Bản Thể Học
Hành Trình Của
Một Câu Hỏi: Có Gì Hiện Hữu Và Hiện Hữu Là Gì?
(Từ Hy Lạp Cổ
Đại Đến Những Câu Hỏi Về Thực Tại Ngày Nay)
21. Russell: Phân Tích Lôgíc Và Vấn Đề Hiện Hữu (tiếp)
21.3. Logicism: Địa Vị Bản Thể Học
Của những Thực Thể Toán Học
Câu hỏi — những số
và những thực thể toán học có phải là những đối tượng tồn tại độc lập, hay có
thể giải thích chúng bằng lôgích?
Russell không chỉ
đưa lôgích vào việc phân tích ngôn ngữ. Ông còn muốn dùng lôgích để giải quyết
một vấn đề nằm sâu hơn: nền tảng của toán học.
1 + 1 = 2
chúng ta thường
coi 1, 2, + và = là những khái niệm đã có sẵn. Toán học thông thường có thể bắt
đầu từ đó. Nhưng nếu hỏi về nền tảng của toán học, chúng ta phải đặt câu hỏi
trước đó:
“1 là gì?”
“2 là gì?”
“Một số có địa vị
như thế nào?”
“Những mệnh đề số học
dựa trên những nguyên lý nào?”
Đây là nơi
Logicism — Thuyết Lôgích Toán học của Russell xuất hiện.
Logicism là
chương trình nhằm thu giảm toán học về lôgích học: tìm cách cho thấy rằng những
khái niệm cơ bản của toán học có thể được định nghĩa bằng những khái niệm
lôgích, và những đúng-thật toán học có thể được suy diễn từ những đúng-thật
lôgích. Mục tiêu này đã được Russell trình bày rõ trong The Principles of
Mathematics (1903), rồi được ông cùng Alfred North Whitehead phát triển
thành một hệ thống đồ sộ trong Principia Mathematica (1910–1913). [1]
Cần hiểu đúng chữ
“thu giảm” ở đây. Russell không nói rằng toán học chỉ là một trò chơi ký hiệu,
càng không nói rằng những số chỉ là những ký hiệu do chúng ta đặt ra. Ông muốn
tìm một cách giải thích trong đó địa vị của những khái niệm toán học có thể được
xác định từ những khái niệm lôgích cơ bản hơn.
Nói cách khác,
thay vì đưa số vào hệ thống như những đối tượng nguyên thủy rồi xây dựng toán học
trên chúng, Logicism hỏi liệu chúng ta có thể xây dựng hoặc định nghĩa số từ những
nguyên lý đã có trong lôgích hay không.
Từ số học quen
thuộc đến câu hỏi về nền tảng
Hãy lấy số 2 làm
ví dụ.
Chúng ta có:
- hai quả táo;
- hai cuốn sách;
- hai người;
- hai cái ghế.
Những đối tượng này
hoàn toàn khác nhau. Quả táo không giống cuốn sách; cuốn sách không giống con
người. Thế nhưng chúng ta đều nói rằng mỗi nhóm có hai thành viên.
Vậy “hai” nằm ở đâu?
Không có một vật thể
tên là 2 nằm bên cạnh hai quả táo. Cũng không có một vật thể trừu tượng nào cần
phải xuất hiện bên cạnh hai cuốn sách để làm cho chúng trở thành “hai”.
Điểm chung nằm ở cấu
trúc của những lớp.
Nếu có hai quả táo:
quả táo A, quả táo B
và hai cuốn
sách:
cuốn sách A, cuốn sách B,
chúng ta có
thể thiết lập một tương ứng một-một:
quả táo A ↔ cuốn sách A
quả táo B ↔ cuốn sách B.
Không cần biết những
đối tượng ấy có tính chất vật lý gì, chỉ cần có thể ghép từng thành viên của lớp
thứ nhất với đúng một thành viên của lớp thứ hai và ngược lại, chúng ta biết
hai lớp có cùng lực lượng.
Đây là cơ sở để
Russell phân tích khái niệm số.
Trong The
Principles of Mathematics, ông viết: “Mathematically, a number is
nothing but a class of similar classes.”
Có thể dịch theo hệ
thuật ngữ đang sử dụng: “Về mặt toán học, một số chẳng qua là một lớp của
những lớp tương tự nhau.”
Ở đây “tương tự” không
có nghĩa là giống nhau về hình dạng, màu sắc hay bất kỳ tính chất vật lý nào.
“Tương tự” có nghĩa lôgích: hai lớp tương tự nhau khi có thể thiết lập một
tương ứng một-một giữa những thành viên của chúng.
Vì vậy, lớp gồm hai quả
táo và lớp gồm hai cuốn sách có thể thuộc cùng một lớp rộng hơn, bởi cả hai đều
có cùng lực lượng.
Theo cách này, số 2
không cần được xem như một vật thể trừu tượng tồn tại độc lập với mọi lớp cụ thể.
Nó có thể được xác định thông qua quan hệ lôgích giữa những lớp có cùng lực lượng.
Đây là điểm cốt lõi của
Logicism.
Russell muốn thay đổi
câu hỏi từ:
“Số 2 tồn tại ở đâu?”
sang:
“Số 2 có thể được định nghĩa như thế nào bằng những quan hệ và khái niệm
lôgích?”
Sự thay đổi này rất
quan trọng. Nếu một khái niệm toán học có thể được định nghĩa bằng những khái
niệm lôgích cơ bản hơn, thì chúng ta không cần đưa khái niệm ấy vào nền tảng của
toán học như một thực thể nguyên thủy chưa được giải thích.
Vì sao phải xây dựng cả
một hệ thống?
Một người đọc không
chuyên có thể hỏi: nếu ý tưởng về số 2 đơn giản như vậy, tại sao Principia
Mathematica lại cần đến ba tập sách và hàng nghìn trang?
Bởi Russell và
Whitehead không muốn giải thích riêng số 2. Họ muốn xây dựng một nền tảng
lôgích cho toán học.
Muốn làm được như vậy,
họ phải đi từ những nguyên lý rất cơ bản của lôgích, rồi từng bước xây dựng những
khái niệm cần thiết cho toán học. Không thể đơn giản nói:
“Số 2 là lớp của những
lớp có hai thành viên”
rồi coi toàn bộ vấn đề
đã được giải quyết. Chính những từ như “lớp”, “thành viên”, “có cùng lực lượng”,
“tương ứng”, cũng phải được xác định trong một hệ thống có những quy tắc rõ
ràng.
