, nếu nó có trường của B’ cho miền đảo của nó, và sao cho quan hệ B giữ
giá trị giữa ba số hạng khi B’ giữ giá trị giữa những tương quan S của chúng,
và chỉ khi đó. Và chúng ta sẽ nói rằng B thì giống B’ khi có ít nhất một tác
động tương quan của B với B’. Người đọc có thể dễ dàng tự thuyết phục rằng, nếu
B thì giống B’ theo nghĩa này, không thể có sự khác biệt giữa hình học được B
tạo ra và hình học được B’ tạo ra.
Từ điều này dẫn đến rằng, nhà toán học không cần tự mình quan tâm với
hiện hữu cụ thể hay bản chất nội tại của những điểm, đường thẳng và mặt phẳng
của ông, ngay cả khi ông đang suy đoán như một nhà toán học ứng dụng. Chúng ta
có thể nói rằng có bằng chứng thực nghiệm về sự thực gần đúng của những phần
như vậy của hình học như đều không là những vấn đề của định nghĩa. Nhưng không
có bằng chứng thực nghiệm nào về phần một “điểm” là gì. Nó phải là một gì đó
vốn cũng gần như thỏa mãn được càng nhiều càng tốt những tiên đề của chúng ta
nhưng nó không nhất thiết phải “rất nhỏ” hay “không có những phần”. Không biết
có phải nó là những điều đó hay không là một vấn đề không có khác biệt quan
trọng, miễn là nó thỏa mãn những tiên đề. Nếu chúng ta có thể, từ vật liệu thực
nghiệm, xây dựng một cấu trúc lôgích, bất kể phức tạp đến mức nào, vốn nó sẽ
thỏa mãn những tiên đề hình học của chúng ta, thì cấu trúc đó có thể gọi là một
“điểm” một cách hợp lôgích. Chúng ta phải không nói rằng không có gì khác có
thể gọi là “điểm” một cách hợp lôgích; chúng ta chỉ phải nói: “Đối tượng này
vốn chúng ta đã xây dựng là đủ cho nhà hình học; nó có thể là một trong nhiều
đối tượng, bất kỳ một nào của chúng tất sẽ là đủ, nhưng điều đó không là sự
quan tâm của chúng ta, vì đối tượng này đủ để chính đáng chứng minh sự đúng
thực thực nghiệm của hình học, trong chừng mực hình học không là một vấn đề của
định nghĩa”. Đây chỉ là một minh họa của nguyên lý chung rằng những gì quan
trọng trong toán học, và ở một mức độ rất lớn trong khoa học vật lý, không là
bản chất nội tại của những số hạng của chúng ta, nhưng là bản chất lôgích của
những quan hệ qua lại giữa chúng.
Chúng ta có thể nói, về hai quan hệ tương đương, rằng chúng có cùng một
“cấu trúc”. Cho những mục đích toán học (mặc dù không cho những mục đích đó của
triết học thuần túy), điều quan trọng duy nhất về một quan hệ là những trường
hợp trong đó nó giữ, không phải bản chất nội tại của nó. Cũng giống như một lớp
có thể được định nghĩa bằng nhiều khái niệm khác nhau nhưng đồng mở rộng – thí dụ “người” và “không lông đi hai
chân” —vì vậy hai quan hệ khác nhau về mặt khái niệm có thể giữ giá trị trong
cùng một set của những trường hợp. Một “cá biệt” trong đó một quan hệ giữ giá
trị thì được coi như một cặp của số hạng, trong đó một thứ bậc, sao cho một
trong những số hạng đứng trước và số hạng kia thứ hai; Dĩ nhiên, cặp phải là,
sao cho số hạng đầu tiên của nó có quan hệ trong vấn đề với số hạng thứ hai của
nó. Lấy (hãy nói thí dụ) quan hệ “cha”: chúng ta có thể định nghĩa những gì vốn
chúng ta có thể gọi là “mở rộng” của quan hệ này là lớp của tất cả những cặp có
thứ bậc (x, y) sao cho x là
người cha của y. Từ quan điểm toán
học, điều quan trọng duy nhất về quan hệ “cha” là nó định nghĩa set của những
cặp có thứ bậc này. Trong tổng quát, chúng
ta nói:
“Mở rộng” của một quan hệ là lớp của những cặp có thứ bậc (x, y) đó,
sao cho x có quan hệ trong xem xét
với y.
