Thursday, September 9, 2021

Russell - Đưa vào Triết học Toán học (02)

Introduction to Mathematical Philosophy

Đưa vào Triết học Toán học

 Bertrand Russell 

 

(←...tiếp theo)

 

 


CHƯƠNG IV:

Định Nghĩa Của Thứ Bậc

 

Bây giờ chúng ta đã thực hiện phân tích của chúng ta về chuỗi của những số tự nhiên đến điểm ở đó chúng ta đã có được những định nghĩa lôgích về những phần tử của chuỗi này, của lớp toàn bộ của những phần tử của nó và của sự liên quan của một số với số tiếp sau trực tiếp của nó. Bây giờ chúng ta phải xem xét đặc tính nối tiếp [1] của những số tự nhiên trong thứ bậc 0, 1, 2, 3, … Thông thường, chúng ta nghĩ về những số theo thứ bậc [2] này và đó là một phần thiết yếu của công việc phân tích dữ liệu của chúng ta để tìm một định nghĩa về “thứ bậc” hay “chuỗi” theo những thuật ngữ lôgích.

 

Ý niệm của thứ bậc là một khái niệm vốn có sự quan trọng vô cùng lớn lao trong toán học. Không chỉ những số nguyên, nhưng cũng cả những phân số hữu tỉ và tất cả những số thực đều có một thứ bậc của độ lớn, và điều này là thiết yếu với hầu hết những thuộc tính toán học của chúng. Thứ bậc của những điểm trên một đường thẳng là thiết yếu với hình học; cũng như thế là thứ bậc hơi phức tạp hơn của những đường thẳng qua một điểm trong một mặt phẳng hay của những mặt phẳng qua một đường thẳng. Những kích thước, trong hình học, đều là một phát triển của thứ bậc. Khái niệm của một giới hạn, vốn làm nền tảng cho tất cả những toán học bậc cao hơn, là một khái niệm nối tiếp. Có những phần của toán học không tùy thuộc trên ý niệm của thứ bậc, nhưng chúng rất ít khi so với những phần trong đó có bao gồm khái niệm này.

 

Trong việc tìm kiếm một định nghĩa của thứ bậc, điều đầu tiên để hiểu rõ là không set của những số hạng nào có chỉ một thứ bậc với sự loại trừ của những thứ bậc khác. Một set của những số hạng có tất cả những thứ bậc vốn nó có khả năng với những thứ bậc đó. Đôi khi một thứ bậc thì quá nhiều quen thuộc và tự nhiên với những suy nghĩ của chúng ta khiến chúng ta có khuynh hướng để nhìn nó như cái thứ bậc của set đó gồm những số hạng; nhưng đây là một sai lầm. Những số tự nhiên – hay những số “quy nạp”, như chúng ta sẽ cũng gọi chúng – xảy ra với chúng ta sẵn sàng sàng nhất trong thứ bậc của độ lớn; nhưng chúng có khả năng của một số vô hạn của những cách sắp xếp khác. Thí dụ, chúng ta có thể suy nghĩ trước tiên tất cả những số lẻ, và sau đó tất cả những số chẵn; hay đầu tiên là 1, sau đó là tất cả những số chẵn, sau đó đến tất cả những bội số lẻ của 3, sau đó là tất cả những bội số của 5 nhưng không của 2 hay 3, sau đó là tất cả những bội số của 7 nhưng không của 2 hay 3 hay 5, v.v. tiếp tục như thế qua toàn bộ chuỗi của những số nguyên tố. Khi chúng ta nói rằng chúng ta “sắp xếp” những con số theo những thứ bậc khác nhau này, đó là một diễn đạt không chính xác: những gì chúng ta thực sự làm là quay sự chú ý của chúng ta sang những quan hệ nhất định giữa những số tự nhiên, vốn tự chúng tạo ra một sự sắp xếp như-vậy-và-như-vậy. Chúng ta không thể “sắp xếp” những con số tự nhiên hơn là chúng ta có thể làm thế với bầu trời đầy sao; nhưng đúng như chúng ta có thể ghi nhận giữa những vì sao cố định hoặc là thứ bậc độ sáng của chúng hoặc là sự phân phối của chúng trên bầu trời, thế nên, có nhiều quan hệ khác nhau giữa những con số vốn có thể được quan sát và vốn làm xảy ra nhiều thứ bậc khác nhau giữa những con số, tất cả đều hợp lôgich như nhau. Và những gì là đúng của những con số thì cũng đúng ngang bằng như thế của những điểm trên một đường thẳng hay của những khoảnh khắc của thời gian: một thứ bậc thì quen thuộc hơn, nhưng những thứ bậc khác đều có giá trị ngang nhau. Thí dụ, chúng ta có thể đầu tiên, lấy trên một đường thẳng, tất cả những điểm vốn chúng có những tọa độ tích phân, sau đó là tất cả những điểm có tọa độ hữu tỷ không tích phân, sau đó là tất cả những điểm có tọa độ đại số không hữu tỷ, và tiếp tục như vậy, qua bất kỳ set của những phức tạp nào tùy ý thích chúng ta. Thứ bậc kết quả sẽ là một thứ bậc vốn những điểm của đường thẳng chắc chắn có, cho dù chúng ta có chọn để ghi nhận nó hay không; điều duy nhất là tùy tiện về những thứ bậc khác nhau của một set của những số hạng là sự chú ý của chúng ta, vì bản thân những số hạng luôn luôn có tất cả những thứ bậc vốn chúng có khả năng.

 

Một kết quả quan trọng của suy xét này là chúng ta phải không tìm định nghĩa của thứ bậc trong bản chất của set của những số hạng được xếp thứ bậc, vì một set của những số hạng có nhiều thứ bậc. Thứ bậc không nằm trong lớp của những số hạng, nhưng trong một quan hệ giữa những phần tử của lớp, nhìn về mặt của chúng, một số nào đó xuất hiện như sớm hơn và một số nào đó như muộn hơn. Sự kiện rằng một lớp có thể có nhiều thứ bậc là do sự kiện rằng có thể có nhiều những quan hệ giữ giữa những phần tử của một lớp duy nhất. những thuộc tính gì một quan hệ phải có để làm nảy sinh một thứ bậc ?

 

Những đặc điểm thiết yếu của một quan hệ vốn để làm nảy sinh thứ bậc có thể được tìm ra bằng việc suy xét rằng nhìn về mặt một quan hệ như vậy, chúng ta phải có khả năng để nói, trong hai số hạng bất kỳ trong lớp vốn để được sắp xếp thứ bậc, rằng một “đứng trước” và một kia “theo sau”. Bây giờ, ngõ hầu rằng chúng ta có khả năng để dùng những từ này theo cách trong đó chúng ta sẽ hiểu chúng một cách tự nhiên, chúng ta đòi hỏi rằng quan hệ thứ bậc sẽ có ba thuộc tính:

 

(1) Nếu x đứng trước y, y phải không trước x. Đây là một đặc tính hiển nhiên của loại quan hệ vốn dẫn đến chuỗi. Nếu x ít/kém/nhỏ hơn y thì y cũng không ít/kém/nhỏ hơn x. Nếu x sớm hơn y thì y cũng không sớm hơn x. Nếu x ở bên trái của y thì y không ở bên trái của x. Về mặt khác, những quan hệ vốn không làm xảy ra chuỗi thường không có thuộc tính này. Nếu x là anh / chị / em của y thì y là anh / chị / em của x. Nếu x có cùng chiều cao với y thì y có cùng chiều cao với x. Nếu x có chiều cao khác y thì y có chiều cao khác với x. Trong tất cả những trường hợp này, khi quan hệ giữ giữa x y, nó cũng giữ giữa y x. Nhưng với những quan hệ nối tiếp một sự việc như vậy không thể xảy ra. Một quan hệ có thuộc tính đầu tiên này gọi là không-đối xứng.[3]

 

(2) Nếu x đứng trước y y đứng trước z, x phải đứng trước z. Điều này có thể được minh họa bằng cùng những trường hợp như trước: ít/kém/nhỏ hơn, sớm hơn, bên trái của. Nhưng vì những trường hợp của những quan hệ vốn không có thuộc tính này, sẽ dùng chỉ hai trong ba trường hợp trước của chúng ta. Nếu x là anh / chị / em của y, y của z, thì x có thể không là anh / chị / em của z, vì x z có thể là cùng một người. Điều tương tự cũng áp dụng cho sự khác biệt về chiều cao, nhưng không áp dụng cho sự tương đương về chiều cao, vốn có thuộc tính thứ hai của chúng ta nhưng không thứ nhất của chúng ta. Mặt khác, quan hệ “cha” có thuộc tính đầu tiên của chúng ta nhưng không có thuộc tính thứ hai của chúng ta. Một quan hệ có thuộc tính thứ hai của chúng ta được gọi là bắc cầu.[4]

 

(3) Cho bất kỳ hai số hạng nào của lớp vốn là theo thứ bậc, phải là có một số hạng đứng trước và số hạng kia đứng sau. Thí dụ, trong bất kỳ hai số nguyên hay phân số, hay số thực, một số thì nhỏ hơn và số kia lớn hơn; nhưng với bất kỳ hai số phức nào, điều này thì không đúng. Trong bất kỳ hai thời điểm nào trong thời gian, một thời điểm phải sớm hơn thời điểm kia; nhưng đối với những sự kiện, vốn chúng có thể là đồng thời, điều này không thể nói được. Đối với hai điểm trên một đường thẳng, một điểm phải ở bên trái điểm kia. Một quan hệ có thuộc tính thứ ba này được gọi là kết nối. [5]

 

Khi một quan hệ có được ba thuộc tính này, nó thuộc loại để làm nảy sinh một thứ bậc giữa những số hạng vốn nó giữ giữa những số hạng đó; và bất cứ nơi nào một thứ bậc tồn tại, một số-quan hệ nào đó có ba thuộc tính này có thể được tìm thấy tạo ra nó.

 

Trước khi minh họa luận điểm này, chúng ta sẽ giới thiệu một vài định nghĩa.

 

(1) Một quan hệ được nói là một không-phản xạ,[6] hay được chứa trong hay hàm ý đa dạng, nếu không số hạng nào có quan hệ này với chính nó. Thế nên, thí dụ, “lớn hơn”, “khác kích thước”, “anh”, “chồng”, “cha” là những từ không-phản xạ; nhưng “ngang bằng”, “sinh ra cùng cha mẹ”, “bạn thân” thì không.

 

(2) Bình phương của một quan hệ là quan hệ vốn giữ giữa hai số hạng x và z, khi có một số hạng trung gian y sao cho quan hệ đã cho, giữ giữa x y và giữa y và z. Thế nên “ông nội” là bình phương của “bố”, “lớn hơn 2” là bình phương của “lớn hơn 1”, v.v.

 

(3) Miền của một quan hệ gồm tất cả những số hạng đó vốn có quan hệ với một gì hay một khác, và miền đảo gồm tất cả những số hạng đó vốn có quan hệ với một gì hay một khác. Những từ này đã được định nghĩa, nhưng được nhắc lại ở đây cốt cho định nghĩa sau: -

 

(4) Trường của một quan hệ gồm miền của nó và miền đảo cùng nhau.