Vì thế, Principia
Mathematica phải xây dựng một ngôn ngữ hình thức và một hệ thống suy diễn
trong đó những mệnh đề có thể được chứng minh theo những quy tắc xác định.
Có thể hình dung
Logicism như một quá trình đi ngược từ toán học quen thuộc về nền tảng của nó:
toán học → số học → số → lớp và quan hệ → lôgích
rồi từ nền tảng ấy xây
dựng trở lại:
lôgích → định nghĩa → số → số học → toán học.
Đây không phải là hai
ngành riêng biệt được đặt cạnh nhau. Đó là một chương trình xây dựng nền tảng:
Russell muốn chứng minh rằng những gì chúng ta gọi là toán học có thể được phát
triển từ một nền tảng lôgích đủ chặt chẽ.
Vì sao Nghịch lý
Russell trở thành một vấn đề?
Chính tại đây xuất hiện
một khó khăn rất lớn. [2]
Nếu chúng ta nói
về những lớp, chúng ta phải quy định rất chặt chẽ những lớp nào được phép hình
thành.
Nếu không, có thể
xuất hiện những lớp dẫn đến mâu thuẫn.
Nghịch lý Russell
có thể được diễn đạt bằng một câu hỏi đơn giản:
Có một lớp gồm tất
cả những lớp không là thành viên của chính chúng. Lớp ấy có là thành viên của
chính nó không?
Nếu trả lời có,
thì nó không thể là thành viên của chính nó, bởi nó được định nghĩa là lớp của
những lớp không là thành viên của chính chúng.
Nếu trả lời
không, thì nó lại thỏa mãn điều kiện để thuộc vào lớp ấy, bởi nó là một lớp
không là thành viên của chính nó.
Cả hai trả lời đều
dẫn đến mâu thuẫn.
Đối với Logicism,
đây không phải một vấn đề bên lề. Nếu Russell muốn xây dựng toán học từ lôgích,
thì chính hệ thống nền tảng ấy phải tránh được những mâu thuẫn như vậy.
Vì thế, Principia
Mathematica phải đưa ra những giới hạn nghiêm ngặt về cách hình thành những
biểu thức và những lớp. Từ đây có thuyết về những loại (Theory of
Types), trong đó những đối tượng, những lớp và những cấu trúc lôgích được
phân biệt theo những loại và cấp độ khác nhau.
Người đọc không cần
nắm toàn bộ kỹ thuật của thuyết này để hiểu Logicism. Điểm cần nhớ là:
Không phải mọi biểu
thức đều có thể được hình thành theo mọi cách; những quy tắc của hệ thống phải
ngăn một cấu trúc quay trở lại và chứa chính cấu trúc đã được dùng để xác định
nó.
Do đó, Principia
Mathematica không chỉ tìm cách thu giảm toán học về lôgích học. Công trình
còn phải xây dựng một cấu trúc lôgích đủ chặt chẽ để chương trình thu giảm ấy
không tự dẫn đến mâu thuẫn.
Từ “1 + 1 = 2”
Đến Toàn Bộ Toán Học
Một cách tốt để
hiểu tham vọng của Principia Mathematica là nhìn vào mệnh đề quen thuộc:
1 + 1 = 2.
Đối với người học
toán, đây là một mệnh đề quá đơn giản để cần giải thích. Nhưng đối với Russell
và Whitehead, nếu mục tiêu là xây dựng nền tảng cho toán học, thì chính những
khái niệm làm nên mệnh đề ấy phải được giải thích.
“1” là gì?
“2” là gì?
“+” là gì?
“=” biểu thị quan hệ nào?
Những quy tắc nào cho phép suy ra mệnh đề này?
Vì vậy, việc Principia
Mathematica chỉ đi đến một mệnh đề tương đương với 1 + 1 = 2 sau một chuỗi
xây dựng rất dài không phải là một sự kỳ quặc. Nó cho thấy chính xác mục tiêu của
công trình: không coi những khái niệm sơ cấp của toán học là những điểm xuất
phát không cần giải thích, mà tìm cách truy chúng về những nguyên lý cơ bản
hơn.
Đối với toán học
thông thường, 1 + 1 = 2 là điểm xuất phát gần như hiển nhiên.
Đối với chương
trình của Russell và Whitehead, nó là một kết quả phải được xây dựng trong hệ
thống.
Sự khác biệt ấy
cho thấy Logicism không chỉ quan tâm đến việc chứng minh một mệnh đề đúng. Nó
quan tâm đến cơ sở làm cho mệnh đề ấy có thể được phát biểu, định nghĩa và chứng
minh.
Ý nghĩa bản thể học
của Logicism
Đến đây mới thấy
rõ tại sao Logicism có vị trí trong bản thể học.
Nếu chúng ta coi
số 2 là một đối tượng tồn tại độc lập, chúng ta phải đưa số vào danh mục những
gì thuyết của mình thừa nhận là tồn tại.
Nhưng nếu có thể
xác định số 2 bằng một cấu trúc lôgích, thì tình hình thay đổi. Chúng ta không
còn phải bắt đầu bằng một đối tượng nguyên thủy gọi là “2”. Ta có thể giải
thích địa vị của số thông qua những quan hệ và cấu trúc mà hệ thống lôgích đã
xác định.
Vì vậy, Logicism
không đơn giản nói:
“Các số không tồn tại.”
Luận điểm tinh tế
hơn:
“Không nhất thiết phải xem những số như những thực thể nguyên thủy mà nền tảng
toán học phải giả định ngay từ đầu.”
Đây là một khác
biệt quan trọng. Russell không phủ nhận rằng chúng ta có thể nói về số, chứng
minh những mệnh đề về số và sử dụng số trong toán học. Ông muốn biết chúng ta cần
giả định gì để làm được tất cả những việc ấy. Nếu có thể xây dựng số từ những
khái niệm lôgích cơ bản hơn, thì một phần gánh nặng bản thể học của toán học được
giảm xuống.
Theo nghĩa này,
Logicism đưa ra một nguyên tắc có ý nghĩa rộng đối với triết học:
Trước khi thừa nhận
một loại thực thể mới, hãy xem liệu địa vị của nó có thể được giải thích bằng
những cấu trúc cơ bản hơn hay không.
