Sự Học hỏi Toán học
Bertrand
Russell
(The Study of Mathematics [1])
Sự giảng dạy toán học nên được tiến hành thế nào để truyền thông với
người học lý tưởng cao cả này càng được nhiều càng tốt? Ở đây, trong một biện
pháp lớn rộng, kinh nghiệm phải là dẫn đường của chúng ta; nhưng một vài châm
ngôn có thể kết quả từ sự xem xét của chúng ta về mục đích cuối sẽ đạt.
(The Study of Mathematics [1])
Trong liên quan với mọi hình thức của hoạt động con người, điều cần
thiết là thỉnh thoảng nên đặt câu hỏi, – Mục đích và lý tưởng của nó là gì?
Trong lối nào nó đóng góp vào cái đẹp của sự hiện hữu con người? Khi những
phương diện của những theo đuổi đó, vốn đóng góp chỉ xa vời, bằng cung cấp cho
cơ chế của đời sống [2], là điều tốt để nhắc nhở rằng không chỉ đơn
thuần sự kiện của vẫn-đang-sống là được ước muốn, nhưng còn nghệ thuật sống
trong sự suy tưởng về những điều lớn lao. Vẫn còn nữa, nhìn trong liên hệ với
những nghiệp vụ phụ vốn không có cứu cánh nào ngoài bản thân chúng, chúng được
biện minh, nếu có chăng tất cả, như cộng thêm thực sự vào tổng số của những sở
hữu vĩnh cửu của thế giới, điều là cần thiết để giữ sống động một kiến thức về
những mục tiêu của chúng, một cái nhìn xa-trước rõ ràng về ngôi đền trong đó sự
tưởng tượng sáng tạo sẽ được hiện thân.
Đáp ứng với nhu cầu này, trong những gì liên quan đến những ngành học
định hình vật liệu trên đó tập quán đã quyết định để huấn luyện não thức của
tuổi trẻ, thì quả thực xa vời đáng buồn – xa vời đến nỗi về phần phát biểu chỉ
đơn thuần một tuyên bố loại như vậy hiện ra thành lố bịch. Những vĩ nhân, hoàn
toàn thấu hiểu và thích thú với cái đẹp của những quán tưởng, vốn sự phụng sự
chúng đã được đời sống của họ hiến trọn, khi ao ước rằng những người khác có
thể chia sẻ những thích thú của họ, thuyết phục nhân loại để truyền đạt cho
những thế hệ kế tiếp kiến thức có tính máy móc, vốn không có nó thì không thể
nào vượt qua được ngưỡng cửa. Những nhà mô phạm khô khan, bản thân họ có được
đặc quyền của cấy trồng kiến thức này: họ quên rằng nó là để phục vụ chỉ như
một chìa khóa để mở những cánh cửa của ngôi đền; mặc dù họ tiêu trọn đời họ
trên những bậc thềm dẫn lên những cánh cửa thiêng liêng đó, nhưng họ quay lưng
lại đền thờ quá kiên quyết, đến chính sự hiện hữu của nó bị quên mất, và tuổi
trẻ háo hức, người sẽ ép mình hướng tới trước để được dẫn đưa vào những mái vòm
và cột kèo vòng cung của nó, thì được chào mời quay lưng lại và đếm những bậc
thềm.
Toán học, đã chịu thiệt hại từ sự quên lãng này, thậm chí có lẽ còn
nhiều hơn sự học hỏi về cổ Hylạp và Lamã, do chỗ đứng của nó trong nền văn
minh. Mặc dù truyền thống đã xuống lệnh rằng khối lớn đông đảo của những người
có giáo dục sẽ biết ít nhất những sơ đẳng của môn học, những lý do nhờ chúng mà
truyền thống phát sinh đã bị quên, bị chôn vùi dưới một đống rác lớn của những
vặt vãnh và những tầm phào. Với những ai là người dò hỏi về phần mục đích của
toán học, trả lời thông thường sẽ là nó tạo điều kiện thuận tiện cho sự chế tạo
những máy móc, sự đi lại nơi này đến nơi kia, và sự chiến thắng những nước
ngoài, dù là trong chiến tranh hay thương mại. Nếu bị phản đối rằng những cứu
cánh này, - tất cả chúng đều có giá trị đáng ngờ - không phải là giúp cho tiến
xa hơn chỉ đơn thuần cần sự học hỏi sơ đẳng đã áp đặt trên những ai là người
không trở thành những nhà toán học chuyên môn, câu trả lời, đó là sự thật, sẽ
có thể là toán học huấn luyện những khả
năng lý luận. Thế nhưng, chính những người là người có trả lời này, hầu hết
nhiều phần, không sẵn sàng để buông bỏ sự giảng dạy của những nguỵ biện rành
rành, được biết là như thế, và đã bị trực giác gạt bỏ bởi những não thức không
phức tạp của mọi người học hỏi thông minh. Và bản thân khả năng lý luận thì nói
chung được những ai là người kêu gọi sự cấy trồng cho nó, mường tượng như chỉ
đơn thuần là một phương tiện cho sự tránh khỏi những cạm bẫy và một giúp đỡ
trong sự khám phá những quy tắc cho sự hướng dẫn của đời sống thực tiễn. Tất cả
những điều này đều là những thành tựu quan trọng không thể phủ nhận công lao
của toán học; thế nhưng không một nào trong số này là điều đã cho toán học
quyền xứng đáng có một vị trí trong mọi nền giáo dục khai phóng. Plato, chúng
ta biết, đã xem sự chiêm ngưỡng với những chân lý toán học cũng xứng đáng như
với Thần linh; và Plato đã nhận ra, có lẽ nhiều hơn bất kỳ một người đơn độc
nào khác, những yếu tố đó là những gì trong đời người, vốn đáng hưởng một chỗ
trên trời cao. Có trong toán học, ông nói, “một gì đó vốn là tất yếu và không thể gạt qua một bên
được ... và, nếu tôi không nhầm lẫn, có thuộc tính tất yếu thần linh, vì về
phần những tất yếu con người vốn cái Nhiều (đám đông) nói đến với sự kết nối
này, không gì có thể buồn cười phi lý hơn một ứng dụng tựa như thế của chữ
nghĩa.
Cle. : Và những nhu cầu cần thiết này của kiến
thức là gì, người (Athens) lạ mặt, vốn là thần thánh và không phải con người?
Ath. : Những điều đó, nếu không có một vài sử dụng,
hay kiến thức của chúng, một người không thể trở thành một vị gót với thế giới,
cũng chẳng là một tinh thần, cũng chưa phải một anh hùng, và cũng không có khả
năng chân thực để suy nghĩ và quan tâm về con người” [3] (Laws, p. 818) [4].
Như vậy đã là phán xét của Plato về toán học; nhưng những nhà toán học
không đọc Plato, trong khi những ai là người đọc ông không biết toán học, và
coi ý kiến của ông về câu hỏi này như đơn thuần chỉ một lạc đề, gợi óc tò mò.
Toán học, được nhìn chính xác, sở hữu không chỉ sự thật, nhưng cái đẹp tối thượng - một cái đẹp lạnh lẽo và
khắc khổ, giống như của điêu khắc, với không kêu gọi bất kỳ một phần nào
của bản chất yếu đuối hơn của chúng ta, với không những cạm bẫy kỳ diệu của hội
họa hay âm nhạc, nhưng tinh khiết siêu phàm, và có khả năng của một sự toàn hảo
nghiêm nghị giống như chỉ nghệ thuật lớn lao nhất có thể cho thấy. Tinh thần
của sảng khoái chân thực, ngây ngất cùng cực, cảm nhận của hữu thể hơn là
người, vốn đó là đá thử vàng của sự xuất sắc cao nhất, thì được tìm thấy trong
toán học cũng chắc chắn như trong thi ca. Những gì là hay nhất trong toán học
xứng đáng không chỉ đơn thuần là để học hỏi như một nhiệm vụ, nhưng là để được đồng hóa như một phần của tư tưởng hàng ngày,
và mang tới, nối tiếp, không biết bao nhiêu lần trước não thức với sự khuyến
khích không-ngừng-đổi-mới. Đời sống thực, với hầu hết mọi người, là một chuỗi
dài những tốt-đẹp-nhất nhưng thứ nhì, một sự thỏa hiệp liên tục không ngừng
giữa lý tưởng và có-thể-có; nhưng thế giới của lý trí thuần túy không biết đến
thỏa hiệp, không có những giới hạn thực tiễn, không có rào cản với những hoạt
động sáng tạo thể hiện khát vọng đam mê trong những dinh thự lộng lẫy vươn tới
toàn hảo mà từ đó tất cả những công trình vĩ đại khởi nguồn. Xa vời khỏi những
đam mê của con người. Xa vời, ngay cả với những sự kiện thương tâm của thiên
nhiên, những thế hệ dần dần đã tạo ra một vũ trụ trật tự, nơi đó tư duy thuần
túy có thể sống như ở quê hương tự nhiên của nó, và nơi đó, ít nhất, một trong
những xung lực cao thượng hơn của chúng ta, có thể thoát khỏi sự lưu đày thê
lương của thế giới thực tại.