 

(5) Một quan hệ được nói là để chứa hay được hàm ý bởi một quan hệ khác nếu nó giữ bất cứ khi nào quan hệ kia giữ.

 

Sẽ thấy rằng một quan hệ không-đối xứng là cùng một sự việc như một quan hệ có bình phương của nó là một không-phản xạ. Thường xảy ra rằng một quan hệ là một không-phản xạ với không là không-đối xứng, dù một quan hệ không-đối xứng thì luôn luôn là một không-phản xạ.Thí dụ: “phối ngẫu” là một không-phản xạ, nhưng là đối xứng, vì nếu x là phối ngẫu của y thì y là phối ngẫu của x. Nhưng giữa những quan hệ bắc cầu, tất cả những không-phản xạ đều là không-đối xứng và cũng ngược lại như thế.

 

Từ những định nghĩa, sẽ thấy được rằng một quan hệ bắc cầu là một quan hệ vốn nó thì hàm ý bởi bình phương của nó, vì chúng ta cũng nói, hay “chứa” bình phương của nó. Như vậy “tổ tiên” là bắc cầu, vì tổ tiên của một tổ tiên là một tổ tiên; nhưng “cha” thì không bắc cầu, vì cha của một người cha không phải là một người cha. Một không-phản xạ bắc cầu là một quan hệ vốn chứa bình phương của nó và được chứa trong tính đa dạng; hay, những gì xảy ra với cùng quan hệ, một quan hệ vốn bình phương của nó hàm ý cả nó và tính đa dạngvì, khi một quan hệ là bắc cầu, tính không-đối xứng thì tương đương với là một không-phản xạ.

 

Một quan hệ là được kết nối, cho bất kỳ hai số hạng khác nhau nào trong trường của nó, khi quan hệ giữ giữa số hạng thứ nhất và thứ hai hay giữa thứ hai và thứ nhất (không loại trừ khả năng cả hai đều có thể xảy ra, mặc dù cả hai đều không thể xảy ra nếu quan hệ là không-đối xứng).

 

Sẽ thấy được rằng quan hệ “tổ tiên”, lấy thí dụ, là một không-phản xạbắc cầu, nhưng không được kết nối; Chính vì nó không được kết nối khiến nó không đủ để sắp xếp loài người trong một chuỗi.

 

Quan hệ “nhỏ hơn hay bằng với” giữa những số, là bắc cầu và được kết nối, nhưng không-đối xứng hay một không-phản xạ

 

Quan hệ “lớn hơn hay nhỏ hơn” giữa những số là một không-phản xạ và đươc kết nối, nhưng là không bắc cầu, vì nếu x lớn hơn hay nhỏ hơn y y lớn hơn hay nhỏ hơn z, có thể xảy ra rằng x z là cùng một số.

 

Thế nên, ba thuộc tính của là (1) một không-phản xạ, (2) bắc cầu và (3) được kết nối, là độc lập lẫn nhau [7] , vì một quan hệ có thể có hai quan hệ bất kỳ nào nhưng không có quan hệ thứ ba.

 

Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa sau: -

 

Một quan hệ là nối tiếp khi nó là một không-phản xạ, bắc cầu và được kết nối; hay những gì là tương đương, khi nó không-đối xứng, bắc cầu và được kết nối.

 

Một chuỗi thì cũng là cùng một sự việc như một quan hệ nối tiếp.

 

Có thể đã từng nghĩ rằng một chuỗi sẽ là trường của một quan hệ nối tiếp, chứ không phải chính quan hệ nối tiếp. Nhưng đây sẽ là một sai lầm. Thí dụ,

 

1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 3, 1; 2, 1, 3; 3, 1, 2; 3, 2, 1

 

là sáu chuỗi khác nhau vốn tất cả đều có cùng một trường. Nếu trường đã là chuỗi, chỉ có thể có một chuỗi với một trường nhất định. Những gì làm phân biệt sáu chuỗi trên thì chỉ đơn giản là những quan hệ thứ bậc khác nhau trong sáu trường hợp. Đem cho quan hệ thứ bậc, trường và thứ bậc đều xác định. Vì vậy, quan hệ thứ bậc có thể được lấy để là chuỗi, nhưng trường không thể được lấy như vậy.

 

Cho bất kỳ quan hệ nối tiếp nào, lấy thí dụ như P, chúng ta sẽ nói rằng, đối với quan hệ này, x “đứng trước” y nếu x có quan hệ P với y, chúng ta sẽ viết tắt là “xPy”. Ba đặc điểm vốn P phải có để là nối tiếp là:

 

(1) Chúng ta không bao giờ được có xPx, tức là phải không có số hạng nào đứng trước chính nó.

 

(2) P2 phải hàm ý P, tức là nếu x đứng trước y y đứng trước z thì x phải đứng trước z.

 

(3) Nếu x y là hai số hạng khác nhau trong trường P, chúng ta sẽ có xPy hay yPx, tức là một trong hai số phải đứng trước số kia.

 

Người đọc có thể dễ dàng tự thuyết phục rằng khi ba thuộc tính này được tìm thấy trong một quan hệ sắp xếp thứ bậc, thì những đặc điểm vốn chúng ta mong đợi ở chuỗi cũng sẽ được tìm thấy, và ngược lại. Thế nên, chúng ta chính đáng khi lấy sự việc trên như một định nghĩa của thứ bậc hay chuỗi. Và sẽ thấy rằng định nghĩa được thực hiện trong những thuật ngữ lôgích thuần túy.

 

Mặc dù một quan hệ kết nối không-đối xứng bắc cầu luôn là-có ở bất cứ nơi nào có một chuỗi, nó không phải lúc nào cũng là quan hệ vốn một cách tự nhiên nhất được nhìn như tạo ra chuỗi. Chuỗi số tự nhiên có thể dùng như một minh họa. Quan hệ vốn chúng ta đã giả định khi xem xét những số tự nhiên là quan hệ của sự liên tục tức thời, tức là quan hệ giữa những số nguyên liên tiếp. Quan hệ này là không-đối xứng, nhưng không bắc cầu hay được kết nối. Tuy nhiên, từ nó chúng ta có thể suy ra, bằng phương pháp của quy nạp toán học, quan hệ “tổ tiên” vốn chúng ta đã xem xét trong chương trước. Quan hệ này sẽ cũng là giống như “nhỏ hơn hay bằng” giữa những số nguyên quy nạp. Đối với những mục đích tạo ra chuỗi số tự nhiên, chúng ta muốn quan hệ “nhỏ hơn”, loại trừ “bằng”. Đây là quan hệ của m với n khi m là tổ tiên của n nhưng không đồng nhất với n, hay (điều sẽ là tương tự) khi số tiếp sau của m là một tổ tiên của n theo nghĩa trong đó một số là tổ tiên của chính nó. Có nghĩa là, chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa sau: -

 

Một số quy nạp m được nói là nhỏ hơn một số n khác khi n có được mọi đặc tính di truyền của số tiếp sau của m.

 

Dễ dàng nhận thấy và không khó để chứng minh, rằng quan hệ “nhỏ hơn” được định nghĩa như vậy là không-đối xứng, bắc cầu và liên kết, và có những số quy nạp cho trường của nó. Thế nên, qua phương tiện của quan hệ này, những số quy nạp có được một thứ bậc theo nghĩa vốn chúng ta đã định nghĩa thuật ngữ “thứ bậc”, và thứ bậc này như thế gọi là thứ bậc “tự nhiên”, hay thứ bậc của độ lớn.

 

Việc tạo ra những chuỗi qua phương tiện của những quan hệ ít nhiều giống như từ n đến n + 1 là rất phổ thông. Thí dụ, chuỗi của những vị vua của England, được tạo ra bởi những quan hệ của mỗi vị vua với vị tiếp sau của mình. Đây có lẽ là cách dễ dàng nhất, nếu có thể áp dụng được, của việc nghĩ đến sự hình thành của một chuỗi. Trong phương pháp này, chúng ta chuyển từ từng số hạng sang số hạng tiếp theo, cho đến chừng nào có một tiếp theo, hay quay lại với số hạng trước đó, cho đến chừng nào có một trước đó. Phương pháp này luôn đòi hỏi dạng tổng quát của quy nạp toán học để cho chúng ta có khả năng để định nghĩa “sớm hơn” và “muộn hơn” trong một chuỗi đã được tạo ra như thế. Tương tự như “những phân số thực sự” [8] , chúng ta hãy đặt tên “hậu duệ thực sự”của x đối với R” cho lớp của những số hạng ddos vốn thuộc về R-hậu duệ của một số hạng nhất định nào đó với nó x có quan hệ R, trong nghĩa vốn chúng ta trước đây đã đem cho cho “hậu duệ”, vốn gồm một số hạng trong hậu duệ của chính nó. Quay trở lại những định nghĩa cơ bản, chúng ta tìm thấy rằng “hậu duệ thực sự” có thể được định nghĩa như sau:

 

“Hậu duệ thực sự” của x đối với R gồm tất cả những số hạng vốn có được mọi thuộc tính R-di truyền đã có được bởi mọi số hạng với nó vốn x có quan hệ R.

 

Cần lưu ý rằng định nghĩa này đã phải cấu trúc như thế để là áp dụng được không chỉ khi có chỉ một số hạng với nó vốn x có quan hệ R, nhưng cũng trong những trường hợp (thí dụ như giữa cha và con) ở đó có thể có nhiều số hạng với nó vốn x có quan hệ R. Chúng ta định nghĩa thêm:

 

Một số hạng x là một “tổ tiên thực sự” của y đối với R nếu y thuộc hậu duệ thực sự của x đối với R.

 

Chúng ta sẽ nói “R-hậu duệ” và “R-tổ tiên” cho gọn, khi những từ ngữ này xem dường thuận tiện hơn.

 

Bây giờ quay về việc tạo chuỗi bới quan hệ R giữa những số hạng liên tiếp, chúng ta thấy rằng, nếu phương pháp này có thể thực hiện được, “quan hệ R-tổ tiên thực sự” phải là một không-phản xạ, bắc cầu và được kết nối. Điều này sẽ xảy ra trong những trường hợp nào? Nó sẽ luôn luôn là bắc cầu: bất kể R có thể là loại quan hệ nào, “R-tổ tiên” và “R-tổ tiên thực sự” luôn luôn cả hai đều là bắc cầu. Nhưng đó là chỉ trong một số trường hợp nhất định nào đó, rằng nó sẽ là một không-phản xạ hay kết nối. Thí dụ, hãy xem xét quan hệ với người ngồi cạnh bên trái của một người trong một bàn ăn hình tròn có mười hai người. Nếu chúng ta gọi quan hệ này là R, thì R-hậu duệ thực sự của một người gồm tất cả những ai là người có thể được với tay đến được bằng việc đi vòng quanh bàn, từ phải sang trái. Điều này gồm tất cả mọi người ở bàn ăn, kể cả chính người đó, vì mười hai bước đưa chúng ta trở lại điểm-bắt đầu. Thế nên, trong một trường hợp như vậy, mặc dù quan hệ “R-tổ tiên thực sự” là được kết nối và mặc dù bản thân R là một không-phản xạ, chúng ta không nhận được một chuỗi vì “R-tổ tiên thực sự” không là một không-phản xạ. Đó là lý do này khiến chúng ta không thể nói rằng một người đến trước một người khác đối với quan hệ “bên phải của”, hay với phát sinh tổ tiên của nó.