Đây chính là lý
do Principia Mathematica quan trọng đối với dự án triết học của Russell.
Công trình không chỉ tìm cách đặt toán học trên một nền tảng lôgích chặt chẽ;
nó còn cho thấy phân tích lôgích có thể làm thay đổi cách chúng ta xác định những
gì một thuyết phải thừa nhận là tồn tại.
Tuy nhiên, không
nên diễn đạt kết quả của Logicism bằng công thức đơn giản “toán học = lôgích”. Principia
Mathematica là một chương trình phức tạp, phải sử dụng một hệ thống lôgích
rất tinh vi và phải đối mặt với những vấn đề liên quan đến những nguyên lý cần
thiết cho việc xây dựng toán học. Đặc biệt, tiên đề vô hạn và tiên đề khả quy
trở thành những điểm khó khăn đối với tham vọng thu giảm toán học về lôgích học
theo nghĩa hoàn toàn thuần túy.
Do đó, điều quan
trọng cần giữ lại không phải là khẩu hiệu “toán học chỉ là lôgích”, mà là tham
vọng của Russell và Whitehead: tìm một nền tảng trong đó những khái niệm và
đúng-thật toán học có thể được giải thích và suy diễn từ những nguyên lý lôgích
cơ bản, qua đó giảm nhu cầu phải giả định những thực thể toán học như những
thành phần nguyên thủy của nền tảng toán học.
Ở đây, câu hỏi về
địa vị bản thể học của số gặp trực tiếp câu hỏi về nền tảng của toán học. Và
chính tại điểm gặp ấy, Logicism trở thành một phần quan trọng trong bản thể học
của Russell.
Lê Dọn Bàn tổng
hợp – bản nháp thứ nhất
(Aug/2026)
(Còn tiếp. . .
→)
http://chuyendaudau.
blogspot. com/
http://chuyendaudau.
wordpress. com
[1] Logicism — Thuyết Lôgích Toán học và Principia
Mathematica
Chính lựa chọn thứ
hai — tìm cách giải thích những khái niệm toán học bằng những khái niệm lôgích
thay vì mặc nhiên giả định một lĩnh vực riêng gồm những thực thể toán học — nằm
ở trung tâm của Logicism, hay Thuyết Lôgích Toán học của Russell.
Để hiểu chương
trình này, trước hết cần thấy rằng Russell không đặt câu hỏi về toán học chỉ
theo nghĩa thông thường: “Những mệnh đề toán học có đúng hay không?” Ông đặt một
câu hỏi nền tảng hơn:
“Những đúng-thật
toán học dựa trên đâu?”
Chẳng hạn, khi
chúng ta nói:
1 + 1 = 2
chúng ta thường dùng
những khái niệm 1, 2, + mà không đặt câu hỏi chúng từ đâu mà có. Trong toán học
thông thường, chúng có thể được dùng như những khái niệm cơ bản. Nhưng đối với
Russell, một triết gia đang tìm nền tảng cho toán học, đây chưa phải điểm kết
thúc. Ông muốn hỏi: những khái niệm ấy có thể được phân tích và định nghĩa từ
những khái niệm nào đơn giản hơn? Những đúng-thật toán học có thể được suy diễn
từ những nguyên lý nào?
Từ đây xuất hiện
chương trình thu giảm toán học về lôgích học.
Theo Logicism, những
khái niệm toán học có thể được định nghĩa bằng những khái niệm lôgích, còn những
đúng-thật toán học có thể được suy diễn từ những đúng-thật lôgích. Nếu chương
trình này thành công, toán học không cần bắt đầu bằng việc giả định sẵn một thế
giới gồm những số và những thực thể toán học khác. Thay vào đó, có thể xây dựng
những khái niệm toán học từ những nguyên lý lôgích cơ bản hơn.
Russell đã theo
đuổi chương trình này trước khi Principia Mathematica ra đời. Trong The
Principles of Mathematics (1903), ông đã đặt mục tiêu xây dựng toán học từ
một số rất nhỏ những khái niệm và nguyên lý cơ bản. Đến Principia
Mathematica, ông cùng Alfred North Whitehead tìm cách thực hiện chương
trình ấy bằng một hệ thống lôgích hình thức có quy mô rất lớn.
Principia
Mathematica được Russell
và Whitehead xuất bản trong ba tập, từ 1910 đến 1913. Đây là một trong những
công trình lớn nhất của lôgích học đầu thế kỷ XX.
Tên sách có thể
hiểu là “Những nguyên lý của toán học”. Nhưng người đọc không nên hình dung đây
là một cuốn sách trình bày toán học theo cách thông thường. Russell và
Whitehead không bắt đầu bằng những phép tính quen thuộc rồi giải thích cách thực
hiện chúng. Họ đi theo hướng ngược lại: xây dựng những nền tảng lôgích mà từ đó
những khái niệm và mệnh đề toán học có thể được phát triển.
Nói đơn giản,
toán học thông thường có thể bắt đầu bằng:
1, 2, 3, 4...
rồi dùng những số
ấy để xây dựng những phép tính ngày càng phức tạp.
Russell và Whitehead
muốn hỏi:
“Trước khi có 1, 2, 3..., chúng ta phải có những gì?”
Vì vậy, họ phải làm rõ
trước những khái niệm và nguyên tắc của lôgích, sau đó xây dựng những khái niệm
toán học từ nền tảng ấy.
Đây là lý do Principia
Mathematica có hình thức rất khác với sách toán mà chúng ta thường đọc. Người
đọc phải đi qua một hệ thống ký hiệu, định nghĩa, nguyên tắc và chứng minh rất
dài trước khi gặp những kết quả mà toán học phổ thông xem là hiển nhiên.
Một ví dụ nổi tiếng là
mệnh đề:
1 + 1 = 2
chỉ xuất hiện sau một
chuỗi xây dựng rất dài. Điều này không có nghĩa Russell và Whitehead phải mất
nhiều trang để chứng minh một phép cộng đơn giản. Vấn đề là họ muốn xây dựng những
khái niệm làm cho chính mệnh đề ấy trở thành một mệnh đề có thể được phát biểu
và chứng minh trong hệ thống.
Nói cách khác, họ
không chỉ hỏi:
“1 + 1 bằng bao nhiêu?”
mà hỏi:
“‘1’, ‘2’, ‘+’ và ‘=’ có thể được xác định như thế nào, và từ những
nguyên lý nào có thể chứng minh rằng 1 + 1 = 2?”