Quá ít, tuy nhiên, có những nhà toán học nhắm tới cái đẹp, khiến khó có
được bất cứ gì trong công trình của họ đã có mục đích hữu thức này. Nhiều, do
những bản năng không thể đè nén, vốn vẫn tốt hơn những niềm tin được thệ nguyện,
đã được đúc khuôn bởi một thẩm vị vô thức; nhưng nhiều cũng đã bị hư hỏng bởi
những ý niệm sai lầm về những gì đã gắn vào được vừa vặn. Đặc tính xuất sắc của
toán học chỉ được tìm thấy ở chỗ nào suy luận thì hợp lôgích cứng rắn: những
quy luật của lôgích với toán học là những gì của cấu trúc với kiến trúc. Trong
hầu hết mỗi công trình đẹp, một chuỗi của luận chứng được trình bày trong đó
mỗi kết nối thì quan trọng với lý do riêng của nó, trong đó có một dáng vẻ của
sự dễ dàng không ràng buộc, và sự trong sáng trước sau thông suốt, và những
tiền đề đạt được nhiều hơn đã nghĩ rằng sẽ có thể đạt được, bằng những phương
tiện vốn chúng hiện ra tự nhiên và không thể tránh được. Văn chương là hiện
thân của những gì là tổng quát trong những trường hợp đặc thù, có ý nghĩa phổ
quát của nó tỏa sáng qua trang phục cá nhân của chúng; nhưng toán học nỗ lực để
trình bày bất cứ gì là tổng quát nhất trong sự thuần khiết của nó, với không
một bất kỳ bẫy vướng nào không liên quan.
Sự giảng dạy toán học nên được tiến hành thế nào để truyền thông với
người học lý tưởng cao cả này càng được nhiều càng tốt? Ở đây, trong một biện
pháp lớn rộng, kinh nghiệm phải là dẫn đường của chúng ta; nhưng một vài châm
ngôn có thể kết quả từ sự xem xét của chúng ta về mục đích cuối sẽ đạt.
Một trong những cứu cánh chính yếu được toán học phục vụ, khi được giảng
dạy một cách chính xác, là để đánh thức
sự tin tưởng của người học vào lý trí, sự tự tin của người ấy vào sự thật của
những gì đã chứng minh, và trong giá trị của sự chứng minh. Chủ định này
không được sự giảng dạy hiện hành phục vụ; nhưng nó thì dễ dàng để thấy những
đường lối trong đó nó có thể được phục vụ. Hiện nay, trong những gì liên quan
đến số học, em bé trai hoặc gái được
đem cho một tập hợp gồm những quy tắc, vốn bản thân chúng trình bày ra là không
đúng cũng không sai, nhưng đơn thuần như ý muốn của thày giáo, cách thức trong
đó, do vài lý do không hiểu thấu, thày giáo thích có trong trò chơi [5]. Đến một vài mức độ, trong
một học hỏi của hữu dụng thực tiễn ấn định rõ ràng thuộc loại như vậy, đây thì
chắc chắn không thể tránh; nhưng càng sớm đến mức có thể được, những lý do của
những quy tắc nên được bắt đầu bằng bất cứ phương tiện nào sẵn sàng thu hút
nhất với não thức trẻ con. Trong hình học, thay vì cơ cấu nhạt nhẽo tẻ ngắt của
những chứng minh nguỵ biện [6] cho những phát biểu hiển
nhiên đúng, vốn gồm trong bắt đầu của hình học Euclid, người học trước hết nên
được phép giả định sự thật của tất cả mọi sự-vật-việc rõ ràng hiển nhiên, và
nên được hướng dẫn trong những chứng minh của những định lý vốn chúng ngay lập
tức gây sửng sốt và dễ dàng kiểm chứng bằng hình vẽ thực, chẳng hạn như những
định lý trong đó nó cho thấy rằng ba hoặc nhiều đường gặp nhau tại một điểm.
Bằng cách này tin tưởng phát sinh; điều đã được thấy rằng lý luận có thể dẫn
đến những kết luận ngạc nhiên không ngờ, tuy nhiên những thực tại sẽ kiểm chứng
chúng; và như thế sự không tin tưởng
trong bản năng về bất cứ điều gì là trừu tượng hay duy lý thì dần dần bị vượt
qua. Chỗ nào những định lý là khó khăn, chúng cần được dạy đầu tiên như
những bài tập trong môn vẽ hình học, cho đến khi hình dạng đã trở thành hoàn
toàn thân thuộc; sau đó sẽ là một tiến bộ thoải mái để được dạy những kết nối
lôgích của những đường thẳng khác loại, hoặc những vòng tròn vốn tìm thấy xảy
ra. Điều cũng đáng ao ước là hình vẽ minh họa một định lý cần được vẽ ra trong
tất cả những trường hợp và hình dạng có thể, như thế để những quan hệ trừu
tượng vốn là bận tâm của hình học, có thể tự chúng nổi lên như là những gì còn
đọng lại của sự tương tự giữa sự đa dạng rõ ràng rộng lớn như vậy. Bằng cách
này, những chứng minh trừu tượng nên được hình thành nhưng chỉ như một phần nhỏ
của sự giáo huấn, và cần được đem cho, bởi sự thân thuộc với những hình ảnh
minh họa cụ thể, khi chúng đã đi đến được cảm nhận như là sự hiện thân tự nhiên
của thực tại nhìn thấy được. Trong giai đoạn đầu sớm sủa này, những chứng minh
không nên được đưa ra với sự trọn vẹn sư phạm; những phương pháp chắc chắn nguỵ
biện, chẳng hạn như của sự chồng hình [7], nên cứng rắn loại trừ
ngay từ đầu, nhưng ở chỗ nào, nếu không dùng những phương pháp như vậy, chứng
minh sẽ là rất khó khăn, kết quả nên được làm cho chấp nhận được bằng những lập
luận và những minh họa vốn chúng tương phản hiển nhiên với những chứng minh.
Trong khi bắt đầu algebra [8], ngay cả những đứa trẻ
thông minh nhất, như một quy luật, tìm thấy khó khăn rất lớn. Việc dùng những
chữ cái là một bí ẩn, mà dường như không có mục đích nào, trừ sự huyền bí hoá.
Nó gần như không thể, lúc đầu, không nghĩ rằng mỗi chữ đứng thay cho một vài
con số cụ thể nào đó, nếu chỉ có thày giáo mới sẽ tiết lộ nó đứng thay cho con số nào. Thực tế là, trong algebra, lần đầu tiên não thức được
giảng dạy để xem xét những sự thật tổng quát, những sự thật vốn không được
khẳng định để chỉ đặc biệt, ứng dụng cho điều này hoặc cho điều kia, nhưng cho
bất kỳ một nào trong toàn bộ một nhóm của những sự-vật-việc. Nó là trong sức
mạnh của sự hiểu biết và sau khi khám phá những sự thật loại giống như vậy, mà
sự làm chủ của trí tuệ trên toàn thế giới của những sự vật việc thực tại và có
thể có được, cư ngụ trong đó; và khả năng để đối phó với sự tổng quát loại như
vậy, là một trong những quà tặng mà một sự giáo dục toán học sẽ ban cho. Nhưng
ít ỏi chừng nào, như một quy luật, là thày giáo dạy algebra có thể có khả năng để giải thích hố sâu vốn phân cách nó
với số học, và ít ỏi chừng nào là
người học được hỗ trợ trong nỗ lực mò mẫm của mình với sự thấu hiểu! Thường
thường, phương pháp đã từng được áp dụng trong số học, vẫn được tiếp tục: qui
tắc được đặt ra, nhưng không có giải thích đầy đủ về nền tảng của chúng; học
sinh học cách dùng những quy tắc một cách mù quáng, và hiện nay, khi anh ta có
khả năng để có được câu trả lời mà thày giáo mong muốn, anh cảm thấy rằng anh
đã nắm vững được những khó khăn của môn học. Nhưng về sự thấu hiểu bên trong
của những tiến trình được dùng, anh có thể đã thu nhận gần như không được gì.