 

Ở trên là một thí dụ trong đó quan hệ tổ tiên là kết nối nhưng không chứa trong đa dạng. Một thí dụ ở chỗ nó thì chứa trong đa dạng, nhưng không kết nối, có gốc từ nghĩa thông thường của từ “tổ tiên”. Nếu x là một tổ tiên thực sự của y, x y không thể là cùng một người; nhưng không đúng rằng trong bất kỳ hai người nào một người phải là một tổ tiên của người kia.

 

Câu hỏi về những trường hợp trong đó chuỗi có thể được những quan hệ tổ tiên tạo ra, có gốc từ những quan hệ của sự liên tục thì thường quan trọng. Một số những trường hợp quan trọng nhất là như sau: Gọi R là một quan hệ nhiều-một, và chúng ta hãy giới hạn chú ý của chúng ta vào hậu duệ của một số hạng x nào đó. Khi đã giới hạn như vậy, quan hệ “R-tổ tiên thực sự” phải là kết nối; thế nên, tất cả những gì còn lại để bảo đảm tính là nối tiếp của nó, là rằng nó sẽ là được chứa trong tính đa dạng. Đây là một sự tổng quát hóa về thí dụ của bàn ăn tối. Một tổng quát hóa khác gồm trong việc lấy R để là một quan hệ một-một, và việc gồm tổ tiên của x cũng như hậu duệ. Ở đây một lần nữa, một điều kiện đòi hỏi để bảo đảm việc tạo ra một chuỗi là rằng quan hệ “R-tổ tiên thực sự” sẽ là được chứa trong đa dạng.

 

Việc tạo ra thứ bậc bằng phương tiện của những quan hệ của sự liên tục, dù quan trọng trong phạm vi riêng của nó thì ít tổng quát hơn so với phương pháp vốn dùng một quan hệ bắc cầu để xác định thứ bậc. Nó thường xảy ra trong một chuỗi rằng có một số vô hạn của những số hạng trung gian giữa bất kỳ hai số hạng nào có thể được chọn, dù những số hạng này có thể là gần nhau đến đâu đi nữa. Lấy thí dụ, những phân số theo thứ bậc của độ lớn. Giữa bất kỳ hai phân số đều có những phân số khácthí dụ, trung bình cộng của hai phân số đó. Hệ quả là, không có gì để gọi là một cặp của những phân số liên tiếp. Nếu chúng ta tùy thuộc vào sự liên tục để định nghĩa thứ bậc, chúng ta sẽ không có khả năng để định nghĩa thứ bậc về độ lớn giữa những phân số. Nhưng trong thực tế, quan hệ lớn hơn và nhỏ hơn giữa những phân số không đòi hỏi sự hình thành từ những quan hệ của sự liên tục,và những quan hệ của lớn hơn và nhỏ hơn giữa những phân số có ba đặc tính vốn chúng ta cần để định nghĩa những quan hệ nối tiếp. Trong tất cả những trường hợp như vậy, thứ bậc phải được định nghĩa bằng phương tiện của một quan hệ bắc cầu, vì chỉ có một quan hệ loại như vậy mới có khả năng để nhảy qua một số vô hạn của những số hạng trung gian. Phương pháp của sự liên tục, giống như phương pháp của việc đếm để đầu tiên tìm ra ra số của một lớp, thì thích hợp với sự hữu hạn; ngay cả nó có thể được mở rộng đến một số chuỗi vô hạn nào đó nhất định, cụ thể là, những chuỗi trong đó, mặc dù tổng số số hạng là vô hạn, số của những số hạng giữa hai số bất kỳ thì luôn luôn là hữu hạn; nhưng nó phải không được xem như sự việc trong tổng quát. Không chỉ như vậy, nhưng cần phải cẩn thận để loại bỏ khỏi trí tưởng tượng tất cả những thói quen của suy nghĩ hậu quả từ viecj giả định cho rằng nó là trong tổng quát. Nếu điều này không được thực hiện, những chuỗi trong đó không có số hạng liên tiếp sẽ vẫn khó khăn và khó hiểu. Và những chuỗi như vậy đều có sự quan trọng thiết yếu đối với sự hiểu biết về tính liên tục, không gian, thời gian và chuyển động.

 

Có nhiều cách trong đó những chuỗi có thể được tạo ra, nhưng tất cả đều tùy thuộc trên việc tìm hay xây dựng của một quan hệ được kết nối bắc cầu không-đối xứng. Một số cách này có sự quan trọng đáng kể. Chúng ta có thể lấy như làm minh họa cho việc tạo ra chuỗi bằng phương tiện của quan hệ ba-số hạng vốn chúng ta có thể gọi là “giữa”. Phương pháp này rất hữu ích trong hình học, và có thể dùng như một giới thiệu với những quan hệ có nhiều hơn hai số hạng; nó được giới thiệu hay nhất trong kết nối với hình học sơ cấp.

 

Cho ba điểm bất kỳ trên một đường thẳng trong không gian thông thường, phải có một trong số chúng giữa hai điểm kia. Điều này sẽ không xảy ra với những điểm trên một đường tròn hay bất kỳ đường cong khép kín nào khác, vì, với ba điểm bất kỳ trên một đường tròn, chúng ta có thể đi từ điểm bất kỳ nào đến điểm bất kỳ khác nhưng không cần đi qua điểm thứ ba. Trong thực tế, khái niệm “giữa” là tính chất đặc biệt của chuỗi mởhay chuỗi trong một nghĩa chặt chẽnhư trái ngược với những gì có thể được gọi là chuỗi “tuần hoàn”, [9] trong đó, như với những người ở bàn ăn, một hành trình đủ mang chúng ta trở lại điểm khởi đầu của chúng ta. Khái niệm “giữa” này có thể được chọn làm khái niệm nền tẳng của hình học thông thường; nhưng trong lúc này, chúng ta sẽ chỉ xem xét ứng dụng của nó với một đường thẳng độc nhất và với thứ bậc của những điểm trên một đường thẳng.[10] Lấy hai điểm a, b bất kỳ, đường thẳng (ab) gồm ba phần (ngoài chính a b):

 

(1) Những điểm giữa a b.

 

(2) Những điểm x sao cho a thì giữa x b.

 

(3) Những điểm y sao cho b thì giữa y a.

 

Như thế, đường thẳng (ab) có thể được định nghĩa theo quan hệ “giữa”.

 

Để quan hệ “giữa” này có thể sắp xếp những điểm của đường thẳng theo một thứ bậc từ trái sang phải, chúng ta cần một số những giả định nhất định, cụ thể như sau: -

 

(1) Nếu bất kỳ gì là giữa a b thì a b đều là không đồng nhất.

 

(2) Bất kỳ gì giữa a b thì cũng giữa b a.

 

(3) Bất kỳ gì giữa a b thì không đồng nhất với a (và thế nên, cũng không với b, theo như (2)).

 

(4) Nếu x thì giữa a b, bất kỳ gì giữa a x thì cũng giữa a b.

 

(5) Nếu x thì giữa a và b, và b thì giữa x y, khi đó b thì giữa a y.

 

(6) Nếu x y đều giữa a b khi đó hoặc x y thì đồng nhất, hoặc x thì giữa a y, hay x thì giữa y b.

 

(7) Nếu b thì giữa a x, và cũng giữa a y, khi đó hoặc x y thì đồng nhất, hoặc x thì giữa b y, hoặc y thì giữa b x.

 

Bảy tính chất này rõ ràng đã được kiểm chứng trong trường hợp những điểm nằm trên một đường thẳng trong không gian thông thường. Bất kỳ quan hệ ba số hạng nào vốn kiểm chứng chúng sẽ dẫn đến chuỗi, như có thể thấy từ những định nghĩa sau đây. Cho mục đích của tính xác định, chúng ta hãy giả định rằng a thì ở bên trái của b. Khi đó những điểm của đường thẳng (ab) là:

 

(1) những điểm giữa chúng và b, có a nằm – những điểm này chúng ta sẽ gọi ở bên trái của a

 

(2) a chính nó; 

 

(3) những điểm giữa a và b;

 

 (4) b chính nó; 

 

(5) những điểm giữa chúng và a, có b nằmnhững điểm này chúng ta sẽ gọi ở bên phải của b. 

 

Bây giờ một cách tổng quát, chúng ta có thể xác định rằng thuộc hai điểm x, y, trên đường thẳng (ab), chúng ta sẽ nói rằng x nằm “bên trái” y trong bất kỳ trường hợp nào sau đây: -

 

(1) Khi x y đều bên trái a, và y thì giữa x và a;

 

(2) Khi x ở bên trái a, và y a hay b hay giữa a b hay ở bên phải của b;

 

(3) Khi x là a, và y thì giữa a b, hay là b hay nằm bên phải của b;

 

(4) Khi x y giữa a và b, và y giữa x và b;

 

(5) Khi x thì giữa a và b, và y b hay bên phải của b;

 

(6) Khi x b y ở bên phải của b;

 

(7) Khi x y đều nằm bên phải của b x thì giữa b y.

 

Sẽ tìm thấy rằng, từ bảy thuộc tính vốn chúng ta đã gán cho quan hệ “giữa”, có thể suy ra rằng quan hệ “bên trái”, như đã định nghĩa ở trên, là một quan hệ nối tiếp như chúng ta đã định nghĩa thuật ngữ đó. Điều quan trọng cần lưu ý là không có gì trong những định nghĩa hay luận chứng tùy thuộc trên nghĩa của chúng ta qua đó “giữa” là quan hệ thực tại của tên gọi đó vốn xảy ra trong không gian thực nghiệm: bất kỳ quan hệ ba số hạng nào có bảy thuộc tính hoàn toàn chính thức ở trên sẽ cũng tốt như nhau dùng cho mục đích của luận chứng.