Đó chính là tinh thần
nền tảng của Logicism.
Số là gì?
Vấn đề về số cho thấy
rõ nhất tham vọng của Russell.
Nếu nói rằng 2 tồn tại,
chúng ta phải giải thích “2” là gì. Nó không phải một vật thể cụ thể như một
cái bàn hay một quả táo. Nhưng nó cũng không phải một âm thanh hay một ký hiệu
đơn thuần. Ký hiệu “2” chỉ là cách chúng ta biểu thị số 2.
Vậy số 2 có địa vị
nào?
Russell tìm cách trả lời
câu hỏi ấy bằng cách phân tích lực lượng của những lớp.
Hãy xét hai lớp:
{quả táo A, quả táo B}
và:
{cuốn sách A, cuốn sách B}.
Các quả táo và những cuốn sách hoàn toàn khác nhau. Nhưng có thể thiết lập
một tương ứng một-một:
Không có thành viên
nào của lớp thứ nhất bị bỏ lại và không có thành viên nào của lớp thứ hai được
ghép với hai thành viên khác nhau. Hai lớp vì thế có cùng lực lượng.
Russell dùng cấu trúc
này để giải thích số. Trong The Principles of Mathematics, ông viết:
“Mathematically, a
number is nothing but a class of similar classes.”
Có thể dịch:
“Về mặt toán học, một
số chẳng qua là một lớp của những lớp tương tự nhau.”
“Lớp” ở đây không nên
hiểu như một vật thể. Một lớp là một tập hợp những đối tượng được xem xét cùng
nhau theo một điều kiện xác định. Hai lớp được gọi là tương tự khi có thể thiết
lập một tương ứng một-một giữa những thành viên của chúng.
Do đó, lớp gồm hai quả
táo và lớp gồm hai cuốn sách cùng thuộc về một lớp rộng hơn: lớp của tất cả những
lớp có cùng lực lượng với chúng.
Theo cách ấy, số 2
không cần được hình dung như một vật thể trừu tượng nằm ở đâu đó bên ngoài những
lớp cụ thể. Số được xác định thông qua một cấu trúc lôgích.
Đây là điểm quan trọng
nhất cần giữ lại đối với người đọc không chuyên:
Russell không giải
thích số bằng cách hỏi “số tồn tại ở đâu?”, mà bằng cách phân tích cấu trúc
lôgích qua đó khái niệm số được xác định.
Tại sao phải có một hệ
thống lôgích phức tạp đến vậy?
Nếu chỉ định nghĩa số
2 theo cách trên, vấn đề có vẻ khá đơn giản. Nhưng khi Russell cố gắng xây dựng
toàn bộ toán học từ lôgích, những khó khăn nghiêm trọng xuất hiện.
Một trong những khó
khăn lớn nhất liên quan đến những lớp.
Nếu chúng ta cho phép
tạo ra một lớp bất kỳ nào cũng được, chúng ta có thể hình thành những lớp dẫn đến
nghịch lý. Chính Russell đã phát hiện một nghịch lý nổi tiếng liên quan đến việc
một lớp có thể hay không thể là thành viên của chính nó.
Có thể diễn đạt rất
đơn giản như sau.
Hãy xét:
lớp của tất cả những lớp không phải là thành viên của chính chúng.
Bây giờ hỏi:
Lớp này có phải là thành viên của chính nó không?
Nếu nó là thành viên của
chính nó, thì theo điều kiện dùng để xác định lớp, nó không được là thành viên
của chính nó.
Nhưng nếu nó không phải
là thành viên của chính nó, thì nó lại thỏa mãn điều kiện để thuộc về lớp ấy;
do đó nó phải là thành viên của chính nó.
Cả hai khả năng đều dẫn
đến mâu thuẫn.
Đây là Nghịch lý
Russell.
Nghịch lý này có
ý nghĩa đặc biệt đối với Logicism vì Russell và Whitehead không thể chỉ bỏ qua
nó. Nếu mục tiêu là xây dựng một nền tảng lôgích cho toán học, thì hệ thống nền
tảng ấy phải tránh những mâu thuẫn như vậy.
Từ đây xuất hiện thuyết
về những loại (Theory of Types).
Ý tưởng cơ bản là
không phải mọi biểu thức đều được phép đứng ở cùng một cấp độ và không phải mọi
lớp đều có thể được hình thành theo cùng một cách. Phải có sự phân biệt giữa những
loại khác nhau để ngăn những vòng quay lôgích dẫn đến nghịch lý.
Có thể hình dung
rất sơ lược:
- đối tượng thuộc một loại;
- những lớp gồm những đối tượng ấy thuộc
một loại cao hơn;
- những lớp của những lớp ấy lại thuộc
một loại khác;
- không thể tùy tiện để một cấu trúc
quay trở lại và chứa chính cấu trúc đã được dùng để xác định nó.
Đây chỉ là hình
dung sơ bộ. Thuyết về những loại trong Principia Mathematica phức tạp
hơn nhiều, nhưng đối với mục đích hiện tại, điểm cần hiểu là: Russell phải đặt
ra những giới hạn về cách hình thành những lớp và những mệnh đề để bảo đảm hệ
thống không tự dẫn đến mâu thuẫn.
Từ Logicism đến nền
tảng của toán học
Như vậy, Principia
Mathematica không chỉ nhằm chứng minh rằng một số mệnh đề toán học là đúng.
Russell và Whitehead muốn trả lời một câu hỏi sâu hơn:
Toán học có thể
được xây dựng trên một nền tảng lôgích chặt chẽ đến mức nào?
Để thực hiện mục
tiêu ấy, họ phải giải quyết đồng thời nhiều vấn đề: định nghĩa số, xác định những
quan hệ cơ bản giữa những lớp, xây dựng những phép toán lôgích, kiểm soát cách
hình thành những lớp và tránh những nghịch lý phát sinh từ tự quy chiếu.
Vì thế, Principia
Mathematica là một công trình có quy mô đặc biệt lớn. Nó không phải một bài
chứng minh duy nhất mà là một hệ thống nền tảng, trong đó Russell và Whitehead
cố gắng xây dựng những phần quan trọng của toán học từ những nguyên lý lôgích.