Khi đã được học algebra, tất
cả diễn ra xuông sẻ cho đến khi chúng ta đi đến những nghiên cứu trong đó khái
niệm về vô hạn được dùng - phép tính infinitesimal
calculus [9]
và toàn bộ của toán học cao cấp. Giải pháp cho những khó khăn vốn trước đây bao
quanh khái niệm vô hạn của toán học có lẽ là thành tựu lớn nhất mà thời đại của
chúng ta riêng phải tự hào. Kể từ những buổi đầu của tư tưởng Hylạp, những khó
khăn này đã được biết; trong mọi thời đại, những trí tuệ sắc sảo nhất đã cố
gắng vô vọng để trả lời cho những câu hỏi xem ra là không thể trả lời, vốn Zeno
trường phái Eleatic đã đặt thành câu hỏi. Cuối cùng Georg Cantor đã tìm thấy
trả lời, và đã chinh phục được cho trí tuệ một lãnh địa tinh khôi và rộng lớn
vốn trước đây đã phó mặc cho Hỗn độn (Chaos)
và bóng Đêm vẫn đấy [10]. Nó đã được giả định là
hiển nhiên, cho đến khi Cantor và Dedekind thiết lập được sự ngược lại, rằng
nếu từ bất kỳ một collection nào của
những sự-vật-việc, một số đã được lấy đi, số của những gì còn lại phải luôn
luôn ít hơn so với số ban đầu của chúng. Giả định này, như sự thực cho thấy,
chỉ đúng với những collection hữu
hạn; và sự chối bỏ nó, ở nơi nào có liên quan đến vô hạn, đã cho thấy lấy đi
được tất cả những khó khăn mà xưa nay vẫn làm rối lý trí con người đến ngẩn ngơ
trong vấn đề này [11]. Sự kiện vô cùng kỳ diệu
này phải đã tạo ra một cách mạng trong sự giảng dạy toán học cao cấp; tự nó nó
đã cộng thêm vô lượng vào giá trị giáo dục của môn học, và cuối cùng nó đã đem
cho nhiều nghiên cứu những phương tiện để giải quyết với sự chính xác lôgích,
vốn cho đến gần đây, đã bị gói trong nguỵ biện và tối tăm. Với những người đã
được đào tạo trên những dây chuyền cũ, công trình mới được coi là khó khăn đến
kinh sợ, sâu xa khó hiểu, và tối tăm; và phải được thú nhận rằng bản thân người
khám phá, như thường là trường hợp xảy ra, hầu như vẫn chưa xuất hiện lên trọn
vẹn từ đám sương mù mà ánh sáng trí tuệ của chính ông đang xua tan. Nhưng vốn,
học thuyết mới về vô hạn, với tất cả những não thức bộc trực không thiên vị và
hiếu kỳ học hỏi, đã tạo thuận lợi cho sự nắm vững toán học cao cấp; cho đến
nay, đã là điều cần thiết để học tập, bằng một tiến trình lâu dài đầy phức tạp
tinh tế, để đem tán thành cho những luận chứng, vốn thoạt nhìn lần đầu tiên, đã
được đánh giá đúng là lộn xộn và sai lầm. Xa như thế với sự đào tạo một niềm
tin không sợ hãi vào lý trí, một sự gạt bỏ thẳng thừng với bất cứ gì đã thất
bại, đã không làm đầy được những đòi hỏi khe khắt nhất của lôgích, một huấn
luyện toán học, trong hai thế kỷ qua, đã khuyến khích những tin tưởng vào nhiều
sự việc, vốn một điều tra cứng rắn sẽ ném bỏ như nguỵ biện, thế nhưng đã phải
được chấp nhận, vì chúng làm được việc trong những gì nhà toán học gọi là “thực
hành”. Điều này có nghĩa là, một tinh thần nhút nhát, thỏa hiệp, hoặc khác nữa,
một niềm tin như của giới làm nghề chăn chiên (Kitô) vào những bí ẩn vốn lý trí
không hiểu được với những người “ngoại đạo”, đã được nuôi dưỡng ở chốn mà đáng
lẽ chỉ một mình lý trí nên cai quản. Tất cả điều này, bây giờ là thời gian để
quét sạch; hãy để cho ai là những người mong ước đi sâu vào trong vùng chỉ có
ít người hiểu của toán học, ngay lập tức được dạy lý thuyết đúng thực trong tất
cả sự tinh khiết lôgích của nó, và trong sự nối tiếp được thiết lập bởi chính
yếu tính của những thực thể có liên quan.
Nếu chúng ta xem toán học như có một cứu cánh tự thân, chứ không phải
như một huấn luyện kỹ thuật cho những nhà kỹ thuật, điều rất đáng mong muốn là
giữ gìn sự trong sáng tinh khiết và sự nghiêm nhặt của lý luận của nó. Tương
ứng như thế, những người đã đạt được một sự quen thuộc đầy đủ với những phần dễ
dàng hơn của nó, nên được được dẫn về ngược, từ những định lý mà họ đã tán
thành như tự hiển nhiên về những định đề dần dần càng cơn bản hơn, chúng là
những gì trước đây đã xuất hiện như những tiền đề cơ sở, vốn từ chúng có thể
diễn dịch được. Họ nên được dạy - những gì mà lý thuyết về vô hạn rất khéo minh
họa – rằng nhiều những mệnh đề xem dường hiển nhiên với những não thức thiếu
rèn luyện đó, tuy nhiên, một khảo sát kỹ lưỡng hơn cho thấy là sai lầm. Bằng
điều này có nghĩa là họ sẽ được dẫn đến một điều tra phê phán, đòi chứng minh,
vào những nguyên lý đầu tiên, một sự duyệt xét những nền tảng mà trên đó toàn
bộ dinh thự của lý luận được xây dựng, hoặc để lấy một ẩn dụ vừa vặn hơn, (xem
xét) thân cây lớn mà từ đó vươn tỏa những cành nhánh. Ở giai đoạn này, là điều
cũng tốt để nghiên cứu như mới lại lần đầu những phần cơ bản của toán học, khi
thôi không hỏi chỉ đơn thuần là không biết một mệnh đề đưa ra là đúng hay
không, nhưng cũng hỏi nó phát triển ra từ những nguyên lý trung tâm của lôgích
như thế nào. Những câu hỏi thuộc bản chất này bây giờ có thể được trả lời với
một độ chính xác và sự chắc chắn mà trước đây hoàn toàn không thể có; và trong
những chuỗi của lý luận rằng câu trả lời đòi hỏi sự thống nhất của tất cả những
nghiên cứu toán học cuối cùng chính nó tự mở ra.
Trong phần lớn những sách giáo khoa toán học, có một sự thiếu xót toàn
bộ về sự thống nhất trong phương pháp và sự phát triển một cách hệ thống của
một chủ đề trung tâm. Những mệnh đề thuộc những loại rất đa dạng được chứng
minh bằng bất kỳ phương tiện nào được nghĩ là dễ hiểu nhất, và nhiều trang giấy
được dành đơn thuần cho những tò mò, tuyệt không đóng góp gì vào biện luận
chính. Nhưng trong những công trình lớn nhất, tính thống nhất và tính
không-thể-tránh được cảm thấy trong sự dần mở của một vở kịch; trong những tiền
đề là một chủ đề được đưa ra để xem xét, và trong mỗi bước tiếp theo, một số
bước tiến khẳng định được thực hiện hướng tới sự nắm vững bản chất của nó. Tình
yêu với hệ thống, với sự kết nối, mà có lẽ là yếu tính sâu thẳm của sự thúc đẩy
trí tuệ, có thể tìm thấy tự do thỏa thích trong toán học nhưng không nơi nào khác.
Người học nào cảm thấy sự thúc đẩy này đừng để bị đẩy lùi bởi một loạt xắp xếp
những thí dụ vô nghĩa, hoặc bị phân trí bởi những kỳ quặc gây cười, nhưng phải
được khuyến khích để cứ nấn ná trong những nguyên tắc trung ương, để trở thành
quen thuộc với cấu trúc của những đối tượng khác nhau được đặt trước mặt mình,
để lui tới dễ dàng hơn trên những bước của những diễn dịch quan trọng hơn. Bằng
cách này một giai điệu tốt của não thức được cấy trồng, và sự chú ý có tính
chọn lọc được dạy để nấn ná theo sở thích trên những gì có sức nặng và thiết
yếu.