Bây giờ, chúng ta có thể đi thêm một bước xa hơn trong tiến trình của
trừu tượng hóa và suy nghĩ xem chúng ta nói “cấu trúc” với nghĩa là gì. Đem cho
bất kỳ quan hệ nào, chúng ta có thể, nếu nó là một quan hệ đủ đơn giản, xây
dựng một bản đồ của nó. Để xác định được rõ ràng, chúng ta hãy lấy một quan hệ
vốn mở rộng của nó là những cặp sau: ab, ac, ad, bc, ce, dc, de, trong
đó a, b, c, d, e là năm số hạng, bất kể là gì. Chúng ta có thể làm một
“bản đồ” của quan hệ này, bằng lấy năm điểm trên một mặt phẳng và nối chúng với
nhau bằng những mũi tên, như trong hình bên dưới. Những gì bản đồ biểu lộ là
những gì chúng ta gọi là “cấu trúc” của quan hệ.
Điều là rõ ràng rằng “cấu trúc” của quan hệ không tùy thuộc trên những
số hạng cụ thể vốn làm thành trường của quan hệ. Trường có thể được thay đổi
nhưng không thay đổi cấu trúc, và cấu trúc có thể được thay đổi nhưng không
thay đổi trường – thí dụ, nếu chúng
ta đã thêm cặp ae trong hình minh họa trên, chúng ta tất đã thay đổi cấu
trúc nhưng không thay đổi trường. Hai quan hệ có cùng một “cấu trúc”, chúng ta
sẽ nói, khi cùng một bản đồ sẽ làm được cho cả hai – hoặc, những gì xảy ra với cùng một điều, khi một nào cũng có thể
là một bản đồ cho một kia (vì mỗi quan hệ có thể là bản đồ của chính nó). Và
điều đó, vì sự hồi tưởng của một khoảnh khắc cho thấy, chính là cùng một điều
vốn chúng ta gọi là “sự giống nhau”. Đó la để nói, hai quan hệ có cùng một cấu
trúc khi chúng có sự giống nhau, tức là khi chúng có cùng số-quan hệ. Vì vậy,
những gì chúng ta định nghĩa như “số-quan hệ” thì chính là cùng một sự việc như
đã được từ “cấu trúc”có ý định làm khó hiểu —một từ vốn, quan trọng như nó, thì
chưa bao giờ (cho đến nay như chúng ta biết) được những người dùng nó định
nghĩa trong những số hạng chính xác.
Đã có một lượng lớn của suy đoán trong triết học truyền thống vốn có thể
đã tránh được nếu sự quan trọng của cấu trúc, và sự khó khăn của việc ủng hộ
nó, được nhìn nhận. Thí dụ, người ta thường nói rằng không gian và thời gian
đều là chủ quan, nhưng chúng có những đối xứng tương ứng [28] khách quan; hay những hiện tượng là
chủ quan, nhưng gây nên bởi những sự vật việc trong tự thân chúng, vốn phải có
những khác biệt giữa và trong chính những sự vật việc tương ứng với
những khác biệt trong những hiện tượng vốn chúng làm cho xảy ra. Ở những nơi
vốn những giả thuyết như vậy được đưa ra, điều được giả định tổng quát rằng
chúng ta có thể biết rất ít về những đối xứng tương ứng khách quan. Tuy nhiên,
trong thực tại, nếu những giả thuyết như đã phát biểu là đúng, thì những đối xứng
tương ứng khách quan sẽ tạo thành một thế giới có cùng cấu trúc giống như thế
giới hiện tượng, và cho chúng ta có khả năng từ những hiện tượng suy luận ra sự
thực của tất cả những mệnh đề có thể được phát biểu trong những số hạng trừu
tượng và được biết là đúng với những hiện tượng. Nếu thế giới hiện tượng có ba
chiều, thì thế giới đằng sau hiện tượng cũng phải vậy; nếu thế giới hiện tượng
là như Euclide, thì thế giới khác cũng phải thế; và tiếp tục như thế.