Tuy nhiên, cần
tránh một cách nói quá đơn giản rằng Principia Mathematica đã chứng minh
rằng “toán học chỉ là lôgích” mà không có thêm điều kiện nào. Chương trình thực
tế phức tạp hơn. Hệ thống của Russell và Whitehead cần đến những nguyên lý và
giả định mà địa vị của chúng trong một chương trình hoàn toàn thuần lôgích đã
trở thành vấn đề tranh luận. Đặc biệt, tiên đề vô hạn và tiên đề khả quy đặt ra
những khó khăn quan trọng cho tham vọng thu giảm toàn bộ toán học về lôgích học.
Vì vậy, nên hiểu
Logicism như một chương trình triết học về nền tảng của toán học, chứ không phải
như một khẩu hiệu rằng mọi toán học đều hiển nhiên đồng nhất với lôgích.
Điểm quan trọng đối
với bản thể học nằm ở sự thay đổi trong cách đặt câu hỏi.
Thay vì bắt đầu bằng:
“Có những số nào
tồn tại?”
Russell muốn
chúng ta hỏi:
“Những khái niệm
toán học có thể được định nghĩa từ những khái niệm nào cơ bản hơn?”
Và thay vì mặc
nhiên xem số 2 như một thực thể nguyên thủy, ông tìm cách xác định nó bằng một
cấu trúc lôgích — lớp của những lớp tương tự nhau.
Theo nghĩa ấy,
Logicism làm thay đổi gánh nặng bản thể học của toán học. Một thực thể không nhất
thiết phải được đưa vào nền tảng như một thực thể nguyên thủy chỉ vì ngôn ngữ
toán học nói về nó. Trước hết, phải xem xét liệu địa vị của nó có thể được giải
thích bằng những cấu trúc lôgích cơ bản hơn hay không.
Đó là đóng góp
quan trọng của Principia Mathematica đối với câu hỏi bản thể học mà
Russell đang theo đuổi: phân tích lôgích không chỉ giúp chúng ta chứng minh những
mệnh đề toán học; nó còn cho phép chúng ta xem xét kỹ hơn những gì toán học thực
sự cần phải thừa nhận là tồn tại.
[2] NGHỊCH LÝ RUSSELL (RUSSELL’S PARADOX)
I.
Phát biểu chính thức:
Nghịch lý cho thấy rằng
không thể tùy ý coi mọi điều kiện mô tả được là xác định một tập hợp. Nó tạo ra
mâu thuẫn trong thuyết tập hợp “ngây thơ” (naive set theory).
Dạng chuẩn
Xét tập hợp:
R = {x
| x ∉ x}
Tức R
là tập hợp của mọi tập hợp không thuộc
chính nó.
Bây giờ hỏi: R có thuộc chính R không?
- Nếu R ∈ R, thì theo định nghĩa của R, R phải là một tập
hợp không thuộc chính nó:
R ∉ R.
- Nếu R ∉ R, thì R đúng là một tập hợp không thuộc chính nó; vậy theo định
nghĩa, nó phải thuộc R: R ∈ R.
Do đó:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Đây là mâu thuẫn: một
mệnh đề không thể đồng thời đúng và sai theo cùng một nghĩa.
II
Phát biểu Nghịch lý theo thuyết tập hợp ngây thơ:
Trong ngôn ngữ của
thuyết tập hợp ngây thơ, nghịch lý Russell được phát biểu bằng cách xét “tập hợp
của mọi tập hợp không phải là phần tử của chính mình”:
R
= {x | x ∉ x}
Ở đây, x ∈ x có nghĩa là tập hợp x tự thuộc về nó;
còn R gồm đúng những tập hợp x sao cho x ∉ x.
Suy diễn mâu thuẫn
Theo định
nghĩa của R, với mọi tập hợp x:
x ∈ R ↔ x ∉ x
Thế riêng x =
R, ta có:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Giờ xét hai
khả năng:
- Nếu R ∈ R, thì
vì mọi phần tử của R đều không thuộc chính mình,
suy ra R ∉ R.
- Nếu R ∉ R, thì R
thỏa đúng điều kiện để thuộc R; do đó R ∈ R.
Vậy cả hai
giả định đều dẫn đến mệnh đề đối lập:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Do đó, nếu
chấp nhận rằng R là một tập hợp, ta nhận được mâu thuẫn:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Đó là phát
biểu tập hợp luận cổ điển của nghịch lý Russell.
Tiền đề ẩn: nguyên lý tạo tập hợp vô hạn chế
Bước
then chốt không phải là suy luận sau khi đã có R, mà là quyền lập tập hợp R.
Thuyết tập hợp ngây thơ dùng nguyên lý hiểu theo nghĩa vô hạn chế (unrestricted
comprehension):
Với bất kỳ điều kiện
hay vị từ P(x) nào, luôn tồn tại tập hợp R gồm chính xác những x thỏa điều kiện
ấy.
Nghĩa là: với
bất kỳ điều kiện hay vị từ P(x) nào, luôn tồn tại tập hợp R
gồm chính xác những x thỏa điều kiện ấy.
Chọn:
P(x): x ∉ x
ta được ngay:
R = {x | x ∉ x}
và mâu thuẫn xuất hiện khi cho x =
R.
Ý nghĩa
Nghịch lý
không chứng minh rằng quan hệ thuộc ∈ tự nó mâu thuẫn, cũng không đòi hỏi phải có sẵn những tập hợp tự thuộc
như R. Nó chứng minh rằng nguyên
lý “mỗi điều kiện xác định một tập hợp” là quá mạnh.
Trong những
hệ tiên đề hiện đại như ZF/ZFC, không được phép tạo R bằng nguyên lý hiểu
vô hạn chế. Thay vào đó, ta chỉ được tách một tập hợp con từ một tập hợp đã có:
B = {x ∈ A | P(x)}
Vì không có
một “tập hợp của mọi tập hợp” U làm miền xuất phát, ta không thể
lập R như một tập hợp phổ quát; cùng lắm nó được xem là một lớp riêng (proper class),
không phải phần tử hay tập hợp trong hệ. Điều này là một trong những cách nền tảng
hiện đại tránh mâu thuẫn Russell.
III
Thí dụ giải thích quen thuộc:
Nghịch lý người thợ cắt
tóc
Trong một làng nọ
có một người thợ cắt tóc. Ông tuyên bố một quy tắc:
“Tôi cắt tóc cho
tất cả và chỉ những người đàn ông trong làng không tự cắt tóc cho chính mình.”