Khi những ngành học riêng biệt qua đó toán học được phân thành, mỗi
ngành từng được xem như một tổng thể lôgích, như một sự phát triển tự nhiên từ
những mệnh đề tạo dựng những nguyên lý của chúng, người học sẽ có có khả năng
để hiểu được khoa học cơ bản thống nhất và hệ thống hóa toàn bộ của lý luận
diễn dịch. Đây là lôgích ký
hiệu [12], một ngành học trong đó, dù nó nợ sự khởi
đầu của nó với Aristotle, nhưng trong những phát triển lớn rộng hơn của nó, là
một sản phẩm, gần như hoàn toàn, của thế kỷ XIX, và thực vậy, trong ngày nay,
vẫn đang phát triển với tốc độ lớn mạnh. Phương pháp thực sự của sự phát kiến
trong lôgích ký hiệu, và có lẽ cũng là phương pháp tốt nhất cho sự giới thiệu
môn học với một người học đã quen thuộc với những phần khác của toán học, là sự
phân tích những thí dụ có hiện nay của lập luận diễn dịch, với một cái nhìn tới
sự khám phá của những nguyên lý đã xử dụng. Những nguyên lý này, với hầu hết
phần lớn, là gài quá sâu chặt trong bản tính suy luận của chúng ta, khiến chúng
được dùng hầu như vô thức, và có thể được kéo ra ánh sáng chỉ với nhiều gắng
sức của kiên nhẫn. Nhưng sau cùng, khi chúng được tìm thấy, chúng được thấy là
ít trong số lượng, và là nguồn duy nhất của tất cả mọi sự trong toán học thuần
túy. Sự khám phá rằng tất cả toán học đi theo sau không tránh được từ một collection nhỏ của những luật cơ bản là
một khám phá nâng cái đẹp trí thức của toàn bộ lên cao vô cùng; với những ai là
người đã bị tính chất rời rạc và không đầy đủ của hầu hết những dây chuyền của
diễn dịch đè nén, sự khám phá này đến kèm với tất cả sức mạnh áp đảo của một sự
vén hé cho thấy sự thật linh thiêng; như một lâu đài nổi lên giữa sương mù mùa
thu, khi người lữ khách trèo lên một sườn đồi ở nước Ý, những tầng trang nghiêm
của dinh thự toán học xuất hiện lần lượt theo thứ tự do và tỷ lệ của chúng, với
một sự hoàn hảo tinh khôi trong mọi phần.
Đến tận khi lôgích học ký hiệu đã thu đạt được sự phát triển hiện nay
của nó, những nguyên lý dựa trên đó mà toán học tuỳ thuộc, đã luôn luôn giả
định là thuộc triết học, và có thể khám phá được chỉ bằng những phương pháp
không vững chắc, không cấp tiến, cho đến nay được những triết gia xử dụng. Cho
đến chừng nào đây là điều suy nghĩ, toán học xem dường là không tự chủ, nhưng
phụ thuộc trên một môn học có những phương pháp khác hơn với của riêng nó. Thêm
nữa, vì bản chất của những định đề mà từ đó số học, phân tích toán, và hình
học, sẽ từ đó được diễn dịch, đã được gói trong tất cả những tối tăm truyền
thống của sự thảo luận siêu hình, dinh thự được xây trên những nền tảng đáng
ngờ loại như thế đã bắt đầu bị xem như không tốt gì hơn một lâu đài trên không.
Trong phương diện này, sự khám phá rằng những nguyên lý đúng thực cũng nhiều là
một phần của toán học như bất kỳ những hệ quả nào của chúng, đã tăng lên rất
nhiều sự thoả mãn trí thức sẽ thu nhận được. Sự thỏa mãn này không nên bị từ
chối với những người học có khả năng biết thưởng thức nó, vì nó là một loại để
làm tăng sự tôn trọng của chúng ta với những quyền năng của con người, và kiến
thức của chúng ta về những cái đẹp thuộc về thế giới trừu tượng.
Những triết gia đã đã chủ trương rất thông thường rằng những luật của
lôgích, vốn nằm chìm dưới toán học, là những luật của tư tưởng, những luật quy
định những hoạt động của não thức chúng ta. Do ý kiến này, phẩm cách thực của
lý trí bị giảm thấp rất lớn lao; nó thôi để là một điều tra vào trong tận chính
trung tâm và yếu tính bất biến của tất cả mọi sự vật việc thực tại và có thể
có, thay vào đó, thành một một điều tra vào trong một gì đó, ít hay nhiều phần
hơn, thuộc con-người, và là đối tượng cho những giới hạn của chúng ta. Sự trầm
tưởng về những gì là không-người, sự khám phá rằng những não thức của chúng ta
đều có khả năng đối ứng với những vật liệu không do mình đã tạo ra, trên tất
cả, sự nhận thức rõ rằng cái đẹp thuộc về thế giới bên ngoài cũng như bên
trong, đều là những phương thế chính yếu của sự khắc phục cảm giác khủng khiếp
của bất lực, của yếu đuối, của lưu vong giữa những sức mạnh thù địch, vốn quá dễ
nghiêng sang để kết quả từ sự thừa nhận những sức mạnh xa lạ, vốn tất cả chỉ là
toàn năng. Để hoà giải chúng ta, bằng sự
triển lãm của cái đẹp khủng khiếp của nó, với sự trị vì của Số phận – vốn chỉ
đơn thuần là sự nhân cách hoá văn chương của những sức mạnh này - là nhiệm vụ
của bi kịch. Nhưng toán học đưa chúng ta còn xa hơn nữa, từ những gì là của con
người, vào trong vùng của tất yếu tuyệt đối, với nó không chỉ là thế giới thực
tại, nhưng mọi thế giới có thể có, phải thuận hợp; và ngay cả ở chỗ này, nó xây
dựng một cư trú, hay đúng hơn là tìm được một cư trú đứng vĩnh viễn, nơi những
lý tưởng của chúng ta được hoàn toàn thỏa mãn, và những hy vọng tốt nhất của
chúng ta không bị ngăn trở. Đó là chỉ khi chúng ta thấu hiểu trước sau được sự độc lập toàn bộ của bản
thân chúng ta, vốn thuộc về thế giới này mà lý trí tìm thấy, rằng chúng ta có
thể đầy đủ nhận ra sự quan trọng sâu xa của vẻ đẹp của nó.
Không chỉ là toán học thì độc lập với chúng ta và
những suy nghĩ của chúng ta, nhưng theo một ý hướng khác nữa, chúng ta và toàn
bộ vũ trụ của những sự vật hiện hữu là độc lập với toán học. Sự thấu hiểu tính
cách lý tưởng thuần túy này thì tuyệt đối cần thiết, nếu như chúng ta sẽ hiểu
đúng vị trí của toán học như một giữa những nghệ thuật. Trước đây được giả
định rằng lý trí thuần túy có thể quyết định, trong một số phương diện, về phần
bản chất của thế giới thực tại: hình học, ít nhất, đã được nghĩ là giải quyết với
không gian trong đó chúng ta sống. Nhưng bây giờ chúng ta biết rằng toán học
thuần túy có thể không bao giờ phát ngôn trên những câu hỏi về sự hiện hữu thực
tại: thế giới của lý trí, trong một nghĩa nào đó, điều khiển thế giới của sự kiện,
nhưng nó không ở bất kỳ điểm sáng tạo nào của sự kiện, và
trong sự áp dụng những kết quả của nó với thế giới trong thời gian và không
gian, tính chắc chắn và sự chính xác của nó đều bị mất giữa những phỏng chừng
và những giả thuyết để làm việc. Những đối tượng được những nhà toán học xem
xét, trong quá khứ, đã từng chủ yếu thuộc một loại được những hiện tượng đề nghị;
nhưng từ những hạn chế như thế, trí tưởng tượng trừu tượng nên là tự
do toàn bộ. Một tự do đối ứng phải được ban hành: lý trí không thể độc
đoán ra lệnh cho thế giới của những sự kiện, nhưng những sự kiện không thể hạn
chế đặc quyền của lý trí khi giải quyết với bất cứ những đối tượng nào mà tình
yêu của nó với cái đẹp đã khiến cho xem dường có thể xứng đáng với sự xem xét. Ở
đây, như ở nơi nào khác, chúng ta đắp cao lên những lý tưởng của chúng ta từ những
mảnh vỡ được tìm thấy trong thế giới; và đến cuối cùng, nó là khó để nói không
biết liệu kết quả là một sáng tạo hay một khám phá.