 

Thứ bậc tuần hoàn, lấy thí dụ như thứ bậc của những điểm trên một vòng tròn, không thể được tạo ra bằng quan hệ ba số hạng của “giữa”. Chúng ta cần một quan hệ của bốn số hạng, có thể được gọi là “sự tách biệt của những cặp đôi”. Điểm này có thể được minh họa bằng cách xem xét một hành trình vòng quanh thế giới. Người ta có thể đi từ England đến New Zealand bằng đường qua Suez hay bằng đường qua San Francisco; chúng ta không thể nói chắc chắn rằng một trong hai địa điểm này là “giữa” England và New Zealand. Nhưng nếu một người chọn con đường đó để đi vòng quanh thế giới, cho dù người này đi đường vòng nào, thì thời gian của người này ở England và New Zealand sẽ tách biệt nhau bởi thời gian của ông ở Suez và San Francisco, và ngược lại. Trong tổng quát, nếu chúng ta lấy bốn điểm bất kỳ trên một đường tròn, chúng ta có thể tách chúng thành hai cặp, gọi là a b x y, sao cho, để đi từ a đến b, chúng ta phải đi qua x hay y, và để đi từ x đến y người ta phải đi qua a hay b. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng cặp đôi (a, b) bị “tách rời” bởi cặp đôi (x, y). Từ quan hệ này, một thứ bậc tuần hoàn có thể được tạo ra, theo cách tương tự như cách vốn chúng ta tạo ra một thứ bậc mở từ “giữa”, nhưng hơi phức tạp hơn.[11]

 

Mục đích của nửa sau của chương này đã là để nêu lên đề tài vốn người ta có thể gọi là “sự hình thành của những quan hệ nối tiếp”. Khi những quan hệ như vậy đã được định nghĩa, sự hình thành của chúng từ những quan hệ khác chỉ có được một số thuộc tính cần thiết cho chuỗi trở nên rất quan trọng, đặc biệt là trong triết học hình học và vật lý. Nhưng trong giới hạn của tập sách hiện tại, chúng ta không thể làm gì hơn là làm người đọc biết rằng có một đề tài loại như vậy

 

 

CHƯƠNG V:

Những Loại quan hệ

 

Một phần lớn triết học toán học thì bận tâm với những quan hệ, và nhiều loại quan hệ khác nhau có những loại dùng khác nhau. Điều thường xảy ra rằng một thuộc tính vốn thuộc về tất cả những quan hệ thì chỉ quan trọng đối với những quan hệ thuộc một số loại nhất định; trong những trường hợp này, người đọc sẽ không thấy trong mệnh đề khẳng định mang một thuộc tính loại như vậy trừ khi người đọc này không quên những loại của quan hệ vốn là hữu dụng với nó. Vì những lý do của mô tả này, cũng như từ sự quan trọng nội tại của vấn đề, chúng ta nên có trong suy nghĩ một danh sách thô phác của những quan hệ khác loại có thể dùng được về mặt toán học hơn.

 

Chúng ta đã đã bận rộn trong chương trước với một lớp hết sức quan trọng, đó là quan hệ nối tiếp. Mỗi một của ba thuộc tính vốn chúng ta đã kết hợp trong việc định nghĩa chuỗiđó là, tính không-đối xứng, tính bắc cầu và tính liên kếtđều có sự quan trọng riêng của nó. Chúng ta sẽ bắt đầu với việc nói một vài nhận xét về mỗi trong số ba thuộc tính này.

 

Tính không-đối xứng, tức là thuộc tính của là không tương hợp với sự nghịch đảo, là một đặc tính của sự chú ý và quan trọng rất lớn. Để khai triển những vai trò của nó, chúng ta sẽ xem xét những thí dụ khác nhau. quan hệ chồng thì không-đối xứng, và quan hệ vợ cũng vậy; tức là nếu a là chồng của b thì b không thể là chồng của a, và tương tự trong trường hợp vợ. Mặt khác, quan hệ “phối ngẫu” thì đối xứng: nếu a là phối ngẫu của b thì b là phối ngẫu của a. Giả sử bây giờ chúng ta được cho quan hệ phối ngẫu, và chúng ta muốn suy ra quan hệ chồng Chồng thì cùng là một với người phối ngẫu nam hay phối ngẫu của một người nữ; thế nên, quan hệ chồng có thể được suy ra từ phối ngẫu bằng việc giới hạn miền đối với những người nam hay bằng cách giới hạn miền đảo đối với những người nữ. Từ trường hợp này, chúng ta thấy rằng, khi cho một quan hệ đối xứng, đôi khi có thể, không cần giúp đỡ của bất kỳ quan hệ nào khác, có thể tách nó thành hai quan hệ không-đối xứng. Nhưng những trường hợp vốn điều này có thể xảy ra là rất hiếm và khác thường: chúng là những trường hợp có hai lớp loại trừ lẫn nhau, lấy thí dụ α và β, sao cho bất cứ khi nào quan hệ giữ giữa hai số hạng, một trong những số hạng là phần tử của α và số hạng kia là một phần tử của βnhư, trong trường hợp của quan hệ phối ngẫu, một số hạng của quan hệ thuộc về lớp của những người nam và một thuộc về lớp của những người nữ. Trong trường hợp như vậy, quan hệ với miền của nó đã giới hạn với α sẽ là không-đối xứng, và cũng như thế sẽ là quan hệ với miền của nó đã giới hạn trong β. Nhưng những trường hợp như vậy không thuộc loại xảy ra khi chúng ta giải quyết với chuỗi gồm hơn hai số hạng; vì trong một chuỗi, tất cả những số hạng, ngoại trừ số đầu tiên và cuối cùng (nếu chúng tồn tại), đều thuộc cả về miền và miền đảo của quan hệ tạo ra, như thế khiến một quan hệ giống như chồng, trong đó miền và miền đảo không trùng lập, thì bị loại trừ.

 

Câu hỏi làm thế nào để xây dựng những quan hệ có một số thuộc tính hữu ích nào đó bằng phương tiên của những phép toán dựa trên những quan hệ có chỉ những những nguyên tắc sơ đẳng của những thuộc tính là một điều quan trọng đáng cân nhắc. Tính bắc cầu và tính liên kết đều dễ dàng được xây dựng trong nhiều trường hợp khi quan hệ đem cho ban đầu không có được chúng: thí dụ, nếu R là bất kỳ quan hệ nào, thì quan hệ tổ tiên bắt nguồn từ R bằng quy nạp tổng quát là quan hệ bắc cầu; và nếu R là một quan hệ nhiều-một, thì quan hệ tổ tiên sẽ là được kết nối nếu giới hạn trong hậu duệ của một số hạng nhất định. Nhưng không-đối xứng là một thuộc tính khó bảo đảm hơn nhiều bằng cách xây dựng. Phương pháp vốn chúng ta lấy được quan hệ chồng từ quan hệ phối ngẫu, như chúng ta đã thấy, thì không có thể dùng được trong những trường hợp quan trọng nhất, lấy thí dụ như lớn hơn, trước đây, ở bên phải, khi miền và miền đảo chồng lấn lên nhau. Trong tất cả những trường hợp này, Dĩ nhiên chúng ta có thể có được một quan hệ đối xứng bằng cách cộng quan hệ đã cho và nghịch đảo của nó lại với nhau, nhưng chúng ta không thể chuyển ngược từ quan hệ đối xứng này sang quan hệ không-đối xứng ban đầu ngoại trừ với giúp đỡ của một số-quan hệ không-đối xứng. Lấy thí dụ, quan hệ lớn hơn: quan hệ lớn hơn hay nhỏ hơn – tức là không bằng nhau – thì đối xứng, nhưng không có gì trong quan hệ này để cho thấy rằng nó là tổng số của hai quan hệ không-đối xứng. Hãy xem một quan hệ như vậy là “khác nhau về hình dạng”. Đây không phải là tổng số của một quan hệ không-đối xứng và nghịch đảo của nó, vì những hình dạng không tạo thành một chuỗi duy nhất; nhưng không có gì cho thấy rằng nó khác với “khác nhau về độ lớn” nếu chúng ta đã không biết rằng những độ lớn có những quan hệ lớn hơn và nhỏ hơn. Điều này minh họa đặc tính nền tảng của tính không-đối xứng như một thuộc tính của những quan hệ.

 

Từ quan điểm của sự phân loại của những quan hệ, là không-đối xứng là một đặc tính quan trọng nhiều hơn so với hàm ý đa dạng. Những quan hệ không-đối xứng hàm ý đa dạng, nhưng ngược lại thì không như vậy. Thí dụ: “Không bằng nhau” hàm ý đa dạng, nhưng là đối xứng. Nói rộng ra, chúng ta có thể nói rằng, nếu chúng ta muốn phân bố những mệnh đề quan hệ ở mức độ rộng nhất có thể được và thay chỗ chúng kiểu như là những thuật ngữ đã qui gán với những chủ ngữ, chúng ta có thể thành công trong việc này miễn là chúng ta tự giới hạn vào những quan hệ đối xứng: những quan hệ đó không hàm ý đa dạng, nếu chúng đều là bắc cầu, có thể được nhìn như việc khẳng định một thuật ngữ phổ thông, trong khi những quan hệ đó vốn không hàm ý đa dạng có thể được nhìn như khẳng định những thuật ngữ không tương hợp. Thí dụ, hãy xem xét quan hệ của sự giống nhau giữa những lớp, bằng phương tiện của chúng, chúng ta định nghĩa những số. Quan hệ này là đối xứng và bắc cầu và không bao hàm đa dạng. Có thể, mặc dù ít đơn giản hơn thủ tục vốn chúng ta đã áp dụng, để coi số lượng của một sưu tập là một thuật ngữ của sưu tập: khi đó hai lớp tương tự sẽ là hai lớp có cùng một thuật ngữ số, trong khi hai lớp không giống nhau sẽ là hai lớp có thuật ngữ số khác nhau. Phương pháp thay thế những quan hệ bằng những thuật ngữ như vậy về mặt hình thức là có thể thực hiện được (mặc dù thường rất bất tiện) miễn là những quan hệ liên quan là đối xứng; nhưng về mặt hình thức là không thể được khi những quan hệ là không-đối xứng, vì cả sự giống nhau và sựu khác biệt của những thuật ngữ đều là đối xứng. Chúng ta có thể nói những quan hệ không-đối xứng là quan hệ đặc trưng nhất của những quan hệ, và quan trọng nhất với nhà triết học muốn nghiên cứu bản chất lôgích sau cùng của những quan hệ.

 

Một lớp khác của những quan hệ vốn được dùng nhiều nhất là lớp của những quan hệ một-nhiều, tức là những quan hệ vốn nhiều nhất một số hạng có thể có với một số hạng nhất định. Đó là cha, mẹ, chồng (ngoại trừ ở Tibet), bình phương của, sin của, v.v. Nhưng cha mẹ, căn bậc hai, v.v., đều không là một-nhiều. Chính thức, là có thể được để thay thế tất cả những quan hệ bằng những quan hệ một nhiều bằng phương tiện của một thủ thuật. Lấy (thí dụ) quan hệ ít hơn giữa những số quy nạp. Cho bất kỳ số n nào lớn hơn 1, sẽ không chỉ có một số có quan hệ nhỏ hơn n, nhưng chúng ta có thể thành hình lớp toàn bộ của những số vốn đều nhỏ hơn n. Đây là một lớp và quan hệ của nó với n thì không chia xẻ với cùng bất kỳ lớp nào khác. Chúng ta có thể gọi lớp của những số nhỏ hơn n là “tổ tiên thực sự” của n, theo nghĩa vốn chúng ta đã nói về tổ tiên và hậu duệ trong liên quan với quy nạp toán học. Khi đó, “tổ tiên thực sự” là một quan hệ một-nhiều (một-nhiều sẽ luôn được dùng với mục đích để gồm một-một), vì mỗi số xác định một lớp duy nhất của những số như cấu thành tổ tiên thực sự của nó. Vì vậy, quan hệ nhỏ hơn có thể được thay thế bằng là một phần tử của tổ tiên thực sự của. Theo cách này, một quan hệ một-nhiều trong đó cái một là một lớp, cùng với những phần tử của lớp này, có thể luôn luôn chính thức thay thế một quan hệ vốn không là một-nhiều. Peano, người vì một lý do nào đó, luôn luôn theo trực giác nhìn thấy trước một quan hệ như một-nhiều, giải quyết trong cách này với những quan hệ đó vốn đều là tự nhiên không như vậy. Tuy nhiên, sự thu giảm xuống những quan hệ một-nhiều bằng phương pháp này, mặc dù có thể được như một vấn đề của hình thức, không tiêu biểu cho một sự đơn giản hóa kỹ thuật, và có mọi lý do để nghĩ rằng nó không tiêu biểu cho một sự phân tích triết học, nếu chỉ vì những lớp phải được nhìn như những “hư cấu lôgích” [12] . Thế nên, chúng ta sẽ tiếp tục để nhìn những quan hệ một-nhiều như một loại đặc biệt của những quan hệ.