Hỏi: người thợ cắt
tóc có tự cắt tóc cho chính mình không?
Xét hai khả năng:
- Nếu ông tự cắt tóc cho mình — thì ông thuộc nhóm “người tự cắt tóc”.
Nhưng theo quy tắc, ông chỉ cắt tóc cho người không tự cắt tóc. Vậy
ông không được cắt tóc cho mình. Mâu thuẫn.
- Nếu ông không tự cắt tóc cho mình — thì ông thuộc nhóm “người không tự cắt
tóc”. Nhưng theo quy tắc, ông phải cắt tóc cho tất cả người thuộc nhóm
này, kể cả chính ông. Vậy ông buộc phải tự cắt tóc cho mình. Cũng mâu thuẫn.
Dù chọn khả năng nào,
quy tắc cũng tự phản lại chính nó. Vậy một người thợ cắt tóc tuân theo đúng quy
tắc trên không thể tồn tại.
Về bản dịch “cắt
tóc”:
Bản gốc tiếng Anh của
nghịch lý dùng động từ “cạo râu” (shave), không phải “cắt tóc”:
“The barber shaves all
and only those men who do not shave themselves.”
Việc chọn “cạo râu”
trong bản gốc không chỉ là chuyện ngôn từ — nó liên quan đến chính logic của
nghịch lý. “Cạo râu” là việc đàn ông thường tự làm mỗi ngày (tự cạo tại nhà),
nên câu hỏi “ông ấy có tự cạo râu cho mình không?” nghe tự nhiên và có ý nghĩa
thực tế ngay từ đầu — không cần giải thích thêm vì sao một người lại có thể “tự
cạo râu cho mình”. “Cắt tóc” thì khác: đa số đàn ông không tự cắt tóc được cho
chính mình (khó với tới sau gáy), nên khi thay “cạo râu” bằng “cắt tóc”, nghịch
lý logic vẫn đúng, nhưng tình huống nghe có phần gượng hơn so với bản gốc.
Lưu ý: Russell không dùng ví dụ thợ cạo/thợ cắt tóc
trong những công trình toán học gốc của ông — đây là cách kể phổ thông xuất hiện
về sau, để người không chuyên dễ hình dung nghịch lý. Nên khi trình bày, cần
nói rõ đây là một diễn giải phổ thông, không phải hình thức Russell
trình bày năm 1901.
Ý nghĩa
Nghịch lý không nói rằng
mọi tập hợp đều “vô lý”; nó chỉ bác bỏ nguyên tắc vô hạn chế: bất kỳ tính chất
nào cũng tạo thành một tập hợp. Những nền tảng hiện đại của thuyết tập hợp, như
ZF/ZFC, tránh nghịch lý bằng cách chỉ cho phép lập tập hợp theo những quy tắc bị
giới hạn; chẳng hạn, không có “tập hợp của mọi tập hợp không thuộc chính nó”
như R.
Điều thường được dẫn kể
nhiều hơn là phản ứng của Frege. Khi nhận thư Russell đúng lúc tập II của
Grundgesetze der Arithmetik sắp in, Frege thừa nhận phát hiện ấy đã làm “rung
chuyển nền đất” mà ông định xây dựng số học trên đó; ông tóm lược tình thế bằng
câu: “Số học đang lung lay”
(Die Arithmetik ist ins Schwanken geraten).
Russell nhiều thập
niên sau đặc biệt ca ngợi Frege vì thái độ trí thức ấy: khi nền tảng của công
trình đời mình bị chỉ ra là có sai sót, Frege vẫn tiếp nhận lập luận một cách
ngay thẳng, nghiêm cẩn và đặt chân lý lên trên việc bảo vệ hệ thống của mình.
[Xem thêm trong
- Russell – Đưa vào Triết học Toán học- bản dịch của
tôi trên blog này:
https://chuyendaudau.blogspot.com/2021/08/russell-gioi-thieu-triet-hoc-toan-hoc.html ]
IV
Nghịch lý Russell đã làm thay đổi toán học
Nghịch lý Russell
đã buộc toán học đầu thế kỷ XX từ bỏ cách hiểu “ngây thơ” rằng mọi tính chất đều
xác định một tập hợp. Từ đó, nó thúc đẩy sự hình thành của thuyết tập hợp tiên
đề, thuyết về những loại và toàn bộ ngành nghiên cứu hiện đại về nền tảng toán
học.
1. Chấm dứt “tập hợp tùy
ý”
Trước đó, người
ta dễ chấp nhận nguyên tắc:
Mọi điều kiện P(x) đều
xác định một tập hợp {x | P(x)}.
Nghịch lý Russell
chỉ ra rằng nếu chọn:
P(x):
x ∉ x
thì “tập những tập
hợp không thuộc chính mình” dẫn đến mâu thuẫn. Vì vậy, việc mô tả
được một lớp đối tượng không còn đủ để bảo đảm rằng lớp ấy là một tập
hợp.
Sự thay đổi này rất
sâu: toán học không còn có thể dựa vào trực giác tập hợp hoàn toàn tự do; nó cần
quy tắc chính xác về tập hợp nào được phép tồn tại.
2. Ra đời của thuyết tập
hợp tiên đề
Hướng giải quyết
có ảnh hưởng lớn nhất là tiên đề hóa thuyết tập hợp, khởi đầu với Ernst Zermelo
và sau đó được mở rộng thành hệ Zermelo–Fraenkel, thường dùng kèm Tiên đề Lựa
chọn: ZFC.
Thay cho nguyên
lý lập tập hợp vô hạn chế, Zermelo dùng lược đồ phân ly (Separation):
từ một tập hợp A đã có, ta được tách ra tập hợp con gồm những phần tử của A
thỏa điều kiện P(x):
B
= {x ∈ A | P(x)}
Vì không có “tập
của mọi tập hợp” làm A, không thể tạo tập hợp Russell bằng
phép lập tập hợp này. ZFC về sau trở thành khuôn khổ tiêu chuẩn để hình thức
hóa phần lớn toán học hiện đại.
3. Thuyết về những loại
của Russell
Con đường riêng của
Russell là thuyết về những loại (theory of types), được Russell và
Alfred North Whitehead triển khai trong Principia Mathematica.