Điều rất đáng
mong ước, trong sự hướng dẫn, không chỉ đơn thuần để thuyết phục sinh viên về
tính chính xác của những định lý quan trọng, nhưng để thuyết phục anh ta theo lối
vốn bản thân nó, với tất cả những đường lối có thể được, có cái đẹp bậc nhất.
Sự quan tâm thực sự của một chứng minh không phải, như những phương thức truyền
thống của sự phân bày giải thích gợi ý, là tập trung hoàn toàn vào kết quả; chỗ
nào điều này xảy ra, nó phải được xem như là một khiếm khuyết, để được bù đắp
sửa chữa, nếu có thể, bằng khái quát hoá những bước như thế của chứng minh khiến
mỗi bước trở thành quan trọng trong chính nó và cho chính nó. Một biện luận chỉ
dùng để chứng minh một kết luận thì giống như một câu chuyện phụ, thứ yếu cho
một vài luân lý vốn nó có ý muốn giảng dạy: nhưng cho sự toàn hảo thẩm mỹ,
không phần nào của toàn bộ nên chỉ đơn thuần là một phương tiện. Một tinh thần
thực tiễn nhất định nào đó, một mong muốn cho tiến bộ nhanh chóng, cho sự chinh
phục của những cõi mới, thì chịu trách nhiệm cho sự nhấn mạnh quá đáng trên
những kết quả vốn chúng chiếm ưu thế trong sự giảng dạy toán học. Cách tốt hơn
là đề nghị một vài chủ đề để xem xét - trong hình học, đưa ra một hình có những
thuộc tính quan trọng; trong toán phân tích, một hàm số trong đó nghiên cứu giúp
giải thích sáng tỏ, và như vậy. Bất cứ khi nào những chứng minh phụ thuộc trên
chỉ một vài những tính chất/dấu hiệu/đặc điểm mà chúng ta định nghĩa đối tượng để
được nghiên cứu, những đặc điểm này nên được tách ra và xem xét, nghiên cứu cho
những lý lẽ của riêng chúng. Vì nó là một khiếm khuyết, trong một luận chứng,
để dùng nhiều tiền đề hơn kết luận đòi hỏi: những gì những nhà toán học gọi là
những kết quả đẹp “thanh tao”, đến từ sau khi xử dụng chỉ những nguyên lý thiết
yếu, vốn trong “phẩm giá cao cả” của chúng khiến luận đề là đúng thực. Đó là một
đáng khen ngợi trong Euclid rằng ông tiến thật xa như ông có thể tiến tới mà
không cần dùng tiên đề về những đường song song - không, như thường nói, bởi vì
tiên đề này chịu thừa hưởng tính có thể bị phản đối, nhưng bởi vì, trong toán
học, mỗi tiên đề mới lại làm giảm tính tổng quát của những định lý kết quả từ
nó, và tính tổng quát lớn nhất có thể có được thì trước tất cả mọi sự việc được
tìm kiếm [13].
Về những hiệu quả của toán học bên ngoài phạm vi riêng của nó đã được viết nhiều hơn chủ đề của chính lý tưởng thích hợp riêng của nó. Ảnh hưởng trên triết học, trong quá khứ, đã được đáng chú ý nhất, nhưng đa dạng nhất; trong thế kỷ XVII, chủ nghĩa duy ý và chủ nghĩa duy lý, trong thế kỷ XVIII, chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy cảm, có vẻ như con đẻ của nó. Về tác động mà nó có thể có trong tương lai, sẽ là rất thiếu suy nghĩ để nói cho nhiều; nhưng trong một khía cạnh, một kết quả tốt hiện ra có thể xảy đến. Phản lại với loại thái độ của thuyết hoài nghi vốn từ bỏ sự theo đuổi những lý tưởng vì con đường thì nhọc nhằn và mục tiêu không chắc có thể đạt, toán học, trong phạm vi riêng của nó, là một câu trả lời hoàn chỉnh. Quá thường, người ta nói rằng không có chân lý tuyệt đối, nhưng chỉ có ý kiến và phán đoán cá nhân; rằng mỗi người chúng ta là bị điều kiện, trong quan điểm của mình về thế giới, bởi những đặc thù riêng của mình, thẩm vị và thiên vị của chính mình; rằng không có vương quốc bên ngoài nào của sự thật, mà bằng sự kiên nhẫn, kỷ luật, chúng ta lại có thể cuối cùng được nhận vào, nhưng chỉ có sự thật cho tôi, cho bạn, cho tất cả mỗi người riêng biệt. Bởi thói quen này của não thức, một trong những cứu cánh chính yếu của nỗ lực con người thì bị từ chối, và đức hạnh tối cao của sự thẳng thắn, của sự thừa nhận không hề sợ hãi về những gì là, biến mất khỏi viễn kiến đạo đức của chúng ta. Với thuyết hoài nghi loại như thế, toán học đó là một lời quở trách vĩnh viễn; vì những dinh thự của sự thật của nó đứng không lay chuyển được và không thâm nhập xâm chiếm được, trước tất cả những vũ khí của thuyết hoài nghi chỉ-biết-mình.
Những tác dụng của toán học trên đời sống thực tiễn, mặc dù chúng không nên được xem như là động cơ cho những học hỏi của chúng ta, có thể được dùng để trả lời một hoài nghi mà người sinh viên đơn độc luôn luôn phải có trách nhiệm. Trong một thế giới quá đầy tà ác và đau khổ, khi rút lui vào những hành lang khép kín của trầm tưởng suy niệm, với sự vui hưởng những thích thú, dẫu cao thượng, phải luôn luôn là chỉ cho một số ít, không thể khác nhưng xuất hiện như một từ chối có phần nào ích kỷ, vì không chia sẻ gánh nặng do ngẫu nhiên đã áp đặt lên người khác, trong đó công bằng không đóng vai. Có bất kỳ một ai trong chúng ta có quyền hay không, chúng ta hỏi, để rút khỏi những tà ác hiện nay, bỏ mặc không giúp đỡ đồng bào của chúng ta, trong khi chúng ta đang sống một cuộc sống, mặc dù khó khăn và khắc khổ, tuy thế trong bản chất riêng của nó, rõ ràng an lành? Khi những câu hỏi này đưa lên, trả lời đúng là, không phải nghi ngờ, rằng một vài người phải giữ cho lửa thiêng đừng tắt, một vài người phải gìn giữ, trong mỗi thế hệ, viến kiến ám ảnh vốn những hình bóng đẩy tới trước mục tiêu của quá nhiều gắng sức. Nhưng khi, như đôi khi phải xảy ra, trả lời này dường như quá lạnh lẽo, khi chúng ta hầu như bị điên cuồng bởi cảnh tượng của những đau xót, với nó chúng ta không giúp đỡ, sau đó chúng ta có thể suy ngẫm rằng nhà toán học gián tiếp thường làm nhiều cho hạnh phúc con người hơn bất kỳ ai là những người đương thời của mình hoạt động thực tiễn hơn. Lịch sử khoa học dồi dào chứng minh rằng một tổng thể gồm những mệnh đề trừu tượng, nếu ngay cả, như trong trường hợp của những bộ phận về hình nón, trong hai ngàn năm nó giữ im không ảnh hưởng gì đến cuộc sống hàng ngày – thế nhưng, bất cứ lúc nào, có thể được dùng để gây ra một cuộc cách mạng trong những suy nghĩ thường lệ thói quen, và những nghề nghiệp của mỗi công dân. Việc dùng hơi nước và điện – để nêu những trường hợp nổi bật – chỉ có thể được cung ứng bởi toán học. Trong những kết quả của tư tưởng trừu tượng thế giới có một vốn đầu tư, sự đem nó dùng trong làm giàu chức năng sinh hoạt thông thường, cho đến nay, không những giới hạn nào đã được tìm thấy. Kinh nghiệm cũng chẳng đưa ra bất cứ phương tiện nào để quyết định những bộ phận nào của toán học sẽ được thấy là hữu ích. Hữu ích, do đó, có thể là chỉ một sự an ủi trong những lúc chán nản, không phải là một dẫn đường trong việc chỉ hướng những nghiên cứu của chúng ta.