Nói ngắn gọn, mọi mệnh đề có một ý nghĩa truyền đạt được phải là đúng với cả
hai thế giới hay không đúng với thế giới nào cả: sự khác biệt duy nhất phải nằm
trong đúng yếu tính đó của tính cá nhân vốn luôn luôn tránh né những từ ngữ và
sự mô tả rối rắm, nhưng vì chính lý do đó, nó thì không can dự với khoa học.
Bây giờ, mục đích duy nhất vốn những triết gia có đối tượng trong não thức
trong việc lên án những hiện tượng là nhắm để thuyết phục chính họ và những
người khác rằng thế giới thực thì rất khác với thế giới của hiện ra bên ngoài.
Chúng ta có thể tất cả đều có thiện cảm với mong ước của họ để chứng minh một cách
làm rất đáng mong ước như vậy, nhưng chúng ta không thể chúc mừng họ về sự
thành công của họ. Đúng là nhiều người trong số họ không khẳng định những đối
xứng tương ứng khách quan với những hiện tượng, và những điều này thoát khỏi
lập luận trên. Những người có khẳng định những đối xứng tương ứng, như một qui
luật, rất dè dặt kín tiếng về đề tài này, có lẽ vì họ trực giác cảm thấy rằng,
nếu theo đuổi, nó sẽ gây nên quá nhiều của một quan hệ mật thiết giữa
thế giới thực và thế giới hiện tượng. Nếu họ theo đuổi đề tài, họ khó có thể
tránh khỏi những kết luận vốn chúng ta đã nêu ra. Trong những cách như vậy,
cũng như trong nhiều cách khác, khái niệm về cấu trúc hay số-quan hệ thì quan
trọng.
Lê Dọn Bàn
tạm dịch – bản nháp thứ nhất
(Aug/2021)
http://chuyendaudau.blogspot.com/
http://chuyendaudau.wordpress.com
[1] the serial character
[2] order: sắp
xếp, phân bối theo một quan hệ nào đó (lớn, nhỏ; cao, thấp; trước sau), có thể
hiểu là trật tự, thứ tự như vẫn đã dich (toán học), nhưng ở đây tôi dùng ‘ thứ
bậc’ với nghĩa tổng quát (triết học)
[3] logical terms: thuật ngữ lôgích: như trong tam đoạn luận (syllogistic) của Aristotle.
Những thuật ngữ lôgích này chỉ đơn giản gồm
những từ: ‘tất cả’, ‘một vài, ‘không, ‘không là, và ‘là/đều là’, dùng trong suy
luận diễn dịch.
[4] asymmetrical
[5] transitive
[6] connected
[7]
[ Thuật
ngữ này là do C.S. Peirce.] aliorelative: Irreflexive= không phản xạ
aliorelative = alius+ relative: do đó
có nghĩa là một quan hệ mà các số hạng chỉ liên quan với những số hạng khác. Có
thể dịch là ‘chỉ-với-khác-nó’, nhưng ở đây, tôi nghĩ dùng không-phản xạ
cũng đủ rõ nghĩa.
[8] mutually independent
[9] proper fraction
[10]
open series/cyclic series
[11] [Cf. Rivista di Matematica,
iv. pp. 55ff.; Principles of Mathematics, p. 394 (§375).]
[12] [Xem Nguyên lý của Toán học, tr. 205 (§194),
và những tài liệu tham khảo được đưa ra ở đó.]
[13] logical fictions
[14] “the R of
x”
[15] referent
[16] relatum
[17] proper part
[18] a is correlated with c = a tương ứng với c
[19] logical types
[20] homogeneous
[21] correlator: tác động tương quan
[22] relation-number: Số-quan hệ
[23] cardinal numbers: những số đếm
[24] serial number: số định-vị-trí
trong chuỗi, số định-vị-trí
[25] ordinal numbers: những số thứ tự;
sub-class: lớp-con
[26] relation-arithmetic
[27] [Điều này không áp dụng cho không gian ellip vốn chỉ áp dụng cho những
không gian trong đó đường thẳng là một chuỗi mở. Modern Mathematics/Toán học hiện đại, JWA Young biên tập, trang 3–51 (chuyên khảo của O.
Veblen về “The
Foundations of Geometry/Những Nền tảng của Hình học”)]
[28] counterparts