Ý tưởng là phân bậc
những đối tượng:
cá
thể → lớp những cá thể → lớp những lớp → …
Một lớp ở một bậc
chỉ nhận phần tử ở bậc thấp hơn; do đó, một lớp không thể là phần tử của chính
nó. những biểu thức then chốt của nghịch lý — “R không thuộc R” hay “một vị từ
không áp dụng cho chính nó” — bị loại ngay từ đầu vì chúng vi phạm quy tắc loại.
Điều này không chỉ
là một vá víu kỹ thuật. Nó định hình tư duy hiện đại về việc phải kiểm tra loại
của biểu thức trước khi hỏi liệu một mệnh đề có đúng hay sai.
4. Khai sinh logic toán
học hiện đại
Nghịch lý Russell
góp phần chuyển trọng tâm từ việc dùng tập hợp một cách trực giác sang việc
nghiên cứu những hệ hình thức có tiên đề rõ ràng:
- Hệ tiên đề gồm những gì?
- Các quy tắc suy diễn có bảo toàn chân
lý không?
- Hệ có nhất quán (consistency)
hay không?
- Có thể chứng minh mọi mệnh đề toán học
đúng trong một phạm vi nào đó không?
- Hệ mạnh đến đâu, và cái giá của sức mạnh
ấy là gì?
Những câu hỏi đó
trở thành trục của logic toán học thế kỷ XX: thuyết mô hình, thuyết chứng minh,
thuyết đệ quy/tính toán được và nghiên cứu tính nhất quán. những nghịch lý tập
hợp đã dẫn giới toán học tới yêu cầu xây dựng những thuyết được phát biểu đầy đủ,
thay vì tin cậy vào trực giác “mọi bộ sưu tập xác định được đều là một tập hợp”.
V
Giải quyết nghịch lý Russell
Nghịch lý Russell
không được “giải” theo nghĩa tìm ra một trả lời đúng cho câu hỏi “R ∈ R hay
R ∉ R?”. Nó được giải tỏa bằng cách thay đổi nền tảng: thay vì cho phép lập tập
hợp tùy ý, ta giới hạn quy tắc tạo tập hợp hoặc cấm những cấu trúc tự quy chiếu
sai loại. Có ba hướng chính: thuyết về những loại của Russell, thuyết tập hợp
tiên đề (Zermelo–Fraenkel), và những hệ phân biệt tập–lớp (như NBG).
1. Nghịch lý nhắc lại
Thuyết tập hợp
ngây thơ chấp nhận nguyên lý lập tập hợp vô hạn chế:
Với mọi điều kiện P(x),
tồn tại tập hợp {x | P(x)}.
Chọn P(x): x ∉ x, ta có:
R
= {x | x ∉ x}
Theo định nghĩa:
x ∈ R ↔ x ∉ x
Thế x = R:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Đây là mâu
thuẫn. những lời giải đều nhắm vào giả định cho phép lập R.
2. Thuyết về những loại
của Russell
Russell chặn nghịch lý
bằng thuyết về những loại (theory of types):
- Các đối tượng được phân tầng: cá thể, lớp
những cá thể, lớp những lớp, v.v.
- Một lớp ở loại n chỉ có thể chứa
những đối tượng ở loại n − 1.
- Biểu thức R ∈ R vi phạm phân tầng loại; do đó R
không phải một điều kiện hợp lệ để lập lớp.
Vì vậy, R
không được phép hình thành. Russell không trả lời R ∈ R là đúng hay sai; ông cho thấy câu hỏi đó không hợp thức trong
ngôn ngữ đã được loại hóa.
3. Thuyết tập hợp
tiên đề (Zermelo–Fraenkel)
Hướng khác, do Zermelo
khởi xướng và được phát triển thành ZF/ZFC, là tiên đề hóa thuyết tập
hợp và thay nguyên lý lập tập hợp vô hạn chế bằng những quy tắc hạn chế.
Thay vì:
Với mọi
điều kiện P(x), tồn tại tập hợp {x | P(x)}.
ZF dùng lược đồ phân
ly (Separation):
B = {x ∈ A | P(x)}
Nghĩa là: từ một tập hợp
A
đã có, ta chỉ được tách ra tập hợp con B gồm những phần tử của A
thỏa điều kiện P(x).
Vì không có “tập của mọi
tập hợp” làm A, ta không thể lập:
R = {x
| x ∉ x}
như một tập hợp toàn cục.
Trong ZF, R không phải là một tập hợp; nếu muốn nói, ta chỉ có thể gọi
nó là một lớp riêng (proper class), tức một tập hợp “quá lớn” để
được coi là phần tử của bất kỳ tập hợp nào.
4. Phân biệt tập hợp
và lớp (NBG, MK)
Một số hệ như NBG (von
Neumann–Bernays–Gödel) hay MK (Morse–Kelley) phân biệt rõ:
- Tập hợp: có thể là phần tử của những tập hợp khác.
- Lớp: có thể quá lớn để là phần tử; chỉ một số lớp là tập.
Trong NBG, điều kiện x ∉ x xác định một lớp R, nhưng R không phải là một
tập hợp. Vì vậy, không thể hỏi R ∈ R
theo nghĩa “R là phần tử của chính nó”; câu hỏi ấy không được phép hình thành đối
với lớp không phải tập. Cách này cũng chặn nghịch lý.
5. Điểm chung của những
lời giải
Dù khác nhau về chi tiết,
những cách giải đều có chung một bài học:
- Không phải mọi điều kiện mô tả được đều
xác định một tập hợp hợp lệ.
- Phải có quy tắc rõ ràng về:
- Khi nào một lớp là một tập hợp.
- Khi nào một biểu thức như R ∈ R là hợp thức.
- Nghịch lý Russell không chứng minh rằng
thuyết tập hợp là vô vọng; nó chỉ cho thấy trực giác “tập hợp tùy ý” là
quá mạnh.
Trong thực hành toán học
hiện đại, ZFC là nền tảng phổ biến nhất; thuyết về những loại của Russell sống
mạnh trong logic bậc cao, thuyết chứng minh và khoa học máy tính. Cả hai đều là
những cách khác nhau để nói: “không được để tự quy chiếu và lập tập hợp vô hạn
chế cùng lúc”.