Về những hiệu quả của toán học bên ngoài phạm vi riêng của nó đã được viết nhiều hơn chủ đề của chính lý tưởng thích hợp riêng của nó. Ảnh hưởng trên triết học, trong quá khứ, đã được đáng chú ý nhất, nhưng đa dạng nhất; trong thế kỷ XVII, chủ nghĩa duy ý và chủ nghĩa duy lý, trong thế kỷ XVIII, chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa duy cảm, có vẻ như con đẻ của nó. Về tác động mà nó có thể có trong tương lai, sẽ là rất thiếu suy nghĩ để nói cho nhiều; nhưng trong một khía cạnh, một kết quả tốt hiện ra có thể xảy đến. Phản lại với loại thái độ của thuyết hoài nghi vốn từ bỏ sự theo đuổi những lý tưởng vì con đường thì nhọc nhằn và mục tiêu không chắc có thể đạt, toán học, trong phạm vi riêng của nó, là một câu trả lời hoàn chỉnh. Quá thường, người ta nói rằng không có chân lý tuyệt đối, nhưng chỉ có ý kiến và phán đoán cá nhân; rằng mỗi người chúng ta là bị điều kiện, trong quan điểm của mình về thế giới, bởi những đặc thù riêng của mình, thẩm vị và thiên vị của chính mình; rằng không có vương quốc bên ngoài nào của sự thật, mà bằng sự kiên nhẫn, kỷ luật, chúng ta lại có thể cuối cùng được nhận vào, nhưng chỉ có sự thật cho tôi, cho bạn, cho tất cả mỗi người riêng biệt. Bởi thói quen này của não thức, một trong những cứu cánh chính yếu của nỗ lực con người thì bị từ chối, và đức hạnh tối cao của sự thẳng thắn, của sự thừa nhận không hề sợ hãi về những gì là, biến mất khỏi viễn kiến đạo đức của chúng ta. Với thuyết hoài nghi loại như thế, toán học đó là một lời quở trách vĩnh viễn; vì những dinh thự của sự thật của nó đứng không lay chuyển được và không thâm nhập xâm chiếm được, trước tất cả những vũ khí của thuyết hoài nghi chỉ-biết-mình.
Những tác dụng của toán học trên đời sống thực tiễn, mặc dù chúng không nên được xem như là động cơ cho những học hỏi của chúng ta, có thể được dùng để trả lời một hoài nghi mà người sinh viên đơn độc luôn luôn phải có trách nhiệm. Trong một thế giới quá đầy tà ác và đau khổ, khi rút lui vào những hành lang khép kín của trầm tưởng suy niệm, với sự vui hưởng những thích thú, dẫu cao thượng, phải luôn luôn là chỉ cho một số ít, không thể khác nhưng xuất hiện như một từ chối có phần nào ích kỷ, vì không chia sẻ gánh nặng do ngẫu nhiên đã áp đặt lên người khác, trong đó công bằng không đóng vai. Có bất kỳ một ai trong chúng ta có quyền hay không, chúng ta hỏi, để rút khỏi những tà ác hiện nay, bỏ mặc không giúp đỡ đồng bào của chúng ta, trong khi chúng ta đang sống một cuộc sống, mặc dù khó khăn và khắc khổ, tuy thế trong bản chất riêng của nó, rõ ràng an lành? Khi những câu hỏi này đưa lên, trả lời đúng là, không phải nghi ngờ, rằng một vài người phải giữ cho lửa thiêng đừng tắt, một vài người phải gìn giữ, trong mỗi thế hệ, viến kiến ám ảnh vốn những hình bóng đẩy tới trước mục tiêu của quá nhiều gắng sức. Nhưng khi, như đôi khi phải xảy ra, trả lời này dường như quá lạnh lẽo, khi chúng ta hầu như bị điên cuồng bởi cảnh tượng của những đau xót, với nó chúng ta không giúp đỡ, sau đó chúng ta có thể suy ngẫm rằng nhà toán học gián tiếp thường làm nhiều cho hạnh phúc con người hơn bất kỳ ai là những người đương thời của mình hoạt động thực tiễn hơn. Lịch sử khoa học dồi dào chứng minh rằng một tổng thể gồm những mệnh đề trừu tượng, nếu ngay cả, như trong trường hợp của những bộ phận về hình nón, trong hai ngàn năm nó giữ im không ảnh hưởng gì đến cuộc sống hàng ngày – thế nhưng, bất cứ lúc nào, có thể được dùng để gây ra một cuộc cách mạng trong những suy nghĩ thường lệ thói quen, và những nghề nghiệp của mỗi công dân. Việc dùng hơi nước và điện – để nêu những trường hợp nổi bật – chỉ có thể được cung ứng bởi toán học. Trong những kết quả của tư tưởng trừu tượng thế giới có một vốn đầu tư, sự đem nó dùng trong làm giàu chức năng sinh hoạt thông thường, cho đến nay, không những giới hạn nào đã được tìm thấy. Kinh nghiệm cũng chẳng đưa ra bất cứ phương tiện nào để quyết định những bộ phận nào của toán học sẽ được thấy là hữu ích. Hữu ích, do đó, có thể là chỉ một sự an ủi trong những lúc chán nản, không phải là một dẫn đường trong việc chỉ hướng những nghiên cứu của chúng ta.
Cho sự lành mạnh của đời sống đạo đức, cho sự cao thượng hoá giọng điệu của một
thời đại hay một quốc gia, những phẩm hạnh nghiêm khắc hơn có một sức mạnh kỳ
lạ, vượt quá sức mạnh của những gì không được nhận hiểu biết và được tinh luyện
bằng tư tưởng. Trong những phẩm hạnh nghiêm khắc hơn này, tình yêu với sự thật
là chính yếu, và trong toán học, hơn những nơi nào khác, tình yêu với sự thật
có thể tìm thấy sự khuyến khích cho lòng tin tưởng suy tàn. Mỗi nghiên cứu lớn
lao không chỉ là một mục đích trong bản thân nó, mà cũng là một phương tiện của
việc tạo ra và duy trì một thói quen cao cả của não thức; và mục đích này nên
được giữ luôn luôn trong cái nhìn trước sau, suốt trong dạy và học toán học.
Lê Dọn Bàn tạm
dịch – bản nháp thứ nhất
(Jul/2014)
[1] [In lại từ bản đầu tiên trên New Quarterly November, 1907]
Dịch từ
Bertrand Rusell. Philosophical Essays
- Longmans,
Green, and Co. London: 1910, những trang
71-86
[2] Mechanism of
life.
[3] Đàm thoại giữa 3 nhân vật trong Laws của Plato: Cleinias (người đảo
Crete), Megillus (người vùng Lacedaemon của Sparta), và một người lạ mặt, dân
thành Athens.
[4] [Đoạn này do giáo sư Gilbert Murray đã
chỉ cho tôi.]
[5] Thí dụ, những qui tắc làm toán nhẩm, qui
tắc làm toán cộng trừ có số nhớ, hay chia số lẻ, vv…Trẻ con bị sớm làm khổ với
những qui tắc đó, ngay cả phải “thuộc lòng” bảng cửu chương, … tất cả giúp
chúng làm toán nhanh như máy, nhưng thực sự chúng không học được chút gì đích
thực “toán học” trong những thực hành đó. Những qui tắc này, quá lạm dụng, đã
đẩy bao nhiêu thế hệ trẻ con thành “ghét” hay “sợ” toán. Sau lần đầu tiếp xúc
đầy nhọc nhằn và hoảng sợ, phản ứng tự nhiên là quay lưng, trốn chạy, và lý trí
non nớt đó sẽ có thể không bao giờ có được dịp may thứ hai để được khéo léo đưa
vào toán học khi bắt đầu học giải những bài toán như học giải quyết vấn đề,
dùng suy nghĩ, lý luận, phân tích; ở đây, lại một lần nữa, những nguyên tắc
(thí dụ nguyên tắc tam xuất, nguyên tắc vẽ đồ thị, ...), hay phương pháp thực
hành phổ thông (bắt làm thật nhiều cho quen, hàng trăm bài tương tự cho mỗi
“loại”) sẽ sớm làm nản lòng, người học toán sẽ không bao giờ biết đến được cái
đẹp, vui hưởng được sự thích thú của môn học. Vĩnh viễn che khuất mọi lối đưa
đến, như tác giả nói, khu đền đài tráng lệ của lý trí thuần lý gồm những dinh
thự nguy nga lộng lẫy nhất của tri thức nhân loại.
[6] Một thí dụ -
chứng minh mọi tam giác là tam giác cân (every triangle is isosceles).