 

Những quan hệ một-nhiều đều dự phần trong tất cả những cụm từ thuộc dạng “cái thế này và thế nọ của cái như vậy và như vậy”. “Vua của England”, “người vợ của Socrates”, “người cha của John Stuart Mill”, và vân vân, tất cả đều mô tả một người nào đó bằng phương tiện của một quan hệ một-nhiều với một số hạng đã cho. Một cá nhân không thể có nhiều hơn một người cha, do đó “người cha của John Stuart Mill” đã mô tả một người nào đó nhất định, ngay cả nếu chúng ta dã không biết là ai. Có nhiều để nói về đề tài của những mô tả, nhưng cho lúc này đó là những quan hệ vốn chúng ta đang quan tâm, và những mô tả đều chỉ liên hệ như việc lấy làm thí dụ cho những cách dùng của những quan hệ một-nhiều. Điều sẽ được quan sát rằng tất cả những hàm số toán học là kết quả của những quan hệ một-nhiều: logarit của x, cosin của x, v.v., giống như người cha của x, những số hạng được mô tả bằng quan hệ một-nhiều (logarit, cosin , v.v.) với một số hạng nhất định (x). Khái niệm về hàm số không cần phải giới hạn với những con số, hay với những cách dùng vốn những nhà toán học đã làm chúng ta quen thuộc; nó có thể được mở rộng đến tất cả những trường hợp của những quan hệ một-nhiều, và “cha của x” thì chính đáng đúng là một hàm số, vốn x là biện luận như là “logarit của x”. Những hàm số trong nghĩa này đều là những hàm số mô tả. Như chúng ta sẽ thấy ở phần sau, có những hàm thuộc một loại vẫn tổng quát hơn và cơ bản hơn, đó là, những hàm mệnh đề; nhưng lúc này, chúng ta sẽ giới hạn chú ý của chúng ta vào những hàm số mô tả, tức là “số hạng có quan hệ R với x”, hay ngắn gọn là “R của x”, trong đó R là bất kỳ quan hệ một-nhiều nào.

 

Sẽ quan sát được rằng nếu “cái (điều/sự việc) R của x” [13] là để mô tả một số hạng xác định, thì x phải là một số hạng với nó một gì đó có quan hệ R, và phải không có nhiều hơn một số hạng có quan hệ R với x, vì “cái”, dùng cho chính xác, phải hàm ý tính duy nhất. Thế nên, chúng ta có thể nói về “người cha của x” nếu x là bất kỳ con người nào, ngoại trừ Adam và Eva; nhưng chúng ta không thể nói về “người cha của x” nếu x là một cái bàn hay một cái ghế hay bất cứ một gì khác vốn không có một người cha. Chúng ta sẽ nói rằng R của x “tồn tại” khi chỉ có một số hạng và không hơn, có quan hệ R với x. Thế nên, nếu R là một quan hệ một nhiều, R của x tồn tại bất cứ khi nào x thuộc miền đảo của R, và không phải là ngược lại. Về “R của x” như một hàm số theo nghĩa toán học, chúng ta nói rằng x là “đối số” của hàm, và nếu y là số hạng có quan hệ R với x, tức là nếu y là R của x, thì y là “giá trị” của hàm số đối cho đối số x. Nếu R là một quan hệ một-nhiều, phạm vi của những đối số có thể có cho hàm số là miền đảo của R và phạm vi của những giá trị là miền. Thế nên, phạm vi của những đối số có thể có cho hàm số “cha của x” là tất cả những ai có cha, tức là miền đảo của quan hệ cha, trong khi phạm vi của những giá trị có thể có của hàm số là tất cả những người cha, tức là miền của quan hệ.

 

Nhiều khái niệm quan trọng nhất trong lôgích của những quan hệ đều là những hàm số mô tả, thí dụ: nghịch đảo, miền, miền đảo, trường. Những thí dụ khác sẽ nêu lên khi chúng ta tiếp tục.

 

Trong số những quan hệ một-nhiều, những quan hệ một-một là một lớp quan trọng đặc biệt. Chúng ta đã có dịp nói về những quan hệ một-một trong liên quan với định nghĩa của số, nhưng là điều cần thiết để làm quen với chúng, không chỉ đơn thuần để biết định nghĩa chính thức của chúng. Định nghĩa chính thức của chúng có thể lấy ra từ những quan hệ một-nhiều: chúng có thể được định nghĩa như những quan hệ một-nhiều vốn cũng là những nghịch đảo của những quan hệ một-nhiều, tức là những quan hệ vừa là một-nhiều vừa là nhiều-một. Những quan hệ một-nhiều có thể được định nghĩa như những quan hệ sao cho nếu x có quan hệ đang xem xét với y thì không có số hạng x’ nào khác cũng có quan hệ với y. Hay, một lần nữa, chúng có thể được định nghĩa như sau: Cho hai số hạng x x’ , những số hạng vốn x có quan hệ đã cho và những số hạng vốn với chúng x’ có nó, thì không có phần tử chung. Hoặc, một lần nữa, chúng có thể được định nghĩa như những quan hệ sao cho tích số tương đối của một trong số chúng và nghịch đảo của nó hàm ý đồng nhất, trong đó “tích số tương đối” của hai quan hệ R và S là quan hệ vốn giữ giữa x z khi có một số hạng trung gian y, sao cho x có quan hệ R với y y có quan hệ S với z. Vì vậy, thí dụ, nếu R là quan hệ của cha với con, tích số tương đối của R và nghịch đảo của nó sẽ là quan hệ giữ giữa x và một người z, khi có một người y, sao cho x là cha của y, y là con trai của z. Rõ ràng là x z phải là cùng một người. Mặt khác, nếu chúng ta lấy quan hệ cha và con, quan hệ này không phải là một-nhiều, chúng ta thôi không thể biện luận rằng, nếu x là cha của y y là một đứa con của z thì x z phải là cùng một người, vì một người có thể là cha của y và người kia là mẹ. Điều này minh họa rằng nó là tính chất đặc biệt của những quan hệ một-nhiều khi tích số tương đối của một quan hệ và nghịch đảo của nó bao hàm đồng nhất. Trong trường hợp những quan hệ một-một, điều này xảy ra, và cũng xảy ra là tích số tương đối của nghịch đảo và quan hệ bao hàm sự đồng nhất. Cho một quan hệ R, điều là tiện lợi, nếu x có quan hệ R với y, để nghĩ về y như là đạt đến được từ x bởi một “bước-R” hay một “vectơ-R”. Trong trường hợp tương tự, x sẽ đạt đến được từ y bằng “bước-R lùi”. Thế nên, chúng ta có thể phát biểu tính chất đặc biệt của những quan hệ một-nhiều vốn chúng ta đã giải quyết bằng cách nói rằng một bước-R theo sau một bước-R lùi phải đưa chúng ta trở lại điểm khởi đầu. Với những quan hệ khác, điều này hoàn toàn không xảy ra; thí dụ, nếu R là quan hệ của con với cha mẹ, thì tích số tương đối của R và nghịch đảo của nó là quan hệ “bản thân hay anh / chị / em”, và nếu R là quan hệ của cháu với ông bà, thì tích số tương đối của R và của nó nghịch đảo của nó là “bản thân hay anh / chị / em hay anh chị em họ có cùng ông bà”. Sẽ thấy rằng tích số tương đối của hai quan hệ trong tổng quát không có tính chất giao hoán, tức là tích số tương đối của R và S trong tổng quát thì không là cùng quan hệ như tích số tương đối của S và R. Nghĩa là tích số tương đối của cha mẹ và anh em trai là chú, nhưng tích số tương đối của anh em trai và cha mẹ là cha mẹ.

 

Những quan hệ một-một cho một tương quan của hai lớp, số hạng đối với số hạng, để mỗi số hạng trong một trong hai lớp có tương quan của nó trong lớp kia. Những tương quan như vậy dễ nắm bắt nhất khi hai lớp không có phần tử chung nào, như lớp của những người chồng và lớp của những người vợ; vì trong trường hợp đó, chúng ta biết ngay liệu một số hạng có được coi như một số hạng vốn từ đó quan hệ tương quan R đi ra, hay như một số hạng vốn nó đi đến đó. Thật thuận tiện khi dùng từ cái ám chỉ [14] cho số hạng vốn từ đó quan hệ đi, và từ cái liên hệ [15] cho số hạng tới đó nó đi đến. Thế nên, nếu x y là chồng và vợ, thì đối với quan hệ “chồng”, x cái ám chỉ y cái liên hệ, nhưng đối với quan hệ “vợ”, y cái liên hệ x cái ám chỉ. Chúng ta nói rằng một quan hệ và nghịch đảo của nó có những “ý nghĩa” đối lập nhau; thế nên “ý nghĩa” của một quan hệ đi từ x đến y là nghịch đảo với quan hệ tương ứng từ y đến x. Sự kiện rằng một quan hệ có “ý nghĩa” là nền tảng, và là một phần lý do tại sao thứ bậc có thể được tạo ra bởi những quan hệ phù hợp. Sẽ quan sát thấy rằng lớp của tất cả những cái ám chỉ có thể có với một quan hệ nhất định là miền của nó, và lớp của tất cả những dữ cái liên hệ có thể có là miền đảo của nó.

 

Nhưng rất thường xảy ra rằng miền và miền đảo của một quan hệ một-một chồng lấn lên nhau. Lấy thí dụ, mười số nguyên đầu tiên (không gồm 0) và thêm 1 vào mỗi số; thế nên, thay vì mười số nguyên đầu tiên, chúng ta bây giờ có những số nguyên

 

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

 

Chúng giống như những số chúng ta đã có trước đây, ngoại trừ 1 đã bị cắt bỏ ở phần đầu, và 11 cái đã được nối vào ở phần cuối. Vẫn có mười số nguyên: chúng đều có tương quan với mười số trước đó bằng quan hệ của n với n + 1, là một quan hệ một-một. Hoặc, một lần nữa, thay vì cộng 1 vào mỗi số nguyên trong số mười số nguyên ban đầu của chúng ta, chúng ta có thể nhân đôi mỗi số đó, thế nên thu được những số nguyên

 

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

 

Ở đây chúng ta vẫn có năm trong số những set số nguyên trước đó của chúng ta, đó là 2, 4, 6, 8, 10. Quan hệ tương quan trong trường hợp này là quan hệ của một số với nhân đôi của nó, lại là một quan hệ một-một. Hay chúng ta có thể đã thay thế mỗi số bằng bình phương của nó, thế nên thu được set

 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

 

Trong trường hợp này, chỉ còn lại ba số của set ban đầu của chúng ta, đó là, 1, 4, 9. Những tiến trình của tương quan như vậy có thể thay đổi vô tận.