VI
Để giải quyết mâu
thuẫn, Russell đã phát triển thuyết về những loại nói trên như sau:
Russell không đưa
ra thuyết về những loại như một lời giải hoàn chỉnh ngay lập tức. Sau khi nhận
ra nghịch lý khoảng năm 1901, ông phát triển lời giải theo hai giai đoạn: thuyết
về những loại đơn giản trong The Principles of Mathematics
(1903), rồi thuyết về những loại phân nhánh trong bài “Mathematical Logic
as Based on the Theory of Types” (1908) và Principia Mathematica cùng A.
N. Whitehead (1910–1913).
1. Từ mâu thuẫn đến chẩn
đoán
Nghịch lý bắt đầu
từ giả định của thuyết tập hợp ngây thơ:
Với
mọi điều kiện P(x), tồn tại tập hợp {x | P(x)}.
Tức là, hễ nêu được
một tính chất P(x), ta có thể lập tập hợp gồm mọi x có tính chất ấy.
Chọn:
P(x):
x ∉ x
ta có tập hợp
Russell:
R
= {x | x ∉ x}
Và suy ra:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Russell dần đi đến
nhận định rằng nguồn lỗi không phải ở một chi tiết riêng của định nghĩa tập hợp,
mà ở tự-áp-dụng (self-application) và tự quy chiếu vòng tròn:
một khái niệm hay hàm mệnh đề được phép vận hành trên chính nó, hoặc một toàn
thể được định nghĩa bằng cách đã ngầm bao gồm chính toàn thể ấy.
2. Nguyên tắc vòng luẩn
quẩn
Russell diễn đạt
trực giác của mình qua vicious-circle principle:
Cái gì được định
nghĩa bằng cách bao hàm toàn bộ một tập hợp thì không được là một thành viên của
chính tập hợp ấy.
Một diễn đạt gần
với Russell là: nếu việc xác định một đối tượng đòi hỏi đã có “toàn bộ” của một
bộ sưu tập, thì đối tượng ấy không thể đồng thời thuộc chính bộ sưu tập đó.
Ví dụ, khi cố lập:
R
= {x | x ∉ x}
ta tưởng là đã có
sẵn miền “mọi tập hợp” để rồi chọn ra những phần tử không tự thuộc. Nhưng R
cũng được xem là một ứng viên trong miền ấy; vậy điều kiện chọn lọc lại cần quyết
định R trước khi R đã được xác định xong. Russell
xem đây là vòng tròn không hợp lệ.
3. Thuyết về những loại
đơn giản
Bước đầu của
Russell là phân tầng những loại đối tượng:
cá
thể → lớp những cá thể → lớp những lớp → …
Một hàm mệnh đề
hay lớp ở một tầng chỉ được áp dụng cho đối tượng ở tầng thấp hơn thích hợp. Theo đó:
- Cá thể có thể là đối số của vị từ về cá thể.
- Một vị từ về cá thể không được lấy chính vị
từ ấy làm đối số.
- Một lớp những cá thể không được là phần tử
của chính nó.
Như vậy, R ∈ R không phải là một mệnh đề sai; nó là một chuỗi ký hiệu không
hợp thức vì một R không thể đồng thời ở hai loại cần
thiết cho quan hệ “thuộc”. Thế nên công thức R ∈ R không thể làm điều kiện lập lớp, và tập hợp R không thể được tạo
ra.
4. Bản phân nhánh
Russell thấy phân tầng
loại đơn giản vẫn chưa chặn mọi dạng định nghĩa vòng tròn. Có một thuộc tính có
thể không áp dụng trực tiếp lên chính nó, nhưng vẫn được định nghĩa qua việc lượng
từ hóa trên “mọi thuộc tính” cùng một cấp, trong đó có chính thuộc tính đang định
nghĩa. Đây là trường hợp định nghĩa không dự đoán được (impredicative
definition).
Vì vậy, năm 1908
Russell thêm một phân cấp thứ hai: ngoài loại (type) còn có bậc
(order).
- Loại phân biệt đối tượng, thuộc tính của đối
tượng, thuộc tính của thuộc tính, v.v.
- Bậc phân biệt những hàm mệnh đề tùy theo
chúng lượng từ qua những hàm mệnh đề thuộc cấp nào.
Một hàm mệnh đề bậc thấp
chỉ lượng từ trên miền đã có trước đó; hàm bậc cao hơn mới được lượng từ qua tổng
thể rộng hơn. Đây là thuyết về những loại phân nhánh (ramified
theory of types). Nó nhằm áp dụng triệt để nguyên tắc vòng luẩn quẩn, không
chỉ cấm R ∈ R
trực tiếp.
5. Cái giá và tiên đề
khả quy
Sự phân nhánh này khiến
hệ thống quá nghiêm: nhiều định nghĩa và chứng minh toán học bình thường trở
nên khó hoặc không thể thực hiện. Trong Principia Mathematica, Russell
và Whitehead thêm tiên đề khả quy (axiom of reducibility).
Về ý tưởng, tiên đề
nói rằng với mọi hàm mệnh đề ở một bậc cao, có một hàm mệnh đề tương đương ở bậc
thấp nhất: hai hàm áp dụng đúng cho cùng những đối tượng. Nhờ thế, ta có thể giữ
những rào chắn loại về mặt hình thức nhưng vẫn dùng được những lớp/thuộc tính cần
cho toán học.
Đây cũng là điểm gây
tranh luận: tiên đề khả quy thường bị xem là mang tính “vá lỗi” (ad hoc),
vì nó phần nào làm suy yếu động lực triết học ban đầu của việc cấm định nghĩa
vòng tròn.
Di sản
Lời giải của Russell
không trở thành nền tảng chuẩn duy nhất của toán học — Zermelo–Fraenkel, đặc biệt
ZFC, thuận tiện hơn cho phần lớn toán học cổ điển. Nhưng bước phát triển của
ông có ảnh hưởng lâu dài: không phải mọi tổ hợp ký hiệu đều là mệnh đề có
nghĩa; phải kiểm tra loại trước khi suy luận.
Truyền thống ấy đi từ
thuyết về những loại của Russell đến thuyết về những loại đơn giản của Church,
lambda calculus có loại, logic bậc cao, thuyết về những loại trực giác của
Martin-Löf và hệ kiểm chứng chứng minh hiện đại. Nói cô đọng: Russell giải nghịch
lý bằng cách không trả lời R là đúng hay sai, mà cho thấy việc
viết câu hỏi đó đã vi phạm cấu trúc lôgic của ngôn ngữ.