[7] Superposition: phương
pháp chứng minh bằng ghép, chiếu hình trong hình học Euclid, in which a figure
is transferred to another point in space. Thí dụ, định lý I.4 về tam giác đồng
dạng (“If two triangles have two sides equal to two sides respectively, and
have the angles contained by the equal straight lines equal, then they also
have the base equal to the base, the triangle equals the triangle, and the
remaining angles equal the remaining angles respectively, namely those opposite
the equal sides”), side-angle-side congruence of triangles, is proved by moving
one of the two triangles so that one of its sides coincides with the other
triangle's equal side, and then proving that the other sides coincide as well.
Some modern treatments add a sixth postulate, the rigidity of the triangle,
which can be used as an alternative to superposition.
[8] Tôi
nghĩ chúng ta nên giữ tên gọi, dùng những phiên-âm, để chỉ những môn học
của phương Tây, nếu có thể được, thay vì dùng những từ đã mượn-dịch từ Tàu.
Trong trường hợp này là “algebra” thay vì “đại số”, algebra là
tên gọi gốc của phương Tây, chính họ cũng không dịch, nhưng đã phiên âm, mượn từ
Ả rập “al-jabr”, vậy chúng ta nên giữ, không nên theo Tàu, vừa gián tiếp,
sai lạc và vô nghĩa. Algebra hay “al-jabr”: là sự kết hợp lại những phần bị vỡ/còn thiếu. Theo tựa đề tập
sách “ʿilm al-jabr wa'l-muḳābala”
của nhà toán học vĩ đại al-Ḵwārizmī (780-850 TCN) người Persia, Abdallāh Muḥammad
ibn Mūsā al-Khwārizmī, ông cũng là người thành lập khái niệm algorithm
trong toán học, và thành cốt yếu trong khoa học computer.
Arithmetic: Số học, gốc Latin
“arithmetica” < Greek “arithmētikē (tekhnē) –thuật đếm” < “arithmos”: con
số”.
[9] infinitesimal :khái niệm trỏ những số cực nhỏ, tiến dần đến
zero. Trong khi có thể có một số vô cực lớn những hạt cát trên bãi biển, nhưng
mỗi hạt cát, so với khối cát, có thể nói là vô cực nhỏ infinitesimal. Khái niệm vô
hạn, dùng ký hiệu số vô cực (do
nhà toán học Anh John Wallis đưa ra năm 1657), ở đây cho thấy cả cực lớn +∞, và cực nhỏ −∞. Calculus là môn
toán học nghiên cứu về cách sự vật thay đổi như thế nào. Nó cung cấp một khuôn
khổ để thiết lập những mô hình cho những hệ thống trong đó có sự thay đổi, và
một cách thức để suy đoán về những mô hình như vậy. Ý tưởng cơ bản của calculus
là nghiên cứu sự thay đổi bằng cách xem xét sự thay đổi ngắn hạn gần như “tức
thời”, nói thế có nghĩa là những thay đổi của đối tượng trong những khoảng thời
gian nhỏ.
[10] “Chaos and old Night” trong John Milton, Paradise Lost.
[11] Georg Cantor
(1845-1918): nhà toán học người Đức, đã sáng lập thuyết tập hợp và giới thiệu
khái niệm những số siêu hạn, hay vô hạn lớn (transfinite numbers) trong
toán học hiện đại. Công trình của Cantor rất quan trọng với lôgích, đặc biệt là
với dự án ở đầu thế kỷ 20 với ý định thu giảm toán học về lôgích. Ngoài ra,
quan niệm có nhiều những vô hạn khác nhau của Cantor có ảnh hưởng lớn với
triết học. Sinh thời, Cantor bị những nhóm sùng mộ Kitô, gồm những giáo sư,
toán học gia thời danh, chỉ trích và chống đối rất nghiệt ngã, liên tục; họ cho
rằng Cantor đã thách thức bản chất cho là vô hạn chỉ có một của Gót.
Trước Cantor, khái niệm vô hạn (∞) là: (a) chủ yếu
là một hình ảnh ẩn dụ được những nhà Gót học Kitô sử dụng độc quyền (chỉ bản
chất của Gót), (b) không phải là một khái niệm toán học được hiểu chính xác, và
(c) một nguồn của những nghịch lý (nghịch lý của Zeno, của Galileo), bất đồng ý
kiến, và sự lẫn lộn.
Năm 1873 Cantor đã chứng minh rằng những số có thể viết dưới dạng phân số
(rational numbers), mặc dù vô hạn, là đếm được (hoặc có thể đếm được) vì
chúng có thể được đặt trong một liên kết một-một (one-to-one correspondence) với những số tự nhiên (ví dụ, số nguyên,
như 1, 2, 3, ...). Ông cũng đã cho thấy rằng những tập hợp những số thực R (gồm
những số trong tập hợp Q, có thể viết dưới dạng phân số, và những số trong tập
hợp I, không thể viết dưới dạng phân số - rational and irrational numbers)
là vô hạn và không đếm được. Thậm chí còn nghịch lý hơn, ông đã chứng minh rằng
tập hợp của tất cả những số algebra (algebraic numbers) chứa nhiều thành phần
như tập hợp của tất cả những số nguyên và số transcendental (không phải số
algebra, như π),
vốn là một tập hợp con của những số không thể viết dưới dạng phân số, là không
đếm được và do đó, nhiều hơn rất nhiều so với tập hợp tất cả những số nguyên, vốn
phải được mường tưởng và giả định như vô hạn (infinite), và bằng nhau.
Trong số những thành tựu quan trọng nhất của Cantor là sự nhận ra rằng
có những mức độ của vô hạn: một vài tập hợp vô hạn, hoặc siêu hạn, thực sự lớn
hơn những tập hợp vô hạn khác. Trong số những khám phá là nhóm gồm tất cả những
số thực R (bao gồm bất kỳ con số nào dọc một đường liên tục) thì nhiều
hơn (cardinality) nhóm gồm tất cả những số tự nhiên N; mặc dù thực
tế là cả hai nhóm đều là những tập hợp vô hạn.
Cantor cũng minh họa rằng những tập hợp lớn hơn so với tập hợp những số
tự nhiên là không đếm được. Theo định nghĩa, một tập hợp là đếm được, khi và chỉ
khi nó có thể được “máp” 1:1 (mapping one to one: liên kết một-một) vào tập hợp
những số tự nhiên, hoặc một vài tập hợp con của nó.
Cantor cũng mô tả những số đếm phần tử tập hợp (cardinal numbers), số đo
những kích thước của những tập hợp. Những tập hợp cùng lượng số (cardinality) nếu
có một tương ứng một-một giữa chúng, có nghĩa là, nếu hai tập hợp có một sự
tương ứng một-một giữa những phần tử của chúng. Vì vậy, những tập hợp {1, 2, 3}
và {a, b, c} là những tập hợp khác nhau, khác loại nữa; nhưng có cùng
cardinality, Số đếm phần tử trong mỗi tập hợp đều là 3. Hai tập hợp này là equipollent.
Với những tập hợp hữu hạn, Cantor sử dụng những số tự nhiên, bắt đầu từ
0, để chỉ cardinality của chúng. Với cardinalities của những tập hợp vô
hạn, Cantor được sử dụng chữ aleph tiếng Dothái, ℵ, với một số subscript để chỉ lượng số. Như vậy, Số
đếm phần tử tập hợp là:
0, 1, 2, 3 ..., ℵ0, ℵ1, ℵ2 ...
Số đếm phần tử tập hợp nhỏ nhất cho tập hợp siêu hạn là ℵ0, đọc alpeh-naught. ℵ0 là cardinality của tập hợp N, một tập hơp vô hạn gồm
tất cả những số tự nhiên.
Lý thuyết của Cantor đã trở thành một chủ đề nghiên cứu hoàn toàn mới,
liên quan đến toán học về vô hạn (mathematics of the infinite; ví dụ, một chuỗi
dài, như 1, 2, 3, ..., và thậm chí những tập hợp số phức tạp hơn). Lý thuyết của
ông đã phụ thuộc nhiều vào phương pháp sử dụng sự tương ứng một-một (bijection- one-to-one correspondence).
Như thế, đã phát triển cách thức mới để đặt câu hỏi liên quan đến tính liên tục
và vô tận (continuity and infinity).