 

Trường hợp đáng chú ý nhất của loại trên là trường hợp trong đó quan hệ một-một của chúng ta có một miền đảo vốn là một phần, nhưng không phải là toàn bộ, của miền. Nếu, thay vì giới hạn miền trong mười số nguyên đầu tiên, chúng ta đã xem xét toàn bộ của những số quy nạp, thì những trường hợp trên sẽ minh họa trường hợp này. Chúng ta có thể đặt những số liên quan thành hai hàng, đặt số tương quan ngay dưới số có tương quan với nó. Thế nên, khi tương quan là quan hệ của n với n + 1, chúng ta có hai hàng:

 

1, 2, 3, 4, 5, … n…

 

2, 3, 4, 5, 6, … n + 1…

 

Khi tương quan là quan hệ của một số với số gấp đôi của nó, chúng ta có hai hàng:

 

1, 2, 3, 4, 5, … n

 

2, 4, 6, 8, 10, … 2n

 

Khi tương quan là quan hệ của một số với bình phương của nó, những hàng là:

 

1, 2, 3, 4, 5, … n

 

1, 4, 9, 16, 25, … n2

 

Trong tất cả những trường hợp này, tất cả những số quy nạp xảy ra trong hàng trên cùng và chỉ một số nào đó trong hàng dưới.

 

Những trường hợp của loại này, trong đó miền đảo là một “phần đúng” [16] của miền (tức là một phần không phải toàn bộ), sẽ làm chúng ta bận rộn một lần nữa khi chúng ta đi đến giải quyết vấn đề của vô hạn. Hiện tại, chúng ta chỉ muốn ghi chú rằng chúng tồn tại và đòi hỏi lưu ý suy nghĩ

 

Một lớp khác của những tương quan vốn thường rất quan trọng là lớp gọi là “những hoán vị”, trong đó miền và miền đảo là đồng nhất. Thí dụ, hãy xem xét sáu cách sắp xếp có thể có của ba chữ cái:

 

a, b, c

 

a, c, b

 

b, c, a

 

b, a, c

 

c, a, b

 

c, b, a

 

Mỗi sắp xếp này có thể được lấy từ bất kỳ sắp xếp nào trong số những sắp xếp khác bằng phương tiện của một tương quan. Lấy thí dụ, sắp xếp đầu và cuối, (a, b, c)(c, b, a). Ở đây a tương ứng với c, b với chính nó, và c với a. Rõ ràng là sự kết hợp của hai hoán vị lại là một hoán vị, tức là những hoán vị của một lớp đã cho tạo thành cái được gọi là một “nhóm”.[17]

 

Những loại khác nhau này của những tương quan có sự quan trọng trong những kết nối khác nhau, một số cho một mục đích này, một số cho một mục đích khác. Khái niệm tổng quát của những tương quan một-một có sự quan trọng vô hạn trong triết học của toán học, như chúng ta đã thấy một phần, nhưng sẽ thấy đầy đủ hơn khi chúng ta tiếp tục. Một trong những cách dùng của nó sẽ làm bận rộn chúng ta trong chương tiếp theo.

 

 

CHƯƠNG VI:

Sự Tương Đương Của Những quan hệ

 

Chúng ta đã thấy trong Chương II. rằng hai lớp có cùng số của những số hạng khi chúng là “tương đương”, tức là khi có một quan hệ một-một có miền của nó là một lớp và miền đảo của nó là một lớp khác. Trong một trường hợp loại như vậy, chúng ta nói rằng có một “tương quan một-một” giữa hai lớp.

 

Trong chương này, chúng ta phải định nghĩa một quan hệ giữa những quan hệ, vốn sẽ đóng cùng vai trò cho chúng vốn sự tương đương của những lớp đóng vai trò cho những lớp. Chúng ta sẽ gọi quan hệ này là “sự tương đương của những quan hệ” hay “sự giống nhau” khi có vẻ là đáng mong muốn để dùng một từ khác biệt với từ vốn chúng ta dùng cho những lớp. Sự giống nhau được định nghĩa thế nào?

 

Chúng ta sẽ vẫn dùng khái niệm về tương quan: chúng ta sẽ giả định rằng miền của một quan hệ có thể là tương ứng với miền của quan hệ kia, và miền đảo với miền đảo; nhưng thế đó thì không đủ cho loại của sự giống nhau vốn chúng ta muốn có giữa hai quan hệ của chúng ta. Những gì chúng ta muốn, là bất cứ khi nào có quan hệ nào giữ giữa hai số hạng, quan hệ kia sẽ giữ giữa những tương quan của hai số hạng này. Thí dụ đơn giản nhất về loại sự việc chúng ta muốn là một bản đồ. Khi một địa điểm thì ở phương bắc của một địa điểm kia, địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm thì ở bên trên địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm kia; khi một địa điểm thì ở phương tây của một địa điểm kia, địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm đó thì ở bên trái của địa điểm trên bản đồ tương ứng với địa điểm kia; và tiếp tục như thế. Cấu trúc của bản đồ tương ứng với cấu trúc của quốc gia vốn nó là một bản đồ. Những quan hệ không gian trong bản đồ có “sự giống nhau” với những quan hệ không gian trong quốc gia được vẽ bản đồ. Nó là loại kết nối này giữa những quan hệ vốn chúng ta muốn để định nghĩa.

 

Trước hết, chúng ta có thể có lợi để để đưa vào một hạn chế nhất định. Chúng ta sẽ tự giới hạn, trong việc định nghĩa sự giống nhau, với những quan hệ loại như có những “trường”, tức là, với những quan hệ cho phép của sự hình thành của một lớp duy nhất từ ngoài của miền và miền đảo. Điều này thì không phải là luôn luôn là trường hợp xảy ra. Lấy thí dụ, quan hệ “miền”, tức là quan hệ vốn miền của một quan hệ có với quan hệ. Quan hệ này có tất cả những lớp cho miền của nó, vì mọi lớp là miền của một số-quan hệ; và nó có tất cả những quan hệ cho miền đảo của nó, vì mọi quan hệ có một miền. Nhưng những lớp và những quan hệ không thể cộng vào nhau để hình thành một lớp duy nhất mới, vì chúng đều thuộc những “kiểu” lôgích [18] khác nhau. Chúng ta không cần phải đi vào học thuyết khó khăn về những kiểu, nhưng là điều tốt để biết khi chúng ta tránh đi vào nó. Chúng ta có thể nói, với không bắt đầu trên những nền tảng cho sự khẳng định, rằng một quan hệ chỉ có một “trường” khi nó là những gì vốn chúng ta gọi là “thuần nhất” [19], tức là khi miền của nó và miền đảo đều có cùng kiểu lôgích; và như một chỉ định thô sơ-và-sẵn sằng của những gì chúng ta nói có nghĩa là một “kiểu”, chúng ta có thể nói rằng những cá nhân, những lớp của những cá nhân, những quan hệ giữa những cá nhân, những quan hệ giữa những lớp, những quan hệ giữa những lớp với những cá nhân, v.v., đều là những kiểu khác nhau . Giờ đây, khái niệm về sự giống nhau thì không hữu ích lắm khi áp dụng với những quan hệ vốn chúng là không thuần nhất; Thế nên, khi định nghĩa sự giống nhau, chúng ta sẽ đơn giản hóa vấn đề của chúng ta bằng việc nói về “trường” của một của những quan hệ trong vấn đề. Điều này phần nào giới hạn tính tổng quát của định nghĩa của chúng ta, nhưng sự giới hạn thì không có quan trọng nào trong thực tiễn. Và sau khi được phát biểu, nó thôi không cần ghi nhớ nữa.

 

Chúng ta có thể định nghĩa hai quan hệ P và Q như “tương tự” hay như có “sự giống nhau”, khi có một quan hệ một-một S có miền là trường của P, và có miền đảo là trường của Q, và nó như vậy khiến rằng, nếu một số hạng có quan hệ P với một số hạng khác, thì tương ứng của số hạng có quan hệ Q với tương ứng của số hạng kia, và ngược lại. Một hình vẽ sẽ làm điều này rõ ràng hơn. 

 

 

 

Gọi x y là hai số hạng có quan hệ P. Sau đó có hai số hạng z, w, sao cho x có quan hệ S với z, y có quan hệ S với w z có quan hệ Q với w. Nếu điều này xảy ra với mọi cặp số hạng giống như x y, và nếu sự việc ngược lại xảy ra với mọi cặp số hạng giống như z và w, thì rõ ràng rằng cho mọi trường hợp trong đó quan hệ P giữ, đều có một trường hợp tương ứng trong đó quan hệ Q giữ, và ngược lại; và đây là những gì chúng ta ước muốn để bảo đảm qua định nghĩa của chúng ta. Chúng ta có thể loại bỏ một vài dư thừa trong phác thảo ở trên về một định nghĩa, bằng việc quan sát rằng, khi những điều kiện trên được thực hiện, quan hệ P thì cũng là một giống như tích số tương đối của S và Q và nghịch đảo của S, tức là bước-P từ x đến y có thể được thay thế bằng sự kế tục của bước-S từ x đến z, bước-Q từ z đến w và bước-S lùi từ w đến y. Thế nên, chúng ta có thể thiết lập những định nghĩa sau: -

 

Một quan hệ S được nói là một “tương quan” [20] hay một “tương quan thứ bậc” của hai quan hệ P và Q nếu S là một-một, có trường Q cho miền đảo của nó, và sao cho P là tích số tương đối của S và Q và nghịch đảo của S.

 

Hai quan hệ P và Q được nói là “tương tự” hay có “sự giống nhau”, khi có ít nhất một tương quan của P và Q.

 

Những định nghĩa này sẽ được tìm thấy để mang lại những gì chúng ta ở trên đã quyết định là cần thiết.

 

Sẽ tìm thấy rằng, khi hai quan hệ là tương đương, chúng chia sẻ tất cả những thuộc tính vốn không tùy thuộc trên những số hạng thực sự trong những trường của chúng. Thí dụ, nếu một quan hệ bao hàm sự đa dạng thì quan hệ kia cũng vậy; nếu một quan hệ là bắc cầu, thì quan hệ kia cũng vậy; nếu một quan hệ là được kết nối, quan hệ kia cũng vậy. Thế nên nếu một quan hệ là nối tiếp, thì quan hệ kia cũng vậy. Một lần nữa, nếu một quan hệ là một-nhiều hay một-một, thì quan hệ kia là một-nhiều hay một-một; và tiếp tục như vậy, qua tất cả những thuộc tính tổng quát của những quan hệ. Ngay cả những phát biểu gồm những số hạng thực sự của trường của một quan hệ, mặc dù chúng có thể không đúng như chúng đại diện, khi áp dụng cho một quan hệ tương đương, sẽ luôn có khả năng của chuyển dịch vào thành những phát biểu vốn đều là tương tự. Chúng ta được những cân nhắc như vậy dẫn đến một vấn đề vốn trong triết học toán học, có một sự quan trọng cho đến nay vẫn đã chưa được nhìn nhận thích đáng. Vấn đề của chúng ta có thể được phát biểu như sau: -

 

Đem cho một số phát biểu nào đó trong một ngôn ngữ vốn chúng ta biết ngữ pháp và cú pháp của nó, nhưng không biết từ vựng, thì những ý nghĩa có thể có của một phát biểu giống như vậy là gì, và những ý nghĩa của những từ không biết vốn sẽ làm nó đúng là gì?