Bạn ông; Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), nhà toán học người Đức,
là người đã phát triển một định-nghĩa-lại quan trọng của những số I, không thể
viết dưới dạng phân số (irrational numbers). Mặc dù không được nhìn nhận đầy đủ
trong khi ông còn sống, giải quyết của ông về khái niệm vô hạn, và những gì tạo
dựng một số thực R (real number) tiếp tục ảnh hưởng toán học hiện đại.
[12] Lôgích ký hiệu hay Lôgích toán học (Symbolic
logic hay mathematical logic) đã ấn định và hệ
thống hoá suy luận diễn dịch, sử dụng những ký hiệu trừu tượng cho những khía
cạnh khác nhau của ngôn ngữ tự nhiên. Logic ký hiệu dùng những khái niệm và kỹ
thuật của toán học, đặc biệt là của lý thuyết tập hợp, và đã quay sang góp phần
vào sự phát triển và củng cố nền tảng của toán học.
Organon của Aristole được biết là công trình đầu tiên của lôgích Hylạp, nay thường
gọi là lôgích hình thức (formal logic) hay lôgích cổ điển của triết học phương
Tây, để phân biệt với những lôgích mới, lần lượt xuất hiện trong hai thế kỷ
qua. Symbolic logic thành hình từ
công trình của Augustus De Morgan và George Boole khoảng giữa thế kỷ 19, và đã
phát triển với những đóng góp của W. S. Jevons, C. S. Peirce, Ernst Schröder,
Gottlob Frege, Giuseppe Peano, Bertrand Russell, A. N. Whitehead, David
Hilbert. Nhưng Gottlob Frege (1848-1925) và Bertrand Russell (1872-1970) với
quan điểm logicism - toán học có thể
thu giản về lôgích – được xem là đã thực sự sáng lập lôgích hiện đại.
Lôgích ký hiệu thường được phân thành hai ngành phụ, propositional logic
(trước đây gọi là propositional calculus) and predicate logic (trước đây
gọi là predicate calculus).
[13] Năm định đề (Postulate, hay tiên đề/axiom) Euclid, trong Elements của ông:
1. Một đoạn thẳng có thể vẽ được bằng nối hai điểm bất kỳ (A straight line segment can be drawn joining any
two points).
2. Bất kỳ một đoạn thẳng nào
cũng có thể kéo dài vô tận trong một đường thẳng (Any straight line segment can
be extended indefinitely in a straight line)
3. Cho bất kỳ một đoạn thẳng
nào, có thể vẽ được một vòng tròn, có đoạn thẳng là bán kính, và có tâm là một
đầu của đoạn thẳng (Given any straight line segment, a circle can be drawn
having the segment as radius and one endpoint as center.)
4. Tất cả những góc vuông
đều đồng dạng (All right angles are congruent).
5. Nếu vẽ hai đường thẳng
cắt một đường thứ ba, sao cho tổng số các góc trong nhỏ hơn hai góc vuông, hai
đường này phải gặp nhau, phía có hai góc đó, nếu kéo dài chúng thêm xa hơn (If
two lines are drawn which intersect a third in such a way that the sum of the
inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines
inevitably must intersect each other on that side if extended far enough)
Đinh đề thứ 5 này, thường được gọi là định đề hai đường song song, và phát biểu dưới nhiều dạng. Dạng tôi
được học là “Từ một điểm ngoài một đường thẳng, chỉ có thể vẽ được một đường thẳng
song song với nó” (theo trí nhớ). Định đề thứ năm này của Euclid không thể
chứng minh như một định lý được; rất nhiều nhà toán học đã thử nhưng thất bại,
và điều này đã dẫn đến những kết quả lý thú, bất ngờ. Chính Euclid chỉ dùng bốn
định đề đầu cho 28 mệnh đề (định lý) của ông trong Elements, nên phần hình học này có tên “hình học tuyệt đối”
(“absolute geometry”), chỉ khi đến định lý 29, ông mới dùng định đề 5.
Năm 1823, Janos Bolyai (người Hungary) và Nicolai Lobachevsky
(người Nga), độc lập với nhau, đã khám phá rằng có thể thiết lập được những
hình học – không dùng định đề thứ năm như phát biểu trên – và chúng được gọi là
những hình học phi-Euclid (non-Euclidean geometries) Gauss (người Đức) cũng đã có
khám phá tương tự nhưng ông gạt bỏ, không công bố.
Ngày nay, trong không gian 3 chiều, có ba loại hình học cong
liên tục (constant curvature geometries). Tất cả đều dựa trên 4 định đề đầu, đã
kể trên của Euclid, nhưng mỗi hình học khác nhau ở phát biểu định đề nổi tiếng
thứ 5:
1. Hình học mặt phẳng – hình học của trực giác hàng ngày được gọi là hình học Euclid (hoặc hình
học parabol),
2. Hình học
hyperbol (hoặc hình học Lobachevsky-Bolyai-Gauss) và hình học elliptic (hoặc
hình học Riemann)
3. Hình học mặt cầu (Spherical geometry: hai chiều nhưng trên mặt cầu): không có đường song song
trong hình học này. Những đường thẳng đều là những vòng tròn lớn.
Những hình học kể trong 2,3 là những hình học phi-Euclid. Mãi
cho đến năm 1868, Eugenio Beltrami (người Ý) đã chứng minh rằng những hình học
phi-Euclid cũng thuận hợp lôgích, trước sau vững chắc, như chính hình học Euclid.
Quay về với tác giả, ngay từ khi còn rất nhỏ tuổi,
Bertrand Russell đã cho thấy một sự chú ý không đổi với Toán học. Ông kể trong
tự truyện – “Năm tuổi mười một, tôi bắt
đầu học Euclid, anh Frank tôi (hai anh em mồ côi rất sớm), dạy kèm cho
tôi” – “đây là một trong những sự kiện
lớn nhất của đời tôi, rực rỡ như mối tình đầu. Tôi đã không thể tưởng tượng
rằng lại có được bất cứ điều gì ngọt ngào tuyệt vời đến như thế trên đời. Sau
khi tôi đã học được định đề thứ năm, anh tôi bảo với tôi rằng nó đã thường được
coi là khó khăn, nhưng tôi đã chẳng thấy gì là khó khăn cả. Giống như mọi vui
sướng, tuy nhiên, nó không được hoàn toàn”. – “Tôi đã được bảo Euclid chứng
minh những sự việc, và đã thất vọng nhiều khi ông bắt đầu với những tiên đề
(một axiom là một mệnh đề (toán học)
được xem như tự hiển nhiên, không phải chứng minh). Thoạt đầu, tôi không chịu chấp
nhận chúng, trừ khi anh tôi có thể cho tôi một số lý do để làm vậy, nhưng anh
tôi nói: Nếu em không chấp nhận chúng, chúng ta không thể tiếp tục nữa, và vì
tôi muốn tiếp tục, lúc ấy tôi đã miễn cưỡng chấp nhận chúng. Các nghi ngờ về
tiền đề của toán học mà tôi cảm thấy vào thời điểm đó vẫn còn với tôi”. Những
câu hỏi về những nền tảng trên đó Toán học dựa vào đã theo đuổi và đã dẫn
Russell dành giai đoạn đầu của tuổi trưởng thành của ông vào việc tìm một lý
thuyết để đặt Toán học vững chắc trên những cơ sở của lôgích, kết quả là ba tập
nổi tiếng Principia Mathematica, tập
đầu cùng viết với Alfred North Whitehead, người thày cũ của ông ở Trinity
College, Cambridge. Trong đó, tuyên bố rằng đã thu giảm tất cả toán học về một
hệ thống thống nhất gồm những định đề từ dó tất cả các định lý của toán học có
thể được chứng minh, cũng như Euclid đã làm với hình học. Tuy nhiên, Kurt
Gödel (1906-1978), đến 1931 (với
Incompleteness Theorem) đã chứng minh rằng trong một hệ thống đủ phức tạp,
như lý thuyết số (theory of numbers), phải có một mệnh đề không thể chứng minh được
là đúng hoặc sai. Hệ luận của nó là có một mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh
được. Như thế, bất kỳ một hệ thống lý thuyết – ở một mức đủ phức tạp nào đó – không
thể tự nó chứng minh mình đúng! Chúng ta có thể thấy ngay trong Gödel, toán học
và triết học đã trộn lẫn ranh giới, như trong Russell trên đây.
Xem thêm Russell.Kiến thức của Chúng ta về Thế giới Bên ngoài, chương 7, ‘Lý thuyết Khẳng định về Vô hạn; bản tôi dịch trên blog này.