 

Lý do khiến câu hỏi này là quan trọng là nó trình bày, rất nhiều gần như hơn là có thể được giả định, trạng thái của kiến ​​thức của chúng ta về tự nhiên. Chúng ta biết rằng những mệnh đề khoa học nhất địnhvốn trong những ngành khoa học tiến bộ nhất, đều được biểu thị bằng những ký hiệu toán họcđều ít nhiều đúng với thế giới, nhưng chúng ta rất bối rối về sự giải thích những số hạng vốn xuất hiện trong những mệnh đề này. Chúng ta biết rất nhiều hơn (tạm thời lúc này, để dùng một cặp từ ngữ cổ lỗ) về hình dạng của tự nhiên hơn là về vật chất. Theo đó, những gì chúng ta thực sự biết khi chúng ta nói ra một luật của tự nhiên thì chỉ là rằng có lẽ có một số giải thích nào đó của những số hạng của chúng ta vốn sẽ làm cho luật gần đúng. Thế nên, quan trọng lớn gắn với câu hỏi: Những ý nghĩa có thể có của một luật được thể hiện trong những số hạng vốn chúng ta không biết ý nghĩa thực chất nội dung, nhưng chỉ biết ngữ pháp và cú pháp? Và câu hỏi này là một câu hỏi được nêu ở trên.

 

Cho lúc này, chúng ta sẽ làm ngơ câu hỏi tổng quát, vốn sẽ làm chúng ta bận rộn ở một giai đoạn sau; bản thân đề tài của sự giống nhau trước tiên phải được thăm dò thêm.

 

Nhờ vào sự kiện rằng, khi hai quan hệ là tương đương, những thuộc tính của chúng đều giống như nhau ngoại trừ khi chúng tùy thuộc trên những trường được cấu tạo bởi chỉ những số hạng vốn chúng được hợp thành, nên có một hệ ký hiệu vốn tụ hợp với nhau tất cả những quan hệ vốn là tương đương với một quan hệ đã cho. Cũng đúng như chúng ta đã gọi set của những lớp đó vốn chúng đều là tương đương với một lớp đã cho là “số” của lớp đó, vì vậy chúng ta có thể gọi set của tất cả những quan hệ vốn đều là tương đương với một quan hệ đã cho là “số” của quan hệ đó. Nhưng để tránh nhầm lẫn với những số thích ứng với những lớp, trong trường hợp này, chúng ta sẽ nói về một “số-quan hệ”. Thế nên, chúng ta có những định nghĩa sau: -

 

“Số-quan hệ” của một quan hệ đã cho là lớp của tất cả những quan hệ đó vốn chúng đều là tương đương với quan hệ đã cho.

 

“Những số-quan hệ” là set của tất cả những lớp đó của những quan hệ vốn là những-số-quan hệ của những quan hệ khác nhau; hoặc, những gì đi đến cùng một sự việc, một số-quan hệ là một lớp của những quan hệ gồm tất cả những quan hệ đó vốn đều tương đương với một phần tử của lớp.

 

Khi là điều cần thiết để nói về những số của những lớp trong một cách không thể gây nhầm lẫn chúng với những số-quan hệ, chúng ta sẽ gọi chúng là “những số đếm” [21] . Thế nên, những số đếm là những số dành riêng với những lớp. Chúng gồm những số nguyên thông thường của đời sống hàng ngày và cả những số vô hạn nhất định, chúng ta sẽ nói sau về chúng. Khi chúng ta nói về “những con số” nhưng không định rõ tính chất, chúng ta hiểu là những số đếm. Định nghĩa của một số đếm, nó sẽ được ghi nhớ, như sau: -

 

“Số đếm” của một lớp đã cho là set của tất cả những lớp đó vốn đều là tương tự với lớp đã cho.

 

Ứng dụng hiển nhiên nhất của những số-quan hệ là với chuỗi. Hai chuỗi có thể được coi là dài bằng nhau khi chúng có cùng số-quan hệ. Hai chuỗi hữu hạn sẽ có cùng số-quan hệ khi những trường của chúng có cùng số đếm của những số hạng, và chỉ khi đótức là một chuỗi (giả định) 15 số hạng sẽ có cùng số-quan hệ như bất kỳ chuỗi nào khác của mười lăm số hạng, nhưng sẽ không có cùng số-quan hệ như một chuỗi của 14 hay 16 số hạng, Dĩ nhiên cũng không cùng số-quan hệ như một quan hệ không phải là nối tiếp. Như vậy, trong trường hợp khá đặc biệt của chuỗi số hữu hạn, có sự song song giữa những con số đếm và những số-quan hệ. Những số-quan hệ áp dụng cho chuỗi có thể được gọi là “những số nối tiếp” (những gì thường được gọi là “số thứ tự” là một lớp-con của chúng) [22]; thế nên, một số nối tiếp hữu hạn thì được định nghĩa khi chúng ta biết số đếm của những số hạng trong trường của một chuỗi có số nối tiếp trong vấn đề. Nếu n là một số đếm hữu hạn, số-quan hệ của một chuỗi có n số hạng được gọi là số “thứ tự” n. (Cũng có những số thứ tự vô hạn, nhưng chúng ta sẽ nói ở chương sau.) Khi số đếm của những số hạng trong trường của một chuỗi là vô hạn, số liên hệ của chuỗi thì không được định nghĩa chỉ bởi số đếm, quả thực là có một số vô hạn của những số-quan hệ cho một số đếm vô hạn, như chúng ta sẽ thấy khi chúng ta đi đến xem xét những chuỗi vô hạn. Khi một chuỗi là vô hạn, cái vốn chúng ta có thể gọi “độ dài” của nó, tức là số-quan hệ của nó, có thể thay đổi với không biến đổi trong số đếm; nhưng khi một chuỗi là hữu hạn, điều này không thể xảy ra.

 

Chúng ta có thể định nghĩa phép cộng và phép nhân cho những số-quan hệ cũng như cho những số đếm, và một số học toàn phần của những số-quan hệ có thể được phát triển. Cách thức trong đó điều này có thể làm được thì dễ dàng thấy được bằng việc xem xét trường hợp của những chuỗi. Thí dụ, giả định rằng chúng ta muốn định nghĩa tổng số của hai chuỗi không trùng lập trong một lối khiến số-quan hệ của tổng số sẽ có thể định nghĩa được như tổng số của những số-quan hệ của hai chuỗi. Ngay từ đầu, rõ ràng là có một thứ bậc đã bao gồm, như giữa hai chuỗi: một trong chúng phải là đặt trước chuỗi kia. Vì vậy, nếu P và Q là những quan hệ tạo thành của hai chuỗi, trong chuỗi vốn nó là tổng số của chúng với P đặt trước Q, thì mọi phần tử của trường của P sẽ đứng trước mọi phần tử của trường của Q. Thế nên, quan hệ nối tiếp vốn được định nghĩa như tổng số của P và Q thì không chỉ đơn giản “P hay Q”, nhưng là “P hay Q hay quan hệ của bất kỳ phần tử nào trong trường của P với bất kỳ phần tử nào trong trường của Q”. Giả định rằng P và Q không trùng lập nhau, quan hệ này là nối tiếp, nhưng “P hay Q” thì không nối tiếp,là không kết nối, vì nó không giữ giữa một phần tử của trường của P và một phần tử của trường của Q. Vì vậy, tổng số của P và Q, như đã định nghĩa ở trên, là những gì chúng ta cần ngõ hầu để định nghĩa tổng số của hai số-quan hệ. Những sửa đổi tương tự là cần thiết cho những tích số và những lũy thừa. Kết quả số học không tuân theo luật giao hoán: tổng số hay tích số của hai số-quan hệ thường tùy thuộc trên thứ bậc vốn trong đó chúng đã được lấy . Nhưng nó tuân theo luật kết hợp, một dạng của luật phân phối và hai trong số những luật chính thức cho lũy thừa, không chỉ áp dụng cho những số nối tiếp nhưng còn áp dụng cho những số-quan hệ trong tổng quát. Trong thực tế, số học quan hệ, [23] mặc dù mới đây, là một nhánh của toán học hoàn toàn đáng trọng.

 

Điều phải không được giả định, chỉ đơn thuần vì những chuỗi đem cho ứng dụng hiển nhiên nhất của ý tưởng của sự giống nhau, rằng không có ứng dụng nào khác là quan trọng. Chúng ta đã nhắc đến đến những bản đồ, và chúng ta có thể mở rộng suy nghĩ của chúng ta từ minh họa này trong tổng quát sang hình học. Nếu hệ thống của những quan hệ trong đó một hình học thì được áp dụng cho một set nhất định nào đó của những số hạng có thể được đưa hoàn toàn vào trong những quan hệ của sự giống nhau với một hệ thống áp dụng cho một set khác của những số hạng, khi đó hình học của hai set đó thì không thể phân biệt được theo quan điểm toán học , tức là tất cả những mệnh đề đều giống như nhau, ngoại trừ sự kiện rằng chúng được áp dụng trong một trường hợp cho một set của những số hạng và trong một trường hợp khác cho một set khác của những số hạng. Chúng ta có thể minh họa điều này bằng những quan hệ của loại có thể được gọi là một “giữa”, vốn chúng ta đã xem xét trong Chương IV. Ở đó, chúng ta đã thấy rằng, với điều kiện một quan hệ ba-số-hạng có một số thuộc tính lôgích hình thức nhất định, nó sẽ tạo ra chuỗi và có thể được gọi là “quan hệ-giữa”. Cho hai điểm bất kỳ, ta có thể dùng quan hệ-giữa để định nghĩa đoạn thẳng xác định bởi hai điểm đó; nó gồm a b cùng với tất cả những điểm x, sao cho quan hệ-giữa giữ giữa ba điểm a, b, x theo thứ bậc nào đó hay khác. Đã được O. Veblen cho thấy rằng chúng ta có thể coi toàn bộ không gian của chúng ta như trường của quan hệ ba-số-hạng quan hệ-giữa , và định nghĩa hình học của chúng ta bằng những thuộc tính vốn chúng ta gán cho quan hệ-giữa của chúng ta.[24] Giờ đây, sự giống nhau thì đúng là cũng dễ dàng có thể định nghĩa giữa những quan hệ ba-số-hạng như giữa những quan hệ hai-số-hạng. Nếu B và B ‘là hai quan hệ-giữa, thế nên “xB (y, z)” có nghĩa là “x thì giữa y z, đối với B”, chúng ta sẽ gọi S là một tương quan của B và B’, nếu nó có trường của B’ cho miền đảo của nó, và sao cho quan hệ B giữ giữa ba số hạng khi B’ giữ giữa những tương quan S của chúng, và chỉ khi đó. Và chúng ta sẽ nói rằng B thì giống B’ khi có ít nhất một tương quan của B với B’. Người đọc có thể dễ dàng tự thuyết phục rằng, nếu B thì giống B’ theo nghĩa này, không thể có sự khác biệt giữa hình học được B tạo ra và hình học được B’ tạo ra.

 

Từ điều này dẫn đến rằng, nhà toán học không cần tự mình quan tâm với hiện hữu cụ thể hay bản chất nội tại của những điểm, đường thẳng và mặt phẳng của ông, ngay cả khi ông đang suy đoán như một nhà toán học ứng dụng. Chúng ta có thể nói rằng có bằng chứng thực nghiệm về sự thật gần đúng của những phần như vậy của hình học như đều không là những vấn đề của định nghĩa. Nhưng không có bằng chứng thực nghiệm nào về phần một “điểm” là gì. Nó phải là một gì đó vốn cũng gần như thỏa mãn được càng nhiều càng tốt những tiên đề của chúng ta nhưng nó không nhất thiết phải “rất nhỏ” hay “không có những phần”. Không biết có phải nó là những điều đó hay không là một vấn đề không có khác biệt quan trọng, miễn là nó thỏa mãn những tiên đề. Nếu chúng ta có thể, từ vật liệu thực nghiệm, xây dựng một cấu trúc lôgích, bất kể phức tạp đến mức nào, vốn nó sẽ thỏa mãn những tiên đề hình học của chúng ta, thì cấu trúc đó có thể được gọi là một “điểm” một cách hợp lôgich. Chúng ta phải không nói rằng không có gì khác có thể được gọi là “điểm” một cách hợp lôgich; chúng ta chỉ phải nói: “Đối tượng này vốn chúng ta đã xây dựng là đủ cho nhà hình học; nó có thể là một trong nhiều đối tượng, bất kỳ một nào của chúng tất sẽ là đủ, nhưng điều đó không phải là sự quan tâm của chúng ta, vì đối tượng này đủ để chính đáng chứng minh chân lý thực nghiệm của hình học, trong chừng mực hình học không phải là một vấn đề của định nghĩa”. Đây chỉ là một minh họa của nguyên lý chung rằng những gì quan trọng trong toán học, và ở một mức độ rất lớn trong khoa học vật lý, không phải là bản chất nội tại của những số hạng của chúng ta, nhưng là bản chất lôgích của những quan hệ qua lại giữa chúng.

 

Chúng ta có thể nói, về hai quan hệ tương đương, rằng chúng có cùng một “cấu trúc”. Cho những mục đích toán học (mặc dù không cho những mục đích đó của triết học thuần túy), điều quan trọng duy nhất về một quan hệ là những trường hợp trong đó nó giữ, không phải bản chất nội tại của nó. Cũng giống như một lớp có thể được định nghĩa bằng nhiều khái niệm khác nhau nhưng đồng mở rộngthí dụ “người” và “không lông đi hai chân” —vì vậy hai quan hệ khác nhau về mặt khái niệm có thể giữ trong cùng một set của những trường hợp. Một “cá biệt” trong đó một quan hệ giữ thì được coi như một cặp của số hạng, trong đó một thứ bậc, sao cho một trong những số hạng đứng trước và số hạng kia thứ hai; Dĩ nhiên, cặp phải là, sao cho số hạng đầu tiên của nó có quan hệ trong vấn đề với số hạng thứ hai của nó. Lấy (giả định) quan hệ “cha”: chúng ta có thể định nghĩa những gì vốn chúng ta có thể gọi là “mở rộng” của quan hệ này là lớp của tất cả những cặp có thứ bậc (x, y) sao cho x là cha của y. Từ quan điểm toán học, điều quan trọng duy nhất về quan hệ “cha” là nó định nghĩa set của những cặp có thứ bậc này. Trong tổng quát, chúng ta nói:

 

“Mở rộng” của một quan hệ là lớp của những cặp có thứ bậc (x, y) đó, sao cho x có quan hệ được nhắc đến với y.

 

Bây giờ, chúng ta có thể đi thêm một bước xa hơn trong tiến trình của trừu tượng hóa và suy nghĩ xem chúng ta nói “cấu trúc” với nghĩa là gì. Đem cho bất kỳ quan hệ nào, chúng ta có thể, nếu nó là một quan hệ đủ đơn giản, xây dựng một bản đồ của nó. Để xác định được rõ ràng, chúng ta hãy lấy một quan hệ vốn mở rộng của nó là những cặp sau: ab, ac, ad, bc, ce, dc, de, trong đó a, b, c, d, e là năm số hạng, bất kể là gì. Chúng ta có thể làm một “bản đồ” của quan hệ này, bằng lấy năm điểm trên một mặt phẳng và nối chúng với nhau bằng những mũi tên, như trong hình bên dưới. Những gì bản đồ biểu lộ là những gì chúng ta gọi là “cấu trúc” của quan hệ.

 

 

Điều là rõ ràng rằng “cấu trúc” của quan hệ không tùy thuộc trên những số hạng cụ thể vốn làm thành trường của quan hệ. Trường có thể được thay đổi nhưng không thay đổi cấu trúc, và cấu trúc có thể được thay đổi nhưng không thay đổi trườngthí dụ, nếu chúng ta đã thêm cặp ae trong hình minh họa trên, chúng ta tất đã thay đổi cấu trúc nhưng không thay đổi trường. Hai quan hệ có cùng một “cấu trúc”, chúng ta sẽ nói, khi cùng một bản đồ sẽ làm được cho cả haihoặc, những gì xảy ra với cùng một điều, khi một nào cũng có thể là một bản đồ cho một kia (vì mỗi quan hệ có thể là bản đồ của chính nó) . Và điều đó, vì sự hồi tưởng của một khoảnh khắc cho thấy, chính là cùng một điều vốn chúng ta gọi là “sự giống nhau”. Đó la để nói, hai quan hệ có cùng một cấu trúc khi chúng có sự giống nhau, tức là khi chúng có cùng số-quan hệ. Vì vậy, những gì chúng ta định nghĩa như “số-quan hệ” thì chính là cùng một sự việc như đã được từ “cấu trúc”có ý định làm khó hiểu —một từ vốn, quan trọng như nó, thì chưa bao giờ (cho đến nay như chúng ta biết) được những người dùng nó định nghĩa trong những số hạng chính xác.

 

Đã có một lượng lớn của suy đoán trong triết học truyền thống vốn có thể đã tránh được nếu sự quan trọng của cấu trúc, và sự khó khăn của việc ủng hộ nó, được nhìn nhận. Thí dụ, người ta thường nói rằng không gian và thời gian đều là chủ quan, nhưng chúng có những đối xứng tương ứng [25] khách quan; hay những hiện tượng là chủ quan, nhưng gây nên bởi những sự vật việc trong tự thân chúng, vốn phải có những khác biệt giữa và trong chính những sự vật việc tương ứng với những khác biệt trong những hiện tượng vốn chúng làm cho xảy ra. Ở những nơi vốn những giả thuyết như vậy được đưa ra, điều được giả định tổng quát rằng chúng ta có thể biết rất ít về những đối xứng tương ứng khách quan. Tuy nhiên, trong thực tại, nếu những giả thuyết như đã phát biểu là đúng, thì những đối xứng tương ứng khách quan sẽ tạo thành một thế giới có cùng cấu trúc giống như thế giới hiện tượng, và cho phép chúng ta từ những hiện tượng suy luận ra sự thực của tất cả những mệnh đề có thể được phát biểu trong những số hạng trừu tượng và được biết là đúng với những hiện tượng. Nếu thế giới hiện tượng có ba chiều, thì thế giới đằng sau hiện tượng cũng phải vậy; nếu thế giới hiện tượng là như Euclide, thì thế giới khác cũng phải thế; và tiếp tục như thế. Nói ngắn gọn, mọi mệnh đề có một ý nghĩa truyền đạt được phải là đúng với cả hai thế giới hay không đúng với thế giới nào cả: sự khác biệt duy nhất phải nằm trong đúng yếu tính đó của tính cá nhân vốn luôn tránh né những từ ngữ và sự mô tả rối rắm, nhưng vì chính lý do đó, nó thì không can dự với khoa học. Bây giờ, mục đích duy nhất vốn những triết gia có đối tượng trong não thức trong việc lên án những hiện tượng là nhắm để thuyết phục chính họ và những người khác rằng thế giới thực thì rất khác với thế giới của hiện ra bên ngoài. Chúng ta có thể tất cả đều có thiện cảm với mong ước của họ để chứng minh một kế hoạch rất đáng mong ước như vậy, nhưng chúng ta không thể chúc mừng họ về sự thành công của họ. Đúng là nhiều người trong số họ không khẳng định những đối xứng tương ứng khách quan với những hiện tượng, và những điều này thoát khỏi lập luận trên. Những người có khẳng định những đối xứng tương ứng , như một qui luật, rất dè dặt kín tiếng về đề tài này, có lẽ vì họ trực giác cảm thấy rằng, nếu theo đuổi, nó sẽ gây nên quá nhiều của một quan hệ thân mật giữa thế giới thực và thế giới hiện tượng. Nếu họ theo đuổi đề tài, họ khó có thể tránh khỏi những kết luận vốn chúng ta đã nêu ra. Trong những cách như vậy, cũng như trong nhiều cách khác, khái niệm về cấu trúc hay số-quan hệ thì quan trọng.

 

 

CHƯƠNG VII:

Những số Hữu tỷ, số Thực và số Phức

 

Bây giờ chúng ta đã thấy cách định nghĩa những số thứ tự, và cả những số-quan hệ, trong đó những gì thường được gọi là những số thứ tự là một loài đặc biệt. Sẽ thấy rằng mỗi loại của những số này có thể là vô hạn cũng như hữu hạn. Nhưng cả hai, trong điều kiện hiện tại của chúng, đều không có khả năng của những mở rộng quen thuộc hơn của ý tưởng về số, đó là nói rằng, những mở rộng đến những số âm, phân số, số vô tỷ và số phức. Trong chương này, chúng ta sẽ vắn tắt cung ứng những định nghĩa lôgích của những mở rộng khác nhau này.

 

 

Lê Dọn Bàn tạm dịch – bản nháp thứ nhất

(Aug/2021)

(Còn tiếp... )


http://chuyendaudau.wordpress.com

 

 



[1] the serial character

[2] order

[3] asymmetrical

[4] transitive

[5] connected

[6] [ Thuật ngữ này là do C.S. Peirce.] aliorelative: Irreflexive= không phản xạ

aliorelative = alius+ relative: do đó có nghĩa là một quan hệ mà các số hạng chỉ liên quan với những số hạng khác. Có thể dịch là ‘chỉ-với-khác-nó’, nhưng ở đây, tôi nghĩ dùng không-phản xạ cũng đủ rõ nghĩa.

[7] mutually independent

[8] proper fraction

[9] open series/cyclic series

[10] [Cf. Rivista di Matematica, iv. pp. 55ff.; Principles of Mathematics, p. 394 (§375).]

[11] [Xem Nguyên lý của Toán học, tr. 205 (§194), và những tài liệu tham khảo được đưa ra ở đó.]

[12] logical fictions

[13] “the R of x”

[14] referent

[15] relatum

[16] proper part

[17] a is correlated with c = a tương ứng với c

[18] logical types

[19] homogeneous

[20] correlator

[21] cardinal numbers: những số đếm

[22] serial numbers: những số nối tiếp; ordinal numbers: những số thứ tự

[23] relation-arithmetic

[24] [Điều này không áp dụng cho không gian ellip vốn chỉ áp dụng cho những không gian trong đó đường thẳng là một chuỗi mở. Modern Mathematics/Toán học hiện đại, JWA Young biên tập, trang 3–51 (chuyên khảo của O. Veblen về “The Foundations of Geometry/Những Nền tảng của Hình học”)]

[25] counterparts